Kā atrast krustojumu un savienību. Skaitlisko kopu krustpunkta un savienības atrašana

krustojums divi komplekti sauc par visu kopumu kopīgi elementišie komplekti.

Piemērs :
Ņemsim skaitļus 12 un 18. Atrodiet to dalītājus, apzīmējot visu šo dalītāju kopu attiecīgi ar burtiem A un B:
A \u003d (1, 2, 3, 4, 6, 12),
B = (1, 2, 3, 6, 9, 18).

Redzam, ka skaitļiem 12 un 18 ir kopīgi dalītāji: 1, 2, 3, 6. Apzīmēsim tos ar burtu C:
C = (1, 2, 3, 6).

Kopa C ir kopu A un B krustpunkts. Viņi to raksta šādi:
A ∩B=C.

Ja divām kopām nav kopīgu elementu, tad šo kopu krustpunkts ir tukšs daudz.
Tukšo kopu apzīmē ar zīmi Ø, un tiek izmantots šāds apzīmējums:

X ∩Y = Ø.

savienība divi komplekti ir kopa, kas sastāv no visiem šo kopu elementiem.

Piemēram, atgriezīsimies pie skaitļiem 12 un 18 un to elementu kopas A un B. Vispirms izrakstām kopas A elementus, tad pievienojam tiem kopas B elementus, kas nav kopā. A. Mēs iegūstam elementu kopu, kas ir kopīgs A un B. Apzīmēsim to ar burtu D:

D = (1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18).

Kopa D ir kopu A un B savienība. To raksta šādi:

D=A U b.

Galvenās operācijas, ko veic komplektos, ir papildinājums (Savienība), reizināšana (krustojums) un atņemšana . Šīs darbības, kā redzēsim vēlāk, nav identiskas tāda paša nosaukuma operācijām, kas tiek veiktas ar cipariem.

Definīcija : asociācija(vai divu kopu A un B summa) ir kopa, kurā ir visi tādi un tikai tādi elementi, kas ir elementi vismaz vienā no šīm kopām. Kopu A un B savienība tiek apzīmēta kā A  B.

Šī definīcija nozīmē, ka kopu A un B saskaitīšana ir visu to elementu apvienošana vienā kopā A  B. Ja vieni un tie paši elementi ir ietverti abās kopās, tad šie elementi savienojumā nonāk tikai vienu reizi.

Trīs vai vairāku kopu savienība tiek definēta līdzīgi.

Definīcija : krustojums(vai reizināšana) divu kopu A un B ir kopa, kas sastāv no tiem un tikai tiem elementiem, kas vienlaikus pieder kopai A un kopai B. Kopu A un B krustpunktu apzīmē kā A  B.

Trīs vai vairāku kopu krustpunkts tiek definēts līdzīgi.

Definīcija : Kopu A un B atšķirība ir kopa, kas sastāv no tiem un tikai tiem kopas A elementiem, kas nepieder kopai B. Kopu A un B starpību apzīmē kā A \ B. Darbība, ar kuru kopu starpība tiek atrasts sauc par atņemšanu.

Ja B  A, tad starpību A \ B sauc par kopas B papildinājumu kopai A. Ja kopa B ir universālās kopas U apakškopa, tad apzīmē B papildinājumu U, tas ir, = U\B.

Vingrinājumi :

Apsveriet trīs komplektus N={0,2,4,5,6,7}, M=(1,3,5,7,9) un P=(1,3,9,11). Atrast

A= N  M
B=N M
C=N P

Atbildiet, kura no darbībām dotajās kopās jāizmanto, lai iegūtu tālāk aprakstītās kopas.

Ņemot vērā: BET- daudzi no visiem fakultātes studenti, IN– daudzi studenti ar akadēmiskajiem parādiem. Definējiet NO- daudz veiksmīgu fakultātes studentu.
Ņemot vērā: BET- visu fakultātes izcilnieku komplekts, IN- daudz studentu, kuriem nav akadēmisko parādu, NO ir sekmīgu studentu kopums ar vismaz vienu trīskāršu. Definējiet D- daudz fakultātes studentu, kuriem ir laiks bez trīskāršiem.
Ņemot vērā: U ir visu mācību grupas studentu kopums, BET- daudz šīs grupas studentu, kuri saņēma kredītpunktu fiziskajā izglītībā, IN- daudzi tās pašas grupas skolēni, kuri veiksmīgi nokārtoja pārbaudījumu Tēvzemes vēsturē. Definējiet NO ir vienas un tās pašas mācību grupas studentu kopums, kuri ir izcili abās disciplīnās, D– vienas grupas audzēkņu kopums, kuri “izkrita” vismaz vienā no kontroldarbiem.

Kopu savienojuma un krustošanās īpašības

No kopu savienības un krustpunkta definīcijām izriet šo darbību īpašības, kuras tiek parādītas vienādību veidā, kas ir derīgas jebkurai kopai A , B Un NO .

A  B = B  A - savienības komutativitāte;

A  B = B  A - krustojuma komutativitāte;

A  (B  NO ) = (A  B )  NO - asociāciju asociācija;

A  (B  NO ) = (A  B )  NO - krustojuma asociativitāte;

A  (B  NO ) = (A  B )  (A  NO) - krustojuma sadalījums attiecībā pret savienību;

A  (B  NO ) = (A  B )  (A  NO) - savienības sadalījums attiecībā pret krustojumu;

Absorbcijas likumi:

A  A = A

A  A = A

A  Ø = A

A  Ø = Ø

A  U = U

A  U = A

Jāatzīmē, ka atšķirībai nav komutativitātes un asociativitātes īpašību, tas ir, A \ B ≠ B \ A Un A \ (B \ NO ) ≠ (A \ B ) \ NO . To var viegli pārbaudīt, izveidojot Eilera-Vena diagrammas.

Komplekti. Operācijas komplektos.
Iestatīt displeju. Iestatiet jaudu

Es sveicu jūs pirmajā augstākās algebras nodarbībā, kas parādījās ... vietnes piektās gadadienas priekšvakarā, kad es jau biju izveidojis vairāk nekā 150 rakstus matemātikā un mani materiāli sāka veidoties pabeigtā kursā. . Tomēr cerēšu, ka nenokavēju - galu galā daudzi studenti lekcijās sāk iedziļināties tikai valsts eksāmeniem =)

Vyshmat universitātes kurss tradicionāli balstās uz trim pīlāriem:

– matemātiskā analīze (robežas, atvasinājumi utt.)

– un visbeidzot 2015./16.gada sezona skolas gads atveras ar nodarbībām Algebra manekeniem, Matemātiskās loģikas elementi, kurā mēs analizēsim sadaļas pamatus, kā arī iepazīsimies ar matemātikas pamatjēdzieniem un parasto apzīmējumu. Man jāsaka, ka citos rakstos es neizmantoju ļaunprātīgi "svītras" , tomēr tas ir tikai stils, un, protams, tie ir jāatzīst jebkurā stāvoklī =). Es informēju jaunos lasītājus, ka manas nodarbības ir orientētas uz praksi, un šādā veidā tiks prezentēts šāds materiāls. Lai iegūtu pilnīgāku un akadēmisku informāciju, lūdzu, skatiet mācību grāmatas. Iet:

Daudz. Rādiet piemērus

Komplekts ir ne tikai matemātikas, bet arī visas apkārtējās pasaules pamatjēdziens. Paņemiet jebkuru priekšmetu rokā tūlīt. Šeit jums ir komplekts, kas sastāv no viena elementa.

IN plašā nozīmē, kopa ir objektu (elementu) kopums, kas tiek saprasts kā veselums(pēc noteiktām pazīmēm, kritērijiem vai apstākļiem). Turklāt tie ir ne tikai materiāli objekti, bet arī burti, cipari, teorēmas, domas, emocijas utt.

Kopas parasti apzīmē ar lielu ar latīņu burtiem (pēc izvēles, ar apakšindeksiem: utt.), un tā elementi ir rakstīti cirtaini iekavās, piemēram:

- krievu alfabēta burtu komplekts;
- daudz naturālie skaitļi;

Nu, ir pienācis laiks mazliet iepazīt vienam otru:
– daudzi skolēni 1. rindā

... Priecājos redzēt jūsu nopietnās un koncentrētās sejas =)

Komplekti un ir galīgais(sastāv no ierobežota elementu skaita), un kopa ir piemērs bezgalīgs komplekti. Turklāt teorijā un praksē t.s tukšs komplekts:

ir kopa, kas nesatur nevienu elementu.

Piemērs jums ir labi zināms - eksāmenā komplekts bieži ir tukšs =)

Elementa piederību kopai norāda ar simbolu , piemēram:

- burts "būt" pieder pie krievu alfabēta burtu kopas;
- burts "beta" nē pieder pie krievu alfabēta burtu kopas;
– skaitlis 5 pieder naturālo skaitļu kopai;
- bet skaitļa 5,5 vairs nav;
- Voldemārs nesēž pirmajā rindā (un vēl jo vairāk, nepieder pie komplekta vai =)).

Abstraktā un ne tik algebrā kopas elementus apzīmē ar maziem latīņu burtiem un attiecīgi piederības fakts tiek noformēts šādā stilā:

– elements pieder kopai .

Iepriekš minētie komplekti ir uzrakstīti tieša pārsūtīšana elementi, taču tas nav vienīgais veids. Daudzas kopas ir ērti definētas, izmantojot dažus zīme (s), kas ir raksturīgs visiem tā elementiem. Piemēram:

ir visu naturālo skaitļu kopa, kas ir mazāka par 100.

Atcerieties: gara vertikāla nūja izsaka verbālo apgrozījumu "kurš", "tāds". Diezgan bieži tā vietā tiek lietots kols: - lasīsim ierakstu formālāk: "elementu kopa, kas pieder naturālo skaitļu kopai, tāds, ka » . Labi padarīts!

Šo kopu var uzrakstīt arī ar tiešu uzskaiti:

Vairāk piemēru:
- un, ja 1. rindā ir diezgan daudz studentu, tad šāds ieraksts ir daudz ērtāks nekā viņu tiešais uzskaitījums.

ir skaitļu kopa, kas pieder intervālam . Ņemiet vērā, ka tas attiecas uz komplektu derīgs cipariem (par viņiem vēlāk), ko vairs nevar uzskaitīt, atdalot tos ar komatiem.

Jāņem vērā, ka kopas elementiem nav jābūt "viendabīgiem" vai loģiski saistītiem. Paņemiet lielu maisu un nejauši sāciet to tajā ievietot. dažādi priekšmeti. Tam nav likumsakarības, taču mēs tomēr runājam par dažādām tēmām. Tēlaini izsakoties, komplekts ir atsevišķa “paka”, kurā noteikta priekšmetu kopa izrādījās “pēc likteņa gribas”.

Apakškopas

Gandrīz viss ir skaidrs no paša nosaukuma: komplekts ir apakškopa iestatīt, ja katrs kopas elements pieder kopai . Citiem vārdiem sakot, komplekts ir iekļauts komplektā:

Ikonu sauc par ikonu iekļaušana.

Atgriezīsimies pie piemēra, kurā ir krievu alfabēta burtu kopa. Apzīmē ar - tā patskaņu kopu. Pēc tam:

Ir iespējams arī izdalīt līdzskaņu burtu apakškopu un vispār patvaļīgu apakškopu, kas sastāv no jebkura skaita nejauši (vai nejauši) ņemtu kirilicas burtu. Jo īpaši jebkurš kirilicas burts ir kopas apakškopa.

