Grādi nozīmē akūtu trīsstūri. Trīsstūru veidi: taisnleņķa, akūtstūra, strupi

Parasti divus trīsstūrus uzskata par līdzīgiem, ja tiem ir vienāda forma, pat ja tie ir dažāda izmēra, pagriezti vai pat otrādi.

Attēlā parādītais divu līdzīgu trīsstūru A 1 B 1 C 1 un A 2 B 2 C 2 matemātiskais attēlojums ir uzrakstīts šādi:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

Divi trīsstūri ir līdzīgi, ja:

1. Katrs viena trīsstūra leņķis ir vienāds ar cita trijstūra attiecīgo leņķi:
∠A 1 = ∠ A 2 , ∠ B 1 = ∠ B 2 un ∠C1 = ∠C2

2. Viena trijstūra malu attiecības pret cita trijstūra attiecīgajām malām ir vienādas viena ar otru:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. Attiecības divas puses no viena trijstūra līdz cita trijstūra attiecīgajām malām ir vienādas viena ar otru un tajā pašā laikā
leņķi starp šīm malām ir vienādi:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ un $\angle A_1 = \angle A_2$
vai
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ un $\angle B_1 = \angle B_2$
vai
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ un $\angle C_1 = \angle C_2$

Līdzīgus trīsstūrus nevajadzētu sajaukt ar vienādiem trīsstūriem. Kongruentiem trijstūriem ir atbilstoši malu garumi. Tātad vienādiem trijstūriem:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

No tā izriet, ka visi vienādi trīsstūri ir līdzīgi. Tomēr ne visi līdzīgie trīsstūri ir vienādi.

Lai gan iepriekš minētais apzīmējums parāda, ka, lai noskaidrotu, vai divi trijstūri ir līdzīgi vai nē, mums ir jāzina trīs leņķu vērtības vai katra trijstūra trīs malu garumi, lai atrisinātu problēmas ar līdzīgiem trijstūriem, ir pietiekami, lai katram trijstūrim zinātu jebkuras trīs vērtības no iepriekš minētā. Šīs vērtības var būt dažādās kombinācijās:

1) katra trīsstūra trīs leņķi (trijstūra malu garumi nav jāzina).

Vai vismaz 2 viena trīsstūra leņķiem jābūt vienādiem ar 2 cita trijstūra leņķiem.
Tā kā, ja 2 leņķi ir vienādi, tad arī trešais leņķis būs vienāds. (Trešā leņķa vērtība ir 180 - leņķis1 - leņķis2)

2) katra trijstūra malu garumi (leņķi nav jāzina);

3) abu malu garumi un leņķis starp tām.

Tālāk mēs apsveram dažu problēmu risinājumu ar līdzīgiem trijstūriem. Pirmkārt, mēs apskatīsim problēmas, kuras var atrisināt, tieši izmantojot iepriekš minētos noteikumus, un pēc tam apspriedīsim dažas praktiskas problēmas, kuras var atrisināt, izmantojot līdzīgu trīsstūru metodi.

Praktiskas problēmas ar līdzīgiem trijstūriem

1. piemērs: Parādiet, ka divi trīsstūri attēlā zemāk ir līdzīgi.

Risinājums:
Tā kā abu trīsstūru malu garumi ir zināmi, šeit var piemērot otro noteikumu:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$ $\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

2. piemērs: Parādiet, ka divi dotie trijstūri ir līdzīgi, un atrodiet malu garumus PQ un PR.

Risinājums:
∠A = ∠P un ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(jo ∠C = 180 - ∠A - ∠B un ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

No tā izriet, ka trijstūri ∆ABC un ∆PQR ir līdzīgi. Sekojoši:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \Rightarrow PQ=\frac(4\times12)(6) = 8$ un
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \Rightarrow PR=\frac(7\times12)(6) = 14 USD

3. piemērs: Nosakiet garumu ABšajā trīsstūrī.

Risinājums:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED un ∠A kopīgi => trīsstūri ΔABC un ΔADE ir līdzīgi.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \labā bultiņa 2\reizes AB = AB + 4 \labā bultiņa AB = 4 $

4. piemērs: Noteikt garumu AD(x)ģeometriskā figūra attēlā.

Trijstūri ∆ABC un ∆CDE ir līdzīgi, jo AB || DE un viņiem ir kopīgs augšējais stūris C.
Mēs redzam, ka viens trīsstūris ir otra mērogots variants. Tomēr mums tas ir jāpierāda matemātiski.

AB || DE, CD || AC un BC || ES
∠BAC = ∠EDC un ∠ABC = ∠DEC

Pamatojoties uz iepriekš minēto un ņemot vērā kopīga leņķa klātbūtni C, varam apgalvot, ka trijstūri ∆ABC un ∆CDE ir līdzīgi.

Sekojoši:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Labā bultiņa CA = \frac(15 \times 11)(7 ) = 23,57 USD
x = maiņstrāva - līdzstrāva = 23,57 - 15 = 8,57

Praktiski piemēri

5. piemērs: Rūpnīcā tiek izmantota slīpa konveijera lente, lai transportētu produktus no 1. līmeņa līdz 2. līmenim, kas ir 3 metrus virs 1. līmeņa, kā parādīts attēlā. Slīpais konveijers tiek apkalpots no viena gala līdz 1. līmenim un no otra gala uz darbstaciju, kas atrodas 8 metru attālumā no 1. līmeņa darbības punkta.

Rūpnīca vēlas modernizēt konveijeru, lai piekļūtu jaunajam līmenim, kas atrodas 9 metrus virs 1. līmeņa, vienlaikus saglabājot konveijera leņķi.

Nosakiet attālumu, kādā jums ir jāiestata jauna darba vieta, lai konveijers varētu darboties savā jaunajā galā 2. līmenī. Aprēķiniet arī papildu attālumu, kādu izstrādājums nobrauks, pārejot uz jaunu līmeni.

Risinājums:

Vispirms marķēsim katru krustojuma punktu ar noteiktu burtu, kā parādīts attēlā.

Pamatojoties uz iepriekšējos piemēros sniegto argumentāciju, varam secināt, ka trijstūri ∆ABC un ∆ADE ir līdzīgi. Sekojoši,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \Labā bultiņa AB = \frac(8 \times 9)(3 ) = 24 m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 m

Tādējādi jaunais punkts jāierīko 16 metru attālumā no esošā punkta.

Un tā kā struktūru veido taisnleņķa trijstūri, mēs varam aprēķināt produkta pārvietošanās attālumu šādi:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 m$

Līdzīgi $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
kas ir attālums, kuru produkts nobrauc Šis brīdis ieejot esošajā līmenī.

y = maiņstrāva - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 m
Šis ir papildu attālums, kas produktam jānobrauc, lai sasniegtu jaunu līmeni.

6. piemērs: Stīvs vēlas apciemot savu draugu, kurš nesen pārcēlās uz dzīvi jauna māja. Ceļa karte, lai nokļūtu Stīva un viņa drauga mājā, kopā ar Stīvam zināmajiem attālumiem ir parādīta attēlā. Palīdziet Stīvam pēc iespējas īsākā ceļā nokļūt viņa drauga mājā.

Risinājums:

Ceļa karti var attēlot ģeometriski šādā formā, kā parādīts attēlā.

Mēs redzam, ka trijstūri ∆ABC un ∆CDE ir līdzīgi, tāpēc:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

Uzdevuma paziņojumā teikts, ka:

AB = 15 km, AC = 13,13 km, CD = 4,41 km un DE = 5 km

Izmantojot šo informāciju, mēs varam aprēķināt šādus attālumus:

$BC = \frac(AB \times CD)(DE) = \frac(15 \times 4,41) (5) = 13,23 km$
$CE = \frac(AC \times CD)(BC) = \frac(13,13 \times 4,41) (13,23) = 4,38 km$

Stīvs var nokļūt sava drauga mājā, izmantojot šādus maršrutus:

A -> B -> C -> E -> G, kopējā distance 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 km

F -> B -> C -> D -> G, kopējā distance 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 km

F -> A -> C -> E -> G, kopējā distance 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 km

F -> A -> C -> D -> G, kopējā distance 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 km

Tāpēc maršruts #3 ir īsākais un to var piedāvāt Stīvam.

7. piemērs:
Triša vēlas izmērīt mājas augstumu, bet viņai nav pareizos instrumentus. Viņa pamanīja, ka mājas priekšā aug koks, un nolēma izmantot savu attapību un skolā iegūtās ģeometrijas zināšanas, lai noteiktu ēkas augstumu. Viņa izmērīja attālumu no koka līdz mājai, rezultāts bija 30 m. Tad viņa nostājās koka priekšā un sāka atkāpties, līdz virs koka galotnes bija redzama ēkas augšējā mala. Triša atzīmēja vietu un izmērīja attālumu no tās līdz kokam. Šis attālums bija 5 m.

Koka augstums ir 2,8 m un Trišas acu augstums ir 1,6 m. Palīdziet Trišai noteikt ēkas augstumu.

Risinājums:

Problēmas ģeometriskais attēlojums ir parādīts attēlā.

Vispirms izmantojam trīsstūru ∆ABC un ∆ADE līdzību.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Labā bultiņa 2,8 \reizes AC = 1,6 \reizes (5) + AC) = 8 + 1,6 \reizes AC$

$(2,8–1,6) \reizes AC = 8 \Labā bultiņa AC = \frac(8) (1,2) = 6,67 $

Pēc tam mēs varam izmantot trīsstūru ∆ACB un ∆AFG vai ∆ADE un ∆AFG līdzību. Izvēlēsimies pirmo variantu.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1,6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6,67)(6,67 + 5 + 30) = 0,16 \labā bultiņa H = \frac(1,6) )(0,16) = 10 m$

Tiek uzskatīts, ka divi trīsstūri ir vienādi, ja tos var pārklāt. 1. attēlā parādīti vienādi trīsstūri ABC un A 1 B 1 C 1. Katru no šiem trijstūriem var uzlikt uz cita, lai tie būtu pilnībā savietojami, tas ir, to virsotnes un malas ir savienotas pārī. Ir skaidrs, ka šajā gadījumā šo trīsstūru leņķi tiks apvienoti pa pāriem.

Tātad, ja divi trīsstūri ir vienādi, tad viena trijstūra elementi (t.i., malas un leņķi) ir attiecīgi vienādi ar otra trijstūra elementiem. Pieraksti to vienādos trīsstūros pret attiecīgi vienādām malām(t.i., pārklājas, kad tiek uzklāts) atrodas vienādos leņķos un atpakaļ: pretēji attiecīgi vienādi leņķi atrodas vienādas malas.

Tā, piemēram, vienādos trīsstūros ABC un A 1 B 1 C 1, kas parādīti 1. attēlā, vienādi leņķi C un C 1 atrodas pret attiecīgi vienādām malām AB un A 1 B 1. Trijstūru ABC un A 1 B 1 C 1 vienādību apzīmēsim šādi: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Izrādās, ka divu trīsstūru vienādību var noteikt, salīdzinot dažus to elementus.

1. teorēma. Pirmā trīsstūru vienlīdzības zīme. Ja viena trijstūra divas malas un leņķis starp tām ir attiecīgi vienāds ar cita trijstūra divām malām un leņķi starp tām, tad šādi trīsstūri ir vienādi (2. att.).

Pierādījums. Apsveriet trīsstūrus ABC un A 1 B 1 C 1, kuros AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1 ∠ A \u003d ∠ A 1 (sk. 2. att.). Pierādīsim, ka Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Tā kā ∠ A \u003d ∠ A 1, tad trijstūri ABC var uzlikt uz trijstūra A 1 B 1 C 1 tā, lai virsotne A būtu izlīdzināta ar virsotni A 1 un malas AB un AC pārklājas attiecīgi uz trijstūra. stari A 1 B 1 un A 1 C viens . Tā kā AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, tad puse AB tiks apvienota ar malu A 1 B 1 un puse AC - ar malu A 1 C 1; jo īpaši punkti B un B 1 , C un C 1 sakritīs. Tāpēc malas BC un B 1 C 1 tiks izlīdzinātas. Tātad trijstūri ABC un A 1 B 1 C 1 ir pilnībā saderīgi, kas nozīmē, ka tie ir vienādi.

2. teorēma tiek pierādīta līdzīgi ar superpozīcijas metodi.

2. teorēma. Otrā trijstūra vienādības zīme. Ja viena trijstūra mala un divi tai blakus esošie leņķi ir attiecīgi vienādi ar cita trijstūra malu un diviem tai blakus esošajiem leņķiem, tad šādi trijstūri ir vienādi (34. att.).

komentēt. Pamatojoties uz 2. teorēmu, tiek izveidota 3. teorēma.

3. teorēma. Jebkuru divu trijstūra iekšējo leņķu summa ir mazāka par 180°.

No pēdējās teorēmas izriet 4. teorēma.

4. teorēma. Trijstūra ārējais leņķis ir lielāks par jebkuru iekšējais stūris, kas nav tai blakus.

5. teorēma. Trešā trijstūra vienādības zīme. Ja viena trijstūra trīs malas ir attiecīgi vienādas ar cita trijstūra trim malām, tad šādi trīsstūri ir vienādi ().

1. piemērs Trijstūrī ABC un DEF (4. att.)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm. Salīdziniet trīsstūrus ABC un DEF. Kurš leņķis trijstūrī DEF ir vienāds ar leņķi B?

Risinājums. Šie trīsstūri ir vienādi pirmajā zīmē. Trijstūra DEF leņķis F ir vienāds ar trijstūra ABC leņķi B, jo šie leņķi atrodas pretī attiecīgajām vienādajām malām DE un AC.

2. piemērs Posmi AB un CD (5. att.) krustojas punktā O, kas ir katra no tiem viduspunkts. Ar ko segments BD ir vienāds, ja segments AC ir 6 m?

Risinājums. Trijstūri AOC un BOD ir vienādi (pēc pirmā kritērija): ∠ AOC = ∠ BOD (vertikāli), AO = OB, CO = OD (pēc nosacījuma).
No šo trīsstūru vienādības izriet to malu vienādība, t.i., AC = BD. Bet tā kā saskaņā ar nosacījumu AC = 6 m, tad BD = 6 m.

Standarta apzīmējumi

Trijstūris ar virsotnēm A, B un C apzīmēts kā (sk. att.). Trīsstūrim ir trīs malas:

Trijstūra malu garumi ir norādīti ar mazajiem burtiem ar latīņu burtiem(a, b, c):

Trīsstūrim ir šādi leņķi:

Tradicionāli tiek apzīmētas leņķu vērtības attiecīgajās virsotnēs grieķu burti (α, β, γ).

Trīsstūru vienādības zīmes

Trijstūri Eiklīda plaknē var unikāli (līdz kongruencei) definēt ar šādiem pamatelementu tripletiem:

1. a, b, γ (vienlīdzība abās pusēs un leņķis, kas atrodas starp tām);
2. a, β, γ (sānu un divu blakus leņķu vienādība);
3. a, b, c (vienlīdzība no trim pusēm).

Taisnleņķa trīsstūru vienādības zīmes:

1. gar kāju un hipotenūzu;
2. uz divām kājām;
3. gar kāju un akūtu leņķi;
4. hipotenūza un akūts leņķis.

Daži trīsstūra punkti ir "sapāroti". Piemēram, ir divi punkti, no kuriem visas malas ir redzamas vai nu 60°, vai 120° leņķī. Viņus sauc punkti Torricelli. Ir arī divi punkti, kuru sānu projekcijas atrodas regulāra trīsstūra virsotnēs. Tas - Apollonija punkti. Punkti un tādi kā sauc Brokarda punkti.

Tieša

Jebkurā trijstūrī smaguma centrs, ortocentrs un ierobežotā apļa centrs atrodas uz vienas taisnes, ko sauc Eilera līnija.

Tiek saukta līnija, kas iet caur ierobežotā apļa centru un Lemoine punktu Brokara ass. Uz tā atrodas Apollonija punkti. Torricelli punkti un Lemoine punkts arī atrodas vienā taisnē. Trijstūra leņķu ārējo bisektriju pamatnes atrodas uz vienas taisnes, t.s. ārējo bisektoru ass. Tajā pašā taisnē atrodas arī taisnstūra malas saturošu līniju krustošanās punkti ar trijstūra malām. Šo līniju sauc ortocentriskā ass, tas ir perpendikulārs Eilera līnijai.

Ja ņemam punktu uz trijstūra ierobežotā apļa, tad tā projekcijas uz trijstūra malām atradīsies uz vienas taisnes, t.s. Simsona taisne dots punkts. Simsona diametrāli pretējo punktu līnijas ir perpendikulāras.

trijstūri

• Tiek izsaukts trijstūris ar virsotnēm cevānu bāzēs, kas novilktas caur noteiktu punktu ceviāna trīsstūrisšis punkts.
• Tiek saukts trīsstūris ar virsotnēm dotā punkta projekcijās uz malām zem ādas vai pedāļa trīsstūrisšis punkts.
• Tiek saukts trijstūris ar virsotnēm, kas atrodas caur virsotnēm novilkto līniju un dotā punkta otrajos krustpunktos ar ierobežotu apli. ceviāna trīsstūris. Ceviāna trīsstūris ir līdzīgs zemādas trīsstūrim.

aprindās

• Ierakstīts aplis ir riņķa līnija, kas pieskaras visām trim trijstūra malām. Viņa ir vienīgā. Tiek saukts ierakstītā apļa centrs centrs.
• Ierobežots aplis- aplis, kas iet cauri visām trim trijstūra virsotnēm. Unikāls ir arī ierobežotais aplis.
• Apcirpt- aplis, kas pieskaras trijstūra vienai malai un abu pārējo malu pagarinājums. Trīsstūrī ir trīs šādi apļi. To radikālais centrs ir vidējā trīsstūra ierakstītā apļa centrs, ko sauc Špīkera viedoklis.

Trīsstūra trīs malu viduspunkti, tā trīs augstumu pamati un trīs līnijas segmentu viduspunkti, kas savieno tā virsotnes ar ortocentru, atrodas uz viena apļa, ko sauc par deviņu punktu aplis vai Eilera aplis. Deviņu punktu apļa centrs atrodas uz Eilera līnijas. Deviņu punktu aplis pieskaras ierakstītam aplim un trim apļiem. Tiek saukts kontaktpunkts starp ierakstītu apli un deviņu punktu apli Feuerbaha punkts. Ja no katras virsotnes uz taisnām līnijām izklājam trijstūrus, kas satur malas, ortozes, kas vienādas garumā ar pretējām malām, tad iegūtie seši punkti atrodas uz viena apļa - Konveja apļi. Jebkurā trijstūrī var ierakstīt trīs apļus tā, lai katrs no tiem pieskartos divām trijstūra malām un diviem citiem apļiem. Tādus apļus sauc Malfatti apļi. Sešu trīsstūru, kuros trijstūris ir sadalīts ar mediānām, ierobežoto apļu centri atrodas uz viena apļa, ko sauc Lamun aplis.

Trijstūrim ir trīs apļi, kas pieskaras divām trijstūra malām un ierobežotajam aplim. Tādus apļus sauc daļēji ierakstīts vai Verjē aprindās. Segmenti, kas savieno Verjē apļu saskares punktus ar ierobežoto apli, krustojas vienā punktā, t.s. Verjē punkts. Tas kalpo kā viendabības centrs, kas noņem ierobežoto apli uz apli. Verjē apļu pieskares punkti ar malām atrodas uz taisnas līnijas, kas iet caur ierakstītā apļa centru.

Līnijas atzari, kas savieno ierakstītā riņķa pieskares punktus ar virsotnēm, krustojas vienā punktā, t.s. Gergonne punkts, un segmenti, kas savieno virsotnes ar apļu saskares punktiem - iekšā Nagel punkts.

Elipses, parabolas un hiperbolas

Ierakstīts konisks (elipse) un tā perspektīva

Trijstūrī var ierakstīt bezgalīgu skaitu konusu (elipses, parabolas vai hiperbolas). Ja trīsstūrī ierakstīsim patvaļīgu konisku un savienosim saskares punktus ar pretējām virsotnēm, tad iegūtās līnijas krustosies vienā punktā, ko sauc par perspektīva konusveida. Jebkuram plaknes punktam, kas neatrodas uz sāniem vai uz tā pagarinājuma, ir ierakstīts konuss ar perspektīvu šajā punktā.

Šteinera elipse ir norobežota un cevians iet cauri tās perēkļiem

Elipsi var ierakstīt trīsstūrī, kas viduspunktos pieskaras malām. Tādu elipsi sauc Steinera ierakstīta elipse(tā perspektīva būs trijstūra centroīds). Aprakstīto elipsi, kas pieskaras taisnēm, kas iet caur virsotnēm paralēli malām, sauc ko norobežo Šteinera elipsi. Ja afīna transformācija ("šķība") pārvērš trīsstūri par regulāru, tad tā ierakstītā un ierobežotā Šteinera elipse pāries ierakstītā un ierobežotā aplī. Caur aprakstītās Šteinera elipses (Skutina punkti) perēkļiem novilktas Cevians ir vienādas (Skutina teorēma). No visām norobežotajām elipsēm ir ierobežota Šteinera elipse mazākā platība, un no visām ierakstītajām elipsēm Šteinera ierakstītajai elipsei ir vislielākais laukums.

Brokāra elipse un tās perspektors – Lemuāna punkts

Tiek saukta elipsi ar perēkļiem Brokara punktos Brokāra elipse. Tās perspektīva ir Lemoine punkts.

Ierakstītas parabolas īpašības

Ķiperta parabola

Ierakstīto parabolu perspektīvas atrodas uz norobežotās Šteinera elipses. Ierakstītas parabolas fokuss atrodas uz ierobežoto apli, un virziens iet caur ortocentru. Tiek saukta parabola, kas ierakstīta trijstūrī, kura virziens ir Eilera līnija Ķiperta parabola. Tās perspektīva ir ceturtais ierobežotā apļa un ierobežotās Šteinera elipses krustpunkts, ko sauc Šteinera punkts.

Ciperta hiperbola

Ja aprakstītā hiperbola iet caur augstumu krustpunktu, tad tā ir vienādmalu (tas ir, tās asimptoti ir perpendikulāri). Vienādmalu hiperbolas asimptotu krustpunkts atrodas uz deviņu punktu apļa.

Pārvērtības

Ja taisnes, kas iet caur virsotnēm un kādu punktu, kas neatrodas malās, un to paplašinājumi ir atspoguļoti attiecībā pret atbilstošajām bisektriecēm, tad arī to attēli krustosies vienā punktā, ko sauc. izogonāli konjugēts oriģinālais (ja punkts atrodas uz ierobežota apļa, tad iegūtās līnijas būs paralēlas). Daudzi ievērojamu punktu pāri ir izogonāli konjugēti: ierobežotā apļa centrs un ortocentrs, centroīds un Lemuāna punkts, Brokāra punkti. Apollonija punkti ir izogonāli konjugēti ar Toričelli punktiem, un apļa centrs ir izogonāli konjugēts ar sevi. Izogonālas konjugācijas rezultātā taisnas līnijas pārvēršas ierobežotos konusos, bet ierobežotās konuses - taisnās līnijās. Tādējādi Kīperta hiperbola un Brokāra ass, Enžabeka hiperbola un Eilera līnija, Feuerbaha hiperbola un ierakstītā apļa centru līnija ir izogonāli konjugētas. Izogonāli konjugētu punktu subdermālo trijstūri norobežotie apļi sakrīt. Ierakstīto elipsi perēkļi ir izogonāli konjugēti.

Ja simetriskā ceviāna vietā ņemam ceviānu, kura pamatne atrodas tikpat tālu no malas vidus kā sākotnējās pamatnes pamatne, tad arī šādi civini vienā punktā krustosies. Iegūto transformāciju sauc izotomiskā konjugācija. Tas arī kartē līnijas uz ierobežotiem konusiem. Gergonne un Nagel punkti ir izotomiski konjugēti. Afīnās pārvērtībās izotomiski konjugētie punkti pāriet izotomiski konjugātos. Izotomijas konjugācijā aprakstītā Šteinera elipse pāriet taisnā līnijā bezgalībā.

Ja segmentos, ko trijstūra malas nogriež no ierobežotā apļa, ir ierakstīti apļi, kas pieskaras malām ceviānu pamatnēs, kas novilktas caur noteiktu punktu, un tad šo apļu saskares punkti ir savienoti ar ierobežots aplis ar pretējām virsotnēm, tad šādas līnijas krustosies vienā punktā. Tiek izsaukta plaknes transformācija, saskaņojot sākotnējo punktu ar iegūto izocirkulāra transformācija. Izogonālās un izotomiskās konjugācijas sastāvs ir izocirkulārās transformācijas sastāvs ar sevi. Šī kompozīcija ir projektīva transformācija, kas atstāj trijstūra malas savās vietās un pārvērš ārējo bisektoru asi taisnā līnijā bezgalībā.

Ja turpināsim kāda punkta ceviāna trijstūra malas un ņemam to krustpunktus ar atbilstošajām malām, tad iegūtie krustojuma punkti atradīsies uz vienas taisnes, t.s. trīslīniju polārais sākumpunkts. Ortocentriskā ass - ortocentra trīslīniju polārais; ierakstītā apļa centra trīslīniju polārais ir ārējo bisektoru ass. Punktu trīslīniju polāri, kas atrodas uz ierobežotā konusa, krustojas vienā punktā (ierobežotajam riņķim tas ir Lemoine punkts, ierobežotajai Šteinera elipsei tas ir centroīds). Izogonālās (vai izotomiskās) konjugācijas un trilineārās polārās sastāvs ir dualitātes transformācija (ja punkts izogonāli (izotomiski) konjugēts ar punktu atrodas uz punkta trilineārā polāra, tad punkta trilineārais polārs izogonāli (izotomiski) konjugāts ar punktu atrodas uz punkta trilineāra polāra ).

Kubiņi

Attiecības trīsstūrī

Piezīme:šajā sadaļā, , , ir trīsstūra trīs malu garumi, un , ir leņķi, kas atrodas attiecīgi pretī šīm trim malām (pretēji leņķi).

trīsstūra nevienlīdzība

Nedeģenerētā trīsstūrī tā divu malu garumu summa ir lielāka par trešās malas garumu, deģenerētā tā ir vienāda. Citiem vārdiem sakot, trijstūra malu garumi ir saistīti ar šādām nevienādībām:

Trijstūra nevienlīdzība ir viena no metrikas aksiomām.

Trijstūra leņķu summas teorēma

Sinus teorēma

,

kur R ir ap trijstūri norobežotā riņķa rādiuss. No teorēmas izriet, ka, ja a< b < c, то α < β < γ.

Kosinusa teorēma

Pieskares teorēma

Citas attiecības

Metriskās attiecības trīsstūrī ir norādītas:

Trīsstūru risināšana

Trijstūra nezināmo malu un leņķu aprēķins, pamatojoties uz zināmajiem, vēsturiski tika saukts par "trijstūra atrisinājumiem". Šajā gadījumā tiek izmantotas iepriekš minētās vispārīgās trigonometriskās teorēmas.

Trijstūra laukums

Īpaši gadījumi Apzīmējumi

Uz apgabalu attiecas šādas nevienlīdzības:

Trīsstūra laukuma aprēķināšana telpā, izmantojot vektorus

Ļaujiet trijstūra virsotnēm atrasties punktos , , .

Ieviesīsim laukuma vektoru . Šī vektora garums ir vienāds ar trīsstūra laukumu, un tas ir vērsts pa normālu pret trijstūra plakni:

Ļaut , Kur , , ir trīsstūra projekcijas uz koordinātu plaknēm. Kurā

un tāpat

Trijstūra laukums ir.

Alternatīva ir aprēķināt malu garumus (izmantojot Pitagora teorēmu) un pēc tam izmantojot Herona formulu.

Trijstūra teorēmas

Desarga teorēma: ja divi trijstūri ir perspektīvi (taisnes, kas iet caur atbilstošajām trijstūra virsotnēm, krustojas vienā punktā), tad to attiecīgās malas krustojas vienā taisnē.

Sonda teorēma: ja divi trijstūri ir perspektīvi un ortoloģiski (perpendikuli, kas nomesti no viena trijstūra virsotnēm uz malām, kas ir pretējās trijstūra attiecīgajām virsotnēm, un otrādi), tad abi ortoloģijas centri (šo perpendikulu krustošanās punkti) un perspektīvas centrs atrodas uz vienas taisnes, kas ir perpendikulāra perspektīvas asij (taisne no Desarga teorēmas).

Šodien dodamies uz Ģeometrijas valsti, kur iepazīsimies dažādi veidi trijstūri.

Apsveriet ģeometriskas figūras un atrodiet starp tiem “papildu” (1. att.).

Rīsi. 1. Piemēram, ilustrācija

Mēs redzam, ka skaitļi Nr. 1, 2, 3, 5 ir četrstūri. Katrai no tām ir savs nosaukums (2. att.).

Rīsi. 2. Četrstūri

Tas nozīmē, ka "papildu" figūra ir trīsstūris (3. att.).

Rīsi. 3. Piemēram, ilustrācija

Trijstūris ir figūra, kas sastāv no trim punktiem, kas neatrodas uz vienas taisnes, un trīs segmentiem, kas savieno šos punktus pa pāriem.

Punkti tiek saukti trīsstūra virsotnes, segmenti - viņa ballītēm. Trijstūra malas veidojas Trīsstūra virsotnēs ir trīs leņķi.

Trijstūra galvenās iezīmes ir trīs malas un trīs stūri. Trijstūri tiek klasificēti pēc leņķa akūts, taisnstūrveida un strups.

Trijstūri sauc par akūtu leņķi, ja visi trīs tā leņķi ir asi, tas ir, mazāki par 90 ° (4. att.).

Rīsi. 4. Akūts trīsstūris

Trijstūri sauc par taisnleņķi, ja viens no tā leņķiem ir 90° (5. att.).

Rīsi. 5. Taisns trīsstūris

Trijstūri sauc par neasu, ja viens no tā leņķiem ir neass, t.i., lielāks par 90° (6. att.).

Rīsi. 6. Strups trīsstūris

Pēc vienādu malu skaita trijstūri ir vienādmalu, vienādsānu, skala.

Vienādsānu trijstūris ir trijstūris, kura divas malas ir vienādas (7. att.).

Rīsi. 7. Vienādsānu trīsstūris

Šīs puses sauc sānu, trešā puse - pamata. Vienādsānu trijstūrī leņķi pie pamatnes ir vienādi.

Vienādsānu trijstūri ir akūts un stulbs(8. att.) .

Rīsi. 8. Akūti un strupi vienādsānu trīsstūri

Tiek saukts vienādmalu trijstūris, kurā visas trīs malas ir vienādas (9. att.).

Rīsi. 9. Vienādmalu trīsstūris

Vienādmalu trīsstūrī visi leņķi ir vienādi. Vienādmalu trijstūri vienmēr akūts leņķis.

Trijstūri sauc par universālu, kurā visām trim malām ir dažādi garumi (10. att.).

Rīsi. 10.Skalēnas trīsstūris

Pabeidziet uzdevumu. Sadaliet šos trīsstūrus trīs grupās (11. att.).

Rīsi. 11. Uzdevuma ilustrācija

Pirmkārt, sadalīsim atbilstoši leņķu lielumam.

Akūtie trīsstūri: Nr.1, Nr.3.

Taisni trīsstūri: #2, #6.

Strupi trīsstūri: #4, #5.

Šie trīsstūri ir sadalīti grupās pēc vienādu malu skaita.

Mēroga trīsstūri: Nr.4, Nr.6.

Vienādsānu trijstūri: Nr.2, Nr.3, Nr.5.

Vienādmalu trīsstūris: Nr.1.

Pārskatiet zīmējumus.

Padomājiet, no kāda stieples gabala ir izgatavots katrs trīsstūris (12. att.).

Rīsi. 12. Uzdevuma ilustrācija

Jūs varat strīdēties šādi.

Pirmais stieples gabals ir sadalīts trīs vienādās daļās, lai no tā varētu izveidot vienādmalu trīsstūri. Attēlā tas ir parādīts trešajā vietā.

Otrais stieples gabals ir sadalīts trīs dažādās daļās, lai no tā varētu izveidot skalēna trīsstūri. Attēlā tas ir parādīts pirmais.

Trešais stieples gabals ir sadalīts trīs daļās, kur abas daļas ir vienāda garuma, lai no tā varētu izveidot vienādsānu trīsstūri. Attēlā tas ir parādīts otrais.

Šodien nodarbībā iepazināmies ar dažāda veida trijstūriem.

Bibliogrāfija

1. M.I. Moro, M.A. Bantova un citi.Matemātika: Mācību grāmata. 3. klase: 2 daļās, 1. daļa. - M .: "Apgaismība", 2012.g.
2. M.I. Moro, M.A. Bantova un citi.Matemātika: Mācību grāmata. 3. klase: 2 daļās, 2. daļa. - M .: "Apgaismība", 2012.g.
3. M.I. Moreau. Matemātikas nodarbības: Vadlīnijas skolotājam. 3. pakāpe - M.: Izglītība, 2012.
4. Normatīvais dokuments. Mācību rezultātu uzraudzība un novērtēšana. - M.: "Apgaismība", 2011. gads.
5. "Krievijas skola": programmas priekš pamatskola. - M.: "Apgaismība", 2011. gads.
6. S.I. Volkovs. Matemātika: Pārbaudes darbs. 3. pakāpe - M.: Izglītība, 2012.
7. V.N. Rudņicka. Pārbaudes. - M.: "Eksāmens", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Mājasdarbs

1. Pabeidziet frāzes.

a) Trijstūris ir figūra, kas sastāv no ..., kas neatrodas uz vienas taisnes, un ..., kas savieno šos punktus pa pāriem.

b) Punkti tiek izsaukti … , segmenti - viņa … . Trijstūra malas veidojas trijstūra virsotnēs ….

c) Pēc leņķa lieluma trijstūri ir ..., ..., ....

d) Pēc vienādu malu skaita trijstūri ir ..., ..., ....

2. Zīmēt

a) taisnleņķa trīsstūris

b) akūts trīsstūris;

c) strups trīsstūris;

d) vienādmalu trīsstūris;

e) skalēnas trīsstūris;

e) vienādsānu trīsstūris.

3. Izveidojiet uzdevumu saviem biedriem par stundas tēmu.

Ģeometrijas zinātne mums stāsta, kas ir trīsstūris, kvadrāts, kubs. AT mūsdienu pasaule to skolās mācās visi bez izņēmuma. Arī zinātne, kas tieši pēta, kas ir trīsstūris un kādas tam piemīt īpašības, ir trigonometrija. Viņa sīki pēta visas parādības, kas saistītas ar datiem.Par to, kas šodien ir trīsstūris, mēs runāsim mūsu rakstā. To veidi tiks aprakstīti turpmāk, kā arī dažas ar tiem saistītās teorēmas.

Kas ir trīsstūris? Definīcija

Šis ir plakans daudzstūris. Tam ir trīs stūri, kas ir skaidrs no tā nosaukuma. Tam ir arī trīs malas un trīs virsotnes, no kurām pirmā ir segmenti, otrā ir punkti. Zinot, ar ko ir vienādi divi leņķi, trešo var atrast, no skaitļa 180 atņemot pirmo divu leņķu summu.

Kas ir trīsstūri?

Tos var klasificēt pēc dažādiem kritērijiem.

Pirmkārt, tos iedala akūtā leņķī, strupleņķī un taisnstūrveida. Pirmajiem ir asi leņķi, tas ir, tie, kas ir mazāki par 90 grādiem. Strupos leņķos viens no leņķiem ir neass, tas ir, viens, kas ir vienāds ar vairāk nekā 90 grādiem, pārējie divi ir asi. Pie akūtiem trijstūriem pieder arī vienādmalu trijstūri. Šādiem trijstūriem visas malas un leņķi ir vienādi. Tie visi ir vienādi ar 60 grādiem, to var viegli aprēķināt, dalot visu leņķu summu (180) ar trīs.

Taisns trīsstūris

Nav iespējams nerunāt par to, kas ir taisnleņķa trīsstūris.

Šādai figūrai ir viens leņķis, kas vienāds ar 90 grādiem (taisns), tas ir, divas tā malas ir perpendikulāras. Pārējie divi leņķi ir asi. Tie var būt vienādi, tad tas būs vienādsānu. Pitagora teorēma ir saistīta ar taisnleņķa trīsstūri. Ar tās palīdzību jūs varat atrast trešo pusi, zinot pirmās divas. Saskaņā ar šo teorēmu, ja pievieno vienas kājas kvadrātu otras kājas kvadrātam, jūs varat iegūt hipotenūzas kvadrātu. Kājas kvadrātu var aprēķināt, no hipotenūzas kvadrāta atņemot zināmās kājas kvadrātu. Runājot par to, kas ir trīsstūris, mēs varam atcerēties vienādsānu. Tas ir tāds, kurā divas malas ir vienādas un arī divi leņķi ir vienādi.

Kas ir kāja un hipotenūza?

Kāja ir viena no trijstūra malām, kas veido 90 grādu leņķi. Hipotenūza ir atlikušā puse, kas ir pretēja pareizā leņķī. No tā uz kājas var nolaist perpendikulu. Blakus esošās kājas attiecību pret hipotenūzu sauc par kosinusu, bet pretējo - par sinusu.

- kādas ir tā īpašības?

Tas ir taisnstūrveida. Tās kājas ir trīs un četras, un hipotenūza ir piecas. Ja redzējāt, ka šī trijstūra kājas ir vienādas ar trīs un četrām, varat būt pārliecināts, ka hipotenūza būs vienāda ar pieci. Tāpat saskaņā ar šo principu var viegli noteikt, ka kāja būs vienāda ar trīs, ja otrā ir vienāda ar četriem, un hipotenūza ir pieci. Lai pierādītu šo apgalvojumu, varat izmantot Pitagora teorēmu. Ja divas kājas ir 3 un 4, tad 9 + 16 \u003d 25, 25 sakne ir 5, tas ir, hipotenūza ir 5. Tāpat Ēģiptes trīsstūri sauc par taisnleņķa trīsstūri, kura malas ir 6, 8 un 10 ; 9, 12 un 15 un citi skaitļi ar attiecību 3:4:5.

Kas vēl varētu būt trīsstūris?

Trijstūrus var arī ierakstīt un norobežot. Figūru, ap kuru aprakstīts aplis, sauc par ierakstītu, visas tās virsotnes ir punkti, kas atrodas uz apļa. Noteikts trīsstūris ir tāds, kurā ir ierakstīts aplis. Atsevišķos punktos ar to saskaras visas tā malas.

Kā ir

Jebkuras figūras laukums tiek mērīts kvadrātveida vienības(kvadrātmetri, kvadrātmilimetri, kvadrātcentimetri, kvadrātdecimetri utt.) Šo vērtību var aprēķināt dažādos veidos atkarībā no trīsstūra veida. Jebkuras figūras laukumu ar leņķiem var atrast, reizinot tās malu ar perpendikulu, kas uz tās nomests no pretējā stūrī, un dalot šo skaitli ar divi. Šo vērtību var atrast arī, reizinot abas puses. Pēc tam reiziniet šo skaitli ar leņķa starp šīm malām sinusu un daliet to ar divi. Zinot visas trīsstūra malas, bet nezinot tā leņķus, jūs varat atrast laukumu citā veidā. Lai to izdarītu, jums jāatrod puse no perimetra. Pēc tam pārmaiņus no šī skaitļa atņemiet dažādas malas un reiziniet četras iegūtās vērtības. Pēc tam uzziniet numuru, kas iznāca. Ierakstīta trijstūra laukumu var atrast, reizinot visas malas un iegūto skaitli, ar kuru ap to ir norobežots, dalot ar četriem.

Aprakstītā trīsstūra laukums tiek atrasts šādā veidā: mēs reizinām pusi perimetra ar tajā ierakstītā apļa rādiusu. Ja tad tā laukumu var atrast šādi: mēs kvadrātā malu, iegūto skaitli reiziniet ar sakni no trīs, tad daliet šo skaitli ar četriem. Līdzīgi varat aprēķināt trijstūra augstumu, kurā visas malas ir vienādas, lai to izdarītu, viena no tām jāreizina ar trīs sakni un pēc tam jādala šis skaitlis ar diviem.

Trijstūra teorēmas

Galvenās ar šo figūru saistītās teorēmas ir iepriekš aprakstītā Pitagora teorēma un kosinusi. Otrais (sinuss) ir tāds, ka, sadalot jebkuru malu ar tai pretējā leņķa sinusu, varat iegūt ap to aprakstītā apļa rādiusu, kas reizināts ar divi. Trešais (kosinuss) ir tāds, ka, ja no to reizinājuma atņem abu malu kvadrātu summu, reizinot ar divi un starp tām esošā leņķa kosinusu, tad tiks iegūts trešās malas kvadrāts.

Dali trīsstūris - kas tas ir?

Daudzi, saskaroties ar šo jēdzienu, sākumā domā, ka tā ir sava veida ģeometrijas definīcija, taču tā nebūt nav. Dali trīsstūris ir parastais nosaukums trīs vietas, kas ir cieši saistītas ar slavenā mākslinieka dzīvi. Tās “topi” ir māja, kurā dzīvoja Salvadors Dalī, pils, ko viņš uzdāvināja savai sievai, un sirreālistisku gleznu muzejs. Ekskursijas laikā pa šīm vietām jūs varat uzzināt daudz jauna. interesanti fakti par šo savdabīgo radošo mākslinieku, kas pazīstams visā pasaulē.