Kā pārvērst izteiksmi par identiski vienādu. Identitātes, definīcijas, apzīmējumi, piemēri

Temats "Identitātes pierādījumi» 7. klase (KRO)

Mācību grāmata Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G.

Nodarbības mērķi

Izglītības:

iepazīstināt un sākotnēji nostiprināt jēdzienus "identiski vienādi izteicieni", "identitāte", "identiskas pārvērtības";

apsvērt veidus, kā pierādīt identitāti, dot ieguldījumu identitātes pierādīšanas prasmju attīstībā;

pārbaudīt studentu apgūtā materiāla asimilāciju, veidot apgūtā pielietošanas prasmes jaunā uztverei.

Attīstās:

Attīstīt studentu kompetentu matemātisko runu (bagātināt un sarežģīt leksika izmantojot īpašus matemātikas terminus),

attīstīt domāšanu,

Izglītojoši: audzināt strādīgumu, precizitāti, vingrinājumu risinājuma pieraksta pareizību.

Nodarbības veids: jauna materiāla apguve

Nodarbību laikā

1 . Laika organizēšana.

Mājas darbu pārbaude.

Jautājumi par mājas darbiem.

Apspriešana uz padomes.

Nepieciešama matemātika
Bez viņas tas nav iespējams
Mēs mācām, mēs mācām, draugi,
Ko mēs atceramies no rīta?

2 . Uztaisīsim treniņu.

Papildinājuma rezultāts. (Summa)

Cik skaitļus tu zini? (desmit)

Skaitļa simtdaļa. (procenti)

dalīšanas rezultāts? (Privāts)

Mazākais dabiskais skaitlis? (viens)

Vai sadalot ir iespējams naturālie skaitļi iegūt nulli? (Nē)

Kāds ir lielākais negatīvais veselais skaitlis. (-viens)

Ar kādu skaitli nevar dalīt? (0)

Reizināšanas rezultāts? (Darbs)

Atņemšanas rezultāts. (Atšķirība)

Komutatīva saskaitīšanas īpašība. (Summa nemainās no termiņu vietu pārkārtošanas)

Reizināšanas komutatīva īpašība. (Produkts nemainās no faktoru vietu permutācijas)

Pētījums par jauna tēma(definīcija ar piezīmi piezīmju grāmatiņā)

Atrodiet izteiksmju vērtību pie x=5 un y=4

3(x+y)=3(5+4)=3*9=27

3x+3y=3*5+3*4=27

Mēs saņēmām tādu pašu rezultātu. No sadales īpašības izriet, ka kopumā jebkurai mainīgo vērtībai izteiksmju 3(x + y) un 3x + 3y vērtības ir vienādas.

Apsveriet tagad izteiksmes 2x + y un 2xy. Ja x=1 un y=2 tām ir vienādas vērtības:

Tomēr jūs varat norādīt x un y vērtības tā, lai šo izteiksmju vērtības nebūtu vienādas. Piemēram, ja x=3, y=4, tad

Definīcija: Tiek uzskatīts, ka divas izteiksmes, kuru vērtības ir vienādas jebkurai mainīgo vērtībai, ir identiski vienādas.

Izteiksmes 3(x+y) un 3x+3y ir identiski vienādas, bet izteiksmes 2x+y un 2xy nav identiski vienādas.

Vienādība 3 (x + y) un 3x + 3y ir patiesa visām x un y vērtībām. Šādas vienlīdzības sauc par identitātēm.

Definīcija: Vienādību, kas attiecas uz jebkuru mainīgo vērtību, sauc par identitāti.

Patiesas skaitliskās vienādības tiek uzskatītas arī par identitātēm. Mēs jau esam tikušies ar identitātēm. Identitātes ir vienādības, kas izsaka darbības ar skaitļiem pamatīpašības (Skolēni komentē katru īpašību, to izrunājot).

a + b = b + a
ab=ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac

Sniedziet citus identitātes piemērus

Definīcija: vienas izteiksmes aizstāšanu ar citu, identiski tai vienādu, sauc par identisku transformāciju vai vienkārši izteiksmes transformāciju.

