Kvadrātvienādojumi nav vienādi ar nulli. Kvadrātvienādojumi

Vienkārši. Pēc formulām un skaidriem vienkāršiem noteikumiem. Pirmajā posmā

nepieciešams dot doto vienādojumu standarta formā, t.i. uz skatu:

Ja vienādojums jums jau ir dots šajā formā, jums nav jāveic pirmais posms. Vissvarīgākais ir pareizi

noteikt visus koeficientus a, b un c.

Formula kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai.

Izteicienu zem saknes zīmes sauc diskriminējoša . Kā redzat, lai atrastu x, mēs

izmantot tikai a, b un c. Tie. izredzes no kvadrātvienādojums. Vienkārši uzmanīgi ievietojiet

vērtības a, b un cšajā formulā un saskaitiet. Aizstāt ar viņu zīmes!

piemēram, vienādojumā:

a =1; b = 3; c = -4.

Aizstājiet vērtības un ierakstiet:

Piemērs gandrīz atrisināts:

Šī ir atbilde.

Biežākās kļūdas ir apjukums ar vērtību pazīmēm a, b un ar. Drīzāk ar aizstāšanu

negatīvas vērtības sakņu aprēķināšanas formulā. Šeit detalizētā formula saglabā

ar konkrētiem cipariem. Ja ir problēmas ar aprēķiniem, dariet to!

Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina šāds piemērs:

Šeit a = -6; b = -5; c = -1

Mēs visu krāsojam detalizēti, rūpīgi, neko nepalaižot garām ar visām zīmēm un iekavām:

Bieži kvadrātvienādojumi izskatās nedaudz atšķirīgi. Piemēram, šādi:

Tagad ņemiet vērā praktiskos paņēmienus, kas ievērojami samazina kļūdu skaitu.

Pirmā uzņemšana. Pirms tam neesiet slinks kvadrātvienādojuma atrisināšana izveidojiet to standarta formā.

Ko tas nozīmē?

Pieņemsim, ka pēc jebkādām transformācijām jūs saņemat šādu vienādojumu:

Nesteidzieties rakstīt sakņu formulu! Jūs gandrīz noteikti sajaucat izredzes a, b un c.

Pareizi izveidojiet piemēru. Vispirms x kvadrātā, tad bez kvadrāta, tad brīvais dalībnieks. Kā šis:

Atbrīvojieties no mīnusa. Kā? Mums jāreizina viss vienādojums ar -1. Mēs iegūstam:

Un tagad jūs varat droši pierakstīt formulu saknēm, aprēķināt diskriminantu un pabeigt piemēru.

Izlemiet paši. Jums vajadzētu beigties ar saknēm 2 un -1.

Otrā pieņemšana. Pārbaudi savas saknes! Autors Vietas teorēma.

Lai atrisinātu dotos kvadrātvienādojumus, t.i. ja koeficients

x2+bx+c=0,

tadx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

Pilnīgam kvadrātvienādojumam, kurā a≠1:

x 2+bx+c=0,

dala visu vienādojumu ar a:

→ →

kur x 1 un x 2 - vienādojuma saknes.

Uzņemšana trešā. Ja jūsu vienādojumā ir daļskaitļu koeficienti, atbrīvojieties no daļām! Pavairot

vienādojums kopsaucējam.

Secinājums. Praktiski padomi:

1. Pirms risināšanas kvadrātvienādojumu ievietojam standarta formā, izveidojam to pa labi.

2. Ja kvadrātā x priekšā ir negatīvs koeficients, mēs to likvidējam, visu reizinot

vienādojumi -1.

3. Ja koeficienti ir daļskaitļi, mēs izslēdzam daļas, reizinot visu vienādojumu ar atbilstošo

faktors.

4. Ja x kvadrātā ir tīrs, tā koeficients ir vienāds ar vienu, risinājumu var viegli pārbaudīt ar

Kvadrātvienādojuma sakņu formulas. Tiek aplūkoti reālu, daudzkārtēju un sarežģītu sakņu gadījumi. Kvadrātveida trinoma faktorizācija. Ģeometriskā interpretācija. Sakņu noteikšanas un faktorizācijas piemēri.

Pamatformulas

Apsveriet kvadrātvienādojumu:
(1) .
Kvadrātvienādojuma saknes(1) nosaka pēc formulām:
; .
Šīs formulas var apvienot šādi:
.
Ja ir zināmas kvadrātvienādojuma saknes, tad otrās pakāpes polinomu var attēlot kā faktoru reizinājumu (faktorizētu):
.

Turklāt mēs pieņemam, ka tie ir reāli skaitļi.
Apsveriet kvadrātvienādojuma diskriminants:
.
Ja diskriminants ir pozitīvs, kvadrātvienādojumam (1) ir divas dažādas reālās saknes:
; .
Tad kvadrātveida trinoma faktorizācijai ir šāda forma:
.
Ja diskriminants ir nulle, tad kvadrātvienādojumam (1) ir divas vairākas (vienādas) reālās saknes:
.
Faktorizācija:
.
Ja diskriminants ir negatīvs, kvadrātvienādojumam (1) ir divas sarežģītas konjugāta saknes:
;
.
Šeit ir iedomātā vienība, ;
un ir sakņu reālās un iedomātās daļas:
; .
Tad

.

Grafiskā interpretācija

Ja iezīmējam funkciju grafiku
,
kas ir parabola, tad grafika krustošanās punkti ar asi būs vienādojuma saknes
.
Kad , grafiks divos punktos krustojas ar abscisu asi (asi).
Kad , grafiks pieskaras x asij vienā punktā.
Kad , grafiks nešķērso x asi.