Attiecības starp apakškopām ir ērti attēlotas, izmantojot nosacījumu ģeometriskā shēma, ko sauc Eilera apļi.

Ļaujiet būt studentu kopumam 1. rindā, būt grupu studentu kopumam un būt universitātes studentu kopumam. Tad ieslēgumu attiecības var attēlot šādi:

Citas augstskolas studentu kopa ir jāattēlo kā aplis, kas nekrustojas ar ārējo apli; valsts studentu daudzums lokā, kurā ir abi šie apļi utt.

Tipisks piemērs mēs novērojam ieslēgumus, apsverot skaitliskās kopas. Atkārtosim skolas materiālu, ko svarīgi paturēt prātā, studējot augstāko matemātiku:

Ciparu kopas

Kā zināms, vēsturiski pirmie parādījās naturālie skaitļi, kas paredzēti materiālo objektu (cilvēki, vistas, aitas, monētas u.c.) skaitīšanai. Šis komplekts jau ir izpildīts rakstā, vienīgais, ka tagad mēs nedaudz mainām tā apzīmējumu. Fakts ir tāds, ka ciparu kopas parasti tiek apzīmētas ar trekniem, stilizētiem vai sabiezinātiem burtiem. Es gribētu izmantot treknrakstu:

Dažreiz nulle tiek iekļauta naturālo skaitļu kopā.

Ja kopai pievienojam vienādus skaitļus ar pretējo zīmi un nulli, mēs iegūstam veselu skaitļu kopa:

Racionalizētāji un slinki cilvēki pieraksta tās elementus ar ikonām "plus mīnuss":))

Ir pilnīgi skaidrs, ka naturālo skaitļu kopa ir veselu skaitļu kopas apakškopa:
- jo katrs kopas elements pieder kopai . Tādējādi jebkuru naturālu skaitli var droši saukt par veselu skaitli.

Kopas nosaukums ir arī "runājošs": veseli skaitļi - tas nozīmē, ka nav daļskaitļu.

Un, tiklīdz tie ir veseli skaitļi, mēs nekavējoties atceramies svarīgās to dalāmības zīmes ar 2, 3, 4, 5 un 10, kas praktiskos aprēķinos būs nepieciešamas gandrīz katru dienu:

Vesels skaitlis dalās ar 2 bez atlikuma ja tas beidzas ar 0, 2, 4, 6 vai 8 (t.i., jebkurš pāra cipars). Piemēram, skaitļi:
400, -1502, -24, 66996, 818 - dalīts ar 2 bez atlikuma.

Un nekavējoties analizēsim "saistīto" zīmi: vesels skaitlis dalās ar 4 ja skaitlis sastāv no tā pēdējiem diviem cipariem (viņu secībā) dalās ar 4.

400 dalās ar 4 (jo 00 (nulle) dalās ar 4);
-1502 - nedalās ar 4 (jo 02 (divi) nedalās ar 4);
-24, protams, dalās ar 4;
66996 - dalās ar 4 (jo 96 dalās ar 4);
818 - nedalās ar 4 (jo 18 nedalās ar 4).

Izveidojiet savu vienkāršu pamatojumu šim faktam.

Dalāmība ar 3 ir nedaudz grūtāka: vesels skaitlis dalās ar 3 bez atlikuma, ja tā ciparu summa dalās ar 3.

Pārbaudīsim, vai skaitlis 27901 dalās ar 3. Lai to izdarītu, mēs summējam tā skaitļus:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 - nedalās ar 3
Secinājums: 27901 nedalās ar 3.

Summēsim skaitļa -825432 ciparus:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 - dalās ar 3
Secinājums: skaitlis -825432 dalās ar 3

Vesels skaitlis dalās ar 5, ja tas beidzas ar pieci vai nulli:
775, -2390 - dalās ar 5

Vesels skaitlis dalās ar 10 ja tas beidzas ar nulli:
798400 — dalās ar 10 (un acīmredzot uz 100). Nu, droši vien visi atceras - lai dalītu ar 10, jums vienkārši jānoņem viena nulle: 79840

Ir arī pazīmes par dalāmību ar 6, 8, 9, 11 utt., bet praktiski no tām nav jēgas =)

Jāatzīmē, ka uzskaitītie kritēriji (šķietami tik vienkārši) ir stingri pierādīti skaitļu teorija. Šī algebras sadaļa kopumā ir diezgan interesanta, tomēr tās teorēmas ... tikai mūsdienu ķīniešu izpildījums =) Un pietika ar Voldemāru pie pēdējā galda ... bet tas ir labi, drīz tiksim galā ar dzīvību vingrinājums =)

Nākamais numuru komplekts ir daudz racionālie skaitļi :
- tas ir, jebkuru racionālu skaitli var attēlot kā daļu ar veselu skaitli skaitītājs un dabiski saucējs.

Acīmredzot veselu skaitļu kopa ir apakškopa racionālo skaitļu kopas:

Patiešām, jebkuru veselu skaitli var attēlot kā racionālā daļa, piemēram: utt. Tādējādi veselu skaitli var pilnīgi pamatoti saukt par racionālu skaitli.

Raksturīga racionāla skaitļa "identifikācijas" zīme ir fakts, ka, dalot skaitītāju ar saucēju, iegūst vai nu
ir vesels skaitlis,

vai
– galīgais decimālzīme,

vai
- bezgalīgs periodiskais izdevums decimālzīme (atkārtošana var nesākties uzreiz).

Apbrīnojiet sadalījumu un mēģiniet veikt šo darbību pēc iespējas mazāk! Organizatoriskajā rakstā Augstākā matemātika manekeniem un citās nodarbībās es vairākkārt atkārtoju, atkārtoju un atkārtošu šo mantru:

IN augstākā matemātika mēs cenšamies visas darbības veikt parastās (pareizās un nepareizās) daļskaitļos

Piekrītiet, ka rīkoties ar daļu ir daudz ērtāk nekā ar decimālskaitlis 0,375 (nemaz nerunājot par bezgalīgām daļām).

Ejam tālāk. Papildus racionālajiem ir daudz iracionāli skaitļi, no kuriem katru var attēlot kā bezgalīgu neperiodisks decimāldaļdaļa. Citiem vārdiem sakot, neracionālo skaitļu "bezgalīgajās astēs" nav likumsakarības:
("Ļeva Tolstoja dzimšanas gads" divas reizes)
utt.

Ir daudz informācijas par slavenajām konstantēm "pi" un "e", tāpēc es pie tām nekavējos.

Veidojas racionālo un iracionālo skaitļu savienība reālo (reālo) skaitļu kopa:

- ikona asociācijas komplekti.

Komplekta ģeometriskā interpretācija jums ir pazīstama - tā ir skaitļu līnija:

Katrs reālais skaitlis atbilst noteiktam skaitļu līnijas punktam, un otrādi - katrs skaitļu līnijas punkts noteikti atbilst kādam reālam skaitlim. Būtībā es tagad esmu formulējis nepārtrauktības īpašums reāli skaitļi, kas, lai gan šķiet acīmredzams, ir stingri pierādīts matemātiskās analīzes gaitā.

Ciparu līniju apzīmē arī ar bezgalīgu intervālu, un apzīmējums vai līdzvērtīgs apzīmējums simbolizē faktu, ka tā pieder reālo skaitļu kopai (vai vienkārši "x" - reāls skaitlis).

Ar iegulšanu viss ir caurspīdīgs: racionālo skaitļu kopa ir apakškopa reālo skaitļu kopas:
, tādējādi jebkuru racionālu skaitli var droši saukt par reālu skaitli.

Iracionālo skaitļu kopa arī ir apakškopa reālie skaitļi:

Tajā pašā laikā apakškopas un nekrustojas- tas ir, nevienu iracionālu skaitli nevar attēlot kā racionālu daļskaitli.

Vai ir kādas citas numuru sistēmas? Eksistēt! Tas, piemēram, kompleksie skaitļi, ar kuru iesaku tuvākajās dienās vai pat stundās izlasīt burtiski.

Tikmēr mēs pievēršamies kopu operāciju izpētei, kuras gars jau ir materializējies šīs sadaļas beigās:

Darbības komplektos. Venna diagrammas

Venna diagrammas (līdzīgi Eilera apļiem) ir shematisks darbību ar kopām attēlojums. Vēlreiz brīdinu, ka neaptvēru visas darbības:

1) krustojums UN un ir atzīmēts ar

Kopu krustpunktu sauc par kopu, kuras katrs elements pieder Un komplekts, Un komplekts . Aptuveni runājot, krustojums ir izplatīta kopu daļa:

Piemēram, komplektiem:

Ja kopām nav identisku elementu, tad to krustpunkts ir tukšs. Mēs tikko saskārāmies ar šādu piemēru, apsverot skaitliskās kopas:

Racionālo un iracionālo skaitļu kopas shematiski var attēlot ar diviem nepārklājošiem apļiem.

Krustojuma darbība attiecas arī uz vairāk komplekti, jo īpaši Wikipedia ir labs piemērs trīs alfabētu burtu kopu krustojumam.

2) savienība kopas raksturo loģisks savienojums VAI un ir atzīmēts ar

Kopu savienība ir kopa, kuras katrs elements pieder kopai vai komplekts:

Uzrakstīsim kopu savienību:
- rupji runājot, šeit ir jāuzskaita visi kopu elementi un , un tie paši elementi (šajā gadījumā vienība kopu krustpunktā) jānorāda vienreiz.

Bet kopas, protams, nedrīkst krustoties, kā tas notiek ar racionāliem un iracionāliem skaitļiem:

Šajā gadījumā varat uzzīmēt divus nekrustojamus ēnotos apļus.

Savienojuma darbība ir piemērojama vairākām kopām, piemēram, ja , tad:

Cipariem nav jābūt augošā secībā. (Es to darīju tikai estētisku apsvērumu dēļ). Bez liekām pūlēm rezultātu var uzrakstīt šādi:

3) atšķirība Un neietilpst komplektā:

Atšķirību var lasīt šādi: “a bez būt”. Un jūs varat strīdēties tieši tāpat: apsveriet kopas. Lai pierakstītu atšķirību, no komplekta “jāizmet” visi komplektā esošie elementi:

Piemērs ar ciparu kopām:
- šeit visi naturālie skaitļi tiek izslēgti no veselo skaitļu kopas, un pats apzīmējums skan šādi: "veselo skaitļu kopa bez naturālo skaitļu kopas."

Spogulis: atšķirība kopas un izsauc kopu, kuras katrs elements pieder kopai Un neietilpst komplektā:

Par tiem pašiem komplektiem
- no komplekta "izmests" kas ir komplektā.

Bet šī atšķirība izrādās tukša: . Un patiesībā - ja no naturālo skaitļu kopas izslēdz veselus skaitļus, tad patiesībā nekas nepaliks :)

Turklāt dažreiz apsveriet simetrisks atšķirība, kas apvieno abus "pusmēness":
- citiem vārdiem sakot, tas ir "viss, izņemot kopu krustpunktu".

4) Dekarta (tiešais) produkts kopas un tiek saukta par kopu visi sakārtots pāri, kuros elements un elements

Mēs rakstām komplektu Dekarta reizinājumu:
- ir ērti uzskaitīt pārus pēc šāda algoritma: “vispirms katru kopas elementu secīgi pievienojam kopas 1. elementam, tad katru kopas elementu pievienojam kopas 2. elementam, tad mēs pievienojiet katru komplekta elementu komplekta 3. elementam»:

Spogulis: Dekarta produkts kopas un tiek saukta par visu kopu sakārtots pāri, kuros . Mūsu piemērā:
- šeit ierakstīšanas shēma ir līdzīga: pirmkārt, mēs secīgi pievienojam visus komplekta elementus “mīnus viens”, pēc tam “de” - tie paši elementi:

Bet tas ir tikai ērtības labad - abos gadījumos pārus var uzskaitīt jebkurā secībā - svarīgi šeit pierakstīt visi iespējamie pāri.

Un tagad programmas svarīgākais punkts: Dekarta produkts ir nekas cits kā punktu kopums mūsu dzimtajā valodā Dekarta koordinātu sistēma .

Uzdevums pašfiksējošam materiālam:

Veiciet darbības, ja:

Daudz ir ērti to aprakstīt, uzskaitot tā elementus.

Un iedoma ar reālo skaitļu intervāliem:

Atgādiniet, ka kvadrātiekava nozīmē iekļaušana skaitļus intervālā un apaļu - to izslēgšana, tas ir, "mīnus viens" pieder kopai un "trīs" nē pieder komplektam. Mēģiniet izdomāt, kāds ir šo komplektu Dekarta produkts. Ja rodas grūtības, seko zīmējumam ;)

Ātrs risinājums uzdevumi nodarbības beigās.

Iestatīt displeju

Displejs iestatīt uz iestatīt ir noteikums, saskaņā ar kuru katrs kopas elements ir saistīts ar kopas elementu (vai elementiem). Gadījumā, ja tas atbilst vienīgais elements, šo noteikumu sauc skaidri definēts funkcija vai vienkārši funkcija.

Funkciju, kā daudzi zina, visbiežāk apzīmē ar burtu – tas asociējas katram elements ir vienīgā kopai piederošā vērtība.

Nu, tagad es atkal traucēšu daudziem 1. rindas studentiem un piedāvāšu viņiem 6 tēmas abstraktiem (komplektam):

Uzstādīts (brīvprātīgi vai piespiedu kārtā =)) noteikums saista katru kopas studentu ar vienu kopas kopsavilkuma tēmu.

...un jūs, iespējams, pat nevarējāt iedomāties, ka spēlēsit funkcijas argumenta lomu =) =)

Komplekta formas elementi domēns funkcijas (apzīmē ar ), un kopas elementi - diapazons funkcijas (apzīmētas ar ).

Konstruētajam kopu kartējumam ir ļoti svarīga īpašība: tā ir viens pret vienu vai objektīvs(bijection). IN šis piemērs tas nozīmē, ka katram students ir izlīdzināts viens unikāls esejas tēma un otrādi - katram vienu un tikai vienu studentu nosaka abstraktā tēma.

Tomēr nevajadzētu domāt, ka katra kartēšana ir objektīva. Ja 7.skolēnu pieskaita 1.rindai (komplektam),tad pazudīs sarakste viens pret vienu -vai arī kāds no skolēniem paliks bez tēmas (nav displeja vispār), vai kāda tēma nonāks uzreiz diviem studentiem. Pretēja situācija: ja komplektam tiek pievienota septītā tēma, tad tiks zaudēta arī kartēšana viens pret vienu - viena no tēmām paliks nepieprasīta.

Cienījamie studenti, 1.rindā neesiet sarūgtināti - atlikušie 20 cilvēki pēc stundām dosies sakopt augstskolas teritoriju no rudens lapotnēm. Piegādes menedžeris iedos divdesmit goliku, pēc tam tiks nodibināta savstarpēja sarakste starp grupas galveno daļu un slotiņām ... un arī Voldemāram būs laiks aizskriet uz veikalu =)). unikāla"y", un otrādi - jebkurai "y" vērtībai mēs varam viennozīmīgi atjaunot "x". Tādējādi tā ir bijektīva funkcija.

! Katram gadījumam novēršu iespējamo pārpratumu: mana pastāvīgā atruna par tvērumu nav nejauša! Funkcija var nebūt definēta visiem "x", turklāt arī šajā gadījumā tā var būt viens pret vienu. Tipisks piemērs:

Bet plkst kvadrātiskā funkcija nekas tāds nav novērots, pirmkārt:
- t.i., dažādas nozīmes"x" parādījās tas pats kas nozīmē "y"; un otrkārt: ja kāds aprēķināja funkcijas vērtību un mums teica, ka , tad nav skaidrs - šis “y” tika iegūts pie vai pie ? Lieki piebilst, ka no savstarpējas nepārprotamības te nav pat ne smakas.

2. uzdevums: skats elementāru pamatfunkciju grafiki un uzrakstiet uz papīra lapas bijektīvas funkcijas. Kontrolsaraksts šīs nodarbības beigās.

Iestatiet jaudu

Intuīcija liecina, ka termins raksturo kopas lielumu, proti, tās elementu skaitu. Un intuīcija mūs nemaldina!

Tukšas kopas kardinalitāte ir nulle.

Komplekta kardinalitāte ir seši.

Krievu alfabēta burtu kopas jauda ir trīsdesmit trīs.

Kopumā spēks jebkuram galīgais kopa ir vienāda ar šīs kopas elementu skaitu.

... varbūt ne visi līdz galam saprot, kas tas ir galīgais komplekts - ja sāk skaitīt šīs kopas elementus, tad agri vai vēlu skaitīšana beigsies. Ko sauc, un ķīnieši kādreiz beigsies.

Protams, kopas var salīdzināt kardinalitātē, un to vienlīdzību šajā nozīmē sauc vienāda jauda. Ekvivalence ir definēta šādi:

Divas kopas ir līdzvērtīgas, ja starp tām var izveidot savstarpēju atbilstību..

Studentu kopa ir līdzvērtīga abstraktu tēmu kopai, krievu alfabēta burtu kopa ir līdzvērtīga jebkurai 33 elementu kopai utt. Ievērojiet, ko tieši jebkurš 33 elementu kopa - šajā gadījumā nozīme ir tikai to skaitam. Krievu alfabēta burtus var salīdzināt ne tikai ar daudziem cipariem
1, 2, 3, ..., 32, 33, bet arī kopumā ar 33 govju ganāmpulku.

Lietas ir daudz interesantākas ar bezgalīgiem komplektiem. Arī bezgalības ir dažādas! ...zaļš un sarkans "Mazākās" bezgalīgās kopas ir skaitīšana komplekti. Ja tas ir pavisam vienkārši, tad šāda komplekta elementus var numurēt. Atsauces piemērs ir naturālu skaitļu kopa . Jā – tas ir bezgalīgs, bet katram tā elementam PRINCIPA ir skaitlis.

Piemēru ir ļoti daudz. Jo īpaši visu pāra naturālo skaitļu kopa ir saskaitāma. Kā to pierādīt? Ir nepieciešams noteikt tā vienlīdzību ar naturālo skaitļu kopu vai vienkārši numurēt elementus:

Tiek izveidota atbilstība viens pret vienu, tāpēc kopas ir līdzvērtīgas un kopa ir saskaitāma. Paradoksāli, bet no varas viedokļa - pāra naturālu skaitļu ir tikpat daudz, cik naturālo!

Arī veselo skaitļu kopa ir saskaitāma. Tās elementus var numurēt, piemēram, šādi:

Turklāt racionālo skaitļu kopa ir arī saskaitāma. . Tā kā skaitītājs ir vesels skaitlis (un, kā tikko parādīts, tos var numurēt), un saucējs ir naturāls skaitlis, tad agri vai vēlu “tiksim” pie jebkuras racionālas daļskaitļa un piešķirsim tai skaitli.

Bet reālo skaitļu kopa jau ir neskaitāmas, t.i. tā elementus nevar numurēt. Šis fakts lai gan tas ir acīmredzams, tas ir stingri pierādīts kopu teorijā. Tiek saukta arī reālo skaitļu kopas kardinalitāte kontinuums, un, salīdzinot ar saskaitāmām kopām, šī ir "bezgalīgāka" kopa.

Tā kā starp kopu un skaitļu līniju pastāv savstarpēja atbilstība (Skatīt iepriekš), tad arī reālās līnijas punktu kopa ir neskaitāmas. Un vēl vairāk – kilometra un milimetra segmentā ir vienāds punktu skaits! Klasisks piemērs:

Pagriežot staru pretēji pulksteņrādītāja virzienam, līdz tas sakrīt ar staru, mēs noteiksim vienu pret vienu atbilstību starp zilo segmentu punktiem. Tādējādi segmentā ir tik daudz punktu, cik segmentā un !

Šis paradokss, acīmredzot, ir saistīts ar bezgalības noslēpumu... bet tagad mēs neuztraucamies ar Visuma problēmām, jo nākamais solis ir

2. uzdevums Funkcijas viens pret vienu nodarbību ilustrācijās

Nodarbības mērķi:

izglītojošs: prasmju veidošana, lai identificētu kopas, apakškopas; prasmju veidošanās, lai attēlos atrastu kopu krustošanās un savienojuma zonu un nosauktu elementus no šīs zonas, risinātu problēmas;
attīstība: attīstība kognitīvā interese studenti; indivīda intelektuālās sfēras attīstība, salīdzināšanas un vispārināšanas prasmju attīstība.
izglītojošs: audzināt precizitāti un uzmanību lēmumu pieņemšanā.

Nodarbību laikā.

1. Organizatoriskais moments.

2. Skolotājs ziņo par stundas tēmu, kopā ar skolēniem formulē mērķus un uzdevumus.

3. Skolotājs kopā ar skolēniem atsauc atmiņā apgūto materiālu par tēmu “Komplekti” 7. klasē, iepazīstina ar jauniem jēdzieniem un definīcijām, formulām uzdevumu risināšanai.

“Daudz ir daudz, mēs uzskatām par vienu” (kopu teorijas pamatlicējs - Georgs Kantors). Kantors Georgs (1845-1918) - vācu matemātiķis, loģiķis, teologs, transfinito (bezgalīgo) kopu teorijas veidotājs, kam bija izšķiroša ietekme uz matemātikas zinātņu attīstību 19. un 20. gadsimta mijā.

Komplekts ir viens no mūsdienu matemātikas pamatjēdzieniem, ko izmanto gandrīz visās tā sadaļās.

Diemžēl teorijas pamatjēdzienam - kopas jēdzienam - nevar dot stingru definīciju. Protams, var teikt, ka komplekts ir "kolekcija", "kolekcija", "ansamblis", "kolekcija", "ģimene", "sistēma", "klase" utt., tomēr tas viss nebūtu matemātisks. definīcija, bet gan krievu valodas vārdu krājuma ļaunprātīga izmantošana.

Lai definētu jebkuru jēdzienu, vispirms ir jānorāda, kurš konkrēts gadījums vairāk vispārējs jēdziens, tā ir, kopas jēdzienam to nav iespējams izdarīt, jo matemātikā nav vispārīgāka jēdziena par kopu.

Bieži nākas runāt par vairākām lietām, ko vieno kāda zīme. Tātad, mēs varam runāt par visu istabas krēslu komplektu, par visu šūnu komplektu cilvēka ķermenis, visu kartupeļu kopums dotajā maisā, visu okeāna zivju kopums, visu kvadrātu kopums plaknē, visu punktu kopums uz dotā apļa utt.

Objektus, kas veido doto kopu, sauc par tās elementiem.

Piemēram, nedēļas dienu kopa sastāv no elementiem: pirmdiena, otrdiena, trešdiena, ceturtdiena, piektdiena, sestdiena, svētdiena.

Daudzi mēneši - no elementiem: janvāris, februāris, marts, aprīlis, maijs, jūnijs, jūlijs, augusts, septembris, oktobris, novembris, decembris.

Daudz aritmētiskās darbības- no elementiem: saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, dalīšana.

Piemēram, ja A nozīmē visu naturālo skaitļu kopu, tad 6 pieder pie A, bet 3 nepieder pie A.

Ja A ir visu mēnešu kopa gadā, tad maijs pieder A, bet trešdiena nepieder A.

Ja kopa satur ierobežotu skaitu elementu, tad to sauc par galīgu, un, ja tajā ir bezgalīgs skaits elementu, tad to sauc par bezgalīgu. Tātad koku kopa mežā ir ierobežota, bet punktu kopa uz apļa ir bezgalīga.

Paradokss loģikā- šī ir pretruna, kurai ir loģiski pareiza secinājuma statuss, un tajā pašā laikā tā ir argumentācija, kas noved pie savstarpēji izslēdzošiem secinājumiem.

Kā jau minēts, kopas jēdziens ir matemātikas pamatā. Izmantojot vienkāršākās kopas un dažādas matemātiskas konstrukcijas, var uzbūvēt gandrīz jebkuru matemātisko objektu. Ideju veidot visu matemātiku uz kopu teorijas pamata aktīvi virzīja G. Kantors. Tomēr, neskatoties uz visu savu vienkāršību, kopas jēdziens ir pilns ar pretrunu vai, kā saka, paradoksu briesmām. Paradoksu parādīšanās ir saistīta ar to, ka nevar ņemt vērā visas konstrukcijas un ne visas kopas.

Vienkāršākais no paradoksiem ir " friziera paradokss".

Vienam karavīram pavēlēja noskuties tos un tikai tos sava pulka karavīrus, kuri neskujas. Kā zināms, pavēles neievērošana armijā ir vissmagākais noziegums. Taču radās jautājums, vai šim karavīram vajadzētu noskūties. Ja viņš skūst, tad viņš ir jāpieskaita tiem daudzajiem karavīriem, kuri skūst sevi, un viņam nav tiesību tādu skūt. Ja viņš neskujas, viņš iekritīs to karavīru pulkā, kuri neskujas, un saskaņā ar pavēli viņam ir pienākums noskūt šādus karavīrus. Paradokss.

Uz kopām, kā arī daudziem citiem matemātiskiem objektiem var veikt dažādas darbības, kuras dažkārt sauc par kopu teorētiskajām operācijām vai kopu operācijām. Operāciju rezultātā tiek iegūti jauni komplekti no oriģinālajiem komplektiem. Kopas apzīmē ar lielajiem latīņu burtiem, bet to elementus ar mazajiem burtiem. Ierakstīšana a R nozīmē, ka elements bet pieder komplektam R, t.i bet R. Citādi, kad bet komplektā neietilpst R, rakstiet a R .

Divi komplekti BET Un IN sauca vienāds (BET =IN), ja tie sastāv no vieniem un tiem pašiem elementiem, tas ir, no katra kopas elementa BET ir komplekta elements IN un otrādi, katrs komplekta elements IN ir komplekta elements BET .

Iestatīt salīdzinājumu.

Kopa A ir ietverta kopā B (kopa B ietver kopu A), ja katrs A elements ir B elements:

Viņi saka, ka daudzi BET ietverts daudzos IN vai iestatīt BET ir apakškopa komplekti IN(šajā gadījumā rakstiet BET IN), ja katrs kopas elements BET ir arī komplekta elements IN. Šo attiecību starp kopām sauc iekļaušana . Jebkuram komplektam BET ir ieslēgumi: Ø BET Un BET BET

Šajā gadījumā A sauca apakškopa B, B - superset A. Ja , tad A sauca pašu apakškopu IN. ievērojiet, tas ,

Pēc definīcijas ,

Abas kopas tiek sauktas vienāds ja tās ir viena otras apakškopas

Operācijas komplektos

krustojums.

savienība.

Īpašības.

1. Kopu savienības darbība ir komutatīva

2. Kopu savienības darbība ir pārejoša

3. Tukša kopa X ir kopu savienības darbības neitrāls elements

1. Pieņemsim, ka A = (1,2,3,4), B = (3,4,5,6,7). Tad

2. A \u003d (2,4,6,8,10), B \u003d (3,6,9,12). Atradīsim šo kopu savienību un krustpunktu:

{2,4,6,8, 10,3,6,9,12}, = {6}.

3. Bērnu kopa ir kopējās populācijas apakškopa

4. Veselo skaitļu kopas krustpunkts ar pozitīvo skaitļu kopu ir naturālo skaitļu kopa.

5. Racionālo skaitļu kopas savienojums ar iracionālo skaitļu kopu ir pozitīvo skaitļu kopa.

6. Nulle ir naturālo skaitļu kopas papildinājums attiecībā pret nenegatīvo veselo skaitļu kopu.

Venna diagrammas(Venna diagrammas) - parastais nosaukums vairākas vizualizācijas metodes un grafiskās ilustrācijas metodes, ko plaši izmanto dažādās zinātnes un matemātikas jomās: kopu teorija, faktiski "Venna diagramma" parāda visu iespējamās attiecības starp komplektiem vai notikumiem no kādas ģimenes; šķirnes venn diagrammas ir: Eilera diagrammas,

Četru komplektu Venna diagramma.

Patiesībā "Venna diagramma" parāda visas iespējamās attiecības starp komplektiem vai notikumiem no kādas ģimenes. Parastajā Venna diagrammā ir trīs komplekti. Pats Venns mēģināja atrast graciozs veids ar simetriskām formām attēlot diagrammā vairāk komplektiem, taču viņš to spēja izdarīt tikai četrām kopām (skat. attēlu pa labi), izmantojot elipses.

Eilera diagrammas

Eilera diagrammas ir līdzīgas Venna diagrammām.Eilera diagrammas var izmantot, lai novērtētu kopu teorētisko identitāšu iespējamību.

1. uzdevums. Klasē ir 30 cilvēki, no kuriem katrs dzied vai dejo. Zināms, ka dzied 17 cilvēki, bet dejot prot 19 cilvēki. Cik cilvēku vienlaikus dzied un dejo?

Risinājums: Pirmkārt, mēs atzīmējam, ka no 30 cilvēkiem 30–17 = 13 cilvēki neprot dziedāt.

Viņi visi prot dejot, jo atbilstoši kondīcijai dzied vai dejo katrs klases audzēknis. Kopumā dejot var 19 cilvēki, no tiem 13 nevar dziedāt, kas nozīmē, ka vienlaikus var dejot un dziedāt 19-13 = 6 cilvēki.

Problēmas kopu krustpunktā un savienojumā.

Ir dotas kopas A = (3,5, 0, 11, 12, 19), B = (2,4, 8, 12, 18,0).
Atrodiet komplektus AU B,
Izveidojiet vismaz septiņus vārdus, kuru burti veido kopas apakškopas
A - (k, a, p, y, s, e, l, b).
Lai A ir naturālu skaitļu kopa, kas dalās ar 2, un B ir naturālo skaitļu kopa, kas dalās ar 4. Kādu secinājumu var izdarīt par šīm kopām?
Uzņēmumā strādā 67 darbinieki. No tiem 47 zina angļu valoda, 35 ir vācu valodas un 23 ir abas valodas. Cik daudz cilvēku uzņēmumā nerunā angliski vai vāciski?
No 40 mūsu klases skolēniem 32 garšo piens, 21 – limonāde, bet 15 – gan piens, gan limonāde. Cik bērniem mūsu klasē negaršo piens vai limonāde?
12 maniem klasesbiedriem patīk lasīt detektīvus, 18 patīk lasīt zinātnisko fantastiku, trīs no viņiem lasa abus ar prieku, un viens nelasa vispār neko. Cik skolēnu ir mūsu klasē?
No tiem 18 maniem klasesbiedriem, kuriem patīk skatīties trillerus, tikai 12 nevēlas skatīties multfilmas. Cik no maniem klasesbiedriem skatās tikai "multenes", ja mūsu klasē ir 25 skolēni, no kuriem katram patīk skatīties vai nu trillerus, vai multenes, vai abus?
No 29 mūsu pagalma zēniem tikai divi nenodarbojas ar sportu, pārējie apmeklē futbola vai tenisa sekcijas, vai pat abus. Futbolu spēlē 17 zēni un tenisu 19. Cik futbolistu spēlē tenisu? Cik tenisistu spēlē futbolu?
65% vecmāmiņas trušu mīl burkānus, 10% mīl gan burkānus, gan kāpostus. Cik procenti trušu nevēlas ēst kāpostus?
Vienā klasē mācās 25 skolēni. No tiem 7 mīlas bumbieri, 11 mīlas ķirši. Divi kā bumbieri un ķirši; 6 - bumbieri un āboli; 5 - āboli un ķirši. Bet klasē ir divi skolēni, kuri mīl visu, un četri, kuriem augļi nemaz negaršo. Cik daudziem skolēniem šajā klasē garšo āboli?
Skaistumkonkursā piedalījās 22 meitenes. No tiem 10 bija skaistas, 12 bija gudras un 9 bija laipnas. Tikai 2 meitenes bija gan skaistas, gan gudras; 6 meitenes bija gudras un laipnas vienlaikus. Nosakiet, cik skaistu un tajā pašā laikā laipnu meiteņu bija, ja es jums saku, ka dalībnieku vidū nebija nevienas gudras, laipnas un tajā pašā laikā skaista meitene?
Mūsu klasē mācās 35 skolēni. Pirmajā ceturksnī no pieciem krievu valodā bija 14 skolēni; matemātikā - 12; vēsturē - 23; krievu valodā un matemātikā - 4; matemātikā un vēsturē - 9; krievu valodā un vēsturē - 5. Cik skolēniem ir piecinieki visos trīs priekšmetos, ja klasē nav neviena skolēna, kuram nebūtu piecinieku vismaz vienā no šiem priekšmetiem?
No 100 cilvēkiem 85 runā angliski, 80 runā spāniski un 75 runā vāciski. Visi runā vismaz vienā svešvalodā. Viņu vidū nav tādu, kas zina divas svešvalodas, bet ir tādi, kas runā trīs valodās. Cik no šiem 100 cilvēkiem zina trīs valodas?
No uzņēmuma darbiniekiem 16 apmeklēja Franciju, 10 - Itāliju, 6 - Angliju; Anglijā un Itālijā - 5; Anglijā un Francijā - 6; visās trīs valstīs - 5 darbinieki. Cik cilvēku ir apmeklējuši gan Itāliju, gan Franciju, ja kompānijā ir 19 cilvēki, un katrs ir apmeklējis vismaz vienu no šīm valstīm?