Kā uzrakstīt kvadrātvienādojumu, zinot saknes. Kvadrātvienādojumi - piemēri ar risinājumiem, pazīmēm un formulām

Mēs turpinām pētīt tēmu vienādojumu risinājums". Mēs jau esam iepazinušies ar lineārajiem vienādojumiem un tagad iepazīsimies ar tiem kvadrātvienādojumi.

Pirmkārt, mēs apspriedīsim, kas ir kvadrātvienādojums, kā tas tiek uzrakstīts vispārīgā formā, un sniegsim saistītās definīcijas. Pēc tam, izmantojot piemērus, mēs detalizēti analizēsim, kā tiek atrisināti nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Tālāk mēs pārejam pie pilnīgu vienādojumu risināšanas, iegūstam sakņu formulu, iepazīstamies ar kvadrātvienādojuma diskriminantu un izskatām tipisku piemēru risinājumus. Visbeidzot, mēs izsekojam savienojumus starp saknēm un koeficientiem.

Lapas navigācija.

Kas ir kvadrātvienādojums? Viņu veidi

Vispirms jums ir skaidri jāsaprot, kas ir kvadrātvienādojums. Tāpēc ir loģiski sākt runāt par kvadrātvienādojumiem ar kvadrātvienādojuma definīciju, kā arī ar to saistītām definīcijām. Pēc tam jūs varat apsvērt galvenos kvadrātvienādojumu veidus: reducētos un nereducētos, kā arī pilnīgus un nepilnīgos vienādojumus.

Kvadrātvienādojumu definīcijas un piemēri

Definīcija.

Kvadrātvienādojums ir formas vienādojums a x 2 +b x+c=0, kur x ir mainīgais, a , b un c ir daži skaitļi, un a atšķiras no nulles.

Teiksim uzreiz, ka kvadrātvienādojumus bieži sauc par otrās pakāpes vienādojumiem. Tas ir tāpēc, ka kvadrātvienādojums ir algebriskais vienādojums otrā pakāpe.

Skanīgā definīcija ļauj sniegt kvadrātvienādojumu piemērus. Tātad 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 utt. ir kvadrātvienādojumi.

Definīcija.

Skaitļi tiek saukti a, b un c kvadrātvienādojuma koeficienti a x 2 + b x + c \u003d 0, un koeficientu a sauc par pirmo jeb vecāko, vai koeficientu pie x 2, b ir otrais koeficients vai koeficients pie x, un c ir brīvais loceklis.

Piemēram, pieņemsim kvadrātvienādojumu formā 5 x 2 −2 x−3=0, šeit vadošais koeficients ir 5, otrais koeficients ir −2 un brīvais loceklis ir −3. Ņemiet vērā, ka, ja koeficienti b un/vai c ir negatīvi, kā tikko dotajā piemērā, tiek izmantota kvadrātvienādojuma īsā forma formā 5 x 2 −2 x −3=0, nevis 5 x 2 +(− 2 )x+(−3)=0 .

Ir vērts atzīmēt, ka tad, ja koeficienti a un/vai b ir vienādi ar 1 vai -1, tie parasti nav skaidri norādīti kvadrātvienādojuma pierakstā, kas ir saistīts ar šāda apzīmējuma īpatnībām. Piemēram, kvadrātvienādojumā y 2 −y+3=0 vadošais koeficients ir viens, un koeficients pie y ir −1.

Reducēti un nereducēti kvadrātvienādojumi

Atkarībā no vadošā koeficienta vērtības izšķir reducētus un nereducētus kvadrātvienādojumus. Sniegsim atbilstošās definīcijas.

Definīcija.

Tiek izsaukts kvadrātvienādojums, kurā vadošais koeficients ir 1 reducēts kvadrātvienādojums. Pretējā gadījumā kvadrātvienādojums ir nesamazināts.

Saskaņā ar šo definīciju kvadrātvienādojumi x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 utt. - samazināts, katrā no tiem pirmais koeficients ir vienāds ar vienu. Un 5 x 2 −x−1=0 utt. - nereducēti kvadrātvienādojumi, kuru vadošie koeficienti atšķiras no 1 .

No jebkura nereducēta kvadrātvienādojuma, dalot abas tā daļas ar vadošo koeficientu, var pāriet uz reducēto. Šī darbība ir līdzvērtīga transformācija, tas ir, šādā veidā iegūtajam reducētajam kvadrātvienādojumam ir tādas pašas saknes kā sākotnējam nereducētajam kvadrātvienādojumam vai, tāpat kā tam, nav sakņu.

Ņemsim piemēru, kā tiek veikta pāreja no nereducēta kvadrātvienādojuma uz reducētu.

Piemērs.

No vienādojuma 3 x 2 +12 x−7=0 pārejiet uz atbilstošo reducēto kvadrātvienādojumu.

Lēmums.

Mums pietiek veikt abu sākotnējā vienādojuma daļu dalīšanu ar vadošo koeficientu 3, tas nav nulle, lai mēs varētu veikt šo darbību. Mums ir (3 x 2 +12 x-7):3=0:3, kas ir tāds pats kā (3 x 2):3+(12 x):3-7:3=0 un tā tālāk (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , no kurienes . Tātad mēs saņēmām samazināto kvadrātvienādojumu, kas ir līdzvērtīgs sākotnējam.

Atbilde:

Pilnīgi un nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Kvadrātvienādojuma definīcijā ir nosacījums a≠0. Šis nosacījums ir nepieciešams, lai vienādojums a x 2 +b x+c=0 būtu tieši kvadrāts, jo ar a=0 tas faktiski kļūst par lineāru vienādojumu formā b x+c=0 .

Kas attiecas uz koeficientiem b un c, tie var būt vienādi ar nulli gan atsevišķi, gan kopā. Šajos gadījumos kvadrātvienādojumu sauc par nepilnīgu.

Definīcija.

Tiek izsaukts kvadrātvienādojums a x 2 +b x+c=0 nepilnīgs, ja vismaz viens no koeficientiem b , c ir vienāds ar nulli.

Savukārt

Definīcija.

Pilnīgs kvadrātvienādojums ir vienādojums, kurā visi koeficienti atšķiras no nulles.

Šie vārdi nav doti nejauši. Tas kļūs skaidrs no turpmākās diskusijas.

Ja koeficients b ir vienāds ar nulli, tad kvadrātvienādojums ir a x 2 +0 x+c=0, un tas ir ekvivalents vienādojumam a x 2 +c=0 . Ja c=0, tas ir, kvadrātvienādojuma forma ir a x 2 +b x+0=0, tad to var pārrakstīt kā x 2 +b x=0. Un ar b=0 un c=0 iegūstam kvadrātvienādojumu a·x 2 =0. Iegūtie vienādojumi atšķiras no pilnā kvadrātvienādojuma ar to, ka to kreisajā pusē nav ne vārda ar mainīgo x, ne brīvo vārdu, vai abus. Līdz ar to arī viņu nosaukums – nepilnīgi kvadrātvienādojumi.

Tātad vienādojumi x 2 +x+1=0 un −2 x 2 −5 x+0,2=0 ir pilnīgu kvadrātvienādojumu piemēri, un x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 ir nepilnīgi kvadrātvienādojumi.

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana

No iepriekšējās rindkopas informācijas izriet, ka ir trīs veidu nepilnīgi kvadrātvienādojumi:

a x 2 =0 , tam atbilst koeficienti b=0 un c=0;
a x 2 +c=0, kad b=0;
un a x 2 +b x=0, kad c=0 .

Analizēsim secībā, kā tiek atrisināti katra no šiem tipiem nepilnīgie kvadrātvienādojumi.

a x 2 \u003d 0

Sāksim ar nepilnu kvadrātvienādojumu risināšanu, kuros koeficienti b un c ir vienādi ar nulli, tas ir, ar vienādojumiem formā a x 2 =0. Vienādojums a x 2 =0 ir ekvivalents vienādojumam x 2 =0, ko iegūst no oriģināla, dalot abas tā daļas ar skaitli a, kas nav nulle. Acīmredzot vienādojuma x 2 \u003d 0 sakne ir nulle, jo 0 2 \u003d 0. Šim vienādojumam nav citu sakņu, kas ir izskaidrots, patiesi, jebkuram skaitlim p, kas nav nulle, notiek nevienādība p 2 >0, kas nozīmē, ka p≠0 vienādība p 2 =0 nekad netiek sasniegta.

Tātad nepilnīgajam kvadrātvienādojumam a x 2 \u003d 0 ir viena sakne x \u003d 0.

Kā piemēru dodam nepilna kvadrātvienādojuma atrisinājumu −4·x 2 =0. Tas ir līdzvērtīgs vienādojumam x 2 \u003d 0, tā vienīgā sakne ir x \u003d 0, tāpēc sākotnējam vienādojumam ir viena saknes nulle.

Īsu risinājumu šajā gadījumā var izdot šādi:
−4 x 2 = 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Tagad apsveriet, kā tiek atrisināti nepilnīgi kvadrātvienādojumi, kuros koeficients b ir vienāds ar nulli, un c≠0, tas ir, vienādojumi formā a x 2 +c=0. Mēs zinām, ka vārda pārnešana no vienādojuma vienas puses uz otru ar pretēju zīmi, kā arī vienādojuma abu pušu dalīšana ar skaitli, kas nav nulle, dod līdzvērtīgu vienādojumu. Tāpēc nepilnīgajam kvadrātvienādojumam a x 2 +c=0 var veikt šādas ekvivalentas transformācijas:

pārvietojiet c uz labo pusi, kas dod vienādojumu a x 2 =-c,
un sadalot abas tā daļas ar a , iegūstam .

Iegūtais vienādojums ļauj izdarīt secinājumus par tā saknēm. Atkarībā no a un c vērtībām izteiksmes vērtība var būt negatīva (piemēram, ja a=1 un c=2 , tad ) vai pozitīva (piemēram, ja a=−2 un c=6 , tad ), tas nav vienāds ar nulli , jo pēc nosacījuma c≠0 . Mēs atsevišķi analizēsim gadījumus un .

Ja , tad vienādojumam nav sakņu. Šis apgalvojums izriet no fakta, ka jebkura skaitļa kvadrāts ir nenegatīvs skaitlis. No tā izriet, ka kad , tad jebkuram skaitlim p vienādība nevar būt patiesa.

Ja , tad situācija ar vienādojuma saknēm ir atšķirīga. Šajā gadījumā, ja atceramies par, tad vienādojuma sakne uzreiz kļūst acīmredzama, tas ir skaitlis, kopš. Ir viegli uzminēt, ka skaitlis ir arī vienādojuma sakne, patiešām, . Šim vienādojumam nav citu sakņu, ko var parādīt, piemēram, ar pretrunu. Darīsim to.

Tikko izrunātās vienādojuma saknes apzīmēsim kā x 1 un −x 1 . Pieņemsim, ka vienādojumam ir cita sakne x 2, kas atšķiras no norādītajām saknēm x 1 un −x 1 . Ir zināms, ka aizstāšana vienādojumā tā sakņu x vietā pārvērš vienādojumu patiesā skaitliskā vienādībā. Attiecībā uz x 1 un −x 1 mums ir , un attiecībā uz x 2 mums ir . Skaitlisko vienādību īpašības ļauj veikt patieso skaitlisko vienādību atņemšanu pa termiņam, tāpēc, atņemot atbilstošās vienādību daļas, iegūst x 1 2 − x 2 2 =0. Darbību ar skaitļiem īpašības ļauj iegūto vienādību pārrakstīt kā (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Mēs zinām, ka divu skaitļu reizinājums ir vienāds ar nulli tad un tikai tad, ja vismaz viens no tiem ir vienāds ar nulli. Tāpēc no iegūtās vienādības izriet, ka x 1 −x 2 =0 un/vai x 1 +x 2 =0 , kas ir vienāda, x 2 =x 1 un/vai x 2 = −x 1 . Tātad esam nonākuši pie pretrunas, jo sākumā teicām, ka vienādojuma x 2 sakne atšķiras no x 1 un −x 1 . Tas pierāda, ka vienādojumam nav citu sakņu kā un .

Apkoposim informāciju šajā punktā. Nepabeigtais kvadrātvienādojums a x 2 +c=0 ir līdzvērtīgs vienādojumam , kas

nav sakņu, ja
ir divas saknes un ja .

Apsveriet piemērus nepilnu kvadrātvienādojumu risināšanai formā a·x 2 +c=0 .

Sāksim ar kvadrātvienādojumu 9 x 2 +7=0 . Pēc brīvā termina pārvietošanas uz vienādojuma labo pusi tas iegūs formu 9·x 2 =−7. Sadalot abas iegūtā vienādojuma puses ar 9 , mēs nonākam pie . Tā kā labajā pusē tiek iegūts negatīvs skaitlis, šim vienādojumam nav sakņu, tāpēc sākotnējam nepilnīgajam kvadrātvienādojumam 9 x 2 +7=0 nav sakņu.

Atrisināsim vēl vienu nepilnīgu kvadrātvienādojumu −x 2 +9=0. Mēs pārnesam deviņus uz labo pusi: -x 2 \u003d -9. Tagad abas daļas sadalām ar −1, iegūstam x 2 =9. Labajā pusē ir pozitīvs skaitlis, no kura mēs secinām, ka vai . Pēc galīgās atbildes pierakstīšanas: nepilnīgajam kvadrātvienādojumam −x 2 +9=0 ir divas saknes x=3 vai x=−3.

a x 2 +b x=0

Atliek risināt pēdējā tipa nepilnīgo kvadrātvienādojumu atrisinājumu c=0 . Nepilnīgi kvadrātvienādojumi formā a x 2 +b x=0 ļauj atrisināt faktorizācijas metode. Acīmredzot mēs varam, kas atrodas vienādojuma kreisajā pusē, kam pietiek ar kopējo koeficientu x izņemt no iekavām. Tas ļauj pāriet no sākotnējā nepilnīgā kvadrātvienādojuma uz līdzvērtīgu vienādojumu formā x·(a·x+b)=0 . Un šis vienādojums ir līdzvērtīgs divu vienādojumu kopai x=0 un a x+b=0 , no kuriem pēdējais ir lineārs un kura sakne ir x=-b/a .

Tātad nepilnīgajam kvadrātvienādojumam a x 2 +b x=0 ir divas saknes x=0 un x=−b/a.

Lai konsolidētu materiālu, mēs analizēsim konkrēta piemēra risinājumu.

Piemērs.

Atrisiniet vienādojumu.

Lēmums.

Mēs izņemam x no iekavām, tas dod vienādojumu. Tas ir līdzvērtīgs diviem vienādojumiem x=0 un . Mēs atrisinām iegūto lineāro vienādojumu: , un pēc jauktā skaitļa dalīšanas ar parastu daļskaitli, mēs atrodam . Tāpēc sākotnējā vienādojuma saknes ir x=0 un .

Pēc nepieciešamās prakses iegūšanas šādu vienādojumu risinājumus var īsi uzrakstīt:

Atbilde:

x=0 , .

Diskriminants, kvadrātvienādojuma sakņu formula

Lai atrisinātu kvadrātvienādojumus, ir saknes formula. Pierakstīsim kvadrātvienādojuma sakņu formula: , kur D=b 2 −4 a c- ts kvadrātvienādojuma diskriminants. Apzīmējums būtībā nozīmē, ka .

Ir noderīgi zināt, kā iegūta saknes formula un kā tā tiek izmantota kvadrātvienādojumu sakņu atrašanā. Tiksim ar šo galā.

Kvadrātvienādojuma sakņu formulas atvasināšana

Atrisināsim kvadrātvienādojumu a·x 2 +b·x+c=0 . Veiksim dažas līdzvērtīgas transformācijas:

Abas šī vienādojuma daļas varam dalīt ar skaitli a, kas nav nulle, kā rezultātā iegūstam reducēto kvadrātvienādojumu.
Tagad atlasiet pilnu kvadrātu tās kreisajā pusē: . Pēc tam vienādojums iegūst formu .
Šajā posmā ir iespējams veikt pēdējo divu terminu pārnešanu uz labo pusi ar pretējo zīmi, mums ir .
Un pārveidosim arī izteiksmi labajā pusē: .

Rezultātā mēs nonākam pie vienādojuma , kas ir ekvivalents sākotnējam kvadrātvienādojumam a·x 2 +b·x+c=0 .

Mēs jau esam atrisinājuši vienādojumus, kas pēc formas ir līdzīgi iepriekšējās rindkopās, kad analizējām . Tas ļauj izdarīt šādus secinājumus par vienādojuma saknēm:

ja , tad vienādojumam nav reālu atrisinājumu;
ja , tad vienādojumam ir forma , tāpēc, , no kura redzama tā vienīgā sakne;
ja , Tad vai , kas ir tāds pats kā vai , Tas ir, vienādojumam ir divas saknes.

Tādējādi vienādojuma sakņu un līdz ar to sākotnējā kvadrātvienādojuma esamība vai neesamība ir atkarīga no izteiksmes zīmes labajā pusē. Savukārt šīs izteiksmes zīmi nosaka skaitītāja zīme, jo saucējs 4 a 2 vienmēr ir pozitīvs, tas ir, izteiksmes b 2 −4 a c zīme. Šo izteiksmi b 2 −4 a c sauc kvadrātvienādojuma diskriminants un atzīmēts ar burtu D. No šejienes ir skaidra diskriminanta būtība - pēc tā vērtības un zīmes tiek secināts, vai kvadrātvienādojumam ir reālas saknes, un, ja ir, tad kāds ir to skaits - viens vai divi.

Mēs atgriežamies pie vienādojuma , pārrakstām to, izmantojot diskriminanta apzīmējumu: . Un mēs secinām:

ja D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
ja D=0, tad šim vienādojumam ir viena sakne;
visbeidzot, ja D>0, tad vienādojumam ir divas saknes jeb , ko var pārrakstīt formā vai , un pēc daļskaitļu paplašināšanas un samazināšanas līdz kopsaucējam, iegūstam .

Tātad mēs atvasinājām kvadrātvienādojuma sakņu formulas, tās izskatās kā , kur diskriminants D tiek aprēķināts pēc formulas D=b 2 −4 a c .

Ar to palīdzību ar pozitīvo diskriminantu jūs varat aprēķināt abas kvadrātvienādojuma reālās saknes. Ja diskriminants ir vienāds ar nulli, abas formulas dod vienu un to pašu saknes vērtību, kas atbilst vienīgajam kvadrātvienādojuma risinājumam. Un ar negatīvu diskriminantu, mēģinot izmantot kvadrātvienādojuma sakņu formulu, mēs saskaramies ar kvadrātsaknes izņemšanu no negatīva skaitļa, kas mūs izved ārpus skolas mācību programmas darbības jomas. Ar negatīvu diskriminantu kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu, bet tam ir pāris komplekss konjugāts saknes, kuras var atrast, izmantojot tās pašas sakņu formulas, kuras mēs ieguvām.

Algoritms kvadrātvienādojumu risināšanai, izmantojot saknes formulas

Praksē, risinot kvadrātvienādojumu, uzreiz var izmantot saknes formulu, ar kuras palīdzību aprēķināt to vērtības. Bet tas vairāk attiecas uz sarežģītu sakņu atrašanu.

Tomēr skolas algebras kursā mēs parasti runājam nevis par sarežģītām, bet gan par reālām kvadrātvienādojuma saknēm. Šajā gadījumā pirms kvadrātvienādojuma sakņu formulu izmantošanas ieteicams vispirms atrast diskriminantu, pārliecināties, ka tas nav negatīvs (pretējā gadījumā varam secināt, ka vienādojumam nav reālu sakņu), un pēc tam aprēķina sakņu vērtības.

Iepriekš minētais pamatojums ļauj mums rakstīt Kvadrātvienādojuma risināšanas algoritms. Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu a x 2 + b x + c \u003d 0, jums ir nepieciešams:

izmantojot diskriminanta formulu D=b 2 −4 a c aprēķina tā vērtību;
secināt, ka kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu, ja diskriminants ir negatīvs;
aprēķina vienādojuma vienīgo sakni, izmantojot formulu, ja D=0 ;
Atrodiet divas kvadrātvienādojuma reālās saknes, izmantojot saknes formulu, ja diskriminants ir pozitīvs.

Šeit mēs tikai atzīmējam, ka, ja diskriminants ir vienāds ar nulli, var izmantot arī formulu, tā dos tādu pašu vērtību kā .

Varat pāriet uz kvadrātvienādojumu risināšanas algoritma pielietošanas piemēriem.

Kvadrātvienādojumu risināšanas piemēri

Apsveriet trīs kvadrātvienādojumu risinājumus ar pozitīvu, negatīvu un nulles diskriminantu. Izskatot to risinājumu, pēc analoģijas būs iespējams atrisināt jebkuru citu kvadrātvienādojumu. Sāksim.

Piemērs.

Atrodiet vienādojuma saknes x 2 +2 x−6=0 .

Lēmums.

Šajā gadījumā mums ir šādi kvadrātvienādojuma koeficienti: a=1 , b=2 un c=−6 . Saskaņā ar algoritmu vispirms ir jāaprēķina diskriminants, šim nolūkam mēs aizstājam norādītos a, b un c diskriminanta formulā, mums ir D=b 2 -4 a c = 2 2 -4 1 (-6) = 4+24 = 28. Tā kā 28>0, tas ir, diskriminants ir lielāks par nulli, kvadrātvienādojumam ir divas reālas saknes. Atradīsim tos pēc formulas saknes , mēs iegūstam , šeit mēs varam vienkāršot izteiksmes, kas iegūtas, veicot ņem vērā saknes zīmi kam seko frakciju samazināšana:

Atbilde:

Pāriesim pie nākamā tipiskā piemēra.

Piemērs.

Atrisiniet kvadrātvienādojumu −4 x 2 +28 x−49=0 .

Lēmums.

Mēs sākam, meklējot diskriminantu: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Tāpēc šim kvadrātvienādojumam ir viena sakne, ko mēs atrodam kā , tas ir,

Atbilde:

x=3,5 .

Atliek apsvērt kvadrātvienādojumu risinājumu ar negatīvu diskriminantu.

Piemērs.

Atrisiniet vienādojumu 5 y 2 +6 y+2=0 .

Lēmums.

Šeit ir kvadrātvienādojuma koeficienti: a=5 , b=6 un c=2 . Aizstājot šīs vērtības diskriminējošā formulā, mums ir D=b 2-4 a c=6 2-4 5 2=36-40=-4. Diskriminants ir negatīvs, tāpēc šim kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu.

Ja jums ir jānorāda sarežģītas saknes, mēs izmantojam labi zināmo kvadrātvienādojuma sakņu formulu un veicam operācijas ar kompleksajiem skaitļiem:

Atbilde:

īstu sakņu nav, sarežģītās saknes ir: .

Vēlreiz atzīmējam, ka, ja kvadrātvienādojuma diskriminants ir negatīvs, tad skola parasti uzreiz pieraksta atbildi, kurā norāda, ka īstu sakņu nav un sarežģītas saknes neatrod.

Saknes formula pat otrajam koeficientam

Kvadrātvienādojuma sakņu formula, kur D=b 2 −4 a c ļauj iegūt kompaktāku formulu, kas ļauj atrisināt kvadrātvienādojumus ar vienmērīgu koeficientu pie x (vai vienkārši ar koeficientu, kas izskatās kā 2 n , piemēram, vai 14 ln5=2 7 ln5). Izvedīsim viņu ārā.

Pieņemsim, ka jāatrisina kvadrātvienādojums formā a x 2 +2 n x + c=0 . Atradīsim tās saknes, izmantojot mums zināmo formulu. Lai to izdarītu, mēs aprēķinām diskriminantu D = (2 n) 2 -4 a c = 4 n 2 -4 a c = 4 (n 2 -a c), un tad mēs izmantojam saknes formulu:

Apzīmējiet izteiksmi n 2 −a c kā D 1 (dažreiz to apzīmē ar D "). Tad aplūkotā kvadrātvienādojuma sakņu formula ar otro koeficientu 2 n iegūst formu , kur D 1 =n 2 −a c .

Ir viegli redzēt, ka D=4·D 1 vai D 1 =D/4 . Citiem vārdiem sakot, D 1 ir diskriminanta ceturtā daļa. Ir skaidrs, ka D 1 zīme ir tāda pati kā D zīme. Tas ir, zīme D 1 ir arī kvadrātvienādojuma sakņu esamības vai neesamības rādītājs.

Tātad, lai atrisinātu kvadrātvienādojumu ar otro koeficientu 2 n, jums ir nepieciešams

Aprēķināt D 1 =n 2 −a·c ;
Ja D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Ja D 1 =0, tad aprēķina vienīgo vienādojuma sakni, izmantojot formulu;
Ja D 1 >0, tad, izmantojot formulu, atrodiet divas reālas saknes.

Apsveriet piemēra risinājumu, izmantojot šajā punktā iegūto saknes formulu.

Piemērs.

Atrisiniet kvadrātvienādojumu 5 x 2 −6 x−32=0 .

Lēmums.

Šī vienādojuma otro koeficientu var attēlot kā 2·(−3) . Tas ir, jūs varat pārrakstīt sākotnējo kvadrātvienādojumu formā 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, šeit a=5 , n=−3 un c=−32, un aprēķināt ceturto daļu diskriminējošais: D 1 = n 2 −a c = (−3) 2 −5 (−32) = 9+160 = 169. Tā kā tā vērtība ir pozitīva, vienādojumam ir divas reālas saknes. Mēs tos atrodam, izmantojot atbilstošo saknes formulu:

Ņemiet vērā, ka kvadrātvienādojuma saknēm bija iespējams izmantot parasto formulu, taču šajā gadījumā būtu jāveic vairāk skaitļošanas darba.

Atbilde:

Kvadrātvienādojumu formas vienkāršošana

Dažreiz, pirms ķerties pie kvadrātvienādojuma sakņu aprēķināšanas, izmantojot formulas, nenāk par ļaunu uzdot jautājumu: “Vai ir iespējams vienkāršot šī vienādojuma formu”? Piekrītiet, ka aprēķinu ziņā kvadrātvienādojumu 11 x 2 −4 x −6=0 būs vieglāk atrisināt nekā 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Parasti kvadrātvienādojuma formas vienkāršošanu panāk, reizinot vai dalot abas tā puses ar kādu skaitli. Piemēram, iepriekšējā rindkopā mums izdevās panākt vienādojuma 1100 x 2 −400 x −600=0 vienkāršošanu, abas puses dalot ar 100.

Līdzīga transformācija tiek veikta ar kvadrātvienādojumiem, kuru koeficienti nav . Šajā gadījumā abas vienādojuma daļas parasti dala ar tā koeficientu absolūtajām vērtībām. Piemēram, ņemsim kvadrātvienādojumu 12 x 2 −42 x+48=0. tā koeficientu absolūtās vērtības: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Sadalot abas sākotnējā kvadrātvienādojuma daļas ar 6 , iegūstam ekvivalento kvadrātvienādojumu 2 x 2 −7 x+8=0 .

Un kvadrātvienādojuma abu daļu reizināšana parasti tiek veikta, lai atbrīvotos no daļskaitļa koeficientiem. Šajā gadījumā reizināšanu veic ar tā koeficientu saucējiem. Piemēram, ja abas kvadrātvienādojuma daļas tiek reizinātas ar LCM(6, 3, 1)=6 , tad tam būs vienkāršāka forma x 2 +4 x−18=0 .

Noslēdzot šo punktu, mēs atzīmējam, ka gandrīz vienmēr atbrīvojieties no mīnusa pie augstākā kvadrātvienādojuma koeficienta, mainot visu terminu zīmes, kas atbilst abu daļu reizināšanai (vai dalīšanai) ar −1. Piemēram, parasti no kvadrātvienādojuma −2·x 2 −3·x+7=0 pāriet uz risinājumu 2·x 2 +3·x−7=0 .

Kvadrātvienādojuma sakņu un koeficientu saistība

Kvadrātvienādojuma sakņu formula izsaka vienādojuma saknes tā koeficientu izteiksmē. Pamatojoties uz sakņu formulu, jūs varat iegūt citas attiecības starp saknēm un koeficientiem.

Vispazīstamākās un pielietojamākās formulas no Vietas teorēmas formas un . Konkrēti, dotajam kvadrātvienādojumam sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretēju zīmi, un sakņu reizinājums ir brīvais termins. Piemēram, pēc kvadrātvienādojuma formas 3 x 2 −7 x+22=0, mēs uzreiz varam teikt, ka tā sakņu summa ir 7/3, bet sakņu reizinājums ir 22/3.

Izmantojot jau uzrakstītās formulas, jūs varat iegūt vairākas citas attiecības starp kvadrātvienādojuma saknēm un koeficientiem. Piemēram, kvadrātvienādojuma sakņu kvadrātu summu var izteikt ar tā koeficientiem: .

Bibliogrāfija.

Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M. : Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovičs A.G. Algebra. 8. klase. Plkst.14 1. daļa. Mācību grāmata izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs. - 11. izd., dzēsts. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Turpinot tēmu “Vienādojumu risināšana”, šī raksta materiāls iepazīstinās jūs ar kvadrātvienādojumiem.

Apsvērsim visu sīkāk: kvadrātvienādojuma būtību un apzīmējumus, iestatīsim pavadošos terminus, analizēsim nepilno un pilnīgu vienādojumu risināšanas shēmu, iepazīsimies ar sakņu un diskriminanta formulu, izveidosim savienojumus starp saknēm un koeficientiem un kursā sniegsim praktisku piemēru vizuālu risinājumu.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadrātvienādojums, tā veidi

1. definīcija

Kvadrātvienādojums ir vienādojums, kas uzrakstīts kā a x 2 + b x + c = 0, kur x– mainīgais, a , b un c ir daži skaitļi, kamēr a nav nulle.

Bieži vien kvadrātvienādojumus sauc arī par otrās pakāpes vienādojumiem, jo faktiski kvadrātvienādojums ir otrās pakāpes algebriskais vienādojums.

Dotās definīcijas ilustrēšanai dosim piemēru: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 utt. ir kvadrātvienādojumi.

2. definīcija

Cipari a , b un c ir kvadrātvienādojuma koeficienti a x 2 + b x + c = 0, savukārt koeficients a tiek saukts par pirmo, vai vecāko, vai koeficientu pie x 2, b - otro koeficientu, vai koeficientu pie x, a c sauc par brīvo biedru.

Piemēram, kvadrātvienādojumā 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 lielākais koeficients ir 6 , otrais koeficients ir − 2 , un brīvais termiņš ir vienāds ar − 11 . Pievērsīsim uzmanību tam, ka tad, kad koeficienti b un/vai c ir negatīvi, tad tiek izmantota saīsinātā forma 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, bet ne 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Precizēsim arī šo aspektu: ja koeficienti a un/vai b vienāds 1 vai − 1 , tad kvadrātvienādojuma rakstīšanā tie var arī nepiedalīties, kas izskaidrojams ar norādīto skaitlisko koeficientu rakstīšanas īpatnībām. Piemēram, kvadrātvienādojumā y 2 – y + 7 = 0 vecākais koeficients ir 1 un otrais koeficients ir − 1 .

Reducēti un nereducēti kvadrātvienādojumi

Atbilstoši pirmā koeficienta vērtībai kvadrātvienādojumus iedala reducētajos un nereducētajos.

3. definīcija

Samazināts kvadrātvienādojums ir kvadrātvienādojums, kur vadošais koeficients ir 1. Citām vadošā koeficienta vērtībām kvadrātvienādojums nav samazināts.

Šeit ir daži piemēri: kvadrātvienādojumi x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 ir samazināti, katrā no tiem vadošais koeficients ir 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- nereducēts kvadrātvienādojums, kur pirmais koeficients atšķiras no 1 .

Jebkuru nereducētu kvadrātvienādojumu var pārvērst par reducētu vienādojumu, abas tā daļas dalot ar pirmo koeficientu (ekvivalentā transformācija). Pārveidotajam vienādojumam būs tādas pašas saknes kā dotajam nereducētajam vienādojumam vai arī tam nebūs sakņu.

Konkrēta piemēra izskatīšana ļaus mums skaidri parādīt pāreju no nereducēta kvadrātvienādojuma uz reducētu.

1. piemērs

Dots vienādojums 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Sākotnējais vienādojums ir jāpārvērš reducētā formā.

Lēmums

Saskaņā ar iepriekš minēto shēmu mēs sadalām abas sākotnējā vienādojuma daļas ar vadošo koeficientu 6 . Tad mēs iegūstam: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, un tas ir tas pats, kas: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0 un tālāk: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . No šejienes: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Tādējādi tiek iegūts vienādojums, kas līdzvērtīgs dotajam.

Atbilde: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Pilnīgi un nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Pievērsīsimies kvadrātvienādojuma definīcijai. Tajā mēs to norādījām a ≠ 0. Līdzīgs nosacījums ir nepieciešams vienādojumam a x 2 + b x + c = 0 bija tieši kvadrātveida, kopš a = 0 tas būtībā pārveidojas par lineāru vienādojumu b x + c = 0.

Gadījumā, ja koeficienti b un c ir vienādi ar nulli (kas ir iespējams gan atsevišķi, gan kopā), kvadrātvienādojumu sauc par nepilnīgu.

4. definīcija

Nepilns kvadrātvienādojums ir kvadrātvienādojums a x 2 + b x + c \u003d 0, kur vismaz viens no koeficientiem b un c(vai abi) ir nulle.

Pilnīgs kvadrātvienādojums ir kvadrātvienādojums, kurā visi skaitliskie koeficienti nav vienādi ar nulli.

Apspriedīsim, kāpēc kvadrātvienādojumu veidiem ir doti tieši šādi nosaukumi.

Ja b = 0, kvadrātvienādojums iegūst šādu formu a x 2 + 0 x + c = 0, kas ir tāds pats kā a x 2 + c = 0. Plkst c = 0 kvadrātvienādojums ir uzrakstīts kā a x 2 + b x + 0 = 0, kas ir līdzvērtīgs a x 2 + b x = 0. Plkst b = 0 un c = 0 vienādojums pieņems formu a x 2 = 0. Mūsu iegūtie vienādojumi atšķiras no pilnā kvadrātvienādojuma ar to, ka to kreisajā pusē nav ne vārda ar mainīgo x, ne brīvo vārdu, vai abus vienlaikus. Faktiski šis fakts deva nosaukumu šāda veida vienādojumiem - nepilnīgs.

Piemēram, x 2 + 3 x + 4 = 0 un − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 ir pilnīgi kvadrātvienādojumi; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 ir nepilnīgi kvadrātvienādojumi.

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana

Iepriekš sniegtā definīcija ļauj atšķirt šādus nepilnīgo kvadrātvienādojumu veidus:

a x 2 = 0, koeficienti atbilst šādam vienādojumam b = 0 un c = 0;
a x 2 + c \u003d 0 b \u003d 0;
a x 2 + b x = 0 ja c = 0 .

Secīgi apsveriet katra veida nepilnīgā kvadrātvienādojuma risinājumu.

Vienādojuma atrisinājums a x 2 \u003d 0

Kā jau minēts iepriekš, šāds vienādojums atbilst koeficientiem b un c, vienāds ar nulli. Vienādojums a x 2 = 0 var pārvērst līdzvērtīgā vienādojumā x2 = 0, ko iegūstam, dalot abas sākotnējā vienādojuma puses ar skaitli a, nav vienāds ar nulli. Acīmredzams fakts ir tāds, ka vienādojuma sakne x2 = 0 ir nulle, jo 0 2 = 0 . Šim vienādojumam nav citu sakņu, kas izskaidrojams ar pakāpes īpašībām: jebkuram skaitlim p , nav vienāds ar nulli, nevienlīdzība ir patiesa p2 > 0, no kā izriet, ka kad p ≠ 0 vienlīdzība p2 = 0 nekad netiks sasniegts.

5. definīcija

Tādējādi nepilnīgajam kvadrātvienādojumam a x 2 = 0 ir unikāla sakne x=0.

2. piemērs

Piemēram, atrisināsim nepilnu kvadrātvienādojumu − 3 x 2 = 0. Tas ir līdzvērtīgs vienādojumam x2 = 0, tā vienīgā sakne ir x=0, tad sākotnējam vienādojumam ir viena sakne — nulle.

Risinājums ir apkopots šādi:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Vienādojuma atrisinājums a x 2 + c \u003d 0

Nākamais rindā ir nepilnu kvadrātvienādojumu risinājums, kur b \u003d 0, c ≠ 0, tas ir, formas vienādojumi a x 2 + c = 0. Pārveidosim šo vienādojumu, pārnesot vārdu no vienas vienādojuma puses uz otru, mainot zīmi uz pretējo un dalot abas vienādojuma puses ar skaitli, kas nav vienāds ar nulli:

izturēt c labajā pusē, kas dod vienādojumu a x 2 = − c;
sadaliet abas vienādojuma puses ar a, iegūstam kā rezultātā x = - c a .

Mūsu pārveidojumi ir līdzvērtīgi, attiecīgi arī iegūtais vienādojums ir līdzvērtīgs sākotnējam, un šis fakts ļauj izdarīt secinājumu par vienādojuma saknēm. No kādām vērtībām a un c ir atkarīgs no izteiksmes vērtības - c a: tai var būt mīnusa zīme (piemēram, ja a = 1 un c = 2, tad - c a = - 2 1 = - 2) vai plus zīme (piemēram, ja a = -2 un c=6, tad - c a = - 6 - 2 = 3); tas nav vienāds ar nulli, jo c ≠ 0. Pakavēsimies sīkāk pie situācijām, kad - c a< 0 и - c a > 0 .

Gadījumā, ja - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа lpp vienādība p 2 = - c a nevar būt patiesa.

Viss ir savādāk, ja - c a > 0: atcerieties kvadrātsakni, un kļūs skaidrs, ka vienādojuma sakne x 2 \u003d - c a būs skaitlis - c a, jo - c a 2 \u003d - c a. Ir viegli saprast, ka skaitlis - - c a - ir arī vienādojuma x 2 = - c a sakne: tiešām, - - c a 2 = - c a .

Vienādojumam nebūs citu sakņu. Mēs to varam parādīt, izmantojot pretējo metodi. Vispirms iestatīsim iepriekš atrasto sakņu apzīmējumu kā x 1 un − x 1. Pieņemsim, ka vienādojumam x 2 = - c a ir arī sakne x2, kas atšķiras no saknēm x 1 un − x 1. Mēs to zinām, aizstājot vienādojumā, nevis x tā saknes, mēs pārveidojam vienādojumu godīgā skaitliskā vienādībā.

Priekš x 1 un − x 1 rakstiet: x 1 2 = - c a , un par x2- x 2 2 \u003d - c a. Pamatojoties uz skaitlisko vienādību īpašībām, mēs atņemam vienu patieso vienādību no cita vārda pa vārdam, kas mums iegūs: x 1 2 − x 2 2 = 0. Izmantojiet skaitļu darbību īpašības, lai pēdējo vienādību pārrakstītu kā (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Ir zināms, ka divu skaitļu reizinājums ir nulle tad un tikai tad, ja vismaz viens no skaitļiem ir nulle. No teiktā izriet, ka x1 – x2 = 0 un/vai x1 + x2 = 0, kas ir tas pats x2 = x1 un/vai x 2 = − x 1. Radās acīmredzama pretruna, jo sākumā tika panākta vienošanās, ka vienādojuma sakne x2 atšķiras no x 1 un − x 1. Tātad, mēs esam pierādījuši, ka vienādojumam nav citu sakņu kā vien x = - c a un x = - - c a .

Mēs apkopojam visus iepriekš minētos argumentus.

6. definīcija

Nepilns kvadrātvienādojums a x 2 + c = 0 ir vienāds ar vienādojumu x 2 = - c a , kas:

nebūs saknes pie - c a< 0 ;
būs divas saknes x = - c a un x = - - c a , kad - c a > 0 .

Sniegsim vienādojumu risināšanas piemērus a x 2 + c = 0.

3. piemērs

Dots kvadrātvienādojums 9 x 2 + 7 = 0 . Ir nepieciešams atrast tās risinājumu.

Lēmums

Mēs pārnesam brīvo terminu uz vienādojuma labo pusi, tad vienādojums iegūs formu 9 x 2 \u003d - 7.
Mēs sadalām abas iegūtā vienādojuma puses ar 9 , mēs nonākam pie x 2 = - 7 9 . Labajā pusē redzam skaitli ar mīnusa zīmi, kas nozīmē: dotajam vienādojumam nav sakņu. Tad sākotnējais nepilnīgais kvadrātvienādojums 9 x 2 + 7 = 0 nebūs sakņu.

Atbilde: vienādojums 9 x 2 + 7 = 0 nav sakņu.

4. piemērs

Ir nepieciešams atrisināt vienādojumu − x2 + 36 = 0.

Lēmums

Pārvietosim 36 uz labo pusi: − x 2 = − 36.
Sadalīsim abas daļas − 1 , saņemam x2 = 36. Labajā pusē ir pozitīvs skaitlis, no kura mēs to varam secināt x = 36 vai x = - 36 .
Mēs izņemam sakni un uzrakstām gala rezultātu: nepilnu kvadrātvienādojumu − x2 + 36 = 0 ir divas saknes x=6 vai x = -6.

Atbilde: x=6 vai x = -6.

Vienādojuma atrisinājums a x 2 +b x=0

Analizēsim trešā veida nepilnīgos kvadrātvienādojumus, kad c = 0. Atrast nepilnīga kvadrātvienādojuma risinājumu a x 2 + b x = 0, mēs izmantojam faktorizēšanas metodi. Ļaujiet mums faktorizēt polinomu, kas atrodas vienādojuma kreisajā pusē, izņemot kopējo koeficientu no iekavām x. Šis solis ļaus pārveidot sākotnējo nepilnīgo kvadrātvienādojumu tā ekvivalentā x (a x + b) = 0. Un šis vienādojums savukārt ir līdzvērtīgs vienādojumu kopai x=0 un a x + b = 0. Vienādojums a x + b = 0 lineārs, un tā sakne: x = − b a.

7. definīcija

Tādējādi nepilnīgais kvadrātvienādojums a x 2 + b x = 0 būs divas saknes x=0 un x = − b a.

Apstiprināsim materiālu ar piemēru.

5. piemērs

Nepieciešams atrast vienādojuma 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 atrisinājumu.

Lēmums

Ņemam ārā xārpus iekavām un iegūstiet vienādojumu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Šis vienādojums ir līdzvērtīgs vienādojumiem x=0 un 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Tagad jums jāatrisina iegūtais lineārais vienādojums: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Īsumā mēs rakstām vienādojuma risinājumu šādi:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 vai 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 vai x = 3 3 7

Atbilde: x = 0 , x = 3 3 7 .

Diskriminants, kvadrātvienādojuma sakņu formula

Lai atrastu kvadrātvienādojumu risinājumu, ir saknes formula:

8. definīcija

x = - b ± D 2 a, kur D = b 2 − 4 a c ir tā sauktais kvadrātvienādojuma diskriminants.

Rakstot x \u003d - b ± D 2 a, būtībā nozīmē, ka x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Būs noderīgi saprast, kā norādītā formula tika iegūta un kā to pielietot.

