Kā pareizi atrisināt racionālos vienādojumus. Racionālie vienādojumi

Paši vienādojumi ar daļdaļām nav grūti un ļoti interesanti. Apsveriet veidus daļskaitļu vienādojumi un veidi, kā tos atrisināt.

Kā atrisināt vienādojumus ar daļām - x skaitītājā

Ja ir dots daļvienādojums, kur skaitītājā ir nezināmais, risinājumam nav nepieciešami papildu nosacījumi un tas tiek atrisināts bez papildu apgrūtinājumi. Vispārējā formašāds vienādojums ir x/a + b = c, kur x ir nezināms, a, b un c ir parastie skaitļi.

Atrodiet x: x/5 + 10 = 70.

Lai atrisinātu vienādojumu, jums ir jāatbrīvojas no daļskaitļiem. Reiziniet katru vienādojuma vārdu ar 5: 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x un 5 tiek samazināts, 10 un 70 tiek reizināti ar 5, un mēs iegūstam: x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Atrodiet x: x/5 + x/10 = 90.

Šis piemērs ir nedaudz sarežģītāka pirmā versija. Šeit ir divi risinājumi.

• 1. iespēja. Atbrīvojieties no daļām, reizinot visus vienādojuma nosacījumus ar lielāku saucēju, tas ir, ar 10: 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
• 2. iespēja: pievienojiet vienādojuma kreiso pusi. x/5 + x/10 = 90. Kopsaucējs ir 10. Sadalot 10 ar 5, reizinot ar x, iegūstam 2x. 10 dalīts ar 10, reizināts ar x, mēs iegūstam x: 2x+x/10 = 90. Tādējādi 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.

Bieži vien ir daļvienādojumi, kuros x atrodas vienādības zīmes pretējās pusēs. Šādā situācijā ir nepieciešams pārsūtīt visas daļskaitļus ar x vienā virzienā, bet skaitļus citā.

• Atrast x: 3x/5 = 130 - 2x/5.
• Pārvietojieties 2x/5 pa labi ar pretēju zīmi: 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
• Mēs samazinām 5x/5 un iegūstam: x = 130.

Kā atrisināt vienādojumu ar daļām - x saucējā

Šāda veida daļvienādojumiem ir jāieraksta papildu nosacījumi. Šo nosacījumu norādīšana ir obligāta un neatņemama sastāvdaļa pareizs lēmums. Neattiecinot tos, jūs riskējat, jo atbilde (pat ja tā ir pareiza) var vienkārši netikt ieskaitīta.

Daļējo vienādojumu vispārīgā forma, kur x ir saucējā, ir: a/x + b = c, kur x ir nezināms, a, b, c ir parastie skaitļi. Ņemiet vērā, ka x var nebūt neviens skaitlis. Piemēram, x nevar būt nulle, jo nevar dalīt ar 0. Tas ir tas, kas ir papildu nosacījums, kas mums ir jāprecizē. To sauc par pieņemamo vērtību diapazonu, saīsināti - ODZ.

Atrodiet x: 15/x + 18 = 21.

Mēs nekavējoties rakstām ODZ x: x ≠ 0. Tagad, kad ir norādīts ODZ, mēs atrisinām vienādojumu, izmantojot standarta shēma atbrīvošanās no frakcijām. Mēs reizinām visus vienādojuma nosacījumus ar x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.

Bieži vien ir vienādojumi, kur saucējs satur ne tikai x, bet arī kādu citu darbību ar to, piemēram, saskaitīšanu vai atņemšanu.

Atrodiet x: 15/(x-3) + 18 = 21.

Mēs jau zinām, ka saucējs nevar būt vienāds ar nulli, kas nozīmē x-3 ≠ 0. Pārnesam -3 uz labo pusi, vienlaikus mainot “-” zīmi uz “+” un iegūstam, ka x ≠ 3. ODZ ir norādīts.

Atrisiniet vienādojumu, reiziniet visu ar x-3: 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Pārvietojiet x pa labi, skaitļus pa kreisi: 24 = 3x => x = 8.

Nodarbības mērķi:

Apmācība:

• daļējo racionālo vienādojumu jēdziena veidošana;
• apsvērt dažādus daļējo racionālo vienādojumu risināšanas veidus;
• apsvērt daļskaitļu racionālu vienādojumu risināšanas algoritmu, iekļaujot nosacījumu, ka daļa ir vienāda ar nulli;
• iemācīt daļskaitļu racionālu vienādojumu atrisināšanu pēc algoritma;
• tēmas asimilācijas līmeņa pārbaude, veicot pārbaudes darbu.

Attīstās:

• attīstīt spēju pareizi operēt ar iegūtajām zināšanām, loģiski domāt;
• intelektuālo prasmju un prāta operāciju attīstība - analīze, sintēze, salīdzināšana un vispārināšana;
• iniciatīvas attīstība, spēja pieņemt lēmumus, neapstāties pie tā;
• attīstību kritiskā domāšana;
• pētniecisko prasmju attīstība.

Audzēšana:

• audzināšana kognitīvā interese uz tēmu;
• patstāvības audzināšana izglītības problēmu risināšanā;
• gribas un neatlaidības audzināšana gala rezultātu sasniegšanai.

Nodarbības veids: nodarbība - jaunā materiāla skaidrojums.

Nodarbību laikā

1. Organizatoriskais moments.

Sveiki puiši! Vienādojumi ir uzrakstīti uz tāfeles, uzmanīgi apskatiet tos. Vai jūs varat atrisināt visus šos vienādojumus? Kuras nav un kāpēc?

Vienādojumus, kuros kreisā un labā daļa ir daļēja racionāla izteiksme, sauc par daļējiem racionālajiem vienādojumiem. Kā jūs domājat, ko mēs šodien mācīsim stundā? Formulējiet nodarbības tēmu. Tātad, mēs atveram piezīmju grāmatiņas un pierakstām nodarbības tēmu “Daļējo racionālo vienādojumu risinājums”.

2. Zināšanu aktualizēšana. Frontālā aptauja, mutisks darbs ar klasi.

Un tagad mēs atkārtosim galveno teorētisko materiālu, kas mums ir jāizpēta jauna tēma. Lūdzu, atbildiet uz šādiem jautājumiem:

1. Kas ir vienādojums? ( Vienlīdzība ar mainīgo vai mainīgajiem.)
2. Kā sauc vienādojumu #1? ( Lineārs.) Risinājuma metode lineārie vienādojumi. (Pārvietojiet visu ar nezināmo uz vienādojuma kreiso pusi, visus skaitļus pa labi. Atnesiet līdzīgus nosacījumus. Atrodiet nezināmo reizinātāju).
3. Kā sauc 3. vienādojumu? ( Kvadrāts.) Kvadrātvienādojumu risināšanas metodes. ( Pilna kvadrāta izvēle pēc formulām, izmantojot Vietas teorēmu un tās sekas.)
4. Kas ir proporcija? ( Divu attiecību vienlīdzība.) Galvenā proporcijas īpašība. ( Ja proporcija ir patiesa, tad tās galējo daļu reizinājums ir vienāds ar vidējo vārdu reizinājumu.)
5. Kādas īpašības izmanto vienādojumu risināšanai? ( 1. Ja vienādojumā pārnesam terminu no vienas daļas uz otru, mainot tā zīmi, tad iegūstam vienādojumu, kas līdzvērtīgs dotajam. 2. Ja abas vienādojuma daļas reizina vai dala ar vienu un to pašu skaitli, kas nav nulle, tad tiks iegūts vienādojums, kas ir līdzvērtīgs dotajam.)
6. Kad daļa ir vienāda ar nulli? ( Daļa ir nulle, ja skaitītājs nulle, un saucējs nav vienāds ar nulli.)

3. Jaunā materiāla skaidrojums.

Atrisiniet vienādojumu Nr.2 burtnīcās un uz tāfeles.

Atbilde: 10.

