Nevienlīdzības kalkulators ar tiešsaistes risinājumu. Lineārās nevienādības

Nevienlīdzība ir skaitliska attiecība, kas ilustrē skaitļu lielumu attiecībā pret otru. Lietišķajās zinātnēs lielumu meklējumos plaši tiek izmantotas nevienlīdzības. Mūsu kalkulators palīdzēs jums tikt galā ar tik sarežģītu tēmu kā lineāro nevienādību risināšana.

Kas ir nevienlīdzība

Nevienādas attiecības reālajā dzīvē atbilst pastāvīgai dažādu objektu salīdzināšanai: augstāk vai zemāk, tālāk vai tuvāk, smagāki vai vieglāki. Intuitīvi vai vizuāli mēs varam saprast, ka viens objekts ir lielāks, augstāks vai smagāks par otru, taču patiesībā vienmēr ir jāsalīdzina skaitļi, kas raksturo atbilstošos lielumus. Jūs varat salīdzināt objektus uz jebkura pamata, un jebkurā gadījumā mēs varam izveidot skaitlisku nevienādību.

Ja nezināmie lielumi noteiktos apstākļos ir vienādi, tad to skaitliskai noteikšanai veidojam vienādojumu. Ja nē, tad "vienādības" zīmes vietā mēs varam norādīt jebkuru citu attiecību starp šiem lielumiem. Divi skaitļi vai matemātiski objekti var būt lielāki par ">", mazāki par "<» или равны «=» относительно друг друга. В этом случае речь идет о строгих неравенствах. Если же в неравных соотношениях присутствует знак равно и числовые элементы больше или равны (a ≥ b) или меньше или равны (a ≤ b), то такие неравенства называются нестрогими.

Nevienlīdzības zīmes to mūsdienu formā izgudroja britu matemātiķis Tomass Hariots, kurš 1631. gadā publicēja grāmatu par nevienlīdzīgām attiecībām. Lielāks par ">" un mazāks par "<» представляли собой положенные на бок буквы V, поэтому пришлись по вкусу не только математикам, но и типографам.

Nevienlīdzību risināšana

Nevienlīdzības, tāpat kā vienādojumi, ir dažāda veida. Lineāras, kvadrātveida, logaritmiskas vai eksponenciālas nevienlīdzīgas attiecības tiek atbrīvotas ar dažādām metodēm. Tomēr neatkarīgi no metodes jebkura nevienlīdzība vispirms ir jāsamazina līdz standarta formai. Šim nolūkam tiek izmantotas identiskas transformācijas, kas ir identiskas vienādību modifikācijām.

Nevienādību identitātes transformācijas

Šādas izteiksmju transformācijas ir ļoti līdzīgas vienādojumu spokam, taču tajās ir nianses, kuras ir svarīgi ņemt vērā, atraisot nevienlīdzības.

Pirmā identitātes transformācija ir identiska analogai darbībai ar vienādībām. Abām nevienādības attiecības pusēm varat pievienot vai atņemt to pašu skaitli vai izteiksmi ar nezināmu x, bet nevienlīdzības zīme paliek nemainīga. Visbiežāk šī metode tiek izmantota vienkāršotā veidā kā izteiksmes terminu pārnešana caur nevienlīdzības zīmi, mainot skaitļa zīmi uz pretējo. Tas attiecas uz paša termina zīmes maiņu, tas ir, + R, pārnesot caur jebkuru nevienlīdzības zīmi, mainīsies uz - R un otrādi.

Otrajai transformācijai ir divi punkti:

1. Abas nevienādas attiecības puses ir atļauts reizināt vai dalīt ar vienu un to pašu pozitīvo skaitli. Pati nevienlīdzības zīme nemainīsies.
2. Abas nevienlīdzības puses ir atļauts dalīt vai reizināt ar vienu un to pašu negatīvo skaitli. Pati nevienlīdzības zīme mainīsies uz pretējo.

