Integrālis un tā praktiskais pielietojums. Kursa darba integrāļa pielietojums

Pētījuma tēma

Integrālrēķina pielietošana ģimenes izdevumu plānošanā

Problēmas atbilstība

Arvien vairāk sociālajos un ekonomikas sfēras aprēķinot ienākumu sadales nevienlīdzības pakāpi, tiek izmantota matemātika, proti, integrālrēķins. studējot praktiska izmantošana mēs iegūstam integrāli:

Kā integrālis un platības aprēķināšana, izmantojot integrāli, palīdz sadalīt materiālu izmaksas?

Kā integrālis palīdzēs ietaupīt naudu atvaļinājumam.

Mērķis

plānot ģimenes izdevumus, izmantojot integrālo aprēķinu

Uzdevumi

Izpētīt ģeometriskā nozīme neatņemama.
Apsveriet integrācijas metodes sociālajā un ekonomiskajā dzīves jomā.
Sastādiet ģimenes materiālo izmaksu prognozi, remontējot dzīvokli, izmantojot integrāli.
Aprēķiniet ģimenes enerģijas patēriņa apjomu gadā, ņemot vērā integrālo aprēķinu.
Aprēķiniet krājdepozīta summu Sberbank atvaļinājumam.

Hipotēze

integrālrēķins palīdz ekonomiskos aprēķinos, plānojot ģimenes ienākumus un izdevumus.

Pētījuma posmi

Mēs pētījām integrāļa ģeometrisko nozīmi un integrācijas metodes sociālajā un ekonomiskajā dzīves jomā.
Dzīvokļa remontam nepieciešamās materiālu izmaksas aprēķinājām, izmantojot integrāli.
Rēķinājām elektrības patēriņa apjomu dzīvoklī un elektrības izmaksas ģimenei uz gadu.
Mēs apsvērām vienu no iespējām, kā savākt ģimenes ienākumus, izmantojot noguldījumus Sberbank, izmantojot integrāli.

Pētījuma objekts

integrālrēķins sociālajā un ekonomiskajā dzīves jomā.

Metodes

Literatūras analīze par tēmu "Integrāļa aprēķina praktiskā pielietošana"
Integrācijas metožu izpēte skaitļu laukumu un tilpumu aprēķināšanas uzdevumu risināšanā, izmantojot integrāli.
Ģimenes izdevumu un ienākumu analīze, izmantojot integrālo aprēķinu.

Darba process

Literatūras apskats par tēmu "Integrālrēķina praktiskā pielietošana"
Problēmu sistēmas risināšana figūru laukumu un tilpumu aprēķināšanai, izmantojot integrāli.
Ģimenes izdevumu un ienākumu aprēķins, izmantojot integrālo aprēķinu: telpu remonts, elektrības apjoms, noguldījumi Sberbankā atvaļinājumam.

Mūsu rezultāti

Kā integrālis un apjoma aprēķināšana ar integrāļa palīdzību palīdz prognozēt elektroenerģijas patēriņa apjomu?

secinājumus

Dzīvokļa remontam nepieciešamo līdzekļu ekonomisko aprēķinu var veikt ātrāk un precīzāk, izmantojot integrālo aprēķinu.

Ģimenes elektroenerģijas patēriņu ir vienkāršāk un ātrāk aprēķināt, izmantojot integrālo aprēķinu un Microsoft Office Excel, kas nozīmē ģimenes elektroenerģijas izmaksu prognozēšanu gadam.

Peļņu no noguldījumiem krājkasē var aprēķināt, izmantojot integrālo aprēķinu, kas nozīmē ģimenes atvaļinājuma plānošanu.

Resursu saraksts

Drukātie izdevumi:

Mācību grāmata. Algebra un analīzes sākums 10-11 klase. A.G. Mordkovičs. Mnemosīns. M: 2007. gads
Mācību grāmata. Algebra un analīzes sākums 10-11 klase. A. Kolmogorovs Apgaismība. M: 2007. gads
Matemātika sociologiem un ekonomistiem. Akhtjamovs A.M. M.: FIZMATLIT, 2004. - 464 lpp.
Integrālā aprēķins.Uzziņu grāmata Augstākā matemātika M. Ya. Vigodskis, Apgaismība, 2000

Ivanovs Sergejs, students gr.14-EOP-33D

Darbu var izmantot vispārinošā nodarbībā par tēmām "Atvasinājums", "Integrāls".

Lejupielādēt:

Priekšskatījums:

Lai izmantotu prezentāciju priekšskatījumu, izveidojiet sev kontu ( konts) Google un pierakstieties: https://accounts.google.com

Slaidu paraksti:

GBPOU KNT viņiem. B. I. Korņilova Pētījumi par tēmu: "Atvasinājumu un integrāļu izmantošana fizikā, matemātikā un elektrotehnikā." Studentu gr. 2014-eop-33d Ivanovs Sergejs.

1. Atvasinājuma parādīšanās vēsture. 17. gadsimta beigās izcilais angļu zinātnieks Īzaks Ņūtons pierādīja, ka ceļš un ātrums ir savstarpēji saistīti ar formulu: V (t) \u003d S '(t), un šāda saistība pastāv starp visdažādāko kvantitatīvajām īpašībām. pētāmie procesi: fizika, (a \u003d V '= x '' , F = ma = m * x '' , impulss P = mV = mx ' , kinētiskais E = mV 2 /2= mx ' 2 /2), ķīmijā, bioloģijā un inženierzinātnēs. Šis Ņūtona atklājums bija pagrieziena punkts dabaszinātņu vēsturē.

1. Atvasinājuma parādīšanās vēsture. Gods atklāt pamatlikumus matemātiskā analīze kopā ar Ņūtonu pieder vācu matemātiķim Gotfrīdam Vilhelmam Leibnicam. Pie šiem likumiem Leibnics nonāca, atrisinot patvaļīgas līknes pieskares zīmēšanas problēmu, t.i. formulēja atvasinājuma ģeometrisko nozīmi, ka atvasinājuma vērtība saskares punktā ir slīpums pieskares vai tg pieskares slīpuma leņķis ar O X ass pozitīvo virzienu. Terminu atvasinājums un mūsdienu apzīmējumus y ’ , f ’ ieviesa Dž.Lagrenžs 1797. gadā.

2. Integrāļa parādīšanās vēsture. Integrāļa un integrāļa aprēķina jēdziens radās no nepieciešamības aprēķināt jebkuru figūru laukumu (kvadrātizāciju) un patvaļīgu ķermeņu tilpumus (kubatūru). Integrālrēķinu aizvēsture aizsākās senatnē. Pirmā zināmā integrāļu aprēķināšanas metode ir līknes figūru laukuma vai tilpuma izpētes metode - Eudoxus izsmelšanas metode (Eudoxus of Cnidus (ap 408 BC - ap 355 BC) - sengrieķu matemātiķis, mehāniķis un astronoms), kas tika ierosināts ap 370. gadu pirms mūsu ēras. e. Šīs metodes būtība ir šāda: figūra, kuras laukumu vai tilpumu mēģināja atrast, tika sadalīta bezgalīgi daudzās daļās, kurām jau ir zināms laukums vai tilpums.

"Izsmelšanas metode" Pieņemsim, ka mums ir jāaprēķina citrona tilpums neregulāra forma, un tāpēc piemēro jebkuru zināma formula apjoms nav iespējams. Izmantojot svēršanu, ir arī grūti noteikt tilpumu, jo citrona blīvums ir iekšā dažādas daļas tā savādāka. Turpināsim šādi. Citronu sagriež plānās šķēlēs. Katru šķēli var aptuveni uzskatīt par cilindru, pamatnes rādiusu, ko var izmērīt. Šāda cilindra tilpumu var viegli aprēķināt no gatava formula. Saskaitot mazo cilindru tilpumus, iegūstam visa citrona tilpuma aptuveno vērtību. Aptuvenais rezultāts būs precīzāks, jo plānākas daļas mēs varam sagriezt citronu.

2. Integrāļa parādīšanās vēsture. Pēc Eudoksa "izsmelšanas" metodi un tās variantus tilpumu un laukumu aprēķināšanai izmantoja senais zinātnieks Arhimēds. Veiksmīgi attīstot savu priekšgājēju idejas, viņš noteica apkārtmēru, apļa laukumu, bumbiņas tilpumu un virsmu. Viņš parādīja, ka sfēras, elipsoīda, hiperboloīda un apgriezienu paraboloīda tilpumu noteikšana tiek samazināta līdz cilindra tilpuma noteikšanai.

Diferenciālvienādojumu teorijas pamatā bija Leibnica un Ņūtona radītais diferenciālrēķins. Terminu "diferenciālvienādojums" 1676. gadā ierosināja Leibnics. 3. Diferenciālvienādojumu parādīšanās vēsture. Sākotnēji diferenciālvienādojumi radās no mehānikas problēmām, kurās bija nepieciešams noteikt ķermeņu koordinātas, to ātrumus un paātrinājumus, kas tika uzskatīti par laika funkcijām dažādu iedarbībā. Dažas no tajā laikā aplūkotajām ģeometriskajām problēmām arī noveda pie diferenciālvienādojumiem.

3. Diferenciālvienādojumu parādīšanās vēsture. No milzīgā 17. gadsimta darbu skaita par diferenciālvienādojumiem izceļas Eilera (1707-1783) un Lagredža (1736-1813) darbi. Šajos darbos vispirms tika izstrādāta mazo svārstību teorija un līdz ar to arī teorija. lineārās sistēmas diferenciālvienādojumi; Pa ceļam radās lineārās algebras pamatjēdzieni ( īpašvērtības un vektori n-dimensiju gadījumā). Sekojot Ņūtonam, Laplass un Lagrenžs un vēlāk Gauss (1777-1855) arī izstrādāja perturbācijas teorijas metodes.

4. Atvasinājuma un integrāļa pielietojums matemātikā: Matemātikā atvasinājumu plaši izmanto daudzu uzdevumu, vienādojumu, nevienādību risināšanā, kā arī funkcijas izpētes procesā. Piemērs: Algoritms funkcijas izpētei ekstrēmumam: 1)O.O.F. 2) y ′=f ′(x), f ′(x)=0 un atrisiniet vienādojumu. 3) O.O.F. sadaliet to intervālos. 4) Nosakām atvasinājuma zīmi katrā intervālā. Ja f ′(x)>0, tad funkcija pieaug. Ja f′(x)

4. Atvasinājuma un integrāļa pielietojums matemātikā: integrāli (noteikto integrāli) izmanto matemātikā (ģeometrijā), lai atrastu līknes trapeces laukumu. Piemērs: Algoritms plakanas figūras laukuma atrašanai, izmantojot noteiktu integrāli: 1) Mēs izveidojam norādīto funkciju grafiku. 2) Norādiet skaitli, ko ierobežo šīs līnijas. 3) Atrodiet integrācijas robežas, pierakstiet noteikto integrāli un aprēķiniet to.

5. Atvasinājuma un integrāļa pielietojums fizikā. Fizikā atvasinājumu galvenokārt izmanto problēmu risināšanai, piemēram: jebkura ķermeņa ātruma vai paātrinājuma atrašanai. Piemērs: 1) Punkta kustības likumu pa taisni nosaka formula s(t)= 10t^2 , kur t ir laiks (sekundēs), s(t) ir punkta novirze laiks t (metros) no sākotnējās pozīcijas. Atrast ātrumu un paātrinājumu laikā t, ja: t=1,5 s. 2) Materiālais punkts kustas taisni saskaņā ar likumu x(t)= 2+20t+5t2. Atrast ātrumu un paātrinājumu laikā t=2s (x ir punkta koordināte metros, t ir laiks sekundēs).

Fizikālais daudzums Vidējā vērtība Momentānā vērtība Ātrums Paātrinājums Leņķiskais ātrums Strāvas stiprums Jauda

5. Atvasinājuma un integrāļa pielietojums fizikā. Integrālis tiek izmantots arī tādās problēmās kā ātruma vai attāluma noteikšana. Ķermenis kustas ar ātrumu v(t) = t + 2 (m/s). Atrodiet ceļu, kuru ķermenis veiks 2 sekunžu laikā pēc kustības sākuma. Piemērs:

6. Atvasinājuma un integrāļa pielietojums elektrotehnikā. Atvasinājums ir atradis pielietojumu arī elektrotehnikā. Ķēdē elektriskā strāva elektriskais lādiņš mainās laika gaitā saskaņā ar likumu q=q (t). Strāva I ir lādiņa q atvasinājums attiecībā pret laiku. I=q ′(t) Piemērs: 1) Caur vadītāju plūstošais lādiņš mainās atbilstoši likumam q=sin(2t-10) Atrast strāvas stiprumu brīdī t=5 sek. Integrāli elektrotehnikā var izmantot, lai atrisinātu apgrieztās problēmas, t.i. elektriskā lādiņa atrašana, zinot strāvas stiprumu utt. 2) Elektrisko lādiņu, kas plūst caur vadītāju, sākot no brīža t \u003d 0, nosaka pēc formulas q (t) \u003d 3t2 + t + 2. Atrodiet strāvas stiprumu laikā t \u003d 3 s. Integrāli elektrotehnikā var izmantot, lai atrisinātu apgrieztās problēmas, t.i. elektriskā lādiņa atrašana, zinot strāvas stiprumu utt.

Integrāļa jēdziens ir plaši pielietojams dzīvē. Integrāļi tiek izmantoti dažādās zinātnes un tehnoloģiju jomās. Galvenie uzdevumi, kas aprēķināti, izmantojot integrāļus, ir uzdevumi:

1. Ķermeņa tilpuma atrašana

2. Ķermeņa masas centra atrašana.

Apskatīsim katru no tiem sīkāk. Šeit un tālāk, lai apzīmētu kādas funkcijas f(x) noteiktu integrāli ar integrācijas ierobežojumiem no a līdz b, mēs izmantosim šādu apzīmējumu ∫ a b f(x).

Ķermeņa tilpuma atrašana

Apsveriet šādu attēlu. Pieņemsim, ka ir kāds ķermenis, kura tilpums ir vienāds ar V. Ir arī tāda taisne, ka, paņemot noteiktu plakni, kas ir perpendikulāra šai taisnei, būs zināms šī ķermeņa šķērsgriezuma laukums S pēc šīs plaknes.

Katra šāda plakne būs perpendikulāra x asij un tāpēc krustos to kādā punktā x. Tas ir, katram punktam x no segmenta tiks piešķirts skaitlis S (x) - ķermeņa šķērsgriezuma laukums, plakne, kas iet caur šo punktu.

Izrādās, ka segmentam tiks dota kāda funkcija S(x). Ja šī funkcija ir nepārtraukta šajā segmentā, būs derīga šāda formula:

V = ∫ a b S(x)dx.

Šī apgalvojuma pierādījums ir ārpus skolas mācību programmas darbības jomas.

Ķermeņa masas centra aprēķināšana

Fizikā visbiežāk izmanto masas centru. Piemēram, ir kāds ķermenis, kas pārvietojas ar jebkuru ātrumu. Bet ir neērti uzskatīt lielu ķermeni, un tāpēc fizikā šis ķermenis tiek uzskatīts par punkta kustību, pieņemot, ka šim punktam ir tāda pati masa kā visam ķermenim.

Un ķermeņa masas centra aprēķināšanas uzdevums ir galvenais šajā jautājumā. Jo ķermenis ir liels, un kurš punkts ir jāņem par masas centru? Varbūt tas, kas atrodas ķermeņa vidū? Vai varbūt tuvākais punkts priekšējai malai? Šeit parādās integrācija.

Lai atrastu masas centru, tiek izmantoti šādi divi noteikumi:

1. Kādas materiālu punktu sistēmas A1, A2, A3, … An masas centra koordināte x' ar masām m1, m2, m3, … mn, kas atrodas uz taisnes punktos ar koordinātām x1, x2, x3, … xn tiek atrasts pēc šādas formulas:

x’ = (m1*x1 + ma*x2 + … + mn*xn)/(m1 + m2 + m3 +… + mn)

2. Aprēķinot masas centra koordinātas, jebkuru aplūkojamās figūras daļu var aizstāt ar materiālais punkts, vienlaikus novietojot to šīs atsevišķās figūras daļas masas centrā, un ņem masu, kas vienāda ar šīs figūras daļas masu.

Piemēram, ja masa ar blīvumu p(x) ir sadalīta pa stieni - Ox ass segmentu, kur p(x) ir nepārtraukta funkcija, tad masas centra koordināte x' būs vienāda ar.

Iedomājieties, ka mums ir kaut kāda atkarības funkcija no kaut kā.

Piemēram, grafikā var aptuveni attēlot mana darba ātrumu atkarībā no diennakts laika:

Es mēru ātrumu koda rindās minūtē, collās īsta dzīve Esmu datorprogrammētājs.

Darba apjoms ir darba likme, kas reizināta ar laiku. Tas ir, ja es uzrakstu 3 rindiņas minūtē, tad stundā saņemu 180. Ja mums ir šāds grafiks, varat uzzināt, cik daudz darba es izdarīju dienā: šī ir zona zem grafika. Bet kā to aprēķināt?

Sadalīsim grafiku vienāda platuma kolonnās, katru stundu. Un mēs padarīsim šo kolonnu augstumu vienādu ar darba ātrumu šīs stundas vidū.

Katras kolonnas laukumu atsevišķi ir viegli aprēķināt, tā platums jāreizina ar augstumu. Izrādās, ka katras pludmales kolonnas laukums ir aptuveni tas, cik daudz darba es pastrādāju katrā stundā. Un, ja jūs summējat visas kolonnas, jūs iegūstat aptuvenu manu dienas darbu.

Problēma ir tā, ka rezultāts būs aptuvens, bet mums vajag precīzs skaitlis. Sadalīsim diagrammu kolonnās pusstundu:

Attēlā redzams, ka šis jau ir daudz tuvāk tam, ko meklējam.

Tātad jūs varat samazināt diagrammas segmentus līdz bezgalībai, un katru reizi mēs tuvosimies apgabalam zem diagrammas. Un, kad kolonnu platumam ir tendence uz nulli, tad to laukumu summa tiecas uz laukumu zem diagrammas. To sauc par integrāli un apzīmē šādi:

Šajā formulā f(x) nozīmē funkciju, kas ir atkarīga no x vērtības, un burti a un b ir segments, uz kura mēs vēlamies atrast integrāli.

Kāpēc tas ir vajadzīgs?

Zinātnieki cenšas visas fizikālās parādības izteikt matemātiskas formulas veidā. Kad mums ir formula, mēs varam to izmantot, lai aprēķinātu jebko. Un integrālis ir viens no galvenajiem rīkiem darbam ar funkcijām.

Piemēram, ja mums ir apļa formula, mēs varam izmantot integrāli, lai aprēķinātu tā laukumu. Ja mums ir sfēras formula, tad mēs varam aprēķināt tās tilpumu. Ar integrācijas palīdzību tiek atrasta enerģija, darbs, spiediens, masa, elektriskais lādiņš un daudzi citi lielumi.

Nē, kāpēc man to vajag?

Jā, nekas – tāpat vien, ziņkārības pēc. Patiesībā integrāļi ir iekļauti pat skolas mācību programma, bet ne daudzi apkārtējie atceras, kas tas ir.

Noklikšķinot uz pogas "Lejupielādēt arhīvu", jūs bez maksas lejupielādēsit nepieciešamo failu.
Pirms šī faila lejupielādes atcerieties šīs labās esejas, kontroldarbus, kursa darbus, tēzes, raksti un citi dokumenti, kas atrodas jūsu datorā nepieprasīti. Tas ir jūsu darbs, tam vajadzētu piedalīties sabiedrības attīstībā un dot labumu cilvēkiem. Atrodiet šos darbus un nosūtiet tos zināšanu bāzei.
Mēs un visi studenti, maģistranti, jaunie zinātnieki, kuri izmanto zināšanu bāzi savās studijās un darbā, būsim jums ļoti pateicīgi.

Lai lejupielādētu arhīvu ar dokumentu, ievadiet piecciparu skaitli zemāk esošajā laukā un noklikšķiniet uz pogas "Lejupielādēt arhīvu"

Līdzīgi dokumenti

Iepazīšanās ar integrāļa jēdziena vēsturi. Integrālrēķina sadalījums, Ņūtona-Leibnica formulas atklāšana. Summas simbols; summas jēdziena paplašināšana. Apraksts par nepieciešamību izteikt visas fizikālās parādības matemātiskas formulas veidā.

prezentācija, pievienota 26.01.2015

Integrālrēķina idejas seno matemātiķu darbos. Izsmelšanas metodes iezīmes. Keplera toru tilpuma formulas atrašanas vēsture. Integrālrēķina principa teorētiskais pamatojums (Kavaljē princips). Noteikta integrāļa jēdziens.

prezentācija, pievienota 05.07.2016

Integrālrēķina vēsture. Dubultā integrāļa definīcija un īpašības. Tās ģeometriskā interpretācija, aprēķins Dekarta un polārās koordinātēs, tā reducēšana uz atkārtotu. Pielietojums ekonomikā un ģeometrijā apjomu un laukumu aprēķināšanai.

kursa darbs, pievienots 16.10.2013

Līklīnijas integrāļa pār koordinātām definīcija, galvenās īpašības un aprēķins. Līklīnijas integrāļa neatkarības nosacījums no integrācijas ceļa. Figūru laukumu aprēķināšana, izmantojot dubulto integrāli. Izmantojot Grīna formulu.

tests, pievienots 23.02.2011

Noteikta integrāļa pastāvēšanas nosacījumi. Integrālrēķina pielietojums. Integrālrēķins ģeometrijā. Noteiktā integrāļa mehāniskais pielietojums. Integrālrēķins bioloģijā. Integrālrēķins ekonomikā.

kursa darbs, pievienots 21.01.2008

Integrāļu un diferenciālrēķinu vēsture. Noteiktā integrāļa pielietojumi dažu mehānikas un fizikas problēmu risināšanā. Plaknes līkņu masas momenti un centri, Guldena teorēma. Diferenciālvienādojumi. Problēmu risināšanas piemēri programmā MatLab.

abstrakts, pievienots 09.07.2009

Stieltjes integrāļa jēdziens. Galvenie noteikumi Stieltjes integrāļa esamība, tā esamības gadījumu klases un pāreja līdz robežai zem tā zīmes. Stieltjes integrāļa samazināšana pret Rīmaņa integrāli. Pielietojums varbūtību teorijā un kvantu mehānikā.

diplomdarbs, pievienots 20.07.2009