Kādi skaitļi ir neracionāli. Racionālie un iracionālie skaitļi

Iracionālā skaitļa definīcija

Iracionālie skaitļi ir tie skaitļi, kas decimāldaļās ir bezgalīgas neperiodiskas decimāldaļdaļas.

Piemēram, skaitļi, kas iegūti, ņemot kvadrātsakni no naturālie skaitļi, ir iracionāli un nav naturālu skaitļu kvadrāti. Bet ne visus iracionālos skaitļus iegūst, ekstrahējot kvadrātsaknes, jo dalīšanas ceļā iegūtais skaitlis "pi" arī ir iracionāls, un, mēģinot izvilkt naturāla skaitļa kvadrātsakni, to diez vai iegūsit.

Iracionālo skaitļu īpašības

Atšķirībā no skaitļiem, kas rakstīti bezgalīgās decimāldaļdaļās, tikai iracionālie skaitļi tiek rakstīti neperiodiskās bezgalīgās decimāldaļdaļās.
Divu nenegatīvu iracionālu skaitļu summa galu galā var būt racionāls skaitlis.
Iracionāli skaitļi definējiet Dedekind sadaļas racionālo skaitļu kopā zemākajā klasē, kurām nav liels skaits, un augšējā nav mazāka.
Jebkurš reāls pārpasaulīgais skaitlis ir iracionāls.
Visi neracionālie skaitļi ir algebriski vai pārpasaulīgi.
Iracionālo skaitļu kopa uz līnijas ir blīvi iesaiņota, un starp jebkuriem diviem tās skaitļiem noteikti ir ir ir racionāls skaitlis.
Iracionālo skaitļu kopa ir bezgalīga, neskaitāma un ir 2. kategorijas kopa.
Veicot jebkuru aritmētisku darbību ar racionālajiem skaitļiem, izņemot dalīšanu ar 0, tās rezultāts būs racionāls skaitlis.
Ja iracionālajam skaitlim pievieno racionālu skaitli, rezultāts vienmēr ir iracionāls skaitlis.
Saskaitot iracionālos skaitļus, rezultātā varam iegūt racionālu skaitli.
Iracionālo skaitļu kopa nav pāra.

Skaitļi nav neracionāli

Dažkārt ir diezgan grūti atbildēt uz jautājumu, vai skaitlis ir iracionāls, īpaši gadījumos, kad skaitlis ir decimāldaļskaitļa formā vai skaitliskās izteiksmes, saknes vai logaritma formā.

Tāpēc nebūs lieki zināt, kuri skaitļi nav neracionāli. Ja sekojam iracionālo skaitļu definīcijai, tad jau zinām, ka racionālie skaitļi nevar būt iracionāli.

Iracionālie skaitļi nav:

Pirmkārt, visi naturālie skaitļi;
Otrkārt, veseli skaitļi;
Treškārt, parastās frakcijas;
Ceturtkārt, dažādi jaukti skaitļi;
Piektkārt, tās ir bezgalīgas periodiskas decimāldaļas.

Papildus visam iepriekšminētajam jebkura racionālo skaitļu kombinācija, ko veic ar aritmētisko darbību zīmēm, piemēram, +, -, , :, nevar būt iracionāls skaitlis, jo šajā gadījumā arī divu racionālu skaitļu rezultāts. būt racionālam skaitlim.

Tagad redzēsim, kuri no skaitļiem ir neracionāli:

Vai zini par fanu kluba eksistenci, kurā šīs noslēpumainās matemātiskās parādības cienītāji meklē arvien vairāk informācijas par Pī, cenšoties atšķetināt tā noslēpumu. Par šī kluba biedru var kļūt jebkurš cilvēks, kurš no galvas zina noteiktu Pi skaitļu skaitu aiz komata;

Vai zinājāt, ka Vācijā UNESCO aizsardzībā atrodas Castadel Monte pils, pateicoties kuras proporcijām var aprēķināt Pi. Šim numuram veselu pili veltīja karalis Frederiks II.

Izrādās, Bābeles torņa celtniecībā viņi mēģināja izmantot skaitli Pi. Bet mums par lielu nožēlu tas noveda pie projekta sabrukuma, jo tajā laikā precīzs Pi vērtības aprēķins nebija pietiekami izpētīts.

Dziedātāja Keita Buša savā jaunajā diskā ierakstīja dziesmu ar nosaukumu "Pi", kurā skanēja simts divdesmit četri skaitļi no slavenās numuru sērijas 3, 141 ... ..

