Kas zina pilnu skaitli pi. Pi vērtības aprēķināšana

Apļa apkārtmēra attiecība pret tā diametru visiem apļiem ir vienāda. Šo attiecību parasti apzīmē ar grieķu burtu (“pi” - grieķu vārda sākuma burts , kas nozīmēja “aplis”).

Arhimēds savā darbā “Apļa mērīšana” aprēķināja apkārtmēra attiecību pret diametru (skaitli) un konstatēja, ka tā ir no 3 10/71 līdz 3 1/7.

Ilgu laiku kā aptuvens lielums tika izmantots skaitlis 22/7, lai gan jau 5. gadsimtā Ķīnā tika atrasts tuvinājums 355/113 = 3,1415929..., kas Eiropā no jauna tika atklāts tikai 16. gadsimtā.

Senajā Indijā tas tika uzskatīts par vienādu ar = 3,1622….

Franču matemātiķis F. Vjete 1579. gadā aprēķināja ar 9 cipariem.

Holandiešu matemātiķis Ludolfs Van Zeijlens 1596. gadā publicēja sava desmit gadu darba rezultātu – skaitli, kas aprēķināts ar 32 cipariem.

Bet visi šie skaitļa nozīmes skaidrojumi tika veikti, izmantojot Arhimēda norādītās metodes: aplis tika aizstāts ar daudzstūri ar arvien lielāku malu skaitu. Ierakstītā daudzstūra perimetrs bija mazāks par apļa apkārtmēru, un norobežotā daudzstūra perimetrs bija lielāks. Bet tajā pašā laikā palika neskaidrs, vai skaitlis bija racionāls, tas ir, divu veselu skaitļu attiecība, vai iracionāls.

Tikai 1767. gadā vācu matemātiķis I.G. Lamberts pierādīja, ka skaitlis ir neracionāls.

Un vairāk nekā simts gadus vēlāk, 1882. gadā, cits vācu matemātiķis F. Lindemans pierādīja savu transcendenci, kas nozīmēja neiespējamību, izmantojot kompasu un lineālu, izveidot kvadrātu, kura izmērs būtu vienāds ar doto apli.

Vienkāršākais mērījums

Uz bieza kartona uzzīmējiet apli ar diametru d(=15 cm), izgrieziet iegūto apli un aptiniet to ar plānu pavedienu. Garuma mērīšana l(=46,5 cm) vienu pilnu vītnes apgriezienu, sadaliet l uz diametra garumu d aprindās. Iegūtais koeficients būs aptuvenā skaitļa vērtība, t.i. = l/ d= 46,5 cm / 15 cm = 3,1. Šī diezgan neapstrādātā metode normālos apstākļos dod aptuvenu skaitļa vērtību ar precizitāti līdz 1.

Mērīšana ar svēršanu

Uz kartona loksnes uzzīmējiet kvadrātu. Ierakstīsim tajā apli. Izgriezīsim kvadrātu. Izmantojot skolas svarus, noteiksim kartona kvadrāta masu. Izgriezīsim no kvadrāta apli. Nosvērsim arī viņu. Zinot laukuma masas m kv. (=10 g) un tajā ierakstītais aplis m kr (=7,8 g) izmantosim formulas

kur p un h- attiecīgi kartona blīvums un biezums, S- figūras laukums. Apskatīsim vienādības:

Protams, šajā gadījumā aptuvenā vērtība ir atkarīga no svēršanas precizitātes. Ja sveramās kartona figūras ir diezgan lielas, tad pat uz parastajiem svariem ir iespējams iegūt tādas masas vērtības, kas nodrošinās skaitļa tuvināšanu ar precizitāti 0,1.

Puslokā ierakstīto taisnstūru laukumu summēšana

1. attēls

Ļaujiet A (a; 0), B (b; 0). Aprakstīsim pusloku uz AB kā diametru. Nogriezni AB sadala n vienādās daļās ar punktiem x 1, x 2, ..., x n-1 un atjauno no tiem perpendikulus līdz krustojumam ar pusloku. Katra šāda perpendikula garums ir funkcijas f(x)= vērtība. No 1. attēla ir skaidrs, ka pusloka laukumu S var aprēķināt, izmantojot formulu

S = (b – a) ((f(x 0) + f(x 1) + … + f(x n-1)) / n.

Mūsu gadījumā b=1, a=-1. Tad = 2 S.

Jo vairāk dalījuma punktu ir segmentā AB, jo precīzākas būs vērtības. Lai atvieglotu monotonu skaitļošanas darbu, palīdzēs dators, kuram zemāk ir dota 1. programma, kas apkopota BASIC.

1. programma

REM "Pi aprēķins"
REM "taisnstūra metode"
IEVADE "Ievadiet taisnstūru skaitu", n
dx = 1/n
PAR i = 0 LĪDZ n - 1
f = SQR(1-x^2)
x = x + dx
a = a + f
TĀLĀK i
p = 4 * dx * a
PRINT "Pi vērtība ir ", lpp
BEIGAS

Programma tika drukāta un palaista ar dažādām parametru vērtībām n. Iegūtās skaitļu vērtības ir ierakstītas tabulā:

Montekarlo metode

Šī faktiski ir statistiskās pārbaudes metode. Savu eksotisko nosaukumu tas ieguvis no Montekarlo pilsētas Monako Firstistē, kas slavena ar saviem azartspēļu namiem. Fakts ir tāds, ka metode prasa izmantot nejaušus skaitļus, un viena no vienkāršākajām ierīcēm, kas ģenerē nejaušus skaitļus, ir rulete. Tomēr jūs varat iegūt nejaušus skaitļus, izmantojot ... lietus.

