Kā noteikt vidējo ātrumu, ja ātrums ir zināms. Kāda ir vidējā ātruma aprēķināšanas formula?

Ļoti vienkārši! Viss ceļš ir jāsadala ar laiku, kad kustības objekts bija ceļā. Citiem vārdiem sakot, var definēt Vidējais ātrums kā visu objekta ātrumu vidējais aritmētiskais. Bet šajā jomā problēmu risināšanā ir dažas nianses.

Piemēram, lai aprēķinātu vidējo ātrumu, tiek dota šāda problēmas versija: ceļotājs vispirms stundu gāja ar ātrumu 4 km stundā. Tad garāmbraucoša automašīna viņu "uzņēma", un atlikušo ceļu viņš nobrauca 15 minūtēs. Un automašīna brauca ar ātrumu 60 km stundā. Kā noteikt vidējo ceļotāja ātrumu?

Jums nevajadzētu vienkārši pievienot 4 km un 60 un dalīt tos uz pusēm, tas būs nepareizs risinājums! Galu galā ceļi, kas izstaigāti kājām un ar automašīnu, mums nav zināmi. Tātad, vispirms ir jāaprēķina viss ceļš.

Pirmā takas daļa ir viegli atrodama: 4 km stundā X 1 stunda = 4 km

Ar otro ceļa daļu nelielas problēmas: Ātrumu izsaka stundās un braukšanas laiku izsaka minūtēs. Šī nianse bieži vien apgrūtina pareizās atbildes atrašanu, kad tiek uzdoti jautājumi, kā atrast vidējo ātrumu, ceļu vai laiku.

Izteikt 15 minūtes stundās. Šīm 15 minūtēm: 60 minūtes = 0,25 stundas. Tagad parēķināsim, kā ceļotājs brauca?

60 km/h X 0,25 h = 15 km

Tagad nebūs iespējams atrast visu ceļu, ko ceļojis ceļotājs īpašs darbs: 15 km + 4 km = 19 km.

Arī ceļojuma laiku ir diezgan viegli aprēķināt. Tas ir 1 stunda + 0,25 stundas = 1,25 stundas.

Un tagad jau ir skaidrs, kā atrast vidējo ātrumu: jums viss ceļš jāsadala ar laiku, ko ceļotājs pavadīja, lai to pārvarētu. Tas ir, 19 km: 1,25 stundas = 15,2 km/h.

Tēmā ir tāda anekdote. Kāds vīrs, kurš steidzas, jautā lauka īpašniekam: “Vai es varu doties uz staciju caur jūsu vietni? Es mazliet kavēju un vēlētos saīsināt savu ceļu, ejot taisni uz priekšu. Tad noteikti paspēšu līdz vilcienam, kas atiet 16:45!” “Protams, jūs varat saīsināt savu ceļu, izejot cauri manai pļavai! Un, ja mans bullis tevi tur pamanīs, tad tev pat būs laiks tam vilcienam, kas atiet 16 stundas un 15 minūtes.

Šī komiskā situācija tikmēr ir tieši saistīta ar tādu matemātisko jēdzienu kā vidējais kustības ātrums. Galu galā potenciālais pasažieris cenšas saīsināt savu ceļu tā vienkāršā iemesla dēļ, ka viņš zina vidējo kustības ātrumu, piemēram, 5 km stundā. Un gājējs, zinot, ka apvedceļš pa asfaltēto ceļu ir 7,5 km, veicis prātīgi vienkāršus aprēķinus, saprot, ka viņam šajā ceļā būs nepieciešama pusotra stunda (7,5 km: 5 km/h = 1,5 stunda).

Viņš, pārāk vēlu atstājot māju, ir ierobežots laikā, un tāpēc nolemj saīsināt savu ceļu.

Un šeit mēs saskaramies ar pirmo noteikumu, kas mums nosaka, kā atrast vidējo kustības ātrumu: ņemot vērā tiešs attālums starp ekstrēmi punkti veidā vai precīzi aprēķinot No iepriekš minētā ikvienam ir skaidrs: jāveic aprēķins, precīzi ņemot vērā ceļa trajektoriju.

Saīsinot ceļu, bet nemainot tā vidējo ātrumu, objekts gājēja sejā saņem laiku. Lauksaimnieks, pieņemot no dusmīgā buļļa bēgošā “sprintera” vidējo ātrumu, liek arī vienkārši aprēķini un sniedz jums rezultātu.

Autovadītāji bieži izmanto otro, svarīgo, vidējā ātruma aprēķināšanas noteikumu, kas attiecas uz ceļā pavadīto laiku. Tas attiecas uz jautājumu, kā noteikt vidējo ātrumu, ja objekts pa ceļam apstājies.

Šajā opcijā parasti, ja nav papildu precizējumu, aprēķinam viņi veic pilna laika ieskaitot pieturas. Līdz ar to auto vadītājs var teikt, ka viņa vidējais ātrums no rīta uz brīva ceļa ir krietni lielāks par vidējo ātrumu sastrēgumstundā, lai gan spidometrs abos gadījumos rāda vienu un to pašu skaitli.

Zinot šos skaitļus, pieredzējis autovadītājs nekad nekur nekavēsies, jau iepriekš paredzot, kāds būs viņa vidējais kustības ātrums pilsētā. atšķirīgs laiks dienas.

Lai aprēķinātu vidējo ātrumu, izmantojiet vienkāršu formulu: Ātrums = nobrauktais attālums Laiks (\displaystyle (\text(Speed))=(\frac (\text(nobrauktais attālums))(\text(Laiks)))). Bet dažos uzdevumos tiek dotas divas ātruma vērtības - dažādās nobrauktā attāluma daļās vai dažādos laika intervālos. Šādos gadījumos vidējā ātruma aprēķināšanai jāizmanto citas formulas. Problēmu risināšanas prasmes var būt noderīgas īsta dzīve, un pašus uzdevumus var atrast eksāmenos, tāpēc atceries formulas un saproti uzdevumu risināšanas principus.

Soļi

Viena ceļa vērtība un viena laika vērtība

ķermeņa noietā ceļa garums;
laiks, kas ķermenim bija vajadzīgs, lai izietu šo ceļu.
Piemēram: automašīna nobrauca 150 km 3 stundās Atrodi automašīnas vidējo ātrumu.

Formula: kur v (\displaystyle v)- Vidējais ātrums, s (\displaystyle s)- nobrauktais attālums, t (\displaystyle t)- laiks, kas nepieciešams ceļošanai.

Formulā aizstājiet nobraukto attālumu. Aizstājiet ceļa vērtību ar s (\displaystyle s).
- Mūsu piemērā automašīna ir nobraukusi 150 km. Formula tiks uzrakstīta šādi: v = 150 t (\displaystyle v=(\frac (150)(t))).
Pievienojiet laiku formulā. Aizstāt laika vērtību ar t (\displaystyle t).
- Mūsu piemērā automašīna brauca 3 stundas Formula tiks uzrakstīta šādi:.
Sadaliet ceļu ar laiku. Jūs atradīsiet vidējo ātrumu (parasti to mēra kilometros stundā).
- Mūsu piemērā:
  v = 150 3 (\displaystyle v=(\frac (150)(3)))
  
  Tādējādi, ja automašīna 150 km nobrauca 3 stundās, tad tā pārvietojās ar vidējo ātrumu 50 km/h.
Aprēķiniet kopējo nobraukto attālumu. Lai to izdarītu, saskaitiet nobraukto ceļa posmu vērtības. Formulā aizstājiet kopējo nobraukto attālumu (nevis s (\displaystyle s)).
- Mūsu piemērā automašīna ir nobraukusi 150 km, 120 km un 70 km. Kopējais nobrauktais attālums: .
T (\displaystyle t)).
- . Tādējādi formula tiks uzrakstīta šādi:.
- Mūsu piemērā:
  v = 340 6 (\displaystyle v=(\frac (340)(6)))
  
  Tātad, ja automašīna nobrauca 150 km 3 stundās, 120 km 2 stundās, 70 km 1 stundā, tad tā pārvietojās ar vidējo ātrumu 57 km/h (noapaļota).

Vairāki ātrumi un vairākas reizes

Apskatiet šīs vērtības. Izmantojiet šo metodi, ja ir norādīti šādi daudzumi:

Pierakstiet vidējā ātruma aprēķināšanas formulu. Formula: v = s t (\displaystyle v=(\frac (s)(t))), kur v (\displaystyle v)- Vidējais ātrums, s (\displaystyle s)- kopējais nobrauktais attālums, t (\displaystyle t) ir kopējais ceļojuma laiks.
Aprēķiniet kopējo ceļu. Lai to izdarītu, reiziniet katru ātrumu ar atbilstošo laiku. Tādējādi jūs iegūsit katras ceļa posma garumu. Lai aprēķinātu kopējo ceļu, pievienojiet nobraukto ceļa posmu vērtības. Formulā aizstājiet kopējo nobraukto attālumu (nevis s (\displaystyle s)).
- Piemēram:
  50 km/h 3 h = 50 × 3 = 150 (\displeja stils 50\reizes 3 = 150) km
  60 km/h 2 h = 60 × 2 = 120 (\displeja stils 60\reizes 2 = 120) km
  70 km/h 1 h = 70 × 1 = 70 (\displeja stils 70\reizes 1 = 70) km
  Kopējais nobrauktais attālums: 150 + 120 + 70 = 340 (\displaystyle 150+120+70=340) km. Tādējādi formula tiks uzrakstīta šādi: v = 340 t (\displaystyle v=(\frac (340)(t))).
Aprēķiniet kopējo ceļojuma laiku. Lai to izdarītu, pievienojiet tā laika vērtības, kurā tika veikta katra ceļa sadaļa. Pievienojiet formulai kopējo laiku (nevis t (\displaystyle t)).
- Mūsu piemērā automašīna brauca 3 stundas, 2 stundas un 1 stundu. Kopējais brauciena laiks ir: 3 + 2 + 1 = 6 (\displeja stils 3 + 2 + 1 = 6). Tādējādi formula tiks uzrakstīta šādi: v = 340 6 (\displaystyle v=(\frac (340)(6))).
Sadaliet kopējo attālumu ar kopējo laiku. Jūs atradīsit vidējo ātrumu.
- Mūsu piemērā:
  v = 340 6 (\displaystyle v=(\frac (340)(6)))
  v = 56 , 67 (\displaystyle v=56,67)
  Tātad, ja automašīna 3 stundas pārvietojās ar ātrumu 50 km/h, 2 stundas ar ātrumu 60 km/h, 1 stundu ar ātrumu 70 km/h, tad tā pārvietojās vidēji ar ātrumu. ātrums 57 km/h (noapaļots).

Ar diviem ātrumiem un diviem identiskiem laikiem

Apskatiet šīs vērtības. Izmantojiet šo metodi, ja ir norādīti šādi daudzumi un nosacījumi:
- divi vai vairāki ātrumi, ar kuriem ķermenis pārvietojās;
- ķermenis pārvietojas ar noteiktu ātrumu vienādu laika periodu.
- Piemēram: automašīna brauca ar ātrumu 40 km/h 2 stundas un ar ātrumu 60 km/h vēl 2 stundas Atrodiet automašīnas vidējo ātrumu visam braucienam.
Pierakstiet formulu vidējā ātruma aprēķināšanai, ņemot vērā divus ātrumus, ar kuriem ķermenis pārvietojas vienādos laika periodos. Formula: v = a + b 2 (\displaystyle v=(\frac (a+b)(2))), kur v (\displaystyle v)- Vidējais ātrums, a (\displaystyle a)- ķermeņa ātrums pirmajā laika periodā, b (\displaystyle b)- ķermeņa ātrums otrajā (tāds pats kā pirmajā) laika periodā.
- Šādos uzdevumos laika intervālu vērtības nav svarīgas - galvenais, lai tās būtu vienādas.
- Ņemot vērā vairākus ātrumus un vienādus laika intervālus, pārrakstiet formulu šādi: v = a + b + c 3 (\displaystyle v=(\frac (a+b+c)(3))) vai v = a + b + c + d 4 (\displaystyle v=(\frac (a+b+c+d)(4))). Ja laika intervāli ir vienādi, saskaitiet visas ātruma vērtības un sadaliet tās ar šādu vērtību skaitu.
Formulā aizstājiet ātruma vērtības. Nav svarīgi, ar kādu vērtību to aizstāt a (\displaystyle a), un kura vietā b (\displaystyle b).
- Piemēram, ja pirmais ātrums ir 40 km/h un otrais ātrums ir 60 km/h, formula būtu šāda: .
Saskaitiet abus ātrumus. Tad sadaliet summu ar diviem. Jūs atradīsit vidējo ātrumu visam braucienam.
- Piemēram:
  v = 40 + 60 2 (\displaystyle v=(\frac (40+60)(2)))
  v = 100 2 (\displaystyle v=(\frac (100)(2)))
  v=50 (\displaystyle v=50)
  Tādējādi, ja automašīna 2 stundas brauca ar ātrumu 40 km/h un vēl 2 stundas ar ātrumu 60 km/h, automašīnas vidējais ātrums visā braucienā bija 50 km/h.

Ātruma jēdziens ir viens no galvenajiem kinemātikas jēdzieniem.
Daudzi droši vien zina, ka ātrums ir fiziskais daudzums, kas parāda, cik ātri (vai cik lēni) kustīgs ķermenis pārvietojas telpā. Protams mēs runājam par pārvietojumu izvēlētajā atskaites sistēmā. Vai jūs taču zināt, ka tiek lietots nevis viens, bet trīs ātruma jēdzieni? Ir ātrums iekšā Šis brīdis laiks, ko sauc par momentāno ātrumu, un ir divi vidējā ātruma jēdzieni noteiktā laika periodā - vidējais braukšanas ātrums (angļu valodā speed) un vidējais kustības ātrums (angļu valodā velocity).
Mēs apsvērsim materiālu punktu koordinātu sistēmā x, y, z(att. a).

Pozīcija A punktus laikā t raksturo ar koordinātām x(t), y(t), z(t), kas attēlo trīs rādiusa vektora komponentus ( t). Punkts pārvietojas, tā pozīcija izvēlētajā koordinātu sistēmā laika gaitā mainās - rādiusa vektora beigas ( t) apraksta līkni, ko sauc par kustīgā punkta trajektoriju.
Trajektorija, kas aprakstīta laika intervālam no t pirms tam t + Δt parādīts b attēlā.

Pāri B norāda punkta pozīciju dotajā brīdī t + Δt(to nosaka rādiusa vektors ( t + Δt)). Ļaujiet būt Δs ir aplūkojamās līknes trajektorijas garums, t.i., ceļš, ko punkts nogājis laikā no plkst. t pirms tam t + Δt.
Punkta vidējo braukšanas ātrumu noteiktā laika periodā nosaka attiecība

Ir skaidrs, ka v p − skalārs; to raksturo tikai skaitliska vērtība.
Vektors, kas parādīts b attēlā

sauc par pārvietošanu materiālais punkts no t pirms tam t + Δt.
Vidējais kustības ātrums noteiktā laika periodā tiek noteikts pēc attiecības

Ir skaidrs, ka v sal− vektora daudzums. vektora virziens v sal sakrīt ar kustības virzienu Δr.
Ņemiet vērā, ka taisnvirziena kustības gadījumā kustīgā punkta vidējais kustības ātrums sakrīt ar vidējā ātruma moduli pārvietojumā.
Punkta kustību pa taisnvirziena vai līknes trajektoriju sauc par vienmērīgu, ja attiecībā (1) vērtība vп nav atkarīga no Δt. Ja, piemēram, samazinām Δt 2 reizes, tad punkta noietā ceļa garums Δs samazināsies 2 reizes. Vienmērīgā kustībā punkts vienādos laika intervālos veic vienāda garuma ceļu.
Jautājums:
Vai varam pieņemt, ka ar vienmērīgu punkta kustību no Δt vai nav atkarīgs arī no vidējā ātruma vektora cp attiecībā pret pārvietojumu?

