Kura vienādojuma sakne ir daļa. Vienkāršākie racionālie vienādojumi

Vienādojumu risināšana ar daļām apskatīsim piemērus. Piemēri ir vienkārši un ilustratīvi. Ar viņu palīdzību jūs varat saprast vispiemērotākajā veidā.
Piemēram, jums jāatrisina vienkāršs vienādojums x/b + c = d.

Šāda veida vienādojumu sauc par lineāru, jo saucējā ir tikai skaitļi.

Risinājumu veic, reizinot abas vienādojuma puses ar b, tad vienādojums iegūst formu x = b*(d – c), t.i. tiek samazināts kreisās puses frakcijas saucējs.

Piemēram, kā atrisināt daļskaitļu vienādojums:
x/5+4=9
Mēs reizinām abas daļas ar 5. Iegūstam:
x+20=45
x=45-20=25

Vēl viens piemērs, kur saucējā ir nezināmais:

Šāda veida vienādojumus sauc par racionāliem vai vienkārši daļējiem.

Daļskaitlvienādojumu mēs atrisinātu, atbrīvojoties no daļām, pēc kā šis vienādojums, visbiežāk, pārvēršas par lineāru vai kvadrātvienādojumu, kas tiek atrisināts parastajā veidā. Jāņem vērā tikai šādi punkti:

mainīgā vērtība, kas pārvērš saucēju uz 0, nevar būt sakne;
vienādojumu nevar dalīt vai reizināt ar izteiksmi =0.

Šeit stājas spēkā tāds jēdziens kā pieļaujamo vērtību apgabals (ODZ) - tās ir vienādojuma sakņu vērtības, kurām vienādojumam ir jēga.

Tādējādi, atrisinot vienādojumu, ir jāatrod saknes un pēc tam jāpārbauda to atbilstība ODZ. Tās saknes, kas neatbilst mūsu DHS, tiek izslēgtas no atbildes.

Piemēram, jums ir jāatrisina daļveida vienādojums:

Pamatojoties uz iepriekš minēto noteikumu, x nevar būt = 0, t.i. ODZ šajā gadījumā: x - jebkura vērtība, kas nav nulle.

Mēs atbrīvojamies no saucēja, reizinot visus vienādojuma nosacījumus ar x

Un atrisiniet parasto vienādojumu

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Atbilde: x = 1/3

Atrisināsim vienādojumu sarežģītāk:

Šeit ir arī ODZ: x -2.

Atrisinot šo vienādojumu, mēs nepārliksim visu vienā virzienā un nesavedīsim daļskaitļus pie kopsaucēja. Mēs nekavējoties reizinām abas vienādojuma puses ar izteiksmi, kas vienlaikus samazinās visus saucējus.

Lai samazinātu saucējus, kreisā puse jāreizina ar x + 2, bet labā puse ar 2. Tātad abas vienādojuma puses jāreizina ar 2 (x + 2):

Šī ir visizplatītākā frakciju reizināšana, par kuru mēs jau runājām iepriekš.

Mēs rakstām vienu un to pašu vienādojumu, bet nedaudz savādāk.

Kreiso pusi samazina par (x + 2), bet labo pusi par 2. Pēc samazinājuma iegūstam parasto lineāro vienādojumu:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, kas atbilst mūsu ODZ

Atbilde: x = 2.

Vienādojumu risināšana ar daļām nav tik grūti, kā varētu šķist. Šajā rakstā mēs to esam parādījuši ar piemēriem. Ja jums ir kādas grūtības ar kā atrisināt vienādojumus ar daļskaitļiem, pēc tam anulējiet abonementu komentāros.

Prezentācija un nodarbība par tēmu: "Racionālie vienādojumi. Algoritms un piemēri racionālu vienādojumu risināšanai"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus! Visus materiālus pārbauda pretvīrusu programma.

Mācību līdzekļi un simulatori interneta veikalā "Integral" 8. klasei
Rokasgrāmata mācību grāmatai Makarychev Yu.N. Rokasgrāmata mācību grāmatai Mordkovičs A.G.

Ievads iracionālajos vienādojumos

Puiši, mēs iemācījāmies atrisināt kvadrātvienādojumus. Bet matemātika neaprobežojas ar tiem. Šodien mēs iemācīsimies atrisināt racionālos vienādojumus. koncepcija racionālie vienādojumiļoti līdzīgs jēdzienam racionālie skaitļi. Tikai papildus skaitļiem tagad esam ieviesuši kādu mainīgo $x$. Un tādējādi mēs iegūstam izteiksmi, kurā ir saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas, dalīšanas un palielināšanas līdz veselam skaitļa pakāpēm.

Ļaujiet $r(x)$ būt racionāla izteiksme . Šāda izteiksme var būt vienkāršs polinoms mainīgajā $x$ vai polinomu attiecība (tiek ieviesta dalīšanas darbība, tāpat kā racionālajiem skaitļiem).
Tiek izsaukts vienādojums $r(x)=0$ racionāls vienādojums.
Jebkurš vienādojums formā $p(x)=q(x)$, kur $p(x)$ un $q(x)$ ir racionālas izteiksmes, būs arī racionāls vienādojums.

Apsveriet racionālu vienādojumu risināšanas piemērus.

1. piemērs
Atrisiniet vienādojumu: $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$.

Lēmums.
Pārvietosim visas izteiksmes uz kreiso pusi: $\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$.
Ja vienādojuma kreisajā pusē būtu attēloti parastie skaitļi, tad mēs apvienotu divas daļdaļas līdz kopsaucējam.
Darīsim šādi: $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x ) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$.
Mēs saņēmām vienādojumu: $\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$.

Daļa ir vienāda ar nulli tad un tikai tad, ja daļskaitļa skaitītājs nulle, un saucējs atšķiras no nulles. Pēc tam atsevišķi pielīdziniet skaitītāju nullei un atrodiet skaitītāja saknes.
$3(x^2+2x-3)=0$ vai $x^2+2x-3=0$.
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$.
Tagad pārbaudīsim daļskaitļa saucēju: $(x-3)*x≠0$.
Divu skaitļu reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no šiem skaitļiem ir vienāds ar nulli. Pēc tam: $x≠0$ vai $x-3≠0$.
$x≠0$ vai $x≠3$.
Skaitītājā un saucējā iegūtās saknes nesakrīt. Tātad atbildē mēs pierakstām abas skaitītāja saknes.
Atbilde: $x=1$ vai $x=-3$.

