"Vektoru skalārais reizinājums" — vektoru skalārais reizinājums. Vienādmalu trijstūrī ABC ar malu 1 ir novilkts augstums BD. Pēc definīcijas raksturot leņķi? starp vektoriem un ja: a) b) c) d). Pie kādas t vērtības vektors ir perpendikulārs vektoram, ja (2, -1), (4, 3). Vektoru un skalārais reizinājums ir apzīmēts.

"Ģeometrijas 9 klase "Vektori"" - Attālums starp diviem punktiem. Vienkāršākās problēmas koordinātēs. Pārbaudi sevi! Vektoru koordinātas. 1903. gadā O. Henriči ierosināja skalāro reizinājumu apzīmēt ar simbolu (a, c). Vektors ir virzīts segments. Vektora dekompozīcija koordinātu vektoros. Vektora jēdziens. Vektora dekompozīcija plaknē divos nekolineāros vektoros.

"Problēmu risināšanas vektors" — izteikt vektorus AM, DA, CA, MB, CD vektora a un vektora b izteiksmē. № 2 Izteikt vektorus DP, DM, AC caur vektoriem a un b. SR: PD=2:3; AK: KD = 1: 2. Izsakiet vektorus CK, RK caur vektoriem a un b. BE:EC = 3:1. K ir līdzstrāvas vidusdaļa. VK: KС = 3: 4. Izsakiet vektorus AK, DK caur vektoriem a un b. Vektoru pielietojums problēmu risināšanā (1. daļa).

"Problēmas uz vektoriem" - teorēma. Atrodiet koordinātas. Tiek doti trīs punkti. Trijstūra virsotnes. Atrodiet vektoru koordinātas. Atrodiet punkta koordinātas. Atrodiet vektora koordinātas un garumu. Izsakiet vektora garumu. Vektoru koordinātas. Vektoru koordinātas. Atrodiet vektora koordinātas. Ir doti vektori. Nosauc vektoru koordinātas. Vektoram ir koordinātas.

"Koordinātu metode plaknē" - tiek uzzīmēts aplis. Perpendikulāri. Koordinātu ass. Sinusa vērtība. Taisnstūra koordinātu sistēma plaknē. Atrodiet virsotņu koordinātas. Apsveriet piemēru. Šīs problēmas risinājums. Punkti tiek doti lidmašīnā. Paralelograma virsotnes. Paplašiniet vektorus. Aprēķināt. Daudz punktu. Grafiski atrisiniet vienādojumu sistēmu.

"Vektoru saskaitīšana un atņemšana" - 1. Nodarbības mērķi. 2. Galvenā daļa. Jūsu ļoti, lielākā daļa labākais draugs Sleepwalker! Uzziniet, kā atņemt vektorus. 2. Norādiet vektoru a un b summas vektoru. Mans draugs!! Paskatīsimies, kas mums šeit ir. Mūsu mērķi: Secinājums. 3. Pārskats par galvu. 4. Literatūras saraksts. Ceļošana ar Lunaticu. No punkta A mēs atliekam abus vektorus.

Kopumā tēmā ir 29 prezentācijas

Studējot ģeometriju, rodas daudzi jautājumi par vektoru tēmu. Īpašas grūtības studentam rodas, ja nepieciešams atrast leņķus starp vektoriem.

Pamatnosacījumi

Pirms aplūkot leņķus starp vektoriem, ir jāiepazīstas ar vektora definīciju un leņķa starp vektoriem jēdzienu.

Vektors ir segments, kuram ir virziens, tas ir, segments, kuram ir noteikts tā sākums un beigas.

Leņķis starp diviem vektoriem plaknē, kuriem ir kopīgs sākums, ir mazākais no leņķiem, par kuriem ir nepieciešams pārvietot vienu no vektoriem ap kopīgu punktu tādā stāvoklī, kurā to virzieni sakrīt.

Risinājuma formula

Kad esat sapratis, kas ir vektors un kā tiek noteikts tā leņķis, varat aprēķināt leņķi starp vektoriem. Risinājuma formula tam ir diezgan vienkārša, un tās piemērošanas rezultāts būs leņķa kosinusa vērtība. Pēc definīcijas tas ir vienāds ar koeficientu punktu produkts vektori un to garumu reizinājums.

Vektoru skalāro reizinājumu uzskata par reizinātāju vektoru atbilstošo koordinātu summu, kas reizināta ar otru. Vektora garumu vai tā moduli aprēķina kā kvadrātsakni no tā koordinātu kvadrātu summas.

Saņemot leņķa kosinusa vērtību, jūs varat aprēķināt paša leņķa vērtību, izmantojot kalkulatoru vai trigonometrisko tabulu.

Piemērs

Kad esat izdomājis, kā aprēķināt leņķi starp vektoriem, atbilstošās problēmas risinājums kļūst vienkāršs un saprotams. Kā piemēru apsveriet vienkāršo problēmu, kā atrast leņķa lielumu.

Pirmkārt, ērtāk būs aprēķināt vektoru garumu vērtības un to skalāro reizinājumu, kas nepieciešams risināšanai. Izmantojot iepriekš minēto aprakstu, mēs iegūstam:

Aizvietojot iegūtās vērtības formulā, mēs aprēķinām vajadzīgā leņķa kosinusa vērtību:

Šis skaitlis nav viena no piecām izplatītākajām kosinusa vērtībām, tāpēc, lai iegūtu leņķa vērtību, jums būs jāizmanto kalkulators vai Bradis trigonometriskā tabula. Bet pirms leņķa iegūšanas starp vektoriem formulu var vienkāršot, lai atbrīvotos no papildu negatīvās zīmes:

Galīgo atbildi var atstāt šajā formā, lai saglabātu precizitāti, vai arī varat aprēķināt leņķa vērtību grādos. Saskaņā ar Bradis tabulu tā vērtība būs aptuveni 116 grādi un 70 minūtes, un kalkulators rādīs vērtību 116,57 grādi.

Leņķa aprēķins n-dimensiju telpā

Apsverot divus vektorus trīsdimensiju telpā, ir daudz grūtāk saprast, par kuru leņķi mēs runājam, ja tie neatrodas vienā plaknē. Lai vienkāršotu uztveri, varat uzzīmēt divus krustojošus segmentus, kas veido mazāko leņķi starp tiem, un tas būs vēlamais. Neskatoties uz trešās koordinātas klātbūtni vektorā, leņķu starp vektoriem aprēķināšanas process nemainīsies. Aprēķiniet vektoru skalāro reizinājumu un moduļus, to koeficienta arkosīnu, un tas būs atbilde uz šo problēmu.

Ģeometrijā problēmas bieži rodas ar telpām, kurām ir vairāk nekā trīs dimensijas. Bet viņiem atbildes atrašanas algoritms izskatās līdzīgs.

