Kā atrast aritmētiskās progresijas atšķirību, ja tā ir zināma. Aritmētiskā progresija

Piemēram, secība \(2\); \(pieci\); \(8\); \(vienpadsmit\); \(14\)… ir aritmētiskā progresija, jo katrs nākamais elements no iepriekšējā atšķiras par trīs (var iegūt no iepriekšējā, pievienojot trīs):

Šajā progresijā starpība \(d\) ir pozitīva (vienāda ar \(3\)), un tāpēc katrs nākamais termins ir lielāks par iepriekšējo. Šādas progresijas sauc pieaug.

Tomēr \(d\) var būt arī negatīvs skaitlis. Piemēram, aritmētiskā progresijā \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… progresijas starpība \(d\) ir vienāda ar mīnus seši.

Un šajā gadījumā katrs nākamais elements būs mazāks par iepriekšējo. Šīs progresijas sauc samazinās.

Aritmētiskās progresijas apzīmējums

Progresiju apzīmē ar mazu latīņu burtu.

Skaitļus, kas veido progresiju, sauc par to biedri(vai elementi).

Tie ir apzīmēti ar tādu pašu burtu kā aritmētiskā progresija, bet ar skaitlisko indeksu, kas vienāds ar elementa numuru secībā.

Piemēram, aritmētiskā progresija \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) sastāv no elementiem \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) un tā tālāk.

Citiem vārdiem sakot, progresijai \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Uzdevumu risināšana aritmētiskā progresijā

Principā iepriekš minētā informācija jau ir pietiekama, lai atrisinātu gandrīz jebkuru aritmētiskās progresijas problēmu (tostarp OGE piedāvātās).

Piemērs (OGE). Aritmētisko progresiju nosaka nosacījumi \(b_1=7; d=4\). Atrodiet \(b_5\).
Risinājums:

Atbilde: \(b_5=23\)

Piemērs (OGE). Ir doti pirmie trīs aritmētiskās progresijas locekļi: \(62; 49; 36…\) Atrodiet šīs progresijas pirmā negatīvā vārda vērtību.
Risinājums:

	Mums ir doti pirmie secības elementi un zinām, ka tā ir aritmētiskā progresija. Tas ir, katrs elements atšķiras no blakus esošā ar tādu pašu numuru. Uzziniet, kurš no tiem, no nākamā elementa atņemot iepriekšējo: \(d=49-62=-13\).
	Tagad mēs varam atjaunot savu progresu uz vēlamo (pirmo negatīvo) elementu.
	Gatavs. Jūs varat uzrakstīt atbildi.

Atbilde: \(-3\)

Piemērs (OGE). Doti vairāki secīgi aritmētiskās progresijas elementi: \(...5; x; 10; 12,5...\) Atrast elementa vērtību, kas apzīmēta ar burtu \(x\).
Risinājums:

	Lai atrastu \(x\), mums jāzina, cik ļoti nākamais elements atšķiras no iepriekšējā, citiem vārdiem sakot, progresijas atšķirība. Atradīsim to no diviem zināmiem blakus elementiem: \(d=12,5-10=2,5\).
	Un tagad bez problēmām atrodam to, ko meklējam: \(x=5+2.5=7.5\).
	Gatavs. Jūs varat uzrakstīt atbildi.

Atbilde: \(7,5\).

Piemērs (OGE). Aritmētisko progresiju uzrāda šādi nosacījumi: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Atrodiet šīs progresijas pirmo sešu vārdu summu.
Risinājums:

	Mums jāatrod progresa pirmo sešu terminu summa. Bet mēs nezinām to nozīmi, mums ir dots tikai pirmais elements. Tāpēc vispirms mēs pēc kārtas aprēķinām vērtības, izmantojot mums doto: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Un, aprēķinot sešus mums nepieciešamos elementus, mēs atrodam to summu.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Pieprasītā summa ir atrasta.

Atbilde: \(S_6=9\).

Piemērs (OGE). Aritmētiskajā progresijā \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Atrodiet šīs progresijas atšķirību.
Risinājums:

Atbilde: \(d=7\).

Svarīgas aritmētiskās progresēšanas formulas

Kā redzat, daudzas aritmētiskās progresijas problēmas var atrisināt, vienkārši saprotot galveno - ka aritmētiskā progresija ir skaitļu ķēde, un katrs nākamais elements šajā ķēdē tiek iegūts, pievienojot to pašu skaitli iepriekšējam (starpība no progresēšanas).

Tomēr dažreiz ir situācijas, kad ir ļoti neērti atrisināt "uz pieres". Piemēram, iedomājieties, ka pašā pirmajā piemērā mums jāatrod nevis piektais elements \(b_5\), bet gan trīs simti astoņdesmit sestais \(b_(386)\). Kas tas ir, mēs \ (385 \) reizes, lai pievienotu četrus? Vai arī iedomājieties, ka priekšpēdējā piemērā jums jāatrod pirmo septiņdesmit trīs elementu summa. Skaitīšana ir mulsinoša...

Tāpēc šādos gadījumos viņi nerisina “uz pieres”, bet izmanto īpašas formulas, kas iegūtas aritmētiskajai progresijai. Un galvenās ir progresijas n-tā vārda formula un pirmo vārdu summas \(n\) formula.

Formula \(n\)-tam dalībniekam: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kur \(a_1\) ir progresijas pirmais dalībnieks;
\(n\) – vajadzīgā elementa numurs;
\(a_n\) ir progresijas dalībnieks ar skaitli \(n\).

Šī formula ļauj ātri atrast vismaz trīs simto, pat miljono elementu, zinot tikai pirmo un progresijas atšķirību.

Piemērs. Aritmētisko progresiju nosaka nosacījumi: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Atrodiet \(b_(246)\).
Risinājums:

Atbilde: \(b_(246)=1850\).

Pirmo n vārdu summas formula ir: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kur

\(a_n\) ir pēdējais summētais termins;

Piemērs (OGE). Aritmētisko progresiju nosaka nosacījumi \(a_n=3,4n-0,6\). Atrodiet šīs progresijas pirmo \(25\) vārdu summu.
Risinājums:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		Lai aprēķinātu pirmo divdesmit piecu elementu summu, mums jāzina pirmā un divdesmit piektā vārda vērtība. Mūsu progresiju nosaka n-tā vārda formula atkarībā no tā skaita (skatiet sīkāk). Aprēķināsim pirmo elementu, aizstājot \(n\) ar vienu.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Tagad atradīsim divdesmit piekto terminu, aizstājot divdesmit piecus \(n\) vietā.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Nu, tagad mēs bez problēmām aprēķinām nepieciešamo summu.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Atbilde ir gatava.

Atbilde: \(S_(25)=1090\).

Pirmo terminu summai \(n\) varat iegūt citu formulu: jums vienkārši nepieciešams \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) vietā aizstājiet formulu \(a_n=a_1+(n-1)d\). Mēs iegūstam:

Pirmo n vārdu summas formula ir: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kur

\(S_n\) – nepieciešamo pirmo elementu summa \(n\);
\(a_1\) ir pirmais termins, kas jāsaskaita;
\(d\) – progresijas atšķirība;
\(n\) - elementu skaits summā.

Piemērs. Atrodiet aritmētiskās progresijas pirmo \(33\)-ex vārdu summu: \(17\); \(15,5\); \(četrpadsmit\)…
Risinājums:

Atbilde: \(S_(33)=-231\).

Sarežģītākas aritmētiskās progresijas problēmas

Tagad jums ir visa nepieciešamā informācija, lai atrisinātu gandrīz jebkuru aritmētiskās progresijas uzdevumu. Pabeigsim tēmu, apsverot problēmas, kurās nepieciešams ne tikai pielietot formulas, bet arī nedaudz padomāt (matemātikā tas var noderēt ☺)

Piemērs (OGE). Atrodiet visu progresijas negatīvo vārdu summu: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Risinājums:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Uzdevums ir ļoti līdzīgs iepriekšējam. Mēs sākam risināt tāpat: vispirms atrodam \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Tagad mēs aizstātu \(d\) summas formulā ... un šeit parādās neliela nianse - mēs nezinām \(n\). Citiem vārdiem sakot, mēs nezinām, cik terminu būs jāpievieno. Kā to noskaidrot? Padomāsim. Mēs pārtrauksim pievienot elementus, kad nonāksim pie pirmā pozitīvā elementa. Tas ir, jums ir jānoskaidro šī elementa numurs. Kā? Pierakstīsim formulu jebkura aritmētiskās progresijas elementa aprēķināšanai: \(a_n=a_1+(n-1)d\) mūsu gadījumā.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Mums ir nepieciešams, lai \(a_n\) būtu lielāks par nulli. Noskaidrosim, kādēļ \(n\) tas notiks.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Mēs sadalām abas nevienādības puses ar \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Pārskaitām mīnus viens, neaizmirstot nomainīt zīmes
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Notiek skaitļošana...
\(n>65 333…\)		…un izrādās, ka pirmajam pozitīvajam elementam būs skaitlis \(66\). Attiecīgi pēdējam negatīvajam ir \(n=65\). Katram gadījumam pārbaudīsim.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Tādējādi mums jāpievieno pirmie \(65\) elementi.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Atbilde ir gatava.