Eksperimentam sagatavosim kartona gabalu, uzzīmēsim uz tā kvadrātu un kvadrātā ierakstīsim ceturtdaļu apļa. Ja šāds zīmējums kādu laiku tiek turēts lietū, tad uz tā virsmas paliks pilienu pēdas. Saskaitīsim celiņu skaitu kvadrātā un ceturkšņa apļa iekšpusē. Acīmredzot to attiecība būs aptuveni vienāda ar šo figūru laukumu attiecību, jo pilieni ar vienādu varbūtību nokritīs dažādās zīmējuma vietās. Ļaujiet N kr- pilienu skaits aplī, N kv. ir pilienu skaits kvadrātā, tad

4 n kr/N kv.

2. attēls

Lietus var aizstāt ar nejaušu skaitļu tabulu, kas tiek sastādīta, izmantojot datoru, izmantojot īpašu programmu. Katrai piliena pēdai piešķirsim divus nejaušus skaitļus, kas raksturo tā novietojumu gar asīm Ak Un OU. Nejaušus skaitļus no tabulas var atlasīt jebkurā secībā, piemēram, pēc kārtas. Ļaujiet pirmajam četrciparu skaitlim tabulā 3265 . No tā jūs varat sagatavot skaitļu pāri, no kuriem katrs ir lielāks par nulli un mazāks par vienu: x=0,32, y=0,65. Šos skaitļus uzskatīsim par kritiena koordinātām, t.i., šķiet, ka kritums ir trāpījis punktā (0,32; 0,65). Mēs darām to pašu ar visiem atlasītajiem nejaušajiem skaitļiem. Ja izrādās, ka par lietu (x;y) Ja nevienlīdzība ir spēkā, tad tā atrodas ārpus apļa. Ja x + y = 1, tad punkts atrodas apļa iekšpusē.

Lai aprēķinātu vērtību, mēs atkal izmantojam formulu (1). Aprēķinu kļūda, izmantojot šo metodi, parasti ir proporcionāla , kur D ir konstante un N ir testu skaits. Mūsu gadījumā N = N kv. No šīs formulas ir skaidrs: lai kļūdu samazinātu 10 reizes (citiem vārdiem sakot, lai atbildē iegūtu vēl vienu pareizu decimāldaļu), jums jāpalielina N, t.i., darba apjoms 100 reizes. Ir skaidrs, ka Montekarlo metodes izmantošana bija iespējama, tikai pateicoties datoriem. Programma 2 realizē aprakstīto metodi datorā.

2. programma

REM "Pi aprēķins"
REM "Montekarlo metode"
IEVADE "Ievadiet pilienu skaitu", n
m = 0
FOR i = 1 LĪDZ n
t = INT(RND(1) * 10000)
x = INT(t\100)
y = t - x * 100
JA x^2 + y^2< 10000 THEN m = m + 1
TĀLĀK i
p=4*m/n

BEIGAS

Programma tika ierakstīta un palaista ar dažādām parametra n vērtībām. Iegūtās skaitļu vērtības ir ierakstītas tabulā:

n
n

Adatas nomešanas metode

Ņemsim parasto šujamo adatu un papīra lapu. Uz lapas uzzīmēsim vairākas paralēlas līnijas, lai attālumi starp tām būtu vienādi un pārsniegtu adatas garumu. Zīmējumam jābūt pietiekami lielam, lai nejauši izmesta adata neizkristu ārpus tās robežām. Ieviesīsim šādu apzīmējumu: A- attālums starp līnijām, l- adatas garums.

3. attēls

Uz zīmējuma nejauši uzmestas adatas stāvokli (sk. 3. att.) nosaka attālums X no tās vidus līdz tuvākajai taisnei un leņķis j, ko adata veido ar perpendikulu, kas nolaists no adatas vidus līdz tuvākā taisne (skat. 4. att.). Tas ir skaidrs

4. attēls

Attēlā 5 attēlosim funkciju grafiski y=0,5cos. Visas iespējamās adatu atrašanās vietas raksturo punkti ar koordinātām (; y), kas atrodas sadaļā ABCD. AED iekrāsotais laukums ir punkti, kas atbilst gadījumam, kad adata krustojas ar taisnu līniju. Notikuma varbūtība a– “adata ir šķērsojusi taisnu līniju” – aprēķina pēc formulas:

5. attēls

Varbūtība p(a) var aptuveni noteikt, atkārtoti iemetot adatu. Uzmetiet adatu uz zīmējuma c vienreiz un lpp tā kā krita šķērsojot vienu no taisnēm, tad ar pietiekami lielu c mums ir p(a) = p/c. No šejienes = 2 l s / a k.

komentēt. Iesniegtā metode ir statistiskās pārbaudes metodes variants. Tas ir interesanti no didaktiskā viedokļa, jo palīdz apvienot vienkāršu pieredzi ar diezgan sarežģīta matemātiskā modeļa izveidi.

Aprēķins, izmantojot Teilora sēriju

Pievērsīsimies patvaļīgas funkcijas izskatīšanai f(x). Pieņemsim, ka viņai šobrīd x 0 ir visu pasūtījumu atvasinājumi līdz n th ieskaitot. Tad par funkciju f(x) mēs varam uzrakstīt Teilora sēriju:

Aprēķini, izmantojot šo sēriju, būs precīzāki, jo vairāk sērijas dalībnieku būs iesaistīti. Šo metodi, protams, vislabāk ir ieviest datorā, kuram varat izmantot programmu 3.

