Kvadrātfunkcijas risinājuma piemēri 9. Kvadrātfunkcija un tās grafiks

Svarīgas piezīmes!
1. Ja formulu vietā redzat abrakadabra, iztīriet kešatmiņu. Šeit ir rakstīts, kā to izdarīt savā pārlūkprogrammā:
2. Pirms sākat lasīt rakstu, pievērsiet uzmanību mūsu navigatoram noderīgs resurss priekš

Lai saprastu, kas šeit tiks rakstīts, jums labi jāzina, kas ir kvadrātfunkcija un ar ko tā tiek ēsta. Ja uzskatāt sevi par profesionāli kvadrātfunkcijās, laipni lūdzam. Bet, ja nē, jums vajadzētu izlasīt pavedienu.

Sāksim ar mazu pārbaudes:

Kā kvadrātiskā funkcija izskatās vispārīgā formā (formulā)?
Kāds ir diagrammas nosaukums kvadrātiskā funkcija?
Kā vadošais koeficients ietekmē kvadrātfunkcijas grafiku?

Ja varat uzreiz atbildēt uz šiem jautājumiem, turpiniet lasīt. Ja vismaz viens jautājums radīja grūtības, dodieties uz.

Tātad, jūs jau zināt, kā rīkoties ar kvadrātfunkciju, analizēt tās grafiku un izveidot grafiku pēc punktiem.

Nu lūk: .

Īsi apskatīsim, ko viņi dara. izredzes.

Vecākais koeficients ir atbildīgs par parabolas “stāvumu” jeb, citiem vārdiem sakot, par tās platumu: jo lielāka, jo šaurāka (stāvāka) parabola, un jo mazāka, jo platāka (plakanāka) parabola.
Brīvais termins ir parabolas krustpunkta koordināte ar y asi.
Un koeficients kaut kādā veidā ir atbildīgs par parabolas nobīdi no koordinātu centra. Šeit ir vairāk par to tagad.

Kāpēc mēs vienmēr sākam būvēt parabolu? Kāds ir viņas atšķirības punkts?

Šis virsotne. Un kā atrast virsotnes koordinātas, atceries?

Abscisa tiek meklēta pēc šādas formulas:

Piemēram: ko vairāk, tēmas pa kreisi parabolas augšdaļa kustās.

Virsotnes ordinātu var atrast, aizvietojot ar funkciju:

Aizstāj sevi un skaita. Kas notika?

Ja darāt visu pareizi un pēc iespējas vienkāršojat iegūto izteiksmi, jūs iegūsit:

Izrādās, ka jo vairāk modulo, tēmas virs gribu virsotne parabolas.

Visbeidzot, pāriesim pie plānošanas.
Vienkāršākais veids ir izveidot parabolu, sākot no augšas.

Piemērs:

Uzzīmējiet funkciju.

Risinājums:

Vispirms definēsim koeficientus: .

Tagad aprēķināsim virsotņu koordinātas:

Un tagad atcerieties: visas parabolas ar vienādu vadošo koeficientu izskatās vienādi. Tātad, ja mēs izveidojam parabolu un pārvietojam tās virsotni uz punktu, mēs iegūstam vajadzīgo grafiku:

Vienkārši, vai ne?

Atliek tikai viens jautājums: kā ātri uzzīmēt parabolu? Pat ja mēs uzzīmējam parabolu ar virsotni sākumā, mums tā joprojām ir jāveido punkts punktā, kas ir garš un neērti. Bet visas parabolas izskatās vienādi, varbūt ir kāds veids, kā paātrināt to zīmēšanu?

Kad es mācījos skolā, mana matemātikas skolotāja lika visiem izgriezt no kartona parabolas formas trafaretu, lai viņi varētu to ātri uzzīmēt. Bet jūs nevarēsit visur staigāt ar trafaretu, un viņi to nedrīkstēs ņemt līdzi uz eksāmenu. Tātad mēs neizmantosim svešķermeņus, bet meklēsim modeli.

