Kā atrast leņķa kosinusu starp plaknēm. Divšķautņu leņķis

Šis raksts ir par leņķi starp plaknēm un to, kā to atrast. Pirmkārt, ir dota leņķa definīcija starp divām plaknēm un sniegta grafiska ilustrācija. Pēc tam tika analizēts princips atrast leņķi starp divām krustojošām plaknēm ar koordinātu metodi, iegūta formula, kas ļauj aprēķināt leņķi starp krustojošām plaknēm, izmantojot zināmās šo plakņu normālvektoru koordinātas. Noslēgumā parādīti detalizēti tipisku problēmu risinājumi.

Lapas navigācija.

Leņķis starp plaknēm - definīcija.

Sniegsim argumentus, kas ļaus pakāpeniski tuvoties leņķa definīcijai starp divām krustojošām plaknēm.

Ļaujiet mums dot divas krustojošas plaknes un . Šīs plaknes krustojas taisnā līnijā, ko apzīmējam ar burtu c. Konstruēsim plakni, kas iet caur taisnes c punktu M un ir perpendikulāra tai c. Šajā gadījumā plakne krustos plaknes un . Apzīmē taisni, pa kuru plaknes krustojas, un kā a, un līniju, pa kuru plaknes krustojas, un kā b. Acīmredzot taisnes a un b krustojas punktā M.

Ir viegli parādīt, ka leņķis starp krustojošām taisnēm a un b nav atkarīgs no punkta M atrašanās vietas uz taisnes c, caur kuru plakne iet.

Konstruēsim plakni, kas ir perpendikulāra taisnei c un atšķiras no plaknes . Plakne tiek krustota ar plaknēm un pa taisnēm, kuras apzīmējam attiecīgi ar a 1 un b 1.

No plakņu konstruēšanas metodes un izriet, ka taisnes a un b ir perpendikulāras taisnei c, bet taisnes a 1 un b 1 ir perpendikulāras taisnei c. Tā kā taisnes a un a 1 atrodas vienā plaknē un ir perpendikulāras taisnei c, tās ir paralēlas. Tāpat taisnes b un b 1 atrodas vienā plaknē un ir perpendikulāras taisnei c, tāpēc tās ir paralēlas. Tādējādi ir iespējams veikt paralēlu plaknes pārnešanu uz plakni, kurā taisne a 1 sakrīt ar taisni a, bet taisne b ar taisni b 1. Tāpēc leņķis starp divām krustojošām taisnēm a 1 un b 1 ir vienāds ar leņķi starp krustojošām taisnēm a un b.

Tas pierāda, ka leņķis starp krustojošām taisnēm a un b, kas atrodas krustojošās plaknēs un nav atkarīgs no tā punkta M izvēles, caur kuru plakne iet. Tāpēc ir loģiski pieņemt šo leņķi kā leņķi starp divām krustojošām plaknēm.

Tagad jūs varat izteikt leņķa definīciju starp divām krustojošām plaknēm un .

Definīcija.

Leņķis starp divām plaknēm, kas krustojas taisnā līnijā un ir leņķis starp divām krustojošām taisnēm a un b, pa kurām plaknes un krustojas ar plakni, kas ir perpendikulāra taisnei c.

Leņķa definīciju starp divām plaknēm var sniegt nedaudz savādāk. Ja uz taisnes c, pa kuru plaknes krustojas, atzīmē punktu M un caur to novelk līnijas a un b, kas ir perpendikulāra taisnei c un atrodas plaknēs un attiecīgi, tad leņķis starp taisnēm a un b ir leņķis starp plaknēm un. Parasti praksē šādas konstrukcijas tiek veiktas, lai iegūtu leņķi starp plaknēm.

Tā kā leņķis starp krustojošām taisnēm nepārsniedz , tad no izteiktās definīcijas izriet, ka leņķa pakāpi starp divām krustojošām plaknēm izsaka ar reālu skaitli no intervāla . Šajā gadījumā tiek izsauktas krustojošās plaknes perpendikulāri ja leņķis starp tiem ir deviņdesmit grādi. Leņķis starp paralēlām plaknēm vai nu vispār nav noteikts, vai arī tiek uzskatīts par vienādu ar nulli.

Leņķa atrašana starp divām krustojošām plaknēm.

Parasti, atrodot leņķi starp divām krustojošām plaknēm, vispirms ir jāveic papildu konstrukcijas, lai redzētu krustojošās līnijas, kuru leņķis ir vienāds ar vēlamo leņķi, un pēc tam ar vienādības zīmēm jāsavieno šis leņķis ar sākotnējiem datiem, līdzības zīmes, kosinusa teorēma vai sinusa, kosinusa un leņķa tangensa definīcijas. Vidusskolas ģeometrijas kursā ir līdzīgas problēmas.

Piemēram, dosim risinājumu Vienotā valsts pārbaudījuma matemātikā 2012.gadam uzdevumam C2 (nosacījums ir apzināti mainīts, bet tas neietekmē risinājuma principu). Tajā vienkārši bija jāatrod leņķis starp divām krustojošām plaknēm.

Piemērs.

Lēmums.

Vispirms izveidosim zīmējumu.

Veiksim papildu konstrukcijas, lai "redzētu" leņķi starp plaknēm.

Vispirms definēsim taisni, pa kuru krustojas plaknes ABC un BED 1. Punkts B ir viens no viņu kopīgajiem punktiem. Atrodiet šo plakņu otro kopīgo punktu. Taisnes DA un D 1 E atrodas vienā plaknē ADD 1, un tās nav paralēlas un tāpēc krustojas. No otras puses, taisne DA atrodas plaknē ABC, bet taisne D 1 E atrodas plaknē BED 1, tāpēc līniju DA un D 1 E krustošanās punkts būs plakņu ABC un ABC kopīgs punkts. GULTA 1. Tātad, mēs turpinām līnijas DA un D 1 E, līdz tās krustojas, mēs apzīmējam to krustošanās punktu ar burtu F. Tad BF ir taisne, pa kuru krustojas plaknes ABC un BED 1.

Atliek konstruēt divas līnijas, kas atrodas attiecīgi plaknēs ABC un BED 1, kas iet caur vienu punktu uz taisnes BF un ir perpendikulāra taisnei BF - leņķis starp šīm līnijām pēc definīcijas būs vienāds ar vēlamo leņķi starp lidmašīnas ABC un BED 1 . Darīsim to.

Punkts A ir punkta E projekcija uz plakni ABC. Uzzīmējiet līniju, kas taisnā leņķī krusto līniju BF punktā M. Tad taisne AM ir taisnes EM projekcija uz plakni ABC un ar trīs perpendikulu teorēmu.

Tādējādi vēlamais leņķis starp plaknēm ABC un BED 1 ir .

Mēs varam noteikt šī leņķa sinusu, kosinusu vai tangensu (un līdz ar to pašu leņķi) no taisnleņķa trijstūra AEM, ja zinām tā divu malu garumus. No nosacījuma ir viegli atrast garumu AE: tā kā punkts E dala malu AA 1 attiecībā pret 4 līdz 3, skaitot no punkta A, un malas AA 1 garums ir 7, tad AE \u003d 4. Noskaidrosim AM garumu.

Lai to izdarītu, apsveriet taisnleņķa trīsstūri ABF ar taisnu leņķi A, kur AM ir augstums. Pēc nosacījuma AB=2. Malas AF garumu varam atrast pēc taisnleņķa trīsstūru līdzības DD 1 F un AEF :

Ar Pitagora teorēmu no trijstūra ABF mēs atrodam . Mēs atrodam garumu AM caur trijstūra ABF laukumu: vienā pusē trijstūra ABF laukums ir vienāds ar , citā pusē , kur .

Tādējādi no taisnleņķa trīsstūra AEM mums ir .

Tad vēlamais leņķis starp plaknēm ABC un BED 1 ir (ņemiet vērā, ka ).

Atbilde:

Dažos gadījumos, lai atrastu leņķi starp divām krustojošām plaknēm, ir ērti norādīt Oxyz un izmantot koordinātu metodi. Apstāsimies pie tā.

Izvirzīsim uzdevumu: atrast leņķi starp divām krustojošām plaknēm un . Apzīmēsim vēlamo leņķi kā .

Pieņemsim, ka dotajā taisnstūra koordinātu sistēmā Oxyz mēs zinām krustojošo plakņu normālvektoru koordinātas un vai ir iespējams tās atrast. Ļaujiet būt ir plaknes normālais vektors, un ir plaknes normālais vektors. Parādīsim, kā atrast leņķi starp krustojošām plaknēm un caur šo plakņu normālvektoru koordinātām.

Apzīmēsim taisni, pa kuru plaknes krustojas, un kā c . Caur punktu M uz taisnes c novelkam plakni, kas ir perpendikulāra taisnei c. Plakne krustojas ar plaknēm un pa taisnēm a un b attiecīgi taisnes a un b krustojas punktā M. Pēc definīcijas leņķis starp krustojošām plaknēm un ir vienāds ar leņķi starp krustojošām līnijām a un b.

Ļaujiet mums atcelt no punkta M plaknē normālos vektorus un no plaknēm un . Šajā gadījumā vektors atrodas uz taisnes, kas ir perpendikulāra līnijai a, un vektors atrodas uz taisnes, kas ir perpendikulāra līnijai b. Tādējādi plaknē vektors ir taisnes a normāls vektors, ir taisnes b normālais vektors.

Rakstā Leņķa atrašana starp krustojošām līnijām mēs ieguvām formulu, kas ļauj aprēķināt leņķa kosinusu starp krustojošām līnijām, izmantojot normālu vektoru koordinātas. Tādējādi leņķa kosinuss starp taisnēm a un b, un līdz ar to un leņķa kosinuss starp krustojošām plaknēm un tiek atrasts pēc formulas , kur un ir plakņu normālie vektori un attiecīgi. Tad to aprēķina kā .

Atrisināsim iepriekšējo piemēru, izmantojot koordinātu metodi.

Piemērs.

Ir dots taisnstūrveida paralēlskaldnis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, kurā AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 un punkts E dala malu AA 1 proporcijā 4 pret 3, skaitot no punkta A. . Atrodiet leņķi starp plaknēm ABC un BED 1.

Lēmums.

Tā kā taisnstūra paralēlskaldņa malas vienā virsotnē ir pa pāriem perpendikulāras, ir ērti ieviest taisnstūra koordinātu sistēmu Oxyz šādi: sākums ir saskaņots ar virsotni C, un koordinātu asis Ox, Oy un Oz ir vērstas gar malām. CD, CB un CC 1 attiecīgi.

Leņķi starp plaknēm ABC un BED 1 var atrast caur šo plakņu normālvektoru koordinātām, izmantojot formulu , kur un ir attiecīgi plakņu ABC un BED 1 normālie vektori. Nosakīsim normālvektoru koordinātas.

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, ko var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu jums svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
Ja piedalāties izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.

Izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

Gadījumā, ja tas ir nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas rīkojumu, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valsts iestāžu pieprasījumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrības interešu mērķiem.
Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret nozaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.

Teorēma

Leņķis starp plaknēm nav atkarīgs no griešanas plaknes izvēles.

Pierādījums.

Lai ir divas plaknes α un β, kas krustojas pa taisni c. uzzīmējiet plakni γ, kas ir perpendikulāra taisnei c. Tad plakne γ krusto plaknes α un β attiecīgi pa taisnēm a un b. Leņķis starp plaknēm α un β ir vienāds ar leņķi starp taisnēm a un b.
Paņemiet citu griešanas plakni γ`, kas ir perpendikulāra c. Tad plakne γ` krustos plaknes α un β pa taisnēm a` un b` attiecīgi.
Ar paralēlo translāciju plaknes γ krustošanās punkts ar taisni c nonāks plaknes γ` ar taisnes c krustpunktā. šajā gadījumā pēc paralēlās tulkošanas īpašības rinda a iet uz rindu a`, b - uz līniju b`. tātad leņķi starp taisnēm a un b, a` un b` ir vienādi. Teorēma ir pierādīta.

Lapas navigācija.

Leņķis starp plaknēm - definīcija.

Prezentējot materiālu, izmantosim rakstos dotās definīcijas un jēdzienus plakne telpā un taisne telpā.

Sniegsim argumentus, kas ļaus pakāpeniski tuvoties leņķa definīcijai starp divām krustojošām plaknēm.

Ļaujiet mums dot divas krustojošas plaknes un . Šīs plaknes krustojas taisnā līnijā, ko apzīmējam ar burtu c. Izveidojiet plakni, kas iet caur punktu M taisni c un perpendikulāri līnijai c. Šajā gadījumā plakne krustos plaknes un . Mēs apzīmējam līniju, pa kuru plaknes krustojas, un kā a, bet taisne, pa kuru plaknes krustojas un kā b. Acīmredzot tieši. a un b krustojas punktā M.

Ir viegli parādīt, ka leņķis starp krustojošām līnijām a un b nav atkarīgs no punkta atrašanās vietas M uz taisnas līnijas c caur kuru iet lidmašīna.

Izveidojiet plakni, kas ir perpendikulāra taisnei c un atšķiras no lidmašīnas. Plakne tiek krustota ar plaknēm un pa taisnām līnijām, kuras mēs apzīmējam a 1 un b 1 attiecīgi.

No plakņu konstruēšanas metodes izriet, ka līnijas a un b perpendikulāri līnijai c, un tieši a 1 un b 1 perpendikulāri līnijai c. Tā kā taisni a un a 1 c, tad tie ir paralēli. Tāpat taisni b un b 1 atrodas vienā plaknē un ir perpendikulāri līnijai c tāpēc tie ir paralēli. Tādējādi ir iespējams veikt paralēlu plaknes pārnešanu uz plakni, kurā taisne a 1 sakrīt ar līniju a, un taisna līnija b ar taisnu līniju b 1. Tāpēc leņķis starp divām krustojošām līnijām a 1 un b 1 vienāds ar leņķi starp krustojošām līnijām a un b.

Tas pierāda, ka leņķis starp krustojošām līnijām a un b atrodas krustojošās plaknēs un nav atkarīgs no punkta izvēles M caur kuru iet lidmašīna. Tāpēc ir loģiski pieņemt šo leņķi kā leņķi starp divām krustojošām plaknēm.

Tagad jūs varat izteikt leņķa definīciju starp divām krustojošām plaknēm un .

Definīcija.

Leņķis starp divām krustojošām līnijām c lidmašīnas un ir leņķis starp divām krustojošām līnijām a un b, pa kuru plaknes un krustojas ar plakni, kas ir perpendikulāra taisnei c.

Leņķa definīciju starp divām plaknēm var sniegt nedaudz savādāk. Ja uz taisnas līnijas ar, pa kuru plaknes un krustojas, atzīmējiet punktu M un caur to velciet taisnas līnijas a un b, perpendikulāri līnijai c un guļus plaknēs un attiecīgi, tad leņķis starp līnijām a un b ir leņķis starp plaknēm un . Parasti praksē šādas konstrukcijas tiek veiktas, lai iegūtu leņķi starp plaknēm.

Lapas augšdaļa

Leņķa atrašana starp divām krustojošām plaknēm.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, kurā AB=3, AD=2, AA 1 =7 un punkts E sadala pusi AA 1 attiecībās 4 uz 3 , skaitot no punkta BET ABC un GULTA 1.

Vispirms izveidosim zīmējumu.

Veiksim papildu konstrukcijas, lai "redzētu" leņķi starp plaknēm.

Pirmkārt, mēs definējam taisnu līniju, pa kuru plaknes krustojas ABC un Gulta 1. Punkts AT ir viens no viņu kopīgajiem punktiem. Atrodiet šo plakņu otro kopīgo punktu. Tieša DA un D 1 E guļ vienā plaknē PIEVIENOT 1, un tie nav paralēli un tāpēc krustojas. No otras puses, taisni DA guļ lidmašīnā ABC, un taisna līnija D 1 E- lidmašīnā Gulta 1, tātad līniju krustošanās punkts DA un D 1 E būs plakņu kopīgs punkts ABC un Gulta 1. Tātad turpināsim taisni DA un D 1 E pirms tie krustojas, to krustošanās punktu apzīmējam ar burtu F. Tad bf- līnija, pa kuru plaknes krustojas ABC un Gulta 1.

Atliek konstruēt divas plaknēs izvietotas taisnas līnijas ABC un Gulta 1 attiecīgi, ejot caur vienu punktu uz līnijas bf un perpendikulāri līnijai bf, - leņķis starp šīm līnijām pēc definīcijas būs vienāds ar vēlamo leņķi starp plaknēm ABC un Gulta 1. Darīsim to.

Punkts BET ir punkta projekcija E uz lidmašīnu ABC. Uzzīmējiet līniju, kas krusto līniju taisnā leņķī BF punktā M. Tad līnija AM ir taisnas līnijas projekcija ĒST uz lidmašīnu ABC, un ar trīs perpendikulu teorēmu.

Tādējādi vēlamais leņķis starp plaknēm ABC un Gulta 1 ir vienāds ar .

Šī leņķa sinusu, kosinusu vai tangensu (un līdz ar to pašu leņķi) mēs varam noteikt no taisnleņķa trīsstūra AEM ja zinām tā divu malu garumus. Pēc stāvokļa ir viegli atrast garumu AE: kopš punkta E sadala pusi AA 1 attiecībās 4 uz 3 , skaitot no punkta BET, un sānu garums AA 1 ir vienāds ar 7 , tad AE=4. Atradīsim citu garumu AM.

