Kādi skaitļi ir dabiski. Studējot eksakto priekšmetu: naturālie skaitļi ir kādi skaitļi, piemēri un īpašības

Dabiskie skaitļi ir viens no vecākajiem matemātiskajiem jēdzieniem.

Tālā pagātnē cilvēki nezināja skaitļus, un, kad vajadzēja skaitīt objektus (dzīvniekus, zivis utt.), viņi to darīja savādāk nekā mēs tagad.

Objektu skaits tika salīdzināts ar ķermeņa daļām, piemēram, ar pirkstiem uz rokas, un viņi teica: "Man ir tik daudz riekstu, cik pirkstu uz rokas."

Laika gaitā cilvēki saprata, ka pieciem riekstiem, piecām kazām un pieciem zaķiem ir kopīgs īpašums – to skaits ir pieci.

Atcerieties!

Veseli skaitļi ir skaitļi, sākot ar 1, kas iegūti, skaitot objektus.

1, 2, 3, 4, 5…

mazākais naturālais skaitlis — 1 .

lielākais dabiskais skaitlis neeksistē.

Skaitot, skaitlis nulle netiek izmantots. Tāpēc nulle netiek uzskatīta par naturālu skaitli.

Cilvēki iemācījās rakstīt ciparus daudz vēlāk nekā skaitīt. Pirmkārt, viņi sāka attēlot vienību ar vienu nūju, pēc tam ar divām nūjām - skaitli 2, ar trim - numuru 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Tad parādījās īpašas zīmes skaitļu apzīmēšanai - mūsdienu skaitļu priekštečiem. Cipari, kurus mēs izmantojam skaitļu rakstīšanai, radās Indijā apmēram pirms 1500 gadiem. Arābi tos atveda uz Eiropu, tāpēc tos sauc Arābu cipari.

Kopumā ir desmit cipari: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Šos ciparus var izmantot, lai uzrakstītu jebkuru naturālu skaitli.

Atcerieties!

dabiska sērija ir visu naturālo skaitļu secība:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Dabiskajā sērijā katrs skaitlis ir par 1 lielāks par iepriekšējo.

Dabiskā virkne ir bezgalīga, tajā nav lielākā naturālā skaitļa.

Mūsu izmantotā skaitīšanas sistēma tiek saukta decimāldaļas pozicionāls.

Decimālzīme, jo 10 vienības no katra cipara veido 1 nozīmīgākā cipara vienību. Pozicionāls, jo cipara vērtība ir atkarīga no tā vietas skaitļa apzīmējumā, tas ir, no cipara, kurā tas ir uzrakstīts.

Svarīgs!

Klases, kas seko miljardam, ir nosauktas saskaņā ar skaitļu latīņu nosaukumiem. Katra nākamā vienība satur tūkstoš iepriekšējo vienību.

• 1000 miljardi = 1 000 000 000 000 = 1 triljons ("trīs" latīņu valodā nozīmē "trīs")
• 1000 triljoni = 1 000 000 000 000 000 = 1 kvadriljons ("quadra" latīņu valodā nozīmē "četri")
• 1000 kvadriljoni = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 kvintiljons ("quinta" latīņu valodā nozīmē "pieci")

Tomēr fiziķi ir atraduši skaitli, kas pārsniedz visu atomu (mazāko matērijas daļiņu) skaitu visā Visumā.

Šim numuram ir īpašs nosaukums - googol. Googols ir skaitlis, kurā ir 100 nulles.

Veseli skaitļi- naturālie skaitļi ir skaitļi, kurus izmanto objektu skaitīšanai. Visu naturālo skaitļu kopu dažreiz sauc par naturālajām sērijām: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 utt. .

Lai uzrakstītu naturālus skaitļus, tiek izmantoti desmit cipari: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ar to palīdzību var uzrakstīt jebkuru naturālu skaitli. Šo apzīmējumu sauc par decimāldaļu.

Dabisko skaitļu sēriju var turpināt bezgalīgi. Nav tāda skaitļa, kas būtu pēdējais, jo vienmēr var pielikt pēdējam skaitlim un iegūs skaitli, kas jau ir lielāks par vēlamo. Šajā gadījumā mēs sakām, ka dabiskajā rindā nav lielākā skaitļa.

Naturālo skaitļu cipari

Rakstot jebkuru numuru, izmantojot ciparus, izšķiroša nozīme ir vietai, kurā cipars atrodas ciparā. Piemēram, skaitlis 3 nozīmē: 3 vienības, ja tas ir skaitļa pēdējais; 3 desmiti, ja tas būs priekšpēdējā vietā esošajā skaitā; 4 simti, ja viņa no beigām būs trešajā vietā.

Pēdējais cipars nozīmē vienību ciparu, priekšpēdējais - desmitnieku ciparu, 3 no beigām - simtu ciparu.

Viens un vairāki cipari

Ja jebkurā skaitļa ciparā ir 0, tas nozīmē, ka šajā ciparā nav nevienas vienības.

Skaitlis 0 apzīmē nulli. Nulle ir "nav".

Nulle nav naturāls skaitlis. Lai gan daži matemātiķi domā citādi.

Ja skaitlis sastāv no viena cipara, to sauc par viencipara, divi – divciparu, trīs – trīsciparu utt.

Skaitļus, kas nav viencipari, sauc arī par vairākiem cipariem.

Ciparu klases lielu naturālu skaitļu lasīšanai

Lai nolasītu lielus naturālus skaitļus, skaitlis tiek sadalīts trīs ciparu grupās, sākot no labās malas. Šīs grupas sauc par klasēm.

Pirmie trīs cipari no labās malas veido vienību klasi, nākamie trīs — tūkstošu klasi, nākamie trīs — miljonu klasi.

Miljons ir tūkstotis tūkstoši, ierakstam viņi izmanto saīsinājumu miljons 1 miljons = 1 000 000.

Miljards = tūkstotis miljonu. Ierakstīšanai tiek izmantots saīsinājums miljards 1 miljards = 1 000 000 000.

Rakstiet un lasiet piemēru

Šim skaitlim ir 15 vienības miljardu klasē, 389 vienības miljonu klasē, nulles vienības tūkstošu klasē un 286 vienības vienību klasē.

Šis skaitlis skan šādi: 15 miljardi 389 miljoni 286.

Lasiet ciparus no kreisās puses uz labo. Savukārt tiek izsaukts katras klases vienību skaits un pēc tam pievienots klases nosaukums.

Dabiskie skaitļi cilvēkam ir pazīstami un intuitīvi, jo tie mūs ieskauj jau no bērnības. Zemāk esošajā rakstā mēs sniegsim pamatideju par naturālo skaitļu nozīmi, aprakstīsim to rakstīšanas un lasīšanas pamatprasmes. Visa teorētiskā daļa tiks papildināta ar piemēriem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vispārējs priekšstats par dabiskajiem skaitļiem

Noteiktā cilvēces attīstības posmā radās uzdevums saskaitīt noteiktus objektus un noteikt to daudzumu, kas, savukārt, prasīja atrast instrumentu šīs problēmas risināšanai. Par šādu rīku kļuva naturālie skaitļi. Skaidrs ir arī naturālo skaitļu galvenais mērķis - sniegt priekšstatu par objektu skaitu vai konkrēta objekta sērijas numuru, ja mēs runājam par kopu.