Apsveriet vienkāršāko parabolu. Veidosim to pēc punktiem:

Noteikums šeit ir šāds. Ja mēs virzāmies no augšas uz labo (pa asi) uz un uz augšu (pa asi) uz, tad mēs nonāksim parabolas punktā. Tālāk: ja no šī punkta virzīsimies pa labi un uz augšu, mēs atkal nonāksim parabolas punktā. Nākamais: tieši uz un uz augšu. Ko tālāk? Tieši uz un uz augšu. Un tā tālāk: pārejiet pa labi un uz nākamo nepāra skaitlis uz augšu. Tad mēs darām to pašu ar kreiso zaru (galu galā parabola ir simetriska, tas ir, tās zari izskatās vienādi):

Lieliski, tas palīdzēs izveidot jebkuru parabolu no virsotnes ar augstāko koeficientu, kas vienāds ar. Piemēram, mēs esam iemācījušies, ka parabolas virsotne atrodas punktā. Konstruējiet (patstāvīgi, uz papīra) šo parabolu.

Uzcelta?

Tam vajadzētu izrādīties šādi:

Tagad mēs savienojam iegūtos punktus:

Tas ir viss.

Labi, tagad būvē tikai parabolas ar?

Protams, nē. Tagad izdomāsim, ko ar tiem darīt, ja.

Apskatīsim dažus tipiskus gadījumus.

Lieliski, mēs iemācījāmies uzzīmēt parabolu, tagad praktizēsimies ar reālām funkcijām.

Tātad, uzzīmējiet šādu funkciju grafikus:

Atbildes:

3. Augšpusē: .

Vai atceries, kā rīkoties, ja seniora koeficients ir mazāks?

Mēs skatāmies uz daļskaitļa saucēju: tas ir vienāds. Tātad mēs virzīsimies šādi:

pa labi - uz augšu
pa labi - uz augšu
pa labi - uz augšu

un arī pa kreisi:

4. Augšpusē: .

Ak, ko ar to darīt? Kā izmērīt šūnas, ja virsotne atrodas kaut kur starp līnijām?

Un mēs krāpjamies. Vispirms uzzīmēsim parabolu un tikai tad pārvietosim tās virsotni uz punktu. Pat ne, darīsim to vēl sarežģītāk: uzzīmēsim parabolu un tad pārvietot asis:- uz uz leju, a - ieslēgts taisnība:

Šis paņēmiens ir ļoti ērts jebkuras parabolas gadījumā, atcerieties to.

Atgādināšu, ka funkciju varam attēlot šādā formā:

Piemēram: .

Ko tas mums dod?

Fakts ir tāds, ka skaitlis, kas tiek atņemts no iekavās (), ir parabolas virsotnes abscisa, un termins ārpus iekavām () ir virsotnes ordināta.

Tas nozīmē, ka, uzbūvējot parabolu, jums vienkārši ir nepieciešams pārvietojiet asi pa kreisi un asi uz leju.

Piemērs: uzzīmēsim funkcijas grafiku.

Atlasīsim pilnu kvadrātu:

Kāds numurs atņemts no iekavās? Tas (un nevis tas, kā jūs varat izlemt nedomājot).

Tātad, mēs veidojam parabolu:

Tagad mēs pārvietojam asi uz leju, tas ir, uz augšu:

Un tagad - pa kreisi, tas ir, pa labi:

Tas ir viss. Tas ir tas pats, kas pārvietot parabolu ar tās virsotni no sākuma uz punktu, tikai taisno asi ir daudz vieglāk pārvietot nekā greizu parabolu.

Tagad, kā parasti, es:

Un neaizmirstiet izdzēst vecās asis ar dzēšgumiju!

Es esmu kā atbildes pārbaudei es jums uzrakstīšu šo parabolu virsotņu ordinātas:

Vai viss derēja?

Ja jā, tad tu esi lielisks! Zināt, kā rīkoties ar parabolu, ir ļoti svarīgi un noderīgi, un šeit mēs esam atklājuši, ka tas nemaz nav grūti.

KVADRĀTISKĀS FUNKCIJAS GRAFĒŠANA. ĪSUMĀ PAR GALVENO

kvadrātiskā funkcija ir formas funkcija, kur un ir jebkuri skaitļi (koeficienti), ir brīvloceklis.

