Kā aprakstīt parabolas funkcijas grafika īpašības. Kvadrātfunkcija un tās grafiks

Skolas matemātikas stundās jau esi iepazinies ar vienkāršākajām īpašībām un funkcijas grafiku y=x2. Papildināsim savas zināšanas kvadrātiskā funkcija.

1. vingrinājums.

Uzzīmējiet funkciju y=x2. Mērogs: 1 = 2 cm Atzīmējiet punktu uz Oy ass F(0; 1/4). Izmantojot kompasu vai papīra sloksni, izmēra attālumu no punkta F uz kādu brīdi M parabolas. Pēc tam piespraudiet sloksni punktā M un pagrieziet to ap šo punktu, lai tā kļūtu vertikāla. Sloksnes gals nokritīs nedaudz zem x ass (1. att.). Atzīmējiet uz sloksnes, cik tālu tas pārsniedz x asi. Tagad paņemiet vēl vienu parabolas punktu un atkārtojiet mērījumu vēlreiz. Cik daudz sloksnes mala tagad ir nokritusi aiz x ass?

Rezultāts: neatkarīgi no tā, kuru parabolas punktu y \u003d x 2 jūs paņemat, attālums no šī punkta līdz punktam F (0; 1/4) vienmēr būs lielāks par attālumu no tā paša punkta līdz x asij skaits - ar 1/4.

Var teikt dažādi: attālums no jebkura parabolas punkta līdz punktam (0; 1/4) ir vienāds ar attālumu no tā paša parabolas punkta līdz taisnei y = -1/4. Šo brīnišķīgo punktu F(0; 1/4) sauc fokuss parabolas y \u003d x 2 un taisne y \u003d -1/4 - direktorešī parabola. Katrai parabolai ir virziens un fokuss.

Interesantas parabolas īpašības:

1. Jebkurš parabolas punkts atrodas vienādā attālumā no kāda punkta, ko sauc par parabolas fokusu, un no kādas līnijas, ko sauc par tās virzienu.

2. Ja pagriežat parabolu ap simetrijas asi (piemēram, parabolu y \u003d x 2 ap Oy asi), iegūstat ļoti interesantu virsmu, ko sauc par apgriezienu paraboloīdu.

Šķidruma virsmai rotējošā traukā ir apgriezienu paraboloīda forma. Šo virsmu var redzēt, ja nepabeigtā tējas glāzē spēcīgi maisāt ar karoti un pēc tam izņemat karoti.

3. Ja tu iemet akmeni tukšumā noteiktā leņķī pret horizontu, tad tas lidos gar parabolu (2. att.).

4. Ja jūs krustojat konusa virsmu ar plakni, kas ir paralēla kādam no tā ģeneratoriem, tad sadaļā jūs iegūstat parabolu (3. att.).

5. Atrakciju parkos viņi dažreiz sarīko kādu smieklīgu atrakciju, ko sauc par brīnumu paraboloīdu. Katram no tiem, kas stāv rotējošā paraboloīda iekšpusē, šķiet, ka viņš stāv uz grīdas, bet pārējie cilvēki, kāda brīnuma dēļ, turas pie sienām.

6. Spoguļteleskopos tiek izmantoti arī paraboliskie spoguļi: tālas zvaigznes gaisma, kas ceļo paralēlā starā, krītot uz teleskopa spoguļa, tiek savākta fokusā.

7. Prožektoriem spoguli parasti izgatavo paraboloīda formā. Ja novietojat gaismas avotu paraboloīda fokusā, tad no paraboliskā spoguļa atstarotie stari veido paralēlu staru kūli.

Kvadrātfunkcijas uzzīmēšana

Matemātikas stundās jūs mācījāties, kā iegūt formas funkciju grafikus no funkcijas y \u003d x 2 grafika:

1) y=ass2– grafika y = x 2 izvēršana pa Oy asi |a| reizes (par |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, rīsi. 4).

2) y=x2+n– grafika nobīde par n vienībām pa Oy asi, un, ja n > 0, tad nobīde ir uz augšu, un ja n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m)2– grafika nobīde par m vienībām pa Ox asi: ja m< 0, то вправо, а если m >0, tad pa kreisi, (5. att.).

4) y=-x2- simetrisks attēlojums ap grafika Ox asi y = x 2 .

Pakavēsimies pie funkciju grafika uzzīmēšanas sīkāk. y = a(x - m) 2 + n.

Formas y = ax 2 + bx + c kvadrātfunkciju vienmēr var reducēt līdz formai

y \u003d a (x - m) 2 + n, kur m \u003d -b / (2a), n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a).

Pierādīsim to.

Tiešām,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x (b/a) + b 2 /(4a 2) - b 2 / (4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 - (b 2 - 4ac)/(4a).

Ieviesīsim jaunu apzīmējumu.

Ļaujiet būt m = -b/(2a), a n \u003d - (b 2 - 4ac) / (4a),

tad iegūstam y = a(x - m) 2 + n vai y - n = a(x - m) 2 .

Veiksim vēl dažas aizstāšanas: pieņemsim, ka y - n = Y, x - m = X (*).

Tad iegūstam funkciju Y = aX 2 , kuras grafiks ir parabola.

Parabolas virsotne atrodas sākuma punktā. x=0; Y = 0.

Aizvietojot (*) virsotnes koordinātas, iegūstam grafa virsotnes koordinātas y = a(x - m) 2 + n: x = m, y = n.

Tādējādi, lai uzzīmētu kvadrātisko funkciju, kas attēlota kā

y = a(x - m) 2 + n

pārveidojot, varat rīkoties šādi:

a) izveido funkcijas y = x 2 grafiku;

b) paralēli pārvēršot pa Ox asi par m vienībām un pa Oy asi par n vienībām - pārnes parabolas virsotni no sākuma uz punktu ar koordinātām (m; n) (6. att.).

Uzrakstiet transformācijas:

y = x 2 → y = (x - m) 2 → y = a(x - m) 2 → y = a(x - m) 2 + n.

Piemērs.

Izmantojot transformācijas, izveidojiet funkcijas y = 2(x - 3) 2 grafiku Dekarta koordinātu sistēmā – 2.

Lēmums.

Pārveidojumu ķēde:

y=x2 (1) → y = (x - 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2 (x - 3) 2 - 2 (4) .

Grafika konstrukcija ir parādīta rīsi. 7.

Jūs varat praktizēt kvadrātiskās funkcijas diagrammu veidošanu pats. Piemēram, vienā koordinātu sistēmā, izmantojot transformācijas, izveidojiet funkcijas y = 2(x + 3) 2 + 2 grafiku. Ja jums ir kādi jautājumi vai vēlaties saņemt padomu no skolotāja, tad jums ir iespēja vadīt bezmaksas 25 minūšu nodarbība ar tiešsaistes pasniedzēju pēc . Tālākam darbam ar skolotāju varat izvēlēties sev piemērotāko

Vai jums ir kādi jautājumi? Vai nezināt, kā attēlot kvadrātiskās funkcijas grafiku?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja -.
Pirmā nodarbība bez maksas!

blog.site, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.