Atbilde: \(S_(65)=-630,5\).

Piemērs (OGE). Aritmētisko progresiju nosaka nosacījumi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Atrodiet summu no \(26\) līdz \(42\) elementam ieskaitot.
Risinājums:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Šajā uzdevumā ir jāatrod arī elementu summa, taču sākot nevis no pirmā, bet gan no \(26\)th. Mums tam nav formulas. Kā izlemt? Vienkārši — lai iegūtu summu no \(26\) līdz \(42\), vispirms jāatrod summa no \(1\) līdz \(42\) un pēc tam jāatņem no tās summa no no pirmā līdz \ (25 \) th (skatīt attēlu).
	Mūsu progresijai \(a_1=-33\) un starpībai \(d=4\) (galu galā mēs pievienojam četrus iepriekšējam elementam, lai atrastu nākamo). Zinot to, mēs atrodam pirmo \(42\)-uh elementu summu.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Tagad pirmo \(25\)-to elementu summa.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Un visbeidzot mēs aprēķinām atbildi.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Atbilde: \(S=1683\).

Aritmētiskajai progresijai ir vēl vairākas formulas, kuras mēs šajā rakstā neesam aplūkojuši to zemās praktiskās lietderības dēļ. Tomēr jūs varat tos viegli atrast.

Uzmanību!
Ir papildu
materiāls īpašajā 555. sadaļā.
Tiem, kas izteikti "ne ļoti..."
Un tiem, kas "ļoti...")

Aritmētiskā progresija ir skaitļu virkne, kurā katrs skaitlis ir par tādu pašu summu lielāks (vai mazāks) par iepriekšējo.

Šī tēma bieži ir grūta un nesaprotama. Burtu indeksi, progresijas n-tais loceklis, progresijas atšķirība - tas viss ir kaut kā mulsinoši, jā ... Izdomāsim aritmētiskās progresijas nozīmi un viss nokārtosies uzreiz.)

Aritmētiskās progresijas jēdziens.

Aritmētiskā progresija ir ļoti vienkāršs un skaidrs jēdziens. Šaubas? Velti.) Skatieties paši.

Es uzrakstīšu nepabeigtu skaitļu sēriju:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Vai varat pagarināt šo līniju? Kādi skaitļi būs nākamie pēc pieci? Visi ... uh ..., īsi sakot, visi sapratīs, ka skaitļi 6, 7, 8, 9 utt.

Sarežģīsim uzdevumu. Es dodu nepabeigtu skaitļu sēriju:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Varat noķert modeli, paplašināt sēriju un nosaukt nosaukumu septītais rindas numurs?

Ja jūs sapratāt, ka šis skaitlis ir 20 - es jūs apsveicu! Jūs ne tikai jutāt aritmētiskās progresijas galvenie punkti, bet arī veiksmīgi izmantoja tos biznesā! Ja nesaproti, lasi tālāk.

Tagad pārtulkosim galvenos punktus no sajūtām matemātikā.)

Pirmais galvenais punkts.

Aritmētiskā progresija attiecas uz skaitļu sērijām. Sākumā tas ir mulsinoši. Mēs esam pieraduši risināt vienādojumus, veidot grafikus un visu to... Un tad paplašiniet sēriju, atrodiet sērijas numuru ...

Ir labi. Vienkārši progresijas ir pirmā iepazīšanās ar jaunu matemātikas nozari. Sadaļa saucas "Sērija", un tā darbojas ar skaitļu un izteiksmju sērijām. Pierodi.)

Otrais galvenais punkts.

Aritmētiskajā progresijā jebkurš skaitlis atšķiras no iepriekšējā par tādu pašu summu.

Pirmajā piemērā šī atšķirība ir viena. Neatkarīgi no tā, kādu skaitli paņemat, tas ir par vienu vairāk nekā iepriekšējais. Otrajā - trīs. Jebkurš skaitlis ir trīs reizes lielāks par iepriekšējo. Faktiski tieši šis brīdis dod mums iespēju uztvert modeli un aprēķināt turpmākos skaitļus.

Trešais galvenais punkts.

Šis brīdis nav pārsteidzošs, jā... Bet ļoti, ļoti svarīgs. Šeit viņš ir: katrs progresijas numurs ir savā vietā. Ir pirmais numurs, ir septītais, ir četrdesmit piektais un tā tālāk. Ja jūs tos nejauši sajaucat, raksts pazudīs. Pazudīs arī aritmētiskā progresija. Tā ir tikai skaitļu virkne.

Tā ir visa būtība.

Protams, jaunajā tēmā parādās jauni termini un apzīmējumi. Viņiem jāzina. Pretējā gadījumā jūs nesapratīsit uzdevumu. Piemēram, jums ir jāizlemj, piemēram:

Pierakstiet aritmētiskās progresijas (a n) pirmos sešus vārdus, ja a 2 = 5, d = -2,5.

Vai tas iedvesmo?) Burti, daži rādītāji... Un uzdevums, starp citu, nevarētu būt vieglāks. Jums vienkārši jāsaprot terminu un apzīmējumu nozīme. Tagad mēs apgūsim šo lietu un atgriezīsimies pie uzdevuma.

Noteikumi un apzīmējumi.

Aritmētiskā progresija ir skaitļu virkne, kurā katrs skaitlis atšķiras no iepriekšējā par tādu pašu summu.

Šo vērtību sauc . Apskatīsim šo koncepciju sīkāk.

Aritmētiskās progresijas atšķirība.

Aritmētiskās progresijas atšķirība ir summa, par kādu jebkurš progresijas skaitlis vairāk iepriekšējā.

Viens svarīgs punkts. Lūdzu, pievērsiet uzmanību vārdam "vairāk". Matemātiski tas nozīmē, ka tiek iegūts katrs progresijas skaitlis pievienojot aritmētiskās progresijas starpība līdz iepriekšējam skaitlim.

Lai aprēķinātu, teiksim otrais rindas numurus, tas ir nepieciešams vispirms numuru pievienotšī aritmētiskās progresijas atšķirība. Aprēķinam piektais- atšķirība ir nepieciešama pievienot uz ceturtais nu utt.

Aritmētiskās progresijas atšķirība var būt pozitīvs tad katrs sērijas numurs izrādīsies īsts vairāk nekā iepriekšējā.Šo progresēšanu sauc pieaug. Piemēram:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Šeit ir katrs skaitlis pievienojot pozitīvs skaitlis, +5 pret iepriekšējo.

Atšķirība var būt negatīvs tad katrs sērijas numurs būs mazāk nekā iepriekšējā.Šo progresu sauc (jūs neticēsit!) samazinās.

Piemēram:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Šeit tiek iegūts arī katrs skaitlis pievienojot uz iepriekšējo, bet jau negatīvo skaitli, -5.

Starp citu, strādājot ar progresiju, ir ļoti noderīgi uzreiz noteikt tās būtību – vai tā palielinās vai samazinās. Tas ļoti palīdz orientēties lēmumā, atklāt savas kļūdas un izlabot tās, pirms nav par vēlu.

Aritmētiskās progresijas atšķirība parasti apzīmē ar burtu d.

Kā atrast d? Ļoti vienkārši. Ir nepieciešams atņemt no jebkura sērijas skaitļa iepriekšējā numuru. Atņemt. Starp citu, atņemšanas rezultātu sauc par "starpību".)

Definēsim, piemēram, d pieaugošai aritmētiskajai progresijai:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Mēs ņemam jebkuru vēlamo rindas numuru, piemēram, 11. No tā atņemam iepriekšējo numuru tie. 8:

Šī ir pareizā atbilde. Šai aritmētiskajai progresijai atšķirība ir trīs.

Jūs varat vienkārši ņemt jebkurš progresiju skaits, jo konkrētai progresēšanai d-vienmēr tas pats. Vismaz kaut kur rindas sākumā, vismaz vidū, vismaz jebkur. Jūs nevarat ņemt tikai pašu pirmo numuru. Tikai tāpēc, ka pats pirmais numurs nav iepriekšēja.)

Starp citu, to zinot d=3, atrast šīs progresijas septīto skaitli ir ļoti vienkārši. Piektajam skaitlim pievienojam 3 - iegūstam sesto, būs 17. Sestajam ciparam pievienojam trīs, iegūstam septīto skaitli - divdesmit.

Definēsim d lai samazinātu aritmētisko progresiju:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Atgādinu, ka neatkarīgi no pazīmēm, lai noteiktu d nepieciešams no jebkura numura atņem iepriekšējo. Mēs izvēlamies jebkuru progresijas skaitu, piemēram, -7. Viņa iepriekšējais numurs ir -2. Pēc tam:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Aritmētiskās progresijas starpība var būt jebkurš skaitlis: vesels skaitlis, daļskaitlis, iracionāls, jebkurš.

Citi termini un apzīmējumi.