Otrajai identiskai nevienādību transformācijai ir nopietnas atšķirības ar vienādojumu modifikāciju. Pirmkārt, reizinot/dalot ar negatīvu skaitli, nevienādas izteiksmes zīme vienmēr tiek apgriezta. Otrkārt, relācijas daļu dalīšana vai reizināšana ir atļauta tikai ar skaitli, nevis ar kādu izteiksmi, kas satur nezināmu. Fakts ir tāds, ka mēs nevaram droši zināt, vai aiz nezināmā ir paslēpts skaitlis, kas ir lielāks vai mazāks par nulli, tāpēc otrā identiska transformācija tiek piemērota nevienādībām tikai ar skaitļiem. Apskatīsim šos noteikumus ar piemēriem.

Nevienlīdzības atsaistīšanas piemēri

Algebras uzdevumos ir dažādi uzdevumi par nevienlīdzību tēmu. Dosim mums izteiksmi:

6x − 3(4x + 1) > 6.

Vispirms atveriet iekavas un pārvietojiet visus nezināmos pa kreisi un visus ciparus pa labi.

6x − 12x > 6 + 3

Mums ir jāsadala abas izteiksmes daļas ar −6, ​​tāpēc, atrodot nezināmu x, nevienlīdzības zīme mainīsies uz pretējo.

Atrisinot šo nevienādību, izmantojām abas identiskas transformācijas: pārvietojām visus skaitļus pa labi no zīmes un sadalījām abas attiecības puses ar negatīvu skaitli.

Mūsu programma ir kalkulators skaitlisko nevienādību risināšanai, kas nesatur nezināmos. Programma satur šādas teorēmas trīs skaitļu attiecībām:

• ja< B то A–C< B–C;
• ja A > B, tad A–C > B–C.

Tā vietā, lai atņemtu terminus A-C, varat norādīt jebkuru aritmētisko darbību: saskaitīšanu, reizināšanu vai dalīšanu. Tādējādi kalkulators automātiski uzrādīs summu, starpību, reizinājumu vai daļskaitļu nevienādības.

Secinājums

Reālajā dzīvē nevienlīdzības ir tikpat izplatītas kā vienādojumi. Dabiski, ka ikdienā zināšanas par nevienlīdzību atrisināšanu var nebūt vajadzīgas. Taču lietišķajās zinātnēs nevienlīdzības un to sistēmas tiek plaši izmantotas. Piemēram, dažādi globālās ekonomikas problēmu pētījumi tiek reducēti līdz lineāro vai kvadrātveida nevienādību sistēmu apkopošanai un atraisīšanai, un dažas nevienlīdzīgas attiecības kalpo kā nepārprotams veids, kā pierādīt noteiktu objektu esamību. Izmantojiet mūsu programmas, lai atrisinātu lineārās nevienādības vai pārbaudītu savus aprēķinus.

Forma ax 2 + bx + 0 0, kur (zīmes > vietā, protams, var būt jebkura cita nevienlīdzības zīme). Mums ir visi teorijas fakti, kas nepieciešami šādu nevienlīdzību atrisināšanai, ko mēs tagad pārbaudīsim.

1. piemērs. Atrisiniet nevienlīdzību:

a) x 2 - 2x - 3 > 0; b) x 2 - 2x - 3< 0;
c) x 2 - 2x - 3 > 0; d) x 2 — 2 x — 3< 0.
Risinājums,

a) Apsveriet parabolu y \u003d x 2 - 2x - 3, kas parādīta attēlā. 117.

Lai atrisinātu nevienādību x 2 - 2x - 3 > 0 - tas nozīmē, ka jāatbild uz jautājumu, kurām x vērtībām parabolas punktu ordinātas ir pozitīvas.

Mēs novērojam, ka y > 0, t.i., funkcijas grafiks atrodas virs x ass, pie x< -1 или при х > 3.

Tādējādi visi nevienlīdzības risinājumi ir atklātie punkti staru kūlis(- 00 , - 1), kā arī visi atvērtā stara punkti (3, +00).