Identiskas izteiksmju transformācijas ar mainīgajiem tiek veiktas, pamatojoties uz skaitļu darbību īpašībām.

Izteiksmju identitātes transformācijas tiek plaši izmantotas izteiksmju vērtību aprēķināšanā un citu problēmu risināšanā. Jau bija jāveic dažas identiskas transformācijas, piemēram, līdzīgu terminu samazināšana, iekavu paplašināšana.

5 . Nr. 691, Nr. 692 (ar iekavu atvēršanas noteikumu izrunu, negatīvo un pozitīvo skaitļu reizināšanu)

Identitātes racionāla risinājuma izvēlei:(priekšējais darbs)

6 . Apkopojot stundu.

Skolotājs uzdod jautājumus, un skolēni atbild uz tiem, kā vēlas.

Kuras divas izteiksmes sauc par identiski vienādām? Sniedziet piemērus.

Kādu vienlīdzību sauc par identitāti? Sniedziet piemēru.

Kādas identiskas pārvērtības jūs zināt?

7. Mājasdarbs. Apgūstiet definīcijas, sniedziet identisku izteicienu piemērus (vismaz 5), ierakstiet tos piezīmju grāmatiņā

Šajā rakstā ir sniegts iniciāls identitāšu jēdziens. Šeit mēs definējam identitāti, ievadām lietoto apzīmējumu un, protams, dodam dažādi piemēri identitātes

Lapas navigācija.

Kas ir identitāte?

Materiāla prezentāciju ir loģiski sākt ar identitātes definīcijas. Yu. N. Makarychev mācību grāmatā, algebra 7 klasēm, identitātes definīcija ir sniegta šādi:

Definīcija.

Identitāte ir vienādība, kas ir patiesa visām mainīgo vērtībām; jebkura patiesa skaitliskā vienlīdzība arī ir identitāte.

Tajā pašā laikā autors uzreiz nosaka, ka nākotnē šī definīcija tiks precizēta. Šī precizēšana notiek 8.klasē, iepazīstoties ar mainīgo lielumu un ODZ pieļaujamo vērtību definīciju. Definīcija kļūst:

Definīcija.

Identitātes ir patiesas skaitliskās vienādības, kā arī vienādības, kas ir patiesas visām tajos iekļauto mainīgo lielumu pieļaujamajām vērtībām.

Tātad, kāpēc, definējot identitāti, 7. klasē mēs runājam par jebkādām mainīgo vērtībām, bet 8. klasē mēs sākam runāt par mainīgo vērtībām no to DPV? Līdz 8. klasei darbs tiek veikts tikai ar veselu skaitļu izteiksmēm (jo īpaši ar monomiem un polinomiem), un tām ir nozīme jebkurām tajos iekļauto mainīgo vērtībām. Tāpēc 7. klasē mēs sakām, ka identitāte ir vienādība, kas ir patiesa jebkurai mainīgo vērtībai. Un 8. klasē parādās izteiksmes, kurām jau ir jēga ne visām mainīgo vērtībām, bet tikai vērtībām no to ODZ. Tāpēc pēc identitātēm mēs sākam saukt vienādības, kas ir patiesas visām pieļaujamajām mainīgo vērtībām.

Tātad identitāte ir īpašs gadījums vienlīdzība. Tas ir, jebkura identitāte ir vienlīdzība. Bet ne katra vienlīdzība ir identitāte, bet tikai vienādība, kas ir patiesa jebkurai mainīgo vērtībai no to pieņemamo vērtību diapazona.

Identitātes zīme

Zināms, ka vienlīdzību rakstīšanā lieto vienādības zīmi formā “=”, no kuras pa kreisi un pa labi ir daži skaitļi vai izteiksmes. Ja šai zīmei pievienojam vēl vienu horizontālu līniju, mēs iegūstam identitātes zīme"≡" vai kā to sauc arī vienādības zīme.