Atbilde:
To var uzskatīt tikai taisnas kustības gadījumā (šajā gadījumā mēs atgādinām, ka vidējā ātruma modulis pārvietojumam ir vienāds ar vidējo braukšanas ātrumu). Ja viendabīgo kustību veic pa līknes trajektoriju, tad ar vidējām intervāla izmaiņām Δt mainīsies gan modulis, gan vidējā ātruma vektora virziens pa pārvietojumu. Ar vienmērīgu līknes kustību vienādos laika intervālos Δt atbildīs dažādiem nobīdes vektoriem Δr(un līdz ar to dažādi vektori v sal).
Tiesa, gadījumā vienmērīga kustība ap apli vienādi laika intervāli atbildīs vienādām nobīdes moduļa vērtībām |r|(un tāpēc vienādi |v cf |). Bet pārvietojumu virzieni (un līdz ar to arī vektori v sal), un šajā gadījumā tas pats atšķirsies Δt. Tas ir redzams attēlā

Ja punkts, kas vienmērīgi pārvietojas pa apli, apraksta vienādus lokus vienādos laika intervālos AB, BC, CD. Lai gan nobīdes vektori 1 , 2 , 3 ir vienādi moduļi, bet to virzieni ir atšķirīgi, tāpēc nav vajadzības runāt par šo vektoru vienādību.
Piezīme
No diviem vidējiem ātrumiem problēmās parasti tiek ņemts vērā vidējais braukšanas ātrums, un vidējais braukšanas ātrums tiek izmantots diezgan reti. Tomēr tas ir pelnījis uzmanību, jo tas ļauj mums ieviest momentānā ātruma jēdzienu.

Atcerieties, ka ātrumu nosaka gan skaitliskā vērtība, gan virziens.Ātrums raksturo ķermeņa stāvokļa izmaiņu ātrumu, kā arī virzienu, kādā šis ķermenis pārvietojas. Piemēram, 100 m/s (uz dienvidiem).

Atrodiet kopējo pārvietojumu, t.i., attālumu un virzienu starp ceļa sākuma un beigu punktu. Piemēram, apsveriet ķermeni, kas vienā virzienā pārvietojas ar nemainīgu ātrumu.

Piemēram, raķete tika palaista ziemeļu virzienā un kustējās 5 minūtes ar nemainīgu ātrumu 120 metri minūtē. Lai aprēķinātu kopējo pārvietojumu, izmantojiet formulu s = vt: (5 minūtes) (120 m/min) = 600 m (ziemeļi).
Ja jūsu problēmai ir dots pastāvīgs paātrinājums, izmantojiet formulu s = vt + ½ pie 2 (nākamajā sadaļā ir aprakstīts vienkāršots veids, kā strādāt ar nemainīgu paātrinājumu).

Atrodiet kopējo ceļojuma laiku. Mūsu piemērā raķete pārvietojas 5 minūtes. Vidējo ātrumu var izteikt jebkurā mērvienībā, bet gan starptautiskā sistēmaātruma mērvienības mēra metros sekundē (m/s). Pārvērtiet minūtes sekundēs: (5 minūtes) x (60 sekundes/minūtē) = 300 sekundes.

Pat ja iekšā zinātniskais uzdevums laiks ir norādīts stundās vai citās vienībās, labāk vispirms aprēķināt ātrumu un pēc tam pārvērst to m/s.

Aprēķiniet vidējo ātrumu. Ja zināt pārvietojuma vērtību un kopējo brauciena laiku, varat aprēķināt vidējo ātrumu, izmantojot formulu v av = Δs/Δt. Mūsu piemērā vidējais raķetes ātrums ir 600 m (ziemeļi) / (300 sekundes) = 2 m/s (ziemeļi).

Noteikti norādiet braukšanas virzienu (piemēram, "uz priekšu" vai "ziemeļi").
Formulā vav = ∆s/∆t simbols "delta" (Δ) nozīmē "lieluma izmaiņas", tas ir, Δs/Δt nozīmē "pozīcijas maiņa uz laika maiņu".
Vidējo ātrumu var uzrakstīt kā v avg vai kā v ar horizontālu joslu virs tā.

Risinājums beidzies izaicinošus uzdevumus, piemēram, ja ķermenis griežas vai paātrinājums nav nemainīgs.Šādos gadījumos vidējais ātrums joprojām tiek aprēķināts kā kopējā pārvietojuma attiecība pret kopējo laiku. Nav nozīmes tam, kas notiek ar ķermeni starp ceļa sākuma un beigu punktu. Šeit ir daži problēmu piemēri ar vienādu kopējo nobīdi un kopējo laiku (un līdz ar to vienādu vidējo ātrumu).

Anna iet uz rietumiem ar ātrumu 1 m/s 2 sekundes, tad acumirklī paātrina līdz 3 m/s un turpina iet uz rietumiem 2 sekundes. Tā kopējā pārvietojums ir (1 m/s) (2 s) + (3 m/s) (2 s) = 8 m (rietumu virzienā). Kopējais ceļojuma laiks: 2s + 2s = 4s. Viņas vidējais ātrums: 8 m / 4 s = 2 m/s (rietumos).
Boriss iet uz rietumiem ar ātrumu 5 m/s 3 sekundes, pēc tam apgriežas un 1 sekundi iet uz austrumiem ar ātrumu 7 m/s. Mēs varam domāt par kustību austrumu virzienā kā "negatīvu kustību" uz rietumiem, tāpēc kopējā kustība ir (5 m/s) (3 s) + (-7 m/s) (1 s) = 8 metri. Kopējais laiks ir 4 s. Vidējais ātrums ir 8 m (rietumos) / 4 s = 2 m/s (rietumos).
Džūlija iet 1 metru uz ziemeļiem, tad iet 8 metrus uz rietumiem un tad iet 1 metru uz dienvidiem. Kopējais ceļojuma laiks ir 4 sekundes. Uzzīmējiet šīs kustības diagrammu uz papīra un jūs redzēsiet, ka tā beidzas 8 metrus uz rietumiem no sākuma punkta, tas ir, kopējā kustība ir 8 m Kopējais ceļojuma laiks bija 4 sekundes. Vidējais ātrums ir 8 m (rietumos) / 4 s = 2 m/s (rietumos).

Vidējais ātrums ir ātrums, ko iegūst, ja visu ceļu dala ar laiku, kurā objekts nogājis šo ceļu. Vidējā ātruma formula:

V cf \u003d S / t.

S = S1 + S2 + S3 = v1*t1 + v2*t2 + v3*t3
Vav = S/t = (v1*t1 + v2*t2 + v3*t3) / (t1 + t2 + t3)

Lai nesajauktos ar stundām un minūtēm, visas minūtes pārvēršam stundās: 15 min. = 0,4 stundas, 36 minūtes. = 0,6 stundas. Aizstāt skaitliskās vērtības pēdējā formulā:

V cf \u003d (20 * 0,4 + 0,5 * 6 + 0,6 * 15) / (0,4 + 0,5 + 0,6) \u003d (8 + 3 + 9) / (0,4 + 0,5 + 0,6) = 20 / 1,5 km = 1.3. h

Atbilde: vidējais ātrums V cf = 13,3 km/h.

Kā atrast vidējo kustības ātrumu ar paātrinājumu

Ja ātrums kustības sākumā atšķiras no ātruma tās beigās, šādu kustību sauc par paātrinātu. Turklāt ķermenis ne vienmēr kustas ātrāk un ātrāk. Ja kustība palēninās, viņi joprojām saka, ka tā virzās ar paātrinājumu, tikai paātrinājums jau būs negatīvs.

Citiem vārdiem sakot, ja automašīna, startējot, paātrina ātrumu līdz 10 m / s sekundē, tad tās paātrinājums ir vienāds ar 10 m sekundē a = 10 m / s². Ja nākamajā sekundē automašīna apstājās, tad arī tās paātrinājums ir vienāds ar 10 m / s², tikai ar mīnusa zīmi: a \u003d -10 m / s².

Kustības ātrumu ar paātrinājumu laika intervāla beigās aprēķina pēc formulas:

V = V0 ± pie,

kur V0 ir kustības sākotnējais ātrums, a ir paātrinājums, t ir laiks, kurā šis paātrinājums tika novērots. Pluss vai mīnuss formulā tiek iestatīts atkarībā no tā, vai ātrums palielinājās vai samazinājās.

Vidējo ātrumu laika posmam t aprēķina kā sākuma un beigu ātruma vidējo aritmētisko: