Kā atrast vienādmalu laukumu. taisnleņķa trīsstūris

Vienādmalu trīsstūris ir vienkāršākais iespējamais regulārs daudzstūris. Meklējot tā platību, rodas konkrēti tā aprēķina varianti. Lai viegli aprēķinātu šo parametru, ir svarīgi zināt un izprast šāda veida figūras pazīmes un īpašības. Visas zemāk aprakstītās metodes ir diezgan vienkārši lietojamas un neprasa dziļu domāšanu.

Saskarsmē ar

Figūras pazīmes un īpašības

Tā vērtība visos gadījumos ir vienāda un vienāda 60 grādi, neatkarīgi no sānu izmēra.
, augstums un mediāna, kas izstaro no tā paša leņķa, sakritīs.
Jebkura vienādmalu trijstūra mala vienāds ar pārējiem diviem.
Regulāra trīsstūra centrs būs .
Tas ir īpašs vienādsānu trīsstūra gadījums.

Svarīgs! Ja tiek novērota vismaz viena no šīm zīmēm, tad trīsstūris ir vienādmalu.

Vienādmalu trīsstūris

Turklāt šis īpašais figūras gadījums ir šādas īpašības:

Norēķins caur sānu

Ir daudz veidu, kā aprēķināt šī attēla laukumu. Visiem no tiem ir savas priekšrocības un trūkumi. Tie tiek piemēroti atkarībā no uzdevumam izvirzītajiem nosacījumiem. Vispopulārākais veids, kā atrast vēlamo vienādmalu trīsstūra vērtību, tiek aprēķināts, reizinot pusi no malām un starp tām esošā leņķa sinusa, tas izskatās šādi: kur a un b ir malas, α ir leņķis starp viņiem.

Vienādmalu gadījumā šī metode ir lielā mērā vienkāršota. Lai to izdarītu, jums ir jāatsaucas uz iepriekš apskatītajām funkcijām un īpašībām. Pamatojoties uz to, ka visi šī skaitļa leņķi ir vienādi un vienādi ar 60 grādiem. Sinus 60 grādi, saskaņā ar Bradis galds, ir vienāds ar , pārveidojot sākotnējo izteiksmi, mēs iegūstam šādu vērtību: .

Ņemot vērā, ka visas šī skaitļa malas ir vienādas, konvertētā izteiksme dos šādu rezultātu: .

Šī formula ir ideāla, ja jūs zināt sānu izmērsšis skaitlis. Šajā formā šī rādītāja aprēķināšana ir daudz vienkāršāka un ātrāka.

Tie, kas atceras Herona formulu, zina, kā atrast šīs figūras laukumu. Pārveidošanas laikā izteiksme mainīsies uz iepriekš parādīto. Šīs figūras laukums saskaņā ar Heronu aprēķina šādi: , kur a, b, c ir malas, un p ir pusperimetrs (). Šī izteiksme tiek pārveidota pavisam vienkārši. P vērtības vietā ir jāaizstāj pusperimetra aprēķins un pakāpeniski jāsāk izteiksmes samazināšana. Malu summu var attēlot kā trīs identisku malu summu un samazināt samazinājumus līdz beigām. Matemātiski tas izskatās šādi:

;

Iegūto laukuma formulu un tālāk norādītās funkcijas var izmantot tikai tad, ja skaitlis ir pareizs pretējā gadījumā tas nesniegs pareizo atbildi.

Trīsstūra laukuma aprēķināšana, ņemot vērā tā malu

Augstuma aprēķins

Varat arī atrast vienādmalu trīsstūra laukumu, ja zināt to un sānu. Pusi no augstuma garuma reizina ar malu, var izvēlēties jebkuru augstumu un malu, jo pēc īpašībām tie viņi visi ir vienādi: , kur a ir malas garums. To ir viegli atcerēties, taču praksē to izmanto diezgan reti.

Ja uzdevumā ir informācija, ka trīsstūris ir vienādmalu un ir zināms augstums. Un kāds ir malas garums, nav zināms, tad varat izmantot formulu, kas ļauj to aprēķināt. Atrodi pusi var dalīt ar augstuma dubulto vērtību ar kvadrātsakni no trīs, matemātiski tas izskatās šādi: . Pēc tam tiek piemērota laukuma formula, kur aprēķini tiek veikti caur sānu, tas ir aprakstīts iepriekšējā punktā.

Lai neveiktu liekus aprēķinus, šī rādītāja formulu var iegūt uzreiz caur augstumu. Augstuma kvadrāts dalās ar kvadrātsakni no trīs. Tas izskatīsies šādi: . Šajā gadījumā jūs nevarat pielietot vienādsānu trīsstūra formulu caur malu.

Trīsstūra laukuma aprēķināšana, ņemot vērā tā malu un augstumu

Aprēķins caur apļiem

Matemātikā populāra ir arī metode, kā aprēķināt rakstā aplūkoto vērtību, novietojot skaitli aplī vai otrādi. Tāds aplis sauc aprakstīts. Ja tas ir iekšā, tad to sauc par ierakstītu. Tieši šajā sadaļā rodas visvairāk jautājumu, kā atrast laukumu vienādmalu daudzstūrim ar trim stūriem.

Ierobežotajam aplim ir jāiziet pāri visām virsotnēm, ierakstītajam ir jāiziet cauri malām tikai vienā punktā gar tangensu.

Apļa apzīmēta vai ierakstīta vienādmalu trīsstūra rasējums

Ja uzdevuma stāvoklī ir norādīts ierakstīto un norobežoto apļu rādiuss, tad arī no tiem var izveidot izteiksmi, jo kopā tie dos kopējo augstuma garumu. Kā tiek aprēķināts laukums, izmantojot to, ir parādīts iepriekš: h \u003d R + r.

Pārveidojot formulu, izmantojot augstuma aprēķinu h \u003d R + r, jūs varat iegūt šādu vērtību: . Šo formulu var vēl vairāk vienkāršot, jo var izteikt ierobežotā apļa rādiusu caur ierakstītā rādiusu. Atbilstoši šo apļu īpašībām R = 2r, kur r ir ierakstītā riņķa rādiuss, R ir apļa apļa rādiuss. Attiecīgi vienādmalu trīsstūra laukums tiks aprēķināts šādi:

Ja ir norādīts ierobežotā apļa rādiusa lielums, tad izteiksme izskatīsies šādi: .

Šo īpašību izmantošana ir noderīga, lai aprēķinātu figūras malu. Lai to atrastu, varat izmantot izteiksmi gan ierobežotajam aplim, gan ierakstītajam.

Ņemot vērā ierobežotā apļa rādiusu, jūs varat atrast vēlamo vērtību, paceļot malu uz kubu, pēc kura rezultāts tiek dalīts ar palielināto rādiusu 4 reizes. Matemātiski to var uzrakstīt šādi: .

Aprēķināšanas process, ar ko vienādsānu trijstūra laukums ir vienāds ar kādu no piedāvātajām formulām, nedrīkst radīt īpašas grūtības. Lai veiksmīgi tiktu galā ar šo uzdevumu, jums nav jāiegaumē visas šīs metodes, pietiek atcerēties pamata vispārīgo aprēķinu formulas, kā arī šī attēla īpašības un iezīmes.

Uzmanību! Lai pārbaudītu aprēķinu pareizību, varat izmantot vairākas metodes, rezultātiem ir jāsakrīt.

Vienādmalu trīsstūra laukums

Aplī ierakstīta vienādmalu trīsstūra laukums

Lietojot loģisko domāšanu, aprēķini tiek viegli pārvērsti īpašos gadījumos, kuru ir daudz vairāk. Nav pareizi pildīt galvu ar daudz nebūtiskas informācijas, labāk ir attīstīt cēloņsakarības izteiksmju pārveidošanai.

Videokursā "Saņem A" iekļautas visas tēmas, kas nepieciešamas matemātikas eksāmena sekmīgai nokārtošanai par 60-65 punktiem. Pilnīgi visi profila USE uzdevumi 1-13 matemātikā. Piemērots arī matemātikas pamatizmantošanas kursa nokārtošanai. Ja gribi nokārtot eksāmenu ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!

Sagatavošanas kurss eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss nepieciešamais, lai atrisinātu eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmās 12 problēmas) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne simt ballu students, ne humānists.

Visa nepieciešamā teorija. Eksāmena ātrie risinājumi, lamatas un noslēpumi. Analizēti visi būtiskie FIPI bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst USE-2018 prasībām.

Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.

Simtiem eksāmenu uzdevumu. Teksta problēmas un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami problēmu risināšanas algoritmi. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu USE uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi triki risināšanai, noderīgas blēžu lapas, telpiskās iztēles attīstīšana. Trigonometrija no nulles - līdz 13. uzdevumam. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu vizuāls skaidrojums. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Eksāmena 2. daļas sarežģītu uzdevumu risināšanas bāze.

Skolas ģeometrijas kursā milzīgs laiks tiek veltīts trīsstūru izpētei. Skolēni aprēķina leņķus, veido bisektorus un augstumus, uzzina, kā formas atšķiras viena no otras un kā vienkāršākais veids, kā atrast to laukumu un perimetru. Šķiet, ka dzīvē tas nekādā veidā nav lietderīgi, bet dažreiz tomēr ir noderīgi iemācīties, piemēram, kā noteikt, vai trijstūris ir vienādmalu vai strups. Kā to izdarīt?

Trijstūra veidi

Trīs punkti, kas neatrodas uz vienas taisnas līnijas, un līniju segmenti, kas tos savieno. Šķiet, ka šis skaitlis ir visvienkāršākais. Kā var izskatīties trijstūri, ja tiem ir tikai trīs malas? Faktiski ir diezgan daudz iespēju, un dažām no tām tiek pievērsta īpaša uzmanība skolas ģeometrijas kursa ietvaros. Vienādmalu trīsstūris ir vienādmalu trīsstūris, tas ir, visi tā leņķi un malas ir vienādi. Tam ir vairākas ievērojamas īpašības, kuras tiks apspriestas vēlāk.

Vienādsānu ir tikai divas vienādas malas, un tas ir arī diezgan interesants. Taisnstūrveida formā un, kā jūs varētu nojaust, viens no stūriem ir attiecīgi taisns vai neass. Tomēr tie var būt arī vienādsānu.

Ir arī īpašs, ko sauc par ēģiptiešu. Tās malas ir 3, 4 un 5 vienības. Tomēr tas ir taisnstūrveida. Tiek uzskatīts, ka to aktīvi izmantoja Ēģiptes mērnieki un arhitekti, lai izveidotu taisnus leņķus. Tiek uzskatīts, ka ar tās palīdzību tika uzceltas slavenās piramīdas.

Un tomēr visas trijstūra virsotnes var atrasties uz vienas taisnas līnijas. Šajā gadījumā to sauks par deģenerētu, bet visus pārējos par nedeģenerētiem. Tie ir viens no ģeometrijas studiju priekšmetiem.

Trijstūris ir vienādmalu

Protams, pareizie skaitļi vienmēr ir vislielākā interese. Tie šķiet perfektāki, graciozāki. To raksturlielumu aprēķināšanas formulas bieži ir vienkāršākas un īsākas nekā parastajiem skaitļiem. Tas attiecas arī uz trīsstūriem. Nav pārsteidzoši, ka, studējot ģeometriju, viņiem tiek pievērsta liela uzmanība: skolēni tiek mācīti atšķirt parastās figūras no pārējām, kā arī tiek pastāstīts par dažām to interesantajām īpašībām.

Funkcijas un īpašības

Kā norāda nosaukums, katra vienādmalu trīsstūra mala ir vienāda ar pārējām divām pusēm. Turklāt tam ir vairākas funkcijas, pateicoties kurām ir iespējams noteikt, vai figūra ir pareiza vai nē.

