Naturālo skaitļu skaits. Kas ir naturāls skaitlis? Vēsture, apjoms, īpašības

Veseli skaitļi mums ļoti pazīstami un dabiski. Un tas nav pārsteidzoši, jo iepazīšanās ar viņiem sākas no mūsu pirmajiem dzīves gadiem intuitīvā līmenī.

Šajā rakstā sniegtā informācija veido pamata izpratni par naturālajiem skaitļiem, atklāj to mērķi, ieaudzina naturālo skaitļu rakstīšanas un lasīšanas prasmes. Priekš labāka asimilācija materiāls, sniegti nepieciešamie piemēri un ilustrācijas.

Lapas navigācija.

Dabiskie skaitļi ir vispārīgs attēlojums.

Sekojošais atzinums netrūkst saprātīgas loģikas: radās objektu skaitīšanas problēma (pirmais, otrais, trešais objekts utt.) un problēma ar objektu skaita norādīšanu (viens, divi, trīs objekti utt.) līdz rīka izveidei tā risināšanai, šis rīks bija veseli skaitļi.

Šis priekšlikums parāda naturālo skaitļu galvenais mērķis- pārnēsāt informāciju par jebkuru vienību skaitu vai konkrētās preces sērijas numuru attiecīgajā vienību komplektā.

Lai cilvēks varētu lietot naturālos skaitļus, tiem ir jābūt kaut kādā veidā pieejamiem gan uztverei, gan reproducēšanai. Ja jūs izklausīsit katru naturālo skaitli, tad tas kļūs uztverams ar ausi, un, ja attēlosiet naturālu skaitli, tad to varēs redzēt. Šie ir dabiskākie veidi, kā nodot un uztvert naturālos skaitļus.

Tātad sāksim apgūt naturālu skaitļu attēlošanas (rakstīšanas) un izrunāšanas (lasīšanas) prasmes, vienlaikus apgūstot to nozīmi.

Decimālzīme naturālam skaitlim.

Pirmkārt, mums vajadzētu izlemt, uz ko balstīsimies, rakstot naturālus skaitļus.

Iegaumēsim šādu rakstzīmju attēlus (rādām tos atdalot ar komatiem): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Parādītie attēli ir ieraksts par t.s cipariem. Uzreiz vienosimies, ka rakstot skaitļus neapgāzt, negāzt un kā citādi nesagrozīt.

Tagad mēs vienojamies, ka jebkura naturāla skaitļa apzīmējumā var būt tikai norādītie cipari un citi simboli nevar būt. Mēs arī piekrītam, ka cipariem naturālā skaitļa apzīmējumā ir vienāds augstums, tie ir sakārtoti rindā viens pēc otra (gandrīz bez atkāpēm), un kreisajā pusē ir cipars, kas atšķiras no cipara 0 .

Šeit ir daži piemēri pareizam naturālo skaitļu apzīmējumam: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (piezīme: ievilkumi starp skaitļiem ne vienmēr ir vienādi, vairāk par to tiks apspriests, pārskatot). No iepriekš minētajiem piemēriem var redzēt, ka naturāls skaitlis ne vienmēr satur visus ciparus 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; daži vai visi naturālā skaitļa rakstīšanā iesaistītie cipari var tikt atkārtoti.

Ieraksti 014 , 0005 , 0 , 0209 nav naturālu skaitļu ieraksti, jo kreisajā pusē ir cipars 0 .

Tiek izsaukts naturāla skaitļa ieraksts, kas veikts, ņemot vērā visas šajā punktā aprakstītās prasības naturāla skaitļa decimālais apzīmējums.

Tālāk mēs nenošķirsim naturālos skaitļus un to apzīmējumus. Paskaidrosim: tālāk tekstā tādas frāzes kā “dots naturāls skaitlis 582 ", kas nozīmēs, ka ir dots naturāls skaitlis, kura apzīmējumam ir forma 582 .

Naturālie skaitļi objektu skaita izpratnē.

Ir pienācis laiks risināt kvantitatīvo nozīmi, ko nes ierakstītais dabiskais skaitlis. Naturālo skaitļu nozīme numerācijas objektu izteiksmē aplūkota naturālo skaitļu rakstu salīdzināšanā.

Sāksim ar naturāliem skaitļiem, kuru ieraksti sakrīt ar ciparu ierakstiem, tas ir, ar skaitļiem 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 Un 9 .

Iedomājieties, ka mēs atvērām acis un ieraudzījām kādu objektu, piemēram, šādu. Šajā gadījumā mēs varam rakstīt to, ko mēs redzam 1 priekšmets. Dabiskais skaitlis 1 tiek lasīts kā " viens"(cipara "viens" deklināciju, kā arī citus ciparus dosim rindkopā), skaitlim 1 pieņēma citu vārdu - " vienība».

Tomēr termins "vienība" ir daudzvērtīgs; papildus dabiskajam skaitlim 1 , tiek saukti par kaut ko tādu, kas tiek uzskatīts par kopumu. Piemēram, jebkuru vienumu no to komplekta var saukt par vienību. Piemēram, jebkurš ābols no daudziem āboliem ir viens, jebkurš putnu bars no daudziem putnu bariem arī ir viens utt.

Tagad mēs atveram acis un redzam: Tas ir, mēs redzam vienu objektu un otru objektu. Šajā gadījumā mēs varam rakstīt to, ko mēs redzam 2 priekšmets. Dabiskais skaitlis 2 , skan kā " divi».

Tāpat, - 3 priekšmets (lasīt " trīs» priekšmets), - 4 (« četri"") no tēmas, - 5 (« pieci»), - 6 (« seši»), - 7 (« septiņi»), - 8 (« astoņi»), - 9 (« deviņi”) vienumus.

Tātad no aplūkotās pozīcijas naturālie skaitļi 1 , 2 , 3 , …, 9 norādīt numuru preces.

Skaitlis, kura apzīmējums sakrīt ar cipara apzīmējumu 0 , sauc par " nulle". Skaitlis nulle NAV naturāls skaitlis, tomēr to parasti uzskata kopā ar naturāliem skaitļiem. Atcerieties: nulle nozīmē kaut kā neesamību. Piemēram, nulle vienumu nav viens vienums.

Nākamajās raksta rindkopās turpināsim atklāt naturālo skaitļu nozīmi daudzuma norādīšanas ziņā.

viencipara naturālie skaitļi.

Acīmredzot katra naturālā skaitļa ieraksts 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 sastāv no vienas zīmes - viena cipara.

Definīcija.

Viencipara naturālie skaitļi ir naturāli skaitļi, kuru ieraksts sastāv no vienas zīmes – viena cipara.

Uzskaitīsim visus viencipara naturālos skaitļus: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Ir deviņi viencipara naturālie skaitļi.

Divciparu un trīsciparu naturālie skaitļi.

Pirmkārt, mēs sniedzam divciparu naturālu skaitļu definīciju.

Definīcija.

Divciparu naturālie skaitļi- tie ir naturāli skaitļi, kuru ierakstā ir divas rakstzīmes - divi cipari (atšķirīgi vai vienādi).

Piemēram, naturāls skaitlis 45 - divciparu skaitļi 10 , 77 , 82 arī divciparu 5 490 , 832 , 90 037 - nav divciparu.

Izdomāsim, kāda nozīme ir divciparu skaitļiem, savukārt sāksim no mums jau zināmās viencipara naturālo skaitļu kvantitatīvās nozīmes.

Vispirms iepazīstināsim ar koncepciju desmit.

Iedomāsimies šādu situāciju – mēs atvērām acis un ieraudzījām komplektu, kas sastāv no deviņiem priekšmetiem un vēl viena objekta. Šajā gadījumā tiek runāts par 1 desmit (viens ducis) priekšmetu. Ja viens uzskata kopā vienu desmit un vēl vienu desmit, tad runā par 2 desmiti (divi desmiti). Ja mēs pievienosim vēl desmit līdz diviem desmitiem, mums būs trīs desmiti. Šo procesu turpinot, iegūsim četrus desmitniekus, piecus desmitniekus, sešus desmitniekus, septiņus desmitniekus, astoņus desmitniekus un visbeidzot deviņus desmitniekus.

Tagad mēs varam pāriet uz divciparu naturālo skaitļu būtību.

Lai to izdarītu, uzskata, ka divciparu skaitlis ir divi viencipara- viens atrodas kreisajā pusē divciparu skaitļa apzīmējumā, otrs ir labajā pusē. Cipars kreisajā pusē norāda desmitnieku skaitu, bet labajā pusē - vieninieku skaitu. Turklāt, ja divciparu skaitļa ierakstā labajā pusē ir cipars 0 , tad tas nozīmē, ka nav vienību. Tā ir visa divciparu naturālo skaitļu būtība summas norādīšanas ziņā.

Piemēram, divciparu naturāls skaitlis 72 atbilst 7 desmitiem un 2 vienības (tas ir, 72 āboli ir septiņi desmiti ābolu un vēl divi āboli), un numurs 30 atbildes 3 desmitiem un 0 nav vienību, tas ir, vienības, kas nav apvienotas desmitos.

Atbildēsim uz jautājumu: "Cik divciparu naturālu skaitļu pastāv"? Atbilde: viņi 90 .

Mēs pievēršamies trīsciparu naturālo skaitļu definīcijai.

Definīcija.

Naturālie skaitļi, kuru apzīmējums sastāv no 3 zīmes - 3 tiek izsaukti cipari (atšķirīgi vai atkārtoti). trīsciparu.

Dabisku trīsciparu skaitļu piemēri ir 372 , 990 , 717 , 222 . Veseli skaitļi 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 nav trīs cipari.

Lai saprastu trīsciparu naturālo skaitļu nozīmi, mums ir nepieciešams jēdziens simtiem.

Desmit desmitnieku komplekts ir 1 simts (simts). Simts un simts ir 2 simtiem. Divi simti un vēl simts ir trīs simti. Un tā tālāk, mums ir četri simti, pieci simti, sešsimt, septiņsimt, astoņsimt un visbeidzot deviņi simti.

Tagad aplūkosim trīsciparu naturālu skaitli kā trīs viencipara naturālus skaitļus, kas iet viens pēc otra no labās uz kreiso trīsciparu naturāla skaitļa apzīmējumā. Labajā pusē esošais cipars norāda vienību skaitu, nākamais skaitlis norāda desmitnieku skaitu, nākamais skaitlis simtu skaitu. Skaitļi 0 trīsciparu skaitļa ierakstā nozīmē desmitu un (vai) vieninieku neesamību.

Tādējādi trīsciparu naturāls skaitlis 812 atbilst 8 simtiem 1 desmit labākie un 2 vienības; numuru 305 - trīs simti 0 desmiti, tas ir, desmiti nav apvienoti simtos, nē) un 5 vienības; numuru 470 - četri simti septiņi desmiti (nav vienību, kas nav apvienotas desmitos); numuru 500 - pieci simti (desmiti nav apvienoti simtos, un vienības nav apvienotas desmitos, nē).

Līdzīgi var definēt četrciparu, piecciparu, sešciparu un tā tālāk. naturālie skaitļi.

Daudzvērtību naturālie skaitļi.

Tātad, mēs pievēršamies daudzvērtīgu naturālu skaitļu definīcijai.

Definīcija.

Daudzvērtību naturālie skaitļi- tie ir naturāli skaitļi, kuru ieraksts sastāv no diviem vai trim, vai četriem utt. zīmes. Citiem vārdiem sakot, daudzciparu naturālie skaitļi ir divciparu, trīsciparu, četrciparu utt. cipariem.