Kvadrātfunkcijas grafiks ir parabola.

Parabolas augšdaļa:
, t.i. jo lielāks \displaystyle b , jo pa kreisi kustas parabolas augšdaļa.
Aizstājiet funkciju un iegūstiet:
, t.i. jo lielāks \displaystyle b modulo , jo augstāka būs parabolas augšdaļa

Brīvais termins ir parabolas krustpunkta koordināte ar y asi.

Nu tēma beigusies. Ja tu lasi šīs rindas, tad tu esi ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un ja esi izlasījis līdz galam, tad esi 5% robežās!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat izdomājis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, tas ir ... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Par ko?

Par veiksmīgu nokārtojot eksāmenu, par uzņemšanu institūtā par budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri saņēma laba izglītība, nopelna daudz vairāk nekā tie, kuri to nesaņēma. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, ka viņi ir LAIMĪGĀK (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? Nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai pārliecinātos, ka eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

PIEPILDĪT ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmenā jums netiks jautāta teorija.

Jums būs nepieciešams atrisināt problēmas laikā.

Un, ja neesi tos atrisinājis (DAUDZ!), tad noteikti kaut kur pieļausi stulbu kļūdu vai vienkārši nepieļausi laikus.

Tas ir kā sportā – vajag vairākas reizes atkārtot, lai noteikti uzvarētu.

Atrodiet kolekciju jebkurā vietā obligāti ar risinājumiem detalizēta analīze un izlem, izlem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (nav nepieciešams), un mēs tos noteikti iesakām.

Lai izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt tās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku, kuru pašlaik lasāt.

Kā? Ir divas iespējas:

Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem šajā rakstā -
Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 apmācības rakstos - Pērciet mācību grāmatu - 499 rubļi

Jā, mums mācību grāmatā ir 99 šādi raksti un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta visu vietnes darbības laiku.

Noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties ar teoriju.

“Sapratu” un “Es zinu, kā atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini!

Ikviens zina, kas ir parabola. Bet kā to pareizi izmantot, kompetenti risinot dažādas praktiskas problēmas, mēs sapratīsim tālāk.

Pirmkārt, apzīmēsim pamatjēdzienus, ko algebra un ģeometrija piešķir šim terminam. Apsveriet visu iespējamie veidišī diagramma.

Mēs apgūstam visas šīs funkcijas galvenās īpašības. Izpratīsim līknes (ģeometrijas) konstruēšanas pamatus. Uzzināsim, kā atrast augšējo, citas šāda veida diagrammas pamatvērtības.

Noskaidrosim: kā atbilstoši vienādojumam pareizi sastādīta vajadzīgā līkne, kam jāpievērš uzmanība. Apskatīsim galveno praktiska izmantošanašī unikālā vērtība cilvēka dzīvē.

Kas ir parabola un kā tā izskatās

Algebra: šis termins attiecas uz kvadrātiskās funkcijas grafiku.

Ģeometrija: šī ir otrās kārtas līkne, kurai ir vairākas īpašas iezīmes:

Kanoniskais parabolas vienādojums

Attēlā parādīta taisnstūra koordinātu sistēma (XOY), ekstrēma, funkcijas virziens, kas zīmē zarus pa abscisu asi.

Kanoniskais vienādojums ir:

y 2 \u003d 2 * p * x,

kur koeficients p ir parabolas (AF) fokusa parametrs.

Algebrā tas tiek rakstīts savādāk:

y = a x 2 + b x + c (atpazīstams modelis: y = x 2).

Kvadrātfunkcijas īpašības un grafiks

Funkcijai ir simetrijas ass un centrs (ekstrēmums). Definīcijas domēns ir visas x ass vērtības.

Funkcijas vērtību diapazons - (-∞, M) vai (M, +∞) ir atkarīgs no līknes zaru virziena. Parametrs M šeit nozīmē funkcijas vērtību rindas augšpusē.

Kā noteikt, kur ir vērsti parabolas zari

Lai pēc izteiksmes atrastu šāda veida līknes virzienu, pirmā parametra priekšā jānorāda zīme algebriskā izteiksme. Ja a ˃ 0, tad tie ir vērsti uz augšu. Pretējā gadījumā uz leju.