Visu naturālo skaitļu kopa tiek apzīmēta ar burtu N. Naturālie skaitļi ir skaitļi, kurus mēs izmantojam objektu skaitīšanai: 1,2,3,4, ... Dažos avotos skaitlis 0 tiek saukts arī par naturāliem skaitļiem. .

Visu veselo skaitļu kopa tiek apzīmēta ar burtu Z. Veseli skaitļi ir naturāli skaitļi, nulle un negatīvi skaitļi:

1,-2,-3, -4, …

Tagad visu veselo skaitļu kopai pievienojam visu kopu parastās frakcijas: 2/3, 18/17, -4/5 un tā tālāk. Tad mēs iegūstam visu racionālo skaitļu kopu.

Racionālo skaitļu kopa

Visu racionālo skaitļu kopa ir apzīmēta ar burtu Q. Visu racionālo skaitļu kopa (Q) ir kopa, kas sastāv no skaitļiem formā m/n, -m/n un skaitļa 0. kā n,m var būt jebkurš naturāls skaitlis. Jāņem vērā, ka visus racionālos skaitļus var attēlot kā galīgu vai bezgalīgu PERIODisku decimālo daļu. Ir arī otrādi, ka jebkuru galīgu vai bezgalīgu periodisku decimālo daļu var uzrakstīt kā racionālu skaitli.

Bet kā ir, piemēram, ar numuru 2.0100100010…? Tas ir bezgalīgi NEPERIODISKS decimālskaitlis. Un tas neattiecas uz racionāliem skaitļiem.

Skolas algebras kursā tiek pētīti tikai reāli (vai reāli) skaitļi. Daudzi no visiem reāli skaitļi apzīmē ar burtu R. Kopa R sastāv no visiem racionālajiem un visiem iracionālajiem skaitļiem.

Iracionālo skaitļu jēdziens

Iracionālie skaitļi ir bezgalīgas decimāldaļas, kas nav periodiskas. Iracionāliem skaitļiem nav īpaša apzīmējuma.

Piemēram, visi skaitļi, kas iegūti, izvelkot kvadrātsakni no naturāliem skaitļiem, kas nav naturālu skaitļu kvadrāti, būs neracionāli. (√2, √3, √5, √6 utt.).

Bet nedomājiet, ka neracionālus skaitļus iegūst, tikai izvelkot kvadrātsaknes. Piemēram, skaitlis "pi" arī ir neracionāls, un to iegūst dalot. Un, lai kā jūs mēģinātu, jūs to nevarat iegūt, ņemot kvadrātsakni no jebkura naturāla skaitļa.

Ar vienības garuma segmentu jau senie matemātiķi zināja: viņi zināja, piemēram, diagonāles un kvadrāta malas nesamērojamību, kas ir līdzvērtīga skaitļa iracionalitātei.

Iracionāli ir:

Iracionalitātes pierādījumu piemēri

2. sakne

Pieņemsim pretējo: tas ir racionāls, tas ir, tas tiek attēlots kā nesamazināma daļa, kur un ir veseli skaitļi. Izlīdzināsim šķietamo vienādību:

.

No tā izriet, ka pat, tātad, pat un . Lai kur veselums. Tad

Tāpēc pat, tātad, pat un . Mēs to esam ieguvuši un esam pāra, kas ir pretrunā ar daļskaitļa nereducējamību. Tādējādi sākotnējais pieņēmums bija nepareizs un ir neracionāls skaitlis.

Skaitļa 3 binārais logaritms

Pieņemsim pretējo: tas ir racionāls, tas ir, tas tiek attēlots kā daļa, kur un ir veseli skaitļi. Kopš , un to var uzskatīt par pozitīvu. Tad

Bet tas ir skaidrs, tas ir dīvaini. Mēs iegūstam pretrunu.

e

Vēsture

Iracionālo skaitļu jēdzienu netieši pieņēma Indijas matemātiķi 7. gadsimtā pirms mūsu ēras, kad Manava (ap 750. g. p.m.ē. – ap 690. g. p.m.ē.) konstatēja, ka dažu naturālu skaitļu kvadrātsaknes, piemēram, 2 un 61, nevar skaidri izteikt.

Pirmais iracionālo skaitļu esamības pierādījums parasti tiek piedēvēts Hipasam no Metaponta (ap 500. g. p.m.ē.), pitagorietim, kurš šo pierādījumu atrada, pētot pentagrammas malu garumus. Pitagoriešu laikā tika uzskatīts, ka ir viena garuma vienība, pietiekami maza un nedalāma, kas ir vesels reižu skaits, kas iekļauts jebkurā segmentā. Tomēr Hipass apgalvoja, ka nav vienas garuma vienības, jo pieņēmums par tā esamību rada pretrunu. Viņš parādīja, ka, ja hipotenūza ir vienādsānu taisnleņķa trīsstūris satur veselu vienību segmentu skaitu, tad šim skaitlim vienlaikus jābūt gan pāra, gan nepāra. Pierādījums izskatījās šādi:

• Vienādsānu taisnstūra trīsstūra hipotenūzas garuma attiecību pret kājas garumu var izteikt kā a:b, kur a Un b izvēlēts kā mazākais iespējamais.
• Saskaņā ar Pitagora teorēmu: a² = 2 b².
• Jo a² pat, a jābūt pāra (jo nepāra skaitļa kvadrāts būtu nepāra).
• Ciktāl a:b nesamazināms b jābūt nepāra.
• Jo a pat, apzīmēt a = 2y.
• Tad a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², tāpēc b tad ir vienmērīgs b pat.
• Tomēr ir pierādīts, ka b nepāra. Pretruna.

Grieķu matemātiķi šo nesamērojamo lielumu attiecību sauca alogos(neizsakāms), bet saskaņā ar leģendām Hipasam netika izrādīta pienācīga cieņa. Pastāv leģenda, ka Hipass atklājumu izdarīja jūras ceļojuma laikā, un citi pitagorieši viņu izmeta aiz borta, "lai radītu Visuma elementu, kas noliedz doktrīnu, ka visas Visuma būtības var reducēt līdz veseliem skaitļiem un to attiecībām. " Hipas atklājums izvirzīja Pitagora matemātiku nopietna problēma, iznīcinot visas teorijas pamatā esošo pieņēmumu, ka skaitļi un ģeometriski objekti ir viens un nedalāmi.

Skatīt arī

Piezīmes

Skaitliskās sistēmas
Skaitīšana komplekti	Naturālie skaitļi () Veseli skaitļi ()

Racionālais skaitlis ir skaitlis, ko var attēlot kā daļskaitli, kur . Q ir visu racionālo skaitļu kopa.

Racionālos skaitļus iedala: pozitīvos, negatīvos un nulles.

Katru racionālo skaitli var saistīt ar vienu punktu uz koordinātu līnijas. Attiecība "pa kreisi" punktiem atbilst attiecībai "mazāk nekā" šo punktu koordinātām. Var redzēt, ka katrs negatīvais skaitlis ir mazāks par nulli un katrs pozitīvais skaitlis; no diviem negatīviem skaitļiem tas, kura modulis ir lielāks, ir mazāks. Tātad -5.3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Jebkuru racionālu skaitli var attēlot kā decimālo periodisko daļu. Piemēram, .

Algoritmi operācijām ar racionāliem skaitļiem izriet no zīmju noteikumiem attiecīgajām darbībām ar nulles un pozitīvām daļām. Q veic dalīšanu, izņemot dalīšanu ar nulli.

Jebkurš lineārais vienādojums, t.i. vienādojums formā ax+b=0, kur , ir atrisināms kopā Q, bet ne jebkurš kvadrātvienādojums laipns , ir atrisināms racionālos skaitļos. Ne katram koordinātu līnijas punktam ir racionāls punkts. Pat 6. gadsimta beigās pirms mūsu ēras. n. e Pitagora skolā tika pierādīts, ka kvadrāta diagonāle nav samērojama ar tā augstumu, kas ir līdzvērtīgs apgalvojumam: "Vienādojumam nav racionālu sakņu." Viss iepriekš minētais noveda pie nepieciešamības paplašināt kopu Q, tika ieviests iracionālā skaitļa jēdziens. Iracionālo skaitļu kopu apzīmē ar burtu Dž .

Koordinātu taisnē visiem punktiem, kuriem nav racionālu koordinātu, ir iracionālas koordinātes. , kur r ir reālu skaitļu kopas. universālā veidā reālo skaitļu piešķiršana ir decimāldaļas. Periodiskās decimāldaļas nosaka racionālos skaitļus, bet neperiodiskās decimāldaļas – iracionālos skaitļus. Tātad, 2,03 (52) ir racionāls skaitlis, 2,03003000300003 ... (katra nākamā cipara “3” periods tiek rakstīts par vienu nulli vairāk) ir iracionāls skaitlis.

Kopām Q un R piemīt pozitivitātes īpašības: starp jebkuriem diviem racionālajiem skaitļiem ir racionāls skaitlis, piemēram, ekoi a

Katram neracionālajam skaitlim α ar jebkuru precizitāti var norādīt racionālu tuvinājumu gan ar deficītu, gan ar pārpalikumu: a< α

Saknes iegūšana no dažiem racionāliem skaitļiem noved pie neracionāliem skaitļiem. Dabiskās pakāpes saknes izvilkšana ir algebriska darbība, t.i. tā ievads ir saistīts ar formas algebriskā vienādojuma atrisināšanu . Ja n ir nepāra, t.i. n=2k+1, kur , tad vienādojumam ir viena sakne. Ja n ir pāra, n=2k, kur , tad a=0 vienādojumam ir viena sakne x=0, a<0 корней нет, при a>0 ir divas saknes, kas ir pretējas viena otrai. Saknes izvilkšana ir apgriezta darbība, paaugstinot līdz dabiskajam spēkam.

Nenegatīva skaitļa a n-tās pakāpes aritmētiskā sakne (īsuma labad sakne) ir nenegatīvs skaitlis b, kas ir vienādojuma sakne. N-tās pakāpes sakne no skaitļa a tiek apzīmēta ar simbolu. Ja n=2, saknes 2 pakāpe nav norādīta: .

Piemēram, , jo 2 2 =4 un 2>0; , jo 3 3 =27 un 3>0; neeksistē, jo -4<0.

Ja n=2k un a>0, vienādojuma (1) saknes raksta kā un . Piemēram, vienādojuma x 2 \u003d 4 saknes ir 2 un -2.

n nepāra vienādojumam (1) ir viena sakne jebkuram . Ja a≥0, tad - šī vienādojuma sakne. Ja<0, то –а>0 un - vienādojuma sakne. Tātad vienādojumam x 3 \u003d 27 ir sakne.

Kas ir neracionālie skaitļi? Kāpēc viņus tā sauc? Kur tie tiek izmantoti un kādi tie ir? Tikai daži var bez vilcināšanās atbildēt uz šiem jautājumiem. Bet patiesībā atbildes uz tām ir pavisam vienkāršas, lai gan ne visiem tās ir vajadzīgas un ļoti retās situācijās.

Būtība un apzīmējums

Iracionālie skaitļi ir bezgalīgi neperiodiski Nepieciešamība ieviest šo jēdzienu ir saistīta ar to, ka jaunu radušos problēmu risināšanai vairs nepietika ar iepriekš pastāvošajiem reālo vai reālo, veselo, naturālo un racionālo skaitļu jēdzieniem. Piemēram, lai aprēķinātu, kas ir kvadrāts 2, jums ir jāizmanto vienreizējas bezgalīgas decimāldaļas. Turklāt daudziem vienkāršākajiem vienādojumiem arī nav risinājuma, neieviešot iracionālā skaitļa jēdzienu.

Šī kopa ir apzīmēta kā I. Un, kā jau skaidrs, šīs vērtības nevar attēlot kā vienkāršu daļskaitli, kuras skaitītājā būs vesels skaitlis, bet saucējā -

Pirmo reizi, tā vai citādi, Indijas matemātiķi ar šo parādību saskārās 7. gadsimtā, kad tika atklāts, ka dažu lielumu kvadrātsaknes nevar skaidri norādīt. Un pirmais pierādījums šādu skaitļu esamībai tiek attiecināts uz Pitagora Hipasu, kurš to izdarīja vienādsānu taisnstūra trīsstūra izpētes procesā. Nopietnu ieguldījumu šī komplekta izpētē sniedza daži citi zinātnieki, kas dzīvoja pirms mūsu ēras. Iracionālo skaitļu jēdziena ieviešana radīja esošās matemātiskās sistēmas pārskatīšanu, tāpēc tie ir tik svarīgi.

vārda izcelsme

Ja attiecība latīņu valodā ir "daļdaļa", "attiecība", tad prefikss "ir"
piešķir vārdam pretēju nozīmi. Tādējādi šo skaitļu kopas nosaukums norāda, ka tos nevar korelēt ar veselu vai daļskaitli, tiem ir atsevišķa vieta. Tas izriet no viņu būtības.

Vieta kopvērtējumā

Iracionālie skaitļi līdzās racionālajiem pieder reālo vai reālo skaitļu grupai, kas savukārt ir sarežģīti. Nav apakškopu, taču ir algebriskas un transcendentālās šķirnes, kas tiks aplūkotas turpmāk.

Īpašības

Tā kā iracionālie skaitļi ir daļa no reālo skaitļu kopas, uz tiem ir attiecināmas visas to īpašības, kas tiek pētītas aritmētikā (tos sauc arī par algebras pamatlikumiem).

a + b = b + a (komutativitāte);

(a + b) + c = a + (b + c) (asociativitāte);

a + (-a) = 0 (pretēja skaitļa esamība);

ab = ba (pārvietošanas likums);

(ab)c = a(bc) (izplatība);

a(b+c) = ab + ac (izplatības likums);

a x 1/a = 1 (apgriezta skaitļa esamība);

Salīdzinājums tiek veikts arī saskaņā ar vispārējiem likumiem un principiem:

Ja a > b un b > c, tad a > c (attiecības tranzitivitāte) un. utt.

Protams, visus neracionālos skaitļus var pārveidot, izmantojot pamata aritmētiskās darbības. Tam nav īpašu noteikumu.

Turklāt Arhimēda aksiomas darbība attiecas uz iracionāliem skaitļiem. Tajā teikts, ka jebkuram diviem lielumiem a un b ir patiess apgalvojums, ka, pieņemot a kā terminu pietiekami reižu, ir iespējams pārspēt b.

Lietošana

Neskatoties uz to, ka in parastā dzīve ne tik bieži ar tiem nākas saskarties, neracionāli skaitļi nav saskaitāmi. Viņu ir daudz, bet tie ir gandrīz neredzami. Mūs visur ieskauj neracionāli skaitļi. Visiem pazīstami piemēri ir pi, kas ir 3.1415926... vai e, kas būtībā ir bāze naturālais logaritms, 2.718281828... Algebrā, trigonometrijā un ģeometrijā tie ir jāizmanto visu laiku. Starp citu, arī slavenā "zelta sekcijas" nozīme, tas ir, lielākās daļas attiecība pret mazāko un otrādi.

pieder šim komplektam. Mazāk zināms "sudrabs" - arī.

Uz skaitļu līnijas tie atrodas ļoti blīvi, tāpēc starp jebkuriem diviem lielumiem, kas saistīti ar racionālo kopu, noteikti rodas iracionāls.

Ar šo komplektu joprojām ir daudz neatrisinātu problēmu. Ir tādi kritēriji kā iracionalitātes mērs un skaitļa normalitāte. Matemātiķi turpina izskatīt nozīmīgākos piemērus viņu piederībai vienai vai otrai grupai. Piemēram, tiek uzskatīts, ka e ir normāls skaitlis, tas ir, varbūtība, ka tā ierakstā parādīsies dažādi cipari, ir vienāda. Attiecībā uz pi joprojām notiek pētījumi par to. Iracionalitātes mērs ir vērtība, kas parāda, cik labi konkrētu skaitli var tuvināt ar racionāliem skaitļiem.

Algebriskā un transcendentālā

Kā jau minēts, neracionālos skaitļus nosacīti iedala algebriskajos un pārpasaulīgajos. Nosacīti, jo, stingri runājot, šī klasifikācija tiek izmantota kopas C sadalīšanai.

Zem šī apzīmējuma ir paslēpti kompleksie skaitļi, kas ietver reālus vai reālus skaitļus.

Tātad algebriskā vērtība ir vērtība, kas ir polinoma sakne, kas nav identiski vienāda ar nulli. Piemēram, kvadrātsakne no 2 būtu šajā kategorijā, jo tā ir vienādojuma x 2 risinājums - 2 = 0.

Visus pārējos reālos skaitļus, kas neatbilst šim nosacījumam, sauc par pārpasaulīgiem. Šajā šķirnē ietilpst arī slavenākie un jau minētie piemēri - skaitlis pi un naturālā logaritma bāze e.

Interesanti, ka matemātiķi sākotnēji neizsecināja ne vienu, ne otro, to neracionalitāte un transcendence tika pierādīta daudzus gadus pēc to atklāšanas. Attiecībā uz pi pierādījums tika sniegts 1882. gadā un vienkāršots 1894. gadā, kas pielika punktu 2500 gadus ilgajam strīdam par apļa kvadrāta kvadrātu problēmu. Tas joprojām nav pilnībā izprasts, tāpēc mūsdienu matemātiķiem ir pie kā strādāt. Starp citu, pirmo pietiekami precīzu šīs vērtības aprēķinu veica Arhimēds. Pirms viņa visi aprēķini bija pārāk aptuveni.

Attiecībā uz e (Eulera vai Napier skaitlis) pierādījums tā transcendencei tika atrasts 1873. gadā. To izmanto logaritmisko vienādojumu risināšanā.

Citi piemēri ietver sinusa, kosinusa un pieskares vērtības visām algebriskām vērtībām, kas nav nulles.