Ja pēkšņi viena no skaitītāja saknēm sakrita ar saucēja sakni, tad tā ir jāizslēdz. Šādas saknes sauc par svešām!

Racionālu vienādojumu risināšanas algoritms:

1. Visas vienādojumā ietvertās izteiksmes ir jāpārnes uz kreisā puse no vienādības zīmes.
2. Pārvērtiet šo vienādojuma daļu par algebriskā daļa: $\frac(p(x))(q(x))=0$.
3. Iegūto skaitītāju pielīdziniet nullei, tas ir, atrisiniet vienādojumu $p(x)=0$.
4. Pielīdziniet saucēju nullei un atrisiniet iegūto vienādojumu. Ja saucēja saknes sakrita ar skaitītāja saknēm, tad tās no atbildes ir jāizslēdz.

2. piemērs
Atrisiniet vienādojumu: $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$.

Lēmums.
Atrisināsim pēc algoritma punktiem.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$.
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$ $=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$.
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$.
3. Pielīdziniet skaitītāju nullei: $3x^2+7x-10=0$.
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1)(3);1$.
4. Pielīdziniet saucēju nullei:
$(x-1)(x+1)=0 $.
$x=1$ un $x=-1$.
Viena no saknēm $x=1$ sakrita ar skaitītāja sakni, tad atbildē to nepierakstām.
Atbilde: $x=-1$.

Racionālus vienādojumus ir ērti atrisināt, izmantojot mainīgo maiņas metodi. Demonstrēsim to.

3. piemērs
Atrisiniet vienādojumu: $x^4+12x^2-64=0$.

Lēmums.
Mēs ieviešam aizstājēju: $t=x^2$.
Tad mūsu vienādojumam būs šāda forma:
$t^2+12t-64=0$ ir parasts kvadrātvienādojums.
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; 4 $.
Ieviesīsim apgrieztu aizstāšanu: $x^2=4$ vai $x^2=-16$.
Pirmā vienādojuma saknes ir skaitļu pāris $x=±2$. Otrajam nav sakņu.
Atbilde: $x=±2$.

4. piemērs
Atrisiniet vienādojumu: $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$.
Lēmums.
Ieviesīsim jaunu mainīgo: $t=x^2+x+1$.
Tad vienādojums būs šādā formā: $t=\frac(15)(t+2)$.
Tālāk mēs rīkosimies saskaņā ar algoritmu.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$.
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 $.
4. $t≠-2$ - saknes nesakrīt.
Mēs ieviešam apgrieztu aizstāšanu.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Atrisināsim katru vienādojumu atsevišķi:
$x^2+x+6=0$.
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - nē saknes.
Un otrais vienādojums: $x^2+x-2=0$.
Iesakņojies dots vienādojums būs skaitļi $x=-2$ un $x=1$.
Atbilde: $x=-2$ un $x=1$.

5. piemērs
Atrisiniet vienādojumu: $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$.

Lēmums.
Mēs ieviešam aizstāšanu: $t=x+\frac(1)(x)$.
Pēc tam:
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ vai $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$.
Mēs saņēmām vienādojumu: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Šī vienādojuma saknes ir pāris:
$t=-3$ un $t=2$.
Ieviesīsim apgriezto aizstāšanu:
$x+\frac(1)(x)=-3$.
$x+\frac(1)(x)=2$.
Mēs lemsim atsevišķi.
$x+\frac(1)(x)+3=0$.
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$.
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$.
Atrisināsim otro vienādojumu:
$x+\frac(1)(x)-2=0$.
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$.
$\frac((x-1)^2)(x)=0$.
Šī vienādojuma sakne ir skaitlis $x=1$.
Atbilde: $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$, $x=1$.

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam

Atrisiniet vienādojumus:

1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$.

2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3 $.

Mēs ieviesām vienādojumu iepriekš 7. §. Pirmkārt, mēs atceramies, kas ir racionāla izteiksme. Tas ir - algebriskā izteiksme, kas sastāv no skaitļiem un mainīgā x, izmantojot saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas, dalīšanas un kāpināšanas darbības ar naturālo eksponentu.

Ja r(x) ir racionāla izteiksme, tad vienādojumu r(x) = 0 sauc par racionālu vienādojumu.

Tomēr praksē ērtāk ir izmantot nedaudz vairāk plaša interpretācija termins "racionālais vienādojums": šis ir vienādojums formā h(x) = q(x), kur h(x) un q(x) ir racionālas izteiksmes.

Līdz šim mēs nevarējām atrisināt nevienu racionālu vienādojumu, bet tikai tādu, kas dažādu transformāciju un spriešanas rezultātā tika samazināts līdz lineārais vienādojums. Tagad mūsu iespējas ir daudz lielākas: mēs varēsim atrisināt racionālu vienādojumu, kas reducējas ne tikai uz lineāru
mu, bet arī kvadrātvienādojumam.

Atgādiniet, kā mēs agrāk atrisinājām racionālos vienādojumus, un mēģiniet formulēt risinājuma algoritmu.

1. piemērs atrisināt vienādojumu

Lēmums. Mēs pārrakstām vienādojumu formā

Šajā gadījumā, kā parasti, mēs izmantojam faktu, ka vienādības A \u003d B un A - B \u003d 0 izsaka tādas pašas attiecības starp A un B. Tas ļāva mums pārnest terminu uz vienādojuma kreiso pusi ar pretēja zīme.

Veiksim vienādojuma kreisās puses transformācijas. Mums ir

Atcerieties vienlīdzības nosacījumus frakcijas nulle: ja un tikai tad, ja vienlaikus ir izpildītas divas attiecības:

1) daļdaļas skaitītājs ir nulle (a = 0); 2) daļdaļas saucējs atšķiras no nulles).
Pielīdzinot nullei daļas skaitītāju vienādojuma (1) kreisajā pusē, mēs iegūstam

Atliek pārbaudīt otrā iepriekš minētā nosacījuma izpildi. Attiecība vienādojumam (1) nozīmē, ka . Vērtības x 1 = 2 un x 2 = 0,6 apmierina norādītās attiecības un tāpēc kalpo kā (1) vienādojuma saknes un tajā pašā laikā dotā vienādojuma saknes.

1) Pārveidosim vienādojumu formā

2) Veiksim šī vienādojuma kreisās puses transformācijas:

(vienlaikus mainīja zīmes skaitītājā un
frakcijas).
Tādējādi dots vienādojums ieņem formu

3) Atrisiniet vienādojumu x 2 - 6x + 8 = 0. Atrast

4) Atrastajām vērtībām pārbaudiet stāvokli . Skaitlis 4 atbilst šim nosacījumam, bet skaitlis 2 neatbilst. Tātad 4 ir dotā vienādojuma sakne, bet 2 ir sveša sakne.
Atbilde: 4.

2. Racionālu vienādojumu atrisināšana, ieviešot jaunu mainīgo

Jauna mainīgā ieviešanas metode jums ir pazīstama, mēs to esam izmantojuši vairāk nekā vienu reizi. Ar piemēriem parādīsim, kā tas tiek izmantots racionālu vienādojumu risināšanā.

3. piemērs Atrisiniet vienādojumu x 4 + x 2 - 20 = 0.

Lēmums. Mēs ieviešam jaunu mainīgo y \u003d x 2. Tā kā x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, tad doto vienādojumu var pārrakstīt formā

y 2 + y - 20 = 0.

Šis ir kvadrātvienādojums, kura saknes mēs atradīsim, izmantojot zināmo formulas; mēs iegūstam y 1 = 4, y 2 = - 5.
Bet y \u003d x 2, kas nozīmē, ka problēma ir samazināta līdz divu vienādojumu atrisināšanai:
x2=4; x 2 \u003d -5.

No pirmā vienādojuma mēs atklājam, ka otrajam vienādojumam nav sakņu.
Atbilde:.
Vienādojumu formā ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 sauc par bikvadrātisku vienādojumu ("bi" - divi, t.i., "divreiz kvadrātveida" vienādojums). Tikko atrisinātais vienādojums bija tieši bikvadrātisks. Jebkurš bikvadrātiskais vienādojums tiek atrisināts tādā pašā veidā kā vienādojums no 3. piemēra: tiek ieviests jauns mainīgais y \u003d x 2, iegūtais kvadrātvienādojums tiek atrisināts attiecībā pret mainīgo y un pēc tam tiek atgriezts pie mainīgā x.

4. piemērs atrisināt vienādojumu

Lēmums. Ņemiet vērā, ka šeit viena un tā pati izteiksme x 2 + 3x notiek divas reizes. Tādējādi ir lietderīgi ieviest jaunu mainīgo y = x 2 + Zx. Tas ļaus mums pārrakstīt vienādojumu vienkāršākā un patīkamākā formā (kas patiesībā ir mērķis ieviest jaunu mainīgs- un ierakstīšana ir vienkāršāka
, un vienādojuma struktūra kļūst skaidrāka):

Un tagad mēs izmantosim algoritmu racionāla vienādojuma risināšanai.

1) Pārvietosim visus vienādojuma nosacījumus vienā daļā:

= 0
2) Pārveidosim vienādojuma kreiso pusi

Tātad, mēs esam pārveidojuši doto vienādojumu formā

3) No vienādojuma - 7y 2 + 29y -4 = 0 mēs atrodam (mēs jau esam atrisinājuši diezgan daudz kvadrātvienādojumu, tāpēc, iespējams, nav vērts vienmēr mācību grāmatā sniegt detalizētus aprēķinus).

4) Pārbaudīsim atrastās saknes, izmantojot nosacījumu 5 (y - 3) (y + 1). Abas saknes atbilst šim nosacījumam.
Tātad jaunā mainīgā y kvadrātvienādojums ir atrisināts:
Tā kā y \u003d x 2 + Zx un y, kā mēs esam noskaidrojuši, ņem divas vērtības: 4 un, - mums joprojām ir jāatrisina divi vienādojumi: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. Pirmā vienādojuma saknes ir skaitļi 1 un - 4, otrā vienādojuma saknes ir skaitļi

Aplūkotajos piemēros jauna mainīgā ieviešanas metode, kā matemātiķi mēdz teikt, bija situācijai adekvāta, proti, tai labi atbilda. Kāpēc? Jā, jo viena un tā pati izteiksme bija nepārprotami sastapta vienādojuma ierakstā vairākas reizes un bija saprātīgi šo izteiksmi apzīmēt ar jaunu burtu. Bet ne vienmēr tā ir, dažkārt jauns mainīgais "parādās" tikai transformāciju procesā. Tieši tas notiks nākamajā piemērā.

5. piemērs atrisināt vienādojumu
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Lēmums. Mums ir
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.

Tātad doto vienādojumu var pārrakstīt kā

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Tagad ir "parādījies" jauns mainīgais: y = x 2 - Zx.

Ar tā palīdzību vienādojumu var pārrakstīt formā y (y + 2) \u003d 24 un pēc tam y 2 + 2y - 24 \u003d 0. Šī vienādojuma saknes ir skaitļi 4 un -6.

Atgriežoties pie sākotnējā mainīgā x, mēs iegūstam divus vienādojumus x 2 - Zx \u003d 4 un x 2 - Zx \u003d - 6. No pirmā vienādojuma atrodam x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; otrajam vienādojumam nav sakņu.

Atbilde: 4, - 1.

Nodarbības saturs nodarbības kopsavilkums atbalsta rāmis nodarbības prezentācijas akseleratīvas metodes interaktīvās tehnoloģijas Prakse uzdevumi un vingrinājumi pašpārbaudes darbnīcas, apmācības, lietas, uzdevumi mājasdarbi diskusijas jautājumi retoriski jautājumi no studentiem Ilustrācijas audio, video klipi un multivide fotogrāfijas, attēli, grafika, tabulas, shēmas, humors, anekdotes, joki, komiksi līdzības, teicieni, krustvārdu mīklas, citāti Papildinājumi tēzes raksti mikroshēmas zinātkāriem apkrāptu lapas mācību grāmatas pamata un papildu terminu glosārijs cits Mācību grāmatu un stundu pilnveidošanakļūdu labošana mācību grāmatā Inovācijas elementu fragmenta atjaunošana mācību grāmatā mācību stundā novecojušo zināšanu aizstāšana ar jaunām Tikai skolotājiem ideālas nodarbības kalendāra plāns uz gadu vadlīnijas diskusiju programmas Integrētās nodarbības

Iepazīsimies ar racionālajiem un daļējiem racionālajiem vienādojumiem, sniegsim to definīcijas, sniegsim piemērus, kā arī analizēsim biežāk sastopamos problēmu veidus.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionālais vienādojums: definīcija un piemēri

Iepazīšanās ar racionāliem izteicieniem sākas skolas 8. klasē. Šajā laikā algebras stundās skolēni arvien biežāk sāk izpildīt uzdevumus ar vienādojumiem, kuru piezīmēs ir racionālas izteiksmes. Atsvaidzināsim savu atmiņu par to, kas tas ir.

1. definīcija

racionāls vienādojums ir vienādojums, kurā abas puses satur racionālas izteiksmes.

Dažādās rokasgrāmatās jūs varat atrast citu formulējumu.

2. definīcija

racionāls vienādojums- tas ir vienādojums, kura kreisās puses ierakstā ir racionāla izteiksme, bet labajā - nulle.

Racionālo vienādojumu definīcijas ir līdzvērtīgas, jo tās nozīmē vienu un to pašu. Mūsu vārdu pareizību apstiprina fakts, ka jebkurai racionālai izteiksmei P un J vienādojumi P=Q un P - Q = 0 būs līdzvērtīgi izteicieni.

Tagad pievērsīsimies piemēriem.

1. piemērs

Racionālie vienādojumi:

x = 1, 2 x - 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3.

Racionālie vienādojumi, tāpat kā cita veida vienādojumi, var saturēt jebkuru mainīgo skaitu no 1 līdz vairākiem. Sākumā mēs apsvērsim vienkārši piemēri, kurā vienādojumos būs tikai viens mainīgais. Un tad mēs sākam pakāpeniski sarežģīt uzdevumu.

Racionālie vienādojumi ir sadalīti divās lielās grupās: veselos skaitļos un daļskaitļos. Apskatīsim, kuri vienādojumi attieksies uz katru no grupām.

3. definīcija

Racionālais vienādojums būs vesels skaitlis, ja tā kreisās un labās daļas ieraksts satur veselas racionālas izteiksmes.

4. definīcija

Racionālais vienādojums būs daļskaitlis, ja vienā vai abās tā daļās ir daļa.

Daļēji racionālie vienādojumi obligāti satur dalījumu ar mainīgo, vai arī mainīgais ir iekļauts saucējā. Veselo skaitļu vienādojumu rakstīšanā šāda dalījuma nav.

2. piemērs

3 x + 2 = 0 un (x + y) (3 x 2 - 1) + x = - y + 0, 5 ir veseli racionāli vienādojumi. Šeit abas vienādojuma daļas ir attēlotas ar veselu skaitļu izteiksmēm.

1 x - 1 = x 3 un x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x - 1): 5 ir daļēji racionāli vienādojumi.

Visi racionālie vienādojumi ietver lineāros un kvadrātvienādojumus.

Veselo skaitļu vienādojumu atrisināšana

Šādu vienādojumu risinājums parasti tiek reducēts līdz to pārveidošanai līdzvērtīgos algebriskos vienādojumos. To var panākt, veicot līdzvērtīgas vienādojumu transformācijas saskaņā ar šādu algoritmu:

vispirms vienādojuma labajā pusē iegūstam nulli, šim nolūkam ir jāpārnes izteiksme, kas atrodas vienādojuma labajā pusē, uz tā kreiso pusi un jāmaina zīme;
tad vienādojuma kreisajā pusē esošo izteiksmi pārveidojam par polinomu standarta skats.

Mums ir jāiegūst algebriskais vienādojums. Šis vienādojums būs līdzvērtīgs sākotnējam vienādojumam. Vienkārši gadījumi ļauj mums atrisināt problēmu, samazinot visu vienādojumu līdz lineāram vai kvadrātiskam. Vispārīgā gadījumā mēs atrisinām pakāpes algebrisko vienādojumu n.

3. piemērs

Ir jāatrod visa vienādojuma saknes 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Lēmums

Pārveidosim sākotnējo izteiksmi, lai iegūtu tai ekvivalentu algebrisko vienādojumu. Lai to izdarītu, vienādojuma labajā pusē esošo izteiksmi pārnesim uz kreiso pusi un mainīsim zīmi uz pretējo. Rezultātā mēs iegūstam: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

Tagad mēs pārveidosim izteiksmi, kas atrodas kreisajā pusē, par standarta formas polinomu un izpildīsim nepieciešamās darbības ar šo polinomu:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Mums izdevās reducēt sākotnējā vienādojuma atrisinājumu līdz atrisinājumam kvadrātvienādojums laipns x 2 - 5 x - 6 = 0. Šī vienādojuma diskriminants ir pozitīvs: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 . Tas nozīmē, ka būs divas īstas saknes. Atradīsim tos, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 vai x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 vai x 2 = - 1

Pārbaudīsim risinājuma gaitā atrastā vienādojuma sakņu pareizību. Šo skaitli, ko mēs saņēmām, mēs aizstājam ar sākotnējo vienādojumu: 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3 un 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. Pirmajā gadījumā 63 = 63 , otrajā 0 = 0 . Saknes x=6 un x = – 1 patiešām ir vienādojuma saknes, kas norādītas piemēra nosacījumā.

Atbilde: 6 , − 1 .

Apskatīsim, ko nozīmē "visa vienādojuma spēks". Mēs bieži sastopamies ar šo terminu gadījumos, kad mums ir jāattēlo viss vienādojums algebriskā formā. Definēsim jēdzienu.

5. definīcija

Vesela skaitļa vienādojuma pakāpe ir grāds algebriskais vienādojums, kas ir līdzvērtīgs sākotnējam visam vienādojumam.

Ja aplūkojat vienādojumus no iepriekš minētā piemēra, varat noteikt: visa šī vienādojuma pakāpe ir otrā.

Ja mūsu kurss aprobežotos ar otrās pakāpes vienādojumu risināšanu, tad tēmas izskatīšanu varētu pabeigt šeit. Bet viss nav tik vienkārši. Trešās pakāpes vienādojumu risināšana ir saistīta ar grūtībām. Un vienādojumiem virs ceturtās pakāpes tas vispār nepastāv vispārīgas formulas saknes. Šajā sakarā veselu trešās, ceturtās un citu grādu vienādojumu risināšanai ir jāizmanto vairākas citas metodes un metodes.

Visbiežāk izmantotā pieeja visu racionālo vienādojumu risināšanai ir balstīta uz faktorizācijas metodi. Darbību algoritms šajā gadījumā ir šāds:

mēs pārnesam izteiksmi no labās puses uz kreiso pusi, lai ieraksta labajā pusē paliktu nulle;
mēs attēlojam izteiksmi kreisajā pusē kā faktoru reizinājumu, un tad mēs pārejam pie vairāku vienkāršāku vienādojumu kopas.

4. piemērs

Atrodiet atrisinājumu vienādojumam (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) = 2 x (x 2 - 10 x + 13) .

Lēmums

Mēs pārnesam izteiksmi no ieraksta labās puses uz kreiso pusi ar pretēju zīmi: (x 2 - 1) (x 2 - 10 x + 13) - 2 x (x 2 - 10 x + 13) = 0. Kreisās puses pārvēršana par standarta formas polinomu ir nepraktiska, jo tādējādi tiks iegūts ceturtās pakāpes algebriskais vienādojums: x 4 - 12 x 3 + 32 x 2 - 16 x - 13 = 0. Pārveidošanas vieglums neattaisno visas grūtības, kas rodas, risinot šādu vienādojumu.

Ir daudz vieglāk iet citu ceļu: mēs izņemam kopējo faktoru x 2 – 10 x + 13 . Tādējādi mēs nonākam pie formas vienādojuma (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0. Tagad iegūto vienādojumu aizstājam ar divu kvadrātvienādojumu kopu x 2 – 10 x + 13 = 0 un x 2 - 2 x - 1 = 0 un atrodiet to saknes, izmantojot diskriminantu: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Atbilde: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Līdzīgi mēs varam izmantot jauna mainīgā ieviešanas metodi. Šī metode ļauj mums pāriet uz līdzvērtīgiem vienādojumiem ar jaudām, kas ir mazākas nekā sākotnējā vienādojumā.

5. piemērs

Vai vienādojumam ir saknes? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Lēmums

Ja tagad mēģināsim reducēt veselu racionālu vienādojumu uz algebrisku, mēs iegūsim 4. pakāpes vienādojumu, kuram nav racionālu sakņu. Tāpēc mums būs vieglāk iet citu ceļu: ieviest jaunu mainīgo y, kas aizstās izteiksmi vienādojumā x 2 + 3 x.

Tagad mēs strādāsim ar visu vienādojumu (y + 1) 2 + 10 = – 2 (y – 4). Mēs pārnesam vienādojuma labo pusi uz kreiso pusi ar pretējo zīmi un veicam nepieciešamās transformācijas. Mēs iegūstam: y 2 + 4 y + 3 = 0. Atradīsim kvadrātvienādojuma saknes: y = – 1 un y = – 3.

Tagad veiksim apgriezto aizstāšanu. Mēs iegūstam divus vienādojumus x 2 + 3 x = – 1 un x 2 + 3 x = - 3 . Pārrakstīsim tos kā x 2 + 3 x + 1 = 0 un x 2 + 3 x + 3 = 0. Lai atrastu pirmā iegūtā vienādojuma saknes, mēs izmantojam kvadrātvienādojuma sakņu formulu: - 3 ± 5 2 . Otrā vienādojuma diskriminants ir negatīvs. Tas nozīmē, ka otrajam vienādojumam nav reālu sakņu.

Atbilde:- 3 ± 5 2

Augstu pakāpju veselu skaitļu vienādojumi problēmās sastopami diezgan bieži. No tiem nav jābaidās. Jums jābūt gatavam to risināšanai izmantot nestandarta metodi, ieskaitot vairākas mākslīgas pārvērtības.

Daļēji racionālu vienādojumu risinājums

Mēs sākam šīs apakštēmas apskatu ar algoritmu daļēji racionālu vienādojumu risināšanai formā p (x) q (x) = 0 , kur p(x) un q(x) ir veselu skaitļu racionālas izteiksmes. Citu frakcionēti racionālu vienādojumu atrisinājumu vienmēr var reducēt uz norādītās formas vienādojumu atrisinājumu.

Visbiežāk izmantotā metode vienādojumu p (x) q (x) = 0 risināšanai ir balstīta uz šādu apgalvojumu: skaitliskā daļa u v, kur v ir skaitlis, kas atšķiras no nulles, vienāds ar nulli tikai gadījumos, kad daļdaļas skaitītājs ir vienāds ar nulli. Sekojot iepriekšminētā apgalvojuma loģikai, varam apgalvot, ka vienādojuma p (x) q (x) = 0 atrisinājumu var reducēt līdz divu nosacījumu izpildei: p(x)=0 un q(x) ≠ 0. Uz tā tiek izveidots algoritms daļēju racionālu vienādojumu risināšanai formā p (x) q (x) = 0:

mēs atrodam visa racionālā vienādojuma atrisinājumu p(x)=0;
pārbaudām, vai nosacījums ir izpildīts risinājuma laikā atrastajām saknēm q(x) ≠ 0.

Ja šis nosacījums ir izpildīts, tad atrastā sakne.Ja nē, tad sakne nav problēmas risinājums.

6. piemērs

Atrodiet vienādojuma 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 saknes.

Lēmums

Mums ir darīšana ar daļēju racionālu vienādojumu formā p (x) q (x) = 0 , kurā p (x) = 3 · x − 2, q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Sāksim risināt lineāro vienādojumu 3 x - 2 = 0. Šī vienādojuma sakne būs x = 2 3.

Pārbaudīsim atrasto sakni, vai tā apmierina nosacījumu 5 x 2 - 2 ≠ 0. Lai to izdarītu, izteiksmē aizstājiet skaitlisku vērtību. Mēs iegūstam: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Nosacījums ir izpildīts. Tas nozīmē, ka x = 2 3 ir sākotnējā vienādojuma sakne.

Atbilde: 2 3 .

Ir vēl viena iespēja daļējo racionālo vienādojumu atrisināšanai p (x) q (x) = 0 . Atcerieties, ka šis vienādojums ir līdzvērtīgs visam vienādojumam p(x)=0 uz sākotnējā vienādojuma mainīgā x pieļaujamo vērtību diapazonu. Tas ļauj mums izmantot šādu algoritmu, risinot vienādojumus p(x) q(x) = 0:

atrisināt vienādojumu p(x)=0;
atrodiet mainīgā x pieņemamo vērtību diapazonu;
mēs ņemam saknes, kas atrodas mainīgā x pieļaujamo vērtību apgabalā, kā sākotnējā daļējā racionālā vienādojuma vēlamās saknes.

7. piemērs

Atrisiniet vienādojumu x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Lēmums

Pirmkārt, atrisināsim kvadrātvienādojumu x 2 - 2 x - 11 = 0. Lai aprēķinātu tā saknes, mēs izmantojam saknes formulu pāra otrajam koeficientam. Mēs saņemam D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12 un x = 1 ± 2 3 .

Tagad mēs varam atrast sākotnējā vienādojuma x ODV. Tie visi ir skaitļi, kuriem x 2 + 3 x ≠ 0. Tas ir tas pats, kas x (x + 3) ≠ 0, no kurienes x ≠ 0, x ≠ − 3 .

Tagad pārbaudīsim, vai risinājuma pirmajā posmā iegūtās saknes x = 1 ± 2 3 ir mainīgā x pieņemamo vērtību diapazonā. Mēs redzam, kas nāk iekšā. Tas nozīmē, ka sākotnējam daļējam racionālajam vienādojumam ir divas saknes x = 1 ± 2 3 .

Atbilde: x = 1 ± 2 3

Aprakstītā otrā risinājuma metode vieglāk nekā pirmais gadījumos, kad ir viegli atrast mainīgā x pieļaujamo vērtību laukumu un vienādojuma saknes p(x)=0 neracionāli. Piemēram, 7 ± 4 26 9 . Saknes var būt racionālas, bet ar lielu skaitītāju vai saucēju. Piemēram, 127 1101 un − 31 59 . Tas ietaupa laiku stāvokļa pārbaudei. q(x) ≠ 0: saskaņā ar ODZ ir daudz vieglāk izslēgt saknes, kas neatbilst.

Kad vienādojuma saknes p(x)=0 ir veseli skaitļi, p (x) q (x) = 0 formas vienādojumu risināšanai lietderīgāk ir izmantot pirmo no aprakstītajiem algoritmiem. Ātrāka visa vienādojuma sakņu atrašana p(x)=0, un pēc tam pārbaudiet, vai tiem ir izpildīts nosacījums q(x) ≠ 0, un neatrodiet ODZ, un pēc tam atrisiniet vienādojumu p(x)=0 par šo ODZ. Tas ir saistīts ar faktu, ka šādos gadījumos parasti ir vieglāk veikt pārbaudi, nekā atrast ODZ.

8. piemērs

Atrodiet vienādojuma (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 saknes. = 0.

Lēmums

Mēs sākam, apsverot visu vienādojumu (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 un atrast tās saknes. Lai to izdarītu, mēs izmantojam vienādojumu risināšanas metodi, izmantojot faktorizāciju. Izrādās, ka sākotnējais vienādojums ir līdzvērtīgs četru vienādojumu kopai 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, no kuriem trīs ir lineāri un viens ir kvadrātveida. Mēs atrodam saknes: no pirmā vienādojuma x = 12, no otrā x=6, no trešās - x \u003d 7, x \u003d - 2, no ceturtās - x = – 1.

Pārbaudīsim iegūtās saknes. Šajā gadījumā mums ir grūti noteikt ODZ, jo šim nolūkam mums būs jāatrisina piektās pakāpes algebriskais vienādojums. Būs vieglāk pārbaudīt nosacījumu, saskaņā ar kuru daļskaitļa saucējam, kas atrodas vienādojuma kreisajā pusē, nevajadzētu pazust.

Savukārt izteiksmē mainīgā x vietā aizstājiet saknes x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 un aprēķiniet tā vērtību:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32;

6 5 - 15 6 4 + 57 6 3 - 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 - 15 7 4 + 57 7 3 - 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Veiktā pārbaude ļauj noteikt, ka sākotnējā daļējā racionālā vienādojuma saknes ir 1 2 , 6 un − 2 .

Atbilde: 1 2 , 6 , - 2

9. piemērs

Atrodiet daļējā racionālā vienādojuma saknes 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Lēmums

Sāksim ar vienādojumu (5 x 2 — 7 x - 1) (x - 2) = 0. Atradīsim tās saknes. Mums ir vieglāk attēlot šo vienādojumu kā kvadrātvienādojumu un lineāro vienādojumu kombināciju 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 un x − 2 = 0.

Mēs izmantojam kvadrātvienādojuma sakņu formulu, lai atrastu saknes. Mēs iegūstam divas saknes x = 7 ± 69 10 no pirmā vienādojuma un no otrā vienādojuma x=2.

Aizvietot sakņu vērtību sākotnējā vienādojumā, lai pārbaudītu apstākļus, mums būs diezgan grūti. Mainīgā x LPV būs vieglāk noteikt. Šajā gadījumā mainīgā x DPV ir visi skaitļi, izņemot tos, kuriem nosacījums ir izpildīts x 2 + 5 x - 14 = 0. Iegūstam: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Tagad pārbaudīsim, vai atrastās saknes pieder mainīgā x pieņemamo vērtību diapazonam.

Saknes x = 7 ± 69 10 - pieder, tāpēc tās ir sākotnējā vienādojuma saknes, un x=2- nepieder, tāpēc tā ir sveša sakne.

Atbilde: x = 7 ± 69 10 .

Atsevišķi apskatīsim gadījumus, kad daļēja racionāla vienādojuma formas p (x) q (x) = 0 skaitītājs satur skaitli. Šādos gadījumos, ja skaitītājs satur skaitli, kas nav nulle, tad vienādojumam nebūs sakņu. Ja šis skaitlis ir vienāds ar nulli, tad vienādojuma sakne būs jebkurš skaitlis no ODZ.

10. piemērs

Atrisiniet daļējo racionālo vienādojumu - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Lēmums

Šim vienādojumam nebūs sakņu, jo vienādojuma kreisās puses daļas skaitītājs satur skaitli, kas nav nulle. Tas nozīmē, ka jebkurai x vērtībai uzdevuma nosacījumā norādītās daļas vērtība nebūs vienāda ar nulli.

Atbilde: nav sakņu.

11. piemērs

Atrisiniet vienādojumu 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Lēmums

Tā kā daļas skaitītājs ir nulle, vienādojuma risinājums būs jebkura x vērtība no ODZ mainīgā x.

Tagad definēsim ODZ. Tas ietvers visas x vērtības, kurām x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Vienādojumu risinājumi x 4 + 5 x 3 = 0 ir 0 un − 5 , jo šis vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumam x 3 (x + 5) = 0, un tas, savukārt, ir līdzvērtīgs divu vienādojumu kopai x 3 = 0 un x + 5 = 0 kur šīs saknes ir redzamas. Mēs nonākam pie secinājuma, ka vēlamais pieņemamo vērtību diapazons ir jebkurš x , izņemot x=0 un x = -5.

Izrādās, ka daļējai racionālajam vienādojumam 0 x 4 + 5 x 3 = 0 ir bezgalīgs atrisinājumu skaits, kas ir jebkuri skaitļi, izņemot nulli un -5.

Atbilde: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Tagad parunāsim par patvaļīgas formas frakcionētiem racionāliem vienādojumiem un to risināšanas metodēm. Tos var rakstīt kā r(x) = s(x), kur r(x) un s(x) ir racionālas izteiksmes, un vismaz viena no tām ir daļēja. Šādu vienādojumu atrisinājums tiek reducēts līdz vienādojumu atrisinājumam formā p (x) q (x) = 0 .

Mēs jau zinām, ka mēs varam iegūt ekvivalentu vienādojumu, pārnesot izteiksmi no vienādojuma labās puses uz kreiso pusi ar pretējo zīmi. Tas nozīmē, ka vienādojums r(x) = s(x) ir līdzvērtīgs vienādojumam r (x) − s (x) = 0. Mēs arī jau esam apsprieduši, kā racionālu izteiksmi pārvērst racionālā daļskaitlī. Pateicoties tam, mēs varam viegli pārveidot vienādojumu r (x) − s (x) = 0 tās identiskajā formas p (x) q (x) racionālajā daļā.

Tātad mēs pārejam no sākotnējā daļējā racionālā vienādojuma r(x) = s(x) uz vienādojumu formā p (x) q (x) = 0 , kuru mēs jau esam iemācījušies atrisināt.

Jāņem vērā, ka, veicot pārejas no r (x) − s (x) = 0 uz p (x) q (x) = 0 un pēc tam uz p(x)=0 mēs varam neņemt vērā mainīgā x derīgo vērtību diapazona paplašināšanos.

Tas ir diezgan reāli, ka sākotnējais vienādojums r(x) = s(x) un vienādojums p(x)=0 pārvērtību rezultātā tās pārstās būt līdzvērtīgas. Tad vienādojuma atrisinājums p(x)=0 var dot mums saknes, kas būs svešas r(x) = s(x). Šajā sakarā katrā gadījumā ir jāveic pārbaude, izmantojot kādu no iepriekš aprakstītajām metodēm.

Lai atvieglotu tēmas izpēti, mēs visu informāciju esam vispārinājuši algoritmā formas daļēja racionāla vienādojuma risināšanai r(x) = s(x):

mēs pārnesam izteiksmi no labās puses ar pretējo zīmi un labajā pusē iegūstam nulli;
sākotnējo izteiksmi pārveidojam par racionālu daļskaitli p (x) q (x) , secīgi veicot darbības ar daļām un polinomiem;
atrisināt vienādojumu p(x)=0;
mēs atklājam svešas saknes, pārbaudot to piederību ODZ vai aizstājot sākotnējā vienādojumā.

Vizuāli darbību ķēde izskatīsies šādi:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → pamešanas r o n d e r o o s

12. piemērs

Atrisiniet daļējo racionālo vienādojumu x x + 1 = 1 x + 1 .

Lēmums

Pārejam uz vienādojumu x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Pārveidosim vienādojuma kreisajā pusē esošo daļējo racionālo izteiksmi formā p (x) q (x) .

Lai to izdarītu, mums jāsamazina racionālās daļas līdz kopsaucējam un jāvienkāršo izteiksme:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Lai atrastu vienādojuma saknes - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, mums jāatrisina vienādojums − 2 x − 1 = 0. Mēs iegūstam vienu sakni x = - 1 2.

Mums atliek veikt pārbaudi ar kādu no metodēm. Apskatīsim tos abus.

Aizstājiet iegūto vērtību sākotnējā vienādojumā. Mēs iegūstam - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Mēs esam nonākuši pie pareizas skaitliskās vienlīdzības − 1 = − 1 . Tas nozīmē, ka x = – 1 2 ir sākotnējā vienādojuma sakne.

Tagad mēs pārbaudīsim, izmantojot ODZ. Noteiksim mainīgā x pieņemamo vērtību apgabalu. Tā būs visa skaitļu kopa, izņemot −1 un 0 (ja x = −1 un x = 0, daļskaitļu saucēji pazūd). Sakne, ko ieguvām x = – 1 2 pieder ODZ. Tas nozīmē, ka tā ir sākotnējā vienādojuma sakne.

Atbilde: − 1 2 .

13. piemērs

Atrodiet vienādojuma saknes x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Lēmums

Mums ir darīšana ar daļēju racionālu vienādojumu. Tāpēc mēs rīkosimies saskaņā ar algoritmu.

Pārvietosim izteiksmi no labās puses uz kreiso pusi ar pretējo zīmi: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Veiksim nepieciešamās transformācijas: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Mēs nonākam pie vienādojuma x=0. Šī vienādojuma sakne ir nulle.

Pārbaudīsim, vai šī sakne ir svešzemju sakne sākotnējam vienādojumam. Aizstājiet vērtību sākotnējā vienādojumā: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Kā redzat, iegūtajam vienādojumam nav jēgas. Tas nozīmē, ka 0 ir sveša sakne, un sākotnējam daļējam racionālajam vienādojumam nav sakņu.

Atbilde: nav sakņu.

Ja algoritmā neesam iekļāvuši citas līdzvērtīgas transformācijas, tas nebūt nenozīmē, ka tās nevar izmantot. Algoritms ir universāls, taču paredzēts, lai palīdzētu, nevis ierobežotu.

14. piemērs

Atrisiniet vienādojumu 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Lēmums

Vienkāršākais veids ir atrisināt doto daļējo racionālo vienādojumu saskaņā ar algoritmu. Bet ir arī cits veids. Apsvērsim to.

Atņemiet no labās un kreisās daļas 7, iegūstam: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

No tā mēs varam secināt, ka izteiksmei kreisās puses saucējā jābūt vienādai ar skaitļa apgriezto skaitli no labās puses, tas ir, 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Atņemiet no abām daļām 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Pēc analoģijas 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, no kurienes 1 5 - x 2 \u003d 1 3 un tālāk 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Pārbaudīsim, vai atrastās saknes ir sākotnējā vienādojuma saknes.

Atbilde: x = ± 2

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Šajā rakstā es jums parādīšu septiņu veidu racionālu vienādojumu risināšanas algoritmi, kas, mainot mainīgos, tiek reducēti līdz kvadrātiem. Vairumā gadījumu pārvērtības, kas noved pie nomaiņas, ir ļoti nenozīmīgas, un ir diezgan grūti par tām uzminēt pašam.

Katram vienādojuma veidam es paskaidrošu, kā tajā veikt mainīgā lieluma izmaiņas, un pēc tam attiecīgajā video pamācībā parādīšu detalizētu risinājumu.

Jums ir iespēja pašam turpināt vienādojumu risināšanu un pēc tam pārbaudīt risinājumu, izmantojot video pamācību.

Tātad, sāksim.

1 . (x-1) (x-7) (x-4) (x+2) = 40

Ņemiet vērā, ka četru iekavu reizinājums atrodas vienādojuma kreisajā pusē, bet skaitlis - labajā pusē.

1. Grupējiet iekavas pa diviem, lai brīvo terminu summa būtu vienāda.

2. Reiziniet tos.

3. Ieviesīsim mainīgā lieluma maiņu.

Savā vienādojumā mēs grupējam pirmo iekava ar trešo un otro ar ceturto, jo (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

Šajā brīdī mainīgā izmaiņas kļūst acīmredzamas:

Mēs iegūstam vienādojumu

Atbilde:

2 .

Šāda veida vienādojums ir līdzīgs iepriekšējam ar vienu atšķirību: vienādojuma labajā pusē ir skaitļa reizinājums ar. Un tas tiek atrisināts pavisam citā veidā:

1. Mēs grupējam iekavas pa diviem, lai brīvo terminu reizinājums būtu vienāds.

2. Mēs reizinām katru iekavu pāri.

3. No katra faktora mēs izņemam x no iekavas.

4. Sadaliet abas vienādojuma puses ar .

5. Mēs ieviešam mainīgā lieluma maiņu.

Šajā vienādojumā mēs grupējam pirmo iekava ar ceturto un otro ar trešo, jo:

Ņemiet vērā, ka katrā iekavā koeficients pie un brīvais termins ir vienādi. Izņemsim reizinātāju no katras iekavas:

Tā kā x=0 nav sākotnējā vienādojuma sakne, mēs sadalām abas vienādojuma puses ar . Mēs iegūstam:

Mēs iegūstam vienādojumu:

Atbilde:

3 .

Ņemiet vērā, ka abu daļu saucēji satur kvadrātveida trinomiāli, kuras vadošais koeficients un brīvais termiņš ir vienādi. Mēs, tāpat kā otrā tipa vienādojumā, izņemam x no iekavas. Mēs iegūstam:

Sadaliet katras daļas skaitītāju un saucēju ar x:

Tagad mēs varam ieviest mainīgā lieluma izmaiņas:

Mēs iegūstam mainīgā t vienādojumu:

4 .

Ņemiet vērā, ka vienādojuma koeficienti ir simetriski attiecībā pret centrālo. Tādu vienādojumu sauc atgriežams .

Lai to atrisinātu

1. Sadaliet abas vienādojuma puses ar (to varam izdarīt, jo x=0 nav vienādojuma sakne.) Iegūstam:

2. Grupējiet terminus šādi:

3. Katrā grupā mēs izņemam kopējo faktoru:

4. Ieviesīsim aizstājēju:

5. Izteiksim izteiksmi t izteiksmē:

No šejienes

Mēs iegūstam t vienādojumu:

Atbilde:

5. Homogēni vienādojumi.

Vienādojumus, kuriem ir viendabīga struktūra, var sastapt, risinot eksponenciālos, logaritmiskos un trigonometriskie vienādojumi, tāpēc tas ir jāatzīst.

Homogēniem vienādojumiem ir šāda struktūra:

Šajā vienādībā A, B un C ir skaitļi, un tās pašas izteiksmes ir apzīmētas ar kvadrātu un apli. Tas ir, viendabīgā vienādojuma kreisajā pusē ir to monomu summa, kuriem ir vienāda pakāpe (šajā gadījumā monomu pakāpe ir 2), un nav brīva termina.

Lai atrisinātu viendabīgo vienādojumu, abas puses sadalām ar

Uzmanību! Sadalot vienādojuma labo un kreiso pusi ar izteiksmi, kas satur nezināmu, jūs varat zaudēt saknes. Tāpēc ir jāpārbauda, vai izteiksmes saknes, ar kurām mēs sadalām abas vienādojuma daļas, ir sākotnējā vienādojuma saknes.

Ejam pa pirmo ceļu. Mēs iegūstam vienādojumu:

Tagad mēs ieviešam mainīgo aizstāšanu:

Vienkāršojiet izteiksmi un iegūstiet bikvadrātisku vienādojumu t:

Atbilde: vai

7 .

Šim vienādojumam ir šāda struktūra:

Lai to atrisinātu, vienādojuma kreisajā pusē ir jāizvēlas pilns kvadrāts.

Lai atlasītu pilnu kvadrātu, jums ir jāpievieno vai jāatņem dubultais produkts. Tad mēs iegūstam summas vai starpības kvadrātu. Tas ir ļoti svarīgi veiksmīgai mainīgā aizstāšanai.

Sāksim ar dubultprodukta atrašanu. Tā būs atslēga mainīgā lieluma aizstāšanai. Mūsu vienādojumā dubultais produkts ir

Tagad izdomāsim, kas mums ir ērtāk - summas vai starpības kvadrāts. Vispirms apsveriet izteiksmju summu:

labi! šī izteiksme ir tieši vienāda ar divkāršu reizinājumu. Pēc tam, lai iekavās iegūtu summas kvadrātu, jums jāsaskaita un jāatņem dubultais reizinājums: