Kuba saknes funkcijas grafiks. Jaudas funkcija un saknes - definīcija, īpašības un formulas

Puiši, mēs turpinām pētīt jaudas funkcijas. Šodienas nodarbības tēma būs funkcija – x ​​kuba sakne. Kas ir kuba sakne? Skaitli y sauc par x kuba sakni (trešās pakāpes sakni), ja vienādība ir izpildīta Apzīmējiet:, kur x ir radikāls skaitlis, 3 ir eksponents.

Kā redzam, kuba sakni var iegūt arī no negatīviem skaitļiem. Izrādās, ka mūsu sakne pastāv visiem skaitļiem. Negatīvā skaitļa trešā sakne ir vienāda ar negatīvu skaitli. Paaugstinot līdz nepāra pakāpei, zīme tiek saglabāta, bet trešā pakāpe ir nepāra. Pārbaudīsim vienlīdzību: Ļaujiet. Abas izteiksmes paceļam trešajā pakāpē Tad vai Sakņu apzīmējumā iegūstam vēlamo identitāti.

Puiši, tagad plānosim savu funkciju. 1) Definīcijas apgabals ir reālu skaitļu kopa. 2) Funkcija ir nepāra, jo Tālāk mēs uzskatām savu funkciju pie x 0, pēc kuras mēs atspoguļojam grafiku attiecībā pret izcelsmi. 3) Funkcija palielinās pie x 0. Mūsu funkcijai lielāka argumenta vērtība atbilst lielākai funkcijas vērtībai, kas nozīmē pieaugumu. 4) Funkcija nav ierobežota no augšas. Patiesībā no jebkura liels skaits mēs varam aprēķināt trešās pakāpes sakni, un mēs varam virzīties līdz bezgalībai, atrodot arvien lielākas argumenta vērtības. 5) x 0 mazākā vērtība ir 0. Šī īpašība ir acīmredzama.

Izveidosim mūsu funkcijas grafiku visā definīcijas jomā. Atcerieties, ka mūsu funkcija ir nepāra. Funkcijas īpašības: 1) D(y)=(-;+) 2) nepāra funkcija. 3) Palielinās par (-;+) 4) Neierobežots. 5) Nav minimālās vai maksimālās vērtības. 6) Funkcija ir nepārtraukta visā reālajā līnijā. 7) E (y) \u003d (-; +). 8) Izliekts uz leju par (-; 0), izliekts uz augšu par (0; +).

Piemērs. Grafiksējiet funkciju un izlasiet to. Risinājums. Uz vienas koordinātu plaknes izveidosim divus funkciju grafikus, ņemot vērā mūsu nosacījumus. Pie x-1 mēs veidojam kuba saknes grafiku, pie x-1 - lineāras funkcijas grafiku. 1) D(y)=(-;+) 2) Funkcija nav ne pāra, ne nepāra. 3) Samazinās par (-;-1), palielinās par (-1;+) 4) Neierobežots no augšas, ierobežots no apakšas. pieci) Lielākā vērtība Nē. Zemākā vērtība vienāds ar mīnus viens. 6) Funkcija ir nepārtraukta visā reālajā līnijā. 7) E(y)= (-1;+)

Ievada vietā

Mūsdienīgo tehnoloģiju (CSE) un mācību līdzekļu (multimēdiju tāfele) izmantošana stundās palīdz skolotājam plānot un vadīt efektīvas mācību stundas, radīt apstākļus, lai skolēni saprastu, iegaumētu un praktizētu prasmes.

Stunda izdodas dinamiska un interesanta, ja nodarbības laikā apvieno dažādas mācīšanās formas.

Mūsdienu didaktikā ir četri vispārīgi organizatoriskās formas mācīšanās:

• individuāli mediēts;
• tvaika pirts;
• grupa;

kolektīvs (pa pāriem maināmu sastāvu). (Djačenko V.K. Mūsdienu didaktika. - M .: Nacionālā izglītība, 2005).

Tradicionālajā nodarbībā, kā likums, tiek izmantotas tikai pirmās trīs iepriekš uzskaitītās izglītības organizatoriskās formas. kolektīva forma mācīšanu (darbu pāros maiņās) skolotājs praktiski neizmanto. Tomēr šī mācību organizatoriskā forma ļauj komandai apmācīt katru un ikvienu aktīvi piedalīties citu apmācībā. Kolektīvā izglītības forma ir vadošā KSA tehnoloģijā.

Viena no visizplatītākajām kolektīvā mācīšanās veida tehnoloģijas metodēm ir “Savstarpējās apmācības” metode.

Šī “maģiskā” tehnika ir laba jebkurā priekšmetā un jebkurā nodarbībā. Mērķis ir apmācība.

Apmācība ir paškontroles pēctece, palīdz studentam nodibināt kontaktu ar mācību priekšmetu, atvieglojot pareizo soļu-darbības atrašanu. Apmācot zināšanu apguvi, nostiprināšanu, pārgrupēšanu, pārskatīšanu, pielietošanu, notiek cilvēka kognitīvo spēju attīstība. (Yanovitskaya E.V. Kā mācīt un mācīties klasē, lai jūs vēlētos mācīties. Uzziņu grāmata. - Sanktpēterburga: Izglītības projekti, M.: Izdevējs A.M. Kushnir, 2009.-14.lpp.;131)

Tas palīdzēs ātri atkārtot jebkuru noteikumu, atcerēties atbildes uz pētītajiem jautājumiem, nostiprināt nepieciešamo prasmi. Optimālais laiks darbam saskaņā ar metodi ir 5-10 minūtes. Parasti darbs pie apmācības kartēm tiek veikts mutvārdu skaitīšanas laikā, tas ir, stundas sākumā, bet pēc skolotāja ieskatiem to var veikt jebkurā stundas posmā atkarībā no tā mērķiem un mērķiem. struktūra. Apmācības kartē var būt no 5 līdz 10 vienkāršiem piemēriem (jautājumi, uzdevumi). Katrs klases skolēns saņem kartiņu. Kartes ir atšķirīgas visiem vai atšķirīgas visiem “konsolidētajā komandā” (bērni, kas sēž vienā rindā). Konsolidēta atslēgšanās (grupa) ir studentu pagaidu sadarbība, kas izveidota noteikta izglītības uzdevuma veikšanai. (Yalovets T.V. Kolektīvās mācīšanas metodes tehnoloģija skolotāja padziļinātajā apmācībā: Izglītības un metodiskā rokasgrāmata. - Novokuzņecka: IPC Publishing House, 2005. - 122. lpp.)

Nodarbības projekts par tēmu “Funkcija y=, tās īpašības un grafiks”

Nodarbības projektā, kura tēma ir: “ Funkcija y=, tās īpašības un grafiks” tiek prezentēta savstarpējās apmācības tehnikas izmantošana kombinācijā ar tradicionālo un multimediju mācību līdzekļu izmantošanu.

Nodarbības tēma: " Funkcija y=, tā īpašības un grafiks”

Mērķi:

• sagatavošana kontroles darbam;
• pārbaudot zināšanas par visām funkcijas īpašībām un spēju uzzīmēt funkciju grafikus un nolasīt to īpašības.

Uzdevumi: priekšmeta līmenis:

virspriekšmeta līmenis:

• iemācīties analizēt grafisko informāciju;
• attīstīt spēju vadīt dialogu;
• attīstīt prasmes un prasmes strādāt ar interaktīvo tāfeli, izmantojot piemēru darbā ar grafikiem.

Nodarbības struktūra	Laiks
1. Skolotāja informācijas ievade (ITI)	5 minūtes.
2. Pamatzināšanu aktualizēšana: darbs pāros maiņās pēc metodikas “Savstarpēja apmācība”	8 min.
3. Iepazīšanās ar tēmu “Funkcija y=, tās īpašības un grafiks”: skolotāja prezentācija	8 min.
4. Jaunizpētītā un jau nokārtotā materiāla par tēmu “Funkcija” konsolidācija: izmantojot interaktīvo tāfeli	15 minūtes.
5. Paškontrole : testa veidā	7 min.
6. Mājas darbu apkopošana, pierakstīšana.	2 minūtes.

Sīkāk apskatīsim katra posma saturu.

1. Skolotāju informācijas ievade (ITI) ietver Laika organizēšana; tēmas, mērķa un stundu plāna izteikšana; parādot darba paraugu pāros pēc savstarpējās apmācības metodes.

Šajā stundas posmā studentiem demonstrējot darba paraugu pa pāriem, ir ieteicams atkārtot mums nepieciešamās tehnikas darba algoritmu, jo. nākamajā nodarbības posmā pie tā plānots visas klases kolektīva darbs. Tajā pašā laikā jūs varat nosaukt kļūdas darbā pēc algoritma (ja tādas ir), kā arī novērtēt šo studentu darbu.

2. Atsauces zināšanu aktualizācija tiek veikta maiņu sastāva pāros pēc savstarpējās apmācības metodes.

Metodikas algoritms ietver individuālo, pāru (statiskie pāri) un kolektīvo (maiņu sastāva pāri) organizatoriskās apmācības formas.

Individuāli: katrs, kurš saņem karti, iepazīstas ar tās saturu (izlasa jautājumus un atbildes kartes aizmugurē).

• vispirms(“stažiera lomā”) nolasa uzdevumu un atbild uz partnera kartītes jautājumiem;
• otrais("trenera" lomā) - pārbauda atbilžu pareizību kartītes aizmugurē;
• līdzīgi strādāt pie citas kartes, mainot lomas;
• veikt atzīmi atsevišķā lapā un mainīt kartītes;
• pāriet uz jaunu pāri.

Kolektīvs:

• jaunajā pārī viņi strādā tāpat kā pirmajā; pāreja uz jaunu pāri utt.

Pāreju skaits ir atkarīgs no skolotāja atvēlētā laika šis posms stunda, no katra skolēna centības un izpratnes ātruma un no sadarbības partneriem.

Pēc darba pāros skolēni izdara atzīmes uzskaites lapās, skolotājs veic darba kvantitatīvo un kvalitatīvo analīzi.

Saraksts varētu izskatīties šādi:

Ivanovs Petja 7 "b" klase

datums	Kartes numurs	Kļūdu skaits	Ar ko jūs strādājāt
20.12.09	№7	0	Sidorovs K.
	№3	2	Petrova M.
	№2	1	Samoilova Z.

3. Iepazīšanos ar tēmu “Funkcija y =, tās īpašības un grafiks” skolotājs veic prezentācijas veidā, izmantojot multimediju mācību līdzekļus (4.pielikums). No vienas puses, šī ir mūsdienu studentiem saprotama vizualizācijas iespēja, no otras puses, ietaupa laiku jauna materiāla skaidrošanai.

4. Jaunizpētītā un jau nokārtotā materiāla konsolidācija par tēmu “Funkcija ” organizēta divās versijās, izmantojot tradicionālos mācību līdzekļus (tāfele, mācību grāmata) un inovatīvus (interaktīvā tāfele).

Vispirms tiek piedāvāti vairāki uzdevumi no mācību grāmatas, lai nostiprinātu jauniegūto materiālu. Tiek izmantota mācīšanai izmantotā mācību grāmata. Darbs notiek vienlaicīgi ar visu klasi. Šajā gadījumā viens skolēns veic uzdevumu “a” - uz tradicionālā tāfeles; otrs ir uzdevums “b” uz interaktīvās tāfeles, pārējie skolēni pieraksta to pašu uzdevumu risinājumus piezīmju grāmatiņā un salīdzina savu risinājumu ar uz tāfelēm uzrādīto risinājumu. Tālāk skolotājs vērtē skolēnu darbu pie tāfeles.

Pēc tam, lai ātrāk konsolidētu pētīto materiālu par tēmu “Funkcija”, tiek piedāvāts frontālais darbs ar interaktīvo tāfeli, ko var organizēt šādi:

• uzdevums un grafiks parādās uz interaktīvās tāfeles;
• students, kurš vēlas atbildēt, dodas pie tāfeles, veic nepieciešamās konstrukcijas un iebalso atbildi;
• uz tāfeles parādās jauns uzdevums un jauns grafiks;
• Vēl viens students iznāk atbildēt.

Tādējādi īsā laika posmā iespējams atrisināt diezgan daudz uzdevumu, izvērtēt skolēnu atbildes. Daži interesējošie uzdevumi (līdzīgi uzdevumiem no gaidāmajiem kontroles darbs), var ierakstīt piezīmju grāmatiņā.

5. Paškontroles posmā studentiem tiek piedāvāts tests, kam seko pašpārbaude (3.pielikums).

Literatūra

1. Djačenko, V.K. Mūsdienu didaktika [Teksts] / V.K. Djačenko - M.: Sabiedrības izglītība, 2005.
2. Jalovecs, T.V. Kolektīvās mācīšanas metodes tehnoloģija skolotāja profesionālajā pilnveidē: Izglītības un metodiskā rokasgrāmata [Teksts] / T.V. Jalovecs. - Novokuzņecka: IPC izdevniecība, 2005.
3. Janoviča, E.V. Kā mācīt un mācīties klasē, lai jūs vēlētos mācīties. Uzziņu grāmata [Teksts] / E.V. Yanovitskaya. - Sanktpēterburga: Izglītības projekti, M.: Izdevējs A.M. Kušnira, 2009.

Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Spēka funkcijas. Kubiksakne. Kubsaknes īpašības"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus! Visus materiālus pārbauda pretvīrusu programma.

Mācību līdzekļi un simulatori interneta veikalā "Integral" 9. klasei
Mācību komplekss 1C: "Algebriskās problēmas ar parametriem, 9.-11.klase" Programmatūras vide "1C: Matemātiskais konstruktors 6.0"

Jaudas funkcijas definīcija - kuba sakne

Puiši, mēs turpinām pētīt jaudas funkcijas. Šodien mēs runāsim par x funkcijas kuba sakni.
Kas ir kuba sakne?
Skaitli y sauc par x kubsakni (trešās pakāpes sakne), ja $y^3=x$ ir patiess.
Tie ir apzīmēti kā $\sqrt(x)$, kur x ir saknes skaitlis, 3 ir eksponents.
$\sqrt(27)=3$; $3^3=27$.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
Kā redzam, kuba sakni var iegūt arī no negatīviem skaitļiem. Izrādās, ka mūsu sakne pastāv visiem skaitļiem.
Negatīvā skaitļa trešā sakne ir vienāda ar negatīvu skaitli. Paaugstinot līdz nepāra pakāpei, zīme tiek saglabāta, bet trešā pakāpe ir nepāra.

Pārbaudīsim vienādību: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Lai $\sqrt((-x))=a$ un $\sqrt(x)=b$. Pacelsim abus izteicienus trešajā pakāpē. $–x=a^3$ un $x=b^3$. Pēc tam $a^3=-b^3$ vai $a=-b$. Sakņu apzīmējumā mēs iegūstam vēlamo identitāti.

Kubu sakņu īpašības

a) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Pierādīsim otro īpašību. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Mēs atklājām, ka skaitlis $\sqrt(\frac(a)(b))$ kubā ir vienāds ar $\frac(a)(b)$ un tad tas ir vienāds ar $\sqrt(\frac(a) (b))$, kas un bija jāpierāda.

Puiši, uzzīmēsim savu funkciju grafiku.
1) Definīcijas apgabals ir reālu skaitļu kopa.
2) Funkcija ir nepāra, jo $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Pēc tam apsveriet mūsu funkciju $x≥0$, pēc tam atspoguļojiet grafiku attiecībā pret izcelsmi.
3) Funkcija palielinās par $х≥0$. Mūsu funkcijai lielāka argumenta vērtība atbilst lielākai funkcijas vērtībai, kas nozīmē palielināšanu.
4) Funkcija nav ierobežota no augšas. Faktiski no patvaļīgi liela skaitļa jūs varat aprēķināt trešās pakāpes sakni, un mēs varam virzīties līdz bezgalībai, atrodot arvien lielākas argumenta vērtības.
5) $x≥0$ mazākā vērtība ir 0. Šī īpašība ir acīmredzama.
Izveidosim funkcijas grafiku pēc punktiem x≥0.

Izveidosim mūsu funkcijas grafiku visā definīcijas jomā. Atcerieties, ka mūsu funkcija ir nepāra.

Funkciju īpašības:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) nepāra funkcija.
3) Palielinās par (-∞;+∞).
4) neierobežots.
5) Nav minimālās vai maksimālās vērtības.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Izliekts uz leju par (-∞;0), izliekts uz augšu par (0;+∞).

Jaudas funkciju risināšanas piemēri

Piemēri
1. Atrisiniet vienādojumu $\sqrt(x)=x$.
Risinājums. Izveidosim divus grafikus vienā koordinātu plaknē $y=\sqrt(x)$ un $y=x$.

Kā redzat, mūsu grafiki krustojas trīs punktos.
Atbilde: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Izveidojiet funkcijas grafiku. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Risinājums. Mūsu grafiks ir iegūts no funkcijas $y=\sqrt(x)$ grafika, paralēli pārvietojot divas vienības pa labi un trīs vienības uz leju.

3. Izveidojiet funkciju grafiku un izlasiet to. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
Risinājums. Uz vienas koordinātu plaknes izveidosim divus funkciju grafikus, ņemot vērā mūsu nosacījumus. $х≥-1$ veidojam kubiksaknes grafiku, $х≤-1$ lineāras funkcijas grafiku.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Funkcija nav ne pāra, ne nepāra.
3) Samazinās par (-∞;-1), palielinās par (-1;+∞).
4) Neierobežots no augšas, ierobežots no apakšas.
5) Nav maksimālās vērtības. Mazākā vērtība ir mīnus viens.
6) Funkcija ir nepārtraukta visā reālajā līnijā.
7) E(y)= (-1;+∞).

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam

1. Atrisiniet vienādojumu $\sqrt(x)=2-x$.
2. Uzzīmējiet funkciju $y=\sqrt((x+1))+1$.
3. Izveidojiet funkcijas grafiku un izlasiet to. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(cases)$.

Ir dotas galvenās jaudas funkcijas īpašības, tostarp formulas un sakņu īpašības. Parādīts jaudas funkcijas atvasinājums, integrālis, pakāpju rindas paplašināšana un attēlošana ar kompleksajiem skaitļiem.

Definīcija

Definīcija
Jaudas funkcija ar eksponentu lpp ir funkcija f (x) = xp, kuras vērtība punktā x ir vienāda ar vērtību eksponenciālā funkcija ar pamatni x p.
Turklāt f (0) = 0 p = 0 par p > 0 .

Eksponenta dabiskajām vērtībām jaudas funkcija ir n skaitļu reizinājums, kas vienāds ar x:
.
Tas ir definēts visiem reāliem.

Eksponenta pozitīvām racionālām vērtībām jaudas funkcija ir m pakāpes n sakņu reizinājums no skaitļa x:
.
Nepāra m , tas ir definēts visiem reālajiem x . Pāra m jaudas funkcija ir definēta nenegatīvam .

Negatīvām jaudas funkciju definē pēc formulas:
.
Tāpēc tas nav definēts punktā.

Eksponenta p neracionālām vērtībām eksponenciālo funkciju nosaka pēc formulas:
,
kur a ir patvaļīgs pozitīvs skaitlis, nevis vienāds ar vienu: .
Attiecībā uz , tas ir definēts priekš .
Attiecībā uz , jaudas funkcija ir definēta .

Nepārtrauktība. Jaudas funkcija ir nepārtraukta savā definīcijas jomā.

Jaudas funkcijas īpašības un formulas, ja x ≥ 0

Šeit mēs aplūkojam jaudas funkcijas īpašības ne negatīvas vērtības arguments x . Kā minēts iepriekš, dažām eksponenta p vērtībām eksponenciālā funkcija ir definēta arī negatīvām x vērtībām. Šajā gadījumā tā īpašības var iegūt no īpašībām pie , izmantojot pāra vai nepāra paritāti. Šie gadījumi ir apspriesti un detalizēti ilustrēti lapā "".

Jaudas funkcijai y = x p ar eksponentu p ir šādas īpašības:
(1.1) noteikti un nepārtraukti filmēšanas laukumā
plkst ,
pie ;
(1.2) ir daudz nozīmju
plkst ,
pie ;
(1.3) stingri palielinās pie ,
stingri samazinās pie ;
(1.4) pie ;
pie ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Īpašību pierādījums ir sniegts lapā " Jaudas funkcija (nepārtrauktības un īpašību pierādījums) »

Saknes - definīcija, formulas, īpašības

Definīcija
Sakne no x līdz pakāpei n ir skaitlis, kuru paaugstinot līdz pakāpei n, tiek iegūts x:
.
Šeit n = 2, 3, 4, ... - dabiskais skaitlis, lielāks par vienu.

Varat arī teikt, ka n pakāpes skaitļa x sakne ir vienādojuma sakne (tas ir, risinājums)
.
Ņemiet vērā, ka funkcija ir apgriezta funkcijai .

Kvadrātsakne no x ir 2. pakāpes sakne: .

kuba sakne no skaitļa x ir 3. pakāpes sakne: .

Vienmērīgs grāds

Pāra pakāpēm n = 2 m, sakne ir definēta x ≥ 0 . Bieži lietota formula ir derīga gan pozitīvajam, gan negatīvajam x :
.
Kvadrātsaknei:
.

Šeit svarīga ir darbību veikšanas secība - tas ir, vispirms tiek veikta kvadrātošana, kā rezultātā tiek iegūts nenegatīvs skaitlis, un pēc tam no tā tiek iegūta sakne (no nenegatīva skaitļa varat iegūt Kvadrātsakne). Ja mēs mainītu secību: , tad negatīvam x sakne būtu nedefinēta, un līdz ar to visa izteiksme būtu nedefinēta.

nepāra pakāpe

Nepāra pakāpēm sakne ir definēta visiem x:
;
.

Sakņu īpašības un formulas

X sakne ir jaudas funkcija:
.
Ja x ≥ 0 darbojas šādas formulas:
;
;
, ;
.

Šīs formulas var izmantot arī mainīgo lielumu negatīvajām vērtībām. Ir tikai jānodrošina, lai vienmērīgu spēku radikālā izpausme nebūtu negatīva.

Privātās vērtības

0 sakne ir 0: .
1 sakne ir 1: .
Kvadrātsakne no 0 ir 0: .
Kvadrātsakne no 1 ir 1: .

Piemērs. Sakne no saknēm

Apsveriet sakņu kvadrātsaknes piemēru:
.
Konvertējiet iekšējo kvadrātsakni, izmantojot iepriekš minētās formulas:
.
Tagad pārveidosim sākotnējo sakni:
.
Tātad,
.

y = x p dažādām eksponenta p vērtībām.

Šeit ir funkcijas grafiki argumenta x nenegatīvajām vērtībām. Jaudas funkcijas grafiki, kas definēti x negatīvajām vērtībām, ir sniegti lapā " Jaudas funkcija, tās īpašības un grafiki »

Apgrieztā funkcija

Jaudas funkcijas apgrieztā vērtība ar eksponentu p ir pakāpes funkcija ar eksponentu 1/p .

Ja tad .

Jaudas funkcijas atvasinājums

N-tās kārtas atvasinājums:
;

Formulu atvasināšana >>>

Jaudas funkcijas integrāls

P≠- 1 ;
.

Jaudas sērijas paplašināšana

plkst - 1 < x < 1 notiek šāda sadalīšanās:

Izteiksmes komplekso skaitļu izteiksmē

Apsveriet kompleksa mainīgā z funkciju:
f (z) = z t.
Sarežģīto mainīgo z izsakām ar moduli r un argumentu φ (r = |z| ):
z = r e i φ .
Mēs attēlojam komplekso skaitli t kā reālas un iedomātas daļas:
t = p + i q .
Mums ir:

Turklāt mēs ņemam vērā, ka arguments φ nav unikāli definēts:
,

Apsveriet gadījumu, kad q = 0 , tas ir, eksponents reālais skaitlis, t = p . Tad
.

Ja p ir vesels skaitlis, tad kp arī ir vesels skaitlis. Pēc tam trigonometrisko funkciju periodiskuma dēļ:
.
T.i eksponenciālā funkcija ar veselu skaitļa eksponentu konkrētam z ir tikai viena vērtība, un tāpēc tā ir vienvērtība.

Ja p ir iracionāls, tad kp reizinājumi nevienam k nedod veselu skaitli. Tā kā k iet cauri bezgalīgai vērtību sērijai k = 0, 1, 2, 3, ..., tad funkcijai z p ir bezgalīgi daudz vērtību. Ikreiz, kad arguments z tiek palielināts 2 pi(viens pagrieziens), mēs pārejam uz jaunu funkcijas atzaru.

Ja p ir racionāls, tad to var attēlot šādi:
, kur m,n ir veseli skaitļi bez kopējiem dalītājiem. Tad
.
Pirmās n vērtības, ja k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, dod n dažādas nozīmes kp :
.
Tomēr nākamās vērtības dod vērtības, kas atšķiras no iepriekšējām par veselu skaitli. Piemēram, ja k = k 0+n mums ir:
.
Trigonometriskās funkcijas, kuru argumenti atšķiras ar daudzkārtņiem 2 pi, ir vienādas vērtības. Tāpēc, vēl vairāk palielinot k, mēs iegūstam tādas pašas z p vērtības kā k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Tādējādi eksponenciālā funkcija ar racionāls rādītājs grāds ir daudzvērtīgs, un tam ir n vērtības (zari). Ikreiz, kad arguments z tiek palielināts 2 pi(viens pagrieziens), mēs pārejam uz jaunu funkcijas atzaru. Pēc n šādiem pagriezieniem mēs atgriežamies pie pirmā zara, no kuras sākās atpakaļskaitīšana.

Jo īpaši n pakāpes saknei ir n vērtības. Kā piemēru ņemiet vērā reāla pozitīva skaitļa n-to sakni z = x. Šajā gadījumā φ 0 = 0, z = r = |z| = x, .
.
Tātad kvadrātsaknei n = 2 ,
.
Pat k, (- 1 ) k = 1. nepāra k, (- 1 ) k = - 1.
Tas nozīmē, ka kvadrātsaknei ir divas nozīmes: + un -.

Atsauces:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un augstskolu studentiem, Lan, 2009.