Zemāk ir šādu grafiku piemēri.

Noderīgas formulas, kas saistītas ar kvadrātvienādojumu

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Kvadrātvienādojuma sakņu formulas atvasināšana

Veicam transformācijas un pielietojam formulas (f.1) un (f.3):




,
kur
; .

Tātad otrās pakāpes polinoma formulu ieguvām šādā formā:
.
No tā var redzēt, ka vienādojums

veikta plkst
un .
Tas ir, un ir kvadrātvienādojuma saknes
.

Kvadrātvienādojuma sakņu noteikšanas piemēri

1. piemērs

(1.1) .

Lēmums

.
Salīdzinot ar mūsu vienādojumu (1.1), mēs atrodam koeficientu vērtības:
.
Diskriminanta atrašana:
.
Tā kā diskriminants ir pozitīvs, vienādojumam ir divas reālas saknes:
;
;
.

No šejienes mēs iegūstam kvadrātveida trinoma sadalījumu faktoros:

.

Funkcijas y = grafiks 2 x 2 + 7 x + 3šķērso x asi divos punktos.

Uzzīmēsim funkciju
.
Šīs funkcijas grafiks ir parabola. Tas šķērso x asi (asi) divos punktos:
un .
Šie punkti ir sākotnējā vienādojuma (1.1) saknes.

Atbilde

;
;
.

2. piemērs

Atrodiet kvadrātvienādojuma saknes:
(2.1) .

Lēmums

Kvadrātvienādojumu rakstām vispārīgā formā:
.
Salīdzinot ar sākotnējo vienādojumu (2.1), mēs atrodam koeficientu vērtības:
.
Diskriminanta atrašana:
.
Tā kā diskriminants ir nulle, vienādojumam ir divas vairākas (vienādas) saknes:
;
.

Tad trinoma faktorizācijai ir šāda forma:
.

Funkcijas y = x grafiks 2 - 4 x + 4 pieskaras x asij vienā punktā.

Uzzīmēsim funkciju
.
Šīs funkcijas grafiks ir parabola. Tas pieskaras x asij (asij) vienā punktā:
.
Šis punkts ir sākotnējā vienādojuma (2.1) sakne. Tā kā šī sakne tiek aprēķināta divreiz:
,
tad šādu sakni sauc par daudzkārtni. Tas ir, viņi uzskata, ka ir divas vienādas saknes:
.

Atbilde

;
.

3. piemērs

Atrodiet kvadrātvienādojuma saknes:
(3.1) .

Lēmums

Kvadrātvienādojumu rakstām vispārīgā formā:
(1) .
Pārrakstīsim sākotnējo vienādojumu (3.1):
.
Salīdzinot ar (1), mēs atrodam koeficientu vērtības:
.
Diskriminanta atrašana:
.
Diskriminants ir negatīvs, . Tāpēc īstu sakņu nav.

Jūs varat atrast sarežģītas saknes:
;
;
.

Tad


.

Funkcijas grafiks nešķērso x asi. Īstu sakņu nav.

Uzzīmēsim funkciju
.
Šīs funkcijas grafiks ir parabola. Tas nešķērso abscisu (asi). Tāpēc īstu sakņu nav.

Atbilde

Īstu sakņu nav. Sarežģītas saknes:
;
;
.

Kvadrātvienādojums — viegli atrisināms! *Tālāk tekstā "KU". Draugi, šķiet, ka matemātikā tas var būt vienkāršāk nekā atrisināt šādu vienādojumu. Bet kaut kas man teica, ka daudziem cilvēkiem ir problēmas ar viņu. Es nolēmu redzēt, cik seansu Yandex sniedz vienam pieprasījumam mēnesī. Lūk, kas notika, apskatiet:

Ko tas nozīmē? Tas nozīmē, ka aptuveni 70 000 cilvēku mēnesī meklē šo informāciju, un šī ir vasara, un kas notiks mācību gada laikā - būs divreiz vairāk pieprasījumu. Tas nav pārsteidzoši, jo šo informāciju meklē tie puiši un meitenes, kuri jau sen beiguši skolu un gatavojas eksāmenam, un arī skolēni cenšas atsvaidzināt atmiņu.

Neskatoties uz to, ka ir daudz vietņu, kas stāsta, kā atrisināt šo vienādojumu, es nolēmu arī piedalīties un publicēt materiālu. Pirmkārt, es vēlos, lai apmeklētāji nāk uz manu vietni pēc šī pieprasījuma; otrkārt, citos rakstos, kad uzstāsies runa “KU”, iedošu saiti uz šo rakstu; treškārt, es jums pastāstīšu nedaudz vairāk par viņa risinājumu, nekā parasti tiek teikts citās vietnēs. Sāksim! Raksta saturs:

Kvadrātvienādojums ir vienādojums ar šādu formu:

kur koeficienti a,bun ar patvaļīgiem skaitļiem ar a≠0.

Skolas kursā materiāls tiek sniegts šādā formā - vienādojumu sadalīšana trīs klasēs tiek veikta nosacīti:

1. Ir divas saknes.

2. * Ir tikai viena sakne.

3. Nav sakņu. Šeit ir vērts atzīmēt, ka viņiem nav īstu sakņu

Kā tiek aprēķinātas saknes? Tikai!

Mēs aprēķinām diskriminantu. Zem šī "briesmīgā" vārda slēpjas ļoti vienkārša formula:

Sakņu formulas ir šādas:

*Šīs formulas ir jāzina no galvas.