Kuras daļveida racionālais vienādojums vai varat mēģināt atrisināt, izmantojot pamata proporcijas īpašību? (Nr. 5).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Atrisiniet vienādojumu Nr.4 burtnīcās un uz tāfeles.

Atbilde: 1,5.

Kādu daļēju racionālu vienādojumu jūs varat mēģināt atrisināt, reizinot abas vienādojuma puses ar saucēju? (Nr. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Atbilde: 3;4.

Tagad mēģiniet atrisināt vienādojumu #7 kādā no veidiem.

(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 = 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Atbilde: 0;5;-2.			Atbilde: 5;-2.

Paskaidrojiet, kāpēc tas notika? Kāpēc vienā gadījumā ir trīs saknes, bet otrā – divas? Kādi skaitļi ir šī daļējā racionālā vienādojuma saknes?

Līdz šim skolēni nav satikuši svešas saknes jēdzienu, viņiem tiešām ir ļoti grūti saprast, kāpēc tas notika. Ja klasē neviens nevar sniegt skaidru skaidrojumu par šo situāciju, tad skolotājs uzdod vadošus jautājumus.

• Kā vienādojumi Nr.2 un 4 atšķiras no vienādojumiem Nr.5,6,7? ( Vienādojumos Nr.2 un 4 skaitļa saucējā, Nr.5-7 - izteiksmes ar mainīgo.)
• Kāda ir vienādojuma sakne? ( Mainīgā lieluma vērtība, pie kuras vienādojums kļūst par patiesu vienādību.)
• Kā uzzināt, vai skaitlis ir vienādojuma sakne? ( Veikt pārbaudi.)

Veicot kontroldarbu, daži skolēni ievēro, ka jādala ar nulli. Viņi secina, ka skaitļi 0 un 5 nav saknes. dots vienādojums. Rodas jautājums: vai ir veids, kā atrisināt daļējus racionālos vienādojumus, kas novērš šo kļūdu? Jā, šīs metodes pamatā ir nosacījums, ka daļa ir vienāda ar nulli.

x 2 -3x-10 = 0, D = 49, x 1 = 5, x 2 = -2.

Ja x=5, tad x(x-5)=0, tātad 5 ir sveša sakne.

Ja x=-2, tad x(x-5)≠0.

Atbilde: -2.

Mēģināsim noformulēt algoritmu frakcionētu racionālu vienādojumu risināšanai šādā veidā. Bērni paši formulē algoritmu.

Algoritms frakcionētu racionālu vienādojumu risināšanai:

1. Pārvietojiet visu pa kreisi.
2. Saved daļskaitļus līdz kopsaucējam.
3. Izveidojiet sistēmu: daļskaitlis ir nulle, ja skaitītājs ir nulle un saucējs nav nulle.
4. Atrisiniet vienādojumu.
5. Pārbaudiet nevienlīdzību, lai izslēgtu svešas saknes.
6. Pierakstiet atbildi.

Diskusija: kā formalizēt risinājumu, ja tiek izmantota proporcijas pamatīpašība un vienādojuma abu pušu reizināšana ar kopsaucēju. (Papildiniet risinājumu: izslēdziet no tā saknēm tos, kas kopsaucēju pārvērš uz nulli).

4. Jaunā materiāla primārā izpratne.

Strādāt pāros. Studenti paši izvēlas, kā atrisināt vienādojumu, atkarībā no vienādojuma veida. Uzdevumi no mācību grāmatas "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: Nr. 600 (b, c, i); Nr. 601(a, e, g). Skolotājs kontrolē uzdevuma izpildi, atbild uz radušajiem jautājumiem, sniedz palīdzību slikti veicošajiem skolēniem. Pašpārbaude: atbildes ir uzrakstītas uz tāfeles.

b) 2 ir sveša sakne. Atbilde: 3.

c) 2 ir sveša sakne. Atbilde: 1.5.

a) Atbilde: -12.5.

g) Atbilde: 1; 1.5.