Izmantojot zīmi U (kopu savienības zīmi), atbildi var uzrakstīt šādi: (-00 , - 1) U (3, +00). Tomēr atbildi var uzrakstīt arī šādi:< - 1; х > 3.

b) Nevienādība x 2 - 2x - 3< 0, или у < 0, где у = х 2 - 2х - 3, также можно решить с помощью рис. 117: grafiks atrodas zem x ass, ja -1< х < 3. Поэтому решениями данного неравенства служат все точки интервала (- 1, 3).

c) Nevienādība x 2 - 2x - 3 > 0 atšķiras no nevienādības x 2 - 2x - 3 > 0 ar to, ka atbildē jāiekļauj arī vienādojuma saknes x 2 - 2x - 3 = 0, ti, punkti x = - 1

un x \u003d 3. Tādējādi šīs nestingrās nevienādības atrisinājumi ir visi stara punkti (-00, - 1], kā arī visi stara punkti.

Praktiski matemātiķi parasti saka tā: kāpēc mēs, risinot nevienādību ax 2 + bx + c > 0, rūpīgi veidojam kvadrātfunkcijas parabolu grafiku

y \u003d ax 2 + bx + c (kā tas tika darīts 1. piemērā)? Pietiek izveidot shematisku diagrammas skici, kurai atliek tikai atrast saknes kvadrātveida trinomiāls (parabolas krustošanās punkts ar x asi) un nosaka, kur ir vērsti parabolas zari - uz augšu vai uz leju. Šī shematiskā skice sniegs vizuālu nevienlīdzības risinājuma interpretāciju.

2. piemērs Atrisiniet nevienlīdzību - 2x 2 + 3x + 9< 0.
Risinājums.

1) Atrodiet kvadrātveida trinoma saknes - 2x 2 + Zx + 9: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d - 1,5.

2) Parabola, kas kalpo kā funkcijas y \u003d -2x 2 + Zx + 9 grafiks, krustojas ar x asi punktos 3 un - 1,5, un parabolas zari ir vērsti uz leju, jo vecākais koeficients- negatīvs skaitlis - 2. Attēlā. 118 ir diagrammas skice.

3) Izmantojot att. 118, mēs secinām:< 0 на тех промежутках оси х, где график расположен ниже оси х, т.е. на открытом луче (-оо, -1,5) или на открытом луче C, +оо).
Atbilde: x< -1,5; х > 3.

3. piemērs Atrisiniet nevienādību 4x 2 - 4x + 1< 0.
Risinājums.

1) No vienādojuma 4x 2 - 4x + 1 = 0 mēs atrodam.

2) Kvadrātveida trinomim ir viena sakne; tas nozīmē, ka parabola, kas kalpo par kvadrātveida trinoma grafiku, nevis šķērso x asi, bet pieskaras tai punktā. Parabolas zari ir vērsti uz augšu (119. att.)

3) Izmantojot ģeometrisko modeli, kas parādīts attēlā. 119, mēs konstatējam, ka noteiktā nevienādība ir izpildīta tikai punktā, jo visām pārējām x vērtībām grafika ordinātas ir pozitīvas.
Atbilde:.
Jūs droši vien pamanījāt, ka patiesībā 1., 2., 3. piemēros ir labi definēts algoritms atrisinot kvadrātvienādības, mēs to formalizēsim.

Kvadrātiskās nevienādības ax 2 + bx + 0 0 risināšanas algoritms (ax 2 + bx + c< 0)

Pirmais šī algoritma solis ir atrast kvadrātveida trinoma saknes. Bet saknes var nebūt, tad ko darīt? Tad algoritms nav piemērojams, kas nozīmē, ka ir jādomā citādi. Šo argumentu atslēga ir dota šādās teorēmas.