Lai to izdarītu, apsveriet taisnleņķa trīsstūri ABF pareizā leņķī BET, kur AM ir augstums. Pēc nosacījuma AB=2. sānu garums AF mēs varam atrast no taisnleņķa trīsstūru līdzības DD 1F un AEF:

Pēc Pitagora teorēmas no trīsstūra ABF atrast. Garums AM atrast cauri trīsstūra laukumam ABF: vienā pusē trīsstūra laukums ABF ir vienāds ar , no otras puses , no kurienes .

Tātad no taisnleņķa trīsstūra AEM mums ir .

Tad vēlamais leņķis starp plaknēm ABC un Gulta 1 vienāds (ņemiet vērā, ka ).

Dažos gadījumos, lai atrastu leņķi starp divām krustojošām plaknēm, ir ērti iestatīt taisnstūra koordinātu sistēmu Oxyz un izmantojiet koordinātu metodi. Apstāsimies pie tā.

Izvirzīsim uzdevumu: atrast leņķi starp divām krustojošām plaknēm un . Apzīmēsim vēlamo leņķi kā .

Mēs pieņemam, ka dotajā taisnstūra koordinātu sistēmā Oxyz mēs zinām krustojošo plakņu normālvektoru koordinātas un vai ir iespēja tās atrast. Ļaut ir plaknes normāls vektors un plaknes normāls vektors. Parādīsim, kā atrast leņķi starp krustojošām plaknēm un caur šo plakņu normālvektoru koordinātām.

Apzīmēsim līniju, pa kuru plaknes krustojas un kā c. Caur punktu M uz taisnas līnijas c uzzīmējiet plakni, kas ir perpendikulāra līnijai c. Plakne krusto plaknes un pa taisnēm a un b attiecīgi tiešā a un b krustojas punktā M. Pēc definīcijas leņķis starp krustojošām plaknēm un ir vienāds ar leņķi starp krustojošām līnijām a un b.

Novietojiet malā no punkta M plaknē ir normāli vektori un no plaknēm un . Vektors atrodas uz taisnes, kas ir perpendikulāra tai a, un vektors atrodas uz taisnes, kas ir perpendikulāra tai b. Tādējādi plaknē vektors ir taisnes normālais vektors a, - parastās līnijas vektors b.

Rakstā Leņķa atrašana starp krustojošām līnijām mēs ieguvām formulu, kas ļauj aprēķināt leņķa kosinusu starp krustojošām līnijām, izmantojot normālu vektoru koordinātas. Tātad leņķa kosinuss starp līnijām a un b, un līdz ar to leņķa kosinuss starp krustojošām plaknēm un tiek atrasts pēc formulas , kur un ir attiecīgi plakņu un normālie vektori. Tad leņķis starp krustojošām plaknēm tiek aprēķināts kā .

Atrisināsim iepriekšējo piemēru, izmantojot koordinātu metodi.

Dots taisnstūra paralēlskaldnis ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, kurā AB=3, AD=2, AA 1 =7 un punkts E sadala pusi AA 1 attiecībās 4 uz 3 , skaitot no punkta BET. Atrodiet leņķi starp plaknēm ABC un GULTA 1.

Tā kā taisnstūra paralēlskaldņa malas vienā virsotnē ir pa pāriem perpendikulāras, ir ērti ieviest taisnstūra koordinātu sistēmu Oxyzšādi: sāc kombinēt ar augšējo Ar, un koordinātu asis Vērsis, Oy un Oz sūtīt apkārt CD, CB un CC 1 attiecīgi.

Leņķis starp plaknēm ABC un Gulta 1 var atrast caur šo plakņu normālvektoru koordinātām pēc formulas , kur un ir plakņu normālie vektori ABC un Gulta 1 attiecīgi. Nosakīsim normālvektoru koordinātas.

Kopš lidmašīnas ABC sakrīt ar koordinātu plakni Oxy, tad tā normālais vektors ir koordinātu vektors , tas ir, .

Kā normāls plaknes vektors Gulta 1 var ņemt vektoru krustreizinājumu un, savukārt, vektoru koordinātas, un to var atrast caur punktu koordinātām AT, E un D1(kas rakstā ir rakstīts vektora koordinātas caur tā sākuma un beigu punktu koordinātām), un punktu koordinātas AT, E un D1 ieviestajā koordinātu sistēmā nosakām no uzdevuma stāvokļa.

Acīmredzot,. Tā kā , tad atrodam pēc punktu koordinātām (ja nepieciešams, skat. segmenta rakstu iedalījumu noteiktā attiecībā). Tad un Oxyz ir vienādojumi un .

Izpētot taisnās līnijas vispārējo vienādojumu, mēs noskaidrojām, ka koeficienti BET, AT un Ar ir plaknes normālā vektora atbilstošās koordinātas. Tādējādi un ir attiecīgi plakņu un normālie vektori.

Mēs aizvietojam plakņu normālo vektoru koordinātas ar formulu leņķa aprēķināšanai starp divām krustojošām plaknēm:

Tad . Tā kā leņķis starp divām krustojošām plaknēm nav strups, tad, izmantojot pamata trigonometrisko identitāti, mēs atrodam leņķa sinusu:.

Leņķa mērs starp plaknēm ir akūts leņķis, ko veido divas taisnes, kas atrodas šajās plaknēs un ir novilktas perpendikulāri to krustojuma līnijai.

Konstrukcijas algoritms

No patvaļīga punkta K katrai no dotajām plaknēm tiek novilkti perpendikuli.
Rotācija ap līmeņa līniju nosaka leņķa γ° vērtību ar virsotni punktā K.
Aprēķiniet leņķi starp plaknēm ϕ° = 180 - γ° ar nosacījumu, ka γ° > 90°. Ja γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Attēlā parādīts gadījums, kad plaknes α un β ir dotas ar pēdām. Visas nepieciešamās konstrukcijas tiek veiktas saskaņā ar algoritmu un ir aprakstītas zemāk.

Lēmums

Patvaļīgā zīmējuma vietā atzīmējam punktu K. No tā attiecīgi nolaižam perpendikulus m un n uz plaknēm α un β. Projekciju m un n virziens ir šāds: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
Mēs nosakām faktisko izmēru ∠γ° starp līnijām m un n. Lai to izdarītu, pagrieziet leņķa plakni ar virsotni K ap frontālo f pozīcijā, kas ir paralēla frontālās projekcijas plaknei. Punkta K pagrieziena rādiuss R ir vienāds ar taisnleņķa trijstūra O""K""K 0 hipotenūzas vērtību, kura kājiņa ir K""K 0 = y K – y O .
Vēlamais leņķis ir ϕ° = ∠γ°, jo ∠γ° ir akūts.

Zemāk redzamajā attēlā parādīts problēmas risinājums, kurā jāatrod leņķis γ° starp plaknēm α un β, kas dots attiecīgi ar paralēlām un krustojošām taisnēm.

Lēmums

Nosakām plaknēm α un β piederošo horizontāļu h 1, h 2 un frontāļu f 1, f 2 projekciju virzienu bultiņu norādītajā secībā. No patvaļīga punkta K uz kvadrāta. α un β nometam perpendikulus e un k. Šajā gadījumā e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 un k""⊥f""" 2 , k"⊥h" 2 .
Mēs nosakām ∠γ° starp līnijām e un k. Lai to izdarītu, mēs uzzīmējam horizontālu h 3 un pagriežam ap to punktu K pozīcijā K 1, kurā △CKD kļūs paralēls horizontālajai plaknei un tiks atspoguļots uz tās pilnā izmērā - △C "K" 1 D ". Rotācijas centra O" projekcija ir novilkta uz h "3 perpendikulāri K "O". Rādiusu R nosaka no taisnleņķa trīsstūra O "K" K 0, kura mala ir K "K 0 \u003d Z O". - Z K.
Vēlamā vērtība ir ∠ϕ° = ∠γ°, jo leņķis γ° ir akūts.

Risinot ģeometriskos uzdevumus telpā, bieži vien ir tādi, kur nepieciešams aprēķināt leņķus starp dažādiem telpiskajiem objektiem. Šajā rakstā mēs apsvērsim jautājumu par leņķu atrašanu starp plaknēm un starp tām un taisnu līniju.

Taisna līnija telpā

Ir zināms, ka pilnīgi jebkuru taisnu līniju plaknē var definēt ar šādu vienādību:

Šeit a un b ir daži skaitļi. Ja ar tādu pašu izteiksmi attēlojam telpā taisnu līniju, tad iegūstam plakni, kas ir paralēla z asij. Telpiskās līnijas matemātiskajai definīcijai tiek izmantota cita risinājuma metode nekā divdimensiju gadījumā. Tas sastāv no jēdziena "virzošais vektors" izmantošana.

Plakņu krustošanās leņķa noteikšanas uzdevumu risināšanas piemēri

Zinot, kā atrast leņķi starp plaknēm, mēs atrisināsim šādu uzdevumu. Ir dotas divas plaknes, kuru vienādojumiem ir šāda forma:

3 * x + 4 * y - z + 3 = 0;
X - 2 * y + 5 * z +1 = 0

Kāds ir leņķis starp plaknēm?

Lai atbildētu uz problēmas jautājumu, mēs atgādinām, ka koeficienti, kas atrodas plaknes vispārējā vienādojumā pie mainīgajiem, ir virzošā vektora koordinātas. Šīm lidmašīnām mums ir šādas to normālu koordinātas:

n 1 ¯(3; 4; -1);
n 2 ¯(-1; -2; 5)

Tagad mēs atrodam šo vektoru un to moduļu skalāro reizinājumu, mums ir:

(n 1 ¯ * n 2 ¯) \u003d -3 -8 -5 \u003d -16;
|n 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26;
|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30

Tagad jūs varat aizstāt atrastos skaitļus iepriekšējā punktā norādītajā formulā. Mēs iegūstam:

α = arccos (|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55,05 o

Iegūtā vērtība atbilst problēmas stāvoklī norādītajam plakņu krustošanās asajam leņķim.

Tagad aplūkosim citu piemēru. Dotas divas lidmašīnas:

Vai tie krustojas? Uzrakstīsim to virziena vektoru koordinātu vērtības, aprēķināsim to skalāro reizinājumu un moduļus:

n 1 ¯(1; 1; 0);
n 2¯(3; 3; 0);
(n 1 ¯ * n 2 ¯) = 3 + 3 + 0 = 6;
|n 1 ¯| = √2;
|n 2 ¯| = √18

Tad krustošanās leņķis ir:

α = arccos(|6| / (√2 * √18) =0 o .

Šis leņķis norāda, ka plaknes nekrustojas, bet ir paralēlas. To, ka tie nesakrīt, ir viegli pārbaudīt. Ņemsim par to patvaļīgu punktu, kas pieder pirmajam no tiem, piemēram, P(0; 3; 2). Aizvietojot tās koordinātas otrajā vienādojumā, mēs iegūstam:

3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0

Tas ir, punkts P pieder tikai pirmajai plaknei.

Tādējādi divas plaknes ir paralēlas, ja to normālie ir.

Plakne un līnija

Ja tiek ņemts vērā relatīvais novietojums starp plakni un taisni, ir vairākas iespējas vairāk nekā ar divām plaknēm. Šis fakts ir saistīts ar faktu, ka taisne ir viendimensionāls objekts. Līnija un plakne var būt:

savstarpēji paralēli, šajā gadījumā plakne nekrusto taisni;
pēdējais var piederēt plaknei, bet tas būs arī paralēls tai;
abi objekti var krustoties kādā leņķī.

Vispirms apsveriet pēdējo gadījumu, jo tas prasa krustošanās leņķa jēdziena ieviešanu.

Līnija un plakne, leņķa vērtība starp tām

Ja taisne krusto plakni, tad to sauc par slīpu attiecībā pret to. Krustošanās punktu sauc par slīpuma pamatni. Lai noteiktu leņķi starp šiem ģeometriskajiem objektiem, no jebkura punkta ir jānolaiž taisne, kas ir perpendikulāra plaknei. Tad perpendikula krustpunkts ar plakni un slīpās līnijas krustošanās vieta ar to veido taisni. Pēdējo sauc par sākotnējās līnijas projekciju uz aplūkojamo plakni. Akūts un tā projekcija ir vēlamā.

Nedaudz mulsinošā leņķa definīcija starp plakni un slīpi tiks precizēta attēlā zemāk.

Šeit leņķis ABO ir leņķis starp taisni AB un plakni a.

Lai uzrakstītu formulu, apsveriet piemēru. Lai ir taisne un plakne, kuras apraksta ar vienādojumiem:

(x ; y ; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + λ * (a; b; c);
A * x + B * x + C * x + D = 0

Ir viegli aprēķināt vēlamo leņķi šiem objektiem, ja atrodat skalāro reizinājumu starp līnijas virziena vektoriem un plakni. Iegūtais akūts leņķis ir jāatņem no 90 o, tad to iegūst starp taisni un plakni.

Augšējā attēlā parādīts aprakstītais algoritms aplūkotā leņķa atrašanai. Šeit β ir leņķis starp normālu un taisni, un α ir starp līniju un tās projekciju uz plakni. Var redzēt, ka to summa ir vienāda ar 90 o .

Iepriekš tika parādīta formula, kas atbild uz jautājumu, kā atrast leņķi starp plaknēm. Tagad mēs sniedzam atbilstošo izteiksmi taisnes un plaknes gadījumam:

α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))

Modulis formulā ļauj aprēķināt tikai asus leņķus. Arkosīna funkcija parādījās arkosīna vietā, jo starp trigonometriskām funkcijām tika izmantota atbilstošā samazināšanas formula (cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)).

Problēma: plakne krusto līniju

Tagad mēs parādīsim, kā strādāt ar iepriekš minēto formulu. Atrisināsim uzdevumu: jāaprēķina leņķis starp y asi un vienādojuma doto plakni:

Šī plakne ir parādīta attēlā.

Var redzēt, ka tas krusto y un z asis attiecīgi punktos (0; -12; 0) un (0; 0; 12) un ir paralēls x asij.

Taisnes y virziena vektoram ir koordinātas (0; 1; 0). Vektoru, kas ir perpendikulārs noteiktai plaknei, raksturo koordinātas (0; 1; -1). Mēs izmantojam taisnes un plaknes krustošanās leņķa formulu, iegūstam:

α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45o

Problēma: taisna līnija, kas ir paralēla plaknei

Tagad atrisināsim problēmu, kas ir līdzīga iepriekšējai, par kuru jautājums tiek uzdots citādi. Plaknes un taisnes vienādojumi ir zināmi:

x + y - z - 3 = 0;
(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ * (0; 2; 2)

Jānoskaidro, vai šie ģeometriskie objekti ir paralēli viens otram.

Mums ir divi vektori: virzošā līnija ir (0; 2; 2) un virzošā plakne ir (1; 1; -1). Mēs atrodam viņu skalāro produktu:

0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0

Iegūtā nulle norāda, ka leņķis starp šiem vektoriem ir 90 o , kas pierāda taisnes un plaknes paralēlismu.

Tagad pārbaudīsim, vai šī taisne ir tikai paralēla vai arī atrodas plaknē. Lai to izdarītu, izvēlieties patvaļīgu punktu uz līnijas un pārbaudiet, vai tas pieder plaknei. Piemēram, pieņemsim, ka λ = 0, tad punkts P(1; 0; 0) pieder pie taisnes. Mēs aizvietojam plaknes P vienādojumā:

Punkts P nepieder plaknei, un līdz ar to visa taisne tajā neatrodas.

Kur ir svarīgi zināt leņķus starp aplūkotajiem ģeometriskiem objektiem?

Iepriekš minētās formulas un problēmu risināšanas piemēri ir ne tikai teorētiskas intereses. Tos bieži izmanto, lai noteiktu svarīgus reālu trīsdimensiju figūru fiziskos daudzumus, piemēram, prizmas vai piramīdas. Aprēķinot figūru tilpumus un to virsmu laukumus, svarīgi ir spēt noteikt leņķi starp plaknēm. Turklāt, ja taisnas prizmas gadījumā norādīto lielumu noteikšanai šīs formulas ir iespējams neizmantot, tad jebkura veida piramīdai to izmantošana ir neizbēgama.

Tālāk mēs aplūkosim piemēru, kā izmantot izklāstīto teoriju, lai noteiktu piramīdas leņķus ar kvadrātveida pamatni.

Piramīda un tās stūri

Zemāk redzamajā attēlā redzama piramīda, kuras pamatnē atrodas kvadrāts ar malu a. Figūras augstums ir h. Jums jāatrod divi stūri:

starp sānu virsmu un pamatni;
starp sānu malu un pamatni.

Lai atrisinātu problēmu, vispirms jāievada koordinātu sistēma un jānosaka atbilstošo virsotņu parametri. Attēlā redzams, ka koordinātu sākumpunkts sakrīt ar punktu kvadrāta pamatnes centrā. Šajā gadījumā pamata plakni apraksta ar vienādojumu:

Tas ir, jebkuram x un y trešās koordinātas vērtība vienmēr ir nulle. Sānu plakne ABC krusto z-asi punktā B(0; 0; h), bet y-asi — punktā ar koordinātām (0; a/2; 0). Tas nešķērso x asi. Tas nozīmē, ka ABC plaknes vienādojumu var uzrakstīt šādi:

y / (a / 2) + z / h = 1 vai
2 * h * y + a * z - a * h = 0

Vektors AB¯ ir sānu mala. Tās sākuma un beigu koordinātas ir: A(a/2; a/2; 0) un B(0; 0; h). Tad paša vektora koordinātas:

Mēs esam atraduši visus nepieciešamos vienādojumus un vektorus. Tagad atliek izmantot aplūkotās formulas.

Pirmkārt, piramīdā mēs aprēķinām leņķi starp pamatnes un sānu plaknēm. Atbilstošie normālie vektori ir: n 1 ¯(0; 0; 1) un n 2 ¯(0; 2*h; a). Tad leņķis būs: