Kā definēt identiski vienādu izteiksmi. Izteiksmju identitātes transformācijas

Skaitļu saskaitīšanas un reizināšanas pamatīpašības.

Saskaitīšanas komutatīva īpašība: pārkārtojot terminus, summas vērtība nemainās. Jebkuriem skaitļiem a un b vienādība ir patiesa

Saskaitīšanas asociatīvā īpašība: lai divu skaitļu summai pievienotu trešo skaitli, pirmajam skaitlim var pievienot otrā un trešā summa. Jebkuriem skaitļiem a, b un c vienādība ir patiesa

Reizināšanas komutatīva īpašība: faktoru permutācija nemaina reizinājuma vērtību. Jebkuriem skaitļiem a, b un c vienādība ir patiesa

Reizināšanas asociatīvā īpašība: lai divu skaitļu reizinājumu reizinātu ar trešo skaitli, pirmo skaitli var reizināt ar otrā un trešā reizinājumu.

Jebkuriem skaitļiem a, b un c vienādība ir patiesa

Sadales īpašība: lai reizinātu skaitli ar summu, varat reizināt šo skaitli ar katru vārdu un pievienot rezultātus. Jebkuriem skaitļiem a, b un c vienādība ir patiesa

No saskaitīšanas komutatīvajām un asociatīvajām īpašībām izriet, ka jebkurā summā jūs varat pārkārtot terminus pēc saviem ieskatiem un patvaļīgā veidā apvienot tos grupās.

1. piemērs Aprēķināsim summu 1,23+13,5+4,27.

Lai to izdarītu, ir ērti apvienot pirmo termiņu ar trešo. Mēs iegūstam:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Tas izriet no reizināšanas komutatīvajām un asociatīvajām īpašībām: jebkurā produktā jūs varat jebkurā veidā pārkārtot faktorus un patvaļīgi apvienot tos grupās.

2. piemērs Noskaidrosim produkta vērtību 1,8 0,25 64 0,5.

Apvienojot pirmo faktoru ar ceturto un otro ar trešo, mēs iegūsim:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

Sadales īpašība ir spēkā arī tad, ja skaitlis tiek reizināts ar trīs vai vairāk terminu summu.

Piemēram, jebkuriem skaitļiem a, b, c un d vienādība ir patiesa

a(b+c+d)=ab+ac+reklāma.

Mēs zinām, ka atņemšanu var aizstāt ar saskaitīšanu, pievienojot mazajai daļai pretēju skaitli:

Tas ļauj izmantot skaitlisku izteiksmi tips a-b uzskatīt skaitļu a un -b summu, skaitlisko izteiksmi formā a + b-c-d uzskatīt par skaitļu a, b, -c, -d uc summu. Aplūkotās darbību īpašības ir spēkā arī šādām summām.

3. piemērs Atradīsim izteiksmes vērtību 3,27-6,5-2,5+1,73.

Šī izteiksme ir skaitļu 3,27, -6,5, -2,5 un 1,73 summa. Pielietojot saskaitīšanas īpašības, iegūstam: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

4. piemērs Aprēķināsim reizinājumu 36·().

Reizinātāju var uzskatīt par skaitļu un - summu. Izmantojot reizināšanas sadales īpašību, mēs iegūstam:

36()=36-36=9-10=-1.

Identitātes

Definīcija. Tiek uzskatīts, ka divas izteiksmes, kuru atbilstošās vērtības ir vienādas jebkurai mainīgo vērtībai, ir identiski vienādas.

Definīcija. Vienādību, kas attiecas uz jebkuru mainīgo vērtību, sauc par identitāti.

Atradīsim izteiksmju 3(x+y) un 3x+3y vērtības, ja x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Mēs saņēmām tādu pašu rezultātu. No sadales īpašības izriet, ka kopumā jebkurai mainīgo vērtībai atbilstošās izteiksmju vērtības 3(x+y) un 3x+3y ir vienādas.

Apsveriet tagad izteiksmes 2x+y un 2xy. Ja x=1, y=2 tām ir vienādas vērtības:

Tomēr jūs varat norādīt x un y vērtības tā, lai šo izteiksmju vērtības nebūtu vienādas. Piemēram, ja x=3, y=4, tad

Izteiksmes 3(x+y) un 3x+3y ir identiski vienādas, bet izteiksmes 2x+y un 2xy nav identiski vienādas.

Vienādība 3(x+y)=x+3y, kas attiecas uz visām x un y vērtībām, ir identitāte.

Patiesas skaitliskās vienādības tiek uzskatītas arī par identitātēm.

Tātad identitātes ir vienādības, kas izsaka galvenās darbības ar skaitļiem īpašības:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Var sniegt citus identitātes piemērus:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Izteiksmju identitātes transformācijas

Vienas izteiksmes aizstāšanu ar citu, identiski tai vienādu, sauc par identisku transformāciju vai vienkārši izteiksmes transformāciju.

Izteiksmju ar mainīgajiem identitātes transformācijas tiek veiktas, pamatojoties uz skaitļu darbību īpašībām.

Lai atrastu izteiksmes xy-xz vērtību, ņemot vērā vērtības x, y, z, jums jāveic trīs darbības. Piemēram, ar x=2.3, y=0.8, z=0.2 mēs iegūstam:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Šo rezultātu var iegūt tikai divos posmos, izmantojot izteiksmi x(y-z), kas ir identiski vienāda ar izteiksmi xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Mēs esam vienkāršojuši aprēķinus, aizstājot izteiksmi xy-xz ar identisku vienlīdzīga izteiksme x(y-z).