Teiksim uzreiz, ka komplekts, kas sastāv no desmit simtiem, ir viens tūkstotis, tūkstoš tūkstoši ir viens miljons, tūkstotis miljoni ir viens biljons, tūkstoš miljardu ir viens triljons. Tūkstoš triljoniem, tūkstoš triljoniem un tā tālāk var dot arī savus vārdus, taču tas nav īpaši nepieciešams.

Tātad, kāda ir daudzvērtību naturālo skaitļu nozīme?

Apskatīsim daudzciparu naturālu skaitli kā viencipara naturālus skaitļus, kas seko viens pēc otra no labās uz kreiso pusi. Labajā pusē esošais skaitlis norāda vienību skaitu, nākamais skaitlis ir desmitu skaits, nākamais ir simtu skaits, tad tūkstošu skaits, nākamais ir desmitu tūkstošu skaits, nākamais ir simtiem tūkstošu , nākamais ir miljonu skaits, nākamais ir desmitiem miljonu skaits, nākamais ir simtiem miljonu, nākamais - miljardu skaits, tad - desmitiem miljardu skaits, tad - simtiem miljardu, tad - triljonus, pēc tam - desmitiem triljonu, pēc tam - simtiem triljonu utt.

Piemēram, daudzciparu naturāls skaitlis 7 580 521 atbilst 1 vienība, 2 desmitiem, 5 simtiem 0 tūkstošiem 8 desmitiem tūkstošu 5 simtiem tūkstošu un 7 miljoniem.

Tā mēs iemācījāmies grupēt vienības desmitos, desmitos simtos, simtus tūkstošos, tūkstošus desmitos tūkstošu un tā tālāk, un noskaidrojām, ka skaitļi daudzciparu naturāla skaitļa ierakstā norāda atbilstošo skaitli augstāk minētajām grupām.

Lasīt naturālus skaitļus, klases.

Mēs jau esam minējuši, kā tiek lasīti viencipara naturālie skaitļi. Mācīsimies no galvas turpmāko tabulu saturu.

Un kā tiek nolasīti pārējie divciparu skaitļi?

Paskaidrosim ar piemēru. Dabiskā skaitļa lasīšana 74 . Kā mēs noskaidrojām iepriekš, šis skaitlis atbilst 7 desmitiem un 4 vienības, tas ir, 70 Un 4 . Mēs pievēršamies tikko uzrakstītajām tabulām un numuram 74 mēs lasām kā: "Septiņdesmit četri" (mēs neizrunājam savienību "un"). Ja vēlaties lasīt numuru 74 teikumā: "Nē 74 āboli" (ģenitīvais burts), tad tas skanēs šādi: "Nav septiņdesmit četru ābolu." Vēl viens piemērs. Numurs 88 - šis 80 Un 8 , tāpēc mēs lasām: "Astoņdesmit astoņi." Un šeit ir teikuma piemērs: "Viņš domā par astoņdesmit astoņiem rubļiem."

Pāriesim pie trīsciparu naturālu skaitļu lasīšanas.

Lai to izdarītu, mums būs jāiemācās vēl daži jauni vārdi.

Atliek parādīt, kā tiek nolasīti atlikušie trīsciparu naturālie skaitļi. Šajā gadījumā izmantosim jau iegūtās prasmes viencipara un divciparu skaitļu lasīšanā.

Ņemsim piemēru. Lasīsim numuru 107 . Šis skaitlis atbilst 1 simts un 7 vienības, tas ir, 100 Un 7 . Pievēršoties galdiem, mēs lasām: "Simts septiņi." Tagad teiksim skaitli 217 . Šis skaitlis ir 200 Un 17 , tāpēc mēs lasām: "Divi simti septiņpadsmit." Tāpat 888 - šis 800 (astoņi simti) un 88 (astoņdesmit astoņi), mēs lasām: "Astoņi simti astoņdesmit astoņi."

Mēs pievēršamies daudzciparu skaitļu lasīšanai.

Nolasīšanai daudzciparu naturālā skaitļa ieraksts tiek sadalīts, sākot no labās puses, trīs ciparu grupās, savukārt vistālāk kreisā šādā grupā var būt vai nu 1 , vai 2 , vai 3 cipariem. Šīs grupas sauc klases. Labajā pusē esošā klase tiek saukta vienību klase. Tiek izsaukta nākamā klase (no labās uz kreiso pusi). tūkstošu klase, nākamā klase ir miljonu klase, Nākamais - miljardu klase, tad aiziet triljonu klase. Var dot šādu klašu nosaukumus, bet naturālus skaitļus, kuru ieraksts sastāv no 16 , 17 , 18 utt. zīmes parasti nelasa, jo tās ir ļoti grūti uztvert ar ausi.

Apskatiet piemērus vairāku ciparu skaitļu sadalīšanai klasēs (skaidrības labad klases ir atdalītas viena no otras ar nelielu atkāpi): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

Ierakstītos naturālos skaitļus saliksim tabulā, pēc kuras tos viegli iemācīties lasīt.

Lai nolasītu naturālu skaitli, mēs no kreisās uz labo pusi izsaucam skaitļus, kas to veido pa klasēm, un pievienojam klases nosaukumu. Tajā pašā laikā mēs neizrunājam vienību klases nosaukumu, kā arī izlaižam tās klases, kas veido trīs ciparus 0 . Ja klases ierakstā ir cipars kreisajā pusē 0 vai divi cipari 0 , tad ignorējiet šos skaitļus 0 un nolasiet skaitli, kas iegūts, atmetot šos ciparus 0 . Piemēram, 002 lasīt kā "divi" un 025 - piemēram, "divdesmit pieci".

Lasīsim numuru 489 002 saskaņā ar dotajiem noteikumiem.

Mēs lasām no kreisās uz labo,

• izlasi numuru 489 , kas pārstāv tūkstošu klasi, ir "četri simti astoņdesmit deviņi";
• pievieno klases nosaukumu, iegūstam "četri simti astoņdesmit deviņi tūkstoši";
• tālāk mūsu redzamajā vienību klasē 002 , nulles atrodas kreisajā pusē, tāpēc mēs tās ignorējam 002 lasīt kā "divi";
• vienības klases nosaukums nav jāpievieno;
• kā rezultātā mums ir 489 002 - četri simti astoņdesmit deviņi tūkstoši divi.

Sāksim lasīt numuru 10 000 501 .

• Kreisajā pusē miljonu klasē mēs redzam skaitli 10 , mēs lasām "desmit";
• pievienojiet klases nosaukumu, mums ir "desmit miljoni";
• nākamo mēs redzam ierakstu 000 tūkstošu klasē, jo visi trīs cipari ir cipari 0 , tad mēs izlaižam šo nodarbību un pārejam uz nākamo;
• vienību klase apzīmē skaitli 501 , ko mēs lasām "pieci simti un viens";
• tātad, 10 000 501 desmit miljoni pieci simti viens.

Darīsim to bez detalizētiem paskaidrojumiem: 1 789 090 221 214 - "viens triljons septiņi simti astoņdesmit deviņi miljardi deviņdesmit miljoni divi simti divdesmit viens tūkstotis divi simti četrpadsmit."

Tātad daudzciparu naturālu skaitļu lasīšanas prasmes pamatā ir spēja sadalīt daudzciparu skaitļus klasēs, klašu nosaukumu zināšanas un spēja lasīt trīsciparu skaitļus.

Naturāla skaitļa cipari, cipara vērtība.

Rakstot naturālu skaitli, katra cipara vērtība ir atkarīga no tā pozīcijas. Piemēram, naturāls skaitlis 539 atbilst 5 simtiem 3 desmitiem un 9 vienības, tātad skaitlis 5 numura ierakstā 539 definē simtu skaitu, ciparu 3 ir desmitu skaits un cipars 9 - vienību skaits. Runā, ka numurs 9 stāv iekšā vienību cipars un numurs 9 ir vienības ciparu vērtība, numurs 3 stāv iekšā desmitnieku vieta un numurs 3 ir desmitiem vietas vērtība un numuru 5 - iekšā simtiem vietu un numurs 5 ir simtiem vietas vērtība.

Pa šo ceļu, izlāde- tā, no vienas puses, ir cipara pozīcija naturāla skaitļa apzīmējumā un, no otras puses, šī cipara vērtība, ko nosaka tā atrašanās vieta.

Pakāpēm ir doti vārdi. Ja paskatās uz skaitļiem naturālā skaitļa ierakstā no labās uz kreiso pusi, tad tiem atbilst šādi cipari: vienības, desmiti, simti, tūkstoši, desmiti tūkstoši, simti tūkstoši, miljoni, desmiti miljoni un tā tālāk.

Kategoriju nosaukumus ir ērti atcerēties, kad tie tiek parādīti tabulas veidā. Uzrakstīsim tabulu, kurā ir 15 ciparu nosaukumi.

Ņemiet vērā, ka dotā naturālā skaitļa ciparu skaits ir vienāds ar šī skaitļa rakstīšanā iesaistīto rakstzīmju skaitu. Tādējādi ierakstītajā tabulā ir visu naturālo skaitļu ciparu nosaukumi, kuru ierakstā ir līdz 15 rakstzīmēm. Arī nākamajiem cipariem ir savi nosaukumi, taču tie tiek lietoti ļoti reti, tāpēc nav jēgas tos minēt.

Izmantojot ciparu tabulu, ir ērti noteikt dotā naturālā skaitļa ciparus. Lai to izdarītu, jums jāieraksta šis dabiskais skaitlis šajā tabulā tā, lai katrā ciparā būtu viens cipars, bet galējais labais cipars ir vienību cipars.

Ņemsim piemēru. Uzrakstīsim naturālu skaitli 67 922 003 942 tabulā, un cipari un šo ciparu vērtības kļūs skaidri redzamas.

Šī numura ierakstā cipars 2 stāv mērvienībās vieta, cipars 4 - desmitnieku vietā, cipars 9 - simtos vietā utt. Pievērsiet uzmanību skaitļiem 0 , kas ir desmitiem tūkstošu un simtu tūkstošu cipariem. Skaitļi 0 ar šiem cipariem nozīmē šo ciparu vienību neesamību.

Jāpiemin arī daudzvērtību naturālā skaitļa tā sauktā zemākā (zemākā) un augstākā (augstākā) kategorija. Zemāks (junioru) rangs jebkurš daudzvērtīgs naturāls skaitlis ir vienību cipars. Augstākais (augstākais) naturālā skaitļa cipars ir cipars, kas atbilst vistālākajam labējam ciparam šī skaitļa ierakstā. Piemēram, naturālā skaitļa 23004 mazākais cipars ir vienību cipars, bet augstākais cipars ir desmitiem tūkstošu cipars. Ja naturāla skaitļa apzīmējumā virzāmies pa cipariem no kreisās puses uz labo, tad katrs nākamais cipars zemāks (jaunāks) iepriekšējā. Piemēram, tūkstošu cipars ir mazāks par desmitiem tūkstošu, it īpaši tūkstošu cipars ir mazāks par simtiem tūkstošu, miljonu, desmitiem miljonu utt. Ja naturāla skaitļa apzīmējumā virzāmies pa cipariem no labās puses uz kreiso, tad katrs nākamais cipars augstāks (vecāks) iepriekšējā. Piemēram, simtu cipars ir vecāks par desmitiem, un vēl jo vairāk, tas ir vecāks par vieniniekiem.

Dažos gadījumos (piemēram, veicot saskaitīšanu vai atņemšanu) tiek izmantots nevis pats naturālais skaitlis, bet gan šī naturālā skaitļa bitu vārdu summa.