Ja tiek novērota vismaz viena no iepriekš minētajām zīmēm, tad trīsstūris ir vienādmalu. Parastam skaitlim visi iepriekš minētie apgalvojumi ir patiesi.

Visiem trīsstūriem ir vairākas ievērojamas īpašības. Pirmkārt, vidējā līnija, tas ir, segments, kas sadala abas malas uz pusēm un paralēli trešajai, ir vienāds ar pusi no pamatnes. Otrkārt, visu šī skaitļa leņķu summa vienmēr ir vienāda ar 180 grādiem. Turklāt trīsstūros ir vēl viena interesanta attiecība. Tātad, pretī lielākajai pusei atrodas lielāks leņķis un otrādi. Bet tam, protams, nav nekāda sakara ar vienādmalu trīsstūri, jo visi tā leņķi ir vienādi.

Ierakstīti un norobežoti apļi

Bieži vien ģeometrijas kursā studenti arī uzzina, kā formas var mijiedarboties viena ar otru. Jo īpaši tiek pētīti apļi, kas ierakstīti daudzstūros vai aprakstīti ap tiem. Par ko tas ir?

Ierakstīts aplis ir aplis, kuram visas daudzstūra malas ir pieskares. Aprakstīts - tas, kuram ir saskares punkti ar visiem stūriem. Katram trīsstūrim vienmēr ir iespējams izveidot gan pirmo, gan otro apli, bet tikai vienu no katra veida. Pierādījumi šiem diviem

teorēmas ir dotas skolas ģeometrijas kursā.

Papildus pašu trīsstūru parametru aprēķināšanai daži uzdevumi ietver arī šo apļu rādiusu aprēķināšanu. Un formulas, lai
vienādmalu trīsstūris izskatās šādi:

kur r ir ierakstītā apļa rādiuss, R ir ierobežotā apļa rādiuss, a ir trijstūra malas garums.

Augstuma, perimetra un laukuma aprēķins

Galvenie parametri, kurus skolēni ir iesaistīti aprēķināšanā, studējot ģeometriju, gandrīz jebkurai figūrai paliek nemainīgi. Tie ir perimetrs, platība un augstums. Aprēķinu atvieglošanai ir dažādas formulas.

Tātad perimetru, tas ir, visu malu garumu, aprēķina šādos veidos:

P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, kur a ir regulāra trijstūra mala, R ir ierobežotā apļa rādiuss, r ir ierakstītais.

h = (√ ̅3/2)*a, kur a ir malas garums.

Visbeidzot, formula ir iegūta no standarta, tas ir, pusi bāzes un tā augstuma reizinājuma.

S = (√ ̅3/4)*a 2 , kur a ir malas garums.

Arī šo vērtību var aprēķināt, izmantojot ierobežotā vai ierakstītā apļa parametrus. Tam ir arī īpašas formulas:

S = 3√ ̅3r 2 = (3√ ̅3/4)*R 2 , kur r un R ir attiecīgi ierakstītā un ierobežotā apļa rādiusi.

Ēka

Vēl viens interesants problēmu veids, tostarp trīsstūri, ir saistīts ar nepieciešamību uzzīmēt noteiktu formu, izmantojot minimālu komplektu

instrumenti: kompass un lineāls bez dalīšanas.

Lai izveidotu parastu trīsstūri, izmantojot tikai šos rīkus, jums ir jāveic dažas darbības.

Ir nepieciešams uzzīmēt apli ar jebkuru rādiusu un ar centru patvaļīgā punktā A. Tas jāņem vērā.
Tālāk jums ir jānovelk taisna līnija caur šo punktu.
Apļa un taisnes krustpunktiem jābūt apzīmētiem ar B un C. Visas konstrukcijas jāveic ar vislielāko iespējamo precizitāti.
Tālāk jums ir jāizveido vēl viens aplis ar tādu pašu rādiusu un centru punktā C vai loka ar atbilstošiem parametriem. Krustojumi tiks apzīmēti ar D un F.
Punkti B, F, D jāsavieno ar segmentiem. Ir izveidots vienādmalu trīsstūris.

Šādu problēmu risināšana parasti ir skolēnu problēma, taču šī prasme var noderēt ikdienā.

Visbiežāk uzdotie jautājumi

Vai ir iespējams uztaisīt zīmogu uz dokumenta pēc sniegtā parauga? Atbilde Jā, tas ir iespējams. Nosūtiet skenētu kopiju vai labas kvalitātes fotoattēlu uz mūsu e-pasta adresi, un mēs izveidosim nepieciešamo dublikātu.

Kādus maksājumu veidus jūs pieņemat? Atbilde Samaksāt par dokumentu var brīdī, kad to saņem kurjers, pēc aizpildīšanas pareizības un diploma kvalitātes pārbaudes. To var izdarīt arī pasta uzņēmumu birojā, kas piedāvā skaidras naudas piegādes pakalpojumus.
Visi dokumentu piegādes un apmaksas noteikumi ir aprakstīti sadaļā "Maksājums un piegāde". Esam gatavi uzklausīt arī jūsu ieteikumus par dokumenta piegādes un apmaksas noteikumiem.

Vai varu būt drošs, ka pēc pasūtījuma veikšanas nepazudīsi ar manu naudu? Atbilde Mums ir diezgan ilga pieredze diplomu izgatavošanas jomā. Mums ir vairākas vietnes, kuras tiek pastāvīgi atjauninātas. Mūsu speciālisti strādā dažādās valsts daļās, dienā noformējot vairāk nekā 10 dokumentus. Gadu gaitā mūsu dokumenti ir palīdzējuši daudziem cilvēkiem atrisināt nodarbinātības problēmas vai pāriet uz labāk apmaksātu darbu. Mēs esam izpelnījušies klientu uzticību un atzinību, tāpēc mums nav nekāda iemesla to darīt. Turklāt to vienkārši nav iespējams izdarīt fiziski: jūs maksājat par savu pasūtījumu brīdī, kad to saņemat savās rokās, priekšapmaksas nav.

Vai es varu pasūtīt diplomu jebkurā augstskolā? Atbilde Vispār jā. Mēs šajā jomā strādājam gandrīz 12 gadus. Šajā laikā ir izveidojusies gandrīz pilnīga gandrīz visu valsts augstskolu izdoto dokumentu datubāze par dažādiem izdošanas gadiem. Viss, kas Jums nepieciešams, ir izvēlēties augstskolu, specialitāti, dokumentu un aizpildīt pasūtījuma veidlapu.

Kā rīkoties, ja dokumentā atrodu drukas un kļūdas? Atbilde Saņemot dokumentu no mūsu kurjera vai pasta uzņēmuma, iesakām rūpīgi pārbaudīt visas detaļas. Ja tiek konstatēta drukas kļūda, kļūda vai neprecizitāte, Jums ir tiesības neizņemt diplomu, un konstatētie trūkumi Jums jānorāda personīgi kurjeram vai rakstiski, nosūtot e-pastu.
Tiklīdz iespējams, labosim dokumentu un nosūtīsim atkārtoti uz norādīto adresi. Protams, piegādi apmaksās mūsu uzņēmums.
Lai izvairītos no šādiem pārpratumiem, pirms sākotnējās veidlapas aizpildīšanas nosūtām uz klienta pastu topošā dokumenta maketu pārbaudei un galīgās versijas apstiprināšanai. Pirms dokumenta nosūtīšanas ar kurjeru vai pastu mēs arī uzņemam papildu fotoattēlu un video (arī ultravioletajā gaismā), lai jums būtu vizuāls priekšstats par to, ko jūs galu galā iegūsit.

