Kā uzrakstīt kvadrātvienādojumu. tiešsaistes kalkulators

Vienkāršākā veidā. Lai to izdarītu, izņemiet z no iekavām. Jūs iegūstat: z(az + b) = 0. Koeficientus var uzrakstīt: z=0 un az + b = 0, jo abi var rezultēties ar nulli. Apzīmējumā az + b = 0 mēs pārvietojam otro pa labi ar citu zīmi. No šejienes mēs iegūstam z1 = 0 un z2 = -b/а. Tās ir oriģināla saknes.

Ja ir nepilnīgs vienādojums formā az² + c \u003d 0, šajā gadījumā tos atrod, vienkārši pārnesot brīvo terminu uz vienādojuma labo pusi. Mainiet arī tā zīmi. Jūs saņemat ierakstu az² \u003d -s. Izteikt z² = -c/a. Paņemiet sakni un pierakstiet divus risinājumus - kvadrātsaknes pozitīvo un negatīvo vērtību.

Piezīme

Ja vienādojumā ir daļskaitļu koeficienti, reiziniet visu vienādojumu ar atbilstošo koeficientu, lai atbrīvotos no daļām.

Kvadrātvienādojumu risināšanas zināšanas ir nepieciešamas gan skolēniem, gan studentiem, dažkārt tas var palīdzēt pieaugušajam ikdienas dzīvē. Ir vairākas īpašas lēmumu pieņemšanas metodes.

Kvadrātvienādojumu risināšana

Kvadrātvienādojums formā a*x^2+b*x+c=0. Koeficients x ir vēlamais mainīgais, a, b, c - skaitliskie koeficienti. Atcerieties, ka "+" zīme var mainīties uz "-" zīmi.

Lai atrisinātu šo vienādojumu, jāizmanto Vieta teorēma vai jāatrod diskriminants. Visizplatītākais veids ir atrast diskriminantu, jo dažām a, b, c vērtībām nav iespējams izmantot Vieta teorēmu.

Lai atrastu diskriminantu (D), jāuzraksta formula D=b^2 - 4*a*c. D vērtība var būt lielāka par nulli, mazāka vai vienāda ar to. Ja D ir lielāks vai mazāks par nulli, tad būs divas saknes, ja D = 0, tad paliek tikai viena sakne, precīzāk, varam teikt, ka D šajā gadījumā ir divas līdzvērtīgas saknes. Formulā aizstāj zināmos koeficientus a, b, c un aprēķini vērtību.

Kad esat atradis diskriminantu, lai atrastu x, izmantojiet formulas: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a kur sqrt ir funkcija, ar ko iegūst kvadrātsakni no dotā skaitļa. Pēc šo izteiksmju aprēķināšanas jūs atradīsit divas sava vienādojuma saknes, pēc kurām vienādojums tiek uzskatīts par atrisinātu.

Ja D ir mazāks par nulli, tad tam joprojām ir saknes. Skolā šī sadaļa praktiski netiek pētīta. Universitātes studentiem ir jāzina, ka zem saknes parādās negatīvs skaitlis. Mēs no tā atbrīvojamies, atdalot iedomāto daļu, tas ir, -1 zem saknes vienmēr ir vienāds ar iedomāto elementu "i", kas tiek reizināts ar sakni ar tādu pašu pozitīvo skaitli. Piemēram, ja D=sqrt(-20), pēc transformācijas iegūst D=sqrt(20)*i. Pēc šīs transformācijas vienādojuma risinājums tiek reducēts līdz tādam pašam sakņu atradumam, kā aprakstīts iepriekš.

Vietas teorēma sastāv no x(1) un x(2) vērtību atlases. Tiek izmantoti divi identiski vienādojumi: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Turklāt ļoti svarīgs punkts ir zīme koeficienta b priekšā, atcerieties, ka šī zīme ir pretēja vienādojuma zīmei. No pirmā acu uzmetiena šķiet, ka aprēķināt x(1) un x(2) ir ļoti vienkārši, taču risinot nāksies saskarties ar faktu, ka skaitļi būs jāizvēlas precīzi.

Elementi kvadrātvienādojumu risināšanai

Saskaņā ar matemātikas noteikumiem dažus var faktorēt: (a + x (1)) * (bx (2)) \u003d 0, ja jums izdevās pārveidot šo kvadrātvienādojumu šādā veidā, izmantojot matemātiskās formulas, tad jūtieties brīvi pieraksti atbildi. x(1) un x(2) būs vienādi ar blakus esošajiem koeficientiem iekavās, bet ar pretēju zīmi.

Tāpat neaizmirstiet par nepilnīgiem kvadrātvienādojumiem. Iespējams, ka jums trūkst dažu terminu, ja tā, tad visi tā koeficienti ir vienkārši vienādi ar nulli. Ja pirms x^2 vai x nav nekas, tad koeficienti a un b ir vienādi ar 1.