Kvadrātvienādojuma sakņu formulas atvasināšana

Pieņemsim, ka mēs saskaramies ar uzdevumu atrisināt kvadrātvienādojumu a x 2 + b x + c = 0. Veiksim vairākas līdzvērtīgas transformācijas:

sadaliet abas vienādojuma puses ar skaitli a, kas atšķiras no nulles, mēs iegūstam samazinātu kvadrātvienādojumu: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
atlasiet pilnu kvadrātu iegūtā vienādojuma kreisajā pusē:
x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
Pēc tam vienādojums būs šāds: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
tagad ir iespēja pārcelt pēdējos divus terminus uz labo pusi, mainot zīmi uz pretējo, pēc kā iegūstam: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
visbeidzot, mēs pārveidojam izteiksmi, kas rakstīta pēdējās vienādības labajā pusē:
b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Tādējādi esam nonākuši pie vienādojuma x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , kas ir ekvivalents sākotnējam vienādojumam a x 2 + b x + c = 0.

Iepriekšējos punktos mēs apspriedām šādu vienādojumu risinājumu (nepilnīgu kvadrātvienādojumu risinājums). Jau iegūtā pieredze ļauj izdarīt secinājumu par vienādojuma x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 saknēm:

b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
ja b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, vienādojuma forma ir x + b 2 · a 2 = 0, tad x + b 2 · a = 0.

No šejienes vienīgā sakne x = - b 2 · a ir acīmredzama;

ja b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, pareizais ir: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 vai x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , kas ir tāds pats kā x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 vai x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , t.i. vienādojumam ir divas saknes.

Var secināt, ka vienādojuma x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (un līdz ar to sākotnējā vienādojuma) sakņu esamība vai neesamība ir atkarīga no izteiksmes b 2 - 4 a c zīmes. 4 · labajā pusē rakstīts 2. Un šīs izteiksmes zīmi dod skaitītāja zīme (saucējs 4 un 2 vienmēr būs pozitīvs), tas ir, izteiksmes zīme b 2 − 4 a c. Šī izteiksme b 2 − 4 a c dots nosaukums - kvadrātvienādojuma diskriminants un burts D tiek definēts kā tā apzīmējums. Šeit jūs varat pierakstīt diskriminanta būtību - pēc tā vērtības un zīmes viņi secina, vai kvadrātvienādojumam būs reālas saknes, un, ja jā, tad cik saknes - viena vai divas.

Atgriezīsimies pie vienādojuma x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Pārrakstīsim to, izmantojot diskriminanta apzīmējumu: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Atkārtosim secinājumus:

9. definīcija

plkst D< 0 vienādojumam nav reālu sakņu;
plkst D=0 vienādojumam ir viena sakne x = - b 2 · a ;
plkst D > 0 vienādojumam ir divas saknes: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 vai x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Pamatojoties uz radikāļu īpašībām, šīs saknes var uzrakstīt kā: x \u003d - b 2 a + D 2 a vai - b 2 a - D 2 a. Un, atverot moduļus un samazinot daļas līdz kopsaucējam, mēs iegūstam: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Tātad mūsu argumentācijas rezultāts bija kvadrātvienādojuma sakņu formulas atvasināšana:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminants D aprēķināts pēc formulas D = b 2 − 4 a c.

Šīs formulas dod iespēju, ja diskriminants ir lielāks par nulli, noteikt abas reālās saknes. Ja diskriminants ir nulle, tad, piemērojot abas formulas, tiks iegūta tāda pati sakne kā vienīgais kvadrātvienādojuma risinājums. Gadījumā, ja diskriminants ir negatīvs, mēģinot izmantot kvadrātsaknes formulu, mēs saskarsimies ar nepieciešamību iegūt negatīva skaitļa kvadrātsakni, kas mūs aizvedīs tālāk par reāliem skaitļiem. Ar negatīvu diskriminantu kvadrātvienādojumam nebūs reālu sakņu, taču ir iespējams sarežģītu konjugētu sakņu pāris, ko nosaka tās pašas sakņu formulas, ko ieguvām.

Algoritms kvadrātvienādojumu risināšanai, izmantojot saknes formulas

Kvadrātvienādojumu var atrisināt uzreiz, izmantojot saknes formulu, bet pamatā tas tiek darīts, ja nepieciešams atrast sarežģītas saknes.

Vairumā gadījumu meklēšana parasti ir domāta nevis sarežģītām, bet reālām kvadrātvienādojuma saknēm. Tad optimāli ir pirms kvadrātvienādojuma sakņu formulu izmantošanas vispirms noteikt diskriminantu un pārliecināties, ka tas nav negatīvs (pretējā gadījumā mēs secināsim, ka vienādojumam nav reālu sakņu), un pēc tam ķerties pie kvadrātvienādojuma sakņu aprēķināšanas. sakņu vērtība.

Iepriekš minētais pamatojums ļauj formulēt kvadrātvienādojuma risināšanas algoritmu.

10. definīcija

Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu a x 2 + b x + c = 0, nepieciešams:

saskaņā ar formulu D = b 2 − 4 a c atrast diskriminanta vērtību;
pie D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
ja D = 0 atrod vienīgo vienādojuma sakni pēc formulas x = - b 2 · a ;
ja D > 0, nosaka divas kvadrātvienādojuma reālās saknes pēc formulas x = - b ± D 2 · a.

Ņemiet vērā, ka, ja diskriminants ir nulle, varat izmantot formulu x = - b ± D 2 · a , tā dos tādu pašu rezultātu kā formula x = - b 2 · a .

Apsveriet piemērus.

Kvadrātvienādojumu risināšanas piemēri

Mēs piedāvājam piemēru risinājumu dažādām diskriminanta vērtībām.

6. piemērs

Ir nepieciešams atrast vienādojuma saknes x 2 + 2 x - 6 = 0.

Lēmums

Mēs rakstām kvadrātvienādojuma skaitliskos koeficientus: a \u003d 1, b \u003d 2 un c = – 6. Tālāk mēs rīkojamies saskaņā ar algoritmu, t.i. Sāksim aprēķināt diskriminantu, kuram aizstājam koeficientus a , b un c diskriminanta formulā: D = b 2 - 4 a c = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28 .

Tātad, mēs saņēmām D > 0, kas nozīmē, ka sākotnējam vienādojumam būs divas reālas saknes.
Lai tos atrastu, mēs izmantojam saknes formulu x \u003d - b ± D 2 · a un, aizstājot atbilstošās vērtības, mēs iegūstam: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Mēs vienkāršojam iegūto izteiksmi, izņemot koeficientu no saknes zīmes, kam seko frakcijas samazināšana:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 vai x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 vai x = - 1 - 7

Atbilde: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

7. piemērs

Ir nepieciešams atrisināt kvadrātvienādojumu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Lēmums

Definēsim diskriminantu: D = 28 2 - 4 (- 4) (- 49) = 784 - 784 = 0. Ar šo diskriminanta vērtību sākotnējam vienādojumam būs tikai viena sakne, ko nosaka pēc formulas x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Atbilde: x = 3, 5.

8. piemērs

Ir nepieciešams atrisināt vienādojumu 5 g 2 + 6 g + 2 = 0

Lēmums

Šī vienādojuma skaitliskie koeficienti būs: a = 5 , b = 6 un c = 2 . Mēs izmantojam šīs vērtības, lai atrastu diskriminantu: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Aprēķinātais diskriminants ir negatīvs, tāpēc sākotnējam kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu.

Gadījumā, ja uzdevums ir norādīt sarežģītas saknes, mēs izmantojam saknes formulu, veicot darbības ar kompleksajiem skaitļiem:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 vai x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i vai x = - 3 5 - 1 5 i .

Atbilde: nav īstu sakņu; kompleksās saknes ir: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

Skolas programmā kā standarts nav noteikta prasība meklēt sarežģītas saknes, tādēļ, ja risinājuma laikā diskriminants tiek definēts kā negatīvs, uzreiz tiek ierakstīta atbilde, ka īstu sakņu nav.

Saknes formula pat otrajam koeficientam

Saknes formula x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) ļauj iegūt citu, kompaktāku formulu, kas ļauj atrast kvadrātvienādojumu risinājumus ar vienmērīgu koeficientu x (vai ar koeficientu no formas 2 a n, piemēram, 2 3 vai 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Parādīsim, kā šī formula tiek iegūta.

Atrisināsim kvadrātvienādojuma a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 risinājumu. Mēs rīkojamies saskaņā ar algoritmu: nosakām diskriminantu D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) un pēc tam izmantojam saknes formulu:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Apzīmēsim izteiksmi n 2 − a c kā D 1 (dažreiz to apzīmē ar D "). Tad aplūkotā kvadrātvienādojuma sakņu formula ar otro koeficientu 2 n iegūs šādu formu:

x \u003d - n ± D 1 a, kur D 1 \u003d n 2 - a c.

Ir viegli redzēt, ka D = 4 · D 1 vai D 1 = D 4 . Citiem vārdiem sakot, D 1 ir ceturtā daļa no diskriminanta. Acīmredzot D 1 zīme ir tāda pati kā D zīme, kas nozīmē, ka D 1 zīme var kalpot arī kā kvadrātvienādojuma sakņu esamības vai neesamības indikators.

11. definīcija

Tādējādi, lai atrastu risinājumu kvadrātvienādojumam ar otro koeficientu 2 n, ir nepieciešams:

atrast D 1 = n 2 − a c ;
pie D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
ja D 1 = 0, nosaka vienīgo vienādojuma sakni pēc formulas x = - n a ;
ja D 1 > 0, nosaka divas reālās saknes, izmantojot formulu x = - n ± D 1 a.

9. piemērs

Nepieciešams atrisināt kvadrātvienādojumu 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Lēmums

Dotā vienādojuma otro koeficientu var attēlot kā 2 · (− 3) . Pēc tam pārrakstām doto kvadrātvienādojumu kā 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0, kur a = 5, n = −3 un c = −32.

Aprēķināsim diskriminanta ceturto daļu: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Iegūtā vērtība ir pozitīva, kas nozīmē, ka vienādojumam ir divas reālas saknes. Mēs tos definējam ar atbilstošo sakņu formulu:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 vai x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 vai x = - 2

Varētu veikt aprēķinus, izmantojot parasto kvadrātvienādojuma sakņu formulu, taču šajā gadījumā risinājums būtu apgrūtinošāks.

Atbilde: x = 3 1 5 vai x = - 2 .

Kvadrātvienādojumu formas vienkāršošana

Dažreiz ir iespējams optimizēt sākotnējā vienādojuma formu, kas vienkāršos sakņu aprēķināšanas procesu.

Piemēram, kvadrātvienādojums 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 ir acīmredzami ērtāks risināšanai nekā 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Biežāk kvadrātvienādojuma formas vienkāršošana tiek veikta, reizinot vai dalot abas tā daļas ar noteiktu skaitli. Piemēram, iepriekš mēs parādījām vienkāršotu vienādojuma 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 attēlojumu, kas iegūts, abas tā daļas dalot ar 100.

Šāda transformācija iespējama, ja kvadrātvienādojuma koeficienti nav relatīvi pirmskaitļi. Tad parasti abas vienādojuma daļas tiek dalītas ar tā koeficientu absolūto vērtību lielāko kopīgo dalītāju.

Kā piemēru mēs izmantojam kvadrātvienādojumu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Definēsim tā koeficientu absolūto vērtību gcd: gcd (12 , 42 , 48) = gcd(gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . Sadalīsim abas sākotnējā kvadrātvienādojuma daļas ar 6 un iegūsim ekvivalento kvadrātvienādojumu 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Reizinot abas kvadrātvienādojuma puses, daļskaitļu koeficienti parasti tiek izslēgti. Šajā gadījumā reiziniet ar tā koeficientu saucēju mazāko kopīgo daudzkārtni. Piemēram, ja katra kvadrātvienādojuma daļa 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 tiek reizināta ar LCM (6, 3, 1) \u003d 6, tad tā tiks uzrakstīta vienkāršākā formā x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Visbeidzot, mēs atzīmējam, ka gandrīz vienmēr atbrīvojieties no mīnusa pie kvadrātvienādojuma pirmā koeficienta, mainot katra vienādojuma locekļa zīmes, ko panāk, reizinot (vai dalot) abas daļas ar −1. Piemēram, no kvadrātvienādojuma - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, varat pāriet uz tā vienkāršoto versiju 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Sakarība starp saknēm un koeficientiem

Jau zināmā kvadrātvienādojumu sakņu formula x = - b ± D 2 · a izsaka vienādojuma saknes tā skaitlisko koeficientu izteiksmē. Pamatojoties uz šo formulu, mums ir iespēja iestatīt citas atkarības starp saknēm un koeficientiem.

Slavenākās un pielietojamākās ir Vieta teorēmas formulas:

x 1 + x 2 \u003d - b a un x 2 \u003d c a.

Konkrēti, dotajam kvadrātvienādojumam sakņu summa ir otrais koeficients ar pretēju zīmi, un sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu. Piemēram, ar kvadrātvienādojuma formu 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, var uzreiz noteikt, ka tā sakņu summa ir 7 3, bet sakņu reizinājums ir 22 3.

Varat arī atrast vairākas citas attiecības starp kvadrātvienādojuma saknēm un koeficientiem. Piemēram, kvadrātvienādojuma sakņu kvadrātu summu var izteikt ar koeficientiem:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Mūsdienu sabiedrībā spēja darboties ar vienādojumiem, kas satur mainīgo kvadrātā, var būt noderīga daudzās darbības jomās un tiek plaši izmantota praksē zinātnes un tehnikas attīstībā. Par to var liecināt jūras un upju kuģu, lidmašīnu un raķešu konstrukcija. Ar šādu aprēķinu palīdzību tiek noteiktas dažādu ķermeņu, arī kosmosa objektu, kustības trajektorijas. Piemēri ar kvadrātvienādojumu atrisināšanu tiek izmantoti ne tikai ekonomikas prognozēšanā, ēku projektēšanā un būvniecībā, bet arī visparastākajos ikdienas apstākļos. Tie var būt nepieciešami kempingos, sporta pasākumos, veikalos iepērkoties un citās ļoti izplatītās situācijās.

Sadalīsim izteiksmi komponentfaktoros

Vienādojuma pakāpi nosaka mainīgā lieluma pakāpes maksimālā vērtība, ko satur dotā izteiksme. Ja tas ir vienāds ar 2, tad šādu vienādojumu sauc par kvadrātvienādojumu.

Ja runājam formulu valodā, tad šos izteicienus, lai arī kā tie izskatītos, vienmēr var novest līdz formai, kad izteiksmes kreisā puse sastāv no trim terminiem. Starp tiem: ax 2 (tas ir, mainīgais kvadrātā ar tā koeficientu), bx (nezināmais bez kvadrāta ar tā koeficientu) un c (brīvā sastāvdaļa, tas ir, parasts skaitlis). Tas viss labajā pusē ir vienāds ar 0. Gadījumā, ja šādam polinomam nav neviena tā sastāvdaļa, izņemot asis 2, to sauc par nepilnu kvadrātvienādojumu. Vispirms jāapsver piemēri ar tādu uzdevumu risinājumu, kuros nav grūti atrast mainīgo lielumu vērtību.

Ja izteiksme izskatās tā, ka izteiksmes labajā pusē ir divi termini, precīzāk ax 2 un bx, visvieglāk ir atrast x, ievietojot mainīgo iekavās. Tagad mūsu vienādojums izskatīsies šādi: x(ax+b). Turklāt kļūst acīmredzams, ka vai nu x=0, vai arī problēma tiek reducēta uz mainīgā atrašanu no šādas izteiksmes: ax+b=0. To nosaka viena no reizināšanas īpašībām. Noteikums saka, ka divu faktoru reizinājums ir 0 tikai tad, ja viens no tiem ir nulle.

Piemērs

x=0 vai 8x - 3 = 0

Rezultātā mēs iegūstam divas vienādojuma saknes: 0 un 0,375.

Šāda veida vienādojumi var aprakstīt ķermeņu kustību gravitācijas ietekmē, kas sāka kustēties no noteikta punkta, kas tiek uzskatīts par izcelsmi. Šeit matemātiskais apzīmējums iegūst šādu formu: y = v 0 t + gt 2 /2. Aizvietojot nepieciešamās vērtības, pielīdzinot labo pusi ar 0 un atrodot iespējamos nezināmos, jūs varat uzzināt laiku, kas pagājis no brīža, kad ķermenis paceļas, līdz brīdim, kad tas nokrīt, kā arī daudzus citus lielumus. Bet par to mēs runāsim vēlāk.

Izteiksmes faktorēšana

Iepriekš aprakstītais noteikums ļauj atrisināt šīs problēmas sarežģītākos gadījumos. Apsveriet piemērus ar šāda veida kvadrātvienādojumu atrisināšanu.

X2 — 33x + 200 = 0

Šis kvadrātveida trinomāls ir pabeigts. Pirmkārt, mēs pārveidojam izteiksmi un sadalām to faktoros. Ir divi no tiem: (x-8) un (x-25) = 0. Rezultātā mums ir divas saknes 8 un 25.

Piemēri ar kvadrātvienādojumu atrisināšanu 9. klasē ļauj šai metodei atrast mainīgo ne tikai otrās, bet pat trešās un ceturtās kārtas izteiksmēs.

Piemēram: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Ieskaitot labo pusi faktoros ar mainīgo, tie ir trīs, tas ir, (x + 1), (x-3) un (x + 3).

Rezultātā kļūst skaidrs, ka šim vienādojumam ir trīs saknes: -3; - viens; 3.

Kvadrātsaknes izvilkšana

Vēl viens nepilnīga otrās kārtas vienādojuma gadījums ir izteiksme, kas uzrakstīta burtu valodā tā, ka labā puse tiek veidota no komponentēm ax 2 un c. Šeit, lai iegūtu mainīgā lieluma vērtību, brīvais termins tiek pārnests uz labo pusi un pēc tam tiek iegūta kvadrātsakne no abām vienādības pusēm. Jāņem vērā, ka šajā gadījumā parasti ir divas vienādojuma saknes. Vienīgie izņēmumi ir vienādības, kas vispār nesatur terminu c, kur mainīgais ir vienāds ar nulli, kā arī izteiksmju varianti, kad labā puse izrādās negatīva. Pēdējā gadījumā risinājumu vispār nav, jo iepriekš minētās darbības nevar veikt ar saknēm. Jāapsver šāda veida kvadrātvienādojumu risinājumu piemēri.

Šajā gadījumā vienādojuma saknes būs skaitļi -4 un 4.

Zemes platības aprēķins

Nepieciešamība pēc šāda veida aprēķiniem parādījās senatnē, jo matemātikas attīstību tajos tālajos laikos lielā mērā noteica nepieciešamība ar vislielāko precizitāti noteikt zemes gabalu platības un perimetrus.

Jāapsver arī piemēri ar kvadrātvienādojumu atrisināšanu, kas sastādīti, pamatojoties uz šāda veida problēmām.

Tātad, pieņemsim, ka ir taisnstūrveida zemes gabals, kura garums ir par 16 metriem vairāk nekā platums. Ja ir zināms, ka tās platība ir 612 m 2, jums vajadzētu uzzināt vietnes garumu, platumu un perimetru.

Pievēršoties biznesam, vispirms mēs izveidosim nepieciešamo vienādojumu. Apzīmēsim posma platumu kā x, tad tā garums būs (x + 16). No rakstītā izriet, ka laukumu nosaka izteiksme x (x + 16), kas saskaņā ar mūsu uzdevuma nosacījumu ir 612. Tas nozīmē, ka x (x + 16) \u003d 612.

Pilnīgu kvadrātvienādojumu risinājumu, un šī izteiksme ir tieši tāda, nevar izdarīt tādā pašā veidā. Kāpēc? Lai gan tā kreisajā pusē joprojām ir divi faktori, to reizinājums nemaz nav vienāds ar 0, tāpēc šeit tiek izmantotas citas metodes.

Diskriminējošais

Vispirms veiksim nepieciešamās transformācijas, tad šīs izteiksmes izskats izskatīsies šādi: x 2 + 16x - 612 = 0. Tas nozīmē, ka esam saņēmuši izteiksmi iepriekš norādītajam standartam atbilstošā formā, kur a=1, b=16, c= -612.

Tas var būt piemērs kvadrātvienādojumu atrisināšanai, izmantojot diskriminantu. Šeit nepieciešamie aprēķini tiek veikti saskaņā ar shēmu: D = b 2 - 4ac. Šī palīgvērtība ne tikai ļauj atrast vajadzīgās vērtības otrās kārtas vienādojumā, bet arī nosaka iespējamo opciju skaitu. Gadījumā, ja D>0, tie ir divi; D=0 ir viena sakne. Gadījumā, ja D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Par saknēm un to formulu

Mūsu gadījumā diskriminants ir: 256 - 4(-612) = 2704. Tas norāda, ka mūsu problēmai ir atbilde. Ja zināt, kvadrātvienādojumu risināšana ir jāturpina, izmantojot tālāk norādīto formulu. Tas ļauj aprēķināt saknes.

Tas nozīmē, ka uzrādītajā gadījumā: x 1 =18, x 2 =-34. Otrais variants šajā dilemmā nevar būt risinājums, jo zemes gabala lielums nav mērāms negatīvās vērtībās, kas nozīmē, ka x (tas ir, zemes gabala platums) ir 18 m. No šejienes mēs aprēķinām garumu: 18+16=34, un perimetrs 2(34+18) = 104 (m 2).

Piemēri un uzdevumi

Turpinām kvadrātvienādojumu izpēti. Tālāk tiks sniegti vairāku no tiem piemēri un detalizēts risinājums.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Pārliksim visu uz vienlīdzības kreiso pusi, veiksim transformāciju, tas ir, iegūstam vienādojuma formu, ko parasti sauc par standarta, un pielīdzināsim nullei.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Pievienojot līdzīgus, mēs nosakām diskriminantu: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Tātad mūsu vienādojumam būs divas saknes. Mēs tos aprēķinām pēc iepriekš minētās formulas, kas nozīmē, ka pirmais no tiem būs vienāds ar 4/3, bet otrais - 1.

2) Tagad mēs atklāsim cita veida mīklas.

Noskaidrosim, vai šeit vispār ir saknes x 2 - 4x + 5 = 1? Lai iegūtu izsmeļošu atbildi, mēs ievietojam polinomu atbilstošā pazīstamajā formā un aprēķinām diskriminantu. Šajā piemērā kvadrātvienādojums nav jāatrisina, jo problēmas būtība nepavisam nav tajā. Šajā gadījumā D \u003d 16 - 20 \u003d -4, kas nozīmē, ka tiešām nav sakņu.

Vietas teorēma

Kvadrātvienādojumus ir ērti atrisināt, izmantojot iepriekš minētās formulas un diskriminantu, kad kvadrātsakne tiek iegūta no pēdējās vērtības. Bet tas ne vienmēr notiek. Tomēr šajā gadījumā ir daudz veidu, kā iegūt mainīgo lielumu vērtības. Piemērs: kvadrātvienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu. Tas ir nosaukts vīrieša vārdā, kurš dzīvoja 16. gadsimta Francijā un kuram bija spoža karjera, pateicoties viņa matemātiskajam talantam un sakariem galmā. Viņa portretu var redzēt rakstā.

Modelis, ko slavenais francūzis pamanīja, bija šāds. Viņš pierādīja, ka vienādojuma sakņu summa ir vienāda ar -p=b/a, un to reizinājums atbilst q=c/a.

Tagad apskatīsim konkrētus uzdevumus.

3x2 + 21x - 54 = 0

Vienkāršības labad pārveidosim izteiksmi:

x 2 + 7x - 18 = 0

Izmantojot Vieta teorēmu, tas mums iegūs sekojošo: sakņu summa ir -7, un to reizinājums ir -18. No šejienes mēs iegūstam, ka vienādojuma saknes ir skaitļi -9 un 2. Pēc pārbaudes mēs pārliecināsimies, vai šīs mainīgo vērtības patiešām iekļaujas izteiksmē.

Parabolas grafiks un vienādojums

Kvadrātfunkcijas un kvadrātvienādojumu jēdzieni ir cieši saistīti. Piemēri tam jau ir sniegti iepriekš. Tagad apskatīsim dažas matemātiskās mīklas nedaudz sīkāk. Jebkuru aprakstītā tipa vienādojumu var attēlot vizuāli. Šādu atkarību, kas novilkta grafa formā, sauc par parabolu. Tās dažādie veidi ir parādīti zemāk esošajā attēlā.

Jebkurai parabolai ir virsotne, tas ir, punkts, no kura iziet tās zari. Ja a>0, tie sasniedz augstumu līdz bezgalībai, un, kad a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Funkciju vizuālie attēlojumi palīdz atrisināt jebkurus vienādojumus, tostarp kvadrātiskos. Šo metodi sauc par grafiku. Un mainīgā x vērtība ir abscisu koordinātas punktos, kur grafika līnija krustojas ar 0x. Virsotnes koordinātas var atrast pēc tikko dotās formulas x 0 = -b / 2a. Un, aizvietojot iegūto vērtību sākotnējā funkcijas vienādojumā, jūs varat uzzināt y 0, tas ir, parabolas virsotnes otro koordinātu, kas pieder y asij.

Parabolas zaru krustpunkts ar abscisu asi

Ir daudz piemēru ar kvadrātvienādojumu atrisināšanu, taču ir arī vispārīgi modeļi. Apsvērsim tos. Ir skaidrs, ka grafika krustošanās ar 0x asi pie a>0 ir iespējama tikai tad, ja y 0 ir negatīvas vērtības. Un par a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Citādi D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

No parabolas grafika var noteikt arī saknes. Arī otrādi ir taisnība. Tas ir, ja nav viegli iegūt kvadrātiskās funkcijas vizuālu attēlojumu, izteiksmes labo pusi varat pielīdzināt 0 un atrisināt iegūto vienādojumu. Un, zinot krustošanās punktus ar 0x asi, ir vieglāk uzzīmēt.

No vēstures

Ar vienādojumu palīdzību, kas satur kvadrātveida mainīgo, senos laikos ne tikai veica matemātiskus aprēķinus un noteica ģeometrisko formu laukumu. Senajiem ļaudīm šādi aprēķini bija nepieciešami grandioziem atklājumiem fizikas un astronomijas jomā, kā arī astroloģisko prognožu veidošanai.

Kā norāda mūsdienu zinātnieki, Babilonas iedzīvotāji bija vieni no pirmajiem, kas atrisināja kvadrātvienādojumus. Tas notika četrus gadsimtus pirms mūsu ēras parādīšanās. Protams, viņu aprēķini būtiski atšķīrās no pašlaik pieņemtajiem un izrādījās daudz primitīvāki. Piemēram, Mezopotāmijas matemātiķiem nebija ne jausmas par negatīvu skaitļu esamību. Viņiem nebija pazīstami arī citi to smalkumi, kas zināmi jebkuram mūsu laika studentam.

Iespējams, pat agrāk nekā Babilonas zinātnieki, Indijas gudrais Bodhajama ķērās pie kvadrātvienādojumu atrisināšanas. Tas notika apmēram astoņus gadsimtus pirms Kristus laikmeta parādīšanās. Tiesa, otrās kārtas vienādojumi, viņa sniegtās risināšanas metodes, bija visvienkāršākie. Bez viņa senatnē par līdzīgiem jautājumiem interesēja arī ķīniešu matemātiķi. Eiropā kvadrātvienādojumus sāka risināt tikai 13. gadsimta sākumā, bet vēlāk tos savos darbos izmantoja tādi izcili zinātnieki kā Ņūtons, Dekarts un daudzi citi.

Kvadrātvienādojums — viegli atrisināms! *Tālāk tekstā "KU". Draugi, šķiet, ka matemātikā tas var būt vienkāršāk nekā atrisināt šādu vienādojumu. Bet kaut kas man teica, ka daudziem cilvēkiem ir problēmas ar viņu. Es nolēmu redzēt, cik seansu Yandex sniedz vienam pieprasījumam mēnesī. Lūk, kas notika, apskatiet:

Ko tas nozīmē? Tas nozīmē, ka aptuveni 70 000 cilvēku mēnesī meklē šo informāciju, un šī ir vasara, un kas notiks mācību gada laikā - būs divreiz vairāk pieprasījumu. Tas nav pārsteidzoši, jo šo informāciju meklē tie puiši un meitenes, kuri jau sen beiguši skolu un gatavojas eksāmenam, un arī skolēni cenšas atsvaidzināt atmiņu.

Neskatoties uz to, ka ir daudz vietņu, kas stāsta, kā atrisināt šo vienādojumu, es nolēmu arī piedalīties un publicēt materiālu. Pirmkārt, es vēlos, lai apmeklētāji nāk uz manu vietni pēc šī pieprasījuma; otrkārt, citos rakstos, kad uzstāsies runa “KU”, iedošu saiti uz šo rakstu; treškārt, es jums pastāstīšu nedaudz vairāk par viņa risinājumu, nekā parasti tiek teikts citās vietnēs. Sāksim! Raksta saturs:

Kvadrātvienādojums ir vienādojums ar šādu formu:

kur koeficienti a,bun ar patvaļīgiem skaitļiem ar a≠0.

Skolas kursā materiāls tiek sniegts šādā formā - vienādojumu sadalīšana trīs klasēs tiek veikta nosacīti:

1. Ir divas saknes.

2. * Ir tikai viena sakne.

3. Nav sakņu. Šeit ir vērts atzīmēt, ka viņiem nav īstu sakņu

Kā tiek aprēķinātas saknes? Tikai!

Mēs aprēķinām diskriminantu. Zem šī "briesmīgā" vārda slēpjas ļoti vienkārša formula:

Sakņu formulas ir šādas:

*Šīs formulas ir jāzina no galvas.

Jūs varat nekavējoties pierakstīt un atrisināt:

Piemērs:

1. Ja D > 0, tad vienādojumam ir divas saknes.

2. Ja D = 0, tad vienādojumam ir viena sakne.

3. Ja D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Apskatīsim vienādojumu:

Šajā gadījumā, kad diskriminants ir nulle, skolas kurss saka, ka tiek iegūta viena sakne, šeit tā ir vienāda ar deviņām. Pareizi, tā ir, bet...

Šis attēlojums ir nedaudz nepareizs. Patiesībā ir divas saknes. Jā, jā, nebrīnieties, izrādās divas vienādas saknes, un, lai būtu matemātiski precīzi, tad atbildē jāraksta divas saknes:

x 1 = 3 x 2 = 3

Bet tas tā ir - neliela atkāpe. Skolā var pierakstīt un teikt, ka ir tikai viena sakne.

Tagad šāds piemērs:

Kā zināms, negatīva skaitļa sakne netiek izvilkta, tāpēc risinājuma šajā gadījumā nav.

Tas ir viss lēmumu pieņemšanas process.

Kvadrātiskā funkcija.

Lūk, kā risinājums izskatās ģeometriski. Tas ir ārkārtīgi svarīgi saprast (nākotnē vienā no rakstiem mēs detalizēti analizēsim kvadrātiskās nevienlīdzības risinājumu).

Šī ir formas funkcija:

kur x un y ir mainīgie

a, b, c ir doti skaitļi, kur a ≠ 0

Grafiks ir parabola:

Tas ir, izrādās, ka, atrisinot kvadrātvienādojumu ar "y", kas vienāds ar nulli, mēs atrodam parabolas krustošanās punktus ar x asi. Var būt divi no šiem punktiem (diskriminants ir pozitīvs), viens (diskriminants ir nulle) vai neviens (diskriminants ir negatīvs). Vairāk par kvadrātfunkciju Jūs varat apskatīt Innas Feldmanes raksts.

Apsveriet piemērus:

1. piemērs: izlemiet 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Atbilde: x 1 = 8 x 2 = -12

* Jūs varētu uzreiz sadalīt vienādojuma kreiso un labo pusi ar 2, tas ir, to vienkāršot. Aprēķini būs vienkāršāki.

2. piemērs: Izlemiet x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 – 4ac = (–22) 2 – 4∙1∙121 = 484–484 = 0

Mēs saņēmām, ka x 1 \u003d 11 un x 2 \u003d 11

Atbildē ir atļauts rakstīt x = 11.

Atbilde: x = 11

3. piemērs: Izlemiet x 2–8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 – 4ac = (–8) 2 – 4∙1, 72 = 64–288 = –224

Diskriminants ir negatīvs, reālos skaitļos risinājuma nav.

Atbilde: nav risinājuma

Diskriminants ir negatīvs. Ir risinājums!

Šeit mēs runāsim par vienādojuma atrisināšanu gadījumā, ja tiek iegūts negatīvs diskriminants. Vai jūs kaut ko zināt par kompleksajiem skaitļiem? Es šeit nestāstīšu par to, kāpēc un kur tie radušies un kāda ir to īpašā loma un nepieciešamība matemātikā, šī ir tēma lielam atsevišķam rakstam.

Kompleksā skaitļa jēdziens.

Mazliet teorijas.

Komplekss skaitlis z ir formas skaitlis

z = a + bi

kur a un b ir reāli skaitļi, i ir tā sauktā iedomātā vienība.

a+bi ir VIENS CIPARS, nevis papildinājums.

Iedomātā vienība ir vienāda ar sakni no mīnus viens:

Tagad apsveriet vienādojumu:

Iegūstiet divas konjugātas saknes.

Nepilns kvadrātvienādojums.

Apsveriet īpašus gadījumus, kad koeficients "b" vai "c" ir vienāds ar nulli (vai abi ir vienādi ar nulli). Tie ir viegli atrisināmi bez jebkādiem diskriminējošiem līdzekļiem.

1. gadījums. Koeficients b = 0.

Vienādojumam ir šāda forma:

Pārveidosim:

Piemērs:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

2. gadījums. Koeficients c = 0.

Vienādojumam ir šāda forma:

Pārveidot, faktorizēt:

* Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli.

Piemērs:

9x 2 -45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 vai x-5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

3. gadījums. Koeficienti b = 0 un c = 0.

Šeit ir skaidrs, ka vienādojuma risinājums vienmēr būs x = 0.

Koeficientu derīgās īpašības un modeļi.

Ir īpašības, kas ļauj atrisināt vienādojumus ar lieliem koeficientiem.

ax 2 + bx+ c=0 vienlīdzība

a + b+ c = 0, tad

— ja vienādojuma koeficientiem ax 2 + bx+ c=0 vienlīdzība

a+ ar =b, tad

Šīs īpašības palīdz atrisināt noteikta veida vienādojumu.

1. piemērs: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Koeficientu summa ir 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, tātad

2. piemērs: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Vienlīdzība a+ ar =b, nozīmē

Koeficientu likumsakarības.

1. Ja vienādojumā ax 2 + bx + c \u003d 0 koeficients "b" ir (a 2 +1), un koeficients "c" ir skaitliski vienāds ar koeficientu "a", tad tā saknes ir

axe 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 6x2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Ja vienādojumā ax 2 - bx + c \u003d 0 koeficients "b" ir (a 2 +1) un koeficients "c" ir skaitliski vienāds ar koeficientu "a", tad tā saknes ir

cirvis 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 15x2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ja vienādojumā ax 2 + bx - c = 0 koeficients "b" vienāds (a 2 – 1), un koeficients “c” skaitliski vienāds ar koeficientu "a", tad tā saknes ir vienādas

axe 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 = 1/17.

4. Ja vienādojumā ax 2 - bx - c \u003d 0 koeficients "b" ir vienāds ar (a 2 - 1), un koeficients c ir skaitliski vienāds ar koeficientu "a", tad tā saknes ir

cirvis 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietas teorēma.

Vietas teorēma ir nosaukta slavenā franču matemātiķa Fransuā Vietas vārdā. Izmantojot Vietas teorēmu, var izteikt patvaļīga KU sakņu summu un reizinājumu ar tā koeficientiem.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Summējot, skaitlis 14 dod tikai 5 un 9. Tās ir saknes. Ar noteiktu prasmi, izmantojot uzrādīto teorēmu, jūs varat nekavējoties mutiski atrisināt daudzus kvadrātvienādojumus.

Vietas teorēma, turklāt. ērti, jo pēc kvadrātvienādojuma atrisināšanas parastajā veidā (caur diskriminantu) var pārbaudīt iegūtās saknes. Es iesaku to darīt visu laiku.

PĀRVIETOŠANAS METODE

Ar šo metodi koeficients "a" tiek reizināts ar brīvo termiņu, it kā "pārnests" uz to, tāpēc to sauc pārsūtīšanas metode.Šo metodi izmanto, ja ir viegli atrast vienādojuma saknes, izmantojot Vietas teorēmu, un, pats galvenais, ja diskriminants ir precīzs kvadrāts.

Ja a± b+c≠ 0, tad tiek izmantota pārsūtīšanas tehnika, piemēram:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Saskaņā ar Vietas teorēmu (2) vienādojumā ir viegli noteikt, ka x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Iegūtās vienādojuma saknes jādala ar 2 (tā kā abi tika “izmesti” no x 2), iegūstam

x 1 \u003d 5 x 2 = 0,5.

Kāds ir pamatojums? Paskaties, kas notiek.

(1) un (2) vienādojuma diskriminanti ir:

Ja paskatās uz vienādojumu saknēm, tiek iegūti tikai dažādi saucēji, un rezultāts ir tieši atkarīgs no koeficienta pie x 2:

Otrās (modificētās) saknes ir 2 reizes lielākas.

Tāpēc rezultātu dalām ar 2.

*Ja ripinām trīs vienādus, tad rezultātu dalām ar 3 utt.

Atbilde: x 1 = 5 x 2 = 0,5

kv. ur-ie un eksāmens.

Par tā nozīmīgumu teikšu īsi - JĀSPĒT LĒMĒT ātri un nedomājot, sakņu un diskriminētāja formulas jāzina no galvas. Daudzi uzdevumi, kas ir daļa no USE uzdevumiem, ir saistīti ar kvadrātvienādojuma atrisināšanu (ieskaitot ģeometriskos).

Kas ir jāņem vērā!

1. Vienādojuma forma var būt "netieša". Piemēram, ir iespējams šāds ieraksts:

15+ 9x 2 - 45x = 0 vai 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 vai 15 - 5x + 10x 2 = 0.

Tas ir jāsakārto standarta formā (lai neapjuktu risinot).

2. Atcerieties, ka x ir nezināma vērtība un to var apzīmēt ar jebkuru citu burtu - t, q, p, h un citiem.

Diskriminantu, kā arī kvadrātvienādojumus sāk apgūt algebras kursā 8. klasē. Kvadrātvienādojumu var atrisināt, izmantojot diskriminantu un Vieta teorēmu. Kvadrātvienādojumu izpētes metodika, kā arī diskriminanta formula ir diezgan neveiksmīgi ieaudzināta skolēnos, tāpat kā daudz ko citu reālajā izglītībā. Tāpēc paiet mācību gadi, izglītība 9.-11.klasē aizstāj "augstāko izglītību" un visi atkal meklē - "Kā atrisināt kvadrātvienādojumu?", "Kā atrast vienādojuma saknes?", "Kā atrast diskriminantu?" un...

Diskriminējošā formula

Kvadrātvienādojuma a*x^2+bx+c=0 diskriminants D ir D=b^2–4*a*c.
Kvadrātvienādojuma saknes (atrisinājumi) ir atkarīgas no diskriminanta (D) zīmes:
D>0 - vienādojumam ir 2 dažādas reālās saknes;
D=0 — vienādojumam ir 1 sakne (2 saknes, kas sakrīt):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Diskriminanta aprēķināšanas formula ir diezgan vienkārša, tāpēc daudzas vietnes piedāvā tiešsaistes diskriminanta kalkulatoru. Mēs vēl neesam izdomājuši šāda veida skriptus, tāpēc, kas zina, kā to ieviest, lūdzu, rakstiet uz pastu Šī e-pasta adrese ir aizsargāta no mēstuļu robotiem. Lai skatītu, jums ir jābūt iespējotam JavaScript. .

Vispārīga formula kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai:

Vienādojuma saknes atrod pēc formulas
Ja kvadrātā mainīgā koeficients ir sapārots, tad ieteicams aprēķināt nevis diskriminantu, bet tā ceturto daļu
Šādos gadījumos vienādojuma saknes atrod pēc formulas

Otrs veids, kā atrast saknes, ir Vietas teorēma.

Teorēma ir formulēta ne tikai kvadrātvienādojumiem, bet arī polinomiem. To var izlasīt Vikipēdijā vai citos elektroniskajos resursos. Tomēr, lai vienkāršotu, ņemiet vērā to daļu, kas attiecas uz reducētajiem kvadrātvienādojumiem, tas ir, vienādojumiem ar formu (a=1)
Vietas formulu būtība ir tāda, ka vienādojuma sakņu summa ir vienāda ar mainīgā koeficientu, kas ņemts ar pretēju zīmi. Vienādojuma sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu. Vietas teorēmas formulām ir apzīmējums.
Vietas formulas atvasināšana ir diezgan vienkārša. Uzrakstīsim kvadrātvienādojumu pirmfaktoru izteiksmē
Kā redzat, viss ģeniālais ir vienlaikus vienkāršs. Vietas formulu ir efektīvi izmantot, ja sakņu moduļa atšķirība vai sakņu moduļa atšķirība ir 1, 2. Piemēram, šādiem vienādojumiem saskaņā ar Vietas teorēmu ir saknes.

Līdz 4 vienādojumu analīzei vajadzētu izskatīties šādi. Vienādojuma sakņu reizinājums ir 6, tāpēc saknes var būt vērtības (1, 6) un (2, 3) vai pāri ar pretēju zīmi. Sakņu summa ir 7 (mainīgā ar pretējo zīmi koeficients). No šejienes secinām, ka kvadrātvienādojuma atrisinājumi ir vienādi ar x=2; x=3.
Vieglāk ir izvēlēties vienādojuma saknes starp brīvā vārda dalītājiem, labojot to zīmi, lai izpildītu Vietas formulas. Sākumā tas šķiet grūti izdarāms, taču, praktizējot vairākus kvadrātvienādojumus, šis paņēmiens būs efektīvāks nekā diskriminanta aprēķināšana un kvadrātvienādojuma sakņu atrašana klasiskā veidā.
Kā redzat, skolas teorijai par diskriminanta izpēti un veidiem, kā atrast vienādojuma risinājumus, nav praktiskas nozīmes - "Kāpēc skolēniem ir vajadzīgs kvadrātvienādojums?", "Kāda ir diskriminanta fiziskā nozīme?".

Mēģināsim to izdomāt ko raksturo diskriminants?

Algebras gaitā viņi pēta funkcijas, funkciju izpētes shēmas un funkciju grafiku. No visām funkcijām svarīgu vietu ieņem parabola, kuras vienādojumu var uzrakstīt formā
Tātad kvadrātvienādojuma fiziskā nozīme ir parabolas nulles, tas ir, funkcijas grafika krustošanās punkti ar abscisu asi Ox
Es lūdzu jūs atcerēties parabolu īpašības, kas ir aprakstītas tālāk. Pienāks laiks kārtot eksāmenus, ieskaites vai iestājpārbaudījumus, un jūs būsiet pateicīgi par izziņas materiālu. Mainīgā zīme kvadrātā atbilst tam, vai parabolas zari grafikā ies uz augšu (a>0),

vai parabola ar zariem uz leju (a<0) .

Parabolas virsotne atrodas pa vidu starp saknēm

Diskriminanta fiziskā nozīme:

Ja diskriminants ir lielāks par nulli (D>0), parabolai ir divi krustošanās punkti ar Ox asi.
Ja diskriminants ir vienāds ar nulli (D=0), tad augšpusē esošā parabola pieskaras x asij.
Un pēdējais gadījums, kad diskriminants ir mazāks par nulli (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).