Kas jādara, lai pasūtītu diplomu savā uzņēmumā? Atbilde Lai pasūtītu dokumentu (sertifikātu, diplomu, akadēmisko sertifikātu u.c.), ir jāaizpilda tiešsaistes pasūtījuma veidlapa mūsu mājaslapā vai jānorāda savs e-pasts, lai mēs jums nosūtītu anketas veidlapu, kas jāaizpilda un jānosūta. atpakaļ pie mums.
Ja nezināt, ko norādīt kādā pasūtījuma veidlapas/anketas laukā, atstājiet tos tukšus. Tāpēc visu trūkstošo informāciju noskaidrosim pa tālruni.

Jaunākās atsauksmes

Viktors:

Esmu ļoti apmierināts ar savu grādu. Paldies. Ja vēl iemācītos taisīt pases, būtu ideāli.

Karīna:

Šodien saņēmu diplomu. Paldies par kvalitatīvu darbu. Arī visi termiņi ir ievēroti. Es noteikti ieteikšu jūs visiem saviem draugiem.

Elementārajā ģeometrijā vienādmalu trīsstūris ir regulārs daudzstūris ar trim malām. Ja mēs šo definīciju nedaudz paplašinām un precizējam, izrādās, ka trīsstūris ir pareizs, ja visām tā malām ir vienāds garums un leņķi ir 60 °. Kā atrast, māca ģeometrijas stundās vidusskolā, un praksē šīs zināšanas bieži nākas pielietot projektētājiem un arhitektiem.

Vienādmalu trīsstūra laukuma aprēķināšana

a- trīsstūra mala

h- trīsstūra augstums

S- kvadrāts

arhitekts vienādmalu trīsstūra laukums ir jāatrod, ja viņu projektēto ēku elementiem ir šāda forma. Tie var būt nestandarta logi (gan parastie, gan mansarda logi), kas bieži sastopami ēkās ar oriģinālu arhitektūras dizainu. Viņu dizaineri vienādmalu trīsstūra laukuma formula ir nepieciešams, lai noskaidrotu, vai logs būs pietiekami liels, lai caur to telpā iekļūtu nepieciešamais dienas gaismas daudzums. Turklāt to dzīvojamo lauku māju un kotedžu frontoniem, kā arī saimniecības ēkām, kuru jumta nogāzes dažreiz atrodas 60 ° leņķī, diezgan bieži ir vienādmalu trijstūri.

Vienādmalu trijstūri bieži var atrast kā daļu no dažādām tehniskajām ierīcēm un instrumentiem. Piemēram, karbīda virpošanas griezēju maināmiem ieliktņiem ir šāda forma. Tie ir uzstādīti uz turētāja, uzstādot uz speciālas ass, un tiek fiksēti ar ķīļveida tērauda elementu, kura iespīlēšana tiek veikta ar vītņotu savienojumu. Pēc tam, kad griešanas laikā viena no ieliktņa virsmām kļūst blāvi, ieliktnis tiek noņemts, pagriezts par 60° un no jauna nostiprināts, kā rezultātā var izmantot citu, asāku malu. Tādējādi, ņemot vērā to, ka karbīda ieliktnim ir vienādmalu trīsstūra forma, šādu atiestatīšanu var veikt trīs reizes. Uzasinātās neasās malas nav pakļautas, un šie griezējinstrumenta elementi tiek iznīcināti, pārkausējot.

Gan autobraucēji, gan gājēji labi zina ceļa zīmes, kas ir vienādmalu trīsstūri. Šī forma padara tos redzamākus, un tāpēc tie galvenokārt ir brīdinoši. Pats par sevi saprotams, ka to izstrādes un atbilstošās normatīvās un tehniskās dokumentācijas rakstīšanas procesā bija nepieciešams izmantot formula vienādmalu trīsstūra laukuma aprēķināšanai.

Viņi ļoti labi zina, kas tas ir vienādmalu trīsstūris, tādas populāras spēles kā biljards cienītāji. Ar speciālu rāmju palīdzību, kuriem ir atbilstoša forma, bumbiņas tiek uzstādītas noteiktā secībā pirms katras spēles sākuma. Šie izstrādājumi ir izgatavoti no koka, plastmasas vai metāla.