Kā atrisināt kvadrātsakni. Kā ātri iegūt kvadrātsaknes

Starp daudzajām zināšanām, kas liecina par lasītprasmi, alfabēts ir pirmajā vietā. Nākamais, tas pats "zīmes" elements, ir saskaitīšanas-reizināšanas prasmes un tām blakus, bet apgrieztā nozīmē - atņemšanas-dalīšanas aritmētiskās darbības. Tālā skolas bērnībā apgūtās prasmes uzticami kalpo dienu un nakti: TV, avīze, SMS, Un visur, kur mēs lasām, rakstām, skaitam, saskaitām, atņemam, reizinam. Un, sakiet, vai jums bieži ir nācies iesakņoties dzīvē, izņemot laukos? Piemēram, tāda izklaidējoša problēma, piemēram, kvadrātsakne no skaitļa 12345 ... Vai pulvera kolbās joprojām ir šaujampulveris? Vai mēs to varam? Jā, nav nekā vieglāka! Kur ir mans kalkulators... Un bez tā, roku rokā, vājš?

Vispirms noskaidrosim, kas tas ir - Kvadrātsakne cipariem. Vispārīgi runājot, "no skaitļa izvilkt sakni" nozīmē veikt aritmētisko darbību, kas ir pretēja paaugstināšanai līdz pakāpei - šeit jums ir pretstatu vienotība dzīvē. pieņemsim, ka kvadrāts ir skaitļa reizinājums pats par sevi, t.i., kā mācīja skolā, X * X = A vai citā apzīmējumā X2 = A, un vārdos - “X kvadrātā ir vienāds ar A”. Tad apgrieztā problēma izklausās šādi: skaitļa A kvadrātsakne ir skaitlis X, kas kvadrātā ir vienāds ar A.

Kvadrātsaknes izvilkšana

No skolas aritmētikas kursa ir zināmas aprēķinu metodes "kolonnā", kas palīdz veikt jebkurus aprēķinus, izmantojot pirmos četrus aritmētiskās darbības. Diemžēl kvadrātveida, un ne tikai kvadrātveida, šādu algoritmu saknes nepastāv. Un kā šajā gadījumā izvilkt kvadrātsakni bez kalkulatora? Pamatojoties uz kvadrātsaknes definīciju, ir tikai viens secinājums - ir jāizvēlas rezultāta vērtība, secīgi uzskaitot skaitļus, kuru kvadrāts tuvojas saknes izteiksmes vērtībai. Tikai un viss! Pirms ir pagājusi stunda vai divas, to var aprēķināt, izmantojot labi zināmo metodi, reizinot “kolonnā”, jebkurā kvadrātsaknē. Ja jums ir prasmes, pietiek ar pāris minūtēm. Pat ne pārāk progresīvs kalkulators vai datora lietotājs to izdara vienā rāvienā - progress.

Bet, ja nopietni, kvadrātsaknes aprēķins bieži tiek veikts, izmantojot “artilērijas dakšas” tehniku: vispirms tiek ņemts skaitlis, kura kvadrāts aptuveni atbilst saknes izteiksmei. Labāk, ja "mūsu kvadrāts" ir nedaudz mazāks par šo izteiksmi. Tad viņi izlabo skaitli atbilstoši savām prasmēm-izpratnei, piemēram, reizina ar divi un ... vēlreiz kvadrātā. Ja rezultāts ir lielāks par skaitli zem saknes, secīgi pielāgojot sākotnējo skaitli, pakāpeniski tuvojoties savam "kolēģim" zem saknes. Kā redzams – bez kalkulatora, tikai iespēja saskaitīt "pa stabiņu". Protams, ir daudz zinātniski pamatotu un optimizētu algoritmu kvadrātsaknes aprēķināšanai, bet "lietošanai mājās" iepriekšminētā tehnika dod 100% pārliecību par rezultātu.

Jā, gandrīz aizmirsu, lai apstiprinātu mūsu paaugstināto lasītprasmi, mēs aprēķinām kvadrātsakni no iepriekš norādītā skaitļa 12345. Mēs to darām soli pa solim:

1. Tīri intuitīvi ņemiet X=100. Aprēķināsim: X * X = 10000. Intuīcija ir virsū - rezultāts ir mazāks par 12345.

2. Mēģināsim, arī tīri intuitīvi, X = 120. Tad: X * X = 14400. Un atkal ar intuīciju secība - rezultāts ir lielāks par 12345.

3. Augstāk tiek iegūta “dakša” 100 un 120. Izvēlamies jaunus skaitļus - 110 un 115. Iegūstam attiecīgi 12100 un 13225 - dakša sašaurinās.

4. Mēs izmēģinām "varbūt" X = 111. Iegūstam X * X = 12321. Šis skaitlis jau ir diezgan tuvu 12345. Atbilstoši nepieciešamajai precizitātei “piemērošanu” var turpināt vai pārtraukt pie iegūtā rezultāta. Tas ir viss. Kā solīts - viss ļoti vienkārši un bez kalkulatora.

Diezgan daudz vēstures...

Domā par lietošanu kvadrātsaknes joprojām pitagorieši, Pitagora skolas audzēkņi un sekotāji, 800 gadus pirms mūsu ēras. un tieši tur "ieskrēja" uz jauniem atklājumiem skaitļu jomā. Un no kurienes tas radās?

1. Uzdevuma atrisinājums ar saknes izvilkšanu, dod rezultātu jaunas klases skaitļu veidā. Tos sauca par iracionāliem, citiem vārdiem sakot, par "nesaprātīgiem", jo. tie nav rakstīti kā pilns skaitlis. Klasiskākais šāda veida piemērs ir kvadrātsakne no 2. Šis gadījums atbilst kvadrāta diagonāles aprēķinam, kura mala ir vienāda ar 1 - šeit tas ir Pitagora skolas ietekme. Izrādījās, ka trīsstūrī ar ļoti specifisku malu vienības izmēru hipotenūzai ir izmērs, kas izteikts ar skaitli, kuram "nav gala". Tātad parādījās matemātikā

2. Zināms, ka izrādījās, ka š matemātiskā darbība satur vēl vienu nozveju - izvelkot sakni, mēs nezinām, kurš skaitļa kvadrāts, pozitīvs vai negatīvs, ir saknes izteiksme. Šī nenoteiktība, vienas darbības dubultais rezultāts, tiek pierakstīts.

Ar šo parādību saistīto problēmu izpēte ir kļuvusi par matemātikas virzienu, ko sauc par kompleksā mainīgā teoriju, kam matemātiskajā fizikā ir liela praktiska nozīme.

Interesanti, ka saknes apzīmējumu - radikāls - savā "Universālajā aritmētikā" izmantoja tas pats visuresošais I. Ņūtons, bet tieši tā. moderns izskats Saknes ieraksts ir zināms kopš 1690. gada no francūža Rolla grāmatas "Algebras ceļvedis".

Matemātika radās, kad cilvēks apzinājās sevi un sāka pozicionēt sevi kā autonomu pasaules vienību. Vēlme izmērīt, salīdzināt, aprēķināt to, kas jūs ieskauj – tas ir pamatā vienai no mūsdienu fundamentālajām zinātnēm. Sākumā tie bija elementārās matemātikas gabali, kas ļāva saistīt skaitļus ar to fiziskajām izpausmēm, vēlāk secinājumus sāka pasniegt tikai teorētiski (to abstraktuma dēļ), bet pēc kāda laika, kā izteicās viens zinātnieks, " matemātika sasniedza sarežģītības griestus, kad visi skaitļi. Jēdziens "kvadrātsakne" parādījās laikā, kad to varēja viegli pamatot ar empīriskiem datiem, pārsniedzot aprēķinu plānu.

Kā tas viss sākās

Pirmā saknes pieminēšana, kas uz Šis brīdis apzīmēts kā √, tika ierakstīts Babilonijas matemātiķu rakstos, kuri lika pamatus mūsdienu aritmētikai. Protams, tie izskatījās nedaudz līdzīgi pašreizējai formai - to gadu zinātnieki vispirms izmantoja lielgabarīta tabletes. Bet otrajā tūkstošgadē pirms mūsu ēras. e. viņi izdomāja aptuvenu aprēķina formulu, kas parādīja, kā ņemt kvadrātsakni. Zemāk esošajā fotoattēlā ir redzams akmens, uz kura Babilonijas zinātnieki izgrieza izvades procesu √2, un tas izrādījās tik pareizs, ka neatbilstība atbildē tika konstatēta tikai desmitajā zīmē aiz komata.

Turklāt sakne tika izmantota, ja bija nepieciešams atrast trijstūra malu, ja ir zināmas pārējās divas. Nu, risinot kvadrātvienādojumus, nav iespējams izvairīties no saknes iegūšanas.

Paralēli babiloniešu darbiem raksta tēma tika pētīta arī ķīniešu darbā "Matemātika deviņās grāmatās", un senie grieķi nonāca pie secinājuma, ka jebkurš skaitlis, no kura sakne netiek izvilkta bez atlikuma, dod iracionālu rezultātu. .

Šī termina izcelsme ir saistīta ar skaitļa attēlojumu arābu valodā: senie zinātnieki uzskatīja, ka patvaļīga skaitļa kvadrāts izaug no saknes kā augs. Latīņu valodā šis vārds izklausās kā radix (var izsekot modelim - viss, kam ir "saknes" semantiskā slodze, ir līdzskaņi, vai tas būtu redīsi vai išiass).

Nākamo paaudžu zinātnieki izvēlējās šo ideju, apzīmējot to kā Rx. Piemēram, 15. gadsimtā, lai norādītu, ka kvadrātsakne ir ņemta no patvaļīga skaitļa a, viņi rakstīja R 2 a. Pierasts moderns izskats"ķeksītis" √ parādījās tikai 17. gadsimtā, pateicoties Renē Dekartam.

Mūsu dienas

Matemātiski y kvadrātsakne ir skaitlis z, kura kvadrāts ir y. Citiem vārdiem sakot, z 2 =y ir ekvivalents √y=z. Tomēr šī definīcija attiecas tikai uz aritmētisko sakni, jo tā nozīmē izteiksmes nenegatīvu vērtību. Citiem vārdiem sakot, √y=z, kur z ir lielāks vai vienāds ar 0.

Kopumā, kas ir derīga algebriskās saknes noteikšanai, izteiksmes vērtība var būt pozitīva vai negatīva. Tādējādi, pateicoties tam, ka z 2 =y un (-z) 2 =y, mums ir: √y=±z vai √y=|z|.

Tā kā, attīstoties zinātnei, mīlestība pret matemātiku ir tikai pieaugusi, pieķeršanās tai izpausmes ir dažādas, kas nav izteiktas sausos aprēķinos. Piemēram, līdzās tādiem amizantiem notikumiem kā Pī diena tiek svinēti arī kvadrātsaknes svētki. Tos svin deviņas reizes simts gados, un tos nosaka pēc šāda principa: cipariem, kas secībā apzīmē dienu un mēnesi, jābūt gada kvadrātsaknei. Jā, iekšā nākamreizŠie svētki tiks svinēti 2016. gada 4. aprīlī.

Kvadrātsaknes īpašības uz lauka R

Gandrīz visām matemātiskajām izteiksmēm ir ģeometrisks pamats, šis liktenis nav pagājis un √y, kas tiek definēta kā kvadrāta mala ar laukumu y.

Kā atrast skaitļa sakni?

Ir vairāki aprēķinu algoritmi. Vienkāršākais, bet tajā pašā laikā diezgan apgrūtinošs ir parastais aritmētiskais aprēķins, kas ir šāds:

1) no skaitļa, kura sakne mums ir vajadzīga, pēc kārtas tiek atņemti nepāra skaitļi - līdz izvades atlikums ir mazāks par atņemto vai pāra nulle. Kustību skaits galu galā kļūs par vēlamo skaitli. Piemēram, aprēķinot kvadrātsakni no 25:

Nākamais nepāra skaitlis ir 11, atlikušais ir: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Šādos gadījumos ir Taylor sērijas paplašinājums:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , kur n ņem vērtības no 0 līdz

+∞ un |y|≤1.

Funkcijas z=√y grafiskais attēlojums

Aplūkosim elementāru funkciju z=√y reālo skaitļu laukā R, kur y ir lielāks par nulli vai vienāds ar to. Viņas diagramma izskatās šādi:

Līkne aug no sākuma un obligāti šķērso punktu (1; 1).

Funkcijas z=√y īpašības reālo skaitļu laukā R

1. Aplūkojamās funkcijas definīcijas apgabals ir intervāls no nulles līdz plus bezgalībai (nulle ir iekļauta).

2. Aplūkojamās funkcijas vērtību diapazons ir intervāls no nulles līdz plus bezgalībai (atkal ir iekļauta nulle).

3. Funkcija iegūst minimālo vērtību (0) tikai punktā (0; 0). Maksimālās vērtības nav.

4. Funkcija z=√y nav ne pāra, ne nepāra.

5. Funkcija z=√y nav periodiska.

6. Funkcijas z=√y grafikam ir tikai viens krustpunkts ar koordinātu asīm: (0; 0).

7. Funkcijas z=√y grafika krustpunkts ir arī šīs funkcijas nulle.

8. Funkcija z=√y nepārtraukti pieaug.

9. Funkcijai z=√y ir tikai pozitīvas vērtības, tāpēc tās grafiks aizņem pirmo koordinātu leņķi.

Funkcijas z=√y parādīšanas iespējas

Matemātikā, lai atvieglotu sarežģītu izteiksmju aprēķināšanu, dažreiz tiek izmantota kvadrātsaknes rakstīšanas jaudas forma: √y=y 1/2. Šī opcija ir ērta, piemēram, paaugstinot funkciju līdz pakāpei: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Šī metode ir arī labs attēlojums diferencēšanai ar integrāciju, jo, pateicoties tai, kvadrātsakne tiek attēlota ar parastu jaudas funkciju.

Un programmēšanā simbola √ aizstāšana ir burtu kombinācija sqrt.

Ir vērts atzīmēt, ka šajā jomā kvadrātsakne ir ļoti pieprasīta, jo tā ir daļa no vairuma aprēķiniem nepieciešamo ģeometrisko formulu. Pats skaitīšanas algoritms ir diezgan sarežģīts un ir balstīts uz rekursiju (funkciju, kas izsauc sevi).

Kvadrātsakne kompleksajā laukā C

Kopumā šī raksta tēma stimulēja komplekso skaitļu lauka C atklāšanu, jo matemātiķus vajāja jautājums par pāra pakāpes saknes iegūšanu no negatīva skaitļa. Tā radās iedomātā vienība i, kurai raksturīga ļoti interesanta īpašība: tās kvadrāts ir -1. Pateicoties tam, kvadrātvienādojumi un ar negatīvu diskriminantu ieguva risinājumu. C valodā kvadrātsaknei ir svarīgas tās pašas īpašības kā R, vienīgais ir tas, ka saknes izteiksmes ierobežojumi tiek noņemti.

Kvadrātveida zemes gabala platība ir 81 dm². Atrodi viņa pusi. Pieņemsim, ka kvadrāta malas garums ir X decimetri. Tad zemes gabala platība ir X² kvadrātdecimetri. Tā kā pēc stāvokļa šī platība ir 81 dm², tad X² = 81. Kvadrāta malas garums ir pozitīvs skaitlis. Pozitīvs skaitlis, kura kvadrāts ir 81, ir skaitlis 9. Atrisinot uzdevumu, bija jāatrod skaitlis x, kura kvadrāts ir 81, t.i., jāatrisina vienādojums X² = 81. Šim vienādojumam ir divas saknes: x 1 = 9 un x 2 \u003d - 9, jo 9² \u003d 81 un (- 9)² \u003d 81. Gan skaitļus 9, gan - 9 sauc par skaitļa 81 kvadrātsaknēm.

Ņemiet vērā, ka viena no kvadrātsaknēm X= 9 ir pozitīvs skaitlis. To sauc par 81 aritmētisko kvadrātsakni un apzīmē ar √81, tātad √81 = 9.

Skaitļa aritmētiskā kvadrātsakne bet ir nenegatīvs skaitlis, kura kvadrāts ir vienāds ar bet.

Piemēram, skaitļi 6 un -6 ir kvadrātsaknes no 36. Skaitlis 6 ir aritmētiskā kvadrātsakne no 36, jo 6 ir nenegatīvs skaitlis un 6² = 36. Skaitlis -6 nav aritmētiskā sakne.

Skaitļa aritmētiskā kvadrātsakne bet apzīmē šādi: √ bet.

Zīmi sauc par aritmētisko kvadrātsaknes zīmi; bet sauc par saknes izteiksmi. Izteiksme √ bet lasīt kā šis: skaitļa aritmētiskā kvadrātsakne bet. Piemēram, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Gadījumos, kad ir skaidrs, ka mēs runājam par aritmētisko sakni viņi īsi saka: "kvadrātsakne no bet«.

Skaitļa kvadrātsaknes atrašanu sauc par kvadrātsaknes ņemšanu. Šī darbība ir apgriezta kvadrātā.

Jebkurš skaitlis var būt kvadrātā, bet ne katrs skaitlis var būt kvadrātsaknes. Piemēram, nav iespējams izvilkt kvadrātsakni no skaitļa - 4. Ja tāda pastāvēja, tad, apzīmējot to ar burtu X, mēs iegūtu nepareizu vienādību x² \u003d - 4, jo kreisajā pusē ir nenegatīvs skaitlis, bet labajā pusē ir negatīvs skaitlis.

Izteiksme √ bet jēga ir tikai tad, kad a ≥ 0. Kvadrātsaknes definīciju var īsi uzrakstīt šādi: √ a ≥ 0, (√bet)² = bet. Vienlīdzība (√ bet)² = bet derīgs a ≥ 0. Tādējādi, lai pārliecinātos, ka kvadrātsakne no nenegatīva skaitļa bet vienāds b, t.i., ka √ bet =b, jums jāpārbauda, vai ir izpildīti šādi divi nosacījumi: b ≥ 0, b² = bet.

Daļas kvadrātsakne

Aprēķināsim. Ņemiet vērā, ka √25 = 5, √36 = 6, un pārbaudiet, vai vienādība ir spēkā.

Jo un , tad vienlīdzība ir patiesa. Tātad, .

Teorēma: Ja bet≥ 0 un b> 0, tas ir, daļdaļas sakne vienāds ar sakni no skaitītāja, kas dalīts ar saucēja sakni. Ir jāpierāda, ka: un .

Kopš √ bet≥0 un √ b> 0, tad .

Ar īpašību palielināt daļu līdz pakāpei un noteikt kvadrātsakni teorēma ir pierādīta. Apskatīsim dažus piemērus.

Aprēķiniet , saskaņā ar pārbaudīto teorēmu .

Otrais piemērs: pierādiet to , ja bet ≤ 0, b < 0. .

Vēl viens piemērs: Aprēķināt .

Kvadrātsaknes transformācija

Izņemot reizinātāju no zem saknes zīmes. Lai tiek dota izteiksme. Ja bet≥ 0 un b≥ 0, tad, izmantojot teorēmu par produkta sakni, mēs varam rakstīt:

Šāda transformācija tiek saukta par saknes zīmes faktorēšanu. Apsveriet piemēru;

Aprēķināt plkst X= 2. Tiešā aizstāšana X= 2 radikālajā izteiksmē noved pie sarežģītiem aprēķiniem. Šos aprēķinus var vienkāršot, ja vispirms noņemam faktorus zem saknes zīmes: . Tagad aizstājot x = 2, mēs iegūstam:.

Tātad, izņemot faktoru no saknes zīmes, radikāļu izteiksme tiek attēlota kā reizinājums, kurā viens vai vairāki faktori ir nenegatīvu skaitļu kvadrāti. Pēc tam tiek piemērota saknes produkta teorēma un tiek ņemta katra faktora sakne. Apsveriet piemēru: Vienkāršojiet izteiksmi A = √8 + √18 - 4√2, izņemot faktorus no zem saknes zīmes pirmajos divos terminos, mēs iegūstam:. Mēs uzsveram, ka vienlīdzība spēkā tikai tad, kad bet≥ 0 un b≥ 0. ja bet < 0, то .

Diezgan bieži, risinot problēmas, mēs saskaramies ar lieliem skaitļiem, no kuriem mums ir jāizņem Kvadrātsakne. Daudzi skolēni nolemj, ka tā ir kļūda, un sāk risināt visu piemēru. To nekādā gadījumā nedrīkst darīt! Tam ir divi iemesli:

Saknes no lieli cipari faktiski rodas uzdevumos. Īpaši tekstā;
Ir algoritms, pēc kura šīs saknes tiek uzskatītas gandrīz verbāli.

Mēs šodien apsvērsim šo algoritmu. Varbūt dažas lietas jums šķitīs nesaprotamas. Bet, ja jūs pievērsīsiet uzmanību šai nodarbībai, jūs iegūsit visspēcīgāko ieroci pret kvadrātsaknes.

Tātad algoritms:

Ierobežojiet vēlamo sakni virs un zemāk līdz 10 reizinājumiem. Tādējādi mēs samazināsim meklēšanas diapazonu līdz 10 skaitļiem;
No šiem 10 skaitļiem atsijājiet tos, kas noteikti nevar būt saknes. Rezultātā paliks 1-2 cipari;
Kvadrātiņā šos 1-2 skaitļus. Tas no tiem, kuru kvadrāts ir vienāds ar sākotnējo skaitli, būs sakne.

Pirms šī algoritma piemērošanas praksē, apskatīsim katru atsevišķu soli.

Sakņu ierobežojums

Pirmkārt, mums ir jānoskaidro, starp kuriem skaitļiem atrodas mūsu sakne. Ir ļoti vēlams, lai skaitļi būtu desmit reizes:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Mēs iegūstam skaitļu sēriju:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Ko šie skaitļi mums dod? Tas ir vienkārši: mēs iegūstam robežas. Ņemiet, piemēram, skaitli 1296. Tas atrodas no 900 līdz 1600. Tāpēc tā sakne nevar būt mazāka par 30 un lielāka par 40:

[Attēla paraksts]

Tāpat ir ar jebkuru citu skaitli, no kura var atrast kvadrātsakni. Piemēram, 3364:

[Attēla paraksts]

Tādējādi nesaprotama skaitļa vietā mēs iegūstam ļoti konkrētu diapazonu, kurā atrodas sākotnējā sakne. Lai vēl vairāk sašaurinātu meklēšanas jomu, pārejiet uz otro darbību.

Acīmredzami lieku skaitļu likvidēšana

Tātad, mums ir 10 skaitļi - saknes kandidāti. Mēs tos saņēmām ļoti ātri, bez sarežģītas domāšanas un reizināšanas kolonnā. Ir laiks virzīties tālāk.

Tici vai nē, tagad mēs samazinām kandidātu skaitu līdz diviem – un atkal bez sarežģītiem aprēķiniem! pietiekami zināt īpašs noteikums. Te tas ir:

Kvadrāta pēdējais cipars ir atkarīgs tikai no pēdējā cipara oriģinālais numurs.

Citiem vārdiem sakot, pietiek paskatīties uz kvadrāta pēdējo ciparu - un mēs uzreiz sapratīsim, kur beidzas sākotnējais skaitlis.

Ir tikai 10 cipari, uz kuriem var stāvēt pēdējā vieta. Mēģināsim noskaidrot, par ko tie pārvēršas, kad tie ir kvadrātā. Apskatiet tabulu:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Šī tabula ir vēl viens solis ceļā uz saknes aprēķināšanu. Kā redzat, skaitļi otrajā rindā izrādījās simetriski attiecībā pret pieci. Piemēram:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Kā redzat, abos gadījumos pēdējais cipars ir vienāds. Un tas nozīmē, ka, piemēram, 3364 sakne noteikti beidzas ar 2 vai 8. No otras puses, mēs atceramies ierobežojumu no iepriekšējās rindkopas. Mēs iegūstam:

[Attēla paraksts]

Sarkanie kvadrāti parāda, ka mēs vēl nezinām šo skaitli. Bet galu galā sakne atrodas no 50 līdz 60, uz kuras ir tikai divi skaitļi, kas beidzas ar 2 un 8:

[Attēla paraksts]

Tas ir viss! No visām iespējamām saknēm mēs atstājām tikai divus variantus! Un tas ir grūtākajā gadījumā, jo pēdējais cipars var būt 5 vai 0. Un tad būs vienīgais kandidāts uz saknēm!

Galīgie aprēķini

Tātad mums ir palikuši 2 kandidātu numuri. Kā jūs zināt, kura no tām ir sakne? Atbilde ir acīmredzama: kvadrātā abus skaitļus. Tas, kas ir kvadrātā, dos sākotnējo skaitli un būs sakne.

Piemēram, skaitlim 3364 mēs atradām divus kandidātu skaitļus: 52 un 58. Salīdzināsim tos kvadrātā:

52 2 \u003d (50 + 2) 2 \u003d 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 \u003d (60 - 2) 2 \u003d 3600 - 2 60 2 + 4 = 3364.

Tas ir viss! Izrādījās, ka sakne ir 58! Tajā pašā laikā, lai vienkāršotu aprēķinus, es izmantoju summas un starpības kvadrātu formulu. Pateicoties tam, jums pat nebija jāreizina skaitļi kolonnā! Tas ir vēl viens aprēķinu optimizācijas līmenis, bet, protams, tas ir pilnīgi neobligāts :)

Sakņu aprēķinu piemēri

Teorija, protams, laba. Bet pārbaudīsim to praksē.

[Attēla paraksts]

Vispirms noskaidrosim, starp kuriem skaitļiem atrodas skaitlis 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Tagad apskatīsim pēdējo numuru. Tas ir vienāds ar 6. Kad tas notiek? Tikai tad, ja sakne beidzas ar 4 vai 6. Mēs iegūstam divus skaitļus:

Atliek katru skaitli kvadrātā un salīdzināt ar oriģinālu:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

labi! Pirmais kvadrāts izrādījās vienāds ar sākotnējo skaitli. Tātad šī ir sakne.

Uzdevums. Aprēķiniet kvadrātsakni:
[Attēla paraksts]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Apskatīsim pēdējo numuru:

1369 → 9;
33; 37.

Izlīdzināsim kvadrātā:

33 2 \u003d (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 \u003d 1089 ≠ 1369;
37 2 \u003d (40 - 3) 2 \u003d 1600 - 2 40 3 + 9 = 1369.

Šeit ir atbilde: 37.

Uzdevums. Aprēķiniet kvadrātsakni:
[Attēla paraksts]

Mēs ierobežojam skaitu:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Apskatīsim pēdējo numuru:

2704 → 4;
52; 58.

Izlīdzināsim kvadrātā:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Saņēmām atbildi: 52. Otrais cipars vairs nebūs jāliek kvadrātā.

Uzdevums. Aprēķiniet kvadrātsakni:
[Attēla paraksts]

Mēs ierobežojam skaitu:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Apskatīsim pēdējo numuru:

4225 → 5;
65.

Kā redzat, pēc otrā soļa paliek tikai viena iespēja: 65. Šī ir vēlamā sakne. Bet tomēr pieņemsim to kvadrātā un pārbaudīsim:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Viss ir pareizi. Mēs pierakstām atbildi.

Secinājums

Diemžēl nav labāk. Apskatīsim iemeslus. Ir divi no tiem:

Ir aizliegts izmantot kalkulatorus jebkurā parastā matemātikas eksāmenā, neatkarīgi no tā, vai tas ir GIA vai vienotais valsts eksāmens. Un par kalkulatora nēsāšanu klasē viņus var viegli izmest no eksāmena.
Neesiet kā stulbi amerikāņi. Kas nav kā saknes - tās nevar pievienot divus pirmskaitļus. Un, ieraugot frakcijas, viņi parasti kļūst histēriski.

Šajā rakstā mēs iepazīstināsim skaitļa saknes jēdziens. Mēs rīkosimies secīgi: sāksim ar kvadrātsakni, no tās pāriesim uz aprakstu kuba sakne, pēc tam saknes jēdzienu vispārinām, definējot n-tās pakāpes sakni. Tajā pašā laikā mēs iepazīstināsim ar definīcijām, apzīmējumiem, sniegsim sakņu piemērus un sniegsim nepieciešamos paskaidrojumus un komentārus.

Kvadrātsakne, aritmētiskā kvadrātsakne

Lai saprastu skaitļa saknes definīciju un jo īpaši kvadrātsakni, ir jābūt . Šajā brīdī mēs bieži saskarsimies ar skaitļa otro pakāpi – skaitļa kvadrātu.

Sāksim ar kvadrātsaknes definīcijas.

Definīcija

Kvadrātsakne no a ir skaitlis, kura kvadrāts ir .

Lai atvestu kvadrātsakņu piemēri, ņemiet vairākus skaitļus, piemēram, 5 , -0,3 , 0,3 , 0 un salieciet tos kvadrātā, iegūstam attiecīgi skaitļus 25 , 0,09 , 0,09 un 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25, (-0,3) 2 = (-0,3) (-0,3) = 0,09, (0,3) 2 = 0,3 0,3 = 0,09 un 0 2 =0 0 = 0). Tad saskaņā ar iepriekš minēto definīciju 5 ir kvadrātsakne no 25, −0,3 un 0,3 ir kvadrātsakne no 0,09, un 0 ir kvadrātsakne no nulles.

Jāņem vērā, ka neeksistē nevienam skaitlim a , kura kvadrāts ir vienāds ar a . Proti, jebkuram negatīvam skaitlim a nav neviena reālais skaitlis b , kura kvadrāts būtu vienāds ar a . Patiešām, vienādība a=b 2 nav iespējama nevienam negatīvam a , jo b 2 ir nenegatīvs skaitlis jebkuram b . Pa šo ceļu, reālo skaitļu kopā nav negatīva skaitļa kvadrātsaknes. Citiem vārdiem sakot, reālo skaitļu kopā negatīva skaitļa kvadrātsakne nav definēta un tai nav nozīmes.

Tas noved pie loģiska jautājuma: “Vai jebkuram nenegatīvam a ir kvadrātsakne no a”? Atbilde ir jā. Šī fakta pamatojumu var uzskatīt par konstruktīvu metodi, ko izmanto kvadrātsaknes vērtības noteikšanai.

Tad rodas šāds loģisks jautājums: "Kāds ir dotā nenegatīvā skaitļa a visu kvadrātsakņu skaits - viens, divi, trīs vai pat vairāk"? Šeit ir atbilde uz to: ja a ir nulle, tad vienīgā kvadrātsakne no nulles ir nulle; ja a ir kāds pozitīvs skaitlis, tad kvadrātsakņu skaits no skaitļa a ir vienāds ar divi, un saknes ir . Pamatosim to.

Sāksim ar gadījumu a=0 . Vispirms parādīsim, ka nulle patiešām ir nulles kvadrātsakne. Tas izriet no acīmredzamās vienādības 0 2 =0·0=0 un kvadrātsaknes definīcijas.

Tagad pierādīsim, ka 0 ir vienīgā kvadrātsakne no nulles. Izmantosim pretējo metodi. Pieņemsim, ka ir kāds skaitlis b, kas atšķiras no nulles un ir nulles kvadrātsakne. Tad ir jāizpilda nosacījums b 2 =0, kas nav iespējams, jo jebkurai b 2 izteiksmei, kas nav vienāda ar nulli, vērtība ir pozitīva. Mēs esam nonākuši pie pretrunas. Tas pierāda, ka 0 ir vienīgā kvadrātsakne no nulles.

Pāriesim pie gadījumiem, kad a ir pozitīvs skaitlis. Iepriekš mēs teicām, ka vienmēr ir kvadrātsakne no jebkura nenegatīva skaitļa, pieņemsim, ka b ir a kvadrātsakne. Pieņemsim, ka ir skaitlis c , kas ir arī kvadrātsakne no a . Tad pēc kvadrātsaknes definīcijas ir spēkā vienādības b 2 =a un c 2 =a, no kā izriet, ka b 2 −c 2 =a−a=0, bet tā kā b 2 −c 2 =( b–c) ( b+c) , tad (b–c) (b+c)=0 . Rezultātā spēkā esošā vienlīdzība darbību īpašības ar reāliem skaitļiem iespējams tikai tad, ja b–c=0 vai b+c=0 . Tādējādi skaitļi b un c ir vienādi vai pretēji.

Ja pieņemam, ka ir skaitlis d, kas ir vēl viena kvadrātsakne no skaitļa a, tad, spriežot līdzīgi jau dotajiem, tiek pierādīts, ka d ir vienāds ar skaitli b vai skaitli c. Tātad pozitīva skaitļa kvadrātsakņu skaits ir divi, un kvadrātsaknes ir pretēji skaitļi.

Darba ērtībai ar kvadrātsaknēm negatīvā sakne atdala no pozitīvā. Šim nolūkam tas ievieš aritmētiskās kvadrātsaknes definīcija.

Definīcija

Nenegatīva skaitļa aritmētiskā kvadrātsakne a ir nenegatīvs skaitlis, kura kvadrāts ir vienāds ar .

Skaitļa a aritmētiskajai kvadrātsaknei tiek pieņemts apzīmējums. Zīmi sauc par aritmētisko kvadrātsaknes zīmi. To sauc arī par radikāļu zīmi. Tāpēc daļēji var dzirdēt gan "sakne", gan "radikāls", kas nozīmē vienu un to pašu objektu.

Tiek izsaukts skaitlis zem aritmētiskās kvadrātsaknes zīmes saknes numurs, un izteiksme zem saknes zīmes - radikāla izpausme, savukārt termins "radikālais skaitlis" bieži tiek aizstāts ar "radikāla izteiksme". Piemēram, apzīmējumā skaitlis 151 ir radikāls skaitlis, bet apzīmējumā izteiksme a ir radikāls izteiksme.

Lasot, vārds "aritmētika" bieži tiek izlaists, piemēram, ieraksts tiek lasīts kā "kvadrātsakne no septiņām komata divdesmit deviņām simtdaļām". Vārds "aritmētika" tiek izrunāts tikai tad, kad viņi vēlas uzsvērt, ka mēs runājam par skaitļa pozitīvo kvadrātsakni.

Ņemot vērā ieviesto apzīmējumu, no aritmētiskās kvadrātsaknes definīcijas izriet, ka jebkuram nenegatīvam skaitlim a .

Pozitīva skaitļa kvadrātsaknes raksta, izmantojot aritmētisko kvadrātsaknes zīmi kā un . Piemēram, 13 kvadrātsaknes ir un . Nulles aritmētiskā kvadrātsakne ir nulle, tas ir, . Negatīviem skaitļiem a mēs nepiešķirsim nozīmi ierakstiem, kamēr mēs neizpētīsim kompleksie skaitļi. Piemēram, izteicieni un ir bezjēdzīgi.

Pamatojoties uz kvadrātsaknes definīciju, tiek pierādītas kvadrātsakņu īpašības, kuras bieži izmanto praksē.

Noslēdzot šo apakšnodaļu, atzīmējam, ka skaitļa kvadrātsaknes ir formas x 2 =a atrisinājumi attiecībā pret mainīgo x .

kuba sakne no

Kuba saknes definīcija skaitļa a ir dota līdzīgi kvadrātsaknes definīcijai. Tikai tā pamatā ir skaitļa, nevis kvadrāta kuba jēdziens.

Definīcija

Kuba sakne no a tiek izsaukts skaitlis, kura kubs ir vienāds ar a.

Atvedīsim piemēri kubu saknes . Lai to izdarītu, ņemiet vairākus skaitļus, piemēram, 7 , 0 , −2/3 , un sagrieziet tos kubā: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Pēc tam, pamatojoties uz kuba saknes definīciju, mēs varam teikt, ka skaitlis 7 ir 343 kuba sakne, 0 ir nulles kuba sakne un −2/3 ir −8/27 kuba sakne.

Var parādīt, ka skaitļa a kubsakne atšķirībā no kvadrātsaknes pastāv vienmēr, un ne tikai nenegatīvam a, bet arī jebkuram reālam skaitlim a. Lai to izdarītu, varat izmantot to pašu metodi, ko mēs minējām, pētot kvadrātsakni.

Turklāt no dotā skaitļa a ir tikai viena kubsakne. Pierādīsim pēdējo apgalvojumu. Lai to izdarītu, aplūkojiet trīs gadījumus atsevišķi: a ir pozitīvs skaitlis, a=0 un a ir negatīvs skaitlis.

Ir viegli parādīt, ka pozitīvam a kuba sakne nevar būt ne negatīva, ne nulle. Patiešām, pieņemsim, ka b ir a kuba sakne, tad pēc definīcijas mēs varam uzrakstīt vienādību b 3 =a . Ir skaidrs, ka šī vienādība nevar būt patiesa negatīvam b un b=0, jo šajos gadījumos b 3 =b·b·b būs attiecīgi negatīvs skaitlis vai nulle. Tātad pozitīva skaitļa a kuba sakne ir pozitīvs skaitlis.

Tagad pieņemsim, ka bez skaitļa b ir vēl viena kuba sakne no skaitļa a, apzīmēsim to ar c. Tad c 3 =a. Tāpēc b 3 −c 3 =a−a=0 , bet b 3 - c 3 = (b - c) (b 2 + b c + c 2)(šī ir saīsinātā reizināšanas formula kubu atšķirība), no kurienes (b–c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Iegūtā vienādība ir iespējama tikai tad, ja b–c=0 vai b 2 +b c+c 2 =0 . No pirmās vienādības mums ir b=c , bet otrajai vienādībai nav atrisinājumu, jo tās kreisā puse ir pozitīvs skaitlis jebkuriem pozitīviem skaitļiem b un c kā trīs pozitīvo vārdu b 2 , b c un c 2 summa. Tas pierāda pozitīva skaitļa a kuba saknes unikalitāti.

Ja a=0, vienīgā a kuba sakne ir nulle. Patiešām, ja pieņemsim, ka ir skaitlis b , kas ir nulles kuba sakne no nulles, tad ir jāpastāv vienādībai b 3 =0, kas ir iespējama tikai tad, ja b=0 .

Par negatīvo a var strīdēties līdzīgi kā par pozitīvo a. Pirmkārt, mēs parādām, ka negatīva skaitļa kuba sakne nevar būt vienāda ar pozitīvu skaitli vai nulli. Otrkārt, mēs pieņemam, ka ir otra negatīva skaitļa kuba sakne, un parādām, ka tā noteikti sakritīs ar pirmo.

Tātad jebkuram reālajam skaitļam a vienmēr ir kubsakne un tikai viens.

Dosim aritmētiskā kuba saknes definīcija.

Definīcija

Nenegatīva skaitļa aritmētiskā kuba sakne a tiek izsaukts nenegatīvs skaitlis, kura kubs ir vienāds ar a.

Nenegatīva skaitļa a aritmētiskā kuba sakne tiek apzīmēta kā , zīmi sauc par aritmētiskā kuba saknes zīmi, skaitli 3 šajā apzīmējumā sauc saknes indikators. Skaitlis zem saknes zīmes ir saknes numurs, izteiksme zem saknes zīmes ir radikāla izpausme.

Lai gan aritmētiskā kuba sakne ir definēta tikai nenegatīviem skaitļiem a, ir ērti izmantot arī ierakstus, kuros negatīvi skaitļi atrodas zem aritmētiskā kuba saknes zīmes. Mēs tos sapratīsim šādi: , kur a ir pozitīvs skaitlis. Piemēram, .

Par kubu sakņu īpašībām mēs runāsim vispārīgajos sakņu rakstu īpašībās.

Kuba saknes vērtības aprēķināšanu sauc par kuba saknes izvilkšanu, šī darbība ir apskatīta rakstā sakņu iegūšana: metodes, piemēri, risinājumi.

Noslēdzot šo apakšnodaļu, sakām, ka a kuba sakne ir formas x 3 =a risinājums.

N. sakne, n aritmētiskā sakne

Mēs vispārinām saknes jēdzienu no skaitļa - mēs ieviešam n-tās saknes noteikšana par n.

Definīcija

n-tā sakne no a ir skaitlis, kura n-tā pakāpe ir vienāda ar a.

No šīs definīcijas ir skaidrs, ka pirmās pakāpes sakne no skaitļa a ir pats skaitlis a, jo, pētot pakāpi ar naturālo rādītāju, mēs ņēmām 1 = a.

Iepriekš mēs aplūkojām īpašos n-tās pakāpes saknes gadījumus n=2 un n=3 - kvadrātsakni un kubsakni. Tas ir, kvadrātsakne ir otrās pakāpes sakne, bet kubsakne ir trešās pakāpes sakne. Lai izpētītu n-tās pakāpes saknes n=4, 5, 6, ..., ir ērti tās iedalīt divās grupās: pirmā grupa - pāra grādu saknes (tas ir, n=4, 6). , 8, ...), otrā grupa - saknes nepāra pakāpes (tas ir, ja n=5, 7, 9, ... ). Tas ir saistīts ar faktu, ka pāra grādu saknes ir līdzīgas kvadrātsaknei, bet nepāra grādu saknes ir līdzīgas kubiksaknei. Tiksimies ar tiem galā.

Mēs sākam ar saknēm, kuru pilnvaras ir pāra skaitļi 4, 6, 8, ... Kā jau teicām, tie ir analogi kvadrātsaknei no a. Tas nozīmē, ka jebkura pāra pakāpes sakne no skaitļa a pastāv tikai nenegatīvam a. Turklāt, ja a=0, tad a sakne ir unikāla un vienāda ar nulli, un ja a>0, tad no skaitļa a ir divas pāra pakāpes saknes, un tās ir pretēji skaitļi.

Pamatosim pēdējo apgalvojumu. Lai b ir pāra pakāpes sakne (mēs to apzīmējam kā 2 m, kur m ir daži dabiskais skaitlis) no numura a . Pieņemsim, ka ir skaitlis c — vēl 2 m sakne no a . Tad b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Bet mēs zinām formu b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2), tad (b–c) (b+c) (b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2)=0. No šīs vienādības izriet, ka b−c=0 , vai b+c=0 , vai b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2 =0. Pirmās divas vienādības nozīmē, ka skaitļi b un c ir vienādi vai b un c ir pretēji. Un pēdējā vienādība ir spēkā tikai b=c=0 , jo tās kreisajā pusē ir izteiksme, kas nav negatīva jebkuram b un c kā nenegatīvu skaitļu summa.

Kas attiecas uz n-tās pakāpes saknēm nepāra n, tās ir līdzīgas kuba saknei. Tas ir, jebkuras nepāra pakāpes sakne no skaitļa a pastāv jebkuram reālam skaitlim a, un noteiktam skaitlim a tā ir unikāla.

Nepāra pakāpes 2·m+1 saknes unikalitāte no skaitļa a tiek pierādīta pēc analoģijas ar kuba saknes unikalitātes pierādījumu no a . Tikai šeit vienlīdzības vietā a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) formas b 2 m+1 −c 2 m+1 = vienādība (b–c) (b 2 m + b 2 m–1 c+b 2 m–2 c 2 +… + c 2 m). Izteicienu pēdējā iekavās var pārrakstīt kā b 2 m + c 2 m + b c (b 2 m-2 + c 2 m-2 + b c (b 2 m–4 + c 2 m–4 + b c (…+ (b 2 + c 2 + b c)))). Piemēram, m=2 mums ir b 5 - c 5 = (b - c) (b 4 + b 3 c + b 2 c 2 + b c 3 + c 4)= (b–c) (b 4 + c 4 + b c ( b 2 + c 2 + b c)). Ja a un b abi ir pozitīvi vai abi negatīvi, to reizinājums ir pozitīvs skaitlis, tad izteiksme b 2 +c 2 +b·c , kas atrodas iekavās augstākajai ligzdošanas pakāpei, ir pozitīva kā pozitīvā summa. cipariem. Tagad, secīgi pārejot uz iepriekšējo ligzdošanas pakāpju izteiksmēm iekavās, mēs pārliecināmies, ka tās ir pozitīvas arī kā pozitīvo skaitļu summas. Rezultātā iegūstam, ka vienādība b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b–c) (b 2 m + b 2 m–1 c+b 2 m–2 c 2 +… +c 2 m)=0 iespējams tikai tad, ja b–c=0, tas ir, ja skaitlis b ir vienāds ar skaitli c .

Ir pienācis laiks nodarboties ar n-tās pakāpes sakņu apzīmējumu. Šim nolūkam tas tiek dots n-tās pakāpes aritmētiskās saknes noteikšana.

Definīcija

Nenegatīva skaitļa n-tās pakāpes aritmētiskā sakne a tiek izsaukts nenegatīvs skaitlis, kura n-tā pakāpe ir vienāda ar a.