Atšķirība no 0 līdz 180 grādiem

Viena no izplatītākajām kļūdām, rakstot atbildi uz uzdevumu, kas paredzēts, lai aprēķinātu leņķi starp vektoriem, ir lēmums rakstīt, ka vektori ir paralēli, tas ir, vēlamais leņķis izrādījās 0 vai 180 grādi. Šī atbilde ir nepareiza.

Saņemot leņķa vērtību 0 grādu risinājuma rezultātā, pareizā atbilde būtu apzīmēt vektorus kā līdzvirzienus, tas ir, vektoriem būs vienāds virziens. 180 grādu iegūšanas gadījumā vektori būs pretējo virzienu dabā.

Specifiski vektori

Atrodot leņķus starp vektoriem, papildus iepriekš aprakstītajiem līdzvirziena un pretēji virzītajiem var atrast vienu no īpašajiem veidiem.

• Vairākus vektorus, kas ir paralēli vienai plaknei, sauc par koplanāriem.
• Vektorus, kuru garums un virziens ir vienāds, sauc par vienādiem.
• Vektorus, kas atrodas uz vienas taisnas līnijas neatkarīgi no virziena, sauc par kolineāriem.
• Ja vektora garums ir nulle, tas ir, tā sākums un beigas sakrīt, tad to sauc par nulli, un, ja tas ir viens, tad to sauc par vienu.

Instrukcija

Lai plaknē ir doti divi nulles vektori, kas attēloti no viena punkta: vektors A ar koordinātām (x1, y1) B ar koordinātām (x2, y2). Injekcija starp tiem ir apzīmēts kā θ. Lai atrastu leņķa θ pakāpes mēru, jums jāizmanto skalārā reizinājuma definīcija.

Divu nulles vektoru skalārā reizinājums ir skaitlis, kas vienāds ar šo vektoru garumu reizinājumu un starp tiem esošā leņķa kosinusu, tas ir, (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Tagad jums ir jāizsaka leņķa kosinuss no šī: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Skalāro reizinājumu var atrast arī, izmantojot formulu (A,B)=x1*x2+y1*y2, jo divu nulles vektoru reizinājums ir vienāds ar atbilstošo vektoru reizinājumu summu. Ja nulle neskaitāmu vektoru skalārā reizinājums ir vienāds ar nulli, tad vektori ir perpendikulāri (leņķis starp tiem ir 90 grādi) un turpmākos aprēķinus var izlaist. Ja divu vektoru skalārais reizinājums ir pozitīvs, tad leņķis starp tiem vektori akūts, un, ja negatīvs, tad leņķis ir neass.

Tagad aprēķiniet vektoru A un B garumus, izmantojot šādas formulas: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Vektora garumu aprēķina kā Kvadrātsakne no tā koordinātu kvadrātu summas.

Atrastās skalārās reizinājuma vērtības un vektoru garumus aizstājiet 2. solī iegūtā leņķa formulā, tas ir, cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²)). Tagad, zinot vērtību , lai atrastu pakāpes mēru leņķim starp vektori jums ir jāizmanto Bradis tabula vai jāņem no šīs: θ=arccos(cos(θ)).

Ja vektori A un B ir doti trīsdimensiju telpā un tiem ir attiecīgi koordinātes (x1, y1, z1) un (x2, y2, z2), tad, atrodot leņķa kosinusu, tiek pievienota vēl viena koordināte. Šajā gadījumā kosinuss: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Noderīgs padoms

Ja divi vektori nav uzzīmēti no viena punkta, tad, lai atrastu leņķi starp tiem ar paralēlo tulkošanu, ir jāapvieno šo vektoru sākumi.
Leņķis starp diviem vektoriem nedrīkst būt lielāks par 180 grādiem.

Avoti:

• Kā aprēķināt leņķi starp vektoriem
• Leņķis starp līniju un plakni

Lai atrisinātu daudzas gan lietišķās, gan teorētiskās problēmas fizikā un lineārajā algebrā, ir jāaprēķina leņķis starp vektoriem. Šis šķietami vienkāršais uzdevums var sagādāt daudz grūtību, ja skaidri neizprotat skalārā reizinājuma būtību un kāda vērtība parādās šī produkta rezultātā.

Instrukcija

Leņķis starp vektoriem lineārā vektoru telpā ir minimālais leņķis pie , pie kura tiek sasniegts vektoru kopvirziens. Viens no vektoriem tiek nēsāts ap tā sākuma punktu. No definīcijas kļūst skaidrs, ka leņķa vērtība nedrīkst pārsniegt 180 grādus (skatiet soli).

Šajā gadījumā pilnīgi pamatoti tiek pieņemts, ka lineārā telpā, vektorus pārnesot paralēli, leņķis starp tiem nemainās. Tāpēc leņķa analītiskajam aprēķinam vektoru telpiskajai orientācijai nav nozīmes.

Punktu reizinājuma rezultāts ir skaitlis, pretējā gadījumā skalārs. Atcerieties (tas ir svarīgi zināt), lai turpmākajos aprēķinos nepieļautu kļūdas. Skalārā reizinājuma formulai, kas atrodas plaknē vai vektoru telpā, ir forma (skat. soļa attēlu).

Ja vektori atrodas telpā, tad aprēķinu veic līdzīgi. Vienīgais būs termina parādīšanās dividendē - tāds ir pieteikuma termiņš, t.i. vektora trešā sastāvdaļa. Attiecīgi, aprēķinot vektoru moduli, jāņem vērā arī z komponente, tad vektoriem, kas atrodas telpā, pēdējo izteiksmi pārveido šādi (skat. 6. attēlu līdz solim).

Vektors ir līnijas segments ar noteiktu virzienu. Leņķim starp vektoriem ir fiziskā nozīme, piemēram, atrodot vektora projekcijas garumu uz asi.

Instrukcija

Leņķis starp diviem vektoriem, kas nav nulles, izmantojot punktu reizinājuma aprēķinu. Pēc definīcijas reizinājums ir vienāds ar garumu un leņķa starp tiem reizinājumu. Savukārt diviem vektoriem a ar koordinātām (x1; y1) un b ar koordinātām (x2; y2) aprēķina iekšējo reizinājumu: ab = x1x2 + y1y2. No šiem diviem veidiem punktu reizinājumu ir viegli pagriezt starp vektoriem.

Atrodiet vektoru garumus vai moduļus. Mūsu vektoriem a un b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Atrodiet vektoru iekšējo reizinājumu, reizinot to koordinātas pa pāriem: ab = x1x2 + y1y2. No punktreizes definīcijas ab = |a|*|b|*cos α, kur α ir leņķis starp vektoriem. Tad mēs iegūstam, ka x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Tad cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Atrodiet leņķi α, izmantojot Bredisa tabulas.