3. programma

REM "Pi aprēķins"
REM "Taylor sērijas paplašināšana"
IEVADE n
a = 1
FOR i = 1 LĪDZ n
d = 1 / (i + 2)
f = (-1)^i * d
a = a + f
TĀLĀK i
p = 4 * a
PRINT "pi vērtība ir vienāda"; lpp
BEIGAS

Programma tika ierakstīta un palaists dažādām parametra n vērtībām. Iegūtās skaitļu vērtības ir ierakstītas tabulā:

Ir ļoti vienkārši mnemoniski noteikumi, kā atcerēties skaitļa nozīmi:

Matemātikas entuziasti visā pasaulē katru gadu četrpadsmitajā martā apēd gabaliņu pīrāga – galu galā tā ir Pi diena, visslavenākais iracionālais skaitlis. Šis datums ir tieši saistīts ar numuru, kura pirmie cipari ir 3,14. Pi ir apļa apkārtmēra attiecība pret tā diametru. Tā kā tas ir neracionāls, to nav iespējams uzrakstīt kā daļu. Tas ir bezgala garš skaitlis. Tas tika atklāts pirms tūkstošiem gadu un kopš tā laika ir pastāvīgi pētīts, bet vai Pi joprojām ir kādi noslēpumi? No seniem pirmsākumiem līdz neskaidrai nākotnei šeit ir daži no interesantākajiem faktiem par Pi.

Pī iegaumēšana

Decimālskaitļu iegaumēšanas rekords pieder Rajviram Mīnam no Indijas, kuram izdevās atcerēties 70 000 ciparu – viņš rekordu uzstādīja 2015. gada 21. martā. Iepriekš rekordists bija Čao Lu no Ķīnas, kuram izdevās atcerēties 67 890 ciparus – šis rekords tika uzstādīts 2005.gadā. Neoficiālais rekordists ir Akira Haraguči, kurš 2005. gadā ierakstīja sevi video, atkārtojot 100 000 ciparu, un nesen publicēja video, kurā viņam izdodas atcerēties 117 000 ciparu. Rekords kļūtu oficiāls tikai tad, ja šis video tiktu ierakstīts Ginesa rekordu grāmatas pārstāvja klātbūtnē, un bez apstiprinājuma tas paliek tikai iespaidīgs fakts, taču nav uzskatāms par sasniegumu. Matemātikas entuziastiem patīk iegaumēt skaitli Pi. Daudzi cilvēki izmanto dažādas mnemoniskas metodes, piemēram, dzeju, kur burtu skaits katrā vārdā sakrīt ar Pi cipariem. Katrai valodai ir savas līdzīgu frāžu versijas, kas palīdz atcerēties gan dažus pirmos skaitļus, gan visu simtu.

Ir Pi valoda

Matemātiķi, aizrautīgi ar literatūru, izgudroja dialektu, kurā burtu skaits visos vārdos atbilst Pi cipariem precīzā secībā. Rakstnieks Maiks Kīts pat uzrakstīja grāmatu Not a Wake, kas pilnībā ir uzrakstīta Pi valodā. Šādas radošuma entuziasti savus darbus raksta pilnībā atbilstoši burtu skaitam un ciparu nozīmei. Tam nav praktiska pielietojuma, taču tā ir diezgan izplatīta un labi zināma parādība entuziasma zinātnieku aprindās.

Eksponenciālā izaugsme

Pi ir bezgalīgs skaitlis, tāpēc pēc definīcijas cilvēki nekad nevarēs noteikt precīzus šī skaitļa ciparus. Tomēr kopš Pi pirmās izmantošanas zīmju skaits aiz komata ir ievērojami palielinājies. Babilonieši arī to izmantoja, taču viņiem pietika ar daļu no trīs veseliem un vienu astoto daļu. Ķīnieši un Vecās Derības veidotāji pilnībā aprobežojās ar trim. Līdz 1665. gadam sers Īzaks Ņūtons bija aprēķinājis Pi 16 ciparus. Līdz 1719. gadam franču matemātiķis Toms Fante de Lagnijs bija aprēķinājis 127 ciparus. Datoru parādīšanās ir radikāli uzlabojusi cilvēku zināšanas par Pi. No 1949. līdz 1967. gadam cilvēkiem zināmo ciparu skaits strauji pieauga no 2037 līdz 500 000. Pirms neilga laika Šveices zinātnieks Pīters Truebs spēja aprēķināt 2,24 triljonus Pi ciparu! Pagāja 105 dienas. Protams, tas nav ierobežojums. Visticamāk, attīstoties tehnoloģijām, izdosies noteikt vēl precīzāku skaitli – tā kā Pi ir bezgalīgs, precizitātei vienkārši nav robežu, un to var ierobežot tikai datortehnoloģiju tehniskās īpašības.

Pi aprēķināšana ar roku

Ja vēlaties pats atrast ciparu, varat izmantot vecmodīgu tehniku ​​- jums būs nepieciešams lineāls, burka un kāda aukla, vai arī varat izmantot transportieri un zīmuli. Kanniņas izmantošanas mīnuss ir tāds, ka tai ir jābūt apaļai, un precizitāti noteiks tas, cik labi cilvēks var aptīt virvi. Jūs varat uzzīmēt apli ar transportieri, taču tas prasa arī prasmes un precizitāti, jo nevienmērīgs aplis var nopietni izkropļot jūsu mērījumus. Precīzāka metode ietver ģeometrijas izmantošanu. Sadaliet apli daudzos segmentos, piemēram, picu šķēlēs, un pēc tam aprēķiniet taisnas līnijas garumu, kas katru segmentu pārvērstu vienādsānu trīsstūrī. Malu summa dos aptuveno skaitli Pi. Jo vairāk segmentu izmantosit, jo precīzāks būs skaitlis. Protams, savos aprēķinos jūs nevarēsiet pietuvoties datora rezultātiem, tomēr šie vienkāršie eksperimenti ļauj detalizētāk saprast, kas ir skaitlis Pi un kā tas tiek izmantots matemātikā.

Pī atklāšana

Senie babilonieši par skaitļa Pi esamību zināja jau pirms četriem tūkstošiem gadu. Babilonijas planšetdatori aprēķina Pi kā 3,125, un Ēģiptes matemātiskais papiruss parāda skaitli 3,1605. Bībelē Pi ir norādīts novecojušā olekti garumā, un grieķu matemātiķis Arhimēds izmantoja Pitagora teorēmu, ģeometrisku attiecību starp trijstūra malu garumu un figūru laukumu apļos un ārpus tiem, lai aprakstītu Pī. Tādējādi mēs varam ar pārliecību teikt, ka Pi ir viens no senākajiem matemātiskajiem jēdzieniem, lai gan precīzs šī skaitļa nosaukums parādījās salīdzinoši nesen.

Jauns skats uz Pi

Pat pirms skaitļa Pi sāka korelēt ar apļiem, matemātiķiem jau bija daudz veidu, kā pat nosaukt šo skaitli. Piemēram, senās matemātikas mācību grāmatās var atrast frāzi latīņu valodā, ko var aptuveni tulkot kā "lielumu, kas parāda garumu, ja diametrs tiek reizināts ar to". Iracionālais skaitlis kļuva slavens, kad Šveices zinātnieks Leonhards Eilers to izmantoja savā darbā par trigonometriju 1737. gadā. Tomēr grieķu simbols Pi joprojām netika izmantots - tas notika tikai mazāk pazīstama matemātiķa Viljama Džounsa grāmatā. Viņš to izmantoja jau 1706. gadā, taču ilgu laiku tas palika nepamanīts. Laika gaitā zinātnieki pieņēma šo nosaukumu, un tagad tā ir slavenākā vārda versija, lai gan agrāk to sauca arī par Ludolfa numuru.

Vai Pi ir normāls skaitlis?

Pi noteikti ir dīvains skaitlis, bet cik lielā mērā tas atbilst normāliem matemātikas likumiem? Zinātnieki jau ir atrisinājuši daudzus jautājumus, kas saistīti ar šo neracionālo skaitli, taču daži noslēpumi paliek. Piemēram, nav zināms, cik bieži tiek izmantoti visi skaitļi – skaitļi no 0 līdz 9 jāizmanto vienādās proporcijās. Taču statistiku var izsekot no pirmajiem triljoniem ciparu, taču, ņemot vērā to, ka skaitlis ir bezgalīgs, neko droši pierādīt nav iespējams. Ir arī citas problēmas, kuras zinātnieki joprojām izvairās. Iespējams, ka turpmākā zinātnes attīstība palīdzēs tos izgaismot, taču šobrīd tas paliek ārpus cilvēka inteliģences sfēras.

Pi izklausās dievīgi

Zinātnieki nevar atbildēt uz dažiem jautājumiem par skaitli Pi, tomēr ar katru gadu arvien labāk izprot tā būtību. Jau astoņpadsmitajā gadsimtā šī skaitļa neracionalitāte tika pierādīta. Turklāt ir pierādīts, ka šis skaitlis ir pārpasaulīgs. Tas nozīmē, ka nav noteiktas formulas, kas ļautu aprēķināt Pi, izmantojot racionālos skaitļus.

Neapmierinātība ar skaitli Pi

Daudzi matemātiķi vienkārši ir iemīlējušies Pī, taču ir arī tādi, kas uzskata, ka šie skaitļi nav īpaši nozīmīgi. Turklāt viņi apgalvo, ka Tau, kas ir divas reizes lielāks par Pi, ir ērtāk izmantot kā neracionālu skaitli. Tau parāda saistību starp apkārtmēru un rādiusu, ko daži uzskata, ka tā ir loģiskāka aprēķina metode. Taču viennozīmīgi neko noteikt šajā jautājumā nav iespējams, un vienam un otram skaitlim vienmēr būs atbalstītāji, abām metodēm ir tiesības uz dzīvību, tāpēc tas ir tikai interesants fakts, nevis pamats domāt, ka nevajag izmantojiet skaitli Pi.

Daudzus gadsimtus un, dīvainā kārtā, tūkstošgades cilvēki ir sapratuši matemātiskās konstantes, kas vienāda ar apļa apkārtmēra attiecību pret tā diametru, nozīmi un vērtību zinātnei. skaitlis Pi joprojām nav zināms, taču ar to ir nodarbojušies labākie matemātiķi visā mūsu vēsturē. Lielākā daļa no viņiem gribēja to izteikt kā racionālu skaitli.

1. Pētnieki un patiesi skaitļa Pī fani ir noorganizējuši klubu, kuram, lai pievienotos, no galvas jāzina diezgan liels skaits tā zīmju.

2. Kopš 1988. gada tiek svinēta “Pī diena”, kas iekrīt 14. martā. Viņi gatavo salātus, kūkas, cepumus un konditorejas izstrādājumus ar viņa tēlu.

3. Cipars Pī jau ir iestatīts uz mūziku, un tas izklausās diezgan labi. Viņam pat tika uzcelts piemineklis Sietlā, Amerikā, iepretim pilsētas Mākslas muzejam.