Loģiski, ka, lai cilvēks lietotu naturālos skaitļus, ir nepieciešams veids, kā tos uztvert un reproducēt. Tātad naturālu skaitli var izrunāt vai attēlot, kas ir dabiski informācijas nodošanas veidi.

Apsveriet naturālu skaitļu balss (lasīšanas) un attēlu (rakstīšanas) pamatprasmes.

Naturāla skaitļa decimālais apzīmējums

Atgādiniet, kā tiek parādītas šādas rakstzīmes (mēs norādām tās atdalot ar komatiem): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Šīs rakstzīmes sauc par cipariem.

Tagad pieņemsim, ka, attēlojot (rakstot) jebkuru naturālu skaitli, tiek izmantoti tikai norādītie cipari bez citu simbolu līdzdalības. Lai cipariem, rakstot naturālu skaitli, ir vienāds augstums, tie tiek ierakstīti rindā viens pēc otra, un kreisajā pusē vienmēr ir cipars, kas atšķiras no nulles.

Norādīsim naturālu skaitļu pareizas apzīmējuma piemērus: 703, 881, 13, 333, 1023, 7, 500001. Atkāpes starp cipariem ne vienmēr ir vienādas, par to sīkāk tiks runāts tālāk, pētot skaitļu klases. Dotie piemēri parāda, ka, rakstot naturālu skaitli, nav obligāti jābūt visiem cipariem no iepriekšminētās sērijas. Dažas vai visas no tām var atkārtot.

1. definīcija

Formas: 065 , 0 , 003 , 0791 ieraksti nav naturālu skaitļu ieraksti, jo kreisajā pusē ir skaitlis 0.

Tiek izsaukts pareizais naturālā skaitļa apzīmējums, kas veikts, ņemot vērā visas aprakstītās prasības naturāla skaitļa decimālais apzīmējums.

Naturālo skaitļu kvantitatīvā nozīme

Kā jau minēts, dabiskie skaitļi sākotnēji cita starpā satur kvantitatīvu nozīmi. Naturālie skaitļi kā numerācijas rīks tiek apspriesti tēmā par naturālo skaitļu salīdzināšanu.

Sāksim ar naturāliem skaitļiem, kuru ieraksti sakrīt ar ciparu ierakstiem, t.i.: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Iedomājieties noteiktu objektu, piemēram, šo: Ψ . Mēs varam pierakstīt to, ko mēs redzam 1 priekšmets. Dabiskais skaitlis 1 tiek lasīts kā "viens" vai "viens". Jēdzienam "vienība" ir arī cita nozīme: kaut kas, ko var uzskatīt par veselumu. Ja ir kopa, tad jebkuru tās elementu var apzīmēt ar vienu. Piemēram, no daudzām pelēm jebkura pele ir viena; jebkurš zieds no ziedu kopas ir vienība.

Tagad iedomājieties: Ψ Ψ . Mēs redzam vienu objektu un otru objektu, t.i. ierakstā tas būs - 2 preces. Dabiskais skaitlis 2 tiek lasīts kā "divi".

Turklāt pēc analoģijas: Ψ Ψ Ψ - 3 vienības ("trīs"), Ψ Ψ Ψ Ψ - 4 ("četri"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 5 ("pieci"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 6 ("seši"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 7 ("septiņi"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 8 ("astoņi"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ (" Ψ - 9" deviņi").

No norādītās pozīcijas naturāla skaitļa funkcija ir norādīt daudzums preces.

1. definīcija

Ja skaitļa ievade sakrīt ar cipara 0 ievadi, tad šāds skaitlis tiek izsaukts "nulle". Nulle nav naturāls skaitlis, bet to aplūko kopā ar citiem naturāliem skaitļiem. Nulle nozīmē nē, t.i. nulle vienumu nozīmē, ka nav.

Viencipara naturālie skaitļi

Ir acīmredzams fakts, ka, rakstot katru no iepriekš apspriestajiem naturālajiem skaitļiem (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), mēs izmantojam vienu zīmi - vienu ciparu.

2. definīcija

Viencipara naturāls skaitlis- naturāls skaitlis, kuru raksta, izmantojot vienu zīmi - vienu ciparu.

Ir deviņi viencipara naturālie skaitļi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Divciparu un trīsciparu naturālie skaitļi

3. definīcija

Divciparu naturālie skaitļi- naturālie skaitļi, kurus raksta, izmantojot divas zīmes - divus ciparus. Šajā gadījumā izmantotie skaitļi var būt vienādi vai atšķirīgi.

Piemēram, naturālie skaitļi 71, 64, 11 ir divciparu.

Apsveriet divciparu skaitļu nozīmi. Mēs paļausimies uz mums jau zināmo vienvērtības naturālo skaitļu kvantitatīvo nozīmi.

Ieviesīsim tādu jēdzienu kā "desmit".

Iedomājieties objektu kopu, kas sastāv no deviņiem un vēl viena. Šajā gadījumā mēs varam runāt par 1 duci ("vienu duci") priekšmetu. Ja jūs iedomājaties vienu duci un vēl vienu, tad mēs runāsim par 2 desmitiem (“divi desmiti”). Diviem desmitniekiem pievienojot vēl vienu desmitnieku, iegūstam trīs desmitniekus. Un tā tālāk: turpinot pievienot vienu duci, iegūstam četrus desmitniekus, piecus desmitniekus, sešus desmitniekus, septiņus desmitniekus, astoņus desmitniekus un visbeidzot deviņus desmitniekus.

Apskatīsim divciparu skaitli kā viencipara skaitļu kopu, no kuriem viens ir rakstīts labajā, otrs kreisajā pusē. Kreisajā pusē esošais skaitlis norādīs desmitnieku skaitu dabiskajā skaitļā, bet labajā pusē - vienību skaitu. Gadījumā, ja skaitlis 0 atrodas labajā pusē, mēs runājam par vienību neesamību. Iepriekš minētais ir dabisko divciparu skaitļu kvantitatīva nozīme. Kopā to ir 90.

4. definīcija

Trīsciparu naturālie skaitļi- naturālie skaitļi, kurus raksta, izmantojot trīs rakstzīmes - trīs cipari. Cipari var būt dažādi vai atkārtoties jebkurā kombinācijā.

Piemēram, 413, 222, 818, 750 ir trīsciparu naturāli skaitļi.

Lai saprastu trīsvērtību naturālu skaitļu kvantitatīvo nozīmi, mēs ieviešam jēdzienu "simts".

5. definīcija

Simts (1 simts) ir desmit desmitnieku komplekts. Simts plus simts ir divi simti. Pievienojiet vēl simts un iegūstiet 3 simtus. Pakāpeniski pievienojot simtu, mēs iegūstam: četri simti, pieci simti, sešsimt, septiņsimt, astoņi simti, deviņi simti.

Apsveriet pašu trīsciparu skaitļa ierakstu: tajā iekļautie viencipara naturālie skaitļi tiek rakstīti viens pēc otra no kreisās uz labo pusi. Labākais viens cipars norāda vienību skaitu; nākamais viencipara skaitlis pa kreisi - ar desmitnieku skaitu; galējais kreisais viens cipars ir simtu skaitlis. Ja ierakstā ir iekļauts skaitlis 0, tas norāda uz vienību un/vai desmitnieku neesamību.

Tātad trīsciparu naturālais skaitlis 402 nozīmē: 2 vienības, 0 desmitniekus (nav desmitu, kas nav apvienoti simtos) un 4 simtus.

Pēc analoģijas ir dota četrciparu, piecciparu un tā tālāk naturālo skaitļu definīcija.

Daudzvērtību naturālie skaitļi

No visa iepriekš minētā tagad ir iespējams pāriet uz daudzvērtību naturālu skaitļu definīciju.

6. definīcija

Daudzvērtību naturālie skaitļi- naturālie skaitļi, kas rakstīti, izmantojot divas vai vairākas rakstzīmes. Daudzciparu naturālie skaitļi ir divciparu, trīsciparu un tā tālāk skaitļi.

Viens tūkstotis ir komplekts, kurā ietilpst desmit simti; viens miljons sastāv no tūkstoš tūkstošiem; viens miljards - tūkstotis miljoni; viens triljons ir tūkstotis miljardu. Arī lielākiem komplektiem ir nosaukumi, taču to lietošana ir reta.

Līdzīgi iepriekšminētajam principam, jebkuru daudzciparu naturālu skaitli varam uzskatīt par viencipara naturālu skaitļu kopu, no kuriem katrs, atrodoties noteiktā vietā, norāda vienību, desmitu, simtu, tūkstošu, desmitu esamību un skaitu. no tūkstošiem, simtiem tūkstošu, miljoniem, desmitiem miljonu, simtiem miljonu, miljardu un tā tālāk (attiecīgi no labās uz kreiso).

Piemēram, daudzciparu skaitlis 4 912 305 satur: 5 vienības, 0 desmitus, trīs simtus, 2 tūkstošus, 1 desmitus tūkstošus, 9 simtus tūkstošus un 4 miljonus.

Apkopojot, mēs pārbaudījām prasmi grupēt vienības dažādās kopās (desmitos, simtos utt.) un redzējām, ka skaitļi daudzciparu naturāla skaitļa ierakstā ir vienību skaita apzīmējums katrā no šādām kopām.

Lasīt naturālus skaitļus, klases

Iepriekš minētajā teorijā mēs apzīmējām naturālo skaitļu nosaukumus. 1. tabulā mēs norādām, kā pareizi lietot viencipara naturālo skaitļu nosaukumus runā un alfabētiskā apzīmējumā:

Numurs	vīrišķīgs	Sievišķais dzimums	Neitrs dzimums
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Viens Divas Trīs Četri Pieci Seši Septiņi Astoņi Deviņi	Viens Divas Trīs Četri Pieci Seši Septiņi Astoņi Deviņi	Viens Divas Trīs Četri Pieci Seši Septiņi Astoņi Deviņi

Numurs	nominatīvais gadījums	Ģenitīvs	Datīvs	Akuzatīvs	Instrumentālais futrālis	Priekšnosacījums
1 2 3 4 5 6 7 8 9	Viens Divas Trīs Četri Pieci Seši Septiņi Astoņi Deviņi	Viens Divas Trīs četri Pieci seši Semi astoņi Deviņi	uz vienu divi Trem četri Pieci seši Semi astoņi Deviņi	Viens Divas Trīs Četri Pieci Seši Septiņi Astoņi Deviņi	Viens divi Trīs četri Pieci seši ģimene astoņi Deviņi	Par vienu Par diviem Apmēram trīs Apmēram četras Atkal Apmēram seši Apmēram septiņi Apmēram astoņi Apmēram deviņi

Lai kompetenti lasītu un rakstītu divciparu skaitļus, jums jāapgūst dati 2. tabulā:

Numurs	Vīrišķīgs, sievišķīgs un neitrāls
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	Desmit Vienpadsmit Divpadsmit Trīspadsmit Četrpadsmit Piecpadsmit Sešpadsmit Septiņpadsmit Astoņpadsmit Deviņpadsmit Divdesmit Trīsdesmit Četrdesmit Piecdesmit Sešdesmit Septiņdesmit Astoņdesmit Deviņdesmit

Numurs	nominatīvais gadījums	Ģenitīvs	Datīvs	Akuzatīvs	Instrumentālais futrālis	Priekšnosacījums
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	Desmit Vienpadsmit Divpadsmit Trīspadsmit Četrpadsmit Piecpadsmit Sešpadsmit Septiņpadsmit Astoņpadsmit Deviņpadsmit Divdesmit Trīsdesmit Četrdesmit Piecdesmit Sešdesmit Septiņdesmit Astoņdesmit Deviņdesmit	desmit Vienpadsmit divpadsmit trīspadsmit četrpadsmit piecpadsmit sešpadsmit septiņpadsmit astoņpadsmit deviņpadsmit divdesmit trīsdesmit Magpie piecdesmit sešdesmit Septiņdesmit astoņdesmit deviņdesmit	desmit Vienpadsmit divpadsmit trīspadsmit četrpadsmit piecpadsmit sešpadsmit septiņpadsmit astoņpadsmit deviņpadsmit divdesmit trīsdesmit Magpie piecdesmit sešdesmit Septiņdesmit astoņdesmit deviņdesmit	Desmit Vienpadsmit Divpadsmit Trīspadsmit Četrpadsmit Piecpadsmit Sešpadsmit Septiņpadsmit Astoņpadsmit Deviņpadsmit Divdesmit Trīsdesmit Četrdesmit Piecdesmit Sešdesmit Septiņdesmit Astoņdesmit Deviņdesmit	Desmit Vienpadsmit divpadsmit trīspadsmit četrpadsmit piecpadsmit sešpadsmit septiņpadsmit astoņpadsmit deviņpadsmit divdesmit trīsdesmit Magpie piecdesmit sešdesmit Septiņdesmit astoņdesmit Deviņdesmit	Apmēram desmit Apmēram vienpadsmit Apmēram divpadsmit Apmēram trīspadsmit Apmēram četrpadsmit Apmēram piecpadsmit Apmēram sešpadsmit Apmēram septiņpadsmit Apmēram astoņpadsmit Apmēram deviņpadsmit Apmēram divdesmit Apmēram trīsdesmit Ak varene Apmēram piecdesmit Apmēram sešdesmit Apmēram septiņdesmit Apmēram astoņdesmit Apmēram deviņdesmit

Lai nolasītu citus dabiskos divciparu skaitļus, mēs izmantosim abu tabulu datus, apsveriet to ar piemēru. Pieņemsim, ka mums ir jānolasa dabisks divciparu skaitlis 21. Šis skaitlis satur 1 vienību un 2 desmitus, t.i. 20 un 1. Pievēršoties tabulām, mēs nolasām norādīto skaitli kā "divdesmit viens", savukārt savienība "un" starp vārdiem nav jāizrunā. Pieņemsim, ka mums kādā teikumā jāizmanto norādītais skaitlis 21, norādot objektu skaitu ģenitīvā: "nav 21 ābols." Šajā gadījumā izruna skanēs šādi: “nav divdesmit viena ābola”.