Kā atrast parabolas virsotni, izmantojot formulu

Ekstrēma atrašana ir galvenais solis daudzu praktisku problēmu risināšanā. Protams, jūs varat atvērt īpašu tiešsaistes kalkulatori bet labāk to izdarīt pašam.

Kā to definēt? Ir īpaša formula. Ja b nav vienāds ar 0, mums ir jāmeklē šī punkta koordinātas.

Formulas topu atrašanai:

x 0 \u003d -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Piemērs.

Ir funkcija y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Atradīsim šīs funkcijas virsotnes.

Šādai līnijai:

x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Mēs iegūstam virsotnes koordinātas (-2, -41).

Parabolas nobīde

Klasiskais gadījums ir, kad kvadrātfunkcijā y = a x 2 + b x + c otrais un trešais parametrs ir 0, un = 1 - virsotne atrodas punktā (0; 0).

Kustība pa abscisu vai ordinātu asīm ir saistīta ar attiecīgi parametru b un c izmaiņām. Līnijas nobīde plaknē tiks veikta tieši ar vienību skaitu, kas ir vienāds ar parametra vērtību.

Piemērs.

Mums ir: b = 2, c = 3.

Tas nozīmē, ka klasiskais līknes skats pa abscisu asi nobīdīsies par 2 vienībām un pa ordinātu asi par 3.

Kā izveidot parabolu, izmantojot kvadrātvienādojumu

Skolēniem ir svarīgi iemācīties pareizi uzzīmēt parabolu atbilstoši dotajiem parametriem.

Analizējot izteiksmes un vienādojumus, varat redzēt:

Vēlamās taisnes krustpunktam ar ordinātu vektoru būs vērtība, kas vienāda ar c.
Visi grafika punkti (gar x asi) būs simetriski attiecībā pret funkcijas galveno galējību.

Turklāt krustojumus ar OX var atrast, zinot šādas funkcijas diskriminantu (D):

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Lai to izdarītu, izteiksme ir jāpielīdzina nullei.

Parabolas sakņu klātbūtne ir atkarīga no rezultāta:

D ˃ 0, tad x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D \u003d 0, tad x 1, 2 = -b / (2 * a);
D ˂ 0, tad nav krustošanās punktu ar vektoru OX.

Mēs iegūstam parabolas konstruēšanas algoritmu:

noteikt zaru virzienu;
atrast virsotnes koordinātas;
atrast krustpunktu ar y asi;
atrodiet krustojumu ar x asi.

1. piemērs

Dota funkcija y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Ir nepieciešams izveidot parabolu. Mēs rīkojamies pēc algoritma:

a \u003d 1, tāpēc zari ir vērsti uz augšu;
galējās koordinātas: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
krustojas ar y asi pie vērtības y = 4;
atrodi diskriminantu: D = 25 - 16 = 9;
meklē saknes

X 1 \u003d (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (10).

2. piemērs

Funkcijai y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1, jums ir jāveido parabola. Mēs rīkojamies saskaņā ar iepriekš minēto algoritmu:

a \u003d 3, tāpēc zari ir vērsti uz augšu;
galējās koordinātas: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
ar y asi krustosies ar vērtību y \u003d -1;
atrodiet diskriminantu: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Tātad saknes:

X 1 \u003d (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

No iegūtajiem punktiem var uzbūvēt parabolu.

Virziens, ekscentriskums, parabolas fokuss

Pamatojoties uz kanonisko vienādojumu, fokusam F ir koordinātas (p/2, 0).

Taisnā līnija AB ir virziens (noteikta garuma parabolas akords). Viņas vienādojums ir x = -p/2.

Ekscentriskums (konstante) = 1.

Secinājums

Mēs izskatījām tēmu, kurā studenti mācās vidusskola. Tagad, aplūkojot parabolas kvadrātfunkciju, jūs zināt, kā atrast tās virsotni, kurā virzienā tiks virzīti zari, vai ir nobīde gar asīm, un, izmantojot konstruēšanas algoritmu, varat uzzīmēt tās grafiku.