Punkta grafisks attēlojums kompleksā zīmējumā.

Apsveriet šādu attēlu.

Tas parāda funkcijas y = x^3 - 3*x^2 grafiku. Apsveriet kādu intervālu, kurā ir punkts x = 0, piemēram, no -1 līdz 1. Šādu intervālu sauc arī par punkta x = 0 apkārtni. Kā redzams grafikā, šajā apkārtnē funkcija y = x^ 3 — 3*x^2 aizņem augstākā vērtība tieši punktā x = 0.

Funkcijas maksimums un minimums

Šajā gadījumā punktu x = 0 sauc par funkcijas maksimālo punktu. Pēc analoģijas ar šo punktu x = 2 sauc par funkcijas y = x^3 - 3*x^2 minimālo punktu. Jo ir tāda šī punkta apkārtne, kurā vērtība šajā punktā būs minimāla starp visām pārējām vērtībām no šīs apkārtnes.

punkts maksimums funkciju f(x) sauc par punktu x0, ja ir tāda punkta x0 apkārtne, ka visiem x, kas nav vienādi ar x0 no šīs apkārtnes, nevienādība f(x)< f(x0).

punkts minimums funkciju f(x) sauc par punktu x0, ja ir tāda punkta x0 apkārtne, ka visiem x, kas nav vienādi ar x0 no šīs apkārtnes, ir izpildīta nevienādība f(x) > f(x0).

Funkciju maksimālajā un minimālajā punktā funkcijas atvasinājuma vērtība ir vienāda ar nulli. Bet tas nav pietiekams nosacījums, lai funkcija pastāvētu maksimālā vai minimālā punktā.

Piemēram, funkcijai y = x^3 punktā x = 0 ir atvasinājums, kas vienāds ar nulli. Bet punkts x = 0 nav funkcijas minimālais vai maksimālais punkts. Kā zināms, funkcija y = x^3 palielinās uz visas reālās ass.

Tādējādi minimālais un maksimālais punkts vienmēr būs starp vienādojuma saknēm f’(x) = 0. Taču ne visas šī vienādojuma saknes būs maksimālie vai minimālie punkti.

Stacionārie un kritiskie punkti

Punktus, kuros funkcijas atvasinājuma vērtība ir vienāda ar nulli, sauc par stacionāriem punktiem. Var būt arī maksimuma vai minimuma punkti punktos, kur funkcijas atvasinājums vispār nepastāv. Piemēram, y = |x| punktā x = 0 ir minimums, bet atvasinājums šajā punktā nepastāv. Šis punkts būs funkcijas kritiskais punkts.

Funkcijas kritiskie punkti ir punkti, kuros atvasinājums ir vienāds ar nulli, vai arī atvasinājums šajā punktā nepastāv, tas ir, funkcija šajā punktā nav diferencējama. Lai atrastu funkcijas maksimumu vai minimumu, ir jāizpilda pietiekams nosacījums.

Lai f(x) ir kāda funkcija, kas diferencējama intervālā (a;b). Punkts x0 pieder šim intervālam un f'(x0) = 0. Tad:

1. ja, ejot cauri stacionāram punktam x0, funkcija f (x) un tās atvasinājums maina zīmi, no “plus” uz “mīnus”, tad punkts x0 ir funkcijas maksimālais punkts.

2. ja, ejot cauri stacionāram punktam x0, funkcija f (x) un tās atvasinājums maina zīmi, no “mīnus” uz “plus”, tad punkts x0 ir funkcijas minimālais punkts.

Sveiki visiem Habr cilvēkiem. Vēlos dārgajiem lasītājiem iepazīstināt ar piemēru, kad mūsu izpratnē ir sauss un tālu no dzīves augstākā matemātika deva labu praktisko rezultātu.

Vispirms dažas atmiņas

Tas bija tad, kad 90. gados mācījos vienā no tehniskajām universitātēm, iespējams, otrajā kursā. Es kaut kā tiku līdz programmēšanas olimpiādei. Un tieši šajā olimpiādē bija uzdevums: uzstādīt plaknes testa punkta trijstūra koordinātas un noteikt, vai šis punkts pieder pie trīsstūra laukuma. Vispār nieka problēma, bet tad es to neatrisinu. Bet tad es domāju par vispārīgāku uzdevumu - piederību poligonam. Atkārtoju - tas bija 90. gadu vidus, nebija interneta, nebija grāmatu par datorģeometriju, bet bija lekcijas par torni un laboratorija 286 ar turbo paskālu. Un tā zvaigznes sakrita, ka tieši tajā laikā, kad es domāju par problēmu, viņi mums tornī lasīja teoriju par sarežģītu mainīgo. Un viena formula (par to zemāk) nokrita uz auglīgas zemes. Algoritms tika izgudrots un ieviests programmā Pascal (diemžēl mana pusotra gigabaita skrūve nomira un aizmirstībā aiznesa šo kodu un vēl virkni manas jaunības jaunības). Pēc institūta dabūju strādāt vienā pētniecības institūtā. Tur man bija jānodarbojas ar ĢIS izstrādi institūta darbinieku vajadzībām, un viens no maniem uzdevumiem bija noteikt, vai objekti neietilpst kontūrā. Algoritms tika pārrakstīts C++ valodā un izrādījās izcils darbā.

Algoritma uzdevums

Ņemot vērā:

Г - slēgta polilīnija (turpmāk daudzstūris) plaknē, ko nosaka tās virsotņu koordinātas (xi, yi) un testa punkta koordinātas (x0, y0)

Definēt:

vai punkts pieder apgabalam D, ko ierobežo daudzstūris.

Formulu atvasināšana turpmākai algoritma rakstīšanai nekādā gadījumā nepretendē uz matemātiski pilnīgu un precīzu, bet tikai demonstrē inženieriju (patērētāju pieeju) zinātņu jomu karalienei.

Paskaidrojums no strādnieku-zemnieku inženierijas viedokļa:
- robeža G ir mūsu dotā kontūra,
- z0 - pārbaudīts punkts
- f(z) - sarežģīta funkcija no sarežģītā argumenta nekur kontūrā neiet līdz bezgalībai.

Tas ir, lai noteiktu, vai punkts pieder kontūrai, mums ir jāaprēķina integrālis un jāsalīdzina tas ar funkcijas vērtību noteiktā punktā. Ja tie sakrīt, tad punkts atrodas kontūrā. Piezīme: Košī integrāļa teorēma saka, ka, ja punkts neatrodas kontūrā, tad integrands nekad neiet uz bezgalību, tad integrālis nulle. Tas vienkāršo lietu - jums vienkārši jāaprēķina integrālis un jāpārbauda, ​​vai tas ir vienāds ar nulli: punkts nav kontūra, kas vienāda ar nulli, tas ir atšķirīgs - tas atrodas kontūrā.
Veiksim integrāļa aprēķinu. F(z) mēs ņemam vienkārša funkcija 1. Nezaudējot vispārīgumu, mēs varam pieņemt punktu 0 kā z0 (jūs vienmēr varat nobīdīt koordinātas).

Mēs atbrīvojamies no iedomātās vienības integranda saucējā un sadalām integrāli reālajā un iedomātā daļā:

Mēs esam ieguvuši divus otrā veida līklīnijas integrāļus.
Aprēķiniet pirmo

Nosacījums, ka integrālis nav atkarīgs no ceļa, ir izpildīts, tāpēc pirmais integrālis ir vienāds ar nulli un to nav nepieciešams aprēķināt.

Ar iedomāto daļu šis triks nedarbojas. Atgādinām, ka mūsu robeža sastāv no līniju segmentiem, mēs iegūstam:

Kur Гi ir segments (xi,yi)- (xi+1,y i+1)
Aprēķināsim i-to integrāli. Lai to izdarītu, mēs rakstām i-tā segmenta vienādojumu parametriskā formā

Aizstāt integrālī

Un pēc apgrūtinošām un nogurdinošām pārvērtībām mēs iegūstam šādu burvīgu formulu:

Beidzot saņemam

Algoritms C++ valodā:

veidne <klasē T>
bool pt_in_polygon( konst T &test,const std::vector &daugstūris)
{
if (daudzstūris.izmērs()<3) return false;

Std::vector::const_iterator end=polygon.end();

T last_pt=polygon.back();

Last_pt.x-=test.x;
last_pt.y-=test.y;

dubultā summa=0,0;

priekš(
std::vector::const_iterator iter=polygon.begin();
iter!=beigas;
++iter
{
T cur_pt=*iter;
cur_pt.x-=test.x;
cur_pt.y-=test.y;

dubultā del= last_pt.x*cur_pt.y-cur_pt.x*last_pt.y;
dubultā xy= cur_pt.x*last_pt.x+cur_pt.y*last_pt.y;

Summa+=
atan((pēdējais_pt.x*pēdējais_pt.x+pēdējais_pt.y*pēdējais_pt.y - xy)/del)+
atan((cur_pt.x*cur_pt.x+cur_pt.y*cur_pt.y-xy)/del)
);

last_pt=cur_pt;

atgriezties fabs(sum)>eps;

T punkta tips, piemēram:
struktūra PunktsD
{
dubultā x,y;
};

Kontrole:
kreisais klikšķis - pievienojiet jaunu kontūras punktu
labā poga - aizveriet kontūru
pa kreisi, turot nospiestu taustiņu Shift — pārvietojiet testa punktu

Kungi, kuriem interesē, dodu ātrāku algoritmu. Vairs nav mans.
Īpašs paldies par rakstu.
veidne bool pt_in_polygon2(const T &test,const std::vector &polygon)
{

Static const int q_patt= ( (0,1), (3,2) );

Ja(daudzstūris.izmērs()<3) return false;

Std::vector::const_iterator end=polygon.end();
T pred_pt=polygon.back();
prognozēt_pt.x-=test.x;
pred_pt.y-=test.y;

int pred_q=q_patt;

For(std::vector::const_iterator iter=polygon.begin();iter!=end;++iter)
{
T cur_pt = *iter;

Cur_pt.x-=test.x;
cur_pt.y-=test.y;

int q=q_patt;

Slēdzis (q-pred_q)
{
case -3:++w;break;
3. gadījums: --w;break;
case -2:if(pred_pt.x*cur_pt.y>=pred_pt.y*cur_pt.x) ++w;break;
2. gadījums:if(!(pred_pt.x*cur_pt.y>=pred_pt.y*cur_pt.x)) --w;break;
}

Pred_pt = cur_pt;
prognozēt_q = q;

Divdimensiju telpā divas taisnes krustojas tikai vienā punktā, ko nosaka koordinātas (x, y). Tā kā abas taisnes iet caur to krustpunktu, koordinātām (x, y) ir jāatbilst abiem vienādojumiem, kas apraksta šīs līnijas. Izmantojot dažas uzlabotas prasmes, jūs varat atrast parabolu un citu kvadrātisko līkņu krustošanās punktus.

Soļi

Divu līniju krustpunkts

Pierakstiet katras rindas vienādojumu, vienādojuma kreisajā pusē izolējot mainīgo "y". Jāievieto citi vienādojuma nosacījumi labā puse vienādojumi. Varbūt vienādojumā, kas jums dots "y" vietā, būs mainīgais f (x) vai g (x); šajā gadījumā izolējiet šādu mainīgo. Lai izolētu mainīgo, rīkojieties atbilstoši matemātiskās operācijas abās vienādojuma pusēs.

• Ja līniju vienādojumi jums nav doti, pamatojoties uz jums zināmo informāciju.
• Piemērs. Dotas taisnas līnijas, ko apraksta vienādojumi un y - 12 = - 2 x (\displeja stils y-12 = - 2x). Lai izolētu "y" otrajā vienādojumā, pievienojiet skaitli 12 abām vienādojuma pusēm:

1. Jūs meklējat abu līniju krustošanās punktu, tas ir, punktu, kura (x, y) koordinātas apmierina abus vienādojumus. Tā kā mainīgais "y" atrodas katra vienādojuma kreisajā pusē, katra vienādojuma labajā pusē esošās izteiksmes var pielīdzināt. Pierakstiet jaunu vienādojumu.

   • Piemērs. Kā y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) un y = 12–2x (\displaystyle y=12-2x), tad varam uzrakstīt šādu vienādību: .

2. Atrodiet mainīgā "x" vērtību. Jaunajā vienādojumā ir tikai viens mainīgais "x". Lai atrastu "x", izolējiet šo mainīgo vienādojuma kreisajā pusē, veicot atbilstošu matemātiku abās vienādojuma pusēs. Jums vajadzētu iegūt vienādojumu, piemēram, x = __ (ja nevarat to izdarīt, skatiet šo sadaļu).

   • Piemērs. x + 3 = 12 - 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Pievienot 2x (\displaystyle 2x) katrā vienādojuma pusē:
   • 3x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Atņemiet 3 no katras vienādojuma puses:
   • 3x=9 (\displaystyle 3x=9)
   • Sadaliet katru vienādojuma pusi ar 3:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Izmantojiet atrasto mainīgā "x" vērtību, lai aprēķinātu mainīgā "y" vērtību. Lai to izdarītu, vienādojumā (jebkurā) taisnē aizstājiet atrasto vērtību "x".

   • Piemērs. x = 3 (\displaystyle x=3) un y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y=6 (\displaystyle y=6)

4. Pārbaudiet atbildi. Lai to izdarītu, aizstājiet "x" vērtību citā taisnes vienādojumā un atrodiet "y" vērtību. Ja saņemat atšķirīga nozīme"y", pārbaudiet aprēķinu pareizību.

   • Piemērs: x = 3 (\displaystyle x=3) un y = 12–2x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12–2 (3) (\displaystyle y=12-2 (3))
   • y = 12–6 (\displaystyle y=12-6)
   • y=6 (\displaystyle y=6)
   • Jums ir tāda pati "y" vērtība, tāpēc aprēķinos nav kļūdu.

5. Pierakstiet koordinātas (x, y). Aprēķinot "x" un "y" vērtības, esat atradis divu līniju krustošanās punkta koordinātas. Pierakstiet krustpunkta koordinātas formā (x, y).

   • Piemērs. x = 3 (\displaystyle x=3) un y=6 (\displaystyle y=6)
   • Tādējādi divas taisnes krustojas punktā ar koordinātām (3,6).

6. Aprēķini īpašos gadījumos. Dažos gadījumos mainīgā "x" vērtību nevar atrast. Bet tas nenozīmē, ka esat pieļāvis kļūdu. Īpašs gadījums rodas, ja ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:

   • Ja divas taisnes ir paralēlas, tās nekrustojas. Šajā gadījumā mainīgais "x" tiks vienkārši samazināts, un jūsu vienādojums pārvērtīsies par bezjēdzīgu vienādību (piemēram, 0 = 1 (\displaystyle 0 = 1)). Šādā gadījumā savā atbildē ierakstiet, ka līnijas nekrustojas vai nav risinājuma.
   • Ja abi vienādojumi apraksta vienu taisni, tad būs bezgalīgi daudz krustošanās punktu. Šajā gadījumā mainīgais "x" tiks vienkārši samazināts, un jūsu vienādojums pārvērtīsies par stingru vienādību (piemēram, 3 = 3 (\displaystyle 3 = 3)). Šādā gadījumā savā atbildē pierakstiet, ka abas rindiņas sakrīt.

   Problēmas ar kvadrātiskām funkcijām

   1. Kvadrātfunkcijas definīcija. Kvadrātiskajā funkcijā vienam vai vairākiem mainīgajiem ir otrā pakāpe (bet ne augstāka), piemēram, x 2 (\displaystyle x^(2)) vai y 2 (\displaystyle y^(2)). Kvadrātisko funkciju grafiki ir līknes, kas nedrīkst krustoties vai krustoties vienā vai divos punktos. Šajā sadaļā mēs jums pateiksim, kā atrast kvadrātveida līkņu krustošanās punktu vai punktus.

   2. Pārrakstiet katru vienādojumu, vienādojuma kreisajā pusē izolējot mainīgo "y". Citi vienādojuma nosacījumi jānovieto vienādojuma labajā pusē.

      • Piemērs. Atrodiet grafiku krustošanās punktu(-us). x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) un
      • Izolējiet mainīgo "y" vienādojuma kreisajā pusē:
      • un y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • Šajā piemērā jums ir dota viena kvadrātiskā funkcija un viena lineāra funkcija. Atcerieties, ka, ja jums ir doti divi kvadrātiskās funkcijas, aprēķini ir līdzīgi tālāk norādītajām darbībām.

   3. Pielīdziniet izteiksmes katra vienādojuma labajā pusē. Tā kā mainīgais "y" atrodas katra vienādojuma kreisajā pusē, katra vienādojuma labajā pusē esošās izteiksmes var pielīdzināt.

      • Piemērs. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) un y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Pārnesiet visus iegūtā vienādojuma nosacījumus uz tā kreiso pusi un labajā pusē ierakstiet 0. Lai to izdarītu, veiciet pamata matemātiskās darbības. Tas ļaus jums atrisināt iegūto vienādojumu.

      • Piemērs. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Atņemiet "x" no abām vienādojuma pusēm:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Atņemiet 7 no abām vienādojuma pusēm:

   5. Izlemiet kvadrātvienādojums. Pārnesot visus vienādojuma nosacījumus uz tā kreiso pusi, jūs iegūstat kvadrātvienādojumu. To var atrisināt trīs veidos: izmantojot īpašu formulu un.

      • Piemērs. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Faktorējot vienādojumu, tiek iegūti divi binomiāli, kurus reizinot, tiek iegūts sākotnējais vienādojums. Mūsu piemērā pirmais dalībnieks x 2 (\displaystyle x^(2)) var sadalīt x*x. Veiciet šādu ierakstu: (x) (x) = 0
      • Mūsu piemērā krustpunktu -6 var ņemt vērā šādi: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displeja stils -2*3), − 1 ∗ 6 (\displeja stils -1*6).
      • Mūsu piemērā otrais termins ir x (vai 1x). Pievienojiet katru pārtveršanas faktoru pāri (mūsu piemērā -6), līdz iegūstat 1. Mūsu piemērā pareizais pārtveršanas faktoru pāris ir -2 un 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displeja stils -2*3=-6)), kā − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Aizpildiet tukšumus ar atrasto skaitļu pāri: .

   6. Neaizmirstiet par abu grafiku otro krustošanās punktu. Ja problēmu atrisināsiet ātri un ne pārāk rūpīgi, varat aizmirst par otro krustojuma punktu. Lūk, kā atrast divu krustošanās punktu "x" koordinātas:

      • Piemērs (faktorings). Ja vienādojumā (x - 2) (x + 3) = 0 (\displeja stils (x-2) (x+3) = 0) viena no izteiksmēm iekavās būs vienāda ar 0, tad viss vienādojums būs vienāds ar 0. Tāpēc varam to uzrakstīt šādi: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) un x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = – 3 (\displaystyle x=-3) (tas ir, jūs atradāt divas vienādojuma saknes).
      • Piemērs (izmantojiet formulu vai pilnu kvadrātu). Ja izmantosit kādu no šīm metodēm, tiks parādīts risinājums Kvadrātsakne. Piemēram, vienādojumam no mūsu piemēra būs šāda forma x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Atcerieties, ka, ņemot kvadrātsakni, jūs iegūsit divus risinājumus. Mūsu gadījumā: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt(25)) = 5*5), un 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25)) = (-5)*(-5)). Tātad pierakstiet divus vienādojumus un atrodiet divas x vērtības.

   7. Grafiki krustojas vienā punktā vai nekrustojas vispār.Šādas situācijas rodas, ja ir izpildīti šādi nosacījumi:

      • Ja grafiki krustojas vienā punktā, kvadrātvienādojums tiek sadalīts vienādos faktoros, piemēram, (x-1) (x-1) = 0, un kvadrātsakne no 0 parādās formulā ( 0 (\displaystyle (\sqrt(0)))). Šajā gadījumā vienādojumam ir tikai viens risinājums.
      • Ja grafiki nemaz nekrustojas, tad vienādojums netiek faktorizēts, un formulā parādās negatīva skaitļa kvadrātsakne (piemēram, − 2 (\displaystyle (\sqrt(-2)))). Šajā gadījumā atbildē ierakstiet, ka risinājuma nav.

Šī ir mana raksta otrā daļa, kas veltīta skaitļošanas ģeometrijai. Es domāju, ka šis raksts būs interesantāks nekā iepriekšējais, jo mīklas būs nedaudz grūtākas.

Sāksim ar relatīvā pozīcija punktu attiecībā pret līniju, staru un segmentu.

Uzdevums #1

Nosakiet punkta un līnijas relatīvo pozīciju: atrodas virs līnijas, uz līnijas, zem līnijas.

Lēmums
Skaidrs, ka, ja taisne ir dota ar tās vienādojumu ax + ar + c = 0, tad šeit nav ko risināt. Pietiek aizvietot punkta koordinātas taisnes vienādojumā un pārbaudīt, ar ko tas ir vienāds. Ja tas ir lielāks par nulli, tad punkts atrodas augšējā pusplaknē, ja vienāds ar nulli, tad punkts atrodas uz taisnes, un, ja tas ir mazāks par nulli, tad punkts atrodas apakšējā pusplaknē. Interesantāks ir gadījums, kad taisne ir dota ar divu punktu koordinātām, sauksim tos par P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2). Šajā gadījumā var droši atrast koeficientus a, b un c un izmantot iepriekšējo argumentāciju. Bet mums vispirms ir jādomā, vai mums tas ir vajadzīgs? Protams, nē! Kā jau teicu, šķībs produkts ir tikai skaitļošanas ģeometrijas dārgakmens. Pielietosim to. Ir zināms, ka divu vektoru šķībs reizinājums ir pozitīvs, ja rotācija no pirmā vektora uz otro ir pretēji pulksteņrādītāja virzienam, vienāda ar nulli, ja vektori ir kolineāri, un negatīva, ja rotācija notiek pulksteņrādītāja virzienā. Tāpēc mums pietiek tikai aprēķināt vektoru P 1 P 2 un P 1 M šķībs reizinājumu un izdarīt secinājumu, pamatojoties uz tā zīmi.

Uzdevums #2

Nosakiet, vai punkts pieder staram.

Lēmums
Atcerēsimies, kas ir stars: stars ir taisna līnija, ko vienā pusē ierobežo punkts, bet otrā – bezgalīgs. Tas ir, staru dod kāds sākumpunkts un jebkurš punkts, kas atrodas uz tā. Pieņemsim, ka punkts P 1 (x 1 , y 1) ir stara sākums, un P 2 (x 2 , y 2) ir jebkurš staram piederošs punkts. Ir skaidrs, ka, ja punkts pieder pie stara, tad tas pieder arī tai līnijai, kas iet caur šiem punktiem, bet ne otrādi. Tāpēc piederība līnijai ir nepieciešams, bet nepietiekams nosacījums piederībai staram. Tāpēc mēs nevaram izvairīties no šķībā produkta pārbaudes. Lai nodrošinātu pietiekamu nosacījumu, ir nepieciešams arī aprēķināt to pašu vektoru skalāro reizinājumu. Ja tas ir mazāks par nulli, tad punkts nepieder pie stara, ja tas nav negatīvs, tad punkts atrodas uz stara. Kāpēc ir tā, ka? Apskatīsim zīmējumu.

Tātad, lai punkts M(x, y) atrastos uz stara ar sākotnējo punktu P 1 (x 1 , y 1), kur P 2 (x 2 , y 2) atrodas uz stara, ir nepieciešams un pietiek, lai izpildītu divus nosacījumus:

2. (P 1 P 2 , P 1 M) ≥ 0 ir skalārais reizinājums (punkts atrodas uz stara)

Uzdevums #3

Nosakiet, vai punkts pieder segmentam.

Lēmums
Dotā segmenta gali ir punkti P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2). Atkal nepieciešamais nosacījums punkta piederība segmentam ir tā piederība taisnei, kas iet caur P 1 , P 2 . Tālāk jānoskaidro, vai punkts atrodas starp punktiem P 1 un P 2, šim mums palīdz tikai šoreiz citu vektoru skalārais reizinājums: (MP 1 , MP 2). Ja tas ir mazāks vai vienāds ar nulli, tad punkts atrodas uz segmenta, pretējā gadījumā tas atrodas ārpus segmenta. Kāpēc ir tā, ka? Apskatīsim attēlu.

Tātad, lai punkts M(x, y) atrastos uz segmenta ar galiem P 1 (x 1 , y 1), P 2 (x 2 , y 2), ir nepieciešams un pietiekami izpildīt nosacījumus:
1. \u003d 0 — šķībs produkts (punkts atrodas uz līnijas)
2. (MP 1 ,MP 2) ≤ 0 — punktu reizinājums (punkts atrodas starp P 1 un P 2)

Uzdevums #4

Divu punktu relatīvā pozīcija attiecībā pret taisnu līniju.

Lēmums
Šajā uzdevumā ir jānosaka divi punkti vienā vai pretējās taisnās līnijas pusēs.

Ja punkti atrodas taisnas līnijas pretējās pusēs, tad šķībajiem produktiem ir dažādas zīmes, tāpēc viņu produkts ir negatīvs. Ja punkti atrodas vienā pusē attiecībā pret taisni, tad šķībās produkcijas zīmes sakrīt, kas nozīmē, ka to reizinājums ir pozitīvs.
Tātad:
1. * < 0 – точки лежат по разные стороны.
2. * > 0 – punkti atrodas vienā pusē.
3. * = 0 - viens (vai divi) no punktiem atrodas uz taisnas līnijas.

Starp citu, taisnes un nogriežņa krustošanās punkta klātbūtnes noteikšanas problēma tiek atrisināta tieši tādā pašā veidā. Precīzāk, šī ir viena un tā pati problēma: segments un taisne krustojas, kad segmenta gali atrodas dažādās pusēs attiecībā pret taisni vai kad segmenta gali atrodas uz taisnes, tas ir, tas ir nepieciešams pieprasīt * ≤ 0.

Uzdevums #5

Nosakiet, vai divas līnijas krustojas.

Lēmums
Mēs pieņemsim, ka līnijas nesakrīt. Ir skaidrs, ka taisnes nekrustojas tikai tad, ja tās ir paralēlas. Tāpēc, konstatējot paralēlisma nosacījumu, mēs varam noteikt, vai taisnes krustojas.
Pieņemsim, ka taisnes ir dotas ar vienādojumiem a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 un a 2 x + b 2 y + c 2 = 0. Tad nosacījums paralēlām taisnēm ir tāds, ka a 1 b 2 - a 2 b 1 = 0.
Ja līnijas ir dotas ar punktiem P 1 (x 1, y 1), P 2 (x 2, y 2), M 1 (x 3, y 3), M 2 (x 4, y 4), tad nosacījums jo to paralēlisms ir vektoru P 1 P 2 un M 1 M 2 šķībās reizinājuma pārbaudē: ja tas ir vienāds ar nulli, tad taisnes ir paralēlas.

Parasti, kad taisnes ir dotas ar to vienādojumiem, mēs pārbaudām arī vektoru (-b 1 , a 1), (-b 2 , a 2) šķībs reizinājumu, ko sauc par virziena vektoriem.

Uzdevums #6

Nosakiet, vai krustojas divi taisnes posmi.

Lēmums
Šis ir uzdevums, kas man ļoti patīk. Segmenti krustojas, kad katra segmenta gali atrodas otra segmenta pretējās pusēs. Apskatīsim attēlu:

Tātad, mums ir jāpārbauda, ​​​​vai katra segmenta gali atrodas pretējās pusēs otra segmenta relatīvajiem galiem. Mēs izmantojam vektoru šķībo reizinājumu. Apskatiet pirmo attēlu: > 0,< 0 => * < 0. Аналогично
* < 0. Вы наверно думаете, почему не меньше либо равно. А потому, что возможен следующий случай, при котором векторное произведение как раз и равно нулю, но отрезки не пересекаются:

Tāpēc mums ir jāveic vēl viena pārbaude, proti: vai katra segmenta vismaz viens gals pieder citam (kas pieder segmenta punktam). Mēs jau esam atrisinājuši šo problēmu.

Tātad, lai segmentiem būtu kopīgi punkti, ir nepieciešams un pietiekami:
1. Segmentu gali atrodas dažādās pusēs attiecībā pret citu segmentu.
2. Vismaz viens no viena segmenta galiem pieder citam segmentam.

Uzdevums #7

Attālums no punkta līdz līnijai.

Lēmums
Ļaujiet taisnei dot divus punktus P 1 (x 1, y 1) un P 2 (x 2, y 2).

Iepriekšējā rakstā mēs runājām par to, ka ģeometriski šķībs produkts ir paralelograma orientētais laukums, tāpēc S P 1 P 2 M = 0,5*. No otras puses, katrs students zina formulu, kā atrast trijstūra laukumu: puse no pamatnes reizināta ar augstumu.
S P 1 P 2 M \u003d 0,5 * h * P 1 P 2.
Pielīdzinot šīs jomas, mēs atklājam

Modulo paņēma, jo pirmā zona ir orientēta.

Ja taisne ir dota ar vienādojumu ax + ar + c = 0, tad taisnes vienādojums, kas iet caur punktu M, kas ir perpendikulārs dotajai taisnei, ir: a (y - y 0) - b (x - x 0) = 0. Tagad jūs varat viegli atrisināt sistēmu no iegūtajiem vienādojumiem, atrast to krustpunktu un aprēķināt attālumu no sākuma punkta līdz atrastajam: tas būs precīzi ρ = ​​(ax 0 + par 0 + c) / √ (a 2 + b 2).

Uzdevums #8

Attālums no punkta līdz staram.

Lēmums
Šī problēma atšķiras no iepriekšējās ar to, ka šajā gadījumā var notikt tā, ka perpendikuls no punkta nekrīt uz staru, bet gan uzkrīt uz tā turpinājuma.

Gadījumā, ja perpendikuls nekrīt uz stara, ir jāatrod attālums no punkta līdz stara sākumam - tā būs atbilde uz problēmu.

Kā noteikt, vai perpendikuls krīt uz stara vai nē? Ja perpendikuls nekrīt uz staru, tad leņķis MP 1 P 2 ir neass, pretējā gadījumā tas ir akūts (taisns). Tāpēc, izmantojot vektoru skalārās reizinājuma zīmi, mēs varam noteikt, vai perpendikuls krīt uz staru vai nē:
1. (P 1 M, P 1 P 2)< 0 перпендикуляр не попадает на луч
2. (P 1 M, P 1 P 2) ≥ 0 perpendikuls trāpa pret staru

Uzdevums #9

Attālums no punkta līdz līnijai.

Lēmums
Mēs strīdamies līdzīgi kā iepriekšējā problēma. Ja perpendikuls nekrīt uz nogriežņa, tad atbilde ir attālumu minimums no dotā punkta līdz nogriežņa galiem.

Lai noteiktu, vai perpendikuls krīt uz segmentu, pēc analoģijas ar iepriekšējo uzdevumu ir jāizmanto vektoru skalārais reizinājums. Ja perpendikuls nekrīt uz nogriežņa, tad vai nu leņķis MP 1 P 2, vai leņķis MP 2 P 1 būs neass. Tāpēc saskaņā ar zīmi skalārie produkti mēs varam noteikt, vai perpendikuls krīt uz segmentu vai nē:
Ja (P 1 M, P 1 P 2)< 0 или (P 2 M, P 2 P 1) < 0 то перпендикуляр не падает на отрезок.

Uzdevums #10

Nosakiet punktu skaitu uz līnijas un apļa.

Lēmums
Taisnei un aplim var būt nulle, viens vai divi krustošanās punkti. Apskatīsim attēlus:

Šeit no zīmējumiem viss ir skaidrs. Mums ir divi krustošanās punkti, ja attālums no apļa centra līdz līnijai ir mazāks par apļa rādiusu. Viens saskares punkts, ja attālums no centra līdz līnijai ir vienāds ar rādiusu. Un visbeidzot, nav krustošanās punkta, ja attālums no apļa centra līdz taisnei ir lielāks par apļa rādiusu. Tā kā attāluma no punkta līdz taisnei atrašanas problēma jau ir atrisināta pie mums, tad arī šī problēma ir atrisināta.

Uzdevums #11

Divu apļu savstarpēja izkārtošanās.

Lēmums
Iespējamie apļu izkārtojuma gadījumi: krustojas, pieskaras, nekrustojas.

Apsveriet gadījumu, kad apļi krustojas, un atrodiet to krustošanās laukumu. Man ļoti patīk šī problēma, jo tās risināšanai veltīju diezgan daudz laika (tas bija sen - pirmajā gadā).

Tagad atcerēsimies, kas ir sektors un segments.

Apļu krustpunkts sastāv no diviem posmiem O 1 AB un O 2 AB.

Šķiet, ka ir jāsaskaita šo segmentu laukumi, un viss. Tomēr viss nav tik vienkārši. Ir arī jānosaka, vai šīs formulas vienmēr ir patiesas. Izrādās, ka nē!

Aplūkosim gadījumu, kad otrā riņķa O 2 centrs sakrīt ar punktu C. Šajā gadījumā d 2 = 0, un α vērtībai ņemam α = π. Šajā gadījumā mums ir pusloks ar laukumu 1/2 πR 2 2 .

Tagad apsveriet gadījumu, kad otrā riņķa O 2 centrs atrodas starp punktiem O 1 un C. Šajā gadījumā mēs iegūstam negatīvu vērtību d 2 . Izmantojot negatīvu vērtību d 2, tiek iegūts negatīva vērtība a. Šajā gadījumā pareizai atbildei α jāpievieno 2π.

Secinājums

Tieši tā. Mēs neesam apsvēruši visas, bet visbiežāk sastopamās skaitļošanas ģeometrijas problēmas saistībā ar objektu relatīvo stāvokli.

Ceru, ka jums patika.

Lai atrisinātu problēmu, mēs to sadalām šādos posmos:

1. Problēmas apskats no daudzdimensionālās telpas puses.
2. Problēmas izskatīšana no divdimensiju telpas puses.
3. Krustojuma punktu skaita aprēķins.

Problēmas apskats no daudzdimensionālās telpas puses

Pieņemsim, ka līnijas atrodas trīsdimensiju telpā, tad tās var nebūt paralēlas viena otrai vienā no plaknēm un būt atdalītas viena no otras otrā plaknē. Tas nozīmē, ka šādas līnijas nebūs pa pāriem paralēlas un tām nebūs krustošanās punktu.

Problēmas izskatīšana no divdimensiju telpas puses

Divdimensiju telpā (plaknē) divas taisnes nav paralēlas, kas nozīmē, ka tām obligāti ir viens un tikai viens krustošanās punkts. Pēc nosacījuma taisnes neiet cauri vienam (kopējam) krustojuma punktam, tāpēc, tā kā taisnes nav pa pāriem paralēlas, katra no tām noteikti krusto atlikušās.

Krustojuma punktu skaita aprēķins

Pievienojot plaknei jaunu neparalēlu taisni, tiks pievienoti krustošanās punkti ar tām taisnēm, kuras jau ir uzzīmētas plaknē. Tāpēc divas taisnes dod 1 krustošanās punktu. Pievienojot trešo līniju, mēs iegūstam vēl 2 krustošanās punktus ar divām jau novilktām taisnēm; pievienojot ceturto taisni, iegūstam vēl 3 krustošanās punktus; piektais - vēl 4 krustojuma punkti. Tādējādi kopā mēs iegūstam:

1 + 2 + 3 + 4 = 10 krustošanās punkti

Atbilde: 1) daudzdimensiju telpa - 0 krustošanās punktu; 2) divdimensiju telpa - 10 krustošanās punkti.

Divām līnijām ir viens krustošanās punkts. Pievienojot tiem vēl vienu līniju, mēs iegūstam vēl 2 krustošanās punktus ar katru no šīm divām līnijām. Pievienojot vēl vienu līniju, tas papildus dos tik daudz krustpunktu, cik jau bija līnijas, t.i. vēl 3. Un tā tālāk. Katra n-tā līnija dod papildu (n-1) krustošanās punktus ar (n-1) taisnēm.

1 + 2 + 3 + 4 = 10

Viss iepriekš minētais ir patiess, ja nevienai no 3 līnijām nav 1 kopīga krustošanās punkta.

Ja tomēr taisnes var krustoties vienā punktā, bet ne visas uzreiz, tad, novietojot 4 līnijas ar zvaigzni, mums ir 1 to krustošanās punkts, un, pievienojot 5. līniju, mēs iegūstam vēl 4 punktus. Šajā gadījumā 5 līnijām būs 5 kopīgi krustošanās punkti.

Atbilde: 10 krustošanās punktus veidos 5 neparalēlas taisnes, ja vienā punktā nekrustojas vairāk par 2 taisnēm. Vai 5 krustošanās punkti, ja vienā punktā var krustoties vairāk nekā divas taisnes.