Ģeometriskas formas, kas nav daudzstūri. Daudzstūru veidi" tehnoloģijas "Kritiskās domāšanas attīstība caur lasīšanu un rakstīšanu" ietvaros

Tēma: "Daudzstūri. Daudzstūru veidi"

9. klase

SL №20

Skolotājs: Haritonovičs T.I. Nodarbības mērķis: daudzstūru veidu izpēte.

Mācību uzdevums: aktualizēt, paplašināt un vispārināt skolēnu zināšanas par daudzstūriem; veidot priekšstatu par sastāvdaļas"daudzstūris; veikt regulāru daudzstūru (no trijstūra līdz n-stūrim) veidojošo elementu skaita izpēti;

Attīstības uzdevums: Attīstīt spēju analizēt, salīdzināt, izdarīt secinājumus, attīstīt skaitļošanas prasmes, mutvārdu un rakstveida matemātisko runu, atmiņu, kā arī domāšanas un domāšanas neatkarību. mācību aktivitātes prasme strādāt pāros un grupās; izstrādāt pētījumus un kognitīvā darbība;

Izglītības uzdevums: audzināt patstāvību, aktivitāti, atbildību par uzdoto uzdevumu, neatlaidību mērķa sasniegšanā.

Aprīkojums: interaktīvā tāfele (prezentācija)

Nodarbību laikā

Rādīt prezentāciju: "Daudzstūri"

"Daba runā matemātikas valodā, šīs valodas burti ... matemātiskās figūras." G. Gallilejs

Nodarbības sākumā klase tiek sadalīta darba grupās (mūsu gadījumā sadalīšana 3 grupās)

1. Zvana posms-

a) papildināt studentu zināšanas par tēmu;

b) intereses rašanos par pētāmo tēmu, katra skolēna motivāciju mācību aktivitātēm.

Uzņemšana: spēle "Vai jūs ticat, ka ...", darba organizēšana ar tekstu.

Darba formas: frontālais, grupu.

"Vai jūs tam ticat..."

1. ... vārds "daudzstūris" norāda, ka visām šīs dzimtas figūrām ir "daudz stūru"?

2. ... trijstūris pieder lielai daudzstūru saimei, kas izceļas starp dažādiem dažādiem ģeometriskās formas uz virsmas?

3. …vai kvadrāts ir regulārs astoņstūris (četras malas + četri stūri)?

Šodien nodarbībā runāsim par daudzstūriem. Uzzinām, ka šo figūru ierobežo slēgta lauzta līnija, kas savukārt var būt vienkārša, slēgta. Parunāsim par to, ka daudzstūri ir plakani, regulāri, izliekti. Viens no plakanajiem daudzstūriem ir jums jau sen pazīstams trīsstūris (jūs varat parādīt skolēniem plakātus, kuros attēloti daudzstūri, lauzta līnija, parādīt tos Dažādi, varat arī izmantot PSO).

2. Sapratnes stadija

Mērķis: jaunas informācijas iegūšana, tās izpratne, atlase.

Uzņemšana: zigzags.

Darba formas: individuāli->pāris->grupa.

Katrai grupai tiek dots teksts par nodarbības tēmu, un teksts ir veidots tā, lai tajā iekļautu gan skolēniem jau zināmu, gan pilnīgi jaunu informāciju. Kopā ar tekstu skolēni saņem jautājumus, uz kuriem atbildes jāmeklē šajā tekstā.

Daudzstūri. Daudzstūru veidi.

Kurš gan nav dzirdējis par noslēpumaino Bermudu trijstūri, kur kuģi un lidmašīnas pazūd bez vēsts? Bet trīsstūris, kas mums pazīstams no bērnības, ir pilns ar daudzām interesantām un noslēpumainām lietām.

Papildus mums jau zināmajiem trijstūra veidiem, kas sadalīti ar malām (mērogs, vienādsānu, vienādmalu) un leņķiem (akūts leņķis, strupleņķis, taisnleņķis), trijstūris pieder lielai daudzstūru saimei, kas atšķiras no daudziem. dažādas ģeometriskas formas plaknē.

Vārds "daudzstūris" norāda, ka visām šīs dzimtas figūrām ir "daudz stūru". Bet ar to nepietiek, lai raksturotu figūru.

Pārtraukta līnija A1A2…An ir figūra, kas sastāv no punktiem A1,A2,…An un tos savienojošiem segmentiem A1A2, A2A3,…. Punktus sauc par polilīnijas virsotnēm, bet segmentus par polilīnijas saitēm. (1. ATTĒLS)

Lauztu līniju sauc par vienkāršu, ja tai nav paškrustojumpunktu (2.,3. att.).

Lauztu līniju sauc par slēgtu, ja tās gali sakrīt. Pārrautas līnijas garums ir tās saišu garumu summa (4. att.)

Vienkāršu slēgtu lauztu līniju sauc par daudzstūri, ja tās blakus saites neatrodas uz vienas taisnes (5. att.).

Vārdā “daudzstūris” daļas “daudz” vietā aizstājiet konkrētu skaitli, piemēram, 3. Iegūsiet trīsstūri. Vai 5. Tad - piecstūris. Ņemiet vērā, ka ir tik daudz leņķu, cik malu, tāpēc šīs figūras var saukt par daudzpusējām.

Polilīnijas virsotnes sauc par daudzstūra virsotnēm, un polilīnijas saites sauc par daudzstūra malām.

Daudzstūris sadala plakni divos apgabalos: iekšējā un ārējā (6. att.).

Plaknes daudzstūris vai daudzstūra apgabals ir ierobežota plaknes daļa, ko ierobežo daudzstūris.

Divas daudzstūra virsotnes, kas ir vienas malas gali, sauc par kaimiņiem. Virsotnes, kas nav vienas malas gali, nav blakus.

Daudzstūri ar n virsotnēm un līdz ar to n malām sauc par n-stūri.

Lai gan mazākais skaitlis daudzstūra malas - 3. Bet trijstūri, savienojoties viens ar otru, var veidot citas figūras, kas savukārt ir arī daudzstūri.

Segmentus, kas savieno daudzstūra virsotnes, kas nav blakus esošas, sauc par diagonālēm.

Daudzstūri sauc par izliektu, ja tas atrodas vienā pusplaknē attiecībā pret jebkuru taisni, kurā ir tā mala. Šajā gadījumā tiek uzskatīts, ka pati līnija pieder PUSPLAKNEI

Izliekta daudzstūra leņķis noteiktā virsotnē ir leņķis, ko veido tā malas, kas saplūst šajā virsotnē.

Pierādīsim teorēmu (par izliekta n-stūra leņķu summu): Izliekta n-stūra leņķu summa ir vienāda ar 1800*(n - 2).

Pierādījums. Gadījumā, ja n=3 teorēma ir spēkā. Pieņemsim, ka А1А2…А n ir dots izliekts daudzstūris un n>3. Iezīmēsim tajā diagonāles (no vienas virsotnes). Tā kā daudzstūris ir izliekts, šīs diagonāles sadala to n - 2 trīsstūros. Daudzstūra leņķu summa ir tāda pati kā visu šo trīsstūru leņķu summa. Katra trijstūra leņķu summa ir 1800, un šo trīsstūru skaits ir n - 2. Tāpēc izliekta n - leņķa A1A2 ... A n leņķu summa ir 1800 * (n - 2). Teorēma ir pierādīta.

Izliekta daudzstūra ārējais leņķis noteiktā virsotnē ir leņķis, kas atrodas blakus daudzstūra iekšējam leņķim šajā virsotnē.

Izliektu daudzstūri sauc par regulāru, ja visas malas ir vienādas un visi leņķi ir vienādi.

Tātad kvadrātu var saukt dažādi - regulārs četrstūris. Arī vienādmalu trīsstūri ir regulāri. Šādas figūras jau sen ir interesējušas meistarus, kas dekorēja ēkas. Viņi veidoja skaistus rakstus, piemēram, uz parketa. Bet ne visus regulāros daudzstūrus varēja izmantot parketa veidošanai. Parketu nevar veidot no regulāriem astoņstūriem. Fakts ir tāds, ka tiem katrs leņķis ir vienāds ar 1350. Un, ja kāds punkts ir divu šādu astoņstūru virsotne, tad tiem būs 2700, un trešajam astoņstūrim nav kur ietilpt: 3600 - 2700 \u003d 900. kvadrātam pietiek. Tāpēc parketu iespējams salocīt no parastiem astoņstūriem un kvadrātiem.

Zvaigznēm ir taisnība. Mūsu piecstaru zvaigzne ir parasta piecstūra zvaigzne. Un, ja jūs pagriežat kvadrātu ap centru par 450, jūs iegūstat parastu astoņstūra zvaigzni.

Kas ir pārtraukta līnija? Paskaidrojiet, kas ir polilīnijas virsotnes un saites.

Kuru pārtraukto līniju sauc par vienkāršu?

Kuru pārtraukto līniju sauc par slēgtu?

Kas ir daudzstūris? Kā sauc daudzstūra virsotnes? Kādas ir daudzstūra malas?

Kas ir plakans daudzstūris? Sniedziet daudzstūru piemērus.

Kas ir n-gon?

Paskaidrojiet, kuras daudzstūra virsotnes atrodas blakus un kuras nav.

Kāda ir daudzstūra diagonāle?

Kas ir izliekts daudzstūris?

Paskaidrojiet, kuri daudzstūra stūri ir ārējie un kuri iekšējie?

Kas ir regulārs daudzstūris? Sniedziet regulāru daudzstūru piemērus.

Kāda ir izliekta n-stūra leņķu summa? Pierādi.

Studenti strādā ar tekstu, meklē atbildes uz uzdotajiem jautājumiem, pēc tam tiek izveidotas ekspertu grupas, kurās tiek strādāts pie tiem pašiem jautājumiem: studenti izceļ galveno, sastāda atbalsta kopsavilkumu, sniedz informāciju kādā no grafiskās formas. Darba beigās skolēni atgriežas savās darba grupās.

3. Pārdomu stadija -

a) savu zināšanu novērtējums, izaicinājums nākamajam zināšanu solim;

b) saņemtās informācijas izpratne un apropriācija.

Uzņemšana: pētnieciskais darbs.

Darba formas: individuāli->pāris->grupa.

Darba grupas ir eksperti atbildēs uz katru no piedāvāto jautājumu sadaļām.

Atgriežoties pie darba grupas, eksperts iepazīstina pārējos grupas dalībniekus ar atbildēm uz viņu jautājumiem. Grupā notiek visu darba grupas dalībnieku informācijas apmaiņa. Tādējādi katrā darba grupa, pateicoties ekspertu darbam, veidojas vispārējs priekšstats par pētāmo tēmu.

Pētījumi studenti- tabulas aizpildīšana.

Regulāri daudzstūri Zīmējums Sānu skaits Virsotņu skaits Visu iekšējo leņķu summa Iekšējā pakāpes mērs. leņķis Ārējā leņķa pakāpes mērs Diagonāļu skaits

A) trīsstūris

B) četrstūris

B) piecu caurumu

D) sešstūris

E) n-gon

Risinājums interesanti uzdevumi par nodarbības tēmu.

1) Cik malu ir parastam daudzstūrim, katrai no tām iekšējie stūri kas ir vienāds ar 1350?

2) Noteiktā daudzstūrī visi iekšējie leņķi ir vienādi viens ar otru. Vai šī daudzstūra iekšējo leņķu summa var būt: 3600, 3800?

3) Vai ir iespējams uzbūvēt piecstūri ar 100,103,110,110,116 grādu leņķiem?

Apkopojot stundu.

Ierakstīšana mājasdarbs: STR 66-72 №15,17 UN PROBLĒMA: Četrstūrī UZZĒMĒJIET TIEŠU, LAI VIŅA TO SADALĀT TRĪS TRĪSSTŪROS.

Pārdomas testu veidā (uz interaktīvās tāfeles)

Plaknes daļu, ko ierobežo slēgta lauzta līnija, sauc par daudzstūri.

Šīs lauztās līnijas segmentus sauc ballītēm daudzstūris. AB, BC, CD, DE, EA (1. att.) - daudzstūra ABCDE malas. Daudzstūra visu malu summu sauc par daudzstūra malu summu perimetrs.

Daudzstūris tiek saukts izliekts, ja tas atrodas vienā pusē no jebkuras tās malas, izstiepts bezgalīgi aiz abām virsotnēm.

Daudzstūris MNPKO (1. att.) nebūs izliekts, jo tas atrodas vairāk nekā vienā taisnes KP pusē.

Mēs apskatīsim tikai izliektus daudzstūrus.

Leņķus, ko veido divas blakus esošās daudzstūra malas, sauc par tā iekšējais stūri un to augšdaļas - daudzstūru virsotnes.

Līnijas posmu, kas savieno divas daudzstūra neblakus virsotnes, sauc par daudzstūra diagonāli.

AC, AD - daudzstūra diagonāles (2. att.).

Stūrus, kas atrodas blakus daudzstūra iekšējiem stūriem, sauc par daudzstūra ārējiem stūriem (3. att.).

Atkarībā no leņķu (malu) skaita daudzstūri sauc par trīsstūri, četrstūri, piecstūri utt.

Tiek uzskatīts, ka divi daudzstūri ir vienādi, ja tos var uzklāt.

Ierakstīti un norobežoti daudzstūri

Ja visas daudzstūra virsotnes atrodas uz apļa, tad daudzstūri sauc ierakstīts apli un apli aprakstīts netālu no daudzstūra (att.).

Ja visas daudzstūra malas ir pieskares riņķim, tad daudzstūri sauc aprakstīts ap apli, un apli sauc ierakstīts daudzstūrī (att.).

Daudzstūru līdzība

Divus viena nosaukuma daudzstūrus sauc par līdzīgiem, ja viena no tiem leņķi ir attiecīgi vienādi ar otra leņķiem un daudzstūru līdzīgās malas ir proporcionālas.

Tiek saukti daudzstūri ar tādu pašu nosaukumu tas pats numurs malas (stūri).

Līdzīgu daudzstūru malas sauc par līdzīgām, ja tās savieno attiecīgi vienādu leņķu virsotnes (att.).

Tātad, piemēram, lai daudzstūris ABCDE būtu līdzīgs daudzstūrim A'B'C'D'E', ir nepieciešams, lai: E = ∠E' un papildus AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Līdzīgu daudzstūru perimetru attiecība

Pirmkārt, apsveriet vienādu attiecību sērijas īpašību. Pieņemsim, piemēram, attiecības: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Atradīsim šo attiecību iepriekšējo dalībnieku summu, pēc tam - to nākamo dalībnieku summu un atrodam saņemto summu attiecību, iegūstam:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

To pašu iegūsim, ja ņemsim vairākas citas attiecības, piemēram: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 un tad mēs atrodam šo summu attiecību , mēs iegūstam:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

Abos gadījumos vienādu attiecību sērijas iepriekšējo locekļu summa ir saistīta ar tās pašas sērijas nākamo locekļu summu, jo jebkuras šīs attiecības iepriekšējais dalībnieks ir saistīts ar nākamo.

Mēs secinājām šo īpašību, apsverot vairākus skaitliskus piemērus. To var secināt stingri un vispārīgi.

Tagad apsveriet līdzīgu daudzstūru perimetru attiecību.

Lai daudzstūris ABCDE ir līdzīgs daudzstūrim A'B'C'D'E' (att.).

No šo daudzstūru līdzības izriet, ka

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Pamatojoties uz iegūto vienādu attiecību sērijas īpašību, mēs varam rakstīt:

Mūsu ņemto attiecību iepriekšējo nosacījumu summa ir pirmā daudzstūra (P) perimetrs, un šo attiecību turpmāko nosacījumu summa ir otrā daudzstūra perimetrs (P '), tātad P / P ' = AB / A'B'.

Sekojoši, līdzīgu daudzstūru perimetri ir saistīti kā to atbilstošās malas.

Līdzīgu daudzstūru laukumu attiecība

Lai ABCDE un A'B'C'D'E' ir līdzīgi daudzstūri (att.).

Ir zināms, ka ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' un ΔADE ~ ΔA'D'E'.

Turklāt,

;

Tā kā šo proporciju otrās attiecības ir vienādas, kas izriet no daudzstūru līdzības, tad

Izmantojot vienādu attiecību sērijas īpašību, mēs iegūstam:

kur S un S' ir šo līdzīgo daudzstūru laukumi.

Sekojoši, līdzīgu daudzstūru laukumi ir saistīti kā līdzīgu malu kvadrāti.

Iegūto formulu var pārvērst šādā formā: S / S '= (AB / A'B') 2

Patvaļīga daudzstūra laukums

Lai aprēķinātu patvaļīga četrstūra ABDC laukumu (Zīm.).

Iezīmēsim tajā diagonāli, piemēram AD. Iegūstam divus trijstūrus ABD un ACD, kuru laukumus varam aprēķināt. Tad mēs atrodam šo trīsstūru laukumu summu. Rezultātā iegūtā summa izteiks dotā četrstūra laukumu.

Ja jums ir jāaprēķina piecstūra laukums, mēs rīkojamies tāpat: no vienas no virsotnēm zīmējam diagonāles. Mēs iegūstam trīs trīsstūrus, kuru laukumus varam aprēķināt. Tātad mēs varam atrast šī piecstūra laukumu. Mēs darām to pašu, aprēķinot jebkura daudzstūra laukumu.

Daudzstūra projekcijas laukums

Atgādinām, ka leņķis starp līniju un plakni ir leņķis starp noteiktu līniju un tās projekciju uz plakni (Zīm.).

Teorēma. Daudzstūra ortogonālās projekcijas laukums uz plakni ir vienāds ar projicētā daudzstūra laukumu, kas reizināts ar daudzstūra plaknes un projekcijas plaknes veidotā leņķa kosinusu.

Katru daudzstūri var sadalīt trīsstūros, kuru laukumu summa ir vienāda ar daudzstūra laukumu. Tāpēc pietiek pierādīt teorēmu trijstūrim.

Ļaujiet ΔABC projicēt plaknē R. Apsveriet divus gadījumus:

a) viena no malām ΔABS ir paralēla plaknei R;

b) neviena no malām ΔABC nav paralēla R.

Apsveriet pirmais gadījums: let [AB] || R.

Zīmējiet cauri (AB) plaknei R 1 || R un projicējiet ortogonāli ΔABC uz R 1 un tālāk R(rīsi.); mēs iegūstam ΔABC 1 un ΔA’B’C’.

Pēc projekcijas īpašībām mums ir ΔABC 1 (cong) ΔA’B’C’, un tāpēc

S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'

Uzzīmēsim ⊥ un nogriezni D 1 C 1 . Tad ⊥ , a $\overbrace(CD_1C_1)$ = φ ir leņķis starp plakni ΔABC un plakni R viens . Tāpēc

S ∆ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ

un tāpēc S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

Pāriesim pie apsvēršanas otrais gadījums. Uzzīmējiet plakni R 1 || R caur šo virsotni ΔАВС, attālums, no kura līdz plaknei R mazākais (lai tā būtu virsotne A).

Izstrādāsim ΔABC lidmašīnā R 1 un R(rīsi.); lai tā projekcijas būtu attiecīgi ΔAB 1 C 1 un ΔA’B’C’.

Ļaujiet (BC) ∩ lpp 1 = D. Tad

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Citi materiāli

Daudzstūra īpašības

Daudzstūris ir ģeometriska figūra, ko parasti definē kā slēgtu polilīniju bez paškrustojumiem (vienkāršs daudzstūris (1.a att.)), bet dažreiz ir pieļaujami paškrustojumi (tad daudzstūris nav vienkāršs).

Polilīnijas virsotnes sauc par daudzstūra virsotnēm, bet nogriežņus par daudzstūra malām. Daudzstūra virsotnes sauc par kaimiņiem, ja tās ir vienas no tā malas gali. Līniju segmentus, kas savieno daudzstūra virsotnes, kas nav blakus esošajām virsotnēm, sauc par diagonālēm.

Izliekta daudzstūra leņķis (vai iekšējais leņķis) noteiktā virsotnē ir leņķis, ko veido tā malas, kas saplūst šajā virsotnē, un leņķis tiek uzskatīts no daudzstūra malas. Jo īpaši leņķis var pārsniegt 180°, ja daudzstūris nav izliekts.

Izliekta daudzstūra ārējais leņķis noteiktā virsotnē ir leņķis, kas atrodas blakus daudzstūra iekšējam leņķim šajā virsotnē. Parasti ārējais leņķis ir starpība starp 180° un iekšējo leņķi. No katras -gon virsotnes > 3 iziet - 3 diagonāles, tāpēc kopējais skaits a -gon diagonāles ir vienādas.

Daudzstūri ar trim virsotnēm sauc par trīsstūri, ar četrām - par četrstūri, ar piecām - par piecstūri utt.

Daudzstūris ar n virsotnes sauc n- kvadrāts.

Plakans daudzstūris ir figūra, kas sastāv no daudzstūra un tā ierobežotās apgabala galīgās daļas.

Daudzstūri sauc par izliektu, ja ir izpildīts viens no šiem (ekvivalents) nosacījumiem:

1. tas atrodas vienā pusē jebkurai taisnei, kas savieno tās blakus esošās virsotnes. (t.i., daudzstūra malu paplašinājumi nekrustojas tā pārējās malas);
2. tā ir vairāku pusplakņu krustpunkts (t.i., kopējā daļa);
3. jebkurš segments ar galiem punktos, kas pieder daudzstūrim, pilnībā pieder tam.

Izliektu daudzstūri sauc par regulāru, ja visas malas ir vienādas un visi leņķi ir vienādi, piemēram, vienādmalu trīsstūris, kvadrāts un piecstūris.

Tiek uzskatīts, ka izliekts daudzstūris ir ierakstīts ap apli, ja visas tā malas ir pieskares kādam aplim

Regulārs daudzstūris ir daudzstūris, kurā visi leņķi un malas ir vienādas.

Daudzstūru īpašības:

1 Katra izliekta -stūra diagonāle, kur >3, sadala to divos izliektos daudzstūros.

2 Izliekta stūra visu leņķu summa ir vienāda ar.

D-in: Pierādīsim teorēmu ar matemātiskās indukcijas metodi. Ja = 3, tas ir acīmredzams. Pieņemsim, ka teorēma ir patiesa -gon, kur <, un pierādīt to par -gon.

Ļaut ir dots daudzstūris. Uzzīmējiet šī daudzstūra diagonāli. Ar 3. teorēmu daudzstūris ir sadalīts trīsstūrī un izliektā -stūrī (5. att.). Pēc indukcijas hipotēzes. No otras puses, . Pievienojot šīs vienādības un ņemot vērā to (- iekšējais staru leņķis ) Un (- iekšējais staru leņķis ), mēs saņemam Kad mēs saņemam: .

3 Par jebkuru regulāru daudzstūri ir iespējams aprakstīt apli, turklāt tikai vienu.

D-in: Ļaujiet regulāru daudzstūri, un un ir leņķu bisektrise, un (150. att.). Tā kā tāpēc * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке PAR. Pierādīsim to O = OA 2 = PAR =… = OA P . Trīsstūris PAR vienādsānu, tāpēc PAR= PAR. Atbilstoši otrajam trīsstūru vienādības kritērijam, tāpēc PAR = PAR. Līdzīgi tiek pierādīts, ka PAR = PAR utt. Tātad punkts PAR vienādā attālumā no visām daudzstūra virsotnēm, tātad aplis ar centru PAR rādiuss PAR ir norobežots ap daudzstūri.

Tagad pierādīsim, ka ir tikai viens ierobežots aplis. Apsveriet dažas trīs daudzstūra virsotnes, piemēram, BET 2 , . Tā kā caur šiem punktiem iet tikai viens aplis, tad par daudzstūri … Jūs nevarat aprakstīt vairāk kā vienu loku.

4 Jebkurā regulārā daudzstūrī var ierakstīt apli un turklāt tikai vienu.
5 Aplis, kas ierakstīts regulārā daudzstūrī, pieskaras daudzstūra malām to viduspunktos.
6 Apļa centrs, kas aptver regulāru daudzstūri, sakrīt ar tajā pašā daudzstūrī ierakstīta riņķa centru.
7 Simetrija:

Figūru sauc par simetrisku (simetrisku), ja ir tāda kustība (nav identiska), kas šo figūru pārveido par sevi.

7.1. Vispārējam trīsstūrim nav asu vai simetrijas centru, tas nav simetrisks. Vienādsānu (bet ne vienādmalu) trīsstūrim ir viena simetrijas ass: perpendikulāra bisektrise pamatnei.
7.2. Vienādmalu trijstūrim ir trīs simetrijas asis (perpendikulāras bisektrise malām) un rotācijas simetrija ap centru ar griešanās leņķi 120°.

7.3. Jebkuram regulāram n-stūrim ir n simetrijas asis, kuras visas iet caur tā centru. Tam ir arī rotācijas simetrija pret centru ar rotācijas leņķi.

Pat n dažas simetrijas asis iet caur pretējām virsotnēm, citas - caur pretējo malu viduspunktiem.

Par nepāra n katra ass iet caur pretējās puses virsotni un viduspunktu.

Regulāra daudzstūra ar pāra malu skaitu centrs ir tā simetrijas centrs. Regulāram daudzstūrim ar nepāra malu skaitu nav simetrijas centra.

8 līdzība:

Ar līdzību un -gon nonāk -gonā, pusplaknē - pusplaknē, tāpēc izliekta n-gon kļūst izliekta n-gon.

Teorēma: Ja izliektu daudzstūru malas un leņķi apmierina vienādības:

kur ir pjedestāla koeficients

tad šie daudzstūri ir līdzīgi.

8.1. Divu līdzīgu daudzstūru perimetru attiecība ir vienāda ar līdzības koeficientu.
8.2. Divu izliektu līdzīgu daudzstūru laukumu attiecība ir vienāda ar līdzības koeficienta kvadrātu.

daudzstūra trīsstūra perimetra teorēma

Tēmu daudzstūri - 8. klase:

Tiek izsaukta blakus esošo segmentu līnija, kas neatrodas vienā taisnē lauzta līnija.

Segmentu gali ir virsotnes.

Katrs griezums- saite.

Un visas segmentu garumu summas veido kopējo summu garums lauzta līnija. Piemēram, AM + ME + EK + KO = polilīnijas garums

Ja segmenti ir slēgti, tad daudzstūris(Skatīt iepriekš) .

Saites daudzstūrī sauc ballītēm.

Sānu garumu summa - perimetrs daudzstūris.

Virsotnes tajā pašā pusē ir kaimiņos.

Tiek izsaukts līnijas segments, kas savieno neblakus virsotnes diagonāli.

Daudzstūri sauca pēc malu skaita: piecstūris, sešstūris utt.

Viss, kas atrodas daudzstūrī, ir plaknes iekšējā daļa un viss ārpusē - lidmašīnas ārējā daļa.

Piezīme! Attēls zemāk- tas NAV daudzstūris, jo tajā pašā taisnē ir papildu kopīgi punkti segmentiem, kas nav blakus.

Izliekts daudzstūris atrodas katras līnijas vienā pusē. Lai to noteiktu garīgi (vai zīmējot), mēs turpinām katru pusi.

Daudzstūrī tik leņķu, cik malu.

Izliektā daudzstūrī visu iekšējo leņķu summa ir vienāds ar (n-2)*180°. n ir stūru skaits.

Daudzstūris tiek saukts taisnība ja visas tā malas un leņķi ir vienādi. Tātad tā iekšējo leņķu aprēķins tiek veikts pēc formulas (kur n ir leņķu skaits): 180°* (n-2)/n

Zemāk ir daudzstūri, to leņķu summa un viens leņķis.

Izliekto daudzstūru ārējos leņķus aprēķina šādi:

Priekšmets, skolēnu vecums: ģeometrija, 9. klase

Nodarbības mērķis: daudzstūru veidu izpēte.

Mācību uzdevums: aktualizēt, paplašināt un vispārināt skolēnu zināšanas par daudzstūriem; veidot priekšstatu par daudzstūra “sastāvdaļām”; veikt regulāru daudzstūru (no trijstūra līdz n-stūrim) veidojošo elementu skaita izpēti;

Attīstības uzdevums: attīstīt prasmi analizēt, salīdzināt, izdarīt secinājumus, attīstīt skaitļošanas prasmes, mutvārdu un rakstveida matemātisko runu, atmiņu, kā arī patstāvību domāšanā un mācību darbībā, spēju strādāt pāros un grupās; attīstīt pētniecisko un izglītojošo darbību;

Izglītības uzdevums: audzināt patstāvību, aktivitāti, atbildību par uzdoto uzdevumu, neatlaidību mērķa sasniegšanā.

Nodarbību laikā: uz tāfeles ir uzrakstīts citāts

"Daba runā matemātikas valodā, šīs valodas burti ... matemātiskās figūras." G. Gallilejs

Nodarbības sākumā klase tiek sadalīta darba grupās (mūsu gadījumā sadalīšana grupās pa 4 cilvēkiem katrā - grupas dalībnieku skaits ir vienāds ar jautājumu grupu skaitu).

1. Zvana posms-

Mērķi:

a) papildināt studentu zināšanas par tēmu;

b) intereses rašanos par pētāmo tēmu, katra skolēna motivāciju mācību aktivitātēm.

Uzņemšana: spēle "Vai jūs ticat, ka ...", darba organizēšana ar tekstu.

Darba formas: frontālais, grupu.

"Vai jūs tam ticat..."

1. ... vārds "daudzstūris" norāda, ka visām šīs dzimtas figūrām ir "daudz stūru"?

2. … vai trīsstūris pieder lielai daudzstūru saimei, kas izceļas starp daudzām dažādām plaknes ģeometriskām formām?

3. …vai kvadrāts ir regulārs astoņstūris (četras malas + četri stūri)?

2. Sapratnes stadija

Mērķis: jaunas informācijas iegūšana, tās izpratne, atlase.

Uzņemšana: zigzags.

Darba formas: individuāli->pāris->grupa.

Daudzstūri. Daudzstūru veidi.

Vārds "daudzstūris" norāda, ka visām šīs dzimtas figūrām ir "daudz stūru". Bet ar to nepietiek, lai raksturotu figūru.

Pārrauta līnija A 1 A 2 ... A n ir figūra, kas sastāv no punktiem A 1, A 2, ... A n un tos savienojošiem segmentiem A 1 A 2, A 2 A 3, .... Punktus sauc par polilīnijas virsotnēm, bet segmentus par polilīnijas saitēm. (1. att.)

Lauztu līniju sauc par vienkāršu, ja tai nav paškrustojumpunktu (2.,3. att.).

Lauztu līniju sauc par slēgtu, ja tās gali sakrīt. Pārrautas līnijas garums ir tās saišu garumu summa (4. att.).

Vienkāršu slēgtu lauztu līniju sauc par daudzstūri, ja tās blakus saites neatrodas uz vienas taisnes (5. att.).

Polilīnijas virsotnes sauc par daudzstūra virsotnēm, un polilīnijas saites sauc par daudzstūra malām.

Daudzstūris sadala plakni divos apgabalos: iekšējā un ārējā (6. att.).

Plaknes daudzstūris vai daudzstūra apgabals ir ierobežota plaknes daļa, ko ierobežo daudzstūris.

Divas daudzstūra virsotnes, kas ir vienas malas gali, sauc par kaimiņiem. Virsotnes, kas nav vienas malas gali, nav blakus.

Daudzstūri ar n virsotnēm un līdz ar to n malām sauc par n-stūri.

Lai gan mazākais daudzstūra malu skaits ir 3. Bet trijstūri, savienojoties viens ar otru, var veidot citas formas, kas savukārt ir arī daudzstūri.

Segmentus, kas savieno daudzstūra virsotnes, kas nav blakus esošas, sauc par diagonālēm.

Daudzstūri sauc par izliektu, ja tas atrodas vienā pusplaknē attiecībā pret jebkuru taisni, kurā ir tā mala. Šajā gadījumā tiek uzskatīts, ka pati taisne pieder pusplaknei.

Izliekta daudzstūra leņķis noteiktā virsotnē ir leņķis, ko veido tā malas, kas saplūst šajā virsotnē.

Pierādīsim teorēmu (par izliekta n-stūra leņķu summu): Izliekta n-stūra leņķu summa ir vienāda ar 180 0 *(n - 2).

Pierādījums. Gadījumā, ja n=3 teorēma ir spēkā. Pieņemsim, ka А 1 А 2 …А n ir dots izliekts daudzstūris un n>3. Iezīmēsim tajā diagonāles (no vienas virsotnes). Tā kā daudzstūris ir izliekts, šīs diagonāles sadala to n - 2 trīsstūros. Daudzstūra leņķu summa ir tāda pati kā visu šo trīsstūru leņķu summa. Katra trijstūra leņķu summa ir 180 0, un šo trīsstūru skaits ir n - 2. Tāpēc izliekta n - leņķa A 1 A 2 ... A n leņķu summa ir 180 0 * ( n - 2). Teorēma ir pierādīta.

Izliekta daudzstūra ārējais leņķis noteiktā virsotnē ir leņķis, kas atrodas blakus daudzstūra iekšējam leņķim šajā virsotnē.

Izliektu daudzstūri sauc par regulāru, ja visas malas ir vienādas un visi leņķi ir vienādi.

Tātad kvadrātu var saukt dažādi - regulārs četrstūris. Arī vienādmalu trīsstūri ir regulāri. Šādas figūras jau sen ir interesējušas meistarus, kas dekorēja ēkas. Viņi veidoja skaistus rakstus, piemēram, uz parketa. Bet ne visus regulāros daudzstūrus varēja izmantot parketa veidošanai. Parketu nevar veidot no regulāriem astoņstūriem. Fakts ir tāds, ka tiem katrs leņķis ir vienāds ar 135 0. Un, ja kāds punkts ir divu šādu astoņstūru virsotne, tad tiem būs 270 0, un trešajam astoņstūrim nav kur ietilpties: 360 0 - 270 0 \u003d 90 0. Bet kvadrātam pietiek. Tāpēc parketu iespējams salocīt no parastiem astoņstūriem un kvadrātiem.

Zvaigznēm ir taisnība. Mūsu piecstaru zvaigzne ir parasta piecstūra zvaigzne. Un, ja jūs pagriežat kvadrātu ap centru par 45 0, jūs iegūstat parastu astoņstūra zvaigzni.

1 grupa

Kas ir pārtraukta līnija? Paskaidrojiet, kas ir polilīnijas virsotnes un saites.

Kuru pārtraukto līniju sauc par vienkāršu?

Kuru pārtraukto līniju sauc par slēgtu?

Kas ir daudzstūris? Kā sauc daudzstūra virsotnes? Kādas ir daudzstūra malas?

2 grupa

Kas ir plakans daudzstūris? Sniedziet daudzstūru piemērus.

Kas ir n-gon?

Paskaidrojiet, kuras daudzstūra virsotnes atrodas blakus un kuras nav.

Kāda ir daudzstūra diagonāle?

3 grupa

Kas ir izliekts daudzstūris?

Paskaidrojiet, kuri daudzstūra stūri ir ārējie un kuri iekšējie?

Kas ir regulārs daudzstūris? Sniedziet regulāru daudzstūru piemērus.

4 grupa

Kāda ir izliekta n-stūra leņķu summa? Pierādi.

3. Pārdomu stadija -

a) savu zināšanu novērtējums, izaicinājums nākamajam zināšanu solim;

b) saņemtās informācijas izpratne un apropriācija.

Uzņemšana: pētnieciskais darbs.

Darba formas: individuāli->pāris->grupa.

Darba grupas ir eksperti atbildēs uz katru no piedāvāto jautājumu sadaļām.

Atgriežoties pie darba grupas, eksperts iepazīstina pārējos grupas dalībniekus ar atbildēm uz viņu jautājumiem. Grupā notiek visu darba grupas dalībnieku informācijas apmaiņa. Tādējādi katrā darba grupā, pateicoties ekspertu darbam, veidojas vispārējs priekšstats par pētāmo tēmu.

Studentu pētnieciskais darbs - tabulas aizpildīšana.

Regulāri daudzstūri	Zīmējums	Sānu skaits	Pīķu skaits	Visu iekšējo leņķu summa	Pakāpes mērs int. stūris	Ārējā leņķa pakāpes mērs	Diagonāļu skaits
A) trīsstūris
B) četrstūris
B) piecu sienu
D) sešstūris
E) n-gon

Interesantu uzdevumu risināšana par nodarbības tēmu.

Četrstūrī novelciet līniju tā, lai tā to sadalītu trīs trīsstūros.
Cik malu ir regulāram daudzstūrim, kura katrs iekšējais leņķis ir vienāds ar 135 0 ?
Noteiktā daudzstūrī visi iekšējie leņķi ir vienādi viens ar otru. Vai šī daudzstūra iekšējo leņķu summa var būt: 360 0 , 380 0 ?

Apkopojot stundu. Mājas darbu ierakstīšana.