Īsi par decimālo skaitļu sistēmu.

Tātad, mēs iepazināmies ar naturāliem skaitļiem, tiem piemītošo nozīmi un veidu, kā rakstīt naturālus skaitļus, izmantojot desmit ciparus.

Kopumā tiek izsaukta skaitļu rakstīšanas metode, izmantojot zīmes numuru sistēma. Cipara vērtība skaitļa ierakstā var būt vai nebūt atkarīga no tā atrašanās vietas. Tiek izsauktas skaitļu sistēmas, kurās cipara vērtība skaitļa ierakstā ir atkarīga no tā atrašanās vietas pozicionāls.

Tādējādi mūsu aplūkotie naturālie skaitļi un to rakstīšanas metode norāda, ka mēs izmantojam pozicionālo skaitļu sistēmu. Jāpiebilst, ka īpaša vietašajā skaitļu sistēmā ir skaitlis 10 . Patiešām, punktu skaits tiek glabāts desmitos: desmit vienības tiek apvienotas desmit, desmit desmiti tiek apvienoti simtā, desmit simti — tūkstotis un tā tālāk. Numurs 10 sauca pamata dotā skaitļu sistēma, un pati skaitļu sistēma tiek izsaukta decimālzīme.

Papildus decimālo skaitļu sistēmai ir arī citas, piemēram, datorzinātnēs tiek izmantota binārā pozicionālā skaitļu sistēma, un mēs sastopamies ar seksagesimālo sistēmu, kad mēs runājam par laika mērīšanu.

Bibliogrāfija.

• Matemātika. Jebkuras mācību grāmatas 5 izglītības iestāžu klasēm.

Skaitīšanai var izmantot naturālos skaitļus (viens ābols, divi āboli utt.)

Veseli skaitļi(no lat. naturalis- dabīgs; dabiskie skaitļi) - skaitļi, kas dabiski rodas skaitīšanas laikā (piemēram, 1, 2, 3, 4, 5 ...). Tiek izsaukta visu naturālo skaitļu secība, kas sakārtota augošā secībā dabiski blakus.

Ir divas pieejas naturālo skaitļu definīcijai:

• skaitīšana (numerācija) preces ( vispirms, otrais, trešais, ceturtais, piektais"…);
• naturālie skaitļi - skaitļi, kas rodas, kad daudzuma apzīmējums preces ( 0 preces, 1 prece, 2 preces, 3 preces, 4 preces, 5 preces"...).

Pirmajā gadījumā naturālo skaitļu virkne sākas no viena, otrajā - no nulles. Vairumam matemātiķu nav vienota viedokļa par pirmās vai otrās pieejas izvēli (tas ir, vai nulli uzskatīt par naturālu skaitli vai nē). Lielākā daļa krievu avotu tradicionāli ir pieņēmuši pirmo pieeju. Otrā pieeja, piemēram, tiek izmantota Nikolasa Burbaki rakstos, kur naturālie skaitļi ir definēti kā ierobežotu kopu kardinalitātes.

Negatīvie un neveselie (racionālie, reālie, ...) skaitļi nepieder pie naturāliem skaitļiem.

Visu naturālo skaitļu kopa ierasts apzīmēt simbolu N (\displaystyle \mathbb (N) ) (no lat. naturalis- dabiski). Naturālo skaitļu kopa ir bezgalīga, jo jebkuram naturālam skaitlim n (\displaystyle n) ir naturāls skaitlis, kas ir lielāks par n (\displaystyle n) .

Nulles klātbūtne atvieglo daudzu teorēmu formulēšanu un pierādīšanu naturālo skaitļu aritmētikā, tāpēc pirmā pieeja ievieš noderīgo jēdzienu. pagarināta dabiskā sērija, ieskaitot nulli. Paplašinātā rinda tiek apzīmēta ar N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) vai Z 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(0)) .

Aksiomas, kas ļauj definēt naturālo skaitļu kopu

Peano aksiomas naturāliem skaitļiem

Galvenais raksts: Peano aksiomas

Kopa N (\displaystyle \mathbb (N) ) tiks saukta par naturālu skaitļu kopu, ja kāds elements ir fiksēts 1 (viena), kas pieder pie N (\displaystyle \mathbb (N) ) (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )), un funkcija S (\displaystyle S) ar domēnu N (\displaystyle \mathbb (N) ) un diapazonu N (\displaystyle \mathbb (N) ) (ko sauc par pēctecības funkciju; S: N → N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N) )), lai ir izpildīti šādi nosacījumi:

1. vienība ir naturāls skaitlis (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) ));
2. skaitlis pēc naturāla skaitļa arī ir naturāls (ja x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) , tad S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) )) ;
3. viens neseko nevienam naturālam skaitlim (∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1))));
4. ja naturāls skaitlis a (\displaystyle a) uzreiz seko gan dabiskajam skaitlim b (\displaystyle b), gan naturālajam skaitlim c (\displaystyle c) , tad b = c (\displaystyle b=c) (ja S (b ) = a (\displaystyle S(b)=a) un S (c) = a (\displaystyle S(c)=a) , tad b = c (\displaystyle b=c));
5. (indukcijas aksioma) ja kāds teikums (paziņojums) P (\displaystyle P) ir pierādīts naturālam skaitlim n = 1 (\displaystyle n=1) ( indukcijas bāze) un ja pieņēmums, ka tas ir patiess citam naturālam skaitlim n (\displaystyle n), nozīmē, ka tas ir patiess dabiskajam skaitlim, kas seko n (\displaystyle n) ( indukcijas hipotēze), tad šis priekšlikums ir patiess visiem naturālajiem skaitļiem (lai P (n) (\displaystyle P(n)) ir kāds vienvietīgs (unārs) predikāts, kura parametrs ir naturāls skaitlis n (\displaystyle n). Tad, ja P (1 ) (\displaystyle P(1)) un ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)) ))) , tad ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

Iepriekš minētās aksiomas atspoguļo mūsu intuitīvo izpratni par dabiskajām sērijām un skaitļu līniju.

Galvenais fakts ir tāds, ka šīs aksiomas būtībā unikāli nosaka naturālos skaitļus (Pīno aksiomu sistēmas kategoriskumu). Proti, var pierādīt (skat. arī īso pierādījumu), ka ja (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) un (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ( (\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S)))) ir divi Peano aksiomu sistēmas modeļi, tad tie noteikti ir izomorfi, ti, pastāv invertējama kartēšana (bijection) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) tā, ka f (1) = 1 ~ (\displaystyle f( 1) =(\tilde (1)) un f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x)) ) visiem x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) .

Tāpēc ir pietiekami fiksēt kā N (\displaystyle \mathbb (N) ) jebkuru konkrētu naturālo skaitļu kopas modeli.

Naturālo skaitļu kopu teorētiskā definīcija (Frēža-Rasela definīcija)

Saskaņā ar kopu teoriju vienīgais matemātisku sistēmu konstruēšanas objekts ir kopa.

Tādējādi, pamatojoties uz kopas jēdzienu, tiek ieviesti arī naturālie skaitļi saskaņā ar diviem noteikumiem:

• S (n) = n ∪ ( n ) (\displaystyle S(n)=n\cup \left\(n\right\)) .

Šādi definētus skaitļus sauc par kārtas skaitļiem.

Aprakstīsim dažus pirmos kārtas skaitļus un tiem atbilstošos naturālos skaitļus:

• 0 = ∅ (\displaystyle 0=\varnothing );
• 1 = ( 0 ) = ( ∅ ) (\displaystyle 1=\left\(0\right\)=\left\(\varnothing \right\)) ;
• 2 = ( 0 , 1 ) = ( ∅ , ( ∅ ) ) (\displaystyle 2=\left\(0,1\right\)=(\big \()\varnothing ,\;\left\(\varnothing \ pa labi\)(\liels \))) ;
• 3 = ( 0 , 1 , 2 ) = ( ∅ , ( ∅ ) , ( ∅ , ( ∅ ) ) ) (\displaystyle 3=\left\(0,1,2\right\)=(\Big \() \varnothing ,\;\left\(\varnothing \right\),\;(\big \()\varnothing ,\;\left\(\varnothing \right\)(\big \))(\Big \) )) .

Nulle kā naturāls skaitlis

Dažkārt, īpaši ārzemju un tulkotajā literatūrā, Pīno pirmā un trešā aksioma aizstāj vienu ar nulli. Šajā gadījumā nulle tiek uzskatīta par naturālu skaitli. Ja definē kā ekvivalentu kopu klases, nulle pēc definīcijas ir naturāls skaitlis. Būtu pretdabiski to īpaši izmest. Turklāt tas ievērojami sarežģītu teorijas turpmāko konstruēšanu un pielietojumu, jo lielākajā daļā konstrukciju nulle, tāpat kā tukšā kopa, nav kaut kas izolēts. Vēl viena priekšrocība, uzskatot nulli par naturālu skaitli, ir tā, ka N (\displaystyle \mathbb (N) ) veido monoīdu.

Krievu literatūrā nulle parasti tiek izslēgta no naturālo skaitļu skaita (0 ∉ N (\displaystyle 0\notin \mathbb (N) )), un naturālo skaitļu kopa ar nulli tiek apzīmēta kā N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0) ) . Ja naturālu skaitļu definīcijā ir iekļauta nulle, tad naturālo skaitļu kopa tiek rakstīta kā N (\displaystyle \mathbb (N) ) , bet bez nulles - kā N ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*) ) .

Starptautiskajā matemātiskajā literatūrā, ņemot vērā iepriekš minēto un lai izvairītos no neskaidrībām, kopu ( 1 , 2 , … ) (\displaystyle \(1,2,\dots \)) parasti sauc par pozitīvo veselo skaitļu kopu un apzīmē ar Z + (\displaystyle \ mathbb (Z) _(+)) . Kopu ( 0 , 1 , … ) (\displaystyle \(0,1,\dots \)) bieži sauc par nenegatīvu veselu skaitļu kopu un apzīmē ar Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(\ geqslant 0)) .

Naturālo skaitļu kopas (N (\displaystyle \mathbb (N) )) atrašanās vieta veselo skaitļu kopās (Z (\displaystyle \mathbb (Z) )), racionālie skaitļi(Q (\displaystyle \mathbb (Q) )), reāli skaitļi(R (\displaystyle \mathbb (R) )) un iracionāli skaitļi(R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (R) \setminus \mathbb (Q) ))

Naturālo skaitļu kopas vērtība

Bezgalīgas kopas lielumu raksturo jēdziens "kopas jauda", kas ir galīgas kopas elementu skaita vispārinājums uz bezgalīgām kopām. Pēc lieluma (t.i., kardinalitātes) naturālo skaitļu kopa ir lielāka par jebkuru galīgu kopu, bet mazāka par jebkuru intervālu, piemēram, intervālu (0 , 1) (\displaystyle (0,1)) . Naturālo skaitļu kopai ir tāda pati kardinalitāte kā racionālo skaitļu kopai. Kopu, kuras kardinalitāte ir tāda pati kā naturālo skaitļu kopai, sauc par saskaitāmu kopu. Tādējādi jebkuras secības terminu kopa ir saskaitāma. Tajā pašā laikā pastāv secība, kurā katrs naturālais skaitlis parādās bezgalīgi daudz reižu, jo naturālo skaitļu kopu var attēlot kā saskaitāmu nesavienotu saskaitāmu kopu savienību (piemēram, N = ⋃ k = 0 ∞ ( ⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\bigcup \limits _(n=0) )^(\infty )(2n+ 1)2^(k)\right))).

Darbības ar naturāliem skaitļiem

Slēgtās darbības (operācijas, kas neizvada rezultātu no naturālu skaitļu kopas) ar naturāliem skaitļiem ietver šādas aritmētiskās darbības:

• papildinājums: termins + termins = summa;
• reizināšana: reizinātājs × reizinātājs = reizinājums;
• eksponenci: a b (\displaystyle a^(b)) , kur a (\displaystyle a) ir eksponenta bāze, b (\displaystyle b) ir eksponents. Ja a (\displaystyle a) un b (\displaystyle b) ir naturāli skaitļi, tad arī rezultāts ir naturāls skaitlis.

Turklāt tiek apskatītas vēl divas darbības (no formālā viedokļa tās nav darbības ar naturāliem skaitļiem, jo ​​tās nav definētas visi skaitļu pāri (dažreiz tie pastāv, dažreiz nav)):

• atņemšana: minuend - subtrahand = atšķirība. Šajā gadījumā minuend ir jābūt lielākam par apakšrindu (vai vienādam ar to, ja nulle uzskatām par naturālu skaitli);
• sadalīšana ar atlikumu: dividende / dalītājs = (dalījums, atlikums). Koeficients p (\displaystyle p) un atlikums r (\displaystyle r), kad a (\displaystyle a) tiek dalīts ar b (\displaystyle b), tiek definēti šādi: a = p ⋅ b + r (\displaystyle a= p\cdot b+ r) , turklāt 0 ⩽ rb (\displaystyle 0\leqslant r var attēlot kā a = p ⋅ 0 + a (\displaystyle a=p\cdot 0+a) , tas ir, jebkurš skaitlis varētu būt tiek uzskatīts par privātu, bet pārējais ir (\displaystyle a) .

Jāņem vērā, ka saskaitīšanas un reizināšanas operācijas ir fundamentālas. Jo īpaši veselu skaitļu gredzens tiek definēts precīzi, izmantojot saskaitīšanas un reizināšanas binārās darbības.

Pamatīpašības

• Pievienošanas komutativitāte:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a) .

• Reizināšanas komutativitāte:

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a) .

• Papildinājuma asociativitāte:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displeja stils (a+b)+c=a+(b+c)) .

• Reizināšanas asociativitāte:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)) .

• Reizināšanas sadalījums attiecībā uz saskaitīšanu:

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(cases))) .

Algebriskā struktūra

Saskaitīšana naturālo skaitļu kopu pārvērš pusgrupā ar vienotību, vienotības lomu spēlē 0 . Reizināšana arī pārveido naturālo skaitļu kopu pusgrupā ar vienību, bet identitātes elements ir 1 . Noslēdzot saskaitīšanas-atņemšanas un reizināšanas-dalīšanas operācijas, mēs iegūstam veselu skaitļu grupas Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) un racionālus pozitīvos skaitļus Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^(*)) attiecīgi.

Kopu teorētiskās definīcijas

Izmantosim naturālo skaitļu definīciju kā galīgo kopu ekvivalences klases. Ja apzīmējam kopas ekvivalences klasi A, ģenerē ar bijekcijām, izmantojot kvadrātiekavas: [ A], aritmētiskās pamatoperācijas ir definētas šādi:

• [ A ] + [ B ] = [ A ⊔ B ] (\displaystyle [A]+[B]=) ;
• [ A ] ⋅ [ B ] = [ A × B ] (\displaystyle [A]\cdot [B]=) ;
• [ A ] [ B ] = [ A B ] (\displeja stils ([A])^([B])=) ,

• A ⊔ B (\displaystyle A\sqcup B) - nesavienota kopu savienība;
• A × B (\displaystyle A\times B) - tiešais produkts;
• A B (\displaystyle A^(B)) — displeju kopa no B iekšā A.

Var parādīt, ka iegūtās operācijas ar klasēm ir ievadītas pareizi, tas ir, tās nav atkarīgas no klases elementu izvēles un sakrīt ar induktīvajām definīcijām.

Kas ir naturāls skaitlis? Vēsture, apjoms, īpašības

Matemātika radās no vispārējās filozofijas aptuveni sestajā gadsimtā pirms mūsu ēras. e., un no šī brīža sākās viņas uzvaras gājiens apkārt pasaulei. Katrs attīstības posms ieviesa kaut ko jaunu - elementārais konts evolucionēja, pārvērtās diferenciālos un integrālos aprēķinos, gadsimti mainījās, formulas kļuva arvien mulsinošākas, un pienāca brīdis, kad “visvairāk sarežģītā matemātika"No tā ir pazuduši visi cipari." Bet kāds bija pamats?

Laika sākums

Dabiskie skaitļi parādījās kopā ar pirmajām matemātiskajām darbībām. Reiz mugurkauls, divi muguriņas, trīs muguriņas... Tie parādījās, pateicoties Indijas zinātniekiem, kuri izstrādāja pirmo pozicionālo skaitļu sistēmu.
Vārds "pozicionalitāte" nozīmē, ka katra cipara atrašanās vieta skaitļā ir stingri noteikta un atbilst tā kategorijai. Piemēram, skaitļi 784 un 487 ir vieni un tie paši skaitļi, taču skaitļi nav līdzvērtīgi, jo pirmais ietver 7 simtus, bet otrajā tikai 4. Arābi pārņēma indiešu jauninājumu, kas skaitļus ienesa formā. ko mēs tagad zinām.

Senatnē skaitļiem tika piešķirta mistiska nozīme, lielākais matemātiķis Pitagors uzskatīja, ka skaitlis ir pasaules radīšanas pamatā kopā ar galvenajiem elementiem - uguni, ūdeni, zemi, gaisu. Ja mēs visu aplūkojam tikai no matemātiskās puses, tad kas ir naturāls skaitlis? Naturālo skaitļu lauks tiek apzīmēts kā N un ir bezgalīga veselu un pozitīvu skaitļu virkne: 1, 2, 3, … + ∞. Nulle ir izslēgta. To galvenokārt izmanto preču skaitīšanai un pasūtījuma norādīšanai.

Kas ir naturāls skaitlis matemātikā? Peano aksiomas

Lauks N ir pamatlauks, uz kuru balstās elementārā matemātika. Laika gaitā tika izdalīti veselo skaitļu, racionālo, komplekso skaitļu lauki.

Itāļu matemātiķa Džuzepes Peano darbs ļāva tālāk strukturēt aritmētiku, sasniedza tās formalitāti un pavēra ceļu turpmākiem secinājumiem, kas pārsniedza jomu N. Kas ir naturāls skaitlis, iepriekš tika noskaidrots vienkāršā valodā, tālāk aplūkosim matemātisko definīciju, kas balstīta uz Peano aksiomām.

• Viens tiek uzskatīts par naturālu skaitli.
• Skaitlis, kas seko naturālam skaitlim, ir naturāls skaitlis.
• Nav naturāla skaitļa pirms viena.
• Ja cipars b seko gan ciparam c, gan ciparam d, tad c=d.
• Indukcijas aksioma, kas savukārt parāda, kas ir naturāls skaitlis: ja kāds no parametra atkarīgs apgalvojums ir patiess skaitlim 1, tad pieņemam, ka tas darbojas arī skaitlim n no naturālo skaitļu lauka N. Tad apgalvojums ir patiess arī n =1 no naturālo skaitļu lauka N.

Pamatoperācijas naturālo skaitļu laukam

Tā kā lauks N kļuva par pirmo matemātiskiem aprēķiniem, uz to attiecas gan definīcijas jomas, gan vairāku darbību vērtību diapazoni zemāk. Tie ir slēgti un nav. Galvenā atšķirība ir tāda, ka slēgtās darbības garantē rezultātu kopas N ietvaros neatkarīgi no tā, kādi skaitļi ir iesaistīti. Pietiek ar to, ka tie ir dabiski. Atlikušo skaitlisko mijiedarbību rezultāts vairs nav tik viennozīmīgs un tieši atkarīgs no tā, kādi skaitļi ir iesaistīti izteiksmē, jo tas var būt pretrunā ar galveno definīciju. Tātad slēgtās darbības:

• saskaitījums – x + y = z, kur x, y, z ir iekļauti laukā N;
• reizināšana - x * y = z, kur x, y, z ir iekļauti laukā N;
• paaugstināšana - xy, kur x, y ir iekļauti N laukā.

Pārējās darbības, kuru rezultāts var nepastāvēt definīcijas "kas ir naturāls skaitlis" kontekstā, ir šādas:

Laukam N piederošo skaitļu īpašības

Visa turpmākā matemātiskā spriešana balstīsies uz sekojošām īpašībām, visnopietnākajām, bet ne mazāk svarīgām.

• Saskaitīšanas komutatīvais īpašums ir x + y = y + x, kur skaitļi x, y ir iekļauti laukā N. Vai arī labi zināmais "summa nemainās no terminu vietu maiņas."
• Reizināšanas komutatīvā īpašība ir x * y = y * x, kur skaitļi x, y ir iekļauti laukā N.
• Saskaitīšanas asociatīvā īpašība ir (x + y) + z = x + (y + z), kur x, y, z ir iekļauti laukā N.
• Reizināšanas asociatīvā īpašība ir (x * y) * z = x * (y * z), kur skaitļi x, y, z ir iekļauti laukā N.
• sadalījuma īpašība - x (y + z) = x * y + x * z, kur skaitļi x, y, z ir iekļauti laukā N.

Pitagora galds

Viens no pirmajiem soļiem, lai skolēni apzinātos visu elementārās matemātikas struktūru, pēc tam, kad viņi paši ir sapratuši, kurus skaitļus sauc par dabiskiem, ir Pitagora tabula. To var uzskatīt ne tikai no zinātnes viedokļa, bet arī par vērtīgu zinātnes pieminekli.

Šī reizināšanas tabula laika gaitā ir piedzīvojusi vairākas izmaiņas: no tās ir noņemta nulle, un skaitļi no 1 līdz 10 apzīmē sevi, neņemot vērā secības (simtiem, tūkstošiem ...). Tā ir tabula, kurā rindu un kolonnu virsraksti ir skaitļi, un to krustojuma šūnu saturs ir vienāds ar to reizinājumu.

Pēdējo desmitgažu mācīšanas praksē ir radusies nepieciešamība iegaumēt Pitagora tabulu "kārtībā", tas ir, iegaumēšana notika pirmajā vietā. Reizināšana ar 1 tika izslēgta, jo rezultāts bija 1 vai lielāks. Tikmēr tabulā ar neapbruņotu aci var redzēt zīmējumu: skaitļu reizinājums pieaug par vienu soli, kas ir vienāds ar rindas nosaukumu. Tādējādi otrais faktors parāda, cik reizes mums ir jāņem pirmais, lai iegūtu vēlamo produktu. Šī sistēma atšķirībā no viduslaikos izmantotā: pat saprotot, kas ir naturāls skaitlis un cik tas ir triviāls, cilvēkiem izdevās sarežģīt ikdienas skaitīšanu, izmantojot sistēmu, kas balstīta uz divi pakāpēm.

Apakškopa kā matemātikas šūpulis

Uz Šis brīdis naturālo skaitļu lauks N tiek uzskatīts tikai par vienu no komplekso skaitļu apakškopām, taču tas nepadara tos mazāk vērtīgus zinātnē. Dabiskais skaitlis ir pirmā lieta, ko bērns iemācās, pētot sevi un apkārtējo pasauli. Viens pirksts, divi pirksti... Pateicoties viņam, cilvēkā attīstās loģiskā domāšana, kā arī spēja noteikt cēloni un secināt sekas, paverot ceļu lieliem atklājumiem.

Diskusija: Dabiskais skaitlis

Strīdi ap nulli

Kādu iemeslu dēļ es nevaru iedomāties nulli kā naturālu skaitli ... Šķiet, ka senie cilvēki nulli nemaz nezināja. Jā, un TSB neuzskata nulli par naturālu skaitli. Tātad vismaz tas ir strīdīgs jautājums. Vai varat pateikt kaut ko neitrālāku par nulli? Vai arī ir labi argumenti? --.:Ajvol:. 18:18, 9 septembrī, 2004 (UTC)

atritināja atpakaļ pēdējās izmaiņas. --Maksāls 20:24, 9, 2004 (UTC)

Francijas akadēmija savulaik izdeva īpašu dekrētu, saskaņā ar kuru 0 tika iekļauts naturālo skaitļu kopā. Tagad tas ir standarts, manuprāt, nevajag ieviest jēdzienu "krievu naturālais skaitlis", bet gan pieturēties pie šī standarta. Protams, jāpiemin, ka kādreiz tā nebija (ne tikai Krievijā, bet visur). Toša 23:16, 9 septembrī, 2004 (UTC)

Franču akadēmija mums nav dekrēts. Angļu valodas matemātikas literatūrā arī nav noteikta viedokļa šajā jautājumā. Skatiet, piemēram, --Maxal 23:58, 9 Sep 2004 (UTC)

Kaut kur tur ir rakstīts: "Ja rakstāt rakstu par strīdīgu jautājumu, mēģiniet izklāstīt visus viedokļus, norādot saites uz dažādiem viedokļiem." Bes sala 23:15, 25 decembris 2004 (UTC)

Es to šeit neredzu strīdīgs jautājums, bet es redzu: 1) necieņu pret citiem dalībniekiem, būtiski mainot/dzēšot viņu tekstu (pierasts tos apspriest pirms būtisku izmaiņu veikšanas); 2) stingru definīciju (norādot kopu kardinalitātes) aizstāšana ar neskaidrām (vai ir liela atšķirība starp "numerāciju" un "daudzuma apzīmējumu"?). Tāpēc es atkārtoju atcelšanu, tomēr atstāju pēdējo piezīmi. --Maksāls 23:38, 25.12.2004 (UTC)

Necieņa ir tieši tas, kā es skatos uz jūsu atsitieniem. Tāpēc nerunāsim par to. Mans labojums būtību nemaina pantu, tajā tikai skaidri formulētas divas definīcijas. Iepriekšējā raksta versijā definīcija "bez nulles" tika formulēta kā galvenā, bet "ar nulli" - kā sava veida disidencija. Tas absolūti neatbilst Vikipēdijas prasībām (skat. citātu iepriekš), kā arī ne gluži zinātniskais stils paziņojumi iekšā iepriekšējā versija. Es pievienoju formulējumu "komplekta kardinalitāte" kā skaidrojumu "daudzuma apzīmējumam" un "uzskaitījums" pie "numerācijas". Un, ja jūs neredzat atšķirību starp "numerāciju" un "daudzuma apzīmējumu", tad, ļaujiet man jautāt, kāpēc tad jūs rediģējat matemātiskos rakstus? Bes sala 23:58, 25. decembris, 2004 (UTC)

Kas attiecas uz "būtību nemaina" - iepriekšējā versijā tika uzsvērts, ka atšķirības definīcijās ir tikai nulles attiecināšanā uz naturāliem skaitļiem. Jūsu variantā definīcijas tiek pasniegtas kā kardināli atšķirīgas. Kas attiecas uz "pamata" definīciju, tad tam tā vajadzētu būt, jo šis raksts in krievu valoda Wikipedia, kas nozīmē, ka būtībā jums ir jāpieturas pie tā, ko sakāt vispārpieņemts krievu matemātikas skolās. Es ignorēju reidus. --Maksāls, 00:15, 26.12.2004 (UTC)

Faktiski tā ir tikai nulles atšķirība. Patiesībā šī ir tieši tā kardinālā atšķirība, kas izriet no atšķirīgas izpratnes par naturālo skaitļu būtību: vienā versijā - kā daudzumus; otrā - kā skaitļi. Šis absolūti dažādi jēdzieni lai kā jūs mēģinātu slēpt, ka jūs to nesaprotat.

Par to, ka krievu Vikipēdijā kā dominējošo tiek prasīts minēt krievu viedokli. Paskaties uzmanīgi šeit. Paskaties angļu rakstu par Ziemassvētkiem. Tur nav teikts, ka Ziemassvētki jāsvin 25.decembrī, jo tā tos svin Anglijā un ASV. Tur ir doti abi viedokļi (un tie atšķiras ne vairāk un ne mazāk kā atšķiras naturālie skaitļi "ar nulli" un "bez nulles"), un ne vārda par to, kurš no tiem it kā ir pareizāks.

Manā raksta versijā abi viedokļi ir apzīmēti kā neatkarīgi un vienlīdz derīgi. Krievijas standarts ir norādīts ar vārdiem, uz kuriem atsaucāties iepriekš.

Iespējams, no filozofiskā viedokļa naturālo skaitļu jēdzieni patiešām ir absolūti atšķiras, taču rakstā piedāvātas būtībā matemātiskas definīcijas, kur atšķirība ir 0 ∈ N (\displaystyle 0\in \mathbb (N) ) vai 0 ∉ N (\displaystyle 0\not \in \mathbb (N) ) . Dominējošais viedoklis vai nē, ir delikāts jautājums. Es novērtēju frāzi 25. decembrī novērots lielākajā daļā Rietumu pasaules no angļu raksta par Ziemassvētkiem, kas pauž dominējošo viedokli, bez citiem datumiem pirmajā rindkopā. Starp citu, raksta par naturālajiem skaitļiem iepriekšējā versijā arī nebija tiešu norādījumu, kā nepieciešams lai noteiktu naturālus skaitļus, tikai definīcija bez nulles tika prezentēta kā izplatītāka (Krievijā). Katrā ziņā labi, ka ir atrasts kompromiss. --Maksāls 00:53, 26.12.2004 (UTC)

Izteiciens "Krievu literatūrā nulle parasti tiek izslēgta no naturālo skaitļu skaita" kaut kā nepatīkami pārsteidz, kungi, nulle visā pasaulē netiek uzskatīta par naturālu skaitli, ja vien nav norādīts citādi. Tie paši franču, cik es tos lasu, īpaši nosaka nulles iekļaušanu. Protams, biežāk tiek lietots N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)), bet, ja, piemēram, man patīk sievietes, es nemainīšu vīriešus par sievietēm. Druīds. 2014-02-23

Naturālo skaitļu nepopularitāte

Man šķiet, ka naturālie skaitļi ir nepopulārs temats matemātiskajos rakstos (varbūt ne tikai vienotas definīcijas trūkuma dēļ). Pēc manas pieredzes es bieži sastopos ar terminiem matemātikas rakstos veseli skaitļi, kas nav negatīvi Un veseli pozitīvi skaitļi(kas tiek interpretēti nepārprotami) nekā veseli skaitļi. Ieinteresētās personas tiek lūgtas izteikt savu (ne)piekrišanu šim novērojumam. Ja šis novērojums atrod atbalstu, tad ir jēga to norādīt rakstā. --Maxal 01:12, 26 Dec 2004 (UTC)

Bez šaubām, jums ir taisnība sava paziņojuma kopsavilkuma daļā. Tas viss ir definīciju atšķirību dēļ. Es pats dažos gadījumos dodu priekšroku norādīt "pozitīvus veselus skaitļus" vai "nenegatīvus veselus skaitļus", nevis "dabiskus", lai izvairītos no neatbilstībām attiecībā uz nulles iekļaušanu. Un es kopumā piekrītu rezolutīvajai daļai. Bes sala 01:19, 26 Dec, 2004 (UTC) Rakstos - jā, iespējams, ka tā ir. Tomēr apjomīgākos tekstos, kā arī tur, kur šis jēdziens tiek lietots bieži, viņi parasti joprojām lieto veseli skaitļi, provizoriski, tomēr paskaidrojot, par kādiem naturāliem skaitļiem mēs runājam – ar nulli vai bez tās. LoKi 19:31, 2005. gada 30. jūlijs (UTC)

Skaitļi

Vai ir vērts uzskaitīt skaitļu nosaukumus (viens, divi, trīs utt.) šī raksta pēdējā daļā? Vai nebūtu saprātīgāk to ievietot Skaitļa rakstā? Tomēr šim rakstam, manuprāt, vajadzētu būt matemātiskākam. Kā jūs domājat? --LoKi 19:32, 2005. gada 30. jūlijā (UTC)

Vispār dīvaini kā no *tukšām* kopām var iegūt parastu naturālu skaitli? Vispār, cik tukšums un tukšums nesavienojas, izņemot tukšumu, nekas nedarbosies! Vai tā vispār nav alternatīva definīcija? Ievietots 21:46, 2009. gada 17. jūlijs (Maskava)

Pīno aksiomu sistēmas kategoriskais raksturs

Es pievienoju piebildi par Peano aksiomu sistēmas kategoriskumu, kas, manuprāt, ir fundamentāls. Lūdzu pareizi formatējiet saiti uz grāmatu[[User:A_Devyatkov 06:58, 11 June, 2010 (UTC)]]

Peano aksiomas

Gandrīz visās ārzemju literatūrā un Vikipēdijā Peano aksiomas sākas ar "0 ir naturāls skaitlis". Patiešām, sākotnējā avotā ir rakstīts "1 ir naturāls skaitlis". Tomēr 1897. gadā Peano veica izmaiņas un nomainīja 1 uz 0. Tas ir rakstīts "Formulaire de mathematiques", II sējums - Nr. 2. 81. lpp. Šī ir saite uz elektronisko versiju labajā lapā:

http://archive.org/stream/formulairedemat02peangoog#page/n84/mode/2up (fr).

Šo izmaiņu skaidrojumi sniegti "Rivista di matematica", 1899. gada 6.-7. sējums, 76. lpp. Labajā lapā arī saite uz elektronisko versiju:

http://archive.org/stream/rivistadimatema01peangoog#page/n69/mode/2up (itāļu valodā).

0=0

Kas ir "digitālā atskaņotāja aksiomas"?

Es vēlētos atgriezt rakstu uz jaunāko patrulēto versiju. Pirmkārt, kāds Pīno aksiomas pārdēvēja par Piano aksiomām, kā dēļ saite pārstāja darboties. Otrkārt, kāds Biezpiens rakstam pievienoja ļoti lielu informāciju, kas, manuprāt, šajā rakstā ir galīgi nevietā. Uzrakstīts neenciklopēdiski, turklāt tiek doti paša Tvorogova rezultāti un saite uz viņa paša grāmatu. Es uzstāju, ka no šī raksta ir jāizņem sadaļa par "digitālo atskaņotāju aksiomām". P.s. Kāpēc tika noņemta sadaļa par nulles skaitli? mesyarik 14:58, 12, 2014 (UTC)

Tēma netiek izpausta, ir nepieciešama skaidra naturālo skaitļu definīcija

Lūdzu, nerakstiet ķecerību kā " Naturālie skaitļi (naturālie skaitļi) - skaitļi, kas dabiski rodas skaitīšanas laikā."Dabiskā veidā smadzenēs nekas nerodas. Būs tieši tas, ko tu tur ieliksi.

Un kā piecgadniekam izskaidrot, kurš skaitlis ir naturāls skaitlis? Galu galā ir cilvēki, kuriem jāpaskaidro kā piecgadniekam. Kā naturāls skaitlis atšķiras no parasta skaitļa? Vajadzīgi piemēri! 1, 2, 3 ir dabisks, un 12 ir dabisks, un -12? un trīs ceturtdaļas, vai piemēram 4,25 dabīgs? 95.181.136.132 15:09, 2014. gada 6. novembris (UTC)

• Dabiskie skaitļi ir pamatjēdziens, sākotnējā abstrakcija. Tos nevar definēt. Jūs varat iedziļināties filozofijā, cik vēlaties, bet galu galā jums vai nu jāatzīst (uz ticību?) Kaut kāda stingra metafiziska attieksme, vai arī jāatzīst, ka nav absolūtas definīcijas, naturālie skaitļi ir daļa no mākslīgas formālās sistēmas. , modelis, ko cilvēks (vai Dievs) izdomāja ). Šeit ir interesants traktāts par šo tēmu. Kā jums patīk, piemēram, šī opcija: "Dabiskā sērija ir jebkura konkrēta Peano sistēma, tas ir, Peano aksiomātiskās teorijas modelis." Justies labāk? RomanSuzi 17:52, 6 novembrī, 2014 (UTC)
  • Šķiet, ka ar saviem modeļiem un aksiomātiskajām teorijām tu visu tikai sarežģī. Šī definīcija tiks saprasta labākais gadījums divi no tūkstoš cilvēkiem. Tāpēc es domāju, ka pirmajā rindkopā trūkst teikuma " Vienkāršiem vārdiem sakot: naturālie skaitļi ir pozitīvi veseli skaitļi, sākot no viena ieskaitot." Šāda definīcija lielākajai daļai izklausās normāli. Un tas nedod iemeslu šaubīties par naturālā skaitļa definīciju. Galu galā, pēc raksta izlasīšanas es tiešām nesapratu, līdz beigas, kas ir naturālie skaitļi un skaitlis 807423 ir naturālie vai naturālie skaitļi ir tie, no kuriem šis skaitlis sastāv, ti, 8 0 7 4 2 3. Bieži sarežģījumi tikai visu sabojā.Infa par naturāliem skaitļiem ir jābūt šajā lapā, nevis daudzās saitēs. uz citām lapām.95.181.136.132 10:03, 2014. gada 7. novembrī (UTC)
    • Šeit ir jānošķir divi uzdevumi: (1) skaidri (kaut arī ne stingri) izskaidrot lasītājam, kurš ir tālu no matemātikas, kas ir naturāls skaitlis, lai viņš vairāk vai mazāk pareizi saprastu; (2) sniegt tik stingru naturāla skaitļa definīciju, no kuras izriet tā pamatīpašības. Jūs esat pareizi par pirmo variantu preambulā, bet tieši tas ir dots rakstā: naturāls skaitlis ir skaitļa matemātiska formalizācija: viens, divi, trīs utt. Jūsu piemērs (807423) var noteikti izrādās skaitot, kas nozīmē, ka arī šis ir naturāls skaitlis. Man nav skaidrs, kāpēc jūs jaucat skaitli un veidu, kā tas tiek rakstīts skaitļos, tas ir atsevišķs temats, kas nav tieši saistīts ar skaitļa definīciju. Jūsu skaidrojums: naturālie skaitļi ir pozitīvi veseli skaitļi, sākot no viena ieskaitot» nav labi, jo jūs nevarat definēt mazāk par vispārējs jēdziens(dabiskais skaitlis), izmantojot vispārīgāku (skaitli), kas vēl nav definēts. Man ir grūti iedomāties lasītāju, kurš zina, kas ir pozitīvs vesels skaitlis, bet nezina, kas ir naturāls skaitlis. LGB 12:06, 2014. gada 7. novembris (UTC)
      • Dabiskos skaitļus nevar definēt kā veselus skaitļus. RomanSuzi 17:01, 7 novembrī, 2014 (UTC)

• "Protams, smadzenēs nekas nenotiek." Jaunākie pētījumi liecina (es tagad nevaru atrast saites), ka cilvēka smadzenes ir gatavas lietot valodu. Tādējādi dabīgā veidā mums jau ir gēnos gatavība apgūt valodu. Tas ir tas, kas jums nepieciešams naturālajiem skaitļiem. Jēdzienu "1" var parādīt ar roku, un pēc tam - ar indukciju, pievienojiet nūjas, iegūstot 2, 3 utt. Vai: I, II, III, IIII, ..., IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII. Bet varbūt jums ir konkrēti ieteikumi raksta uzlabošanai, balstoties uz autoritatīviem avotiem? RomanSuzi 17:57, 6 novembrī, 2014 (UTC)

Kas ir naturāls skaitlis matemātikā?

Vladimirs Z

Dabiskos skaitļus izmanto, lai uzskaitītu objektus un saskaitītu to skaitu. Numerēšanai tiek izmantoti pozitīvi veseli skaitļi, sākot no 1.

Un, lai saskaitītu skaitli, šeit ir iekļauts arī 0, kas norāda uz objektu neesamību.

Tas, vai naturālo skaitļu jēdziens satur skaitli 0, ir atkarīgs no aksiomātikas. Ja jebkuras matemātiskas teorijas izklāsts prasa 0 klātbūtni naturālo skaitļu kopā, tad tas ir noteikts un tiek uzskatīts par neapstrīdamu patiesību (aksiomu) šajā teorijā. Skaitļa 0 definīcija, gan pozitīva, gan negatīva, ir ļoti tuvu tam. Ja naturālo skaitļu definīcijai ņemam visu NEGATĪVO veselo skaitļu kopu, tad rodas jautājums, kas ir skaitlis 0 - pozitīvs vai negatīvs?

IN praktisks pielietojums, kā likums, tiek izmantota pirmā definīcija, kas neietver skaitli 0.

Zīmulis

Dabiskie skaitļi ir pozitīvi veseli skaitļi. Dabiskos skaitļus izmanto, lai saskaitītu (numurētu) objektus vai norādītu objektu skaitu vai norādītu objekta kārtas numuru sarakstā. Daži autori jēdzienā "dabiskie skaitļi" mākslīgi iekļauj nulli. Citi izmanto formulējumu "dabiskie skaitļi un nulle". Tas ir bezprincipiāli. Naturālo skaitļu kopa ir bezgalīga, jo ar jebkuru patvaļīgi lielu naturālu skaitli var veikt saskaitīšanas darbību ar citu naturālu skaitli un iegūt vēl lielāku skaitli.

Negatīvie un neveselie skaitļi nav iekļauti naturālo skaitļu kopā.

Sayans

Dabiskie skaitļi ir skaitļi, kurus izmanto skaitīšanai. Tie var būt tikai pozitīvi un veseli. Ko tas nozīmē piemērā? Tā kā šie skaitļi tiek izmantoti skaitīšanai, mēģināsim kaut ko aprēķināt. Ko var saskaitīt? Piemēram, cilvēki. Mēs varam skaitīt cilvēkus šādi: 1 cilvēks, 2 cilvēki, 3 cilvēki utt. Skaitīšanai izmantotie skaitļi 1, 2, 3 un citi būs dabiski. Mēs nekad nesakām -1 (mīnus viens) cilvēks vai 1,5 (pusotra) persona (atvainojos par vārdu spēli :), tāpēc -1 un 1,5 (tāpat kā visi negatīvie un daļskaitļi) nav naturāli skaitļi.

Loreleja

Dabiskie skaitļi ir tie skaitļi, kurus izmanto objektu skaitīšanai.

Mazākais dabiskais skaitlis ir viens. Bieži rodas jautājums, vai nulle ir naturāls skaitlis. Nē, lielākajā daļā Krievijas avotu tā nav, bet citās valstīs skaitlis nulle tiek atzīts par dabisku ...

Moreljuba

Dabiskie skaitļi matemātikā ir skaitļi, ko izmanto, lai secīgi saskaitītu kaut ko vai kādu. Viens tiek uzskatīts par mazāko naturālo skaitli. Nulle vairumā gadījumu nepieder pie naturālo skaitļu kategorijas. Šeit nav iekļauti arī negatīvie skaitļi.

Sveicieni slāvi.

Dabiskie skaitļi, tie ir arī naturālie skaitļi, ir tie skaitļi, kas rodas parastajā veidā, kad tos saskaita, kuri ir lielāki par nulli. Katra naturālā skaitļa secība, kas sakārtota augošā secībā, tiks saukta par naturālo sēriju.

Jeļena Nikityuka

Matemātikā tiek lietots termins naturālais skaitlis. Pozitīvu veselu skaitli sauc par naturālu skaitli. Tiek uzskatīts, ka mazākais naturālais skaitlis ir "0". Lai kaut ko aprēķinātu, viņi izmanto tos pašus - naturālos skaitļus, piemēram, 1,2,3 ... un tā tālāk.

Dabiskie skaitļi ir skaitļi, ar kuriem mēs veidojam kontu, tas ir, sala viens, divi, trīs, četri, pieci un citi ir naturālie skaitļi.

Tie noteikti ir pozitīvi skaitļi, kas lielāki par nulli.

Daļskaitļi arī nepieder pie naturālo skaitļu kopas.

-Orhideja-

Lai kaut ko saskaitītu, ir nepieciešami naturālie skaitļi. Tās ir tikai pozitīvu skaitļu virkne, sākot no viena. Ir svarīgi zināt, ka šie skaitļi ir tikai veseli skaitļi. Ar naturāliem skaitļiem var saskaitīt jebko.

Marlēna

Dabisks skaitlis ir vesels skaitlis, ko mēs parasti izmantojam, saskaitot jebkurus objektus. Nulle kā tāda nav iekļauta naturālo skaitļu jomā, jo mēs to parasti neizmantojam aprēķinos.

Ināra-pd

Dabiskie skaitļi ir skaitļi, ko mēs izmantojam, lai skaitītu – viens, divi, trīs utt.

Dabiskie skaitļi radās no cilvēka praktiskajām vajadzībām.

Dabiskos skaitļus raksta ar desmit cipariem.

Nulle nav naturāls skaitlis.

Kas ir naturāls skaitlis?

Naumenko

Skaitļus sauc par naturālajiem skaitļiem. izmanto dabas (puķu, koku, dzīvnieku, putnu u.c.) objektu numurēšanai un skaitīšanai.

Tiek izsaukti veseli skaitļi skaitļi DABISKI, TIE PRETĒ UN NULLE,

Paskaidrojiet. tas, kas ir dabisks caur veseliem skaitļiem, ir nepareizi!! !

Skaitļi ir pāra – dalās ar 2, un nepāra – nedalās ar 2.

Skaitļus sauc par pirmskaitļiem. kam ir tikai 2 dalītāji - viens un pats ...
Pirmajam no jūsu vienādojumiem nav atrisinājumu. otrajam x=6 6 naturālajam skaitlim.

Naturālie skaitļi (naturālie skaitļi) - skaitļi, kas dabiski rodas skaitīšanas laikā (gan skaitīšanas, gan aprēķinu izpratnē).

Visu naturālo skaitļu kopa parasti tiek apzīmēta ar \mathbb(N). Naturālo skaitļu kopa ir bezgalīga, jo jebkuram naturālam skaitlim ir lielāks naturālais skaitlis.

Anna Semenčenko

skaitļi, kas dabiski rodas skaitīšanas laikā (gan uzskaitīšanas, gan aprēķinu nozīmē).
Ir divas pieejas naturālo skaitļu definīcijai - skaitļi, ko izmanto:
vienību uzskaitīšana (numerācija) (pirmā, otrā, trešā, ...);
vienību skaita apzīmējums (nav preču, viena prece, divas preces, ...). Pārņemts Burbaki darbos, kur naturālie skaitļi ir definēti kā ierobežotu kopu pakāpes.
Negatīvie un neveselie (racionālie, reālie, ...) skaitļi nav dabiski.
Visu naturālo skaitļu kopu parasti apzīmē ar zīmi. Naturālo skaitļu kopa ir bezgalīga, jo jebkuram naturālam skaitlim ir lielāks naturālais skaitlis.

Veseli skaitļi

Dabiskie skaitļi ir tie skaitļi, kurus izmanto skaitīšanai dažādi priekšmeti vai lai norādītu jebkura objekta sērijas numuru starp līdzīgiem vai viendabīgiem.

Dabiskus skaitļus var uzrakstīt, izmantojot pirmos desmit ciparus:

Vienkāršu naturālu skaitļu rakstīšanai ierasts izmantot pozicionālo decimālskaitli, kur jebkura cipara vērtību nosaka pēc tā vietas ierakstā.

Dabiskie skaitļi ir vienkāršākie skaitļi, kurus mēs bieži lietojam Ikdiena. Ar šo skaitļu palīdzību veicam aprēķinus, saskaitām objektus, nosakām to daudzumu, secību un skaitu.

Ar naturālajiem skaitļiem sākam iepazīties jau no agras bērnības, tāpēc tie ir pazīstami un dabiski katram no mums.

Vispārējs priekšstats par dabiskajiem skaitļiem

Dabiskie skaitļi ir paredzēti, lai sniegtu informāciju par objektu skaitu, to sērijas numuru un objektu kopu.

Cilvēks izmanto naturālos skaitļus, jo tie viņam ir pieejami gan uztveres, gan reprodukcijas līmenī. Izrunājot jebkuru naturālu skaitli, mēs to varam viegli noķert ar ausi, un, attēlojot naturālu skaitli, mēs to redzam.

Visi naturālie skaitļi ir sakārtoti augošā secībā un veido skaitļu virkni, kas sākas ar mazāko naturālo skaitli, kas ir viens.

Ja esam izlēmuši par mazāko naturālo skaitli, tad ar lielāko būs grūtāk, jo šāds skaitlis neeksistē, jo naturālo skaitļu rinda ir bezgalīga.

Saskaitot vienu naturālam skaitlim, mēs iegūstam skaitli, kas seko dotajam skaitlim.

Skaitlis, piemēram, 0, nav naturāls skaitlis, bet tikai kalpo, lai apzīmētu skaitli "nulle" un nozīmē "nav". 0 nozīmē, ka decimāldaļās nav šīs sērijas vienību skaitļu.

Visi naturālie skaitļi ir apzīmēti ar lielajiem burtiem. Latīņu burts N.

Vēsturiskā atsauce naturālu skaitļu apzīmēšanai

Senatnē cilvēki vēl nezināja, kas ir skaitlis un kā saskaitīt priekšmetu skaitu. Taču jau tad radās nepieciešamība pēc skaitīšanas, un vīrietis izdomāja, kā saskaitīt noķertās zivis, savāktās ogas utt.

Nedaudz vēlāk, senais cilvēks nonācis pie secinājuma, ka viņam nepieciešamo summu ir vieglāk pierakstīt. Šiem nolūkiem primitīvi cilvēki viņi sāka izmantot oļus un pēc tam nūjas, kas tika saglabātas ar romiešu cipariem.

Nākamais moments aprēķinu sistēmas attīstībā bija alfabēta burtu izmantošana dažu skaitļu apzīmējumos.

Pirmās aprēķinu sistēmas ietver Indijas decimālo sistēmu un sešgadsimālo Babilonijas sistēmu.

Mūsdienu skaitļošanas sistēma, kaut arī to sauc par arābu valodu, patiesībā ir viens no Indijas sistēmas variantiem. Tiesa, tās aprēķinu sistēmā skaitļa nulle nav, bet arābi to pievienoja, un sistēma ieguva savu pašreizējo formu.

Decimālsistēma

Mēs jau esam satikuši naturālus skaitļus un iemācījušies tos rakstīt, izmantojot desmit ciparus. Jūs arī jau zināt, ka skaitļu rakstīšanu, izmantojot zīmes, sauc par skaitļu sistēmu.

Cipara vērtība skaitļa ierakstā ir atkarīga no tā atrašanās vietas un tiek saukta par pozicionālu. Tas ir, rakstot naturālus skaitļus, mēs izmantojam pozīcijas aprēķinu.

Šī sistēma ir balstīta uz bitu dziļumu un decimāldaļu. Decimālajā sistēmā tās uzbūves pamatā būs skaitļi no 0 līdz 9.

Īpaša vieta šādā sistēmā atvēlēta skaitlim 10, jo būtībā konts tiek glabāts desmitos.

Klašu un kategoriju tabula:

Tā, piemēram, 10 vienības tiek apvienotas desmitos, pēc tam simtos, tūkstošos un tamlīdzīgi. Tāpēc skaitlis 10 ir aprēķinu sistēmas pamats, un to sauc par decimālskaitļu sistēmu.

Veseli skaitļi- skaitļi, kurus izmanto objektu skaitīšanai . Jebkuru naturālu skaitli var uzrakstīt, izmantojot desmit cipari: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Šādu skaitļu ierakstu sauc decimālzīme.

Tiek izsaukta visu naturālo skaitļu secība dabiski blakus .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ...

Lielākā daļa mazs naturāls skaitlis ir viens (1). Dabiskajā sērijā katrs nākamais skaitlis ir par 1 vairāk nekā iepriekšējais. dabiska sērija bezgalīgs nav lielākā skaita.

Cipara nozīme ir atkarīga no tā vietas skaitļa apzīmējumā. Piemēram, cipars 4 nozīmē: 4 vienības, ja tas ir ieslēgts pēdējā vieta numura ierakstā (vienību vietā); 4 desmit, ja viņa ir pēdējā vietā (desmitnieku vietā); 4 simtiem, ja tā ir trešajā vietā no beigām (iekš simtiem vietu).

Cipars 0 nozīmē šīs kategorijas vienību trūkums skaitļa decimāldaļā. Tas arī kalpo, lai apzīmētu skaitli " nulle". Šis skaitlis nozīmē "nav". Rezultāts 0:3 futbola mačs stāsta, ka pirmā komanda pret pretinieku neielaida nevienus vārtus.

Nulle neiekļaut uz naturālajiem skaitļiem. Un patiešām preču skaitīšana nekad nesākas no nulles.

Ja dabiskajam skaitlim ir tikai viens cipars – viens cipars, tad to sauc nepārprotami. Tie. nepārprotamidabiskais skaitlis- naturāls skaitlis, kura ieraksts sastāv no vienas zīmes – viens cipars. Piemēram, skaitļi 1, 6, 8 ir viencipara skaitļi.

divciparudabiskais skaitlis- naturāls skaitlis, kura ieraksts sastāv no divām rakstzīmēm - diviem cipariem.

Piemēram, skaitļi 12, 47, 24, 99 ir divciparu skaitļi.

Tāpat, atkarībā no rakstzīmju skaita dotajā ciparā, nosaukumi tiek doti citiem cipariem:

numuri 326, 532, 893 - trīsciparu;

numuri 1126, 4268, 9999 - četrciparu utt.

Divi cipari, trīs cipari, četri cipari, pieci cipari utt. tiek saukti numuri daudzciparu skaitļi .

Lai nolasītu daudzciparu skaitļus, tie tiek sadalīti, sākot no labās puses, grupās pa trīs cipariem katrā (visvairāk kreisā grupa var sastāvēt no viena vai diviem cipariem). Šīs grupas sauc klases.

Miljons ir tūkstotis tūkstoši (1000 tūkstoši), rakstīts 1 miljons vai 1 000 000.

Miljards ir 1000 miljoni. To reģistrē 1 miljards vai 1 000 000 000.

Pirmie trīs cipari labajā pusē veido vienību klasi, nākamie trīs - tūkstošu klasi, tad ir miljonu, miljardu utt. (1. att.).

Rīsi. 1. Miljonu klase, tūkstošu klase un vienību klase (no kreisās uz labo)

Bitu režģī ierakstīts skaitlis 15389000286 (2. att.).

Rīsi. 2. Ciparu režģis: skaitlis 15 miljardi 389 miljoni 286

Šim skaitlim ir 286 vieninieki vienā klasē, nulle vieninieki tūkstošu klasē, 389 vieninieki miljonu klasē un 15 vieninieki miljardu klasē.

Piektajā gadsimtā pirms mūsu ēras sengrieķu filozofs Zenons no Elejas formulēja savas slavenās aporijas, no kurām slavenākā ir aporija "Ahillejs un bruņurupucis". Lūk, kā tas izklausās:

Pieņemsim, ka Ahillejs skrien desmit reizes ātrāk par bruņurupuci un atpaliek no tā tūkstoš soļu. Laikā, kurā Ahillejs veic šo distanci, bruņurupucis rāpo simts soļus tajā pašā virzienā. Kad Ahillejs būs noskrējis simts soļus, bruņurupucis rāpos vēl desmit soļus utt. Process turpināsies bezgalīgi, Ahillejs nekad nepanāks bruņurupuci.

Šī argumentācija kļuva par loģisku šoku visām nākamajām paaudzēm. Aristotelis, Diogēns, Kants, Hēgels, Gilberts... Viņi visi tā vai citādi uzskatīja par Zenona aporijām. Šoks bija tik spēcīgs, ka " ... diskusijas turpinās arī šobrīd, zinātnieku aprindās vēl nav izdevies nonākt pie vienota viedokļa par paradoksu būtību... matemātiskā analīze, kopu teorija, jaunas fizikālās un filozofiskās pieejas; neviens no tiem nekļuva par vispārpieņemtu problēmas risinājumu ..."[Wikipedia," Zeno's Aporas "]. Visi saprot, ka tiek muļķoti, bet neviens nesaprot, kas ir maldināšana.

No matemātikas viedokļa Zenons savā aporijā skaidri demonstrēja pāreju no vērtības uz. Šī pāreja nozīmē konstantu piemērošanu. Cik saprotu, pielietošanas matemātiskais aparāts mainīgās vienības mērījums vai nu vēl nav izstrādāts, vai arī tas nav piemērots Zenona aporijai. Mūsu ierastās loģikas pielietošana ieved mūs slazdā. Mēs, domāšanas inerces dēļ, piemērojam konstantas laika vienības abpusējai vērtībai. No fiziskā viedokļa tas izskatās kā laika palēninājums, līdz tas pilnībā apstājas brīdī, kad Ahillejs panāk bruņurupuci. Ja laiks apstājas, Ahillejs vairs nevar apdzīt bruņurupuci.

Ja pagriežam loģiku, pie kuras esam pieraduši, viss nostājas savās vietās. Ahillejs skrien nemainīgā ātrumā. Katrs nākamais tā ceļa posms ir desmit reizes īsāks nekā iepriekšējais. Attiecīgi tās pārvarēšanai pavadītais laiks ir desmit reizes mazāks nekā iepriekšējā. Ja šajā situācijā pielietojam jēdzienu "bezgalība", tad pareizi būtu teikt "Ahillejs bezgala ātri apsteigs bruņurupuci".

Kā izvairīties no šīs loģiskās lamatas? paliec nemainīgas vienības laika mērījumus un nepārslēdzieties uz abpusējām vērtībām. Zenona valodā tas izskatās šādi:

Laikā, kas vajadzīgs Ahillam, lai noskrietu tūkstoš soļu, bruņurupucis rāpo simts soļus tajā pašā virzienā. Nākamajā laika intervālā, kas ir vienāds ar pirmo, Ahillejs noskrien vēl tūkstoš soļu, bet bruņurupucis rāpos simts soļus. Tagad Ahillejs ir astoņsimt soļus priekšā bruņurupucim.

Šī pieeja adekvāti apraksta realitāti bez jebkādiem loģiskiem paradoksiem. Bet tā nav pilnīgs risinājums Problēmas. Einšteina izteikums par gaismas ātruma nepārvaramību ir ļoti līdzīgs Zenona aporijai "Ahillejs un bruņurupucis". Mums šī problēma vēl ir jāpēta, jāpārdomā un jāatrisina. Un risinājums jāmeklē nevis bezgala lielos skaitļos, bet mērvienībās.

Vēl viena interesanta Zenona aporija stāsta par lidojošu bultu:

Lidojoša bulta ir nekustīga, jo tā atrodas miera stāvoklī katrā laika brīdī, un, tā kā tā atrodas miera stāvoklī, tā vienmēr atrodas miera stāvoklī.

Šajā aporijā loģiskais paradokss tiek pārvarēts ļoti vienkārši - pietiek precizēt, ka katrā laika brīdī lidojošā bultiņa atrodas miera stāvoklī dažādos telpas punktos, kas patiesībā ir kustība. Šeit ir jāatzīmē vēl viens punkts. No vienas automašīnas fotogrāfijas uz ceļa nav iespējams noteikt ne tās kustības faktu, ne attālumu līdz tai. Lai noteiktu automašīnas kustības faktu, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas uzņemtas no viena un tā paša punkta dažādos laika punktos, taču tās nevar izmantot attāluma noteikšanai. Lai noteiktu attālumu līdz automašīnai, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas vienlaikus uzņemtas no dažādiem telpas punktiem, taču no tām nevar noteikt kustības faktu (protams, joprojām ir nepieciešami papildu dati aprēķiniem, trigonometrija jums palīdzēs). Uz ko es vēlos koncentrēties Īpaša uzmanība, ir tas, ka divi punkti laikā un divi punkti telpā ir dažādas lietas, kuras nevajadzētu sajaukt, jo tās sniedz dažādas izpētes iespējas.

Trešdiena, 2018. gada 4. jūlijs

Ļoti labi atšķirības starp komplektu un multikopu ir aprakstītas Vikipēdijā. Mēs skatāmies.

Kā redzat, "komplektā nevar būt divi vienādi elementi", bet, ja komplektā ir identiski elementi, tad šādu kopu sauc par "multisetu". Saprātīgas būtnes nekad nesapratīs šādu absurda loģiku. Tas ir runājošu papagaiļu un apmācītu pērtiķu līmenis, kurā vārda "pilnībā" nav prāta. Matemātiķi darbojas kā parasti pasniedzēji, sludinot mums savas absurdās idejas.

Savulaik inženieri, kas būvēja tiltu, tilta testu laikā atradās laivā zem tilta. Ja tilts sabruka, viduvējais inženieris nomira zem viņa radītajām drupām. Ja tilts izturēja slodzi, talantīgais inženieris uzbūvēja citus tiltus.

Neatkarīgi no tā, kā matemātiķi slēpjas aiz frāzes "mind me, I'm in the house", vai drīzāk "matemātika pēta abstraktus jēdzienus", ir viena nabassaite, kas tos nesaraujami saista ar realitāti. Šī nabassaite ir nauda. Pielietosim matemātisko kopu teoriju pašiem matemātiķiem.

Ļoti labi mācījāmies matemātiku un tagad sēžam pie kases, maksājam algas. Šeit pie mums nāk matemātiķis pēc savas naudas. Mēs viņam noskaitām visu summu un izklājam uz sava galda dažādās kaudzēs, kurās saliekam viena un tā paša nomināla banknotes. Tad no katras kaudzes paņemam vienu rēķinu un iedodam matemātiķim viņa "matemātisko algu komplektu". Mēs izskaidrojam matemātiku, ka pārējos rēķinus viņš saņems tikai tad, kad pierādīs, ka kopa bez identiskiem elementiem nav vienāda ar kopu ar identiskiem elementiem. Šeit sākas jautrība.

Pirmkārt, derēs deputātu loģika: "uz citiem to var attiecināt, bet uz mani nē!" Tālāk tiks nodrošināts, ka uz viena un tā paša nomināla banknotēm ir dažādi banknošu numuri, kas nozīmē, ka tās nevar uzskatīt par identiskiem elementiem. Nu algu skaitām monētās - uz monētām nav ciparu. Šeit matemātiķis izmisīgi atcerēsies fiziku: dažādām monētām ir atšķirīgs netīrumu daudzums, katras monētas kristāliskā struktūra un atomu izvietojums ir unikāls ...

Un tagad man ir visvairāk interese Jautāt: kur ir robeža, aiz kuras multikopas elementi pārvēršas par kopas elementiem un otrādi? Tāda līnija neeksistē – visu izlemj šamaņi, zinātne te ne tuvu nav.

Apskatīt šeit. Mēs izvēlamies futbola stadionus ar vienādu laukuma laukumu. Lauku platība ir vienāda, kas nozīmē, ka mums ir multikopa. Bet, ja ņemam vērā vienu un to pašu stadionu nosaukumus, sanāk daudz, jo nosaukumi ir dažādi. Kā redzat, viena un tā pati elementu kopa vienlaikus ir gan kopa, gan multikopa. Cik pareizi? Un te matemātiķis-šamanis-šulers izņem no piedurknes trumpa dūzi un sāk mums stāstīt vai nu par komplektu, vai par multikopu. Jebkurā gadījumā viņš mūs pārliecinās, ka viņam ir taisnība.

Lai saprastu, kā mūsdienu šamaņi darbojas ar kopu teoriju, sasaistot to ar realitāti, pietiek atbildēt uz vienu jautājumu: kā vienas kopas elementi atšķiras no citas kopas elementiem? Es jums parādīšu bez jebkādiem "iedomājams kā viens veselums" vai "nav iedomājams kā vienots veselums".

Svētdiena, 2018. gada 18. marts

Skaitļa ciparu summa ir šamaņu deja ar tamburīnu, kam nav nekāda sakara ar matemātiku. Jā, matemātikas stundās mums māca atrast skaitļa ciparu summu un to izmantot, bet viņi tam ir šamaņi, lai iemāca saviem pēcnācējiem prasmes un gudrības, citādi šamaņi vienkārši izmirs.

Vai jums ir nepieciešams pierādījums? Atveriet Wikipedia un mēģiniet atrast lapu "Ciparu summa". Viņa neeksistē. Matemātikā nav formulas, pēc kuras var atrast jebkura skaitļa ciparu summu. Galu galā skaitļi ir grafiski simboli, ar kuriem mēs rakstām skaitļus, un matemātikas valodā uzdevums izklausās šādi: "Atrodiet grafisko simbolu summu, kas attēlo jebkuru skaitli." Matemātiķi nevar atrisināt šo problēmu, bet šamaņi to var izdarīt elementāri.

Izdomāsim, ko un kā mēs darām, lai atrastu ciparu summu dotais numurs. Un tā, pieņemsim, ka mums ir skaitlis 12345. Kas jādara, lai atrastu šī skaitļa ciparu summu? Apsvērsim visas darbības secībā.

1. Uzrakstiet numuru uz papīra lapas. Ko mēs esam izdarījuši? Mēs esam pārveidojuši skaitli par skaitļa grafisko simbolu. Šī nav matemātiska darbība.

2. Mēs sagriezām vienu saņemto attēlu vairākos attēlos, kuros ir atsevišķi cipari. Attēla izgriešana nav matemātiska darbība.

3. Pārvērtiet atsevišķas grafiskās rakstzīmes skaitļos. Šī nav matemātiska darbība.

4. Saskaitiet iegūtos skaitļus. Tagad tā ir matemātika.

Skaitļa 12345 ciparu summa ir 15. Tie ir "griešanas un šūšanas kursi" no šamaņiem, kurus izmanto matemātiķi. Bet tas vēl nav viss.

No matemātikas viedokļa nav nozīmes, kurā skaitļu sistēmā mēs rakstām skaitli. Tātad, iekšā dažādas sistēmas rēķinot, viena un tā paša skaitļa ciparu summa būs atšķirīga. Matemātikā skaitļu sistēma ir norādīta kā apakšindekss pa labi no skaitļa. NO liels skaits 12345 Es nevēlos mānīt galvu, apsveriet skaitli 26 no raksta par. Rakstīsim šo skaitli binārā, oktālā, decimālā un heksadecimālā skaitļu sistēmā. Mēs neapskatīsim katru soli zem mikroskopa, mēs to jau esam izdarījuši. Apskatīsim rezultātu.

Kā redzat, dažādās skaitļu sistēmās viena un tā paša skaitļa ciparu summa ir atšķirīga. Šim rezultātam nav nekāda sakara ar matemātiku. Tas ir tāpat, kā taisnstūra laukuma atrašana metros un centimetros sniegtu pilnīgi atšķirīgus rezultātus.

Nulle visās skaitļu sistēmās izskatās vienādi, un tai nav ciparu summas. Šis ir vēl viens arguments par labu tam, ka . Jautājums matemātiķiem: kā matemātikā apzīmē to, kas nav skaitlis? Kas, matemātiķiem, neeksistē nekas cits kā skaitļi? Šamaņiem es to varu pieļaut, bet zinātniekiem nē. Realitāte nav tikai skaitļi.

Iegūtais rezultāts jāuzskata par pierādījumu tam, ka skaitļu sistēmas ir skaitļu mērvienības. Galu galā mēs nevaram salīdzināt skaitļus ar dažādām mērvienībām. Ja vienas un tās pašas darbības ar dažādām viena un tā paša daudzuma mērvienībām noved pie dažādi rezultāti pēc to salīdzināšanas, tad tam nav nekāda sakara ar matemātiku.

Kas ir īstā matemātika? Tas ir tad, kad matemātiskas darbības rezultāts nav atkarīgs no skaitļa vērtības, izmantotās mērvienības un no tā, kurš šo darbību veic.

Pieraksts uz durvīm Atver durvis un saka:

Ak! Vai šī nav sieviešu tualete?
- Jauna sieviete! Šī ir laboratorija dvēseļu nenoteiktā svētuma izpētei, kad tās tiek paceltas debesīs! Nimbs virsū un bulta uz augšu. Kāda vēl tualete?

Sieviete... Oreols augšpusē un bulta uz leju ir vīrietis.

Ja jūsu acu priekšā vairākas reizes dienā mirgo šāds dizaina mākslas darbs,

Tad nav pārsteidzoši, ka pēkšņi savā automašīnā atrodat dīvainu ikonu:

Es personīgi pielieku pūles, lai kakājošā cilvēkā redzētu mīnus četrus grādus (viena bilde) (vairāku bilžu sastāvs: mīnusa zīme, cipars četri, grādu apzīmējums). Un es neuzskatu šo meiteni par muļķi, kas nezina fiziku. Viņai vienkārši ir loka stereotips par grafisko attēlu uztveri. Un matemātiķi mums to visu laiku māca. Šeit ir piemērs.

1A nav "mīnus četri grādi" vai "viens a". Tas ir "pooping man" jeb skaitlis "divdesmit seši" heksadecimālajā skaitļu sistēmā. Tie cilvēki, kuri pastāvīgi strādā šajā ciparu sistēmā, automātiski uztver ciparu un burtu kā vienu grafisku simbolu.