Skaidrības labad dosim vēl vienu piemēru: skaitli 76, kas tiek lasīts kā "septiņdesmit seši" un, piemēram, "septiņdesmit sešas tonnas".

Numurs	Nominatīvs	Ģenitīvs	Datīvs	Akuzatīvs	Instrumentālais futrālis	Priekšnosacījums
100 200 300 400 500 600 700 800 900	Simts Divi simti Trīs simti Četri simti Pieci simti Seši simti Septiņi simti Astoņi simti Deviņi simti	Sta divi simti trīs simti četri simti pieci simti seši simti Septiņi simti astoņi simti deviņi simti	Sta divi simti Tremstam četri simti pieci simti Seši simti septiņi simti astoņi simti Deviņi simti	Simts Divi simti Trīs simti Četri simti Pieci simti Seši simti Septiņi simti Astoņi simti Deviņi simti	Sta divi simti Trīs simti četri simti pieci simti seši simti septiņi simti astoņi simti Deviņi simti	Apmēram simts Apmēram divi simti Apmēram trīs simti Apmēram četri simti Apmēram pieci simti Apmēram seši simti Apmēram septiņi simti Apmēram astoņi simti Apmēram deviņi simti

Lai pilnībā nolasītu trīsciparu skaitli, mēs izmantojam arī visu norādīto tabulu datus. Piemēram, dots naturāls skaitlis 305 . Šis skaitlis atbilst 5 vienībām, 0 desmitiem un 3 simtiem: 300 un 5. Par pamatu ņemot tabulu, mēs lasām: "trīs simti pieci" vai deklinācijā pa gadījumiem, piemēram, šādi: "trīs simti pieci metri".

Izlasīsim vēl vienu skaitli: 543. Saskaņā ar tabulu noteikumiem norādītais skaitlis skanēs šādi: “pieci simti četrdesmit trīs” vai deklinācijas gadījumā, piemēram, šādi: “nē pieci simti četrdesmit trīs rubļi”.

Pāriesim pie vispārīgā daudzciparu naturālo skaitļu lasīšanas principa: lai lasītu daudzciparu skaitli, tas jāsadala no labās puses uz kreiso trīs ciparu grupās, un galējā kreisajā grupā var būt 1, 2 vai 3 cipari. . Šādas grupas sauc par klasēm.

Galēji labējā klase ir vienību klase; tad nākamā klase, pa kreisi - tūkstošu klase; tālāk - miljonu šķira; tad nāk miljardu klase, kam seko triljonu klase. Turpmākajām klasēm ir arī nosaukums, bet naturālie skaitļi, kas sastāv no liela skaita rakstzīmju (16, 17 un vairāk), lasīšanā tiek izmantoti reti, tos ir diezgan grūti uztvert ar ausi.

Ieraksta uztveres ērtībai klases ir atdalītas viena no otras ar nelielu atkāpi. Piemēram, 31 013 736, 134 678, 23 476 009 434, 2 533 467 001 222.

Klase triljoni	Klase miljardu	Klase miljons	Tūkstoš klases	Vienības klase
			134	678
		31	013	736
	23	476	009	434
2	533	467	001	222

Lai nolasītu daudzciparu skaitli, mēs pēc kārtas saucam skaitļus, kas to veido (no kreisās uz labo, pa klasēm, pievienojot klases nosaukumu). Vienību klases nosaukums netiek izrunāts, un tās klases, kas veido trīs ciparus 0, arī netiek izrunātas. Ja vienā klasē kreisajā pusē ir viens vai divi cipari 0, tad lasot tos nekādā veidā neizmanto. Piemēram, 054 tiek lasīts kā "piecdesmit četri" vai 001 kā "viens".

1. piemērs

Sīkāk apskatīsim skaitļa 2 533 467 001 222 nolasījumu:

Mēs lasām skaitli 2, kā triljonu klases sastāvdaļu - "divi";

Pievienojot klases nosaukumu, iegūstam: "divi triljoni";

Mēs lasām šādu skaitli, pievienojot atbilstošās klases nosaukumu: “pieci simti trīsdesmit trīs miljardi”;

Mēs turpinām pēc analoģijas, lasot nākamo klasi pa labi: “četri simti sešdesmit septiņi miljoni”;

Nākamajā klasē mēs redzam divus ciparus 0, kas atrodas kreisajā pusē. Saskaņā ar iepriekš minētajiem nolasīšanas noteikumiem cipari 0 tiek izmesti un nepiedalās ieraksta nolasīšanā. Tad mēs iegūstam: "viens tūkstotis";

Mēs lasām pēdējo vienību klasi, nepievienojot tās nosaukumu - "divi simti divdesmit divi".

Tādējādi skaitlis 2 533 467 001 222 skanēs šādi: divi triljoni pieci simti trīsdesmit trīs miljardi četri simti sešdesmit septiņi miljoni viens tūkstotis divi simti divdesmit divi. Izmantojot šo principu, mēs varam nolasīt arī citus dotos skaitļus:

31 013 736 - trīsdesmit viens miljons trīspadsmit tūkstoši septiņi simti trīsdesmit seši;

134 678 - simts trīsdesmit četri tūkstoši seši simti septiņdesmit astoņi;

23 476 009 434 — divdesmit trīs miljardi četri simti septiņdesmit seši miljoni deviņi tūkstoši četri simti trīsdesmit četri.

Tādējādi daudzciparu skaitļu pareizas nolasīšanas pamats ir spēja sadalīt daudzciparu skaitli klasēs, atbilstošo nosaukumu zināšanas un izpratne par divciparu un trīsciparu skaitļu nolasīšanas principu.

Kā jau ir skaidrs no visa iepriekš minētā, tā vērtība ir atkarīga no pozīcijas, kurā cipars atrodas skaitļa ierakstā. Tas ir, piemēram, skaitlis 3 dabiskajā skaitlī 314 apzīmē simtu skaitu, proti, 3 simtus. Skaitlis 2 ir desmitu skaits (1 desmit), un skaitlis 4 ir vienību skaits (4 vienības). Šajā gadījumā mēs teiksim, ka cipars 4 ir vieninieku vietā un ir vienību vērtība dotajā ciparā. Skaitlis 1 atrodas desmitnieku vietā un kalpo kā desmitnieku vietas vērtība. Skaitlis 3 atrodas simtu vietā un ir simtu vietas vērtība.

7. definīcija

Izlāde ir cipara pozīcija naturāla skaitļa apzīmējumā, kā arī šī cipara vērtība, ko nosaka tā atrašanās vieta dotajā skaitlī.

Izplūdēm ir savi nosaukumi, mēs tos jau izmantojām iepriekš. No labās puses uz kreiso seko cipari: vienības, desmiti, simti, tūkstoši, desmiti tūkstoši utt.

Iegaumēšanas ērtībai varat izmantot šādu tabulu (norādām 15 ciparus):

Precizēsim šo detaļu: ciparu skaits dotajā daudzciparu skaitļā ir tāds pats kā rakstzīmju skaits skaitļa ierakstā. Piemēram, šajā tabulā ir visu ciparu nosaukumi skaitļam ar 15 rakstzīmēm. Arī turpmākajām izlādēm ir nosaukumi, taču tās tiek izmantotas ārkārtīgi reti un klausoties ir ļoti neērtas.

Ar šādas tabulas palīdzību var attīstīt prasmi noteikt rangu, ierakstot tabulā doto naturālo skaitli tā, lai vienību cipara un pēc tam katrā cipara ciparā tiktu ierakstīts galējais labais cipars. Piemēram, uzrakstīsim daudzciparu naturālu skaitli 56 402 513 674 šādi:

Pievērsiet uzmanību skaitlim 0, kas atrodas desmitiem miljonu izplūdē - tas nozīmē, ka nav šīs kategorijas vienību.

Mēs arī iepazīstinām ar daudzciparu skaitļa zemāko un augstāko ciparu jēdzieniem.

8. definīcija

Zemākais (junioru) rangs jebkurš daudzvērtīgs naturāls skaitlis ir vienību cipars.

Augstākā (vecākā) kategorija jebkura daudzciparu naturāla skaitļa - cipars, kas atbilst galējam kreisajam ciparam dotā skaitļa apzīmējumā.

Tā, piemēram, skaitlī 41 781: zemākais rangs ir vienību rangs; augstākais rangs ir desmitiem tūkstošu cipars.

No tā loģiski izriet, ka var runāt par ciparu stāžu attiecībā pret otru. Katrs nākamais cipars, pārvietojoties no kreisās puses uz labo, ir zemāks (jaunāks) nekā iepriekšējais. Un otrādi: pārejot no labās puses uz kreiso, katrs nākamais cipars ir augstāks (vecāks) par iepriekšējo. Piemēram, tūkstošu cipars ir vecāks par simtiem, bet jaunāks par miljonu ciparu.

Precizēsim, ka, risinot dažus praktiskus piemērus, tiek izmantots nevis pats naturālais skaitlis, bet gan dotā skaitļa bitu vārdu summa.

Īsi par decimālo skaitļu sistēmu

9. definīcija

Apzīmējums- skaitļu rakstīšanas metode, izmantojot zīmes.

Pozīciju skaitļu sistēmas- tie, kuros cipara vērtība skaitļā ir atkarīga no tā vietas skaitļa apzīmējumā.

Saskaņā ar šo definīciju mēs varam teikt, ka, pētot naturālos skaitļus un to rakstīšanas veidu, mēs izmantojām pozicionālo skaitļu sistēmu. Numuram 10 šeit ir īpaša vieta. Mēs turpinām skaitīt desmitos: desmit vienības veido desmit, desmit desmiti apvieno simtu un tā tālāk. Skaitlis 10 kalpo par šīs skaitļu sistēmas pamatu, un pati sistēma tiek saukta arī par decimālo.

Papildus tam ir arī citas skaitļu sistēmas. Piemēram, datorzinātnēs tiek izmantota binārā sistēma. Kad mēs sekojam līdzi laikam, mēs izmantojam sešsimtālo skaitļu sistēmu.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Matemātika radās no vispārējās filozofijas aptuveni sestajā gadsimtā pirms mūsu ēras. e., un no šī brīža sākās viņas uzvaras gājiens apkārt pasaulei. Katrs attīstības posms ieviesa ko jaunu – elementārā skaitīšana attīstījās, pārvērtās diferenciālrēķinos un integrāļos, gadsimti mainījās, formulas kļuva arvien mulsinošākas, un pienāca brīdis, kad "sākās vissarežģītākā matemātika - no tās pazuda visi skaitļi". Bet kāds bija pamats?

Laika sākums

Dabiskie skaitļi parādījās kopā ar pirmajām matemātiskajām darbībām. Reiz mugurkauls, divi muguriņas, trīs muguriņas ... Tie parādījās, pateicoties Indijas zinātniekiem, kuri secināja pirmo pozicionālo

Vārds "pozicionalitāte" nozīmē, ka katra cipara atrašanās vieta skaitļā ir stingri noteikta un atbilst tā kategorijai. Piemēram, skaitļi 784 un 487 ir vieni un tie paši skaitļi, taču skaitļi nav līdzvērtīgi, jo pirmajā ir iekļauti 7 simti, bet otrajā tikai 4. Indiāņu jauninājumu pārņēma arābi, kuri skaitļus atnesa uz formā, ko mēs zinām tagad.

Senatnē skaitļiem tika piešķirta mistiska nozīme, Pitagors uzskatīja, ka skaitlis ir pasaules radīšanas pamatā kopā ar galvenajiem elementiem - uguni, ūdeni, zemi, gaisu. Ja mēs visu aplūkojam tikai no matemātiskās puses, tad kas ir naturāls skaitlis? Naturālo skaitļu lauks tiek apzīmēts kā N un ir bezgalīga veselu un pozitīvu skaitļu virkne: 1, 2, 3, … + ∞. Nulle ir izslēgta. To galvenokārt izmanto preču skaitīšanai un pasūtījuma norādīšanai.

Kas ir matemātikā? Peano aksiomas

Lauks N ir pamatlauks, uz kuru balstās elementārā matemātika. Laika gaitā veselu skaitļu lauki, racionāli,

Itāļu matemātiķa Džuzepes Pīno darbs ļāva tālāk strukturēt aritmētiku, sasniedza tās formalitāti un pavēra ceļu turpmākiem secinājumiem, kas pārsniedza jomu N.

Kas ir naturāls skaitlis, iepriekš tika noskaidrots vienkāršā valodā, tālāk aplūkosim matemātisko definīciju, kas balstīta uz Peano aksiomām.

• Viens tiek uzskatīts par naturālu skaitli.
• Skaitlis, kas seko naturālam skaitlim, ir naturāls skaitlis.
• Nav naturāla skaitļa pirms viena.
• Ja cipars b seko gan ciparam c, gan ciparam d, tad c=d.
• Indukcijas aksioma, kas savukārt parāda, kas ir naturāls skaitlis: ja kāds no parametra atkarīgs apgalvojums ir patiess skaitlim 1, tad pieņemam, ka tas darbojas arī skaitlim n no naturālo skaitļu lauka N. Tad apgalvojums ir patiess arī n =1 no naturālo skaitļu lauka N.

Pamatoperācijas naturālo skaitļu laukam

Tā kā lauks N kļuva par pirmo matemātiskiem aprēķiniem, uz to attiecas gan definīcijas jomas, gan vairāku darbību vērtību diapazoni zemāk. Tie ir slēgti un nav. Galvenā atšķirība ir tāda, ka slēgtās darbības garantē rezultātu kopas N ietvaros neatkarīgi no tā, kādi skaitļi ir iesaistīti. Pietiek ar to, ka tie ir dabiski. Atlikušo skaitlisko mijiedarbību iznākums vairs nav tik viennozīmīgs un tieši atkarīgs no tā, kādi skaitļi ir iesaistīti izteiksmē, jo tas var būt pretrunā ar galveno definīciju. Tātad slēgtās darbības:

• saskaitīšana - x + y = z, kur x, y, z ir iekļauti laukā N;
• reizināšana - x * y = z, kur x, y, z ir iekļauti N laukā;
• paaugstināšana - x y , kur x, y ir iekļauti N laukā.

Atlikušās darbības, kuru rezultāts var nepastāvēt definīcijas "kas ir naturāls skaitlis" kontekstā, ir šādas:

Laukam N piederošo skaitļu īpašības

Visa turpmākā matemātiskā spriešana balstīsies uz sekojošām īpašībām, visnopietnākajām, bet ne mazāk svarīgām.

• Saskaitīšanas komutatīvais īpašums ir x + y = y + x, kur skaitļi x, y ir iekļauti laukā N. Vai arī labi zināmais "summa nemainās no terminu vietu maiņas."
• Reizināšanas komutatīvā īpašība ir x * y = y * x, kur skaitļi x, y ir iekļauti laukā N.
• Saskaitīšanas asociatīvā īpašība ir (x + y) + z = x + (y + z), kur x, y, z ir iekļauti laukā N.
• Reizināšanas asociatīvā īpašība ir (x * y) * z = x * (y * z), kur skaitļi x, y, z ir iekļauti laukā N.
• sadalījuma īpašība - x (y + z) = x * y + x * z, kur skaitļi x, y, z ir iekļauti laukā N.

Pitagora galds

Viens no pirmajiem soļiem, lai skolēni apzinātos visu elementārās matemātikas struktūru, pēc tam, kad viņi paši ir sapratuši, kurus skaitļus sauc par dabiskiem, ir Pitagora tabula. To var uzskatīt ne tikai no zinātnes viedokļa, bet arī par vērtīgu zinātnes pieminekli.

Šī reizināšanas tabula laika gaitā ir piedzīvojusi vairākas izmaiņas: no tās ir noņemta nulle, un skaitļi no 1 līdz 10 apzīmē sevi, neņemot vērā secības (simtiem, tūkstošiem ...). Tā ir tabula, kurā rindu un kolonnu virsraksti ir skaitļi, un to krustojuma šūnu saturs ir vienāds ar to reizinājumu.

Pēdējo desmitgažu mācīšanas praksē ir radusies nepieciešamība iegaumēt Pitagora tabulu "kārtībā", tas ir, iegaumēšana notika pirmajā vietā. Reizināšana ar 1 tika izslēgta, jo rezultāts bija 1 vai lielāks. Tikmēr tabulā ar neapbruņotu aci var redzēt zīmējumu: skaitļu reizinājums pieaug par vienu soli, kas ir vienāds ar rindas nosaukumu. Tādējādi otrais faktors parāda, cik reizes mums ir jāņem pirmais, lai iegūtu vēlamo produktu. Šī sistēma ir daudz ērtāka nekā viduslaikos izmantotā: pat saprotot, kas ir naturāls skaitlis un cik tas ir triviāls, cilvēkiem izdevās sarežģīt ikdienas skaitīšanu, izmantojot sistēmu, kas balstīta uz diviem pakāpēm.

Apakškopa kā matemātikas šūpulis

Šobrīd naturālo skaitļu lauks N tiek uzskatīts tikai par vienu no komplekso skaitļu apakškopām, taču tas nepadara tos mazāk vērtīgus zinātnē. Dabiskais skaitlis ir pirmā lieta, ko bērns iemācās, pētot sevi un apkārtējo pasauli. Viens pirksts, divi pirksti... Pateicoties viņam, cilvēkā attīstās loģiskā domāšana, kā arī spēja noteikt cēloni un secināt sekas, paverot ceļu lieliem atklājumiem.

Definīcija

Naturālos skaitļus sauc par skaitļiem, kas paredzēti objektu skaitīšanai. Lai ierakstītu naturālus skaitļus, tiek izmantoti 10 arābu cipari (0–9), kas veido pamatu matemātiskos aprēķinos vispārpieņemtajai decimālo skaitļu sistēmai.

Naturālo skaitļu secība

Dabiskie skaitļi veido virkni, kas sākas ar 1 un aptver visu pozitīvo veselo skaitļu kopu. Šāda secība sastāv no skaitļiem 1,2,3, ... . Tas nozīmē, ka dabiskajā sērijā:

1. Ir mazākais skaitlis un nav lielākais.
2. Katrs nākamais skaitlis ir par 1 lielāks par iepriekšējo (izņēmums ir pati vienība).
3. Tā kā skaitļi sasniedz bezgalību, tie pieaug bezgalīgi.

Dažreiz naturālu skaitļu virknē tiek ievadīts arī 0. Tas ir pieļaujams, un tad viņi runā par pagarināts dabiska sērija.

Naturālo skaitļu klases

Katrs naturāla skaitļa cipars izsaka noteiktu ciparu. Pēdējā vienmēr ir skaitļa vienību skaits, pirms tā ir desmitnieku skaits, trešā no beigām ir simtu skaits, ceturtā ir tūkstošu skaits utt.

• 276. skaitā: 2 simti, 7 desmiti, 6 vienības
• skaitlī 1098: 1 tūkstotis, 9 desmitnieki, 8 vieninieki; simtu vietas šeit nav, jo tā ir izteikta kā nulle.

Lieliem un ļoti lieliem skaitļiem var redzēt vienmērīgu tendenci (ja pārbaudāt skaitli no labās puses uz kreiso, tas ir, no pēdējā cipara līdz pirmajam):

• skaitļa pēdējie trīs cipari ir vienības, desmiti un simti;
• iepriekšējās trīs ir vienības, desmiti un simti tūkstoši;
• trīs priekšā (t.i., skaitļa 7., 8. un 9. cipars, skaitot no beigām) ir vienības, desmiti un simti miljoni utt.

Tas ir, katru reizi, kad mums ir darīšana ar trīs cipariem, kas nozīmē vienības, desmitiem un simtiem lielāku nosaukumu. Šādas grupas veido klases. Un, ja ikdienā biežāk vai retāk nākas saskarties ar pirmajām trīs klasēm, tad jāuzskaita arī citas, jo ne visi atceras viņu vārdus no galvas.