Kvadrātvienādojums — viegli atrisināms! *Tālāk tekstā "KU". Draugi, šķiet, ka matemātikā tas var būt vienkāršāk nekā atrisināt šādu vienādojumu. Bet kaut kas man teica, ka daudziem cilvēkiem ir problēmas ar viņu. Es nolēmu redzēt, cik seansu Yandex sniedz vienam pieprasījumam mēnesī. Lūk, kas notika, apskatiet:

Ko tas nozīmē? Tas nozīmē, ka aptuveni 70 000 cilvēku mēnesī meklē šo informāciju, un šī ir vasara, un kas notiks mācību gada laikā - būs divreiz vairāk pieprasījumu. Tas nav pārsteidzoši, jo šo informāciju meklē tie puiši un meitenes, kuri jau sen beiguši skolu un gatavojas eksāmenam, un arī skolēni cenšas atsvaidzināt atmiņu.

Neskatoties uz to, ka ir daudz vietņu, kas stāsta, kā atrisināt šo vienādojumu, es nolēmu arī piedalīties un publicēt materiālu. Pirmkārt, es vēlos, lai apmeklētāji nāk uz manu vietni pēc šī pieprasījuma; otrkārt, citos rakstos, kad uzstāsies runa “KU”, iedošu saiti uz šo rakstu; treškārt, es jums pastāstīšu nedaudz vairāk par viņa risinājumu, nekā parasti tiek teikts citās vietnēs. Sāksim! Raksta saturs:

Kvadrātvienādojums ir vienādojums ar šādu formu:

kur koeficienti a,bun ar patvaļīgiem skaitļiem ar a≠0.

Skolas kursā materiāls tiek sniegts šādā formā - vienādojumu sadalīšana trīs klasēs tiek veikta nosacīti:

1. Ir divas saknes.

2. * Ir tikai viena sakne.

3. Nav sakņu. Šeit ir vērts atzīmēt, ka viņiem nav īstu sakņu

Kā tiek aprēķinātas saknes? Vienkārši!

Mēs aprēķinām diskriminantu. Zem šī "briesmīgā" vārda slēpjas ļoti vienkārša formula:

Sakņu formulas ir šādas:

*Šīs formulas ir jāzina no galvas.

Jūs varat nekavējoties pierakstīt un atrisināt:

Piemērs:

1. Ja D > 0, tad vienādojumam ir divas saknes.

2. Ja D = 0, tad vienādojumam ir viena sakne.

3. Ja D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Apskatīsim vienādojumu:

Šajā gadījumā, kad diskriminants ir nulle, skolas kurss saka, ka tiek iegūta viena sakne, šeit tā ir vienāda ar deviņām. Pareizi, tā ir, bet...

Šis attēlojums ir nedaudz nepareizs. Patiesībā ir divas saknes. Jā, jā, nebrīnieties, izrādās divas vienādas saknes, un, lai būtu matemātiski precīzi, tad atbildē jāraksta divas saknes:

x 1 = 3 x 2 = 3

Bet tas tā ir - neliela atkāpe. Skolā var pierakstīt un teikt, ka ir tikai viena sakne.

Tagad šāds piemērs:

Kā zināms, negatīva skaitļa sakne netiek izvilkta, tāpēc risinājuma šajā gadījumā nav.

Tas ir viss lēmumu pieņemšanas process.

Kvadrātiskā funkcija.

Lūk, kā risinājums izskatās ģeometriski. Tas ir ārkārtīgi svarīgi saprast (nākotnē vienā no rakstiem mēs detalizēti analizēsim kvadrātiskās nevienlīdzības risinājumu).

Šī ir formas funkcija:

kur x un y ir mainīgie

a, b, c ir doti skaitļi, kur a ≠ 0

Grafiks ir parabola:

Tas ir, izrādās, ka, atrisinot kvadrātvienādojumu ar "y", kas vienāds ar nulli, mēs atrodam parabolas krustošanās punktus ar x asi. Var būt divi no šiem punktiem (diskriminants ir pozitīvs), viens (diskriminants ir nulle) vai neviens (diskriminants ir negatīvs). Vairāk par kvadrātfunkciju Jūs varat apskatīt Innas Feldmanes raksts.

Apsveriet piemērus:

1. piemērs: izlemiet 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Atbilde: x 1 = 8 x 2 = -12

* Jūs varētu uzreiz sadalīt vienādojuma kreiso un labo pusi ar 2, tas ir, to vienkāršot. Aprēķini būs vienkāršāki.

2. piemērs: Atrisināt x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 – 4ac = (–22) 2 – 4∙1∙121 = 484–484 = 0

Mēs saņēmām, ka x 1 \u003d 11 un x 2 \u003d 11

Atbildē ir atļauts rakstīt x = 11.

Atbilde: x = 11

3. piemērs: Atrisināt x 2–8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 – 4ac = (–8) 2 – 4∙1, 72 = 64–288 = –224

Diskriminants ir negatīvs, reālos skaitļos risinājuma nav.

Atbilde: nav risinājuma

Diskriminants ir negatīvs. Ir risinājums!

Šeit mēs runāsim par vienādojuma atrisināšanu gadījumā, ja tiek iegūts negatīvs diskriminants. Vai jūs kaut ko zināt par kompleksajiem skaitļiem? Es šeit nestāstīšu par to, kāpēc un kur tie radušies un kāda ir to īpašā loma un nepieciešamība matemātikā, šī ir tēma lielam atsevišķam rakstam.

Kompleksā skaitļa jēdziens.

Mazliet teorijas.

Komplekss skaitlis z ir formas skaitlis

z = a + bi

kur a un b ir reāli skaitļi, i ir tā sauktā iedomātā vienība.

a+bi ir VIENS CIPARS, nevis papildinājums.

Iedomātā vienība ir vienāda ar sakni no mīnus viens:

Tagad apsveriet vienādojumu:

Iegūstiet divas konjugātas saknes.

Nepilns kvadrātvienādojums.

Apsveriet īpašus gadījumus, kad koeficients "b" vai "c" ir vienāds ar nulli (vai abi ir vienādi ar nulli). Tie ir viegli atrisināmi bez jebkādiem diskriminējošiem līdzekļiem.

1. gadījums. Koeficients b = 0.

Vienādojumam ir šāda forma:

Pārveidosim:

Piemērs:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

2. gadījums. Koeficients c = 0.

Vienādojumam ir šāda forma:

Pārveidot, faktorizēt:

* Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli.

Piemērs:

9x 2 -45x = 0 => 9x (x-5) =0 => x = 0 vai x-5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

3. gadījums. Koeficienti b = 0 un c = 0.

Šeit ir skaidrs, ka vienādojuma risinājums vienmēr būs x = 0.

Koeficientu derīgās īpašības un modeļi.

Ir īpašības, kas ļauj atrisināt vienādojumus ar lieliem koeficientiem.

betx 2 + bx+ c=0 vienlīdzība

a + b+ c = 0, tad

— ja vienādojuma koeficientiem betx 2 + bx+ c=0 vienlīdzība

a+ ar =b, tad

Šīs īpašības palīdz atrisināt noteikta veida vienādojumu.

1. piemērs: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Koeficientu summa ir 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, tātad

2. piemērs: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Vienlīdzība a+ ar =b, nozīmē

Koeficientu likumsakarības.

1. Ja vienādojumā ax 2 + bx + c \u003d 0 koeficients "b" ir (a 2 +1), un koeficients "c" ir skaitliski vienāds ar koeficientu "a", tad tā saknes ir

axe 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 6x2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Ja vienādojumā ax 2 - bx + c \u003d 0 koeficients "b" ir (a 2 +1) un koeficients "c" ir skaitliski vienāds ar koeficientu "a", tad tā saknes ir

cirvis 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 15x2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ja vienādojumā ax 2 + bx - c = 0 koeficients "b" vienāds (a 2 – 1), un koeficients “c” skaitliski vienāds ar koeficientu "a", tad tā saknes ir vienādas

axe 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 = 1/17.

4. Ja vienādojumā ax 2 - bx - c \u003d 0 koeficients "b" ir vienāds ar (a 2 - 1), un koeficients c ir skaitliski vienāds ar koeficientu "a", tad tā saknes ir

cirvis 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Piemērs. Apsveriet vienādojumu 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietas teorēma.

Vietas teorēma ir nosaukta slavenā franču matemātiķa Fransuā Vietas vārdā. Izmantojot Vietas teorēmu, var izteikt patvaļīga KU sakņu summu un reizinājumu ar tā koeficientiem.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Summējot, skaitlis 14 dod tikai 5 un 9. Tās ir saknes. Ar noteiktu prasmi, izmantojot uzrādīto teorēmu, jūs varat nekavējoties mutiski atrisināt daudzus kvadrātvienādojumus.

Vietas teorēma, turklāt. ērti, jo pēc kvadrātvienādojuma atrisināšanas parastajā veidā (caur diskriminantu) var pārbaudīt iegūtās saknes. Es iesaku to darīt visu laiku.

PĀRVIETOŠANAS METODE

Ar šo metodi koeficients "a" tiek reizināts ar brīvo termiņu, it kā "pārnests" uz to, tāpēc to sauc pārsūtīšanas metode.Šo metodi izmanto, ja ir viegli atrast vienādojuma saknes, izmantojot Vietas teorēmu, un, pats galvenais, ja diskriminants ir precīzs kvadrāts.

Ja bet± b+c≠ 0, tad tiek izmantota pārsūtīšanas tehnika, piemēram:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Saskaņā ar Vietas teorēmu (2) vienādojumā ir viegli noteikt, ka x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Iegūtās vienādojuma saknes jādala ar 2 (tā kā abi tika “izmesti” no x 2), iegūstam

x 1 \u003d 5 x 2 = 0,5.

Kāds ir pamatojums? Paskaties, kas notiek.

(1) un (2) vienādojuma diskriminanti ir:

Ja paskatās uz vienādojumu saknēm, tiek iegūti tikai dažādi saucēji, un rezultāts ir tieši atkarīgs no koeficienta pie x 2:

Otrās (modificētās) saknes ir 2 reizes lielākas.

Tāpēc rezultātu dalām ar 2.

*Ja ripinām trīs vienādus, tad rezultātu dalām ar 3 utt.

Atbilde: x 1 = 5 x 2 = 0,5

kv. ur-ie un eksāmens.

Par tā nozīmi teikšu īsi - JĀSPĒT LĒMĒT ātri un nedomājot, sakņu formulas un diskriminanta jāzina no galvas. Daudzi uzdevumi, kas ir daļa no USE uzdevumiem, ir saistīti ar kvadrātvienādojuma atrisināšanu (ieskaitot ģeometriskos).

Kas ir jāņem vērā!

1. Vienādojuma forma var būt "netieša". Piemēram, ir iespējams šāds ieraksts:

15+ 9x 2 - 45x = 0 vai 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 vai 15 - 5x + 10x 2 = 0.

Tas ir jāsakārto standarta formā (lai neapjuktu risinot).

2. Atcerieties, ka x ir nezināma vērtība un to var apzīmēt ar jebkuru citu burtu - t, q, p, h un citiem.

Kopjevskas lauku vidusskola

10 veidi, kā atrisināt kvadrātvienādojumus

Vadītāja: Patrikejeva Gaļina Anatoljevna,

matemātikas skolotājs

s.Kopyevo, 2007. gads

1. Kvadrātvienādojumu attīstības vēsture

1.1 Kvadrātvienādojumi senajā Babilonā

1.2. Kā Diofants sastādīja un atrisināja kvadrātvienādojumus

1.3 Kvadrātvienādojumi Indijā

1.4. Kvadrātvienādojumi al-Khwarizmi

1.5 Kvadrātvienādojumi Eiropā XIII - XVII gs

1.6. Par Vietas teorēmu

2. Kvadrātvienādojumu risināšanas metodes

Secinājums

Literatūra

1. Kvadrātvienādojumu attīstības vēsture

1.1 Kvadrātvienādojumi senajā Babilonā

Nepieciešamību risināt ne tikai pirmās, bet arī otrās pakāpes vienādojumus senatnē radīja nepieciešamība risināt problēmas, kas saistītas ar militāra rakstura zemes platību un zemes darbu atrašanu, kā arī astronomijas un pati matemātika. Kvadrātvienādojumi spēja atrisināt aptuveni 2000. gadu pirms mūsu ēras. e. babilonieši.

Izmantojot mūsdienu algebrisko apzīmējumu, varam teikt, ka viņu ķīļraksta tekstos papildus nepilnīgajiem ir, piemēram, pilnīgi kvadrātvienādojumi:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Šo vienādojumu risināšanas noteikums, kas minēts babiloniešu tekstos, būtībā sakrīt ar mūsdienu, taču nav zināms, kā babilonieši nonāca pie šī noteikuma. Gandrīz visi līdz šim atrastie ķīļrakstu teksti sniedz tikai problēmas ar recepšu veidā norādītiem risinājumiem, bez norādes par to, kā tie atrasti.

Neskatoties uz augsto algebras attīstības līmeni Babilonijā, ķīļraksta tekstos trūkst negatīvā skaitļa jēdziena un vispārīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metožu.

1.2. Kā Diofants sastādīja un atrisināja kvadrātvienādojumus.

Diofanta aritmētika nesatur sistemātisku algebras izklāstu, bet tajā ir sistemātiska uzdevumu virkne, kam pievienoti skaidrojumi un atrisinātas, sastādot dažādu pakāpju vienādojumus.

Sastādot vienādojumus, Diofants prasmīgi izvēlas nezināmos, lai vienkāršotu risinājumu.

Šeit, piemēram, ir viens no viņa uzdevumiem.

11. uzdevums."Atrodiet divus skaitļus, zinot, ka to summa ir 20 un reizinājums ir 96"

Diofants argumentē šādi: no uzdevuma nosacījuma izriet, ka vēlamie skaitļi nav vienādi, jo, ja tie būtu vienādi, tad to reizinājums būtu vienāds nevis ar 96, bet ar 100. Tādējādi viens no tiem būs lielāks par puse no to summas, ti. 10+x, otrs ir mazāks, t.i. 10. gadi. Atšķirība starp tām 2x .

Līdz ar to vienādojums:

(10 + x) (10 – x) = 96

100 x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

No šejienes x = 2. Viens no vēlamajiem cipariem ir 12 , cits 8 . Risinājums x = -2 jo Diofants neeksistē, jo grieķu matemātika zināja tikai pozitīvus skaitļus.

Ja šo uzdevumu atrisināsim, izvēloties kādu no vēlamajiem skaitļiem kā nezināmo, tad nonāksim pie vienādojuma risinājuma

y(20 - y) = 96,

y 2 — 20 g + 96 = 0. (2)

Ir skaidrs, ka Diofants vienkāršo risinājumu, izvēloties vēlamo skaitļu starpību kā nezināmo; viņam izdodas problēmu reducēt līdz nepilnīga kvadrātvienādojuma (1) atrisināšanai.

1.3 Kvadrātvienādojumi Indijā

Kvadrātvienādojumu problēmas jau ir atrodamas astronomiskajā traktā "Aryabhattam", ko 499. gadā sastādīja indiešu matemātiķis un astronoms Arjabhata. Cits Indijas zinātnieks Brahmagupta (7. gadsimts) izklāstīja vispārīgo noteikumu kvadrātvienādojumu risināšanai, kas reducēti līdz vienai kanoniskai formai:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

(1) vienādojumā koeficienti, izņemot bet, var būt arī negatīvs. Brahmaguptas valdīšana būtībā sakrīt ar mūsējo.

Senajā Indijā publiskas sacensības sarežģītu problēmu risināšanā bija izplatītas. Vienā no senajām indiešu grāmatām par šādām sacensībām teikts: “Kā saule ar savu spožumu pārspēj zvaigznes, tā izglītots cilvēks publiskās sanāksmēs, ierosinot un risinot algebriskas problēmas.” Uzdevumi bieži bija ietērpti poētiskā formā.

Šeit ir viena no slavenā Indijas XII gadsimta matemātiķa problēmām. Bhaskara.

13. uzdevums.

“Smaigs pērtiķu ganāmpulks Un divpadsmit vīnogulāju augos...

Apēdis spēku, izklaidējies. Viņi sāka lēkt, karājoties ...

Astotā daļa no tiem kvadrātā Cik daudz pērtiķu bija tur,

Izklaidējies pļavā. Pastāsti man, šajā ganāmpulkā?

Bhaskaras risinājums norāda, ka viņš zināja par kvadrātvienādojumu sakņu divvērtību (3. att.).

13. uzdevumam atbilstošais vienādojums ir:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara raksta aizsegā:

x 2 - 64x = -768

un, lai šī vienādojuma kreiso pusi pabeigtu līdz kvadrātam, viņš pievieno abām pusēm 32 2 , iegūstot:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4. Kvadrātvienādojumi al-Khorezmi

Al-Khorezmi algebriskais traktāts sniedz lineāro un kvadrātvienādojumu klasifikāciju. Autors uzskaita 6 vienādojumu veidus, izsakot tos šādi:

1) "Kvadrāti ir vienādi ar saknēm", t.i. cirvis 2 + c = b X.

2) "Kvadrāti ir vienādi ar skaitli", t.i. cirvis 2 = s.

3) "Saknes ir vienādas ar skaitli", t.i. ah = s.

4) "Kvadrāti un skaitļi ir vienādi ar saknēm", t.i. cirvis 2 + c = b X.

5) "Kvadrāti un saknes ir vienādi ar skaitli", t.i. ah 2+ bx = s.

6) "Saknes un skaitļi ir vienādi ar kvadrātiem", t.i. bx + c \u003d cirvis 2.

Al-Khwarizmi, kurš izvairījās no negatīvu skaitļu lietošanas, katra šī vienādojuma nosacījumi ir saskaitīšana, nevis atņemšana. Šajā gadījumā vienādojumi, kuriem nav pozitīvu atrisinājumu, acīmredzami netiek ņemti vērā. Autore ieskicē šo vienādojumu risināšanas metodes, izmantojot al-jabr un al-muqabala metodes. Viņa lēmumi, protams, pilnībā nesakrīt ar mūsējiem. Nemaz nerunājot par to, ka tas ir tīri retorisks, jāatzīmē, ka, piemēram, risinot nepilnu pirmā tipa kvadrātvienādojumu

al-Khorezmi, tāpat kā visi matemātiķi pirms 17. gadsimta, neņem vērā nulles risinājumu, iespējams, tāpēc, ka tam nav nozīmes konkrētās praktiskās problēmās. Atrisinot pilnīgus kvadrātvienādojumus, al-Khorezmi nosaka risināšanas noteikumus un pēc tam ģeometriskos pierādījumus, izmantojot konkrētus skaitliskus piemērus.

14. uzdevums.“Kvadrāts un skaitlis 21 ir vienādi ar 10 saknēm. Atrodi sakni" (pieņemot, ka vienādojuma sakne ir x 2 + 21 = 10x).

Autora risinājums ir apmēram šāds: sadaliet sakņu skaitu uz pusēm, iegūstiet 5, reiziniet ar 5, no reizinājuma atņemiet 21, paliek 4. Ņem sakni no 4, jūs saņemat 2. Atņemiet 2 no 5, jūs iegūstiet 3, šī būs vēlamā sakne. Vai arī pievienojiet 2 pret 5, kas dos 7, šī arī ir sakne.

Traktāts al - Khorezmi ir pirmā grāmata, kas nonākusi pie mums, kurā sistemātiski ir izklāstīta kvadrātvienādojumu klasifikācija un dotas to atrisināšanas formulas.

1.5. Kvadrātvienādojumi Eiropā XIII - XVII gadsimtiem

Formulas kvadrātvienādojumu risināšanai pēc al-Khorezmi modeļa Eiropā pirmo reizi tika izklāstītas "Abaka grāmatā", ko 1202. gadā uzrakstīja itāļu matemātiķis Leonardo Fibonači. Šis apjomīgais darbs, kas atspoguļo matemātikas ietekmi gan islāma valstīs, gan Senajā Grieķijā, izceļas gan ar izklāsta pilnīgumu, gan skaidrību. Autors patstāvīgi izstrādāja dažus jaunus problēmu risināšanas algebriskos piemērus un bija pirmais Eiropā, kas piegāja negatīvu skaitļu ieviešanai. Viņa grāmata veicināja algebrisko zināšanu izplatību ne tikai Itālijā, bet arī Vācijā, Francijā un citās Eiropas valstīs. Daudzi uzdevumi no "Abakusa grāmatas" pārgāja gandrīz visās Eiropas 16. - 17. gadsimta mācību grāmatās. un daļēji XVIII.

Vispārējais noteikums kvadrātvienādojumu risināšanai, kas samazināts līdz vienai kanoniskai formai:

x 2+ bx = ar,

visām iespējamām koeficientu zīmju kombinācijām b , no Eiropā tikai 1544. gadā formulēja M. Stīfels.

Vietai ir vispārīgs kvadrātvienādojuma risināšanas formulas atvasinājums, bet Vieta atpazina tikai pozitīvas saknes. Itāļu matemātiķi Tartaglia, Cardano, Bombelli bija vieni no pirmajiem 16. gadsimtā. Papildus pozitīvajām un negatīvajām saknēm ņemiet vērā. Tikai XVII gadsimtā. Pateicoties Žirara, Dekarta, Ņūtona un citu zinātnieku darbam, kvadrātvienādojumu atrisināšanas veids iegūst mūsdienīgu izskatu.

1.6. Par Vietas teorēmu

Teorēmu, kas izsaka attiecības starp kvadrātvienādojuma koeficientiem un tā saknēm ar Vietas vārdu, viņš pirmo reizi formulēja 1591. gadā šādi: “Ja B + D reizināts ar A - A 2 , vienāds BD, tad A vienāds IN un vienāds D ».

Lai saprastu Vietu, tas ir jāatceras BET, tāpat kā jebkurš patskanis, viņam nozīmēja nezināmo (mūsu X), patskaņi IN, D- nezināmā koeficienti. Mūsdienu algebras valodā Vietas formulējums iepriekš nozīmē: ja

(+ b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Izsakot sakarību starp vienādojumu saknēm un koeficientiem ar vispārīgām formulām, kas rakstītas, izmantojot simbolus, Viets noteica vienveidību vienādojumu risināšanas metodēs. Tomēr Vietas simbolika joprojām ir tālu no tās mūsdienu formas. Viņš neatzina negatīvus skaitļus, un tāpēc, risinot vienādojumus, viņš ņēma vērā tikai gadījumus, kad visas saknes ir pozitīvas.

2. Kvadrātvienādojumu risināšanas metodes

Kvadrātvienādojumi ir pamats, uz kura balstās majestātiskā algebras celtne. Kvadrātvienādojumus plaši izmanto trigonometrisko, eksponenciālo, logaritmisko, iracionālo un transcendentālo vienādojumu un nevienādību risināšanā. Mēs visi zinām, kā atrisināt kvadrātvienādojumus no skolas (8. klase) līdz skolas beigšanai.

Vienkārši. Pēc formulām un skaidriem vienkāršiem noteikumiem. Pirmajā posmā

nepieciešams dot doto vienādojumu standarta formā, t.i. uz skatu:

Ja vienādojums jums jau ir dots šajā formā, jums nav jāveic pirmais posms. Vissvarīgākais ir pareizi

noteikt visus koeficientus bet, b Un c.

Formula kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai.

Izteicienu zem saknes zīmes sauc diskriminējoša . Kā redzat, lai atrastu x, mēs

izmantot tikai a, b un c. Tie. izredzes no kvadrātvienādojums. Vienkārši uzmanīgi ievietojiet

vērtības a, b un cšajā formulā un saskaitiet. Aizstāt ar viņu zīmes!

Piemēram, vienādojumā:

bet =1; b = 3; c = -4.

Aizstājiet vērtības un ierakstiet:

Piemērs gandrīz atrisināts:

Šī ir atbilde.

Biežākās kļūdas ir apjukums ar vērtību pazīmēm a, b Un no. Drīzāk ar aizstāšanu

negatīvas vērtības sakņu aprēķināšanas formulā. Šeit detalizētā formula saglabā

ar konkrētiem cipariem. Ja ir problēmas ar aprēķiniem, dariet to!

Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina šāds piemērs:

Šeit a = -6; b = -5; c = -1

Mēs visu krāsojam detalizēti, rūpīgi, neko nepalaižot garām ar visām zīmēm un iekavām:

Bieži kvadrātvienādojumi izskatās nedaudz atšķirīgi. Piemēram, šādi:

Tagad ņemiet vērā praktiskos paņēmienus, kas ievērojami samazina kļūdu skaitu.

Pirmā uzņemšana. Pirms tam neesiet slinks kvadrātvienādojuma atrisināšana izveidojiet to standarta formā.

Ko tas nozīmē?

Pieņemsim, ka pēc jebkādām transformācijām jūs saņemat šādu vienādojumu:

Nesteidzieties rakstīt sakņu formulu! Jūs gandrīz noteikti sajaucat izredzes a, b un c.

Pareizi izveidojiet piemēru. Vispirms x kvadrātā, tad bez kvadrāta, tad brīvais dalībnieks. Kā šis:

Atbrīvojieties no mīnusa. Kā? Mums jāreizina viss vienādojums ar -1. Mēs iegūstam:

Un tagad jūs varat droši pierakstīt formulu saknēm, aprēķināt diskriminantu un pabeigt piemēru.

Izlemiet paši. Jums vajadzētu beigties ar saknēm 2 un -1.

Otrā pieņemšana. Pārbaudi savas saknes! Autors Vietas teorēma.

Lai atrisinātu dotos kvadrātvienādojumus, t.i. ja koeficients

x2+bx+c=0,

tadx 1 x 2 =c

x1 +x2 =−b

Pilnīgam kvadrātvienādojumam, kurā a≠1:

x 2+bx+c=0,

dala visu vienādojumu ar bet:

→ →

kur x 1 Un x 2 - vienādojuma saknes.

Uzņemšana trešā. Ja jūsu vienādojumā ir daļskaitļu koeficienti, atbrīvojieties no daļām! Pavairot

vienādojums kopsaucējam.

Izvade. Praktiski padomi:

1. Pirms risināšanas kvadrātvienādojumu ievietojam standarta formā, izveidojam to taisnība.

2. Ja kvadrātā x priekšā ir negatīvs koeficients, mēs to likvidējam, visu reizinot

vienādojumi -1.

3. Ja koeficienti ir daļskaitļi, mēs izslēdzam daļas, reizinot visu vienādojumu ar atbilstošo

faktors.

4. Ja x kvadrātā ir tīrs, tā koeficients ir vienāds ar vienu, risinājumu var viegli pārbaudīt ar

Šī tēma sākumā var šķist sarežģīta daudzo ne pārāk vienkāršo formulu dēļ. Pašos kvadrātvienādojumos ir ne tikai gari ieraksti, bet arī saknes tiek atrastas, izmantojot diskriminantu. Pavisam ir trīs jaunas formulas. Nav ļoti viegli atcerēties. Tas ir iespējams tikai pēc biežas šādu vienādojumu atrisināšanas. Tad visas formulas pašas atcerēsies.

Kvadrātvienādojuma vispārīgs skats

Šeit tiek piedāvāts to precīzs apzīmējums, kad vispirms tiek uzrakstīts lielākais grāds un pēc tam dilstošā secībā. Bieži vien ir situācijas, kad termini atšķiras. Tad labāk ir pārrakstīt vienādojumu mainīgā lieluma pakāpes dilstošā secībā.

Ieviesīsim notāciju. Tie ir parādīti zemāk esošajā tabulā.

Ja mēs pieņemam šos apzīmējumus, visi kvadrātvienādojumi tiek reducēti uz šādu apzīmējumu.

Turklāt koeficients a ≠ 0. Apzīmēsim šo formulu ar skaitli viens.

Kad vienādojums ir dots, nav skaidrs, cik sakņu būs atbildē. Jo vienmēr ir iespējama viena no trim iespējām:

• šķīdumam būs divas saknes;
• atbilde būs viens skaitlis;
• Vienādojumam vispār nav sakņu.

Un, lai gan lēmums netiek pieņemts līdz galam, ir grūti saprast, kura no iespējām konkrētajā gadījumā izkritīs.

Kvadrātvienādojumu ierakstu veidi

Uzdevumiem var būt dažādi ieraksti. Tie ne vienmēr izskatīsies pēc kvadrātvienādojuma vispārējās formulas. Dažreiz tai pietrūks daži termini. Tas, kas tika rakstīts iepriekš, ir pilnīgs vienādojums. Ja noņemat tajā otro vai trešo terminu, jūs iegūstat kaut ko citu. Šos ierakstus sauc arī par kvadrātvienādojumiem, tikai nepilnīgiem.

Turklāt var pazust tikai tie termini, kuriem koeficienti "b" un "c". Skaitlis "a" nekādā gadījumā nevar būt vienāds ar nulli. Jo šajā gadījumā formula pārvēršas par lineāru vienādojumu. Formulas vienādojumu nepilnīgajai formai būs šādas:

Tātad ir tikai divi veidi, papildus pilnīgajiem, ir arī nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Lai pirmā formula ir numurs divi, bet otrais skaitlis - trīs.

Diskriminants un sakņu skaita atkarība no tā vērtības

Šim skaitlim ir jābūt zināmam, lai aprēķinātu vienādojuma saknes. To vienmēr var aprēķināt neatkarīgi no kvadrātvienādojuma formulas. Lai aprēķinātu diskriminantu, jāizmanto zemāk uzrakstītā vienādība, kurai būs cipars četri.

Pēc koeficientu vērtību aizstāšanas šajā formulā varat iegūt skaitļus ar dažādām zīmēm. Ja atbilde ir jā, tad vienādojuma atbilde būs divas dažādas saknes. Ja skaitlis ir negatīvs, kvadrātvienādojuma saknes nebūs. Ja tas ir vienāds ar nulli, atbilde būs viens.

Kā tiek atrisināts pilns kvadrātvienādojums?

Faktiski šī jautājuma izskatīšana jau ir sākusies. Jo vispirms ir jāatrod diskriminants. Pēc tam, kad ir noskaidrots, ka kvadrātvienādojumam ir saknes un to skaits ir zināms, jums ir jāizmanto mainīgo lielumu formulas. Ja ir divas saknes, tad jums ir jāpiemēro šāda formula.

Tā kā tajā ir zīme “±”, būs divas vērtības. Izteiciens zem kvadrātsaknes zīmes ir diskriminants. Tāpēc formulu var pārrakstīt citā veidā.

Piektā formula. No tā paša ieraksta var redzēt, ka, ja diskriminants ir nulle, tad abām saknēm būs vienādas vērtības.

Ja kvadrātvienādojumu risinājums vēl nav izstrādāts, tad pirms diskriminējošās un mainīgās formulas piemērošanas labāk pierakstīt visu koeficientu vērtības. Vēlāk šis brīdis nesagādās grūtības. Taču pašā sākumā ir apjukums.

Kā tiek atrisināts nepilnīgs kvadrātvienādojums?

Šeit viss ir daudz vienkāršāk. Pat papildu formulas nav vajadzīgas. Un nevajadzēs tos, kas jau ir rakstīti diskriminējošajam un nezināmajam.

Pirmkārt, apsveriet nepilnīgo vienādojumu numur divi. Šajā vienādībā ir paredzēts izņemt nezināmo vērtību no iekavas un atrisināt lineāro vienādojumu, kas paliks iekavās. Atbildei būs divas saknes. Pirmais noteikti ir vienāds ar nulli, jo ir faktors, kas sastāv no paša mainīgā lieluma. Otro iegūst, atrisinot lineāru vienādojumu.

Nepilnīgais vienādojums ar numuru trīs tiek atrisināts, pārnesot skaitli no vienādojuma kreisās puses uz labo. Tad jums ir jādala ar koeficientu nezināmā priekšā. Atliek tikai izvilkt kvadrātsakni un neaizmirstiet to divreiz pierakstīt ar pretējām zīmēm.

Tālāk ir norādītas dažas darbības, kas palīdz jums uzzināt, kā atrisināt visu veidu vienādības, kas pārvēršas kvadrātvienādojumos. Tie palīdzēs skolēnam izvairīties no kļūdām neuzmanības dēļ. Šīs nepilnības ir iemesls sliktām atzīmēm, pētot plašo tēmu "Kvadrātvienādojumi (8. klase)". Pēc tam šīs darbības nebūs pastāvīgi jāveic. Jo būs stabils ieradums.

• Vispirms jums ir jāuzraksta vienādojums standarta formā. Tas ir, vispirms termins ar lielāko mainīgā pakāpi, un pēc tam - bez pakāpes un pēdējais - tikai skaitlis.

• Ja pirms koeficienta "a" parādās mīnuss, iesācējam tas var sarežģīt kvadrātvienādojumu pētīšanas darbu. Labāk no tā atbrīvoties. Šim nolūkam visa vienlīdzība jāreizina ar "-1". Tas nozīmē, ka visi termini mainīs zīmi uz pretējo.

• Tādā pašā veidā ieteicams atbrīvoties no frakcijām. Vienkārši reiziniet vienādojumu ar atbilstošo koeficientu, lai saucēji tiktu izslēgti.

Piemēri

Ir nepieciešams atrisināt šādus kvadrātvienādojumus:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Pirmais vienādojums: x 2 - 7x \u003d 0. Tas ir nepilnīgs, tāpēc tas ir atrisināts, kā aprakstīts formulai numur divi.

Pēc iekavēšanas izrādās: x (x - 7) \u003d 0.

Pirmā sakne iegūst vērtību: x 1 \u003d 0. Otrā tiks atrasta no lineārā vienādojuma: x - 7 \u003d 0. Ir viegli redzēt, ka x 2 \u003d 7.

Otrais vienādojums: 5x2 + 30 = 0. Atkal nepilnīgs. Tikai tas tiek atrisināts, kā aprakstīts trešajā formulā.

Pēc 30 pārsūtīšanas uz vienādojuma labo pusi: 5x 2 = 30. Tagad jādala ar 5. Izrādās: x 2 = 6. Atbildes būs skaitļi: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Trešais vienādojums: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Šeit un tālāk kvadrātvienādojumu atrisināšana sāksies, pārrakstot tos standarta formā: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Tagad ir pienācis laiks izmantot otro noderīgs padoms un reiziniet visu ar mīnus viens . Izrādās x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Saskaņā ar ceturto formulu jums jāaprēķina diskriminants: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Tas ir pozitīvs skaitlis. No iepriekš teiktā izrādās, ka vienādojumam ir divas saknes. Tie jāaprēķina pēc piektās formulas. Saskaņā ar to izrādās, ka x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Tad x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Ceturtais vienādojums x 2 + 8 + 3x \u003d 0 tiek pārveidots par šādu: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Tā diskriminants ir vienāds ar šo vērtību: -23. Tā kā šis skaitlis ir negatīvs, atbilde uz šo uzdevumu būs šāds ieraksts: "Nav sakņu."

Piektais vienādojums 12x + x 2 + 36 = 0 jāpārraksta šādi: x 2 + 12x + 36 = 0. Pēc diskriminanta formulas piemērošanas iegūst skaitli nulle. Tas nozīmē, ka tam būs viena sakne, proti: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Sestais vienādojums (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) prasa transformācijas, kas sastāv no tā, ka pirms iekavu atvēršanas ir jāienes līdzīgi termini. Pirmā vietā būs šāda izteiksme: x 2 + 2x + 1. Pēc vienādības parādīsies šāds ieraksts: x 2 + 3x + 2. Pēc līdzīgu vārdu saskaitīšanas vienādojums būs šādā formā: x 2 - x \u003d 0. Tas ir kļuvis nepilnīgs . Līdzīgs tam jau ir uzskatīts par nedaudz augstāku. Tā saknes būs skaitļi 0 un 1.