Citiem vārdiem sakot, ja D< 0, а >0, tad nevienādība ax 2 + bx + c > 0 ir izpildīta visiem x; gluži pretēji, nevienādība ax 2 + bx + c< 0 не имеет решений.
Pierādījums. grafiks funkcijas y \u003d ax 2 + bx + c ir parabola, kuras zari ir vērsti uz augšu (jo a > 0) un kas nekrustojas ar x asi, jo kvadrātveida trinomālam pēc nosacījuma nav sakņu. Grafiks ir parādīts attēlā. 120. Redzam, ka visiem x grafs atrodas virs x ass, kas nozīmē, ka visiem x ir izpildīta nevienādība ax 2 + bx + c > 0, kas bija jāpierāda.

Citiem vārdiem sakot, ja D< 0, а < 0, то неравенство ах 2 + bх + с < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с >0 nav risinājumu.

Pierādījums. Funkcijas y \u003d ax 2 + bx + c grafiks ir parabola, kuras zari ir vērsti uz leju (jo a< 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет. График представлен на рис. 121. Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ах 2 + bх + с < 0, что и требовалось доказать.

4. piemērs. Atrisiniet nevienlīdzību:

a) 2x 2 - x + 4 > 0; b) -x 2 + Zx - 8 > 0.

a) Atrodiet kvadrāta trīsnoma diskriminantu 2x 2 - x + 4. Mums ir D \u003d (-1) 2 - 4 2 4 \u003d - 31< 0.
Trinoma vecākais koeficients (skaitlis 2) ir pozitīvs.

Tādējādi ar 1. teorēmu visiem x ir izpildīta nevienādība 2x 2 - x + 4 > 0, t.i., dotās nevienādības atrisinājums ir veselums (-00, + 00).

b) Atrodiet kvadrāta trīsnoma diskriminantu - x 2 + Zx - 8. Mums ir D \u003d Z2 - 4 (- 1) (- 8) \u003d - 23< 0. Старший коэффициент трехчлена (число - 1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех х выполняется неравенство - х 2 + Зx - 8 < 0. Это значит, что неравенство - х 2 + Зх - 8 0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. заданное неравенство не имеет решений.

Atbilde: a) (-00, + 00); b) nav risinājumu.

Nākamajā piemērā iepazīsimies ar citu spriešanas veidu, kas tiek izmantots kvadrātvienādību risināšanā.

5. piemērs Atrisiniet nevienādību 3x 2 - 10x + 3< 0.
Risinājums. Faktorizēsim kvadrātveida trinomu 3x 2 - 10x + 3. Trinoma saknes ir skaitļi 3, un tāpēc, izmantojot ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), mēs iegūstam Zx 2 - 10x + 3 \u003d 3 (x - 3) (x - )
Ciparu rindā atzīmējam trinoma saknes: 3 un (122. att.).

Ļaujiet x > 3; tad x-3>0 un x->0, un līdz ar to reizinājums 3(x - 3)(x - ) ir pozitīvs. Tālāk, ļaujiet< х < 3; тогда x-3< 0, а х- >0. Tāpēc reizinājums 3(x-3)(x-) ir negatīvs. Visbeidzot, ļaujiet x<; тогда x-3< 0 и x- < 0. Но в таком случае произведение
3(x -3)(x -) ir pozitīvs.

Apkopojot argumentāciju, mēs nonākam pie secinājuma: kvadrātveida trinoma Zx 2 - 10x + 3 zīmes mainās, kā parādīts attēlā. 122. Mūs interesē, kādam x kvadrāta trinomim ir negatīvas vērtības. No att. 122 mēs secinām: kvadrātveida trinomāls 3x 2 - 10x + 3 ņem negatīvas vērtības jebkurai x vērtībai no intervāla (, 3)
Atbilde (, 3), vai< х < 3.

komentēt. Spriešanas metodi, ko izmantojām 5. piemērā, parasti sauc par intervālu metodi (vai intervālu metodi). To risināšanai aktīvi izmanto matemātikā racionāls nevienlīdzības. 9. klasē sīkāk pētīsim intervāla metodi.

6. piemērs. Pie kādām parametra p vērtībām ir kvadrātvienādojums x 2 - 5x + p 2 \u003d 0:
a) ir divas dažādas saknes;

b) ir viena sakne;

c) nav -sakņu?

Risinājums. Kvadrātvienādojuma sakņu skaits ir atkarīgs no tā diskriminanta D zīmes. Šajā gadījumā mēs atrodam D \u003d 25 - 4p 2.

a) Kvadrātvienādojumam ir divas dažādas saknes, ja D> 0, tad uzdevums tiek reducēts uz nevienādības 25 atrisināšanu - 4p 2 > 0. Abas šīs nevienādības daļas reizinām ar -1 (neaizmirstot mainīt nevienlīdzības zīmi). Iegūstam ekvivalentu nevienādību 4p 2 - 25< 0. Далее имеем 4 (р - 2,5) (р + 2,5) < 0.

Izteiksmes 4(p - 2,5) (p + 2,5) zīmes parādītas att. 123.

Secinām, ka nevienādība 4(p - 2,5)(p + 2,5)< 0 выполняется для всех значений р из интервала (-2,5; 2,5). Именно при этих значениях параметра р данное квадратное уравнение имеет два различных корня.

b) kvadrātvienādojums ir viena sakne, ja D ir 0.
Kā minēts iepriekš, D = 0 pie p = 2,5 vai p = -2,5.

Tieši šīm parametra p vērtībām šim kvadrātvienādojumam ir tikai viena sakne.

c) Kvadrātvienādojumam nav sakņu, ja D< 0. Решим неравенство 25 - 4р 2 < 0.

Mēs iegūstam 4p 2 - 25 > 0; 4 (p-2,5) (p + 2,5)> 0, no kurienes (sk. 123. att.) p< -2,5; р >2.5. Šīm parametra p vērtībām šim kvadrātvienādojumam nav sakņu.

Atbilde: a) pie p (-2,5, 2,5);

b) pie p = 2,5 vai p = -2,5;
c) pie r< - 2,5 или р > 2,5.

Mordkovičs A. G., Algebra. 8. klase: Proc. vispārējai izglītībai iestādes.- 3. izdevums, pabeigts. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 lpp.: ill.

Palīdzība skolēnam tiešsaistē, Matemātika 8. klasei lejupielāde, kalendāra tematiskā plānošana

skatiet arī Lineārās programmēšanas problēmas risināšana grafiski, Lineārās programmēšanas uzdevumu kanoniskā forma

Šādas problēmas ierobežojumu sistēma sastāv no nevienlīdzībām divos mainīgajos:
un mērķa funkcijai ir forma F = C 1 x + C 2 y, kas ir jāpalielina.

Atbildēsim uz jautājumu: kādi skaitļu pāri ( x; y) ir nevienādību sistēmas risinājumi, t.i., vai tie apmierina katru no nevienādībām vienlaicīgi? Citiem vārdiem sakot, ko nozīmē grafiski atrisināt sistēmu?
Vispirms jums ir jāsaprot, kāds ir vienas lineāras nevienādības risinājums ar diviem nezināmiem.
Atrisināt lineāro nevienādību ar diviem nezināmajiem nozīmē noteikt visus nezināmo vērtību pārus, kuriem nevienlīdzība ir apmierināta.
Piemēram, nevienlīdzība 3 x – 5y≥ 42 apmierina pārus ( x , y) : (100, 2); (3, –10) utt. Problēma ir atrast visus šādus pārus.
Apsveriet divas nevienlīdzības: cirvis + autors≤ c, cirvis + autors≥ c. Taisni cirvis + autors = c sadala plakni divās pusplaknēs tā, lai vienas no tām punktu koordinātas apmierinātu nevienādību cirvis + autors >c, un otra nevienlīdzība cirvis + +autors <c.
Patiešām, ņemiet punktu ar koordinātu x = x 0; tad punkts, kas atrodas uz taisnas līnijas un kuram ir abscisa x 0 , ir ordināta

Ļaujiet noteiktībai a<0, b>0, c>0. Visi punkti ar abscisu x 0 augstāk P(piem., punkts M), ir y M>y 0 , un visi punkti zem punkta P, ar abscisu x 0, ir yN<y 0 . Ciktāl x 0 ir patvaļīgs punkts, tad vienā līnijas pusē vienmēr būs punkti, kuriem cirvis+ autors > c, veidojot pusplakni, un no otras puses, punkti, kuriem cirvis + autors< c.

1. attēls

Nevienlīdzības zīme pusplaknē ir atkarīga no skaitļiem a, b , c.
Tas nozīmē šādu metodi divu mainīgo lineāro nevienādību sistēmu grafiskai atrisināšanai. Lai atrisinātu sistēmu, jums ir nepieciešams:

1. Katrai nevienādībai pierakstiet vienādojumu, kas atbilst dotajai nevienādībai.
2. Izveidojiet līnijas, kas ir vienādojumu sniegto funkciju grafiki.
3. Katrai taisnei nosakiet pusplakni, ko dod nevienlīdzība. Lai to izdarītu, ņemiet patvaļīgu punktu, kas neatrodas uz taisnes, aizstājiet tā koordinātas ar nevienlīdzību. ja nevienādība ir patiesa, tad pusplakne, kas satur izvēlēto punktu, ir sākotnējās nevienādības atrisinājums. Ja nevienādība ir nepatiesa, tad pusplakne taisnes otrā pusē ir šīs nevienlīdzības atrisinājumu kopa.
4. Lai atrisinātu nevienādību sistēmu, ir jāatrod visu pusplakņu krustošanās laukums, kas ir katras sistēmas nevienādības risinājums.

Šī joma var izrādīties tukša, tad nevienlīdzību sistēmai nav risinājumu, tā ir nekonsekventa. Pretējā gadījumā sistēma tiek uzskatīta par konsekventu.
Risinājumi var būt ierobežots skaitlis un bezgalīga kopa. Platība var būt slēgts daudzstūris vai arī neierobežots.

Apskatīsim trīs atbilstošus piemērus.

Piemērs 1. Grafiski atrisiniet sistēmu:
x + y- 1 ≤ 0;
–2x- 2y + 5 ≤ 0.

• aplūkosim nevienādībām atbilstošos vienādojumus x+y–1=0 un –2x–2y+5=0;
• konstruēsim šo vienādojumu dotās taisnes.

2. attēls

Definēsim nevienādību dotās pusplaknes. Paņemiet patvaļīgu punktu, pieņemsim (0; 0). Apsveriet x+ y- 1 0, mēs aizstājam punktu (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. tātad pusplaknē, kurā atrodas punkts (0; 0), x + y – 1 ≤ 0, t.i. pusplakne, kas atrodas zem taisnes, ir pirmās nevienādības risinājums. Aizvietojot šo punktu (0; 0) ar otro, iegūstam: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, t.i. pusplaknē, kurā atrodas punkts (0; 0), -2 x – 2y+ 5≥ 0, un mums jautāja, kur -2 x – 2y+ 5 ≤ 0, tāpēc citā pusplaknē - virs taisnes.
Atrodiet šo divu pusplakņu krustpunktu. Taisnes ir paralēlas, tāpēc plaknes nekur nekrustojas, kas nozīmē, ka šo nevienādību sistēmai nav atrisinājumu, tā ir nekonsekventa.

2. piemērs. Atrodiet grafiskus risinājumus nevienādību sistēmai:

3. attēls
1. Pierakstiet nevienādībām atbilstošos vienādojumus un izveidojiet taisnes.
x + 2y– 2 = 0

x	2	0
y	0	1

y – x – 1 = 0

x	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Izvēloties punktu (0; 0), nosaka nevienādību zīmes pusplaknēs:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, t.i. x + 2y– 2 ≤ 0 pusplaknē zem taisnes;
0 – 0 – 1 ≤ 0, t.i. y –x– 1 ≤ 0 pusplaknē zem taisnes;
0 + 2 =2 ≥ 0, t.i. y+ 2 ≥ 0 pusplaknē virs līnijas.
3. Šo trīs pusplakņu krustpunkts būs apgabals, kas ir trīsstūris. Nav grūti atrast apgabala virsotnes kā atbilstošo līniju krustošanās punktus


Pa šo ceļu, BET(–3; –2), IN(0; 1), NO(6; –2).