Jūs varat nekavējoties pierakstīt un izlemt:

Piemērs:

1. Ja D > 0, tad vienādojumam ir divas saknes.

2. Ja D = 0, tad vienādojumam ir viena sakne.

3. Ja D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Apskatīsim vienādojumu:

Šajā gadījumā, kad diskriminants ir nulle, skolas kurss saka, ka tiek iegūta viena sakne, šeit tā ir vienāda ar deviņām. Pareizi, tā ir, bet...

Šis attēlojums ir nedaudz nepareizs. Patiesībā ir divas saknes. Jā, jā, nebrīnieties, izrādās divas vienādas saknes, un, lai būtu matemātiski precīzi, tad atbildē jāraksta divas saknes:

x 1 = 3 x 2 = 3

Bet tas tā ir - neliela atkāpe. Skolā var pierakstīt un teikt, ka ir tikai viena sakne.

Tagad šāds piemērs:

Kā zināms, negatīva skaitļa sakne netiek izvilkta, tāpēc risinājuma šajā gadījumā nav.

Tas ir viss lēmumu pieņemšanas process.

Kvadrātiskā funkcija.

Lūk, kā risinājums izskatās ģeometriski. Tas ir ārkārtīgi svarīgi saprast (nākotnē vienā no rakstiem mēs detalizēti analizēsim kvadrātiskās nevienlīdzības risinājumu).

Šī ir formas funkcija:

kur x un y ir mainīgie

a, b, c ir doti skaitļi, kur a ≠ 0

Grafiks ir parabola:

Tas ir, izrādās, ka, atrisinot kvadrātvienādojumu ar "y", kas vienāds ar nulli, mēs atrodam parabolas krustošanās punktus ar x asi. Var būt divi no šiem punktiem (diskriminants ir pozitīvs), viens (diskriminants ir nulle) vai neviens (diskriminants ir negatīvs). Vairāk par kvadrātfunkciju Jūs varat apskatīt Innas Feldmanes raksts.

Apsveriet piemērus:

1. piemērs: izlemiet 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Atbilde: x 1 = 8 x 2 = -12

* Jūs varētu uzreiz sadalīt vienādojuma kreiso un labo pusi ar 2, tas ir, to vienkāršot. Aprēķini būs vienkāršāki.

2. piemērs: Izlemiet x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 – 4ac = (–22) 2 – 4∙1∙121 = 484–484 = 0

Mēs saņēmām, ka x 1 \u003d 11 un x 2 \u003d 11

Atbildē ir atļauts rakstīt x = 11.

Atbilde: x = 11

3. piemērs: Izlemiet x 2–8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 – 4ac = (–8) 2 – 4∙1, 72 = 64–288 = –224

Diskriminants ir negatīvs, reālos skaitļos risinājuma nav.

Atbilde: nav risinājuma

Diskriminants ir negatīvs. Ir risinājums!

Šeit mēs runāsim par vienādojuma atrisināšanu gadījumā, ja tiek iegūts negatīvs diskriminants. Vai jūs kaut ko zināt par kompleksajiem skaitļiem? Es šeit nestāstīšu par to, kāpēc un kur tie radušies un kāda ir to īpašā loma un nepieciešamība matemātikā, šī ir tēma lielam atsevišķam rakstam.

Kompleksā skaitļa jēdziens.

Mazliet teorijas.

Komplekss skaitlis z ir formas skaitlis

z = a + bi

kur a un b ir reāli skaitļi, i ir tā sauktā iedomātā vienība.

a+bi ir VIENS CIPARS, nevis papildinājums.

Iedomātā vienība ir vienāda ar sakni no mīnus viens:

Tagad apsveriet vienādojumu:

Iegūstiet divas konjugātas saknes.

Nepilns kvadrātvienādojums.

Apsveriet īpašus gadījumus, kad koeficients "b" vai "c" ir vienāds ar nulli (vai abi ir vienādi ar nulli). Tie ir viegli atrisināmi bez jebkādiem diskriminējošiem līdzekļiem.

1. gadījums. Koeficients b = 0.

Vienādojumam ir šāda forma:

Pārveidosim:

Piemērs:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

2. gadījums. Koeficients c = 0.

Vienādojumam ir šāda forma:

Pārveidot, faktorizēt:

* Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli.

Piemērs:

9x 2 -45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 vai x-5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

3. gadījums. Koeficienti b = 0 un c = 0.

Šeit ir skaidrs, ka vienādojuma risinājums vienmēr būs x = 0.

Koeficientu derīgās īpašības un modeļi.

Ir īpašības, kas ļauj atrisināt vienādojumus ar lieliem koeficientiem.

ax 2 + bx+ c=0 vienlīdzība

a + b+ c = 0, tad

— ja vienādojuma koeficientiem ax 2 + bx+ c=0 vienlīdzība

a+ ar =b, tad

Šīs īpašības palīdz atrisināt noteikta veida vienādojumu.

1. piemērs: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Koeficientu summa ir 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, tātad

2. piemērs: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Vienlīdzība a+ ar =b, nozīmē

Koeficientu likumsakarības.

1. Ja vienādojumā ax 2 + bx + c \u003d 0 koeficients "b" ir (a 2 +1), un koeficients "c" ir skaitliski vienāds ar koeficientu "a", tad tā saknes ir

axe 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 6x2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Ja vienādojumā ax 2 - bx + c \u003d 0 koeficients "b" ir (a 2 +1) un koeficients "c" ir skaitliski vienāds ar koeficientu "a", tad tā saknes ir

cirvis 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 15x2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ja vienādojumā ax 2 + bx - c = 0 koeficients "b" vienāds (a 2 – 1), un koeficients “c” skaitliski vienāds ar koeficientu "a", tad tā saknes ir vienādas

axe 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 = 1/17.

4. Ja vienādojumā ax 2 - bx - c \u003d 0 koeficients "b" ir vienāds ar (a 2 - 1), un koeficients c ir skaitliski vienāds ar koeficientu "a", tad tā saknes ir

cirvis 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietas teorēma.

Vietas teorēma ir nosaukta slavenā franču matemātiķa Fransuā Vietas vārdā. Izmantojot Vietas teorēmu, var izteikt patvaļīga KU sakņu summu un reizinājumu ar tā koeficientiem.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Summējot, skaitlis 14 dod tikai 5 un 9. Tās ir saknes. Ar noteiktu prasmi, izmantojot uzrādīto teorēmu, jūs varat nekavējoties mutiski atrisināt daudzus kvadrātvienādojumus.

Vietas teorēma, turklāt. ērti, jo pēc kvadrātvienādojuma atrisināšanas parastajā veidā (caur diskriminantu) var pārbaudīt iegūtās saknes. Es iesaku to darīt visu laiku.

PĀRVIETOŠANAS METODE

Ar šo metodi koeficients "a" tiek reizināts ar brīvo termiņu, it kā "pārnests" uz to, tāpēc to sauc pārsūtīšanas metode.Šo metodi izmanto, ja ir viegli atrast vienādojuma saknes, izmantojot Vietas teorēmu, un, pats galvenais, ja diskriminants ir precīzs kvadrāts.

Ja a± b+c≠ 0, tad tiek izmantota pārsūtīšanas tehnika, piemēram:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Saskaņā ar Vietas teorēmu (2) vienādojumā ir viegli noteikt, ka x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Iegūtās vienādojuma saknes jādala ar 2 (tā kā abi tika “izmesti” no x 2), iegūstam

x 1 \u003d 5 x 2 = 0,5.

Kāds ir pamatojums? Paskaties, kas notiek.

(1) un (2) vienādojuma diskriminanti ir:

Ja paskatās uz vienādojumu saknēm, tiek iegūti tikai dažādi saucēji, un rezultāts ir tieši atkarīgs no koeficienta pie x 2:

Otrās (modificētās) saknes ir 2 reizes lielākas.

Tāpēc rezultātu dalām ar 2.

*Ja ripinām trīs vienādus, tad rezultātu dalām ar 3 utt.

Atbilde: x 1 = 5 x 2 = 0,5

kv. ur-ie un eksāmens.

Par tā nozīmi teikšu īsi - JĀSPĒT LĒMĒT ātri un nedomājot, sakņu formulas un diskriminanta jāzina no galvas. Daudzi uzdevumi, kas ir daļa no USE uzdevumiem, ir saistīti ar kvadrātvienādojuma atrisināšanu (ieskaitot ģeometriskos).

Kas ir jāņem vērā!

1. Vienādojuma forma var būt "netieša". Piemēram, ir iespējams šāds ieraksts:

15+ 9x 2 - 45x = 0 vai 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 vai 15 - 5x + 10x 2 = 0.

Tas ir jāsakārto standarta formā (lai neapjuktu risinot).

2. Atcerieties, ka x ir nezināma vērtība un to var apzīmēt ar jebkuru citu burtu - t, q, p, h un citiem.

Šī tēma sākumā var šķist sarežģīta daudzo ne pārāk vienkāršo formulu dēļ. Pašos kvadrātvienādojumos ir ne tikai gari ieraksti, bet arī saknes tiek atrastas, izmantojot diskriminantu. Pavisam ir trīs jaunas formulas. Nav ļoti viegli atcerēties. Tas ir iespējams tikai pēc biežas šādu vienādojumu atrisināšanas. Tad visas formulas pašas atcerēsies.

Kvadrātvienādojuma vispārīgs skats

Šeit tiek piedāvāts to precīzs apzīmējums, kad vispirms tiek uzrakstīts lielākais grāds un pēc tam dilstošā secībā. Bieži vien ir situācijas, kad termini atšķiras. Tad labāk ir pārrakstīt vienādojumu mainīgā lieluma pakāpes dilstošā secībā.

Ieviesīsim notāciju. Tie ir parādīti zemāk esošajā tabulā.

Ja mēs pieņemam šos apzīmējumus, visi kvadrātvienādojumi tiek reducēti uz šādu apzīmējumu.

Turklāt koeficients a ≠ 0. Apzīmēsim šo formulu ar skaitli viens.

Kad vienādojums ir dots, nav skaidrs, cik sakņu būs atbildē. Jo vienmēr ir iespējama viena no trim iespējām:

• šķīdumam būs divas saknes;
• atbilde būs viens skaitlis;
• Vienādojumam vispār nav sakņu.

Un, lai gan lēmums netiek pieņemts līdz galam, ir grūti saprast, kura no iespējām konkrētajā gadījumā izkritīs.

Kvadrātvienādojumu ierakstu veidi

Uzdevumiem var būt dažādi ieraksti. Tie ne vienmēr izskatīsies pēc kvadrātvienādojuma vispārējās formulas. Dažreiz tai pietrūks daži termini. Tas, kas tika rakstīts iepriekš, ir pilnīgs vienādojums. Ja noņemat tajā otro vai trešo terminu, jūs iegūstat kaut ko citu. Šos ierakstus sauc arī par kvadrātvienādojumiem, tikai nepilnīgiem.

Turklāt var pazust tikai tie termini, kuriem koeficienti "b" un "c". Skaitlis "a" nekādā gadījumā nevar būt vienāds ar nulli. Jo šajā gadījumā formula pārvēršas par lineāru vienādojumu. Formulas vienādojumu nepilnīgajai formai būs šādas:

Tātad ir tikai divi veidi, papildus pilnīgajiem, ir arī nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Lai pirmā formula ir numurs divi, bet otrais skaitlis - trīs.

Diskriminants un sakņu skaita atkarība no tā vērtības

Šim skaitlim ir jābūt zināmam, lai aprēķinātu vienādojuma saknes. To vienmēr var aprēķināt neatkarīgi no kvadrātvienādojuma formulas. Lai aprēķinātu diskriminantu, jāizmanto zemāk uzrakstītā vienādība, kurai būs cipars četri.

Pēc koeficientu vērtību aizstāšanas šajā formulā varat iegūt skaitļus ar dažādām zīmēm. Ja atbilde ir jā, tad vienādojuma atbilde būs divas dažādas saknes. Ja skaitlis ir negatīvs, kvadrātvienādojuma saknes nebūs. Ja tas ir vienāds ar nulli, atbilde būs viens.

Kā tiek atrisināts pilns kvadrātvienādojums?

Faktiski šī jautājuma izskatīšana jau ir sākusies. Jo vispirms ir jāatrod diskriminants. Pēc tam, kad ir noskaidrots, ka kvadrātvienādojumam ir saknes un ir zināms to skaits, ir jāizmanto mainīgo lielumu formulas. Ja ir divas saknes, tad jums ir jāpiemēro šāda formula.

Tā kā tajā ir zīme “±”, būs divas vērtības. Izteiciens zem kvadrātsaknes zīmes ir diskriminants. Tāpēc formulu var pārrakstīt citā veidā.

Piektā formula. No tā paša ieraksta var redzēt, ka, ja diskriminants ir nulle, tad abām saknēm būs vienādas vērtības.

Ja kvadrātvienādojumu risinājums vēl nav izstrādāts, tad pirms diskriminējošās un mainīgās formulas piemērošanas labāk pierakstīt visu koeficientu vērtības. Vēlāk šis brīdis nesagādās grūtības. Taču pašā sākumā ir apjukums.

Kā tiek atrisināts nepilnīgs kvadrātvienādojums?

Šeit viss ir daudz vienkāršāk. Pat papildu formulas nav vajadzīgas. Un nevajadzēs tos, kas jau ir rakstīti diskriminējošajam un nezināmajam.

Pirmkārt, apsveriet nepilnīgo vienādojumu numur divi. Šajā vienādībā no iekavām ir jāizņem nezināmais daudzums un jāatrisina lineārais vienādojums, kas paliks iekavās. Atbildei būs divas saknes. Pirmais noteikti ir vienāds ar nulli, jo ir faktors, kas sastāv no paša mainīgā lieluma. Otro iegūst, atrisinot lineāru vienādojumu.

Nepilnīgais vienādojums ar numuru trīs tiek atrisināts, pārnesot skaitli no vienādojuma kreisās puses uz labo. Tad jums ir jādala ar koeficientu nezināmā priekšā. Atliek tikai izvilkt kvadrātsakni un neaizmirstiet to divreiz pierakstīt ar pretējām zīmēm.

Tālāk ir norādītas dažas darbības, kas palīdz jums uzzināt, kā atrisināt visu veidu vienādības, kas pārvēršas kvadrātvienādojumos. Tie palīdzēs skolēnam izvairīties no kļūdām neuzmanības dēļ. Šīs nepilnības ir iemesls sliktām atzīmēm, pētot plašo tēmu "Kvadrātvienādojumi (8. klase)". Pēc tam šīs darbības nebūs pastāvīgi jāveic. Jo būs stabils ieradums.

• Vispirms jums ir jāuzraksta vienādojums standarta formā. Tas ir, vispirms termins ar lielāko mainīgā pakāpi, un pēc tam - bez pakāpes un pēdējais - tikai skaitlis.

• Ja pirms koeficienta "a" parādās mīnuss, iesācējam tas var sarežģīt kvadrātvienādojumu pētīšanas darbu. Labāk no tā atbrīvoties. Šim nolūkam visa vienlīdzība jāreizina ar "-1". Tas nozīmē, ka visi termini mainīs zīmi uz pretējo.

• Tādā pašā veidā ieteicams atbrīvoties no frakcijām. Vienkārši reiziniet vienādojumu ar atbilstošo koeficientu, lai saucēji tiktu izslēgti.

Piemēri

Ir nepieciešams atrisināt šādus kvadrātvienādojumus:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Pirmais vienādojums: x 2 - 7x \u003d 0. Tas ir nepilnīgs, tāpēc tas ir atrisināts, kā aprakstīts formulai numur divi.

Pēc iekavēšanas izrādās: x (x - 7) \u003d 0.

Pirmā sakne iegūst vērtību: x 1 \u003d 0. Otrā tiks atrasta no lineārā vienādojuma: x - 7 \u003d 0. Ir viegli redzēt, ka x 2 \u003d 7.

Otrais vienādojums: 5x2 + 30 = 0. Atkal nepilnīgs. Tikai tas tiek atrisināts, kā aprakstīts trešajā formulā.

Pēc 30 pārsūtīšanas uz vienādojuma labo pusi: 5x 2 = 30. Tagad jādala ar 5. Izrādās: x 2 = 6. Atbildes būs skaitļi: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Trešais vienādojums: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Šeit un tālāk kvadrātvienādojumu atrisināšana sāksies, pārrakstot tos standarta formā: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Tagad ir pienācis laiks izmantot otro noderīgs padoms un reiziniet visu ar mīnus viens . Izrādās x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Saskaņā ar ceturto formulu jums jāaprēķina diskriminants: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Tas ir pozitīvs skaitlis. No iepriekš teiktā izrādās, ka vienādojumam ir divas saknes. Tie jāaprēķina pēc piektās formulas. Saskaņā ar to izrādās, ka x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Tad x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Ceturtais vienādojums x 2 + 8 + 3x \u003d 0 tiek pārveidots par šādu: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Tā diskriminants ir vienāds ar šo vērtību: -23. Tā kā šis skaitlis ir negatīvs, atbilde uz šo uzdevumu būs šāds ieraksts: "Nav sakņu."

Piektais vienādojums 12x + x 2 + 36 = 0 jāpārraksta šādi: x 2 + 12x + 36 = 0. Pēc diskriminanta formulas piemērošanas iegūst skaitli nulle. Tas nozīmē, ka tam būs viena sakne, proti: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Sestais vienādojums (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) prasa transformācijas, kas sastāv no tā, ka pirms iekavu atvēršanas ir jāienes līdzīgi termini. Pirmā vietā būs šāda izteiksme: x 2 + 2x + 1. Pēc vienādības parādīsies šāds ieraksts: x 2 + 3x + 2. Pēc līdzīgu vārdu saskaitīšanas vienādojums būs šādā formā: x 2 - x \u003d 0. Tas ir kļuvis nepilnīgs . Līdzīgs tam jau ir uzskatīts par nedaudz augstāku. Tā saknes būs skaitļi 0 un 1.

Mūsdienu sabiedrībā spēja darboties ar vienādojumiem, kas satur mainīgo kvadrātā, var būt noderīga daudzās darbības jomās un tiek plaši izmantota praksē zinātnes un tehnikas attīstībā. Par to var liecināt jūras un upju kuģu, lidmašīnu un raķešu konstrukcija. Ar šādu aprēķinu palīdzību tiek noteiktas dažādu ķermeņu, arī kosmosa objektu, kustības trajektorijas. Piemēri ar kvadrātvienādojumu atrisināšanu tiek izmantoti ne tikai ekonomikas prognozēšanā, ēku projektēšanā un būvniecībā, bet arī visparastākajos ikdienas apstākļos. Tie var būt nepieciešami kempingos, sporta pasākumos, veikalos iepērkoties un citās ļoti izplatītās situācijās.

Sadalīsim izteiksmi komponentfaktoros

Vienādojuma pakāpi nosaka mainīgā lieluma pakāpes maksimālā vērtība, ko satur dotā izteiksme. Ja tas ir vienāds ar 2, tad šādu vienādojumu sauc par kvadrātvienādojumu.

Ja runājam formulu valodā, tad šos izteicienus, lai arī kā tie izskatītos, vienmēr var novest līdz formai, kad izteiksmes kreisā puse sastāv no trim terminiem. Starp tiem: ax 2 (tas ir, mainīgais kvadrātā ar tā koeficientu), bx (nezināmais bez kvadrāta ar tā koeficientu) un c (brīvā sastāvdaļa, tas ir, parasts skaitlis). Tas viss labajā pusē ir vienāds ar 0. Gadījumā, ja šādam polinomam nav neviena tā sastāvdaļa, izņemot asis 2, to sauc par nepilnu kvadrātvienādojumu. Vispirms jāapsver piemēri ar tādu uzdevumu risinājumu, kuros nav grūti atrast mainīgo lielumu vērtību.

Ja izteiksme izskatās tā, ka izteiksmes labajā pusē ir divi termini, precīzāk ax 2 un bx, visvieglāk ir atrast x, ieliekot mainīgo iekavās. Tagad mūsu vienādojums izskatīsies šādi: x(ax+b). Turklāt kļūst skaidrs, ka vai nu x=0, vai arī uzdevums tiek reducēts uz mainīgā atrašanu no šādas izteiksmes: ax+b=0. To nosaka viena no reizināšanas īpašībām. Noteikums saka, ka divu faktoru reizinājums ir 0 tikai tad, ja viens no tiem ir nulle.

Piemērs

x=0 vai 8x - 3 = 0

Rezultātā mēs iegūstam divas vienādojuma saknes: 0 un 0,375.

Šāda veida vienādojumi var aprakstīt ķermeņu kustību gravitācijas ietekmē, kas sāka kustēties no noteikta punkta, kas tiek uzskatīts par izcelsmi. Šeit matemātiskais apzīmējums iegūst šādu formu: y = v 0 t + gt 2 /2. Aizvietojot nepieciešamās vērtības, pielīdzinot labo pusi ar 0 un atrodot iespējamos nezināmos, jūs varat uzzināt laiku, kas pagājis no brīža, kad ķermenis paceļas, līdz brīdim, kad tas nokrīt, kā arī daudzus citus lielumus. Bet par to mēs runāsim vēlāk.

Izteiksmes faktorēšana

Iepriekš aprakstītais noteikums ļauj atrisināt šīs problēmas sarežģītākos gadījumos. Apsveriet piemērus ar šāda veida kvadrātvienādojumu atrisināšanu.

X2 — 33x + 200 = 0

Šis kvadrātveida trinomāls ir pabeigts. Pirmkārt, mēs pārveidojam izteiksmi un sadalām to faktoros. Ir divi no tiem: (x-8) un (x-25) = 0. Rezultātā mums ir divas saknes 8 un 25.

Piemēri ar kvadrātvienādojumu atrisināšanu 9. klasē ļauj šai metodei atrast mainīgo ne tikai otrās, bet pat trešās un ceturtās kārtas izteiksmēs.

Piemēram: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Faktorējot labo pusi faktoros ar mainīgo, tie ir trīs, tas ir, (x + 1), (x-3) un (x + 3).

Rezultātā kļūst skaidrs, ka šim vienādojumam ir trīs saknes: -3; - viens; 3.

Kvadrātsaknes izvilkšana

Vēl viens nepilnīga otrās kārtas vienādojuma gadījums ir izteiksme, kas uzrakstīta burtu valodā tā, ka labā puse ir uzbūvēta no komponentēm ax 2 un c. Šeit, lai iegūtu mainīgā lieluma vērtību, brīvais termins tiek pārnests uz labo pusi un pēc tam tiek iegūta kvadrātsakne no abām vienādības pusēm. Jāņem vērā, ka šajā gadījumā parasti ir divas vienādojuma saknes. Vienīgie izņēmumi ir vienādības, kas vispār nesatur terminu c, kur mainīgais ir vienāds ar nulli, kā arī izteiksmju varianti, kad labā puse izrādās negatīva. Pēdējā gadījumā risinājumu vispār nav, jo iepriekš minētās darbības nevar veikt ar saknēm. Jāapsver šāda veida kvadrātvienādojumu risinājumu piemēri.

Šajā gadījumā vienādojuma saknes būs skaitļi -4 un 4.

Zemes platības aprēķins

Nepieciešamība pēc šāda veida aprēķiniem parādījās senatnē, jo matemātikas attīstību tajos tālajos laikos lielā mērā noteica nepieciešamība ar vislielāko precizitāti noteikt zemes gabalu platības un perimetrus.

Jāapsver arī piemēri ar kvadrātvienādojumu atrisināšanu, kas sastādīti, pamatojoties uz šāda veida problēmām.

Tātad, pieņemsim, ka ir taisnstūrveida zemes gabals, kura garums ir par 16 metriem vairāk nekā platums. Ja ir zināms, ka tās platība ir 612 m 2, jums vajadzētu uzzināt vietnes garumu, platumu un perimetru.

Pievēršoties biznesam, vispirms mēs izveidosim nepieciešamo vienādojumu. Apzīmēsim posma platumu kā x, tad tā garums būs (x + 16). No rakstītā izriet, ka laukumu nosaka izteiksme x (x + 16), kas saskaņā ar mūsu uzdevuma nosacījumu ir 612. Tas nozīmē, ka x (x + 16) \u003d 612.

Pilnīgu kvadrātvienādojumu risinājumu, un šī izteiksme ir tieši tāda, nevar izdarīt tādā pašā veidā. Kāpēc? Lai gan tā kreisajā pusē joprojām ir divi faktori, to reizinājums nemaz nav 0, tāpēc šeit tiek izmantotas citas metodes.

Diskriminējošais

Vispirms veiksim nepieciešamās transformācijas, tad šīs izteiksmes izskats izskatīsies šādi: x 2 + 16x - 612 = 0. Tas nozīmē, ka esam saņēmuši izteiksmi iepriekš norādītajam standartam atbilstošā formā, kur a=1, b=16, c= -612.

Tas var būt piemērs kvadrātvienādojumu atrisināšanai, izmantojot diskriminantu. Šeit nepieciešamie aprēķini tiek veikti saskaņā ar shēmu: D = b 2 - 4ac. Šī palīgvērtība ne tikai ļauj atrast vajadzīgās vērtības otrās kārtas vienādojumā, bet arī nosaka iespējamo opciju skaitu. Gadījumā, ja D>0, tie ir divi; D=0 ir viena sakne. Gadījumā, ja D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Par saknēm un to formulu

Mūsu gadījumā diskriminants ir: 256 - 4(-612) = 2704. Tas norāda, ka mūsu problēmai ir atbilde. Ja zināt, kvadrātvienādojumu risināšana ir jāturpina, izmantojot tālāk norādīto formulu. Tas ļauj aprēķināt saknes.

Tas nozīmē, ka uzrādītajā gadījumā: x 1 =18, x 2 =-34. Otrais variants šajā dilemmā nevar būt risinājums, jo zemes gabala lielums nav mērāms negatīvās vērtībās, kas nozīmē, ka x (tas ir, zemes gabala platums) ir 18 m. No šejienes mēs aprēķinām garumu: 18+16=34, un perimetrs 2(34+18) = 104 (m 2).

Piemēri un uzdevumi

Turpinām kvadrātvienādojumu izpēti. Tālāk tiks sniegti vairāku no tiem piemēri un detalizēts risinājums.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Pārliksim visu uz vienlīdzības kreiso pusi, veiksim transformāciju, tas ir, iegūstam vienādojuma formu, ko parasti sauc par standarta, un pielīdzināsim nullei.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Pievienojot līdzīgus, mēs nosakām diskriminantu: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Tātad mūsu vienādojumam būs divas saknes. Mēs tos aprēķinām pēc iepriekš minētās formulas, kas nozīmē, ka pirmais no tiem būs vienāds ar 4/3, bet otrais ar 1.

2) Tagad mēs atklāsim cita veida mīklas.

Noskaidrosim, vai šeit vispār ir saknes x 2 - 4x + 5 = 1? Lai iegūtu izsmeļošu atbildi, mēs ievietojam polinomu atbilstošā pazīstamajā formā un aprēķinām diskriminantu. Šajā piemērā kvadrātvienādojums nav jāatrisina, jo problēmas būtība nepavisam nav tajā. Šajā gadījumā D \u003d 16 - 20 \u003d -4, kas nozīmē, ka tiešām nav sakņu.

Vietas teorēma

Kvadrātvienādojumus ir ērti atrisināt, izmantojot iepriekš minētās formulas un diskriminantu, kad kvadrātsakne tiek iegūta no pēdējās vērtības. Bet tas ne vienmēr notiek. Tomēr šajā gadījumā ir daudz veidu, kā iegūt mainīgo lielumu vērtības. Piemērs: kvadrātvienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu. Tas ir nosaukts vīrieša vārdā, kurš dzīvoja 16. gadsimta Francijā un kuram bija spoža karjera, pateicoties viņa matemātiskajam talantam un sakariem galmā. Viņa portretu var redzēt rakstā.

Modelis, ko slavenais francūzis pamanīja, bija šāds. Viņš pierādīja, ka vienādojuma sakņu summa ir vienāda ar -p=b/a, un to reizinājums atbilst q=c/a.

Tagad apskatīsim konkrētus uzdevumus.

3x2 + 21x - 54 = 0

Vienkāršības labad pārveidosim izteiksmi:

x 2 + 7x - 18 = 0

Izmantojot Vieta teorēmu, tas mums iegūs sekojošo: sakņu summa ir -7, un to reizinājums ir -18. No šejienes mēs iegūstam, ka vienādojuma saknes ir skaitļi -9 un 2. Pēc pārbaudes mēs pārliecināsimies, vai šīs mainīgo vērtības patiešām iekļaujas izteiksmē.

Parabolas grafiks un vienādojums

Kvadrātfunkcijas un kvadrātvienādojumu jēdzieni ir cieši saistīti. Piemēri tam jau ir sniegti iepriekš. Tagad apskatīsim dažas matemātiskās mīklas nedaudz sīkāk. Jebkuru aprakstītā tipa vienādojumu var attēlot vizuāli. Šādu atkarību, kas novilkta grafa formā, sauc par parabolu. Tās dažādie veidi ir parādīti zemāk esošajā attēlā.

Jebkurai parabolai ir virsotne, tas ir, punkts, no kura iziet tās zari. Ja a>0, tie sasniedz augstumu līdz bezgalībai, un, kad a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Funkciju vizuālie attēlojumi palīdz atrisināt jebkurus vienādojumus, tostarp kvadrātiskos. Šo metodi sauc par grafiku. Un mainīgā x vērtība ir abscisu koordinātas punktos, kur grafika līnija krustojas ar 0x. Virsotnes koordinātas var atrast pēc tikko dotās formulas x 0 = -b / 2a. Un, aizvietojot iegūto vērtību sākotnējā funkcijas vienādojumā, jūs varat uzzināt y 0, tas ir, parabolas virsotnes otro koordinātu, kas pieder y asij.

Parabolas zaru krustpunkts ar abscisu asi

Ir daudz piemēru ar kvadrātvienādojumu atrisināšanu, taču ir arī vispārīgi modeļi. Apsvērsim tos. Ir skaidrs, ka grafika krustošanās ar 0x asi pie a>0 ir iespējama tikai tad, ja y 0 ir negatīvas vērtības. Un par a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Citādi D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

No parabolas grafika var noteikt arī saknes. Arī otrādi ir taisnība. Tas ir, ja nav viegli iegūt kvadrātiskās funkcijas vizuālu attēlojumu, izteiksmes labo pusi varat pielīdzināt 0 un atrisināt iegūto vienādojumu. Un, zinot krustošanās punktus ar 0x asi, ir vieglāk uzzīmēt.

No vēstures

Ar vienādojumu palīdzību, kas satur kvadrātveida mainīgo, senos laikos ne tikai veica matemātiskus aprēķinus un noteica ģeometrisko formu laukumu. Senajiem ļaudīm šādi aprēķini bija nepieciešami grandioziem atklājumiem fizikas un astronomijas jomā, kā arī astroloģisko prognožu veidošanai.

Kā norāda mūsdienu zinātnieki, Babilonas iedzīvotāji bija vieni no pirmajiem, kas atrisināja kvadrātvienādojumus. Tas notika četrus gadsimtus pirms mūsu ēras parādīšanās. Protams, viņu aprēķini būtiski atšķīrās no pašlaik pieņemtajiem un izrādījās daudz primitīvāki. Piemēram, Mezopotāmijas matemātiķiem nebija ne jausmas par negatīvu skaitļu esamību. Viņiem nebija pazīstami arī citi to smalkumi, kas zināmi jebkuram mūsu laika studentam.

Iespējams, pat agrāk nekā Babilonas zinātnieki, Indijas gudrais Bodhajama ķērās pie kvadrātvienādojumu atrisināšanas. Tas notika apmēram astoņus gadsimtus pirms Kristus laikmeta parādīšanās. Tiesa, otrās kārtas vienādojumi, viņa sniegtās risināšanas metodes, bija visvienkāršākie. Bez viņa senatnē par līdzīgiem jautājumiem interesēja arī ķīniešu matemātiķi. Eiropā kvadrātvienādojumus sāka risināt tikai 13. gadsimta sākumā, bet vēlāk tos savos darbos izmantoja tādi izcili zinātnieki kā Ņūtons, Dekarts un daudzi citi.