• 4. klasi, kas seko miljonu klasei un pārstāv 10-12 ciparu skaitļus, sauc par miljardu (vai miljardu);
• 5. klase - triljons;
• 6. klase - kvadriljons;
• 7. klase - kvintiljons;
• 8. klase - sekstiljons;
• 9. klase - septiljons.

Naturālo skaitļu saskaitīšana

Naturālo skaitļu pievienošana ir aritmētiska darbība, kas ļauj iegūt skaitli, kurā ir tik daudz vienību, cik skaitļos ir kopā.

Papildinājuma zīme ir "+" zīme. Pievienotos skaitļus sauc par terminiem, rezultātu sauc par summu.

Nelielus skaitļus saskaita (sumē) mutiski, rakstiski šādas darbības raksta rindā.

Daudzciparu skaitļus, kurus ir grūti pievienot prātā, parasti pievieno kolonnā. Šim nolūkam skaitļi tiek rakstīti viens zem otra, izlīdzināti ar pēdējo ciparu, tas ir, tie raksta vienību ciparu zem vienību cipara, simtu ciparu zem simtu cipara un tā tālāk. Tālāk jums jāpievieno cipari pa pāriem. Ja ciparu pievienošana notiek ar pāreju caur desmitnieku, tad šis desmit tiek fiksēts kā vienība virs cipara kreisajā pusē (tas ir, aiz tā) un tiek pievienots kopā ar šī cipara cipariem.

Ja kolonnai tiek pievienoti nevis 2, bet vairāk skaitļu, tad, summējot kategorijas ciparus, lieki var būt nevis 1 ducis, bet vairāki. Šajā gadījumā šādu desmitnieku skaits tiek pārsūtīts uz nākamo ciparu.

Naturālo skaitļu atņemšana

Atņemšana ir aritmētiska darbība, saskaitīšanas apgrieztā daļa, kas izpaužas kā fakts, ka, ņemot vērā summu un vienu no terminiem, jums ir jāatrod cits - nezināms termins. Skaitlis, no kura tiek atņemts, tiek saukts par minuend; skaitlis, kas tiek atņemts, ir apakšrinda. Atņemšanas rezultātu sauc par starpību. Zīme, kas apzīmē atņemšanas darbību, ir "-".

Pārejot uz saskaitīšanu, apakšdaļa un starpība pārvēršas par terminiem, bet reducētā par summu. Saskaitīšana parasti pārbauda veiktās atņemšanas pareizību un otrādi.

Šeit 74 ir mazā daļa, 18 ir apakšrinda, 56 ir atšķirība.

Priekšnoteikums naturālu skaitļu atņemšanai ir šāds: minuend noteikti ir jābūt lielākam par atņemšanas daļu. Tikai šajā gadījumā iegūtā starpība arī būs naturāls skaitlis. Ja atņemšanas darbība tiek veikta paplašinātai naturālajai sērijai, tad ir pieļaujams, ka minuend ir vienāds ar atņemto daļu. Un atņemšanas rezultāts šajā gadījumā būs 0.

Piezīme: ja atņemšanas daļa ir vienāda ar nulli, tad atņemšanas darbība nemaina minuend vērtību.

Daudzciparu skaitļu atņemšana parasti tiek veikta kolonnā. Pierakstiet ciparus tāpat kā pievienojot. Atbilstošajiem cipariem tiek veikta atņemšana. Ja izrādās, ka minuend ir mazāks par apakšrindu, tad no iepriekšējā (atrodas kreisajā pusē) cipara tiek ņemts viens, kas pēc pārsūtīšanas dabiski pārvēršas par 10. Šo desmitnieku summē ar reducētā cipara skaitli. dots cipars un pēc tam atņemts. Tālāk, atņemot nākamo ciparu, jāņem vērā, ka samazinātais ir kļuvis par 1 mazāks.

Naturālo skaitļu reizinājums

Naturālo skaitļu reizinājums (vai reizinājums) ir aritmētiska darbība, kas ļauj atrast patvaļīgu identisku vārdu skaitu. Lai ierakstītu reizināšanas darbību, izmantojiet zīmi "·" (dažreiz "×" vai "*"). Piemēram: 3 5=15.

Reizināšanas darbība ir obligāta, ja nepieciešams pievienot lielu skaitu terminu. Piemēram, ja jums ir jāpievieno skaitlis 4 7 reizes, tad reizināt 4 ar 7 ir vieglāk nekā veikt šo saskaitīšanu: 4+4+4+4+4+4+4.

Skaitļus, kas tiek reizināti, sauc par faktoriem, reizināšanas rezultāts ir reizinājums. Attiecīgi termins "darbs" atkarībā no konteksta var izteikt gan reizināšanas procesu, gan tā rezultātu.

Daudzciparu skaitļi tiek reizināti kolonnā. Šim skaitlim raksta tāpat kā saskaitīšanai un atņemšanai. Vispirms (virs) ieteicams uzrakstīt, kurš no 2 cipariem, kurš ir garāks. Šajā gadījumā reizināšanas process būs vienkāršāks un līdz ar to racionālāks.

Reizinot kolonnā, katra otrā skaitļa cipara ciparus secīgi reizina ar 1. skaitļa cipariem, sākot no tā beigām. Atraduši pirmo šādu darbu, viņi pieraksta vienību skaitu un patur prātā desmitnieku skaitu. Reizinot 2. skaitļa ciparu ar nākamo 1. skaitļa ciparu, precei tiek pievienots skaitlis, kas tiek paturēts prātā. Un atkal viņi pieraksta iegūtā rezultāta vienību skaitu un atceras desmitu skaitu. Reizinot ar 1. skaitļa pēdējo ciparu, šādi iegūto skaitli pieraksta pilnībā.

Otrā skaitļa 2. cipara ciparu reizināšanas rezultāti tiek ierakstīti otrajā rindā, novirzot to par 1 šūnu pa labi. utt. Rezultātā tiks iegūtas "kāpnes". Visas iegūtās skaitļu rindas jāsaskaita (saskaņā ar saskaitīšanas likumu kolonnā). Tukšās šūnas jāuzskata par aizpildītām ar nullēm. Iegūtā summa ir gala produkts.

Piezīme

1. Jebkura naturāla skaitļa reizinājums ar 1 (vai 1 ar skaitli) ir vienāds ar pašu skaitli. Piemēram: 376 1=376; 1 86=86.
2. Ja viens no faktoriem vai abi faktori ir vienādi ar 0, tad reizinājums ir vienāds ar 0. Piemēram: 32·0=0; 0 845=845; 0 0=0.

Naturālo skaitļu dalījums

Dalīšanu sauc par aritmētisko darbību, ar kuras palīdzību pēc zināma reizinājuma un kāda no faktoriem var atrast citu – nezināmu – faktoru. Dalīšana ir reizināšanas apgrieztā vērtība, un to izmanto, lai pārbaudītu, vai reizināšana ir veikta pareizi (un otrādi).

Skaitli, kas tiek dalīts, sauc par dalāmo; skaitlis, ar kuru tas dalīts, ir dalītājs; dalīšanas rezultātu sauc par koeficientu. Dalījuma zīme ir ":" (dažreiz, retāk - "÷").

Šeit 48 ir dividende, 6 ir dalītājs un 8 ir koeficients.

Ne visus naturālos skaitļus var sadalīt savā starpā. Šajā gadījumā sadalīšana tiek veikta ar atlikumu. Tas sastāv no tā, ka dalītājam tiek izvēlēts tāds koeficients, lai tā reizinājums ar dalītāju būtu skaitlis, kas pēc iespējas tuvāks dividendei, bet mazāks par to. Dalītāju reizina ar šo koeficientu un atņem no dividendes. Atšķirība būs atlikušā sadalījuma daļa. Dalītāja reizinājumu ar koeficientu sauc par nepilnīgo koeficientu. Uzmanību: atlikumam jābūt mazākam par izvēlēto reizinātāju! Ja atlikums ir lielāks, tas nozīmē, ka reizinātājs ir izvēlēts nepareizi, un tas ir jāpalielina.

Mēs izvēlamies koeficientu 7. Šajā gadījumā šis skaitlis ir 5. Mēs atrodam nepilnīgu koeficientu: 7 5 \u003d 35. Aprēķiniet atlikumu: 38-35=3. Kopš 3<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Daudzciparu skaitļi tiek sadalīti kolonnā. Lai to izdarītu, dividenžu un dalītāju raksta blakus, atdalot dalītāju ar vertikālu un horizontālu līniju. Dividendē tiek atlasīts pirmais cipars vai daži pirmie cipari (labajā pusē), kam jābūt skaitlim, kas ir minimāli pietiekams, lai dalītu ar dalītāju (tas ir, šim skaitlim ir jābūt lielākam par dalītāju). Šim skaitlim tiek izvēlēts nepilnīgs koeficients, kā aprakstīts dalīšanas ar atlikumu noteikumā. Daļējā koeficienta atrašanai izmantotā reizinātāja skaitlis ir rakstīts zem dalītāja. Nepabeigtais koeficients ir rakstīts zem skaitļa, kas tika dalīts, līdzināts pa labi. Atrodiet to atšķirību. Nākamais dividendes cipars tiek nojaukts, ierakstot to pie šīs starpības. Iegūtajam skaitlim atkal tiek atrasts nepilns koeficients, pierakstot izvēlētā faktora skaitli blakus iepriekšējam zem dalītāja. utt. Šādas darbības tiek veiktas, līdz izbeidzas dividendes skaitļi. Pēc tam sadalīšana tiek uzskatīta par pabeigtu. Ja dividende un dalītājs ir sadalīti pilnībā (bez atlikuma), tad pēdējā starpība dos nulli. Pretējā gadījumā atlikušais numurs tiks atgriezts.

Paaugstināšana

Eksponentēšana ir matemātiska darbība, kas sastāv no patvaļīga identisku skaitļu skaita reizināšanas. Piemēram: 2 2 2 2.

Šādi izteicieni tiek rakstīti šādi: a x,

kur a ir skaitlis, kas reizināts ar sevi x ir šādu faktoru skaits.

Pirmskaitļi un saliktie naturālie skaitļi

Jebkuru naturālu skaitli, izņemot 1, var dalīt vismaz ar 2 skaitļiem – vienu un sevi. Pamatojoties uz šo kritēriju, naturālos skaitļus iedala pirmskaitļos un saliktos.

Pirmskaitļi ir skaitļi, kas dalās tikai ar 1 un paši sevi. Skaitļus, kas dalās ar vairāk nekā šiem 2 skaitļiem, sauc par saliktiem skaitļiem. Vienība, kas dalās tikai pati par sevi, nav ne pirmskaitļa, ne salikta.

Skaitļi ir pirmskaitļi: 2,3,5,7,11,13,17,19 utt. Salikto skaitļu piemēri: 4 (dalās ar 1,2,4), 6 (dalās ar 1,2,3,6), 20 (dalās ar 1,2,4,5,10,20).

Jebkuru saliktu skaitli var sadalīt primārajos faktoros. Šajā gadījumā pirmfaktori tiek saprasti kā tā dalītāji, kas ir pirmskaitļi.

Piemērs faktorinizācijai galvenajos faktoros:

Naturālo skaitļu dalītāji

Dalītājs ir skaitlis, ar kuru doto skaitli var dalīt bez atlikuma.

Saskaņā ar šo definīciju vienkāršiem naturāliem skaitļiem ir 2 dalītāji, saliktajiem skaitļiem ir vairāk nekā 2 dalītāji.

Daudziem skaitļiem ir kopīgi dalītāji. Kopējais dalītājs ir skaitlis, ar kuru dotie skaitļi dalās bez atlikuma.

• Skaitļiem 12 un 15 ir kopīgs dalītājs 3
• Skaitļiem 20 un 30 ir kopīgi dalītāji 2,5,10

Īpaši svarīgs ir lielākais kopīgais dalītājs (GCD). Šis skaitlis ir īpaši noderīgs, lai varētu atrast frakciju samazināšanai. Lai to atrastu, dotie skaitļi ir jāsadala pirmfaktoros un jāuzrāda kā to kopējo pirmfaktoru reizinājums, kas ņemts to mazākajās pakāpēs.

Ir jāatrod skaitļu 36 un 48 GCD.

Naturālo skaitļu dalāmība

Ne vienmēr ir iespējams “ar aci” noteikt, vai viens skaitlis dalās ar citu bez atlikuma. Šādos gadījumos noder atbilstošais dalāmības tests, tas ir, noteikums, pēc kura dažu sekunžu laikā var noteikt, vai ir iespējams dalīt skaitļus bez atlikuma. Zīme "" tiek izmantota, lai norādītu dalāmību.

Vismazāk sastopamais daudzkārtnis

Šī vērtība (apzīmēta kā LCM) ir mazākais skaitlis, kas dalās ar katru no dotajiem. LCM var atrast patvaļīgai naturālu skaitļu kopai.

LCM, tāpat kā GCD, ir nozīmīga lietišķa nozīme. Tātad, tas ir LCM, kas ir jāatrod, samazinot parastās daļskaitļus līdz kopsaucējam.

LCM nosaka, faktorējot dotos skaitļus primārajos faktoros. Tās veidošanai tiek ņemts reizinājums, kas sastāv no katra sastopamā (vismaz 1 skaitlim) pirmfaktora, kas attēlots maksimāli.

Ir jāatrod skaitļu 14 un 24 LCM.

Vidēji

Patvaļīga (bet ierobežota) naturālu skaitļu skaita vidējais aritmētiskais ir visu šo skaitļu summa, kas dalīta ar terminu skaitu:

Vidējais aritmētiskais ir kāda skaitļu kopas vidējā vērtība.

Ir doti skaitļi 2,84,53,176,17,28. Nepieciešams atrast to vidējo aritmētisko.