Katrs sērijas numurs tiek izsaukts aritmētiskās progresijas dalībnieks.

Katrs progresijas dalībnieks ir viņa numurs. Skaitļi ir stingri kārtībā, bez trikiem. Pirmā, otrā, trešā, ceturtā utt. Piemēram, progresijā 2, 5, 8, 11, 14, ... divi ir pirmais dalībnieks, pieci ir otrais, vienpadsmit ir ceturtais, labi, jūs saprotat...) Lūdzu, skaidri saprotiet - paši skaitļi var būt pilnīgi jebkura, vesela, daļēja, negatīva, vienalga, bet numerācija- stingri kārtībā!

Kā uzrakstīt progresu vispārīgā formā? Nekādu problēmu! Katrs sērijas numurs ir rakstīts kā burts. Lai apzīmētu aritmētisko progresiju, parasti tiek izmantots burts a. Dalībnieka numurs ir norādīts ar indeksu apakšējā labajā stūrī. Dalībniekus raksta, atdalot ar komatiem (vai semikolu), piemēram:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , ......

a 1 ir pirmais numurs a 3- trešais utt. Nekas grūts. Šo sēriju varat īsi uzrakstīt šādi: (a n).

Ir progresijas ierobežots un bezgalīgs.

galīgais progresijai ir ierobežots dalībnieku skaits. Pieci, trīsdesmit astoņi, vienalga. Bet tas ir ierobežots skaitlis.

Bezgalīgs progresija — ir bezgalīgs dalībnieku skaits, kā jūs varētu nojaust.)

Varat uzrakstīt šādas sērijas pēdējo progresu, visus dalībniekus un punktu beigās:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Vai šādi, ja ir daudz dalībnieku:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

Īsā ierakstā papildus būs jānorāda dalībnieku skaits. Piemēram (divdesmit dalībniekiem) šādi:

(a n), n = 20

Bezgalīgu progresu var atpazīt pēc elipses rindas beigās, kā tas ir norādīts šīs nodarbības piemēros.

Tagad jūs jau varat risināt uzdevumus. Uzdevumi ir vienkārši, lai saprastu aritmētiskās progresijas nozīmi.

Aritmētiskās progresēšanas uzdevumu piemēri.

Sīkāk apskatīsim iepriekš minēto uzdevumu:

1. Pieraksti pirmos sešus aritmētiskās progresijas locekļus (a n), ja a 2 = 5, d = -2,5.

Mēs tulkojam uzdevumu saprotamā valodā. Dota bezgalīga aritmētiskā progresija. Ir zināms šīs progresēšanas otrais numurs: a 2 = 5. Zināmā progresa atšķirība: d = -2,5. Mums ir jāatrod pirmais, trešais, ceturtais, piektais un sestais dalībnieks šajā progresā.

Skaidrības labad pierakstīšu sēriju atbilstoši problēmas stāvoklim. Pirmie seši locekļi, kur otrais ir pieci:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,...

a 3 = a 2 + d

Mēs aizstājam izteiksmē a 2 = 5 Un d=-2,5. Neaizmirstiet par mīnusu!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Trešais termiņš ir mazāks par otro. Viss ir loģiski. Ja skaitlis ir lielāks par iepriekšējo negatīvs vērtību, tāpēc pats skaitlis būs mazāks par iepriekšējo. Progresēšana samazinās. Labi, ņemsim to vērā.) Mēs uzskatām mūsu sērijas ceturto dalībnieku:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Tātad ir aprēķināti termiņi no trešā līdz sestajam. Tā rezultātā radās sērija:

a 1 , 5 , 2,5 , 0 , -2,5 , -5 , ....

Atliek atrast pirmo terminu a 1 saskaņā ar labi zināmo otro. Tas ir solis otrā virzienā, pa kreisi.) Tātad aritmētiskās progresijas atšķirība d nevajadzētu pievienot a 2, bet atņemt:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Tas ir viss. Uzdevuma atbilde:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Garām garām atzīmēju, ka mēs šo uzdevumu atrisinājām atkārtojas veidā. Šis briesmīgais vārds nozīmē tikai progresa biedra meklēšanu pēc iepriekšējā (blakus esošā) numura. Citi veidi, kā strādāt ar progresēšanu, tiks apspriesti vēlāk.

No šī vienkāršā uzdevuma var izdarīt vienu svarīgu secinājumu.

Atcerieties:

Ja zinām vismaz vienu aritmētiskās progresijas locekli un atšķirību, mēs varam atrast jebkuru šīs progresijas locekli.

Atceries? Šis vienkāršais secinājums ļauj mums atrisināt lielāko daļu skolas kursa problēmu par šo tēmu. Visi uzdevumi ir saistīti ar trim galvenajiem parametriem: aritmētiskās progresijas loceklis, progresijas starpība, progresijas locekļa numurs. Viss.

Protams, visa iepriekšējā algebra netiek atcelta.) Progresijai ir pievienotas nevienādības, vienādojumi un citas lietas. Bet atbilstoši progresijai- viss griežas ap trim parametriem.

Piemēram, apsveriet dažus populārus uzdevumus par šo tēmu.

2. Uzrakstiet galīgo aritmētisko progresiju kā sēriju, ja n=5, d=0,4 un a 1=3,6.

Šeit viss ir vienkārši. Viss jau ir dots. Jums jāatceras, kā tiek aprēķināti aritmētiskās progresijas locekļi, saskaitīti un pierakstīti. Ieteicams neizlaist vārdus uzdevuma nosacījumā: "galīgs" un " n=5". Lai neskaitītu, līdz esat pilnīgi zils sejā.) Šajā progresā ir tikai 5 (pieci) dalībnieki:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 \u003d 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Atliek pierakstīt atbildi:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Vēl viens uzdevums:

3. Nosakiet, vai skaitlis 7 būs aritmētiskās progresijas (a n) dalībnieks, ja a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Hmm... Kas zina? Kā kaut ko definēt?

Kā-kā... Jā, pieraksti progresu sērijas veidā un paskaties, būs vai nebūs septītnieks! Mēs ticam:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Tagad skaidri redzams, ka esam tikai septiņi izslīdēja cauri no 6,5 līdz 7,7! Septiņi neiekļuva mūsu skaitļu sērijā, un tāpēc septiņi nebūs dotās progresijas dalībnieki.

Atbilde: nē.

Un šeit ir uzdevums, kura pamatā ir reāla GIA versija:

4. Tiek izrakstīti vairāki aritmētiskās progresijas locekļi pēc kārtas:

...; 15; X; deviņi; 6; ...

Šeit ir sērija bez beigām un sākuma. Nav dalībnieku numuru, nav atšķirības d. Ir labi. Lai atrisinātu problēmu, pietiek saprast aritmētiskās progresijas nozīmi. Skatīsimies un redzēsim, ko varam atklāt no šīs līnijas? Kādi ir trīs galveno parametru parametri?

Dalībnieku numuri? Šeit nav neviena numura.

Bet ir trīs skaitļi un - uzmanību! - vārds "secīgi" stāvoklī. Tas nozīmē, ka skaitļi ir stingri sakārtoti, bez atstarpēm. Vai šajā rindā ir divi? kaimiņos zināmi cipari? Jā, man ir! Tie ir 9 un 6. Tātad mēs varam aprēķināt aritmētiskās progresijas starpību! Mēs atņemam no sešiem iepriekšējā numurs, t.i. deviņi:

Ir palikušas tukšas vietas. Kāds skaitlis būs iepriekšējais x? Piecpadsmit. Tātad x var viegli atrast, vienkārši pievienojot. 15 pievienojiet aritmētiskās progresijas starpību:

Tas ir viss. Atbilde: x=12

Tālāk norādītās problēmas risinām paši. Piezīme: šīs mīklas nav paredzētas formulām. Tīri, lai saprastu aritmētiskās progresijas nozīmi.) Mēs vienkārši pierakstām ciparu-burtu virkni, skatāmies un domājam.

5. Atrodiet pirmo pozitīvo aritmētiskās progresijas biedru, ja a 5 = -3; d = 1,1.

6. Ir zināms, ka skaitlis 5,5 ir aritmētiskās progresijas (a n) dalībnieks, kur a 1 = 1,6; d = 1,3. Nosakiet šī vārda skaitli n.

7. Ir zināms, ka aritmētiskajā progresijā a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Atrodi 3.

8. Izraksta vairākus secīgus aritmētiskās progresijas locekļus:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Atrodiet progresijas termiņu, kas apzīmēts ar burtu x.

9. Vilciens sāka kustību no stacijas, pakāpeniski palielinot ātrumu par 30 metriem minūtē. Kāds būs vilciena ātrums pēc piecām minūtēm? Sniedziet atbildi km/h.

10. Ir zināms, ka aritmētiskajā progresijā a 2 = 5; a 6 = -5. Atrodi 1.

Atbildes (nekārtīgi): 7,7; 7,5; 9,5; deviņi; 0,3; 4.

Viss izdevās? Apbrīnojami! Aritmētisko progresiju augstākā līmenī varat apgūt turpmākajās nodarbībās.

Vai tad viss neizdevās? Nekādu problēmu. Speciālajā 555. sadaļā visas šīs problēmas ir sadalītas gabalos.) Un, protams, ir aprakstīts vienkāršs praktisks paņēmiens, kas uzreiz skaidri, skaidri, kā uz delnas izceļ šādu uzdevumu risinājumu!

Starp citu, mīklā par vilcienu ir divas problēmas, uz kurām cilvēki bieži paklūp. Viens - tikai pēc progresēšanas, bet otrs - kopīgs visiem matemātikas un arī fizikas uzdevumiem. Šis ir izmēru tulkojums no viena uz otru. Tas parāda, kā šīs problēmas būtu jārisina.

Šajā nodarbībā mēs apskatījām aritmētiskās progresijas elementāro nozīmi un tās galvenos parametrus. Tas ir pietiekami, lai atrisinātu gandrīz visas problēmas par šo tēmu. Pievienot d uz cipariem, uzraksti sēriju, viss izšķirsies.

Pirkstu risinājums labi darbojas ļoti īsiem sērijas gabaliem, kā tas ir šīs nodarbības piemēros. Ja sērija ir garāka, aprēķini kļūst grūtāki. Piemēram, ja jautājuma 9. uzdevumā, nomainiet "piecas minūtes" uz "trīsdesmit piecas minūtes" problēma kļūs daudz sliktāka.)

Un ir arī uzdevumi, kas pēc būtības ir vienkārši, bet aprēķinu ziņā pilnīgi absurdi, piemēram:

Dota aritmētiskā progresija (a n). Atrodiet 121, ja a 1 = 3 un d = 1/6.

Un ko, pieliksim 1/6 daudzas, daudzas reizes?! Vai ir iespējams sevi nogalināt!?

Jūs varat.) Ja jūs nezināt vienkāršu formulu, pēc kuras jūs varat atrisināt šādus uzdevumus minūtes laikā. Šī formula būs nākamajā nodarbībā. Un tur šī problēma ir atrisināta. Vienā minūtē.)

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Jā, jā: aritmētiskā progresija tev nav rotaļlieta :)

Nu, draugi, ja jūs lasāt šo tekstu, tad iekšējie vāciņu pierādījumi man saka, ka jūs joprojām nezināt, kas ir aritmētiskā progresija, bet jūs patiešām (nē, piemēram: TŪLĪGI!) vēlaties zināt. Tāpēc nemocīšu jūs ar gariem ievadiem un uzreiz ķeršos pie lietas.

Sākumā pāris piemēri. Apsveriet vairākas skaitļu kopas:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Kas kopīgs visiem šiem komplektiem? No pirmā acu uzmetiena nekas. Bet patiesībā kaut kas ir. Proti: katrs nākamais elements atšķiras no iepriekšējā ar tādu pašu numuru.

Spriediet paši. Pirmajā komplektā ir tikai secīgi skaitļi, katrs vairāk nekā iepriekšējā. Otrajā gadījumā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem jau ir vienāda ar pieci, taču šī atšķirība joprojām ir nemainīga. Trešajā gadījumā vispār ir saknes. Tomēr $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, savukārt $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, t.i. tādā gadījumā katrs nākamais elements vienkārši palielinās par $\sqrt(2)$ (un nebaidieties, ka šis skaitlis ir neracionāls).

Tātad: visas šādas secības sauc tikai par aritmētisko progresiju. Sniegsim stingru definīciju:

Definīcija. Skaitļu secību, kurā katrs nākamais atšķiras no iepriekšējā tieši ar tādu pašu summu, sauc par aritmētisko progresiju. Pati summa, par kādu skaitļi atšķiras, tiek saukta par progresijas starpību un visbiežāk tiek apzīmēta ar burtu $d$.

Apzīmējums: $\left(((a)_(n)) \right)$ ir pati progresija, $d$ ir tās atšķirība.

Un tikai pāris svarīgas piezīmes. Pirmkārt, tiek ņemta vērā tikai progresēšana sakārtots ciparu secība: tos ir atļauts lasīt stingri tādā secībā, kādā tie ir rakstīti - un nekas cits. Jūs nevarat pārkārtot vai apmainīt numurus.

Otrkārt, pati secība var būt gan ierobežota, gan bezgalīga. Piemēram, kopa (1; 2; 3) acīmredzami ir ierobežota aritmētiskā progresija. Bet, ja jūs ierakstāt kaut ko līdzīgu (1; 2; 3; 4; ...) - tā jau ir bezgalīga progresija. Elipse pēc četrinieka it kā liecina, ka diezgan daudz skaitļu iet tālāk. Bezgala daudz, piemēram. :)

Es arī vēlos atzīmēt, ka progresēšana palielinās un samazinās. Mēs jau esam redzējuši pieaugošus - tas pats komplekts (1; 2; 3; 4; ...). Šeit ir progresēšanas samazināšanās piemēri:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Labi, labi: pēdējais piemērs var šķist pārāk sarežģīts. Bet pārējo, manuprāt, jūs saprotat. Tāpēc mēs ieviešam jaunas definīcijas:

Definīcija. Aritmētisko progresiju sauc:

1. palielinās, ja katrs nākamais elements ir lielāks par iepriekšējo;
2. samazinās, ja, gluži pretēji, katrs nākamais elements ir mazāks par iepriekšējo.

Turklāt ir tā sauktās "stacionārās" sekvences - tās sastāv no viena un tā paša atkārtojoša skaitļa. Piemēram, (3; 3; 3; ...).

Atliek tikai viens jautājums: kā atšķirt pieaugošu progresu no samazinoša? Par laimi, šeit viss ir atkarīgs tikai no skaitļa $d$ zīmes, t.i. progresēšanas atšķirības:

1. Ja $d \gt 0$, tad progresija pieaug;
2. Ja $d \lt 0$, tad progresija acīmredzami samazinās;
3. Visbeidzot, ir gadījums $d=0$ — šajā gadījumā visa progresija tiek reducēta līdz stacionārai identisku skaitļu secībai: (1; 1; 1; 1; ...) utt.

Mēģināsim aprēķināt starpību $d$ trim iepriekš minētajām lejupejošām progresijām. Lai to izdarītu, pietiek paņemt jebkurus divus blakus elementus (piemēram, pirmo un otro) un atņemt no skaitļa labajā pusē un skaitļa kreisajā pusē. Tas izskatīsies šādi:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Kā redzat, visos trīs gadījumos atšķirība patiešām izrādījās negatīva. Un tagad, kad esam vairāk vai mazāk izdomājuši definīcijas, ir pienācis laiks izdomāt, kā tiek aprakstītas progresijas un kādas īpašības tām piemīt.

Progresijas un atkārtošanās formulas dalībnieki

Tā kā mūsu secību elementus nevar apmainīt, tos var numurēt:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \taisnība\)\]

Atsevišķus šīs kopas elementus sauc par progresijas dalībniekiem. Tie tiek norādīti šādā veidā ar skaitļa palīdzību: pirmais dalībnieks, otrais dalībnieks utt.

Turklāt, kā mēs jau zinām, blakus esošie progresijas locekļi ir saistīti ar formulu:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Labā bultiņa ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Īsāk sakot, lai atrastu progresijas $n$. termiņu, jums jāzina $n-1$. termiņš un starpība $d$. Šādu formulu sauc par atkārtotu, jo ar tās palīdzību jūs varat atrast jebkuru skaitli, tikai zinot iepriekšējo (un faktiski visus iepriekšējos). Tas ir ļoti neērti, tāpēc ir sarežģītāka formula, kas samazina visus aprēķinus līdz pirmajam terminam un starpībai:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Jūs, iespējams, jau esat saskāries ar šo formulu. Viņiem patīk to dot visādās uzziņu grāmatās un rešebņikos. Un jebkurā saprātīgā matemātikas mācību grāmatā tā ir viena no pirmajām.

Tomēr es iesaku jums nedaudz trenēties.

Uzdevums numurs 1. Pierakstiet pirmos trīs aritmētiskās progresijas vārdus $\left(((a)_(n)) \right)$, ja $((a)_(1))=8,d=-5$.

Risinājums. Tātad, mēs zinām pirmo terminu $((a)_(1))=8$ un progresijas starpību $d=-5$. Izmantosim tikko doto formulu un aizstāsim $n=1$, $n=2$ un $n=3$:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(līdzināt)\]

Atbilde: (8; 3; -2)

Tas ir viss! Ņemiet vērā, ka mūsu progresēšana samazinās.

Protams, $n=1$ nevarēja aizstāt - mēs jau zinām pirmo terminu. Tomēr, nomainot vienību, mēs pārliecinājāmies, ka mūsu formula darbojas pat pirmajā termiņā. Citos gadījumos viss nonāca līdz banālai aritmētikai.

Uzdevums numurs 2. Uzrakstiet pirmos trīs aritmētiskās progresijas vārdus, ja tās septītais loceklis ir –40 un septiņpadsmitais ir –50.

Risinājums. Mēs rakstām problēmas stāvokli parastajos terminos:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(līdzināt) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(līdzināt) \pa labi.\]

\[\left\( \begin(līdzināt) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(līdzināt) \taisnība.\]

Sistēmas zīmi lieku, jo šīs prasības jāizpilda vienlaicīgi. Un tagad mēs atzīmējam, ka, ja mēs atņemam pirmo vienādojumu no otrā vienādojuma (mums ir tiesības to darīt, jo mums ir sistēma), mēs iegūstam šo:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(līdzināt)\]

Tieši tāpat mēs atklājām progresa atšķirību! Atliek aizstāt atrasto skaitli jebkurā no sistēmas vienādojumiem. Piemēram, pirmajā:

\[\begin(matrica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrica)\]

Tagad, zinot pirmo terminu un atšķirību, atliek atrast otro un trešo terminu:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(līdzināt)\]

Gatavs! Problēma atrisināta.

Atbilde: (-34; -35; -36)

Ievērojiet kādu dīvainu progresijas īpašību, ko mēs atklājām: ja ņemam $n$th un $m$th vārdus un atņemam tos vienu no otra, mēs iegūstam progresijas starpību, kas reizināta ar skaitli $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Vienkāršs, bet ļoti noderīgs īpašums, kas noteikti jāzina – ar tā palīdzību jūs varat ievērojami paātrināt daudzu progresēšanas problēmu risinājumu. Šeit ir lielisks piemērs tam:

Uzdevums numurs 3. Aritmētiskās progresijas piektais loceklis ir 8,4, bet desmitais ir 14,4. Atrodiet šīs progresijas piecpadsmito termiņu.

Risinājums. Tā kā $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ un mums ir jāatrod $((a)_(15))$, mēs atzīmējam sekojošo:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(līdzināt)\]

Bet pēc nosacījuma $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, tātad $5d=6$, no kurienes mums ir:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(līdzināt)\]

Atbilde: 20.4

Tas ir viss! Mums nebija jāveido vienādojumu sistēmas un jāaprēķina pirmais termins un starpība - viss tika izšķirts tikai pāris rindās.

Tagad aplūkosim cita veida problēmu - negatīvo un pozitīvo progresijas dalībnieku meklēšanu. Nav noslēpums, ka, ja progresija palielinās, kamēr tās pirmais termiņš ir negatīvs, tad agri vai vēlu tajā parādīsies pozitīvi termini. Un otrādi: progresēšanas samazināšanās nosacījumi agrāk vai vēlāk kļūs negatīvi.

Tajā pašā laikā ne vienmēr ir iespējams atrast šo brīdi “uz pieres”, secīgi šķirojot elementus. Bieži problēmas tiek veidotas tā, ka, nezinot formulas, aprēķini aizņemtu vairākas lapas - mēs vienkārši aizmigtu, līdz atrastu atbildi. Tāpēc mēs centīsimies šīs problēmas atrisināt ātrāk.

Uzdevums numurs 4. Cik negatīvu vārdu aritmētiskajā progresijā -38,5; -35,8; …?

Risinājums. Tātad $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, no kā mēs uzreiz atrodam atšķirību:

Ņemiet vērā, ka atšķirība ir pozitīva, tāpēc progresēšana palielinās. Pirmais termins ir negatīvs, tāpēc patiešām kādā brīdī mēs paklupsim uz pozitīviem skaitļiem. Jautājums tikai, kad tas notiks.

Mēģināsim noskaidrot: cik ilgi (t.i., līdz kādam naturālajam skaitlim $n$) saglabājas terminu negatīvisms:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n)) \lt 0\labā bultiņa ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \pa labi. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Labā bultiņa ((n)_(\max ))=15. \\ \end(līdzināt)\]

Pēdējā rindiņa ir jāprecizē. Tātad mēs zinām, ka $n \lt 15\frac(7)(27)$. No otras puses, mums derēs tikai veselas skaitļa vērtības (turklāt: $n\in \mathbb(N)$), tāpēc lielākais pieļaujamais skaitlis ir tieši $n=15$ un nekādā gadījumā 16.

Uzdevums numurs 5. Aritmētiskajā progresijā $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Atrodiet šīs progresijas pirmā pozitīvā termiņa skaitli.

Šī būtu tieši tāda pati problēma kā iepriekšējā, taču mēs nezinām $((a)_(1))$. Bet blakus termini ir zināmi: $((a)_(5))$ un $((a)_(6))$, tāpēc mēs varam viegli atrast progresijas atšķirību:

Turklāt mēģināsim izteikt piekto terminu ar pirmo un starpību, izmantojot standarta formulu:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(līdzināt)\]

Tagad mēs rīkojamies pēc analoģijas ar iepriekšējo problēmu. Mēs uzzinām, kurā mūsu secības punktā parādīsies pozitīvi skaitļi:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Labā bultiņa ((n)_(\min ))=56. \\ \end(līdzināt)\]

Šīs nevienādības minimālais veselais skaitļa risinājums ir skaitlis 56.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka pēdējā uzdevumā viss tika samazināts līdz stingrai nevienlīdzībai, tāpēc opcija $n=55$ mums nederēs.

Tagad, kad esam iemācījušies atrisināt vienkāršas problēmas, pāriesim pie sarežģītākām. Bet vispirms apgūsim vēl vienu ļoti noderīgu aritmētiskās progresijas īpašību, kas nākotnē ietaupīs mums daudz laika un nevienlīdzīgas šūnas. :)

Vidējais aritmētiskais un vienādi atkāpes

Apsveriet vairākus secīgus pieaugošās aritmētiskās progresijas nosacījumus $\left(((a)_(n)) \right)$. Mēģināsim tos atzīmēt skaitļu rindā:

Aritmētiskās progresijas locekļi uz skaitļu līnijas

Es īpaši atzīmēju patvaļīgos dalībniekus $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, nevis jebkuru $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3)) $ utt. Jo noteikums, ko es jums tagad pateikšu, darbojas vienādi jebkuriem "segmentiem".

Un noteikums ir ļoti vienkāršs. Atcerēsimies rekursīvo formulu un pierakstīsim to visiem atzīmētajiem dalībniekiem:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(līdzināt)\]

Tomēr šīs vienādības var pārrakstīt atšķirīgi:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(līdzināt)\]

Nu un ko? Taču fakts, ka termini $((a)_(n-1))$ un $((a)_(n+1))$ atrodas vienādā attālumā no $((a)_(n)) $ . Un šis attālums ir vienāds ar $d$. To pašu var teikt par jēdzieniem $((a)_(n-2))$ un $((a)_(n+2))$ - tie arī tiek noņemti no $((a)_(n) )$ ar tādu pašu attālumu, kas vienāds ar $2d$. Var turpināt bezgalīgi, bet attēls labi ilustrē nozīmi

Progresijas dalībnieki atrodas vienādā attālumā no centra

Ko tas mums nozīmē? Tas nozīmē, ka jūs varat atrast $((a)_(n))$, ja ir zināmi blakus esošie skaitļi:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Mēs esam secinājuši lielisku apgalvojumu: katrs aritmētiskās progresijas loceklis ir vienāds ar blakus esošo locekļu vidējo aritmētisko! Turklāt mēs varam novirzīties no mūsu $((a)_(n))$ pa kreisi un pa labi nevis par vienu soli, bet par $k$ soļiem — un tomēr formula būs pareiza:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Tie. mēs varam viegli atrast $((a)_(150))$, ja zinām $((a)_(100))$ un $((a)_(200))$, jo $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. No pirmā acu uzmetiena var šķist, ka šis fakts mums neko noderīgu nedod. Tomēr praksē daudzi uzdevumi ir īpaši "uzasināti" vidējā aritmētiskā lieluma lietošanai. Paskaties:

Uzdevums numurs 6. Atrodiet visas $x$ vērtības tā, lai skaitļi $-6((x)^(2))$, $x+1$ un $14+4((x)^(2))$ būtu secīgi dalībnieki aritmētiskā progresija (norādītā secībā).

Risinājums. Tā kā šie skaitļi ir progresijas locekļi, tiem ir izpildīts vidējais aritmētiskais nosacījums: centrālo elementu $x+1$ var izteikt ar blakus elementiem:

\[\begin(līdzināt) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(līdzināt)\]

Rezultāts ir klasisks kvadrātvienādojums. Tās saknes: $x=2$ un $x=-3$ ir atbildes.

Atbilde: -3; 2.

Uzdevums numurs 7. Atrodiet $$ vērtības tā, lai skaitļi $-1;4-3;(()^(2))+1$ veidotu aritmētisko progresiju (šajā secībā).

Risinājums. Atkal mēs izsakām vidējo terminu blakus esošo terminu vidējā aritmētiskā izteiksmē:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(līdzināt)\]

Vēl viens kvadrātvienādojums. Un atkal divas saknes: $x=6$ un $x=1$.

Atbilde: 1; 6.

Ja problēmas risināšanas procesā jūs saņemat dažus brutālus skaitļus vai neesat pilnībā pārliecināts par atrasto atbilžu pareizību, tad ir brīnišķīgs triks, kas ļauj pārbaudīt: vai mēs pareizi atrisinājām problēmu?