Apskatīsim vēl vienu piemēru, kurā iegūtais sistēmas risinājuma domēns nav ierobežots.

Nevienlīdzību risināšana tiešsaistē

Pirms nevienādību risināšanas ir labi jāsaprot, kā tiek atrisināti vienādojumi.

Nav nozīmes tam, vai nevienlīdzība ir stingra () vai ne stingra (≤, ≥), vispirms ir jāatrisina vienādojums, aizstājot nevienlīdzības zīmi ar vienādību (=).

Paskaidrojiet, ko nozīmē atrisināt nevienlīdzību?

Pēc vienādojumu izpētes skolēnam galvā ir šāds attēls: jāatrod tādas mainīgā vērtības, kurām abām vienādojuma daļām ir vienādas vērtības. Citiem vārdiem sakot, atrodiet visus punktus, kuros ir spēkā vienlīdzība. Viss ir pareizi!

Runājot par nevienādībām, tie nozīmē to intervālu (segmentu) atrašanu, uz kuriem nevienlīdzība attiecas. Ja nevienādībā ir divi mainīgie, tad risinājums vairs nebūs intervāli, bet daži apgabali plaknē. Uzminiet, kāds būs nevienādības risinājums trīs mainīgajos?

Kā atrisināt nevienlīdzības?

Intervālu metode (pazīstama arī kā intervālu metode) tiek uzskatīta par universālu nevienādību risināšanas veidu, kas sastāv no visu intervālu noteikšanas, kuros dotā nevienādība tiks izpildīta.

Neiedziļinoties nevienlīdzības veidā, šajā gadījumā tā nav būtība, ir jāatrisina attiecīgais vienādojums un jānosaka tā saknes, kam seko šo atrisinājumu apzīmējums uz skaitliskās ass.

Kā pareizi uzrakstīt nevienlīdzības risinājumu?

Kad esat noteicis nevienlīdzības risināšanas intervālus, jums pareizi jāizraksta pats risinājums. Ir svarīga nianse – vai risinājumā ir iekļautas intervālu robežas?

Šeit viss ir vienkārši. Ja vienādojuma atrisinājums apmierina ODZ un nevienādība nav stingra, tad nevienādības risinājumā tiek iekļauta intervāla robeža. Citādi nē.

Ņemot vērā katru intervālu, nevienādības risinājums var būt pats intervāls vai pusintervāls (kad viena no tā robežām apmierina nevienlīdzību), vai segments - intervāls kopā ar tā robežām.

Svarīgs punkts

Nedomājiet, ka tikai intervāli, pusintervāli un segmenti var būt nevienlīdzības risinājums. Nē, risinājumā var iekļaut arī atsevišķus punktus.

Piemēram, nevienādībai |x|≤0 ir tikai viens risinājums - punkts 0.

Un nevienlīdzība |x|

Kam domāts nevienlīdzības kalkulators?

Nevienlīdzības kalkulators sniedz pareizo galīgo atbildi. Šajā gadījumā vairumā gadījumu tiek sniegta skaitliskās ass vai plaknes ilustrācija. Var redzēt, vai intervālu robežas ir iekļautas risinājumā vai nav - punkti tiek parādīti aizpildīti vai caurdurti.

Pateicoties tiešsaistes nevienlīdzības kalkulatoram, varat pārbaudīt, vai esat pareizi atradis vienādojuma saknes, atzīmējis tās skaitļu rindā un pārbaudījis nevienlīdzības nosacījumus intervālos (un robežās)?

Ja jūsu atbilde atšķiras no kalkulatora atbildes, jums noteikti ir vēlreiz jāpārbauda risinājums un jānoskaidro pieļautā kļūda.

Nevienlīdzība ir izteiksme ar, ≤ vai ≥. Piemēram, 3x - 5 Atrisināt nevienlīdzību nozīmē atrast visas mainīgo vērtības, kurām šī nevienlīdzība ir patiesa. Katrs no šiem skaitļiem ir nevienlīdzības risinājums, un visu šādu risinājumu kopa ir tā daudz risinājumu. Tiek sauktas nevienādības, kurām ir vienāda risinājumu kopa līdzvērtīgas nevienlīdzības.

Lineārās nevienādības

Nevienādību risināšanas principi ir līdzīgi vienādojumu risināšanas principiem.

Nevienādību risināšanas principi
Jebkuriem reāliem skaitļiem a, b un c :
Nevienādību saskaitīšanas princips: Ja Reizināšanas princips nevienādībām: Ja 0 ir patiess, tad ac Ja arī bc ir patiess.
Līdzīgi apgalvojumi attiecas arī uz a ≤ b.

Ja abas nevienlīdzības puses tiek reizinātas ar negatīvu skaitli, nevienlīdzības zīme ir jāapgriež.
Pirmā līmeņa nevienādības, kā 1. piemērā (zemāk), tiek sauktas lineārās nevienādības.

1. piemērs Atrisiniet katru no šīm nevienādībām. Pēc tam uzzīmējiet risinājumu kopu.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Risinājums
Jebkurš skaitlis, kas mazāks par 11/5, ir risinājums.
Risinājumu kopa ir (x|x
Lai veiktu pārbaudi, mēs varam attēlot y 1 = 3x - 5 un y 2 = 6 - 2x. Tad no šejienes var redzēt, ka par x
Risinājumu kopa ir (x|x ≤ 1) vai (-∞, 1]. Risinājumu kopas grafiks ir parādīts zemāk.

Dubultā nevienlīdzība

Kad divas nevienlīdzības ir savienotas ar vārdu Un, vai, tad tas veidojas dubultā nevienlīdzība. Dubultā nevienlīdzība patīk
-3 Un 2x + 5 ≤ 7
sauca savienots jo tas izmanto Un. Rekords -3 Dubultās nevienādības var atrisināt, izmantojot nevienādību saskaitīšanas un reizināšanas principus.

2. piemērs Atrisināt -3 Risinājums Mums ir

Risinājumu kopa (x|x ≤ -1 vai x > 3). Mēs varam arī uzrakstīt risinājumu, izmantojot atstarpes apzīmējumu un simbolu for asociācijas vai abu kopu ieslēgumi: (-∞ -1] (3, ∞). Risinājumu kopas grafiks ir parādīts zemāk.

Lai pārbaudītu, uzzīmējiet y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 un y 3 = 1. Ņemiet vērā, ka (x|x ≤ -1 vai x > 3), y 1 ≤ y 2 vai y 1 > y 3 .

Nevienādības ar absolūto vērtību (modulis)

Nevienlīdzības dažreiz satur moduļus. To risināšanai tiek izmantotas šādas īpašības.
Ja > 0 un algebriskai izteiksmei x:
|x| |x| > a ir ekvivalents x vai x > a.
Līdzīgi apgalvojumi par |x| ≤ a un |x| ≥ a.

Piemēram,
|x| |y| ≥ 1 ir ekvivalents y ≤ -1 vai y ≥ 1;
un |2x + 3| ≤ 4 ir ekvivalents -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

4. piemērs Atrisiniet katru no šīm nevienādībām. Uzzīmējiet risinājumu kopu.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

Risinājums
a) |3x + 2|

Risinājumu kopa ir (x|-7/3
b) |5 - 2x| ≥ 1
Risinājumu kopa ir (x|x ≤ 2 vai x ≥ 3), vai (-∞, 2] )