Saistītie video

Piezīme

Skalārais reizinājums ir vektoru garuma un leņķa starp tiem skalārais raksturlielums.

Plakne ir viens no ģeometrijas pamatjēdzieniem. Plakne ir virsma, par kuru apgalvojums ir patiess - jebkura taisne, kas savieno divus tās punktus, pilnībā pieder šai virsmai. Lidmašīnas ir norādītas grieķu burtiα, β, γ utt. Divas plaknes vienmēr krustojas taisnā līnijā, kas pieder abām plaknēm.

Instrukcija

Apsveriet pusplaknes α un β, kas izveidotas krustpunktā . Leņķis, ko veido taisne a un divas pusplaknes α un β ar divskaldņu leņķi. Šajā gadījumā pusplaknes, kas veido diedrālu leņķi ar skaldnēm, līniju a, pa kuru plaknes krustojas, sauc par malu divšķautņu leņķis.

Divšķautņu leņķis, tāpat kā plakans leņķis, grādos. Lai izveidotu divskaldņu leņķi, ir jāizvēlas patvaļīgs punkts O uz tā skaldnes. Abos caur punktu O tiek izvilkti divi stari a. Iegūto leņķi AOB sauc par divskaldņa leņķa a lineāro leņķi.

Tātad ir dots vektors V = (a, b, c) un plakne A x + B y + C z = 0, kur A, B un C ir normālā N koordinātes. Tad leņķa kosinuss α starp vektoriem V un N ir: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Lai aprēķinātu leņķa vērtību grādos vai radiānos, no iegūtās izteiksmes jāaprēķina kosinusam apgrieztā funkcija, t.i. arkosīns: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Piemērs: atrast injekcija starp vektors(5, -3, 8) un lidmašīna, kas dots ar vispārīgo vienādojumu 2 x - 5 y + 3 z = 0. Risinājums: pierakstiet plaknes N = (2, -5, 3) normālvektora koordinātas. Aizstāt visu zināmās vērtības iepriekš minētajā formulā: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Saistītie video

Uzrakstiet vienādojumu un izolējiet no tā kosinusu. Saskaņā ar vienu formulu vektoru skalārais reizinājums ir vienāds ar to garumiem, kas reizināti viens ar otru un ar kosinusu leņķis, un, no otras puses, - koordinātu reizinājumu summa pa katru no asīm. Pielīdzinot abas formulas, varam secināt, ka kosinuss leņķis jābūt vienādam ar koordinātu reizinājumu summas attiecību pret vektoru garumu reizinājumu.

Pierakstiet iegūto vienādojumu. Lai to izdarītu, mums ir jānorāda abi vektori. Pieņemsim, ka tie ir doti 3D Dekarta sistēmā un to sākuma punkti ir režģī. Pirmā vektora virzienu un lielumu norādīs punkts (X₁,Y₁,Z₁), otrā - (X2,Y2,Z2), un leņķi apzīmē ar burtu γ. Tad katra vektora garumi var būt, piemēram, saskaņā ar Pitagora teorēmu, ko veido to projekcijas uz katras koordinātu ass: √(X₁² + Y₁² + Z1²) un √(X₂² + Y₂² + Z²). Aizstājiet šīs izteiksmes iepriekšējā solī formulētajā formulā un iegūsit vienādību: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X1² + Y₁² + Z₁²) * √ +(X₂) Y₂² + Z₂² )).

Izmantojiet to, ka summa kvadrātā sinusa un co sinusa no leņķis viena vērtība vienmēr dod vienu. Tādējādi, paaugstinot to, kas tika iegūts iepriekšējā solī par co sinusa kvadrātā un atņemts no vienotības, un pēc tam

Vektoru punktu reizinājums

Mēs turpinām nodarboties ar vektoriem. Pirmajā nodarbībā Manekenu vektori mēs esam apsvēruši vektora jēdzienu, darbības ar vektoriem, vektoru koordinātas un vienkāršākās problēmas ar vektoriem. Ja pirmo reizi nonācāt šajā lapā, izmantojot meklētājprogrammu, es ļoti iesaku izlasīt iepriekš minēto ievadraksts, jo materiāla asimilēšanai ir nepieciešams orientēties manis lietotajos terminos un apzīmējumos, lai būtu pamatzināšanas par vektoriem un prast atrisināt elementāras problēmas. Šī nodarbība ir loģisks tēmas turpinājums, un tajā es detalizēti analizēšu tipiskus uzdevumus, kas izmanto vektoru skalāro reizinājumu. Tas ir ļoti SVARĪGA darbība . Centieties neizlaist piemērus, tiem ir pievienots noderīgs bonuss - prakse palīdzēs konsolidēt aplūkoto materiālu un "pieķerties" izplatītāko analītiskās ģeometrijas problēmu risināšanai.

Vektoru pievienošana, vektora reizināšana ar skaitli…. Būtu naivi domāt, ka matemātiķi nav izdomājuši ko citu. Papildus jau apskatītajām darbībām ir vairākas citas darbības ar vektoriem, proti: vektoru punktu reizinājums, vektoru krustreizinājums Un vektoru jauktais produkts. Vektoru skalārais reizinājums mums ir pazīstams no skolas laikiem, pārējie divi produkti ir tradicionāli saistīti ar kursu augstākā matemātika. Tēmas ir vienkāršas, daudzu problēmu risināšanas algoritms ir stereotipisks un saprotams. Vienīgā lieta. Informācijas ir pieklājīgi daudz, tāpēc nav vēlams mēģināt apgūt un atrisināt VISU UN UZREIZ. Īpaši tas attiecas uz manekeniem, ticiet man, autors absolūti nevēlas justies kā Čikatilo no matemātikas. Nu, protams, arī ne no matemātikas =) Sagatavotāki skolēni var selektīvi izmantot materiālus, savā ziņā "iegūt" trūkstošās zināšanas, es jums būšu nekaitīgs grāfs Drakula =)

Visbeidzot, nedaudz pavērsim durvis un paskatīsimies, kas notiek, kad divi vektori satiekas....

Vektoru skalārās reizinājuma definīcija.
Skalārā reizinājuma īpašības. Tipiski uzdevumi

Punktu produkta jēdziens

Vispirms par leņķis starp vektoriem. Es domāju, ka visi intuitīvi saprot, kāds ir leņķis starp vektoriem, bet katram gadījumam nedaudz vairāk. Apsveriet brīvos nulles vektorus un . Ja mēs atliksim šos vektorus no patvaļīga punkta, mēs iegūstam attēlu, ko daudzi jau ir garīgi prezentējuši:

Atzīšos, šeit situāciju aprakstīju tikai saprašanas līmenī. Ja jums ir nepieciešama stingra leņķa definīcija starp vektoriem, lūdzu, skatiet mācību grāmatu, bet praktiskiem uzdevumiem mums tas principā nav vajadzīgs. Arī ŠEIT UN TĀLĀK es dažkārt ignorēšu nulles vektorus to zemās praktiskās nozīmes dēļ. Es veicu rezervāciju īpaši pieredzējušiem vietnes apmeklētājiem, kuri var man pārmest dažu tālāk minēto apgalvojumu teorētisko nepilnību.

var ņemt vērtības no 0 līdz 180 grādiem (no 0 līdz radiāniem) ieskaitot. Analītiski dots fakts tiek uzrakstīts kā dubultā nevienlīdzība: vai (radiānos).

Literatūrā leņķa ikona bieži tiek izlaista un vienkārši uzrakstīta.

Definīcija: Divu vektoru skalārais reizinājums ir SKAITS, kas vienāds ar šo vektoru garumu reizinājumu un starp tiem esošā leņķa kosinusu:

Tagad tā ir diezgan stingra definīcija.

Mēs koncentrējamies uz būtisku informāciju:

Apzīmējums: skalārais reizinājums tiek apzīmēts ar vai vienkārši .

Operācijas rezultāts ir SKAITS: reiziniet vektoru ar vektoru, lai iegūtu skaitli. Patiešām, ja vektoru garumi ir skaitļi, leņķa kosinuss ir skaitlis, tad to reizinājums arī būs cipars.

Tikai daži iesildīšanās piemēri:

1. piemērs

Risinājums: Mēs izmantojam formulu . Šajā gadījumā:

Atbilde:

Kosinusa vērtības var atrast trigonometriskā tabula. Iesaku izdrukāt - prasīs gandrīz visās torņa sekcijās un prasīs daudzas reizes.

Tīri no matemātiskā viedokļa skalārais reizinājums ir bezdimensijas, tas ir, rezultāts šajā gadījumā ir tikai skaitlis, un viss. No fizikas problēmu viedokļa skalārajam reizinājumam vienmēr ir noteikta fiziskā nozīme, tas ir, pēc rezultāta jānorāda viena vai otra fiziskā vienība. Spēka darba aprēķināšanas kanonisko piemēru var atrast jebkurā mācību grāmatā (formula ir tieši punktveida reizinājums). Spēka darbs tiek mērīts džoulos, tāpēc atbilde tiks uzrakstīta diezgan konkrēti, piemēram,.

2. piemērs

Atrodi, ja , un leņķis starp vektoriem ir .

Šis ir piemērs pašlēmumam, atbilde ir nodarbības beigās.

Leņķis starp vektoriem un punkta produkta vērtību

1. piemērā skalārais reizinājums izrādījās pozitīvs, bet 2. piemērā tas izrādījās negatīvs. Noskaidrosim, no kā ir atkarīga skalārā reizinājuma zīme. Apskatīsim mūsu formulu: . Nenulles vektoru garumi vienmēr ir pozitīvi: , tāpēc zīme var būt atkarīga tikai no kosinusa vērtības.

Piezīme: Lai labāk izprastu tālāk sniegto informāciju, labāk ir izpētīt rokasgrāmatā esošo kosinusa grafiku Grafiki un funkciju īpašības. Skatiet, kā segmentā darbojas kosinuss.

Kā jau minēts, leņķis starp vektoriem var mainīties , un ir iespējami šādi gadījumi:

1) Ja injekcija starp vektoriem pikants: (no 0 līdz 90 grādiem), tad , Un punktu produkts būs pozitīvs līdzrežisors, tad leņķis starp tiem tiek uzskatīts par nulli, un arī skalārais reizinājums būs pozitīvs. Tā kā , tad formula ir vienkāršota: .

2) Ja injekcija starp vektoriem stulbi: (no 90 līdz 180 grādiem), tad un attiecīgi punktu produkts ir negatīvs: . Īpašs gadījums: ja vektori vērsta pretēji, tad tiek ņemts vērā leņķis starp tiem izvietoti: (180 grādi). Arī skalārais reizinājums ir negatīvs, jo

Arī pretējie apgalvojumi ir patiesi:

1) Ja , tad leņķis starp šiem vektoriem ir akūts. Alternatīvi, vektori ir līdzvirziena.

2) Ja , tad leņķis starp šiem vektoriem ir strups. Alternatīvi, vektori ir vērsti pretēji.

Bet trešais gadījums ir īpaši interesants:

3) Ja injekcija starp vektoriem taisni: (90 grādi), tad un punktu produkts ir nulle: . Ir arī otrādi: ja , tad . Kompaktais paziņojums ir formulēts šādi: Divu vektoru skalārā reizinājums ir nulle tad un tikai tad, ja dotie vektori ir ortogonāli. īss matemātiskais apzīmējums:

! Piezīme : atkārtojiet matemātiskās loģikas pamati: abpusējas loģiskās sekas ikona parasti tiek lasīta "ja un tikai tad", "ja un tikai tad". Kā redzat, bultiņas ir vērstas abos virzienos - "no šī izriet tas, un otrādi - no šī seko šis." Ar ko, starp citu, ir atšķirība no vienvirziena sekošanas ikonas? Ikonas pretenzijas tikai to, ka ka "no tā izriet tas", nevis tas, ka ir otrādi. Piemēram: , bet ne katrs dzīvnieks ir pantera, tāpēc ikonu šajā gadījumā nevar izmantot. Tajā pašā laikā ikonas vietā var izmantojiet vienpusēju ikonu. Piemēram, risinot uzdevumu, mēs noskaidrojām, ka secinājām, ka vektori ir ortogonāli: - šāds ieraksts būs pareizs un pat atbilstošāks nekā .

Trešajam gadījumam ir liela praktiska nozīme., jo tas ļauj pārbaudīt, vai vektori ir ortogonāli vai nē. Šo problēmu atrisināsim nodarbības otrajā daļā.

Punktu produkta īpašības

Atgriezīsimies pie situācijas, kad divi vektori līdzrežisors. Šajā gadījumā leņķis starp tiem nulle, , un skalārā reizinājuma formula ir šāda: .

Kas notiek, ja vektoru reizina ar sevi? Ir skaidrs, ka vektors ir vērsts kopā ar sevi, tāpēc mēs izmantojam iepriekš minēto vienkāršoto formulu:

Numurs tiek izsaukts skalārais kvadrāts vektors , un tiek apzīmēti kā .

Pa šo ceļu, vektora skalārais kvadrāts ir vienāds ar dotā vektora garuma kvadrātu:

No šīs vienādības jūs varat iegūt formulu vektora garuma aprēķināšanai:

Lai arī šķiet neskaidri, bet nodarbības uzdevumi visu noliks savās vietās. Lai atrisinātu problēmas, mums ir arī nepieciešams punktu produkta īpašības.

Patvaļīgiem vektoriem un jebkuram skaitlim ir patiesas šādas īpašības:

1) - pārvietojams vai komutatīvais skalārā produkta likums.