5. Mājas darbu izraksts.

1. Izlasiet mācību grāmatas 25. punktu, analizējiet piemērus 1-3.
2. Apgūstiet daļējo racionālo vienādojumu risināšanas algoritmu.
3. Atrisināt burtnīcās Nr.600 (a, d, e); Nr. 601 (g, h).
4. Mēģiniet atrisināt #696(a) (pēc izvēles).

6. Kontroluzdevuma izpilde par pētāmo tēmu.

Darbs tiek veikts uz loksnēm.

Darba piemērs:

A) Kuri no vienādojumiem ir daļēji racionāli?

B) Daļa ir nulle, ja skaitītājs ir ______________________ un saucējs ir ___________________________.

J) Vai skaitlis -3 ir 6. vienādojuma sakne?

D) Atrisiniet vienādojumu Nr.7.

Uzdevuma vērtēšanas kritēriji:

• "5" tiek dota, ja skolēns pareizi izpildījis vairāk nekā 90% no uzdevuma.
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• "2" tiek piešķirts skolēnam, kurš izpildījis mazāk par 50% no uzdevuma.
• 2. pakāpi žurnālā neieliek, 3. ir pēc izvēles.

7. Atspulgs.

Uz brošūrām ar patstāvīgu darbu ievietojiet:

• 1 - ja nodarbība jums bija interesanta un saprotama;
• 2 - interesanti, bet nav skaidrs;
• 3 - nav interesanti, bet saprotami;
• 4 - nav interesanti, nav skaidrs.

8. Nodarbības rezumēšana.

Tātad, šodien nodarbībā mēs iepazināmies ar daļskaitļu racionālajiem vienādojumiem, mācījāmies, kā atrisināt šos vienādojumus Dažādi ceļi, pārbaudīja savas zināšanas ar apmācību palīdzību patstāvīgs darbs. Patstāvīgā darba rezultātus uzzināsiet nākamajā nodarbībā, mājās būs iespēja nostiprināt iegūtās zināšanas.

Kāda daļējo racionālo vienādojumu risināšanas metode, jūsuprāt, ir vieglāka, pieejamāka, racionālāka? Neatkarīgi no daļējo racionālo vienādojumu risināšanas metodes, ko nevajadzētu aizmirst? Kāda ir daļējo racionālo vienādojumu "viltība"?

Paldies visiem, nodarbība ir beigusies.

Mēs jau esam iemācījušies atrisināt kvadrātvienādojumus. Tagad paplašināsim pētītās metodes uz racionāliem vienādojumiem.

Kas racionāla izteiksme? Mēs jau esam saskārušies ar šo koncepciju. Racionālas izpausmes sauc par izteiksmēm, kas sastāv no skaitļiem, mainīgajiem, to pakāpēm un matemātisko darbību zīmēm.

Attiecīgi racionālie vienādojumi ir vienādojumi šādā formā: , kur - racionālas izpausmes.

Iepriekš mēs uzskatījām tikai tos racionālos vienādojumus, kas reducējas uz lineāriem. Tagad apskatīsim tos racionālos vienādojumus, kurus var reducēt uz kvadrātvienādojumu.

1. piemērs

Atrisiniet vienādojumu:.

Lēmums:

Daļa ir 0 tad un tikai tad, ja tās skaitītājs ir 0 un saucējs nav 0.

Mēs iegūstam šādu sistēmu:

Pirmais sistēmas vienādojums ir kvadrātvienādojums. Pirms tā atrisināšanas visus tā koeficientus sadalām ar 3. Iegūstam:

Mēs iegūstam divas saknes: ; .

Tā kā 2 nekad nav vienāds ar 0, ir jāievēro divi nosacījumi: . Tā kā neviena no iepriekš iegūtā vienādojuma saknēm neatbilst mainīgā lieluma nederīgajām vērtībām, kas iegūtas, risinot otro nevienādību, tie abi ir šī vienādojuma risinājumi.

Atbilde:.

Tātad, formulēsim racionālu vienādojumu risināšanas algoritmu:

1. Pārvietojiet visus terminus uz kreiso pusi, lai labajā pusē iegūtu 0.

2. Pārveidojiet un vienkāršojiet kreiso pusi, salieciet visas daļskaitļus līdz kopsaucējam.

3. Pielīdziniet iegūto daļskaitli ar 0, izmantojot šādu algoritmu: .

4. Pieraksti tās saknes, kas iegūtas pirmajā vienādojumā, un atbildē apmierini otro nevienādību.

Apskatīsim citu piemēru.

2. piemērs

Atrisiniet vienādojumu: .

Lēmums

Pašā sākumā visus noteikumus nododam uz kreisā puse lai labajā pusē paliktu 0. Mēs iegūstam:

Tagad vienādojuma kreiso pusi novietojam līdz kopsaucējam:

Šis vienādojums ir līdzvērtīgs sistēmai:

Pirmais sistēmas vienādojums ir kvadrātvienādojums.

Šī vienādojuma koeficienti: . Mēs aprēķinām diskriminantu:

Mēs iegūstam divas saknes: ; .

Tagad atrisināsim otro nevienādību: faktoru reizinājums nav vienāds ar 0 tad un tikai tad, ja neviens no faktoriem nav vienāds ar 0.

Jāievēro divi nosacījumi: . Mēs iegūstam, ka no divām pirmā vienādojuma saknēm ir piemērota tikai viena - 3.

Atbilde:.

Šajā nodarbībā mēs atcerējāmies, kas ir racionāla izteiksme, kā arī uzzinājām, kā atrisināt racionālos vienādojumus, kas tiek reducēti uz kvadrātvienādojumiem.

Nākamajā nodarbībā mēs aplūkosim racionālos vienādojumus kā reālu situāciju modeļus, kā arī apskatīsim kustības problēmas.

Bibliogrāfija

1. Bašmakovs M.I. Algebra, 8. klase. - M.: Apgaismība, 2004.
2. Dorofejevs G.V., Suvorova S.B., Bunimovičs E.A. et al., Algebra, 8. 5. izd. - M.: Izglītība, 2010.
3. Nikoļskis S.M., Potapovs M.A., Rešetņikovs N.N., Ševkins A.V. Algebra, 8. klase. Apmācība par izglītības iestādēm. - M.: Izglītība, 2006.

1. Pedagoģisko ideju festivāls " Publiskā nodarbība" ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Mājasdarbs

Līdz šim esam atrisinājuši tikai veselu skaitļu vienādojumus attiecībā uz nezināmo, tas ir, vienādojumus, kuros saucēji (ja tādi ir) nesaturēja nezināmo.

Bieži vien ir jāatrisina vienādojumi, kas saucējos satur nezināmo: šādus vienādojumus sauc par daļskaitļiem.

Lai atrisinātu šo vienādojumu, mēs reizinām abas tā puses ar, tas ir, ar polinomu, kas satur nezināmo. Vai jaunais vienādojums būs līdzvērtīgs dotajam? Lai atbildētu uz jautājumu, atrisināsim šo vienādojumu.

Reizinot abas tā puses ar , mēs iegūstam:

Atrisinot šo pirmās pakāpes vienādojumu, mēs atrodam:

Tātad vienādojumam (2) ir viena sakne

Aizvietojot to vienādojumā (1), mēs iegūstam:

Tādējādi tā ir arī (1) vienādojuma sakne.

Vienādojumam (1) nav citu sakņu. Mūsu piemērā to var redzēt, piemēram, no tā, ka vienādojumā (1)

Kā nezināmajam dalītājam jābūt vienādam ar dividendi 1, kas dalīta ar koeficientu 2, t.i.

Tātad vienādojumiem (1) un (2) ir viena sakne, tāpēc tie ir līdzvērtīgi.

2. Tagad mēs atrisinām šādu vienādojumu:

Vienkāršākais kopsaucējs: ; reiziniet ar to visus vienādojuma nosacījumus:

Pēc samazināšanas mēs iegūstam:

Paplašināsim iekavas:

Apvienojot līdzīgus nosacījumus, mums ir:

Atrisinot šo vienādojumu, mēs atrodam:

Aizvietojot vienādojumu (1), mēs iegūstam:

Kreisajā pusē saņēmām izteicienus, kuriem nav jēgas.

Tādējādi (1) vienādojuma sakne nav. Tas nozīmē, ka vienādojumi (1) un nav līdzvērtīgi.

Šajā gadījumā mēs sakām, ka vienādojums (1) ir ieguvis svešu sakni.

Salīdzināsim (1) vienādojuma atrisinājumu ar iepriekš aplūkoto vienādojumu atrisinājumu (sk. 51. §). Atrisinot šo vienādojumu, mums bija jāveic divas tādas darbības, kas iepriekš nebija redzētas: pirmkārt, mēs reizinājām abas vienādojuma puses ar izteiksmi, kas satur nezināmo (kopsaucēju), un, otrkārt, samazinājām algebriskās daļas ar faktoriem, kas satur nezināmais.

Salīdzinot vienādojumu (1) ar vienādojumu (2), mēs redzam, ka ne visas x vērtības, kas ir derīgas vienādojumam (2), ir derīgas vienādojumam (1).

Tieši skaitļi 1 un 3 nav pieļaujamās nezināmā vērtības vienādojumam (1), un transformācijas rezultātā tie kļuva pieļaujami vienādojumam (2). Viens no šiem skaitļiem izrādījās (2) vienādojuma risinājums, bet, protams, tas nevar būt (1) vienādojuma risinājums. Vienādojumam (1) nav atrisinājumu.

Šis piemērs parāda, ka, ja abas vienādojuma puses tiek reizinātas ar koeficientu, kas satur nezināmo, un kad algebriskās daļas var iegūt vienādojumu, kas nav līdzvērtīgs šim, proti: var parādīties svešas saknes.

Tāpēc mēs izdarām šādu secinājumu. Atrisinot vienādojumu, kura saucējā ir nezināms, iegūtās saknes ir jāpārbauda, ​​aizstājot sākotnējo vienādojumu. Svešās saknes ir jāizmet.

Vienkārši sakot, tie ir vienādojumi, kuros ir vismaz viens ar mainīgo saucējā.

Piemēram:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Piemērs nē Daļēji racionālie vienādojumi:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Kā tiek atrisināti racionālie vienādojumi?

Galvenais, kas jāatceras par racionālajiem vienādojumiem, ir tas, ka tajos ir jāieraksta. Un pēc sakņu atrašanas noteikti pārbaudiet to pieļaujamību. Pretējā gadījumā var parādīties svešas saknes, un viss risinājums tiks uzskatīts par nepareizu.

Algoritms daļēja racionāla vienādojuma risināšanai:

Izrakstiet un "atrisiniet" ODZ.

Reiziniet katru vienādojuma vārdu ar kopsaucēju un samaziniet iegūtās daļas. Saucēji pazudīs.

Uzrakstiet vienādojumu, neatverot iekavas.

Atrisiniet iegūto vienādojumu.

Pārbaudiet atrastās saknes ar ODZ.

Atbildot uz to, pierakstiet saknes, kas izturēja pārbaudi 7. darbībā.

Neatcerieties algoritmu, 3-5 atrisinātus vienādojumus - un tas pats par sevi atcerēsies.

Piemērs . Atrisiniet daļējo racionālo vienādojumu \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Lēmums:

Atbilde: \(3\).

Piemērs . Atrodiet daļējā racionālā vienādojuma \(=0\) saknes

Lēmums:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Mēs pierakstām un "atrisinām" ODZ. Izvērsiet \(x^2+7x+10\) formulā: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Par laimi \(x_1\) un \(x_2\) mēs jau esam atraduši.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Acīmredzot daļskaitļu kopsaucējs: \((x+2)(x+5)\). Mēs ar to reizinām visu vienādojumu.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Mēs samazinām frakcijas
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Atverot kronšteinus
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Mēs sniedzam līdzīgus noteikumus
\(2x^2+9x-5=0\)		Vienādojuma sakņu atrašana
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Viena no saknēm neietilpst zem ODZ, tāpēc atbildē mēs pierakstām tikai otro sakni.

Atbilde: \(\frac(1)(2)\).