Pieņemsim, ka 6. uzdevumā mēs saņēmām atbildes -3 un 2. Kā mēs varam pārbaudīt, vai šīs atbildes ir pareizas? Vienkārši pievienosim tos sākotnējā stāvoklī un redzēsim, kas notiks. Atgādināšu, ka mums ir trīs skaitļi ($-6(()^(2))$, $+1$ un $14+4(()^(2))$), kuriem jāveido aritmētiskā progresija. Aizstāt $x=-3$:

\[\begin(līdzināt) & x=-3\labā bultiņa \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(līdzināt)\]

Saņēmām skaitļus -54; −2; 50, kas atšķiras ar 52, neapšaubāmi ir aritmētiskā progresija. Tas pats notiek ar $x=2$:

\[\begin(līdzināt) & x=2\labā bultiņa \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(līdzināt)\]

Atkal progresija, bet ar starpību 27. Tādējādi problēma ir atrisināta pareizi. Otro uzdevumu tie, kas vēlas, var pārbaudīt paši, bet es teikšu uzreiz: arī tur viss ir pareizi.

Kopumā, risinot pēdējās problēmas, mēs uzdūrāmies vēl vienam interesantam faktam, kas arī jāatceras:

Ja trīs skaitļi ir tādi, ka otrais ir pirmais un pēdējais, tad šie skaitļi veido aritmētisko progresiju.

Nākotnē šī apgalvojuma izpratne ļaus mums burtiski “konstruēt” nepieciešamos virzienus, pamatojoties uz problēmas stāvokli. Bet, pirms mēs iesaistāmies šādā "būvēšanā", mums vajadzētu pievērst uzmanību vēl vienam faktam, kas tieši izriet no jau iepriekš aplūkotā.

Elementu grupēšana un summa

Atgriezīsimies vēlreiz pie skaitļu līnijas. Mēs tur atzīmējam vairākus progresa dalībniekus, starp kuriem, iespējams. daudz citu dalībnieku vērts:

6 elementi, kas atzīmēti uz skaitļu līnijas

Mēģināsim izteikt "kreiso asti" ar $((a)_(n))$ un $d$, bet "labo asti" ar $((a)_(k))$ un $ d$. Tas ir ļoti vienkārši:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(līdzināt)\]

Tagad ņemiet vērā, ka šādas summas ir vienādas:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(līdzināt)\]

Vienkārši sakot, ja par sākumu ņemam divus progresijas elementus, kas kopā ir vienādi ar kādu skaitli $S$, un tad mēs sākam kāpināt no šiem elementiem pretējos virzienos (viens pret otru vai otrādi, lai attālinātos), tad elementu summas, uz kurām mēs paklupsim, arī būs vienādas$S$. To vislabāk var attēlot grafiski:

Tie paši ievilkumi dod vienādas summas

Šī fakta izpratne ļaus mums atrisināt principiāli augstākas sarežģītības problēmas nekā tās, kuras mēs aplūkojām iepriekš. Piemēram, šie:

Uzdevums numurs 8. Nosakiet atšķirību aritmētiskajai progresijai, kurā pirmais loceklis ir 66, bet otrā un divpadsmitā vārda reizinājums ir mazākais iespējamais.

Risinājums. Pierakstīsim visu, ko zinām:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(līdzināt)\]

Tātad, mēs nezinām progresijas $d$ atšķirību. Faktiski viss risinājums tiks veidots, pamatojoties uz atšķirību, jo produktu $((a)_(2))\cdot ((a)_(12)) $ var pārrakstīt šādi:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(līdzināt)\]

Tiem, kas atrodas tvertnē: esmu izņēmis kopējo koeficientu 11 no otrās kronšteina. Tādējādi vēlamais reizinājums ir kvadrātfunkcija attiecībā pret mainīgo $d$. Tāpēc apsveriet funkciju $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - tās grafiks būs parabola ar zariem uz augšu, jo ja mēs atveram iekavas, mēs iegūstam:

\[\begin(līdzināt) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(līdzināt)\]

Kā redzat, koeficients ar augstāko termiņu ir 11 - tas ir pozitīvs skaitlis, tāpēc mums patiešām ir darīšana ar parabolu ar zariem uz augšu:

kvadrātfunkcijas grafiks - parabola

Lūdzu, ņemiet vērā: šī parabola iegūst minimālo vērtību tās virsotnē ar abscisu $((d)_(0)) $. Šo abscisu, protams, varam aprēķināt pēc standarta shēmas (ir formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), taču daudz saprātīgāk būtu ņemiet vērā, ka vēlamā virsotne atrodas uz parabolas ass simetrijas, tāpēc punkts $((d)_(0))$ atrodas vienādā attālumā no vienādojuma $f\left(d \right)=0$ saknēm:

\[\begin(līdzināt) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(līdzināt)\]

Tāpēc es nesteidzos atvērt kronšteinus: sākotnējā formā saknes bija ļoti, ļoti viegli atrast. Tāpēc abscisa ir vienāda ar skaitļu −66 un −6 vidējo aritmētisko:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Kas dod mums atklāto numuru? Ar to vajadzīgais produkts iegūst mazāko vērtību (starp citu, mēs nerēķinājām $((y)_(\min ))$ - tas no mums netiek prasīts). Tajā pašā laikā šis skaitlis ir sākotnējās progresijas starpība, t.i. atradām atbildi. :)

Atbilde: -36

Uzdevums numurs 9. Starp skaitļiem $-\frac(1)(2)$ un $-\frac(1)(6)$ ievietojiet trīs skaitļus tā, lai tie kopā ar dotajiem skaitļiem veidotu aritmētisko progresiju.

Risinājums. Faktiski mums ir jāizveido piecu skaitļu secība ar jau zināmu pirmo un pēdējo numuru. Apzīmējiet trūkstošos skaitļus ar mainīgajiem $x$, $y$ un $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Ņemiet vērā, ka skaitlis $y$ ir mūsu secības "vidējais" - tas atrodas vienādā attālumā no skaitļiem $x$ un $z$, kā arī no skaitļiem $-\frac(1)(2)$ un $-\frac. (1) (6) $. Un, ja šobrīd nevaram iegūt $y$ no skaitļiem $x$ un $z$, tad ar progresijas galiem situācija ir savādāka. Atcerieties vidējo aritmētisko:

Tagad, zinot $y$, mēs atradīsim atlikušos skaitļus. Ņemiet vērā, ka $x$ atrodas starp $-\frac(1)(2)$ un $y=-\frac(1)(3)$ tikko atrasts. Tāpēc

Līdzīgi argumentējot, mēs atrodam atlikušo skaitli:

Gatavs! Mēs atradām visus trīs skaitļus. Mēs tos rakstām atbildē tādā secībā, kādā tie jāievieto starp oriģinālajiem cipariem.

Atbilde: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Uzdevums numurs 10. Starp skaitļiem 2 un 42 ievietojiet vairākus skaitļus, kas kopā ar dotajiem skaitļiem veido aritmētisko progresiju, ja ir zināms, ka pirmā, otrā un pēdējā ievietoto skaitļu summa ir 56.

Risinājums. Vēl grūtāks uzdevums, kurš tomēr tiek atrisināts tāpat kā iepriekšējie - caur vidējo aritmētisko. Problēma ir tā, ka mēs precīzi nezinām, cik skaitļus ievietot. Tāpēc skaidrības labad pieņemam, ka pēc ievietošanas būs precīzi $n$ skaitļi, un pirmais no tiem ir 2, bet pēdējais ir 42. Šajā gadījumā vēlamo aritmētisko progresiju var attēlot šādi:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Tomēr ņemiet vērā, ka skaitļi $((a)_(2))$ un $((a)_(n-1))$ ir iegūti no skaitļiem 2 un 42, kas atrodas malās vienu soli viens pret otru. , ti. uz secības centru. Un tas nozīmē to

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Bet tad iepriekš minēto izteiksmi var pārrakstīt šādi:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(līdzināt)\]

Zinot $((a)_(3))$ un $((a)_(1))$, mēs varam viegli atrast progresijas atšķirību:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Labā bultiņa d=5. \\ \end(līdzināt)\]

Atliek tikai atrast atlikušos dalībniekus:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(līdzināt)\]

Tādējādi jau 9. solī nonāksim pie secības kreisā gala - skaitļa 42. Kopumā bija jāievieto tikai 7 skaitļi: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Atbilde: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Teksta uzdevumi ar progresiju

Nobeigumā es vēlētos apsvērt pāris salīdzinoši vienkāršas problēmas. Nu kā vienkārši: lielākajai daļai skolēnu, kuri skolā mācās matemātiku un nav izlasījuši augstāk rakstīto, šie uzdevumi var šķist žests. Tomēr tieši šādi uzdevumi ir sastopami OGE un USE matemātikā, tāpēc iesaku ar tiem iepazīties.

Uzdevums numurs 11. Komanda janvārī saražoja 62 detaļas un katrā nākamajā mēnesī par 14 daļām vairāk nekā iepriekšējā. Cik detaļu brigāde saražoja novembrī?

Risinājums. Acīmredzot detaļu skaits, kas krāsotas pa mēnešiem, būs pieaugoša aritmētiskā progresija. Un:

\[\begin(līdzināt) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(līdzināt)\]

Novembris ir gada 11. mēnesis, tāpēc mums jāatrod $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Līdz ar to novembrī tiks ražotas 202 detaļas.

12. uzdevums. Grāmatu iesiešanas darbnīcā janvārī tika iesietas 216 grāmatas, un katru mēnesi tika iesietas par 4 grāmatām vairāk nekā iepriekšējā mēnesī. Cik grāmatu darbnīca iesēja decembrī?

Risinājums. Viss tas pats:

$\begin(līdzināt) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(līdzināt)$

Decembris ir gada pēdējais, 12. mēnesis, tāpēc mēs meklējam $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Šī ir atbilde – decembrī tiks iesietas 260 grāmatas.

Nu, ja esat izlasījis tik tālu, es steidzos jūs apsveikt: jūs esat veiksmīgi pabeidzis “jauno cīnītāju kursu” aritmētiskajā progresijā. Droši varam pāriet uz nākamo nodarbību, kurā pētīsim progresijas summas formulu, kā arī no tās svarīgas un ļoti noderīgas sekas.

Daudzi ir dzirdējuši par aritmētisko progresiju, bet ne visi labi zina, kas tas ir. Šajā rakstā mēs sniegsim atbilstošu definīciju, kā arī apsvērsim jautājumu par to, kā atrast aritmētiskās progresijas atšķirību, un sniegsim vairākus piemērus.

Matemātiskā definīcija

Tātad, ja mēs runājam par aritmētisko vai algebrisko progresiju (šie jēdzieni definē vienu un to pašu), tad tas nozīmē, ka ir dažas skaitļu sērijas, kas atbilst šādam likumam: katrs divi blakus esošie skaitļi sērijā atšķiras ar vienu un to pašu vērtību. Matemātiski tas ir rakstīts šādi:

Šeit n apzīmē elementa a n numuru secībā, bet skaitlis d ir progresijas starpība (tā nosaukums izriet no uzrādītās formulas).

Ko nozīmē zināt atšķirību d? Par to, cik tālu viens no otra atrodas blakus esošie skaitļi. Tomēr zināšanas par d ir nepieciešams, bet nepietiekams nosacījums, lai noteiktu (atjaunotu) visu progresu. Jums jāzina vēl viens skaitlis, kas var būt pilnīgi jebkurš aplūkojamās sērijas elements, piemēram, 4, a10, bet parasti tiek izmantots pirmais skaitlis, tas ir, 1.

Formulas progresijas elementu noteikšanai

Kopumā iepriekš minētā informācija jau ir pietiekama, lai pārietu uz konkrētu problēmu risināšanu. Tomēr, pirms tiek dota aritmētiskā progresija un būs jāatrod tās atšķirība, mēs piedāvājam dažas noderīgas formulas, tādējādi atvieglojot turpmāko uzdevumu risināšanas procesu.

Ir viegli parādīt, ka jebkuru virknes elementu ar skaitli n var atrast šādi:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d

Patiešām, ikviens var pārbaudīt šo formulu ar vienkāršu uzskaiti: ja mēs aizvietojam n = 1, tad mēs iegūstam pirmo elementu, ja mēs aizstājam n = 2, tad izteiksme dod pirmā skaitļa un starpības summu utt.

Daudzu uzdevumu nosacījumi ir sastādīti tā, ka zināmam skaitļu pārim, kura skaitļi arī norādīti secībā, ir jāatjauno visa skaitļu sērija (atrast starpību un pirmo elementu). Tagad mēs atrisināsim šo problēmu vispārīgā veidā.

Tātad, pieņemsim, ka mums ir doti divi elementi ar skaitļiem n un m. Izmantojot iepriekš iegūto formulu, mēs varam izveidot divu vienādojumu sistēmu:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Lai atrastu nezināmus lielumus, šādas sistēmas risināšanai izmantojam labi zināmu vienkāršu metodi: kreiso un labo daļu atņemam pa pāriem, kamēr vienādība paliek spēkā. Mums ir:

a n \u003d a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Tādējādi mēs esam likvidējuši vienu nezināmo (a 1). Tagad mēs varam uzrakstīt galīgo izteiksmi d noteikšanai:

d = (a n - a m) / (n - m), kur n > m

Esam ieguvuši ļoti vienkāršu formulu: lai aprēķinātu starpību d atbilstoši uzdevuma nosacījumiem, ir jāņem tikai pašu elementu un to kārtas numuru atšķirību attiecība. Jāpievērš uzmanība vienam svarīgam aspektam: atšķirības tiek ņemtas starp "vecāko" un "jaunāko" locekli, tas ir, n> m ("senior" - tas nozīmē, ka stāvot tālāk no secības sākuma, tā absolūtā vērtība var būt vai nu vairāk vai mazāk vairāk "jaunāks" elements).

Progresijas starpības d izteiksme ir jāaizvieto ar jebkuru no vienādojumiem uzdevuma risinājuma sākumā, lai iegūtu pirmā vārda vērtību.

Mūsu datortehnoloģiju attīstības laikmetā daudzi skolēni saviem uzdevumiem mēģina rast risinājumus internetā, tāpēc bieži rodas šāda veida jautājumi: atrodiet aritmētiskās progresijas atšķirību tiešsaistē. Pēc šāda pieprasījuma meklētājs parādīs vairākas tīmekļa lapas, uz kurām dodoties, būs jāievada no nosacījuma zināmie dati (tie var būt vai nu divi progresijas dalībnieki, vai arī dažu no tiem summa) un uzreiz saņemiet atbildi. Tomēr šāda pieeja problēmas risināšanai ir neproduktīva skolēna attīstības un viņam uzticētā uzdevuma būtības izpratnes ziņā.

Risinājums, neizmantojot formulas

Atrisināsim pirmo uzdevumu, kamēr mēs neizmantosim nevienu no iepriekš minētajām formulām. Doti rindas elementi: a6 = 3, a9 = 18. Atrast aritmētiskās progresijas starpību.

Zināmi elementi atrodas tuvu viens otram pēc kārtas. Cik reižu starpība d jāpieskaita mazākajai, lai iegūtu lielāko? Trīs reizes (pirmo reizi pievienojot d, mēs iegūstam 7. elementu, otro reizi - astoto, visbeidzot, trešo reizi - devīto). Kāds skaitlis trīs reizes jāpievieno trīs, lai iegūtu 18? Šis ir pieci numurs. Tiešām:

Tādējādi nezināmā atšķirība ir d = 5.

Protams, risinājumu varēja veikt, izmantojot atbilstošu formulu, taču tas netika darīts ar nolūku. Detalizētam problēmas risinājuma skaidrojumam jākļūst par skaidru un spilgtu piemēru tam, kas ir aritmētiskā progresija.

Uzdevums līdzīgs iepriekšējam

Tagad atrisināsim līdzīgu problēmu, bet mainīsim ievades datus. Tātad, jums vajadzētu atrast, ja a3 = 2, a9 = 19.

Protams, jūs varat atkal ķerties pie risināšanas metodes "uz pieres". Bet, tā kā sērijas elementi ir doti, kas atrodas salīdzinoši tālu viens no otra, šāda metode kļūst ne pārāk ērta. Bet, izmantojot iegūto formulu, mēs ātri nonāksim pie atbildes:

d \u003d (a 9 - a 3) / (9 - 3) \u003d (19 - 2) / (6) \u003d 17/6 ≈ 2,83

Šeit mēs esam noapaļojuši galīgo skaitli. Cik šī noapaļošana radīja kļūdu, var spriest, pārbaudot rezultātu:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 \u003d 18,98

Šis rezultāts atšķiras tikai par 0,1% no nosacījumā norādītās vērtības. Tāpēc izmantoto noapaļošanu līdz simtdaļām var uzskatīt par labu izvēli.

Uzdevumi formulas pielietošanai dalībniekam

Apskatīsim klasisku nezināmā d noteikšanas problēmas piemēru: atrodiet aritmētiskās progresijas starpību, ja a1 = 12, a5 = 40.

Ja ir doti divi nezināmas algebriskās secības skaitļi, un viens no tiem ir elements a 1 , tad nav ilgi jādomā, bet uzreiz jāpiemēro formula a n dalībniekam. Šajā gadījumā mums ir:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Dalot saņēmām precīzu skaitli, tāpēc nav jēgas pārbaudīt aprēķinātā rezultāta precizitāti, kā tas tika darīts iepriekšējā rindkopā.

Atrisināsim vēl vienu līdzīgu uzdevumu: jāatrod aritmētiskās progresijas starpība, ja a1 = 16, a8 = 37.

Mēs izmantojam līdzīgu pieeju iepriekšējai un iegūstam:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Kas vēl būtu jāzina par aritmētisko progresiju

Papildus nezināmas atšķirības vai atsevišķu elementu atrašanas problēmām bieži vien ir jāatrisina secības pirmo vārdu summas problēmas. Šo problēmu izskatīšana neietilpst raksta tēmas ietvaros, tomēr, lai informācija būtu pilnīga, mēs piedāvājam vispārīgu formulu sērijas n skaitļu summai:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Tēmu "aritmētiskā progresija" apgūst vispārējā algebras kursā skolās 9.klasē. Šī tēma ir svarīga turpmākai padziļinātai skaitļu rindu matemātikas izpētei. Šajā rakstā mēs iepazīsimies ar aritmētisko progresiju, tās atšķirību, kā arī ar tipiskiem uzdevumiem, ar kuriem var saskarties skolēni.

Algebriskās progresijas jēdziens

Skaitliskā progresija ir skaitļu virkne, kurā katru nākamo elementu var iegūt no iepriekšējā, ja piemēro kādu matemātisku likumu. Ir divi vienkārši progresijas veidi: ģeometriskā un aritmētiskā, ko sauc arī par algebrisko. Pakavēsimies pie tā sīkāk.

Iedomājieties kādu racionālu skaitli, apzīmējiet to ar simbolu a 1 , kur indekss norāda tā kārtas numuru aplūkotajā sērijā. Pievienosim 1 vēl kādu skaitli, apzīmēsim to ar d. Tad sērijas otro elementu var atspoguļot šādi: a 2 = a 1 + d. Tagad atkal pievienojiet d, mēs iegūstam: a 3 = a 2 + d. Turpinot šo matemātisko darbību, var iegūt veselu skaitļu virkni, kas tiks saukta par aritmētisko progresiju.

Kā var saprast no iepriekš minētā, lai atrastu šīs secības n-to elementu, jums jāizmanto formula: a n \u003d a 1 + (n-1) * d. Patiešām, izteiksmē aizstājot n=1, mēs iegūstam a 1 = a 1, ja n = 2, tad formula nozīmē: a 2 = a 1 + 1*d utt.

Piemēram, ja aritmētiskās progresijas starpība ir 5 un a 1 = 1, tas nozīmē, ka attiecīgā veida skaitļu sērijai ir šāda forma: 1, 6, 11, 16, 21, ... Kā jūs var redzēt, katrs tā dalībnieks ir par 5 vairāk nekā iepriekšējais .

Aritmētiskās progresijas starpības formulas

No iepriekš minētās aplūkojamās skaitļu sērijas definīcijas izriet, ka, lai to noteiktu, ir jāzina divi skaitļi: a 1 un d. Pēdējo sauc par šīs progresēšanas starpību. Tas unikāli nosaka visas sērijas uzvedību. Patiešām, ja d ir pozitīvs, tad skaitļu rindas pastāvīgi palielināsies, gluži pretēji, negatīva d gadījumā skaitļi rindā palielināsies tikai modulo, savukārt to absolūtā vērtība samazināsies, palielinoties skaitlim n.

Kāda ir atšķirība starp aritmētisko progresiju? Apsveriet divas galvenās formulas, kas tiek izmantotas šīs vērtības aprēķināšanai:

1. d = a n+1 -a n , šī formula izriet tieši no aplūkojamās skaitļu sērijas definīcijas.
2. d \u003d (-a 1 + a n) / (n-1), šo izteiksmi iegūst, izsakot d no formulas, kas sniegta raksta iepriekšējā punktā. Ņemiet vērā, ka šī izteiksme kļūst nenoteikta (0/0), ja n=1. Tas ir saistīts ar faktu, ka, lai noteiktu to atšķirību, ir jāzina vismaz 2 sērijas elementi.

Šīs divas pamatformulas tiek izmantotas, lai atrisinātu jebkuru progresijas atšķirības atrašanas problēmu. Tomēr ir vēl viena formula, kas jums arī jāzina.

Pirmo elementu summa

Formulu, ar kuru saskaņā ar vēsturiskiem pierādījumiem var noteikt jebkura algebriskās progresijas locekļu summu, pirmo reizi ieguva XVIII gadsimta matemātikas "princis" Kārlis Gauss. Vācu zinātnieks, vēl būdams ciema skolas pamatskolas zēns, pamanīja, ka, lai rindā no 1 līdz 100 pievienotu naturālus skaitļus, vispirms ir jāsaskaita pirmais elements un pēdējais (iegūtā vērtība būs vienāda uz priekšpēdējā un otrā, priekšpēdējā un trešā elementa summu un tā tālāk), un tad šis skaitlis jāreizina ar šo summu skaitu, tas ir, ar 50.

Formulu, kas atspoguļo norādīto rezultātu konkrētam piemēram, var vispārināt līdz patvaļīgam gadījumam. Tas izskatīsies šādi: S n = n/2*(a n + a 1). Ņemiet vērā, ka, lai atrastu norādīto vērtību, atšķirības d zināšanas nav nepieciešamas, ja ir zināmi divi progresijas locekļi (a n un a 1).

1. piemērs. Nosakiet atšķirību, zinot divus a1 un an sērijas nosacījumus

Mēs parādīsim, kā piemērot iepriekš norādītās formulas rakstā. Sniegsim vienkāršu piemēru: aritmētiskās progresijas atšķirība nav zināma, ir jānosaka, ar ko tā būs vienāda, ja 13 \u003d -5,6 un 1 \u003d -12,1.

Tā kā mēs zinām divu skaitliskās secības elementu vērtības un viens no tiem ir pirmais skaitlis, mēs varam izmantot formulu Nr. 2, lai noteiktu atšķirību d. Mums ir: d \u003d (-1 * (-12,1) + (-5,6)) / 12 \u003d 0,54167. Izteiksmē mēs izmantojām vērtību n=13, jo ir zināms dalībnieks ar šo kārtas numuru.

Iegūtā atšķirība norāda, ka progresija palielinās, neskatoties uz to, ka problēmas nosacījumā norādītajiem elementiem ir negatīva vērtība. Redzams, ka a 13 >a 1 , lai gan |a 13 |<|a 1 |.

2. piemērs. Pozitīvās progresijas termini 1. piemērā

Izmantosim iepriekšējā piemērā iegūto rezultātu jaunas problēmas risināšanai. To formulē šādi: no kāda kārtas skaitļa progresijas elementi piemērā Nr. 1 sāk iegūt pozitīvas vērtības?

Kā parādīts, progresija, kurā a 1 = -12,1 un d = 0,54167, palielinās, tāpēc no noteikta skaitļa skaitļiem būs tikai pozitīvas vērtības. Lai noteiktu šo skaitli n, ir jāatrisina vienkārša nevienādība, kuru matemātiski raksta šādi: a n>0 vai, izmantojot atbilstošu formulu, nevienādību pārrakstām: a 1 + (n-1)*d>0. Jāatrod nezināmais n, izteiksim to: n>-1*a 1 /d + 1. Tagad atliek aizvietot zināmās starpības vērtības un secības pirmo locekli. Iegūstam: n>-1*(-12.1) /0.54167 + 1= 23.338 vai n>23.338. Tā kā n var ņemt tikai veselus skaitļus, no iegūtās nevienādības izriet, ka visi rindas locekļi, kuru skaitlis ir lielāks par 23, būs pozitīvs.

Pārbaudīsim savu atbildi, izmantojot iepriekš minēto formulu, lai aprēķinātu šīs aritmētiskās progresijas 23. un 24. elementu. Mums ir: a 23 \u003d -12,1 + 22 * ​​​​0,54167 \u003d -0,18326 (negatīvs skaitlis); a 24 \u003d -12,1 + 23 * 0,54167 \u003d 0,3584 (pozitīvā vērtība). Tādējādi iegūtais rezultāts ir pareizs: sākot no n=24, visi skaitļu rindas dalībnieki būs lielāki par nulli.

3. piemērs. Cik baļķu derēs?

Šeit ir viena interesanta problēma: mežizstrādes laikā tika nolemts zāģētos baļķus sakraut vienu uz otra, kā parādīts attēlā zemāk. Cik baļķu var sakraut šādā veidā, zinot, ka kopā ietilps 10 rindas?

Šādā baļķu locīšanas veidā var pamanīt vienu interesantu lietu: katrā nākamajā rindā būs par vienu baļķi mazāk nekā iepriekšējā, tas ir, ir algebriskā progresija, kuras starpība ir d=1. Pieņemot, ka baļķu skaits katrā rindā ir šīs progresijas dalībnieks, kā arī ņemot vērā, ka a 1 = 1 (tikai viens baļķis derēs pašā augšā), mēs atrodam skaitli a 10 . Mums ir: a 10 \u003d 1 + 1 * (10-1) \u003d 10. Tas ir, 10. rindā, kas atrodas uz zemes, būs 10 baļķi.

Šīs "piramīdas" konstrukcijas kopējo apjomu var iegūt, izmantojot Gausa formulu. Mēs iegūstam: S 10 \u003d 10/2 * (10 + 1) \u003d 55 apaļkokus.