Identitātes zīmi parasti lieto tikai tad, ja nepieciešams uzsvērt, ka mūsu priekšā ir ne tikai vienlīdzība, bet tieši identitāte. Citos gadījumos identitātes ieraksti pēc formas neatšķiras no vienādībām.

Identitātes piemēri

Ir pienācis laiks atnest identitāšu piemēri. Pirmajā rindkopā sniegtā identitātes definīcija mums to palīdzēs.

Skaitliskās vienādības 2=2 ir identitāšu piemēri, jo šīs vienādības ir patiesas, un jebkura patiesa skaitliskā vienādība pēc definīcijas ir identitāte. Tos var uzrakstīt kā 2≡2 un .

Skaitliskās vienādības formā 2+3=5 un 7−1=2·3 arī ir identitātes, jo šīs vienādības ir patiesas. Tas ir, 2+3≡5 un 7−1≡2 3 .

Pāriesim pie identitāšu piemēriem, kuru apzīmējumos ir ne tikai skaitļi, bet arī mainīgie.

Aplūkosim vienādību 3·(x+1)=3·x+3 . Jebkurai mainīgā x vērtībai uzrakstītā vienādība ir patiesa reizināšanas sadalījuma īpašības dēļ attiecībā pret saskaitīšanu, tāpēc sākotnējā vienādība ir identitātes piemērs. Šeit ir vēl viens identitātes piemērs: y (x−1)≡(x−1)x:x y 2:y, šeit mainīgo x un y pieņemamo vērtību diapazons ir visi pāri (x, y), kur x un y ir jebkuri skaitļi, izņemot nulli.

Taču vienādības x+1=x−1 un a+2 b=b+2 a nav identitātes, jo ir mainīgo lielumu vērtības, kurām šīs vienādības būs nepareizas. Piemēram, ja x=2, vienādība x+1=x−1 pārvēršas par nepareizo vienādību 2+1=2−1. Turklāt vienādība x+1=x−1 vispār netiek sasniegta nevienai mainīgā x vērtībai. Un vienādība a+2 b=b+2 a pārvēršas par nepareizu vienādību, ja ņemam jebkuru dažādas nozīmes mainīgie a un b . Piemēram, ar a=0 un b=1 mēs nonāksim pie nepareizās vienādības 0+2 1=1+2 0 . Vienādība |x|=x , kur |x| - mainīgais x , arī nav identitāte, jo tas nav patiess negatīvas vērtības x .

Slavenāko identitāšu piemēri ir sin 2 α+cos 2 α=1 un log a b =b .

Šī raksta noslēgumā vēlos atzīmēt, ka, studējot matemātiku, mēs pastāvīgi sastopamies ar identitātēm. Skaitļu darbības rekvizītu ieraksti ir identitātes, piemēram, a+b=b+a , 1 a=a , 0 a=0 un a+(−a)=0 . Arī identitātes ir

Skaitļu saskaitīšanas un reizināšanas pamatīpašības.

Saskaitīšanas komutatīva īpašība: pārkārtojot terminus, summas vērtība nemainās. Jebkuriem skaitļiem a un b vienādība ir patiesa

Saskaitīšanas asociatīvā īpašība: lai divu skaitļu summai pievienotu trešo skaitli, pirmajam skaitlim var pievienot otrā un trešā summa. Jebkuriem skaitļiem a, b un c vienādība ir patiesa

Reizināšanas komutatīva īpašība: faktoru permutācija nemaina reizinājuma vērtību. Jebkuriem skaitļiem a, b un c vienādība ir patiesa

Reizināšanas asociatīvā īpašība: lai divu skaitļu reizinājumu reizinātu ar trešo skaitli, pirmo skaitli var reizināt ar otrā un trešā reizinājumu.

Jebkuriem skaitļiem a, b un c vienādība ir patiesa

Sadales īpašība: lai reizinātu skaitli ar summu, varat reizināt šo skaitli ar katru vārdu un pievienot rezultātus. Jebkuriem skaitļiem a, b un c vienādība ir patiesa

No saskaitīšanas komutatīvajām un asociatīvajām īpašībām izriet, ka jebkurā summā jūs varat pārkārtot terminus pēc saviem ieskatiem un patvaļīgā veidā apvienot tos grupās.

1. piemērs Aprēķināsim summu 1,23+13,5+4,27.

Lai to izdarītu, ir ērti apvienot pirmo termiņu ar trešo. Mēs iegūstam:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Tas izriet no reizināšanas komutatīvajām un asociatīvajām īpašībām: jebkurā produktā jūs varat jebkurā veidā pārkārtot faktorus un patvaļīgi apvienot tos grupās.

2. piemērs Noskaidrosim produkta vērtību 1,8 0,25 64 0,5.

Apvienojot pirmo faktoru ar ceturto un otro ar trešo, mēs iegūsim:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

Sadales īpašība ir spēkā arī tad, ja skaitlis tiek reizināts ar trīs vai vairāk terminu summu.

Piemēram, jebkuriem skaitļiem a, b, c un d vienādība ir patiesa

a(b+c+d)=ab+ac+reklāma.

Mēs zinām, ka atņemšanu var aizstāt ar saskaitīšanu, pievienojot mazajai daļai pretēju skaitli:

Tas ļauj izmantot skaitlisku izteiksmi tips a-b uzskatīt skaitļu a un -b summu, skaitlisko izteiksmi formā a + b-c-d uzskatīt par skaitļu a, b, -c, -d uc summu. Aplūkotās darbību īpašības ir spēkā arī šādām summām.

3. piemērs Atradīsim izteiksmes vērtību 3,27-6,5-2,5+1,73.

Šī izteiksme ir skaitļu 3,27, -6,5, -2,5 un 1,73 summa. Pielietojot saskaitīšanas īpašības, iegūstam: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

4. piemērs Aprēķināsim reizinājumu 36·().

Reizinātāju var uzskatīt par skaitļu un - summu. Izmantojot reizināšanas sadales īpašību, mēs iegūstam:

36()=36-36=9-10=-1.

Identitātes

Definīcija. Tiek uzskatīts, ka divas izteiksmes, kuru atbilstošās vērtības ir vienādas jebkurai mainīgo vērtībai, ir identiski vienādas.

Definīcija. Vienādību, kas attiecas uz jebkuru mainīgo vērtību, sauc par identitāti.

Atradīsim izteiksmju 3(x+y) un 3x+3y vērtības, ja x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Mēs saņēmām tādu pašu rezultātu. No sadales īpašības izriet, ka kopumā jebkurai mainīgo vērtībai atbilstošās izteiksmju vērtības 3(x+y) un 3x+3y ir vienādas.

Apsveriet tagad izteiksmes 2x+y un 2xy. Ja x=1, y=2 tām ir vienādas vērtības:

Tomēr jūs varat norādīt x un y vērtības tā, lai šo izteiksmju vērtības nebūtu vienādas. Piemēram, ja x=3, y=4, tad

Izteiksmes 3(x+y) un 3x+3y ir identiski vienādas, bet izteiksmes 2x+y un 2xy nav identiski vienādas.

Vienādība 3(x+y)=x+3y, kas attiecas uz visām x un y vērtībām, ir identitāte.

Patiesas skaitliskās vienādības tiek uzskatītas arī par identitātēm.

Tātad identitātes ir vienādības, kas izsaka galvenās darbības ar skaitļiem īpašības:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Var sniegt citus identitātes piemērus:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Izteiksmju identitātes transformācijas

Vienas izteiksmes aizstāšanu ar citu, identiski tai vienādu, sauc par identisku transformāciju vai vienkārši izteiksmes transformāciju.

Identiskas izteiksmju transformācijas ar mainīgajiem tiek veiktas, pamatojoties uz skaitļu darbību īpašībām.

Lai atrastu izteiksmes xy-xz vērtību, ņemot vērā vērtības x, y, z, jums jāveic trīs darbības. Piemēram, ar x=2.3, y=0.8, z=0.2 mēs iegūstam:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Šo rezultātu var iegūt tikai divos posmos, izmantojot izteiksmi x(y-z), kas ir identiski vienāda ar izteiksmi xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Mēs esam vienkāršojuši aprēķinus, aizstājot izteiksmi xy-xz ar identiski vienādu izteiksmi x(y-z).

Izteiksmju identitātes transformācijas tiek plaši izmantotas izteiksmju vērtību aprēķināšanā un citu problēmu risināšanā. Dažas identiskas transformācijas jau ir veiktas, piemēram, līdzīgu terminu samazināšana, iekavu atvēršana. Atgādiniet šo pārveidojumu veikšanas noteikumus:

lai iegūtu līdzīgus terminus, jāsaskaita to koeficienti un rezultāts jāreizina ar kopējo burtu daļu;

ja iekavās ir plus zīme, tad iekavas var izlaist, saglabājot katra termina zīmi iekavās;

ja pirms iekavām ir mīnusa zīme, tad iekavas var izlaist, mainot katra iekavās ievietotā termina zīmi.

1. piemērs Saskaitīsim līdzīgus vārdus summā 5x+2x-3x.

Mēs izmantojam noteikumu līdzīgu terminu samazināšanai:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Šīs transformācijas pamatā ir reizināšanas sadales īpašība.

2. piemērs Izvērsīsim iekavas izteiksmē 2a+(b-3c).

Noteikuma piemērošana iekavu atvēršanai, pirms kuras ir plus zīme:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Veiktā transformācija balstās uz pievienošanas asociatīvo īpašību.

3. piemērs Izvērsīsim iekavas izteiksmē a-(4b-c).

Izmantosim iekavu izvēršanas noteikumu, pirms kura ir mīnusa zīme:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Veiktā transformācija balstās uz reizināšanas sadales īpašību un saskaitīšanas asociatīvo īpašību. Parādīsim to. Atveidosim otro terminu -(4b-c) šajā izteiksmē kā reizinājumu (-1) (4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Izmantojot šīs darbību īpašības, mēs iegūstam:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Pētot algebru, mēs sastapāmies ar jēdzieniem polinoms (piemēram ($yx$ ,$\ 2x^2-2x$ un tā tālāk) un algebriskā daļa (piemēram, $\frac(x+5)(x) )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(xy)(yx)$ utt.) Šo jēdzienu līdzība ir tāda, ka gan polinomos, gan algebriskajās daļās pastāv ir mainīgie un skaitliskās vērtības, aritmētiskās darbības: saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, kāpināšana. Atšķirība starp šiem jēdzieniem ir tāda, ka dalīšana ar mainīgo netiek veikta polinomos, savukārt dalīšanu ar mainīgo var veikt algebriskajās daļās.

Gan polinomus, gan algebriskās daļas matemātikā sauc par racionālām algebriskām izteiksmēm. Bet polinomi ir veselu skaitļu racionālas izteiksmes, un algebriskās daļas ir frakcionēti racionāli izteiksmes.

Var iegūt no frakcionētas - racionāla izteiksme vesels algebriskā izteiksme izmantojot identisku transformāciju, kas šajā gadījumā būs frakcijas galvenā īpašība – daļskaitļu samazināšana. Pārbaudīsim to praksē:

1. piemērs

Transformācija: $\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Risinājums: Konvertēt Dots daļveida racionālais vienādojums iespējams, izmantojot galveno īpašumu frakcijas - saīsinājumi, t.i. dalot skaitītāju un saucēju ar to pašu skaitli vai izteiksmi, kas nav $0$.

Šo daļu nevar uzreiz samazināt, ir nepieciešams konvertēt skaitītāju.

Mēs pārveidojam izteiksmi daļskaitļa skaitītājā, šim nolūkam izmantojam starpības kvadrāta formulu: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Frakcijai ir forma

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)\]

Tagad mēs redzam, ka skaitītājā un saucējā ir kopīgs faktors - šī ir izteiksme $x-2$, uz kuras mēs samazināsim daļu

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]

Pēc redukcijas esam ieguvuši, ka sākotnējā daļracionālā izteiksme $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ ir kļuvusi par polinomu $x-2$, t.i. viss racionāli.

Tagad pievērsīsim uzmanību tam, ka izteiksmes $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ un $x-2\ $ var uzskatīt par identiskām ne visām mainīgā vērtībām, jo lai pastāvētu daļskaitļa racionāla izteiksme un būtu iespējama samazinājums par polinomu $x-2$, daļdaļas saucējs nedrīkst būt vienāds ar $0$ (kā arī koeficients, ar kuru mēs samazinām. šis piemērs saucējs un reizinātājs ir vienādi, taču tas ne vienmēr notiek).

Mainīgās vērtības, kurām pastāvēs algebriskā daļa, sauc par derīgām mainīgajām vērtībām.

Daļas saucējam mēs izvirzījām nosacījumu: $x-2≠0$, tad $x≠2$.

Tātad izteiksmes $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ un $x-2$ ir identiskas visām mainīgā vērtībām, izņemot $2$.

1. definīcija

identiski vienādi izteiksmes ir tās, kas ir vienādas visām iespējamām mainīgā vērtībām.

Identiska transformācija ir jebkura sākotnējās izteiksmes aizstāšana ar identiski vienādu. Šādas transformācijas ietver šādas darbības: saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, iekavas, algebriskās daļas uz kopsaucēju, algebrisko daļu samazināšana, līdzīgu terminu samazināšana utt. Jāņem vērā, ka vairākas transformācijas, piemēram, samazināšana, līdzīgu terminu samazināšana, var mainīt mainīgā pieļaujamās vērtības.

Metodes, ko izmanto, lai pierādītu identitāti

Konvertējiet identitātes kreiso pusi uz labo pusi vai otrādi, izmantojot identitātes transformācijas

Samaziniet abas daļas līdz vienai izteiksmei, izmantojot identiskas transformācijas

Pārvietojiet izteiksmes vienā izteiksmes daļā uz citu un pierādiet, ka iegūtā starpība ir vienāda ar $0 $

Kura no iepriekš minētajām metodēm, kas jāizmanto, lai pierādītu doto identitāti, ir atkarīga no sākotnējās identitātes.

2. piemērs

Pierādiet identitāti $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Risinājums: Lai pierādītu šo identitāti, mēs izmantojam pirmo no iepriekš minētajām metodēm, proti, mēs pārveidosim identitātes kreiso pusi, līdz tā būs vienāda ar labo pusi.

Apsveriet identitātes kreiso pusi: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- tā ir divu polinomu atšķirība. Šajā gadījumā pirmais polinoms ir trīs terminu summas kvadrāts. Lai vairāku terminu summu kvadrātā, mēs izmantojam formulu:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Lai to izdarītu, mums jāreizina skaitlis ar polinomu. Atgādiniet, ka šim nolūkam mums ir jāreizina ārpus iekavām esošais kopējais faktors ar katru polinoma terminu iekavās. Tad mēs iegūstam:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Tagad atgriezieties pie sākotnējā polinoma, tam būs šāda forma:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Ņemiet vērā, ka kronšteina priekšā ir zīme “-”, kas nozīmē, ka, atverot iekavās, visas zīmes, kas bija iekavās, mainās uz pretējām.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Ja ienesam līdzīgus terminus, tad iegūstam, ka monomi $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ un $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ viens otru atceļ, t.i. to summa ir vienāda ar $ 0 $.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Tātad ar identiskiem pārveidojumiem mēs esam ieguvuši identiska izteiksme sākotnējās identitātes kreisajā pusē

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Ņemiet vērā, ka iegūtā izteiksme parāda, ka sākotnējā identitāte ir patiesa.

Ņemiet vērā, ka sākotnējā identitātē ir atļautas visas mainīgā vērtības, kas nozīmē, ka esam pierādījuši identitāti, izmantojot identiskas transformācijas, un tas attiecas uz visām atļautajām mainīgā vērtībām.