Izteiksmju identitātes transformācijas tiek plaši izmantotas izteiksmju vērtību aprēķināšanā un citu problēmu risināšanā. Dažas identiskas transformācijas jau ir veiktas, piemēram, līdzīgu terminu samazināšana, iekavu atvēršana. Atgādiniet šo pārveidojumu veikšanas noteikumus:

lai iegūtu līdzīgus terminus, jāsaskaita to koeficienti un rezultāts jāreizina ar kopējo burtu daļu;

ja iekavās ir plus zīme, tad iekavas var izlaist, saglabājot katra termina zīmi iekavās;

ja pirms iekavām ir mīnusa zīme, tad iekavas var izlaist, mainot katra iekavās ievietotā termina zīmi.

1. piemērs Saskaitīsim līdzīgus vārdus summā 5x+2x-3x.

Mēs izmantojam noteikumu līdzīgu terminu samazināšanai:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Šīs transformācijas pamatā ir reizināšanas sadales īpašība.

2. piemērs Izvērsīsim iekavas izteiksmē 2a+(b-3c).

Noteikuma piemērošana iekavu atvēršanai, pirms kuras ir plus zīme:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Veiktā transformācija balstās uz pievienošanas asociatīvo īpašību.

3. piemērs Izvērsīsim iekavas izteiksmē a-(4b-c).

Izmantosim iekavu izvēršanas noteikumu, pirms kura ir mīnusa zīme:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Veiktā transformācija balstās uz reizināšanas sadales īpašību un saskaitīšanas asociatīvo īpašību. Parādīsim to. Atveidosim otro terminu -(4b-c) šajā izteiksmē kā reizinājumu (-1) (4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Izmantojot šīs darbību īpašības, mēs iegūstam:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

§ 2. Identitātes izpausmes, identitāte. Izteiksmes identitātes transformācija. Identitātes pierādījumi

Atradīsim izteiksmju 2(x - 1) 2x - 2 vērtības mainīgā x dotajām vērtībām. Rezultātus ierakstām tabulā:

Var secināt, ka izteiksmju vērtības 2(x - 1) 2x - 2 katram dotā vērtība mainīgie x ir vienādi viens ar otru. Atbilstoši reizināšanas sadales īpašībai attiecībā uz atņemšanu 2(x - 1) = 2x - 2. Tāpēc jebkurai citai mainīgā x vērtībai izteiksmes 2(x - 1) 2x - 2 vērtība būs arī vienādi viens ar otru. Šādas izteiksmes sauc par identiski vienādām.

Piemēram, izteiksmes 2x + 3x un 5x ir sinonīmi, jo katrai mainīgā x vērtībai šīs izteiksmes iegūst tās pašas vērtības(tas izriet no reizināšanas sadales īpašības attiecībā uz saskaitīšanu, jo 2x + 3x = 5x).

Apsveriet tagad izteiksmes 3x + 2y un 5xy. Ja x \u003d 1 un b \u003d 1, tad šo izteiksmju atbilstošās vērtības ir vienādas viena ar otru:

3x + 2g \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Tomēr jūs varat norādīt x un y vērtības, kurām šo izteiksmju vērtības nebūs vienādas. Piemēram, ja x = 2; y = 0, tad

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Līdz ar to ir tādas mainīgo vērtības, kurām atbilstošās izteiksmju vērtības 3x + 2y un 5xy nav vienādas viena ar otru. Tāpēc izteiksmes 3x + 2y un 5xy nav identiski vienādas.

Pamatojoties uz iepriekš minēto, identitātes jo īpaši ir vienādības: 2(x - 1) = 2x - 2 un 2x + 3x = 5x.

Identitāte ir katra vienlīdzība, kas ir uzrakstīta zināmās īpašības darbības ar skaitļiem. Piemēram,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Pastāv arī tādas vienlīdzības kā identitātes:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Samazinot līdzīgus vārdus izteiksmē -5x + 2x - 9, mēs iegūstam, ka 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. Šajā gadījumā viņi saka, ka izteiksme 5x + 2x - 9 tika aizstāta ar izteiksmi 7x - 9, kas ir identisks tam.

Identiskas izteiksmju transformācijas ar mainīgajiem tiek veiktas, piemērojot skaitļu darbību īpašības. Jo īpaši identiskas pārvērtības ar iekavu atvēršanu, līdzīgu terminu konstruēšanu un tamlīdzīgi.

Vienkāršojot izteiksmi, ir jāveic identiskas transformācijas, tas ir, aizstājot kādu izteiksmi ar izteiksmi, kas ir tai identiski vienāda un kurai jābūt īsākai.

1. piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2 (3x - 4) + 3 (-4x + 7);

3) 2 + 5a — (a–2b) + (3b–a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5 min = -1,5 min;

2) 2 (3x4) + 3 (-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a — (a–2b) + (3b –a) = 2 + 5a - a + 2 b + 3 b - a= 3a + 5b + 2.

Lai pierādītu, ka vienlīdzība ir identitāte (citiem vārdiem sakot, lai pierādītu identitāti, tiek izmantotas izteiksmju identitātes transformācijas.

Jūs varat pierādīt identitāti vienā no šiem veidiem:

veikt identiskas tās kreisās puses transformācijas, tādējādi samazinot to līdz labās puses formai;
veikt identiskas tās labās puses transformācijas, tādējādi samazinot to līdz kreisās puses formai;
veikt identiskas abu tā daļu transformācijas, tādējādi paceļot abas daļas vienādās izteiksmēs.

2. piemērs. Pierādiet identitāti:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206 - 4a = 5 (2a - 3b) - 7 (2a - 5b);

3) 2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 13 (2x - 5) + 21.

Attīstība

1) Pārveidosim šīs vienādības kreiso pusi:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Ar identiskiem pārveidojumiem vienādības kreisās puses izteiksme tika reducēta līdz labās puses formai un tādējādi pierādīja, ka šī vienlīdzība ir identitāte.

2) Pārveidosim šīs vienlīdzības labo pusi:

5(2a-3b)-7(2a-5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Ar identiskiem pārveidojumiem vienādības labā puse tika reducēta līdz kreisās puses formai un tādējādi pierādīja, ka šī vienlīdzība ir identitāte.

3) Šajā gadījumā ir ērti vienkāršot gan kreiso, gan labo vienādības daļu un salīdzināt rezultātus:

2(3x - 8) + 4 (5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Ar identiskiem pārveidojumiem vienādības kreisā un labā daļa tika reducēta līdz tādai pašai formai: 26x - 44. Tāpēc šī vienlīdzība ir identitāte.

Kādus izteicienus sauc par identiskiem? Sniedziet identisku izteicienu piemēru. Kādu vienlīdzību sauc par identitāti? Sniedziet identitātes piemēru. Ko sauc par izteiksmes identitātes transformāciju? Kā pierādīt identitāti?

(Mutiski) Vai arī ir identiski vienādi izteicieni:

1) 2a + a un 3a;

2) 7x + 6 un 6 + 7x;

3) x + x + x un x 3;

4) 2 (x - 2) un 2x - 4;

5) m - n un n - m;

6) 2a ∙ r un 2p ∙ a?

Vai izteiksmes ir identiski vienādas:

1) 7x - 2x un 5x;

2) 5a - 4 un 4 - 5a;

3) 4m + n un n + 4m;

4) a + a un a 2;

5) 3(a - 4) un 3a - 12;

6) 5m ∙ n un 5m + n?

(Verbāli) Vai vienlīdzības identitāte:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

Atvērt iekavas:

Atvērt iekavas:

Samazināt līdzīgus vārdus:

Nosauciet vairākas izteiksmes, kas ir identiskas izteiksmēm 2a + 3a.
Vienkāršojiet izteiksmi, izmantojot reizināšanas permutējošās un konjunktīvās īpašības:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

Vienkāršojiet izteicienu:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3 g);

4) - 1 m ∙ (-3n).

(Verbāls) Vienkāršojiet izteicienu:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

Samazināt līdzīgus vārdus:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5–7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4 (5 x – 7) + 3 x + 13;

2) 2 (7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3 (2p - 7) - 2 (g - 3);

4) -(3 m–5) + 2 (3 m–7).

Atveriet iekavas un samaziniet līdzīgus vārdus:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2 (3p - 1);

3) 2 (3x - 8) - 5 (2x + 7);

4) 3 (5 m–7) – (15 m–2).

1) 0,6 x + 0,4 (x — 20), ja x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4, ja a = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), ja m = -3,7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y, ja x = -1, y = 1.

Vienkāršojiet izteiksmi un atrodiet tās vērtību:

1) 0,7 x + 0,3 (x - 4), ja x = -0,7;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, ja v \u003d 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), ja a = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n, ja m = 1,8; n = -0,9.

Pierādiet identitāti:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2 (x - 3) + 3 (x + 2) = 5x;

4) s - 2 = 5 (s + 2) - 4 (s + 3).

Pierādiet identitāti:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3 (a - 4) + 2 (a + 6);

4) 4 (m - 3) + 3 (m + 3) = 7 m - 3.

Trijstūra vienas malas garums ir cm, un katras pārējās divas malas garums ir par 2 cm lielāks par to. Uzrakstiet trijstūra perimetru kā izteiksmi un vienkāršojiet izteiksmi.
Taisnstūra platums ir x cm un garums ir par 3 cm vairāk nekā platums. Uzrakstiet taisnstūra perimetru kā izteiksmi un vienkāršojiet izteiksmi.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6а - b) - (4a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

Paplašiniet iekavas un vienkāršojiet izteiksmi:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2,1 a–2,8 b) – (1a–1b).

Pierādiet identitāti:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3(a-b-c) + 5(a-b) + 3c = 8(a-b).

Pierādiet identitāti:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

Pierādīt, ka izteiksmes vērtība

1,8 (m - 2) + 1,4 (2 - m) + 0,2 (1,7 - 2 m) nav atkarīgs no mainīgā vērtības.

Pierādiet, ka jebkurai mainīgā vērtībai izteiksmes vērtība

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

ir tas pats numurs.

Pierādīt, ka trīs secīgu pāra skaitļu summa dalās ar 6.
Pierādīt, ja n ir naturāls skaitlis, tad izteiksmes -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) vērtība ir pāra skaitlis.

Vingrinājumi, kas jāatkārto

Sakausējums, kas sver 1,6 kg, satur 15% vara. Cik kg vara satur šis sakausējums?
Cik procenti ir tā skaitlis 20:

1) kvadrāts;

Tūrists 2 stundas gāja kājām un 3 stundas brauca ar velosipēdu. Kopumā tūrists veica 56 km. Atrodiet ātrumu, ar kādu tūrists brauca ar velosipēdu, ja tas ir par 12 km/h lielāks nekā ātrums, ar kādu viņš gāja.

Interesanti uzdevumi slinkiem skolēniem

Pilsētas futbola čempionātā piedalās 11 komandas. Katra komanda izspēlē vienu maču ar pārējām. Pierādiet, ka jebkurā sacensību brīdī ir komanda, kas ir aizvadījusi pāra skaitu maču vai vēl nav aizvadījusi nevienu.

Apsveriet divas vienādības:

1. a 12 * a 3 = a 7 * a 8

Šī vienādība būs spēkā jebkurai mainīgā a vērtībai. Šīs vienādības derīgo vērtību diapazons būs visa reālo skaitļu kopa.

2. a 12: a 3 = a 2 * a 7 .

Šī nevienlīdzība būs spēkā visām mainīgā a vērtībām, izņemot nulli. Šīs nevienlīdzības pieņemamo vērtību diapazons būs viss reālo skaitļu kopums, izņemot nulli.

Par katru no šīm vienādībām var apgalvot, ka tā būs taisnība jebkurai mainīgo a pieļaujamajām vērtībām. Šādus vienādojumus matemātikā sauc identitātes.

Identitātes jēdziens

Identitāte ir vienādība, kas attiecas uz visām pieļaujamām mainīgo vērtībām. Ja šajā vienādībā mainīgo vietā tiek aizstātas kādas derīgas vērtības, tad jāiegūst pareiza skaitliskā vienādība.

Ir vērts atzīmēt, ka patiesas skaitliskās vienādības ir arī identitātes. Piemēram, identitātes būs ar skaitļiem veikto darbību īpašības.

3. a + b = b + a;

4. a + (b + c) = (a + b) + c;

6. a*(b*c) = (a*b)*c;

7. a*(b + c) = a*b + a*c;

11. a*(-1) = -a.

Ja divas izteiksmes jebkuram pieļaujamam mainīgajam ir attiecīgi vienādas, tad šādas izteiksmes tiek izsauktas identiski vienādi. Tālāk ir sniegti daži identiski vienādu izteiksmju piemēri:

1. (a 2) 4 un a 8 ;

2. a*b*(-a^2*b) un -a 3 *b 2 ;

3. ((x 3 * x 8)/x) un x 10 .

Mēs vienmēr varam aizstāt vienu izteiksmi ar jebkuru citu izteiksmi, kas ir vienāda ar pirmo. Šāda aizstāšana būs identiska transformācija.

Identitātes piemēri

1. piemērs: vai ir šādas vienādības identitātes:

1. a + 5 = 5 + a;

2. a*(-b) = -a*b;

3. 3*a*3*b = 9*a*b;

Ne visas iepriekš minētās izteiksmes būs identitātes. No šīm vienādībām tikai 1,2 un 3 vienādības ir identitātes. Neatkarīgi no tā, kādus skaitļus mēs tajos aizvietojam, mainīgo a un b vietā mēs joprojām iegūstam pareizos skaitliskos vienādības.

Bet 4 vienlīdzība vairs nav identitāte. Jo ne visām pieļaujamajām vērtībām šī vienlīdzība tiks izpildīta. Piemēram, ar vērtībām a = 5 un b = 2, jūs iegūstat šādu rezultātu:

Šī vienlīdzība nav patiesa, jo skaitlis 3 nav vienāds ar skaitli -3.

Identitātes konvertēšana ir darbs, ko mēs veicam ar ciparu un alfabētiskām izteiksmēm, kā arī ar izteiksmēm, kas satur mainīgos. Mēs veicam visas šīs transformācijas, lai oriģinālo izteiksmi iegūtu formā, kas būs ērta problēmas risināšanai. Šajā tēmā aplūkosim galvenos identisku transformāciju veidus.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Izteiksmes identitātes transformācija. Kas tas ir?

Pirmo reizi ar jēdzienu identiski pārveidots mēs sastopamies algebras stundās 7. klasē. Tad mēs vispirms iepazīstamies ar identiski vienādu izteiksmju jēdzienu. Aplūkosim jēdzienus un definīcijas, lai atvieglotu tēmas asimilāciju.

1. definīcija

Izteiksmes identitātes transformācija ir darbības, kas tiek veiktas, lai aizstātu sākotnējo izteiksmi ar izteiksmi, kas būs identiski vienāda ar sākotnējo izteiksmi.

Bieži vien šī definīcija tiek lietota saīsinātā formā, kurā vārds "identisks" ir izlaists. Tiek pieņemts, ka jebkurā gadījumā mēs veicam izteiksmes transformāciju tā, lai iegūtu oriģinālam identisku izteiksmi, un tas nav atsevišķi jāuzsver.

Ilustrēsim šo definīciju ar piemēriem.

1. piemērs

Ja mēs aizstājam izteiksmi x + 3 - 2 uz identiski vienādu izteiksmi x+1, tad veicam identisku izteiksmes transformāciju x + 3 - 2.

2. piemērs

Izteiksmes 2 un 6 aizstāšana ar izteiksmi a 3 ir identitātes transformācija, bet izteiksmes aizstāšana x uz izteiksmi x2 nav identiska transformācija, jo izteiksmes x un x2 nav identiski vienādi.

Vēršam uzmanību uz izteicienu rakstīšanas formu, veicot identiskas transformācijas. Mēs parasti rakstām sākotnējo izteiksmi un iegūto izteiksmi kā vienādību. Tātad, rakstot x + 1 + 2 = x + 3, izteiksme x + 1 + 2 ir reducēta līdz formai x + 3 .

Darbību secīga izpilde noved mūs pie vienādību ķēdes, kas ir vairākas secīgas identiskas pārvērtības. Tātad apzīmējumu x + 1 + 2 = x + 3 = 3 + x mēs saprotam kā divu transformāciju secīgu realizāciju: pirmkārt, izteiksme x + 1 + 2 tika reducēta līdz formai x + 3, un tā tika reducēta uz formu. forma 3 + x.

Identitātes transformācijas un ODZ

Vairākām izteiksmēm, kuras mēs sākam pētīt 8. klasē, nav jēgas nevienai mainīgo vērtībai. Veicot identiskas transformācijas šajos gadījumos, mums ir jāpievērš uzmanība mainīgo lielumu (ODV) pieļaujamo vērtību apgabalam. Veicot identiskas transformācijas, ODZ var palikt nemainīgs vai sašaurināt to.

3. piemērs

Veicot pāreju no izteiksmes a + (-b) uz izteiksmi a-b mainīgo lielumu atļauto vērtību diapazons a un b paliek tāds pats.

4. piemērs

Pāreja no izteiksmes x uz izteiksmi x 2 x noved pie mainīgā x pieņemamo vērtību diapazona sašaurināšanās no visu reālo skaitļu kopas uz visu reālo skaitļu kopu, no kuras ir izslēgta nulle.

5. piemērs

Izteiksmes identitātes transformācija x 2 x izteiksme x noved pie mainīgā x pieņemamo vērtību diapazona paplašināšanas no visu reālo skaitļu kopas, izņemot nulli, uz visu reālo skaitļu kopu.

Mainīgo lielumu pieļaujamo vērtību diapazona sašaurināšana vai paplašināšana, veicot identiskas transformācijas, ir svarīga problēmu risināšanā, jo tas var ietekmēt aprēķinu precizitāti un izraisīt kļūdas.

Identitātes pamatpārveidojumi

Tagad apskatīsim, kas ir identiskas transformācijas un kā tās tiek veiktas. Izcelsim tos identisku transformāciju veidus, ar kuriem mums ir jāsaskaras visbiežāk galvenajā grupā.

Papildus pamata identitātes pārveidojumiem ir vairākas transformācijas, kas attiecas uz noteikta veida izteiksmēm. Daļskaitļiem tās ir samazināšanas un samazināšanas metodes līdz jaunam saucējam. Izteiksmēm ar saknēm un spējām visas darbības, kas tiek veiktas, pamatojoties uz sakņu un spēku īpašībām. Logaritmiskajām izteiksmēm darbības, kas tiek veiktas, pamatojoties uz logaritmu īpašībām. Trigonometriskām izteiksmēm visas darbības, izmantojot trigonometriskās formulas. Visas šīs īpašās pārvērtības ir detalizēti apspriestas atsevišķās tēmās, kuras var atrast mūsu resursā. Šī iemesla dēļ šajā rakstā mēs pie tiem nekavēsimies.

Sāksim izskatīt galvenās identiskās pārvērtības.

Terminu, faktoru pārkārtošanās

Sāksim ar nosacījumu pārkārtošanu. Mēs visbiežāk saskaramies ar šo identisko transformāciju. Un par galveno noteikumu šeit var uzskatīt šādu apgalvojumu: jebkurā summā terminu pārkārtošana pa vietām rezultātu neietekmē.

Šis noteikums ir balstīts uz pievienošanas komutatīvajām un asociatīvajām īpašībām. Šīs īpašības ļauj pārkārtot terminus vietās un tajā pašā laikā iegūt izteiksmes, kas ir identiski vienādas ar oriģinālajiem. Tāpēc terminu pārkārtošana vietās summā ir identiska transformācija.

6. piemērs

Mums ir trīs terminu summa 3 + 5 + 7 . Ja apmaināsim terminus 3 un 5, tad izteiksme būs formā 5 + 3 + 7. Terminu pārkārtošanai šajā gadījumā ir vairākas iespējas. Visi no tiem ļauj iegūt izteiksmes, kas ir identiski vienādas ar sākotnējo.

Ne tikai skaitļi, bet arī izteiksmes var darboties kā termini summā. Tos, tāpat kā skaitļus, var pārkārtot, neietekmējot aprēķinu gala rezultātu.

7. piemērs

Trīs terminu 1 a + b, a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 un - 12 a summā no formas 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 + ( - 12) terminus var pārkārtot, piemēram, šādi (- 12) a + 1 a + b + a 2 + 2 a + 5 + a 7 a 3 . Savukārt vārdus var pārkārtot daļskaitļa 1 a + b saucējā, savukārt daļa iegūs formu 1 b + a. Un izteiksme zem saknes zīmes a 2 + 2 a + 5 ir arī summa, kurā terminus var apmainīt.

Tāpat kā terminos, oriģinālajos izteiksmēs var apmainīt faktorus un iegūt identiski pareizus vienādojumus. Šo darbību regulē šāds noteikums:

2. definīcija

Produktā faktoru pārkārtošana pa vietām neietekmē aprēķina rezultātu.

Šis noteikums ir balstīts uz reizināšanas komutatīvajām un asociatīvajām īpašībām, kas apstiprina identiskās transformācijas pareizību.

8. piemērs

Darbs 3 5 7 faktoru permutāciju var attēlot vienā no šādām formām: 5 3 7 , 5 7 3 , 7 3 5 , 7 5 3 vai 3 7 5.

9. piemērs

Permutējot koeficientus reizinājumā x + 1 x 2 - x + 1 x, tiks iegūts x 2 - x + 1 x x + 1

Kronšteina paplašināšana

Iekavās var būt ciparu izteiksmju ieraksti un izteiksmes ar mainīgajiem. Šīs izteiksmes var pārveidot par identiski vienādām izteiksmēm, kurās iekavu nebūs vispār vai to būs mazāk nekā sākotnējās izteiksmēs. Šo izteiksmju pārveidošanas veidu sauc par iekavu paplašināšanu.

10. piemērs

Veiksim darbības ar iekavām formas izteiksmē 3 + x - 1 x lai iegūtu identiski patiesu izteiksmi 3 + x - 1 x.

Izteiksmi 3 · x - 1 + - 1 + x 1 - x var pārvērst par identiski vienādu izteiksmi bez iekavām 3 · x - 3 - 1 + x 1 - x .

Mēs detalizēti apspriedām noteikumus izteiksmju konvertēšanai ar iekavām tēmā "Iekavas paplašināšana", kas ir ievietota mūsu resursā.

Grupēšanas termini, faktori

Gadījumos, kad runa ir par trim vai vairāk terminiem, mēs varam ķerties pie tāda veida identiskām transformācijām kā terminu grupēšanas. Ar šo transformācijas metodi tiek saprasta vairāku terminu apvienošana grupā, tos pārkārtojot un ievietojot iekavās.

Grupējot, termini tiek apmainīti tā, lai grupētie termini izteiksmes ierakstā būtu blakus viens otram. Pēc tam tos var ievietot iekavās.

11. piemērs

Paņemiet izteiksmi 5 + 7 + 1 . Ja sagrupējam pirmo terminu ar trešo, mēs iegūstam (5 + 1) + 7 .

Faktoru grupēšana tiek veikta līdzīgi kā terminu grupēšana.

12. piemērs

Darbā 2 3 45 ir iespējams grupēt pirmo faktoru ar trešo un otro faktoru ar ceturto, šajā gadījumā mēs nonākam pie izteiksmes (2 4) (3 5). Un, ja mēs sagrupētu pirmo, otro un ceturto faktoru, mēs iegūtu izteiksmi (2 3 5) 4.

Grupētos terminus un faktorus var attēlot gan ar pirmskaitļiem, gan ar izteiksmēm. Grupēšanas noteikumi tika detalizēti apspriesti tēmā "Grupēšanas termini un faktori".

Atšķirību aizstāšana ar summām, daļējiem produktiem un otrādi

Atšķirību aizstāšana ar summām kļuva iespējama, pateicoties mūsu iepazīšanai ar pretējiem skaitļiem. Tagad atņem no skaitļa a cipariem b var uzskatīt par numura papildinājumu a cipariem −b. Vienlīdzība a − b = a + (− b) var uzskatīt par taisnīgu un, pamatojoties uz to, veikt atšķirību aizstāšanu ar summām.

13. piemērs

Paņemiet izteiksmi 4 + 3 − 2 , kurā skaitļu starpība 3 − 2 mēs varam rakstīt kā summu 3 + (− 2) . gūt 4 + 3 + (− 2) .

14. piemērs

Visas izteiksmes atšķirības 5 + 2 x - x 2 - 3 x 3 - 0, 2 var aizstāt ar tādām summām kā 5 + 2 x + (− x 2) + (− 3 x 3) + (− 0, 2).

Mēs varam pāriet uz summām no jebkādām atšķirībām. Līdzīgi mēs varam veikt apgrieztu aizstāšanu.

Dalīšanas aizstāšana ar reizināšanu ar dalītāja apgriezto vērtību ir iespējama, pateicoties apgriezto skaitļu jēdzienam. Šo transformāciju var uzrakstīt kā a: b = a (b – 1).

Šis noteikums bija parasto daļskaitļu dalīšanas noteikuma pamatā.

15. piemērs

Privāts 1 2: 3 5 var aizstāt ar formas izstrādājumu 1 2 5 3.

Līdzīgi pēc analoģijas dalīšanu var aizstāt ar reizināšanu.

16. piemērs

Izteiksmes gadījumā 1+5:x:(x+3) aizstāt dalījumu ar x var reizināt ar 1 x. Sadalījums ar x + 3 mēs varam aizstāt, reizinot ar 1 x + 3. Transformācija ļauj iegūt izteiksmi, kas ir identiska sākotnējam: 1 + 5 1 x 1 x + 3 .

Reizināšanas aizstāšana ar dalīšanu tiek veikta saskaņā ar shēmu a b = a: (b – 1).

17. piemērs

Izteiksmē 5 x x 2 + 1 - 3 reizināšanu var aizstāt ar dalīšanu kā 5: x 2 + 1 x - 3.

Darbību veikšana ar cipariem

Darbību veikšana ar cipariem ir pakļauta darbību kārtības noteikumiem. Pirmkārt, tiek veiktas darbības ar skaitļu pakāpēm un skaitļu saknēm. Pēc tam logaritmus, trigonometriskās un citas funkcijas aizstājam ar to vērtībām. Pēc tam tiek veiktas iekavās norādītās darbības. Un tad jūs jau varat veikt visas pārējās darbības no kreisās uz labo pusi. Ir svarīgi atcerēties, ka reizināšana un dalīšana tiek veikta pirms saskaitīšanas un atņemšanas.

Darbības ar skaitļiem ļauj pārveidot sākotnējo izteiksmi identiskā izteiksmē, kas tai vienāda.

18. piemērs

Pārveidosim izteiksmi 3 · 2 3 - 1 · a + 4 · x 2 + 5 · x, veicot visas iespējamās darbības ar skaitļiem.

Lēmums

Pirmkārt, aplūkosim grādu 2 3 un saknes 4 un aprēķina to vērtības: 2 3 = 8 un 4 = 2 2 = 2 .

Aizvietojiet iegūtās vērtības sākotnējā izteiksmē un iegūstiet: 3 (8 - 1) a + 2 (x 2 + 5 x) .

Tagad izpildīsim iekavas: 8 − 1 = 7 . Un pāriesim pie izteiksmes 3 7 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Mums vienkārši jāveic reizināšana 3 un 7 . Mēs iegūstam: 21 a + 2 (x 2 + 5 x) .

Atbilde: 3 2 3 - 1 a + 4 x 2 + 5 x = 21 a + 2 (x 2 + 5 x)

Pirms operācijām ar cipariem var tikt veiktas cita veida identitātes transformācijas, piemēram, skaitļu grupēšana vai iekavu paplašināšana.

19. piemērs

Paņemiet izteiksmi 3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) – 2 + 11.

Lēmums

Pirmkārt, mēs mainīsim iekavās esošo koeficientu 6: 3 par tā nozīmi 2 . Mēs iegūstam: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 .

Paplašināsim iekavas: 3 + 2 2 x (y 3 4) − 2 + 11 = 3 + 2 2 x y 3 4 − 2 + 11.

Sagrupēsim produkta skaitliskos faktorus, kā arī terminus, kas ir skaitļi: (3–2 + 11) + (2 2 4) x y 3.

Izdarīsim iekavas: (3–2 + 11) + (2 2 4) x y 3 = 12 + 16 x y 3

Atbilde:3 + 2 (6: 3) x (y 3 4) − 2 + 11 = 12 + 16 x y 3

Ja strādājam ar skaitliskām izteiksmēm, tad mūsu darba mērķis būs atrast izteiksmes vērtību. Ja mēs pārveidosim izteiksmes ar mainīgajiem, tad mūsu darbību mērķis būs izteiksmes vienkāršošana.

Kopējā faktora iekavās

Gadījumos, kad izteiksmes terminiem ir viens un tas pats faktors, mēs varam izņemt šo kopējo faktoru no iekavām. Lai to izdarītu, vispirms ir jāattēlo sākotnējā izteiksme kā kopīga faktora un izteiksmes reizinājums iekavās, kas sastāv no sākotnējiem terminiem bez kopīga faktora.

20. piemērs

Skaitliski 2 7 + 2 3 mēs varam izņemt kopējo faktoru 2 ārpus iekavām un iegūstiet identiski pareizu formas izteiksmi 2 (7 + 3).

Varat atsvaidzināt atmiņu par noteikumiem, kas attiecas uz kopējā faktora izlikšanu iekavās, attiecīgajā mūsu resursa sadaļā. Materiālā ir detalizēti aplūkoti noteikumi par kopējo faktoru izņemšanu no iekavām un sniegti daudzi piemēri.

Līdzīgu terminu samazināšana

Tagad pāriesim pie summām, kas satur līdzīgus terminus. Šeit ir iespējamas divas iespējas: summas, kurās ir vienādi termini, un summas, kuru vārdi atšķiras ar skaitlisko koeficientu. Darbības ar summām, kas satur līdzīgus vārdus, sauc par līdzīgu terminu samazināšanu. To veic šādi: iekavās izliekam kopējo burtu daļu un iekavās aprēķinām skaitlisko koeficientu summu.

21. piemērs

Apsveriet izteiksmi 1 + 4 x - 2 x. Mēs varam izņemt x burtisko daļu no iekavām un iegūt izteiksmi 1 + x (4–2). Aprēķināsim izteiksmes vērtību iekavās un iegūsim formas 1 + x · 2 summu.

Skaitļu un izteiksmju aizstāšana ar identiski vienādām izteiksmēm

Skaitļus un izteiksmes, kas veido sākotnējo izteiksmi, var aizstāt ar izteiksmēm, kas tām ir identiski vienādas. Šāda sākotnējās izteiksmes transformācija noved pie izteiksmes, kas tai ir identiski vienāda.

22. piemērs 23. piemērs

Apsveriet izteiksmi 1 + a5, kurā mēs varam aizstāt pakāpi a 5 ar reizinājumu, kas ir identiski tam vienāds, piemēram, formas a 4. Tas mums dos izteiksmi 1 + a 4.

Veiktā transformācija ir mākslīga. Tam ir jēga tikai, gatavojoties citām pārvērtībām.

24. piemērs

Apsveriet summas pārveidošanu 4 x 3 + 2 x 2. Šeit ir termins 4x3 mēs varam pārstāvēt kā produktu 2x2x2x. Rezultātā sākotnējā izteiksme iegūst formu 2 x 2 2 x + 2 x 2. Tagad mēs varam izolēt kopējo faktoru 2x2 un izņemiet to no iekavām: 2 x 2 (2 x +1).

Viena un tā paša skaitļa pievienošana un atņemšana

Viena un tā paša skaitļa vai izteiksmes pievienošana un atņemšana vienlaikus ir mākslīga izteiksmes pārveidošanas tehnika.

25. piemērs

Apsveriet izteiksmi x 2 + 2 x. Mēs varam no tā pievienot vai atņemt vienu, kas ļaus pēc tam veikt vēl vienu identisku transformāciju - izvēlēties binoma kvadrātu: x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = (x + 1) 2 - 1.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Iegūstot priekšstatu par identitātēm, ir loģiski pāriet uz iepazīšanos ar. Šajā rakstā mēs atbildēsim uz jautājumu, kas ir identiski vienādas izteiksmes, kā arī, izmantojot piemērus, noskaidrosim, kuras izteiksmes ir identiski vienādas un kuras nav.

Lapas navigācija.

Kas ir identiski vienādas izteiksmes?

Identiski vienādu izteicienu definīcija ir dota paralēli identitātes definīcijai. Tas notiek algebras stundā 7. klasē. Mācību grāmatā par algebru 7 klasēm autors Yu. N. Makarychev sniedz šādu formulējumu:

Definīcija.

ir izteiksmes, kuru vērtības ir vienādas jebkurai tajās iekļauto mainīgo vērtībām. Skaitliskās izteiksmes, kas atbilst vienādām vērtībām, tiek sauktas arī par identiski vienādām.

Šī definīcija tiek izmantota līdz 8. klasei, tā ir derīga veselu skaitļu izteiksmēm, jo tām ir jēga jebkurām tajās iekļautajām mainīgo vērtībām. Un 8. klasē ir norādīta identiski vienādu izteiksmju definīcija. Paskaidrosim, ar ko tas ir saistīts.

8. klasē sākas citu veidu izteiksmju izpēte, kas, atšķirībā no veselu skaitļu izteiksmēm, dažām mainīgo vērtībām var nebūt jēgas. Tāpēc ir jāievieš mainīgo lielumu pieļaujamo un nederīgo vērtību definīcijas, kā arī mainīgā lieluma ODV pieļaujamo vērtību diapazons, kā rezultātā jāprecizē identiski vienādu izteiksmju definīcija.

Definīcija.

Tiek izsauktas divas izteiksmes, kuru vērtības ir vienādas visām to mainīgo lielumu pieļaujamajām vērtībām identiski vienādas izteiksmes. Tiek uzskatīts, ka divas skaitliskās izteiksmes, kurām ir vienāda vērtība, ir identiski vienādas.

Šajā identiski vienādu izteiksmju definīcijā ir vērts precizēt frāzes "visām tajos iekļauto mainīgo lielumu pieļaujamajām vērtībām" nozīmi. Tas nozīmē visas tādas mainīgo vērtības, kurām vienlaikus ir jēga abām identiski vienādām izteiksmēm. Šī ideja tiks noskaidrota nākamajā sadaļā, aplūkojot piemērus.

Identiski vienādu izteicienu definīcija A. G. Mordkoviča mācību grāmatā sniegta nedaudz savādāk:

Definīcija.

Identiskas vienādas izteiksmes ir izteicieni identitātes kreisajā un labajā pusē.

Pēc nozīmes šī un iepriekšējās definīcijas sakrīt.

Identiski vienādu izteiksmju piemēri

Iepriekšējā apakšnodaļā ieviestās definīcijas ļauj mums sniegt identiski vienādu izteicienu piemēri.

Sāksim ar identiski vienādām skaitliskām izteiksmēm. Skaitliskās izteiksmes 1+2 un 2+1 ir identiski vienādas, jo atbilst vienādām vērtībām 3 un 3 . Izteiksmes 5 un 30:6 arī ir identiski vienādas, tāpat kā izteiksmes (2 2) 3 un 2 6 (pēdējo izteiksmju vērtības ir vienādas, pateicoties ). Bet skaitliskās izteiksmes 3+2 un 3−2 nav identiski vienādas, jo tās atbilst attiecīgi vērtībām 5 un 1, bet nav vienādas.

Tagad mēs sniedzam piemērus identiski vienādām izteiksmēm ar mainīgajiem. Tie ir izteicieni a+b un b+a . Patiešām, jebkurai mainīgo a un b vērtībām rakstītajām izteiksmēm ir tādas pašas vērtības (kas izriet no skaitļiem). Piemēram, ar a=1 un b=2 mums ir a+b=1+2=3 un b+a=2+1=3 . Jebkurām citām mainīgo a un b vērtībām mēs arī iegūsim vienādas šo izteiksmju vērtības. Izteiksmes 0·x·y·z un 0 ir arī identiski vienādas jebkurai mainīgo x , y un z vērtībām. Bet izteiksmes 2 x un 3 x nav identiski vienādas, jo, piemēram, pie x=1 to vērtības nav vienādas. Patiešām, ja x=1, izteiksme 2 x ir 2 1=2 un izteiksme 3 x ir 3 1=3.

Ja izteiksmēs mainīgo lielumu pieļaujamo vērtību apgabali sakrīt, piemēram, izteiksmēs a+1 un 1+a , vai a b 0 un 0 , vai un , un šo izteiksmju vērtības ir vienādas visas mainīgo vērtības no šiem apgabaliem, tad šeit viss ir skaidrs - šīs izteiksmes ir identiski vienādas visām tajos iekļauto mainīgo lielumu pieļaujamajām vērtībām. Tātad a+1≡1+a jebkuram a , izteiksmes a b 0 un 0 ir identiski vienādas jebkurai mainīgo a un b vērtībām, un izteiksmes un ir identiski vienādas visiem x no ; ed. S. A. Teļakovskis. - 17. izd. - M. : Izglītība, 2008. - 240 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M. : Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Mordkovičs A.G. Algebra. 7. klase. Plkst.14 1. daļa. Mācību grāmata izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs. - 17. izdevums, pievienot. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.