2) - izplatīšana vai sadales skalārā produkta likums. Vienkārši sakot, jūs varat atvērt iekavas.

3) - kombinācija vai asociatīvs skalārā produkta likums. Konstantu var izņemt no skalārā reizinājuma.

Bieži vien visādas īpašības (kas arī jāpierāda!) skolēni uztver kā junk, kas tikai jāiegaumē un droši jāaizmirst uzreiz pēc eksāmena. Šķiet, kas šeit ir svarīgi, visi jau no pirmās klases zina, ka produkts nemainās no faktoru permutācijas:. Jābrīdina, ka augstākajā matemātikā ar šādu pieeju lietas var viegli sajaukt. Tātad, piemēram, komutatīvais īpašums nav derīgs algebriskās matricas. Tā nav taisnība priekš vektoru krustreizinājums. Tāpēc vismaz labāk iedziļināties jebkurās īpašībās, ar kurām sastapsies augstākās matemātikas gaitā, lai saprastu, ko drīkst un ko nedrīkst.

3. piemērs

.

Risinājums: Vispirms noskaidrosim situāciju ar vektoru. Par ko ir runa? Vektoru un summa ir labi definēts vektors, ko apzīmē ar . Darbību ģeometriskā interpretācija ar vektoriem atrodama rakstā Manekenu vektori. Tie paši pētersīļi ar vektoru ir vektoru un .

Tātad, atbilstoši nosacījumam, ir jāatrod skalārais reizinājums. Teorētiski jums ir jāpiemēro darba formula , bet problēma ir tā, ka mēs nezinām vektoru garumus un leņķi starp tiem. Bet stāvoklī vektoriem ir doti līdzīgi parametri, tāpēc mēs iesim citu ceļu:

(1) Mēs aizstājam vektoru izteiksmes.

(2) Atveram iekavas pēc polinomu reizināšanas likuma, rakstā var atrast vulgāro mēles griezēju Kompleksie skaitļi vai Daļēji racionālas funkcijas integrācija. Es neatkārtošos =) Starp citu, skalārā reizinājuma sadales īpašība ļauj mums atvērt iekavas. Mums ir tiesības.

(3) Pirmajā un pēdējā terminā mēs kompakti ierakstām vektoru skalāros kvadrātus: . Otrajā termiņā mēs izmantojam skalārā reizinājuma komutējamību: .

(4) Šeit ir līdzīgi termini: .

(5) Pirmajā termiņā mēs izmantojam skalārā kvadrāta formulu, kas tika pieminēta ne tik sen. Pēdējā termiņā attiecīgi darbojas tas pats: . Otrais termins tiek paplašināts saskaņā ar standarta formulu .

(6) Aizstāt šos nosacījumus , un UZMANĪGI veiciet galīgos aprēķinus.

Atbilde:

Negatīvā nozīme punktu reizinājums norāda faktu, ka leņķis starp vektoriem ir neass.

Uzdevums ir tipisks, šeit ir piemērs neatkarīgam risinājumam:

4. piemērs

Atrodiet vektoru skalāro reizinājumu un , ja tas ir zināms .

Tagad vēl viens izplatīts uzdevums, tikai jaunajai vektora garuma formulai. Apzīmējumi šeit nedaudz pārklājas, tāpēc skaidrības labad es to pārrakstīšu ar citu burtu:

5. piemērs

Atrodiet vektora garumu, ja .

Risinājums būs šādi:

(1) Mēs piedāvājam vektora izteiksmi .

(2) Mēs izmantojam garuma formulu: , kamēr mums ir vesela skaitļa izteiksme kā vektors "ve".

(3) Mēs izmantojam skolas formulu summas kvadrātam. Pievērsiet uzmanību tam, kā tas dīvaini darbojas šeit: - patiesībā tas ir atšķirības kvadrāts, un patiesībā tas tā arī ir. Tie, kas vēlas, var pārkārtot vektorus vietās: - tas pats izrādījās līdz terminu pārkārtošanai.

(4) Sekojošais jau ir zināms no divām iepriekšējām problēmām.

Atbilde:

Tā kā mēs runājam par garumu, neaizmirstiet norādīt izmēru - "vienības".

6. piemērs

Atrodiet vektora garumu, ja .

Šis ir “dari pats” piemērs. Pilnīgs risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Mēs turpinām izspiest no skalārā produkta noderīgas lietas. Apskatīsim vēlreiz mūsu formulu . Saskaņā ar proporcijas likumu mēs atiestatām vektoru garumus uz kreisās puses saucēju:

Apmainīsim detaļas:

Kāda ir šīs formulas nozīme? Ja ir zināmi divu vektoru garumi un to skalārā reizinājums, tad var aprēķināt leņķa kosinusu starp šiem vektoriem un līdz ar to arī pašu leņķi.

Vai skalārais reizinājums ir skaitlis? Numurs. Vai vektoru garumi ir skaitļi? Skaitļi. Tātad arī daļskaitlis ir skaitlis. Un, ja ir zināms leņķa kosinuss: , pēc tam izmantojot apgrieztā funkcija pašu stūri ir viegli atrast: .

7. piemērs

Atrodiet leņķi starp vektoriem un , ja ir zināms, ka .

Risinājums: Mēs izmantojam formulu:

Uz pēdējais posms aprēķinus, tika izmantots paņēmiens - iracionalitātes novēršana saucējā. Lai novērstu iracionalitāti, es skaitītāju un saucēju reizinu ar .

Tātad ja , tad:

Apgrieztās vērtības trigonometriskās funkcijas var atrast pēc trigonometriskā tabula. Lai gan tas notiek reti. Analītiskās ģeometrijas uzdevumos daudz biežāk parādās kāds neveikls lācis, un leņķa vērtība ir aptuveni jāatrod, izmantojot kalkulatoru. Patiesībā mēs šo attēlu redzēsim atkal un atkal.

Atbilde:

Vēlreiz neaizmirstiet norādīt izmēru - radiānos un grādus. Personīgi, lai apzināti “noņemtu visus jautājumus”, es gribētu norādīt abus (ja vien, protams, pēc nosacījuma, atbilde nav jāsniedz tikai radiānos vai tikai grādos).

Tagad jūs varat tikt galā ar vairāk grūts uzdevums:

7. piemērs*

Doti ir vektoru garumi un leņķis starp tiem. Atrast leņķi starp vektoriem , .

Uzdevums nav tik daudz grūts, cik daudzpusīgs.
Analizēsim risinājuma algoritmu:

1) Saskaņā ar nosacījumu ir jāatrod leņķis starp vektoriem un , tāpēc jums ir jāizmanto formula .

2) Mēs atrodam skalāro reizinājumu (skat. Piemērus Nr. 3, 4).

3) Atrodiet vektora garumu un vektora garumu (skatiet piemērus Nr. 5, 6).

4) Risinājuma beigas sakrīt ar piemēru Nr. 7 - mēs zinām skaitli , kas nozīmē, ka ir viegli atrast pašu leņķi:

Ātrs risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Nodarbības otrā sadaļa ir veltīta tam pašam punktu produktam. Koordinātas. Tas būs pat vieglāk nekā pirmajā daļā.

vektoru punktu reizinājums,
dots ar koordinātām ortonormālā bāzē

Atbilde:

Lieki piebilst, ka tikt galā ar koordinātām ir daudz patīkamāk.

14. piemērs

Atrodiet vektoru skalāro reizinājumu un ja

Šis ir “dari pats” piemērs. Šeit var izmantot darbības asociativitāti, tas ir, neskaitīt, bet nekavējoties izņemt trīskāršu no skalārā reizinājuma un reizināt ar to pēdējo. Risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Rindkopas beigās provokatīvs vektora garuma aprēķināšanas piemērs:

15. piemērs

Atrast vektoru garumus , ja

Risinājums: atkal prasot ceļu iepriekšējā sadaļa: , bet ir arī cits veids:

Atradīsim vektoru:

Un tā garums pēc triviālās formulas :

Skalārais produkts te vispār nav aktuāls!

Cik neizdevīgi tas ir, aprēķinot vektora garumu:
Stop. Kāpēc neizmantot vektora acīmredzamo garuma īpašību? Ko var teikt par vektora garumu? Šis vektors ir 5 reizes garāks par vektoru. Virziens ir pretējs, bet tas nav svarīgi, jo mēs runājam par garumu. Acīmredzot vektora garums ir vienāds ar reizinājumu modulis skaitļi uz vektora garumu:
- moduļa zīme "apēd" iespējamo skaitļa mīnusu.

Pa šo ceļu:

Atbilde:

Leņķa kosinusa formula starp vektoriem, kas norādīti ar koordinātām

Tagad mums ir pilnīga informācija, lai iepriekš iegūtu formulu leņķa kosinusam starp vektoriem izteikt vektora koordinātās:

Leņķa kosinuss starp plaknes vektoriem un , ņemot vērā ortonormālo bāzi , tiek izteikts ar formulu:
.

Leņķa kosinuss starp telpas vektoriem dots ortonormālā bāzē , tiek izteikts ar formulu:

16. piemērs

Ir dotas trīs trijstūra virsotnes. Atrast (virsotnes leņķis ).

Risinājums: Pēc nosacījuma zīmējums nav nepieciešams, bet tomēr:

Nepieciešamais leņķis ir atzīmēts ar zaļu loku. Nekavējoties atcerieties leņķa skolas apzīmējumu: - Īpaša uzmanība uz vidū burts - šī ir mums nepieciešamā leņķa virsotne. Īsuma labad to varētu uzrakstīt arī vienkārši.

No zīmējuma ir pilnīgi skaidrs, ka trijstūra leņķis sakrīt ar leņķi starp vektoriem un , citiem vārdiem sakot: .

Vēlams iemācīties veikt garīgi veikto analīzi.

Atradīsim vektorus:

Aprēķināsim skalāro reizinājumu:

Un vektoru garumi:

Leņķa kosinuss:

Tieši šādu uzdevumu secību es iesaku manekeniem. Pieredzējuši lasītāji var rakstīt aprēķinus "vienā rindā":

Šeit ir "sliktas" kosinusa vērtības piemērs. Iegūtā vērtība nav galīga, tāpēc nē īpaša nozīme atbrīvoties no iracionalitātes saucējā.

Atradīsim leņķi:

Ja paskatās uz zīmējumu, rezultāts ir diezgan ticams. Lai pārbaudītu leņķi, var izmērīt arī ar transportieri. Nesabojājiet monitora pārklājumu =)

Atbilde:

Atbildot, neaizmirstiet to jautāja par trijstūra leņķi(un ne par leņķi starp vektoriem), neaizmirstiet norādīt precīzu atbildi: un aptuveno leņķa vērtību: atrasts ar kalkulatoru.

Tie, kam ir patika šis process, var aprēķināt leņķus un pārliecināties, ka kanoniskā vienlīdzība ir patiesa

17. piemērs

Trijstūri telpā nosaka tā virsotņu koordinātas. Atrodiet leņķi starp malām un

Šis ir “dari pats” piemērs. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās

Neliela beigu sadaļa tiks veltīta projekcijām, kurās ir "iesaistīts" arī skalārais reizinājums:

Vektora projekcija uz vektoru. Vektoru projekcija uz koordinātu asīm.
Vektoru virziena kosinusi

Apsveriet vektorus un:

Mēs projicējam vektoru uz vektoru, šim nolūkam izlaižam vektora sākumu un beigas perpendikulāri uz vektoru (zaļas punktētas līnijas). Iedomājieties, ka gaismas stari perpendikulāri krīt uz vektoru. Tad segments (sarkanā līnija) būs vektora "ēna". Šajā gadījumā vektora projekcija uz vektoru ir segmenta GARUMS. Tas ir, PROJEKCIJA IR SKAITS.

Šis SKAITS ir apzīmēts šādi: , "liels vektors" apzīmē vektoru KURA projekts, "mazais apakšindeksa vektors" apzīmē vektoru UZ kas tiek prognozēts.

Pats ieraksts skan šādi: “vektora “a” projekcija uz vektoru “būt””.

Kas notiek, ja vektors "būt" ir "pārāk īss"? Mēs zīmējam taisnu līniju, kurā ir vektors "būt". Un vektors "a" jau tiks projicēts vektora "būt" virzienā, vienkārši - uz taisnes, kurā ir vektors "būt". Tas pats notiks, ja vektoru "a" noliek malā trīsdesmitajā valstībā - tas joprojām būs viegli projicējams uz līnijas, kurā ir vektors "būt".

Ja leņķis starp vektoriem pikants(kā attēlā), tad

Ja vektori ortogonāls, tad (projekcija ir punkts, kura izmēri tiek pieņemti kā nulle).

Ja leņķis starp vektoriem stulbi(attēlā garīgi pārkārtojiet vektora bultiņu), pēc tam (tāds pats garums, bet ņemts ar mīnusa zīmi).

Atlieciet šos vektorus no viena punkta:

Acīmredzot, pārvietojot vektoru, tā projekcija nemainās

Leņķis starp diviem vektoriem:

Ja leņķis starp diviem vektoriem ir akūts, tad to punktu reizinājums ir pozitīvs; ja leņķis starp vektoriem ir neass, tad šo vektoru skalārā reizinājums ir negatīvs. Divu vektoru, kas nav nulles, skalārā reizinājums ir nulle tad un tikai tad, ja šie vektori ir ortogonāli.

Uzdevums. Atrodiet leņķi starp vektoriem un

Risinājums. Vēlamā leņķa kosinuss

16. Leņķa aprēķināšana starp taisnēm, taisni un plakni

Leņķis starp līniju un plakni krusto šo taisni un nav tai perpendikulāra, ir leņķis starp taisni un tās projekciju uz šo plakni.

Leņķa noteikšana starp taisni un plakni ļauj secināt, ka leņķis starp taisni un plakni ir leņķis starp divām krustojošām taisnēm: pašu līniju un tās projekciju uz plakni. Tāpēc leņķis starp līniju un plakni ir akūts leņķis.

Leņķis starp perpendikulāru līniju un plakni tiek uzskatīts par vienādu, un leņķis starp paralēlu līniju un plakni vai nu vispār nav noteikts, vai arī tiek uzskatīts par vienādu ar .

69.§ Leņķa aprēķins starp taisnēm.

Leņķa aprēķināšanas problēma starp divām taisnēm telpā tiek atrisināta tāpat kā plaknē (§ 32). Ar φ apzīmē leņķi starp līnijām l 1 un l 2 , un caur ψ - leņķis starp virziena vektoriem bet Un b šīs taisnās līnijas.

Tad ja

ψ 90° (206.6. att.), tad φ = 180° - ψ. Ir skaidrs, ka abos gadījumos vienādība cos φ = |cos ψ| ir patiesa. Pēc formulas (1) 20. § mums ir

Sekojoši,

Ļaujiet līnijas dot ar to kanoniskajiem vienādojumiem

Tad, izmantojot formulu, nosaka leņķi φ starp līnijām

Ja viena no taisnēm (vai abām) ir dota ar nekanoniskiem vienādojumiem, tad, lai aprēķinātu leņķi, ir jāatrod šo līniju virziena vektoru koordinātas un pēc tam jāizmanto formula (1).

17. Paralēlas taisnes, Teorēmas par paralēlām taisnēm

Definīcija. Tiek izsauktas divas plaknes līnijas paralēli ja tiem nav kopīgu punktu.

Tiek izsauktas divas līnijas trīs dimensijās paralēli ja tie atrodas vienā plaknē un tiem nav kopīgu punktu.

Leņķis starp diviem vektoriem.

No punktveida produkta definīcijas:

.

Divu vektoru ortogonalitātes nosacījums:

Kolinearitātes nosacījums diviem vektoriem:

.

Izriet no 5. definīcijas - . Patiešām, no vektora reizinājuma definīcijas ar skaitli izriet. Tāpēc, pamatojoties uz vektoru vienlīdzības noteikumu, mēs rakstām , , , kas nozīmē . Bet vektors, kas iegūts, vektoru reizinot ar skaitli, ir kolineārs pret vektoru.

Projekcija no vektora uz vektoru:

.

4. piemērs. Dotie punkti , , , .

Atrodiet skalāro reizinājumu.

Risinājums. mēs atrodam pēc vektoru skalārās reizinājuma formulas, kas noteikta ar to koordinātām. Ciktāl

, ,

5. piemērs Dotie punkti , , , .

Atrodiet projekciju.

Risinājums. Ciktāl

, ,

Pamatojoties uz projekcijas formulu, mums ir

.

6. piemērs Dotie punkti , , , .

Atrodiet leņķi starp vektoriem un .

Risinājums. Ņemiet vērā, ka vektori

, ,

nav kolineāras, jo to koordinātas nav proporcionālas:

.

Šie vektori arī nav perpendikulāri, jo to punktu reizinājums ir .

Atradīsim,

Injekcija atrodi no formulas:

.

7. piemērs Nosakiet, kuriem vektoriem un kolineārs.

Risinājums. Kolinearitātes gadījumā atbilstošās vektoru koordinātas un tam jābūt proporcionālam, tas ir:

.

No šejienes un .

8. piemērs. Nosakiet, kādā vektora vērtībā Un ir perpendikulāri.

Risinājums. Vektors un ir perpendikulāri, ja to punktu reizinājums ir nulle. No šī nosacījuma mēs iegūstam: . Tas ir, .

9. piemērs. Atrast , ja , , .

Risinājums. Skalārā produkta īpašību dēļ mums ir:

10. piemērs. Atrodiet leņķi starp vektoriem un , kur un - vienības vektorus un leņķi starp vektoriem un ir vienāds ar 120o.

Risinājums. Mums ir: , ,

Beidzot mums ir: .

5 B. vektora produkts.

21. definīcija.vektormāksla vektoru pret vektoru sauc par vektoru vai , ko definē šādi trīs nosacījumi:

1) Vektora modulis ir , kur ir leņķis starp vektoriem un , t.i. .

No tā izriet, ka vektora reizinājuma modulis ir skaitliski vienāds ar laukumu paralelograms būvēts uz vektoriem un kā uz malām.

2) Vektors ir perpendikulārs katram no vektoriem un ( ; ), t.i. perpendikulāri paralelograma plaknei, kas uzbūvēta uz vektoriem un .

3) Vektors ir vērsts tā, lai, skatoties no tā gala, tad īsākais pagrieziens no vektora uz vektoru būtu pretēji pulksteņrādītāja virzienam (vektori , , veido taisnu trīskāršu).

Kā aprēķināt leņķus starp vektoriem?

Studējot ģeometriju, rodas daudzi jautājumi par vektoru tēmu. Īpašas grūtības studentam rodas, ja nepieciešams atrast leņķus starp vektoriem.

Pamatnosacījumi

Pirms aplūkot leņķus starp vektoriem, ir jāiepazīstas ar vektora definīciju un leņķa starp vektoriem jēdzienu.

Vektors ir segments, kuram ir virziens, tas ir, segments, kuram ir noteikts tā sākums un beigas.

Leņķis starp diviem vektoriem plaknē, kuriem ir kopīgs sākums, ir mazākais no leņķiem, par kuriem ir nepieciešams pārvietot vienu no vektoriem ap kopīgu punktu tādā stāvoklī, kurā to virzieni sakrīt.

Risinājuma formula

Kad esat sapratis, kas ir vektors un kā tiek noteikts tā leņķis, varat aprēķināt leņķi starp vektoriem. Risinājuma formula tam ir diezgan vienkārša, un tās piemērošanas rezultāts būs leņķa kosinusa vērtība. Pēc definīcijas tas ir vienāds ar vektoru skalārās reizinājuma un to garumu reizinājuma koeficientu.

Vektoru skalāro reizinājumu uzskata par reizinātāju vektoru atbilstošo koordinātu summu, kas reizināta ar otru. Vektora garumu vai tā moduli aprēķina kā kvadrātsakni no tā koordinātu kvadrātu summas.

Saņemot leņķa kosinusa vērtību, jūs varat aprēķināt paša leņķa vērtību, izmantojot kalkulatoru vai trigonometrisko tabulu.

Piemērs

Kad esat izdomājis, kā aprēķināt leņķi starp vektoriem, atbilstošās problēmas risinājums kļūst vienkāršs un saprotams. Kā piemēru apsveriet vienkāršo problēmu, kā atrast leņķa lielumu.

Pirmkārt, ērtāk būs aprēķināt vektoru garumu vērtības un to skalāro reizinājumu, kas nepieciešams risināšanai. Izmantojot iepriekš minēto aprakstu, mēs iegūstam:

Aizvietojot iegūtās vērtības formulā, mēs aprēķinām vajadzīgā leņķa kosinusa vērtību:

Šis skaitlis nav viena no piecām izplatītākajām kosinusa vērtībām, tāpēc, lai iegūtu leņķa vērtību, jums būs jāizmanto kalkulators vai Bradis trigonometriskā tabula. Bet pirms leņķa iegūšanas starp vektoriem formulu var vienkāršot, lai atbrīvotos no papildu negatīvās zīmes:

Galīgo atbildi var atstāt šajā formā, lai saglabātu precizitāti, vai arī varat aprēķināt leņķa vērtību grādos. Saskaņā ar Bradis tabulu tā vērtība būs aptuveni 116 grādi un 70 minūtes, un kalkulators rādīs vērtību 116,57 grādi.

Leņķa aprēķins n-dimensiju telpā

Apsverot divus vektorus trīsdimensiju telpā, ir daudz grūtāk saprast, par kuru leņķi mēs runājam, ja tie neatrodas vienā plaknē. Lai vienkāršotu uztveri, varat uzzīmēt divus krustojošus segmentus, kas veido mazāko leņķi starp tiem, un tas būs vēlamais. Neskatoties uz trešās koordinātas klātbūtni vektorā, leņķu starp vektoriem aprēķināšanas process nemainīsies. Aprēķiniet vektoru skalāro reizinājumu un moduļus, to koeficienta arkosīnu, un tas būs atbilde uz šo problēmu.

Ģeometrijā problēmas bieži rodas ar telpām, kurām ir vairāk nekā trīs dimensijas. Bet viņiem atbildes atrašanas algoritms izskatās līdzīgs.

Atšķirība no 0 līdz 180 grādiem

Viena no izplatītākajām kļūdām, rakstot atbildi uz uzdevumu, kas paredzēts, lai aprēķinātu leņķi starp vektoriem, ir lēmums rakstīt, ka vektori ir paralēli, tas ir, vēlamais leņķis izrādījās 0 vai 180 grādi. Šī atbilde ir nepareiza.

Saņemot leņķa vērtību 0 grādu risinājuma rezultātā, pareizā atbilde būtu apzīmēt vektorus kā līdzvirzienus, tas ir, vektoriem būs vienāds virziens. 180 grādu iegūšanas gadījumā vektori būs pretējo virzienu dabā.

Specifiski vektori

Atrodot leņķus starp vektoriem, papildus iepriekš aprakstītajiem līdzvirziena un pretēji virzītajiem var atrast vienu no īpašajiem veidiem.

• Vairākus vektorus, kas ir paralēli vienai plaknei, sauc par koplanāriem.
• Vektorus, kuru garums un virziens ir vienāds, sauc par vienādiem.
• Vektorus, kas atrodas uz vienas taisnas līnijas neatkarīgi no virziena, sauc par kolineāriem.
• Ja vektora garums ir nulle, tas ir, tā sākums un beigas sakrīt, tad to sauc par nulli, un, ja tas ir viens, tad to sauc par vienu.

Kā atrast leņķi starp vektoriem?

Lūdzu palīdzi man! Es zinu formulu, bet nevaru to izdomāt
vektors a (8; 10; 4) vektors b (5; -20; -10)

Aleksandrs Titovs

Leņķis starp vektoriem, ko nosaka to koordinātas, tiek atrasts pēc standarta algoritma. Vispirms jāatrod vektoru a un b skalārais reizinājums: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Šeit mēs aizstājam šo vektoru koordinātas un ņemam vērā:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Tālāk mēs nosakām katra vektora garumus. Vektora garums vai modulis ir kvadrātsakne no tā koordinātu kvadrātu summas:
|a| = sakne no (x1^2 + y1^2 + z1^2) = sakne no (8^2 + 10^2 + 4^2) = sakne no (64 + 100 + 16) = sakne no 180 = 6 saknes no pieci
|b| = kvadrātsakne no (x2^2 + y2^2 + z2^2) = kvadrātsakne no (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = kvadrātsakne no (25 + 400 + 100) ) = kvadrātsakne no 525 = 5 saknes no 21.
Mēs reizinām šos garumus. Mēs iegūstam 30 saknes no 105.
Un visbeidzot mēs dalām vektoru skalāro reizinājumu ar šo vektoru garumu reizinājumu. Mēs iegūstam -200 / (30 saknes no 105) vai
- (4 saknes no 105) / 63. Tas ir leņķa kosinuss starp vektoriem. Un pats leņķis ir vienāds ar šī skaitļa loka kosinusu
f \u003d arccos (-4 saknes no 105) / 63.
Ja pareizi skaitīju.

Kā aprēķināt leņķa sinusu starp vektoriem no vektoru koordinātām

Mihails Tkačovs

Mēs reizinām šos vektorus. To punktu reizinājums ir vienāds ar šo vektoru garuma reizinājumu un starp tiem esošā leņķa kosinusu.
Leņķis mums nav zināms, bet koordinātas ir zināmas.
Rakstīsim to matemātiski šādi.
Doti vektori a(x1;y1) un b(x2;y2)
Tad

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Mēs strīdamies.
vektoru a*b-skalārais reizinājums ir vienāds ar šo vektoru koordinātu atbilstošo koordinātu reizinājumu summu, t.i., vienāds ar x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-vektora garumu reizinājums ir vienāds ar √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Tātad leņķa kosinuss starp vektoriem ir:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Zinot leņķa kosinusu, mēs varam aprēķināt tā sinusu. Apspriedīsim, kā to izdarīt:

Ja leņķa kosinuss ir pozitīvs, tad šis leņķis atrodas 1 vai 4 ceturtdaļās, tātad tā sinuss ir pozitīvs vai negatīvs. Bet, tā kā leņķis starp vektoriem ir mazāks vai vienāds ar 180 grādiem, tad tā sinuss ir pozitīvs. Mēs strīdamies līdzīgi, ja kosinuss ir negatīvs.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Tas arī viss)))) lai veicas to izdomāt)))

Dmitrijs Leviščovs

Tas, ka nav iespējams tieši sinusēt, nav taisnība.
Papildus formulai:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Ir arī šis:
||=|a|*|b|*sin A
Tas ir, skalārā reizinājuma vietā varat ņemt vektora reizinājuma moduli.