Tajā tālajā laikā viņi mēģināja aprēķināt skaitli Pi, izmantojot ģeometriju. To, ka šis skaitlis ir nemainīgs visdažādākajiem apļiem, zināja Senās Ēģiptes, Babilonijas, Indijas un Senās Grieķijas ģeometri, kuri savos darbos norādīja, ka tas ir tikai nedaudz vairāk par trim.

Vienā no džainisma (senindiešu reliģija, kas radās 6. gadsimtā pirms mūsu ēras) svētajām grāmatām minēts, ka tad skaitlis Pi uzskatīja par vienādu ar kvadrātsakni no desmit, kas galu galā dod 3,162... .

Senie grieķu matemātiķi mērīja apli, veidojot nogriezni, bet, lai izmērītu apli, viņiem bija jākonstruē vienāds kvadrāts, tas ir, skaitlis, kas vienāds ar to laukumu.

Kad decimāldaļdaļas vēl nebija zināmas, lielais Arhimēds atrada Pi vērtību ar 99,9% precizitāti. Viņš atklāja metodi, kas kļuva par pamatu daudziem turpmākiem aprēķiniem, ierakstot regulārus daudzstūrus aplī un aprakstot to ap to. Rezultātā Arhimēds aprēķināja Pi vērtību kā attiecību 22/7 ≈ 3,142857142857143.

Ķīnā matemātiķis un galma astronoms Zu Čondži 5. gadsimtā pirms mūsu ēras. e. noteica precīzāku Pi vērtību, aprēķinot to līdz septiņām zīmēm aiz komata, un noteica tās vērtību starp skaitļiem 3, 1415926 un 3,1415927. Zinātniekiem bija vajadzīgi vairāk nekā 900 gadi, lai turpinātu šo digitālo sēriju.

Viduslaiki

Slavenais indiešu zinātnieks Madhava, kurš dzīvoja 14. - 15. gadsimtu mijā un kļuva par Keralas astronomijas un matemātikas skolas dibinātāju, pirmo reizi vēsturē sāka strādāt pie trigonometrisko funkciju paplašināšanas sērijās. Tiesa, saglabājušies tikai divi viņa darbi, citiem zināmas tikai atsauces un citāti no viņa audzēkņiem. Zinātniskajā traktātā "Mahajyanayana", kas tiek piedēvēts Madhavai, teikts, ka skaitlis Pi ir 3,14159265359. Un traktātā “Sadratnamala” dots skaitlis ar vēl precīzākām decimālzīmēm: 3.14159265358979324. Dotajos skaitļos pēdējie cipari neatbilst pareizajai vērtībai.

15. gadsimtā Samarkandas matemātiķis un astronoms Al-Kaši aprēķināja skaitli Pi ar sešpadsmit zīmēm aiz komata. Viņa rezultāts tika uzskatīts par visprecīzāko nākamo 250 gadu laikā.

V. Džonsons, matemātiķis no Anglijas, bija viens no pirmajiem, kas apļa apkārtmēra attiecību pret tā diametru apzīmēja ar burtu π. Pī ir grieķu vārda "περιφέρεια" pirmais burts - aplis. Bet vispārpieņemts šim apzīmējumam izdevās tikai pēc tam, kad 1736. gadā to izmantoja slavenākais zinātnieks L. Eilers.

Secinājums

Mūsdienu zinātnieki turpina strādāt pie turpmākiem Pi vērtību aprēķiniem. Šim nolūkam jau tiek izmantoti superdatori. 2011. gadā zinātnieks no Šigeru Kondo, sadarbojoties ar amerikāņu studentu Aleksandru Ji, pareizi aprēķināja 10 triljonu ciparu secību. Bet joprojām nav skaidrs, kurš atklāja skaitli Pi, kurš pirmais domāja par šo problēmu un veica pirmos šī patiesi mistiskā skaitļa aprēķinus.

Nesen Habrē vienā rakstā viņi minēja jautājumu "Kas notiktu ar pasauli, ja skaitlis Pi būtu vienāds ar 4?" Nolēmu nedaudz padomāt par šo tēmu, izmantojot dažas (lai arī ne tās plašākās) zināšanas attiecīgajās matemātikas jomās. Ja kādam ir interese, lūdzu skatīt kaķi.

Lai iedomāties šādu pasauli, jums matemātiski jārealizē telpa ar atšķirīgu apļa apkārtmēra attiecību pret tā diametru. Tas ir tas, ko es mēģināju darīt.

Mēģinājums Nr.1.

Teiksim uzreiz, ka es ņemšu vērā tikai divdimensiju telpas. Kāpēc? Tā kā aplis faktiski ir definēts divdimensiju telpā (ja ņemam vērā izmēru n>2, tad (n-1) dimensijas apļa mēra attiecība pret tā rādiusu pat nebūs konstante) .
Tātad, lai sāktu, es mēģināju atrast vismaz atstarpi, kurā Pi nav vienāds ar 3,1415... Lai to izdarītu, es paņēmu metrisko atstarpi ar metriku, kurā attālums starp diviem punktiem ir vienāds ar maksimālo starp koordinātu starpības (t.i., Čebiševa attāluma) moduļiem.

Kāda būs vienības apļa forma šajā telpā? Par šī apļa centru pieņemsim punktu ar koordinātām (0,0). Tad punktu kopa, attālums (dotās metrikas izpratnē), no kura līdz centram ir 1, ir 4 segmenti paralēli koordinātu asīm, veidojot kvadrātu ar malu 2 un centru pie nulles.

Jā, dažos rādītājos tas ir aplis!

Aprēķināsim Pi šeit. Rādiuss ir vienāds ar 1, tad diametrs attiecīgi ir vienāds ar 2. Varat arī uzskatīt diametra definīciju par lielāko attālumu starp diviem punktiem, bet pat tad tas ir vienāds ar 2. Atliek atrast garumu mūsu “aplis” šajā rādītājā. Šī ir visu četru segmentu garumu summa, kuru garums šajā metrikā ir max(0,2)=2. Tas nozīmē, ka apkārtmērs ir 4*2=8. Nu, tad Pi šeit ir vienāds ar 8/2=4. Notika! Bet vai mums jābūt ļoti laimīgiem? Šis rezultāts ir praktiski bezjēdzīgs, jo apskatāmā telpa ir absolūti abstrakta, tajā pat nav definēti leņķi un pagriezieni. Vai varat iedomāties pasauli, kurā rotācija faktiski nav noteikta un kur aplis ir kvadrāts? Godīgi sakot, es mēģināju, bet man nepietika iztēles.

Rādiuss ir 1, taču ir dažas grūtības atrast šī “apļa” garumu. Pēc nelielas meklēšanas internetā nonācu pie secinājuma, ka pseido-Eiklīda telpā tādu jēdzienu kā “Pi” vispār nevar definēt, kas noteikti ir slikti.

Ja kāds komentāros pastāstīs, kā formāli aprēķināt līknes garumu pseido-eiklīda telpā, es ļoti priecāšos, jo ar manām zināšanām par diferenciālo ģeometriju, topoloģiju (kā arī cītīgo googlingu) tam nepietika.

Secinājumi:

Nezinu, vai pēc tik īslaicīgiem pētījumiem var rakstīt par secinājumiem, bet kaut ko var pateikt. Pirmkārt, kad es mēģināju iedomāties telpu ar atšķirīgu pi skaitu, es sapratu, ka tas būtu pārāk abstrakti, lai būtu reālās pasaules modelis. Otrkārt, kad, mēģinot izdomāt veiksmīgāku modeli (līdzīgu mūsu reālajai pasaulei), izrādās, ka skaitlis Pi paliks nemainīgs. Ja par pašsaprotamu ņemam negatīva kvadrāta attāluma iespēju (kas parastam cilvēkam ir vienkārši absurdi), tad Pi vispār netiks definēts! Tas viss liek domāt, ka varbūt pasaule ar citu skaitli Pi nemaz nevarētu pastāvēt? Ne velti Visums ir tieši tāds, kāds tas ir. Vai varbūt tas ir pa īstam, bet ar parasto matemātiku, fiziku un cilvēka iztēli tam nepietiek. Ko tu domā?

Upd. Es uzzināju noteikti. Līknes garumu pseido-Eiklīda telpā var noteikt tikai dažās tās Eiklīda apakštelpās. Tas ir, jo īpaši attiecībā uz “apkārtmēru”, kas iegūts mēģinājumā N3, tāds jēdziens kā “garums” vispār nav definēts. Attiecīgi arī tur nevar aprēķināt Pi.

Ar ko Pi ir vienāds? mēs zinām un atceramies no skolas laikiem. Tas ir vienāds ar 3,1415926 un tā tālāk... Vienkāršam cilvēkam pietiek zināt, ka šo skaitli iegūst, dalot riņķa apkārtmēru ar tā diametru. Taču daudzi cilvēki zina, ka skaitlis Pi parādās negaidītās jomās ne tikai matemātikas un ģeometrijas, bet arī fizikas jomās. Nu, ja jūs iedziļināsities šī skaitļa būtības detaļās, jūs pamanīsit daudz pārsteidzošu lietu starp nebeidzamajām skaitļu sērijām. Vai ir iespējams, ka Pi slēpj Visuma dziļākos noslēpumus?

Bezgalīgs skaitlis

Pats skaitlis Pi mūsu pasaulē parādās kā apļa garums, kura diametrs ir vienāds ar vienu. Bet, neskatoties uz to, ka segments, kas vienāds ar Pi, ir diezgan ierobežots, skaitlis Pi sākas ar 3,1415926 un iet līdz bezgalībai skaitļu rindās, kuras nekad neatkārtojas. Pirmais pārsteidzošais fakts ir tāds, ka šo ģeometrijā izmantoto skaitli nevar izteikt kā veselu skaitļu daļu. Citiem vārdiem sakot, jūs nevarat to uzrakstīt kā divu skaitļu a/b attiecību. Turklāt skaitlis Pi ir pārpasaulīgs. Tas nozīmē, ka nav vienādojuma (polinoma) ar veseliem skaitļiem, kuru atrisinājums būtu skaitlis Pi.

To, ka skaitlis Pi ir pārpasaulīgs, 1882. gadā pierādīja vācu matemātiķis fon Lindemans. Tieši šis pierādījums kļuva par atbildi uz jautājumu, vai ir iespējams, izmantojot kompasu un lineālu, uzzīmēt kvadrātu, kura laukums ir vienāds ar dotā apļa laukumu. Šī problēma ir pazīstama kā apļa kvadrātošanas meklējumi, kas cilvēci satrauc kopš seniem laikiem. Šķita, ka šai problēmai ir vienkāršs risinājums un tā tiks atrisināta. Bet tieši nesaprotamā skaitļa Pi īpašība parādīja, ka apļa kvadrāta problēmai nav risinājuma.

Vismaz četrarpus tūkstošgades cilvēce ir mēģinājusi iegūt arvien precīzāku Pi vērtību. Piemēram, Bībelē Trešajā Ķēniņu grāmatā (7:23) skaitlis Pi ir pieņemts kā 3.

Ievērojamas precizitātes Pi vērtību var atrast Gīzas piramīdās: piramīdu perimetra un augstuma attiecība ir 22/7. Šī daļa dod aptuvenu Pi vērtību, kas vienāda ar 3,142... Ja vien, protams, ēģiptieši šo attiecību nenosaka nejauši. Tāda pati vērtība jau tika iegūta saistībā ar skaitļa Pi aprēķinu 3. gadsimtā pirms mūsu ēras, ko veica diženais Arhimēds.

Ahmesa papirusā, senās ēģiptiešu matemātikas mācību grāmatā, kas datēta ar 1650. gadu pirms mūsu ēras, Pi ir aprēķināts kā 3,160493827.

Senindiešu tekstos ap 9. gadsimtu pirms mūsu ēras visprecīzākā vērtība tika izteikta ar skaitli 339/108, kas bija vienāds ar 3,1388...

Gandrīz divus tūkstošus gadu pēc Arhimēda cilvēki mēģināja atrast veidus, kā aprēķināt Pi. Viņu vidū bija gan slaveni, gan nezināmi matemātiķi. Piemēram, romiešu arhitekts Markuss Vitruvijs Pollio, ēģiptiešu astronoms Klaudijs Ptolemajs, ķīniešu matemātiķis Liu Hui, indiešu gudrais Arjabhata, viduslaiku matemātiķis Leonardo no Pizas, pazīstams kā Fibonači, arābu zinātnieks Al-Khwarizmi, no kura vārda radies vārds. parādījās "algoritms". Viņi visi un daudzi citi cilvēki meklēja visprecīzākās metodes Pi aprēķināšanai, taču līdz 15. gadsimtam aprēķinu sarežģītības dēļ viņi nekad nesaņēma vairāk par 10 cipariem aiz komata.

Visbeidzot, 1400. gadā indiešu matemātiķis Madhava no Sangamagramas aprēķināja Pi ar 13 ciparu precizitāti (lai gan viņš joprojām kļūdījās pēdējos divos).

Zīmju skaits

17. gadsimtā Leibnics un Ņūtons atklāja bezgalīgi mazu lielumu analīzi, kas ļāva aprēķināt Pi progresīvāk - izmantojot pakāpes rindas un integrāļus. Pats Ņūtons aprēķināja 16 zīmes aiz komata, taču savās grāmatās to neminēja – tas kļuva zināms pēc viņa nāves. Ņūtons apgalvoja, ka Pi aprēķinājis tikai aiz garlaicības.

Aptuveni tajā pašā laikā nāca klajā arī citi mazāk zināmi matemātiķi un ierosināja jaunas formulas skaitļa Pi aprēķināšanai, izmantojot trigonometriskās funkcijas.

Piemēram, astronomijas skolotājs Džons Machins 1706. gadā izmantoja šādu formulu, lai aprēķinātu Pi: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Izmantojot analītiskās metodes, Machins no šīs formulas atvasināja skaitli Pi līdz simts zīmēm aiz komata.

Starp citu, tajā pašā 1706. gadā cipars Pi saņēma oficiālu apzīmējumu grieķu burta veidā: Viljams Džonss to izmantoja savā darbā par matemātiku, ņemot pirmo burtu grieķu vārdam "perifērija", kas nozīmē "aplis". ”. Lielais Leonhards Eilers, dzimis 1707. gadā, popularizēja šo apzīmējumu, kas tagad pazīstams ikvienam skolēnam.

Pirms datoru laikmeta matemātiķi koncentrējās uz pēc iespējas vairāk zīmju aprēķināšanu. Šajā sakarā dažreiz radās smieklīgas lietas. Amatieris matemātiķis V. Šenkss ​​1875. gadā aprēķināja 707 Pi ciparus. Šīs septiņsimt zīmes tika iemūžinātas uz Parīzes Palais des Discoverys sienas 1937. gadā. Tomēr deviņus gadus vēlāk vērīgi matemātiķi atklāja, ka pareizi ir aprēķinātas tikai pirmās 527 rakstzīmes. Kļūdas labošanai muzejam nācies radīt ievērojamus izdevumus – tagad visi skaitļi ir pareizi.

Kad parādījās datori, Pi ciparu skaits sāka aprēķināt pilnīgi neiedomājamā secībā.

Viens no pirmajiem elektroniskajiem datoriem, ENIAC, tika izveidots 1946. gadā, bija milzīgs izmērs un radīja tik daudz siltuma, ka telpa sasilusi līdz 50 grādiem pēc Celsija, aprēķināja pirmos 2037 Pi ciparus. Šis aprēķins mašīnai aizņēma 70 stundas.

Datoriem pilnveidojoties, mūsu zināšanas par Pi kļuva arvien tālāk bezgalībā. 1958. gadā tika aprēķināti 10 tūkstoši skaitļa ciparu. 1987. gadā japāņi aprēķināja 10 013 395 rakstzīmes. 2011. gadā japāņu pētnieks Šigeru Hondo pārsniedza 10 triljonu rakstzīmju robežu.

Kur vēl var satikt Pi?

Tātad bieži vien mūsu zināšanas par skaitli Pi paliek skolas līmenī, un mēs noteikti zinām, ka šis skaitlis ir neaizstājams galvenokārt ģeometrijā.

Papildus apļa garuma un laukuma formulām skaitlis Pi izmanto elipsi, sfēru, konusu, cilindru, elipsoīdu un tā tālāk formulās: dažās vietās formulas ir vienkāršas un viegli iegaumējamas, bet citās tie satur ļoti sarežģītus integrāļus.

Tad mēs varam sastapt skaitli Pi matemātiskās formulās, kur, no pirmā acu uzmetiena, ģeometrija nav redzama. Piemēram, 1/(1-x^2) nenoteiktais integrālis ir vienāds ar Pi.

Pi bieži izmanto sēriju analīzē. Piemēram, šeit ir vienkārša sērija, kas saplūst ar Pi:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

No sērijām Pi visnegaidītāk parādās slavenajā Rīmaņa zeta funkcijā. Par to nav iespējams runāt īsumā, pieņemsim, ka kādreiz skaitlis Pi palīdzēs atrast formulu pirmskaitļu aprēķināšanai.

Un pilnīgi pārsteidzoši: Pi parādās divās no skaistākajām matemātikas “karaliskajām” formulām - Stērlinga formulā (kas palīdz atrast faktoriālas un gamma funkcijas aptuveno vērtību) un Eilera formulā (kas savieno pat piecas matemātiskās konstantes).

Tomēr visnegaidītākais atklājums gaidīja matemātiķus varbūtības teorijā. Tur ir arī skaitlis Pi.

Piemēram, varbūtība, ka divi skaitļi būs relatīvi pirmskaitļi, ir 6/PI^2.

Pī parādās 18. gadsimtā formulētajā Bufona adatas mešanas problēmā: kāda ir iespējamība, ka adata, kas uzmesta uz izklāta papīra, šķērsos kādu no līnijām. Ja adatas garums ir L, un attālums starp līnijām ir L, un r > L, tad mēs varam aptuveni aprēķināt Pi vērtību, izmantojot varbūtības formulu 2L/rPI. Iedomājieties - mēs varam iegūt Pi no nejaušiem notikumiem. Un, starp citu, Pi atrodas parastajā varbūtības sadalījumā, parādās slavenās Gausa līknes vienādojumā. Vai tas nozīmē, ka Pi ir vēl svarīgāks nekā vienkārši apkārtmēra attiecība pret diametru?

Pī varam satikt arī fizikā. Pi parādās Kulona likumā, kas apraksta divu lādiņu mijiedarbības spēku, Keplera trešajā likumā, kas parāda planētas ap Sauli apgriezienu periodu, un pat parādās ūdeņraža atoma elektronu orbitāļu izkārtojumā. Un atkal visneticamākais ir tas, ka skaitlis Pi ir paslēpts Heizenberga nenoteiktības principa formulā - kvantu fizikas pamatlikumā.

Pi noslēpumi

Kārļa Sagana romānā Kontakts, uz kura balstīta tāda paša nosaukuma filma, citplanētieši stāsta varonei, ka starp Pī zīmēm ir kāds slepens vēstījums no Dieva. No noteiktas pozīcijas skaitļi skaitļā pārstāj būt nejauši un apzīmē kodu, kurā ir ierakstīti visi Visuma noslēpumi.

Šis romāns patiesībā atspoguļoja noslēpumu, kas nodarbinājis matemātiķu prātus visā pasaulē: vai Pi ir normāls skaitlis, kurā cipari ir izkliedēti ar vienādu frekvenci, vai arī ar šo skaitli kaut kas nav kārtībā? Un, lai gan zinātnieki sliecas uz pirmo variantu (bet nevar to pierādīt), skaitlis Pi izskatās ļoti noslēpumaini. Kāds japānis reiz aprēķināja, cik reižu skaitļi no 0 līdz 9 ir sastopami Pi pirmajos triljonos ciparu. Un es redzēju, ka skaitļi 2, 4 un 8 bija biežāk nekā citi. Tas var būt viens no mājieniem, ka Pi nav gluži normāls, un skaitļi tajā patiešām nav nejauši.

Atcerēsimies visu, ko lasījām iepriekš, un pajautāsim sev, kāds cits iracionāls un pārpasaulīgs skaitlis tik bieži sastopams reālajā pasaulē?

Un vēl ir vēl dīvainības. Piemēram, Pi pirmo divdesmit ciparu summa ir 20, un pirmo 144 ciparu summa ir vienāda ar “zvēra skaitli” 666.

Amerikāņu seriāla “Aizdomās turamais” galvenais varonis profesors Finčs studentiem stāstīja, ka skaitļa Pi bezgalības dēļ tajā var atrast jebkuru skaitļu kombināciju, sākot no jūsu dzimšanas datuma cipariem līdz sarežģītākiem skaitļiem. . Piemēram, 762. pozīcijā ir sešu deviņu secība. Šī pozīcija tiek saukta par Feynman punktu pēc slavenā fiziķa, kurš pamanīja šo interesanto kombināciju.

Mēs arī zinām, ka skaitlis Pi satur secību 0123456789, bet tas atrodas pie 17 387 594 880. cipara.

Tas viss nozīmē, ka skaitļa Pi bezgalībā var atrast ne tikai interesantas skaitļu kombinācijas, bet arī iekodētu “Kara un miera” tekstu, Bībeli un pat Visuma galveno noslēpumu, ja tāds pastāv.

Starp citu, par Bībeli. Slavenais matemātikas popularizētājs Martins Gārdners 1966. gadā paziņoja, ka Pī miljonais cipars (tolaik vēl nebija zināms) būs skaitlis 5. Viņš savus aprēķinus skaidroja ar to, ka Bībeles angļu valodas versijā 3. grāmata, 14. nodaļa, 16. pants (3-14-16) septītajā vārdā ir pieci burti. Miljonais skaitlis tika sasniegts astoņus gadus vēlāk. Tas bija pieci numurs.

Vai pēc tam ir vērts apgalvot, ka skaitlis Pi ir nejaušs?