mājas > ISO klasifikators

Ģeometriskā shēma varbūtības noteikšanai. Notikuma varbūtības ģeometriskā definīcija

Kā parādīts sadaļā Klasiskā varbūtības definīcija, izlases eksperimentos ar ierobežotu skaitu vienlīdz iespējamu elementāru rezultātu piemērots klasiskā varbūtības definīcija.

Ieviest notikumu varbūtību nejaušos eksperimentos, kuru iespējamie iznākumi (elementārie rezultāti) arī ir vienlīdz iespējams un pilnībā aizpildiet tukšumu taisne, figūra lidmašīnā vai novads kosmosā, pielietots ģeometriskā varbūtības definīcija. Šādos eksperimentos elementāru rezultātu skaits nav galīgs, un tāpēc klasisko varbūtības definīciju tiem nevar piemērot.

Ilustrēsim varbūtības ģeometriskās definīcijas ievadu ar piemēriem.

1. piemērs. Punkts nejauši tiek izmests uz skaitļa līnijas segmenta. Atrodiet varbūtību, ka punkts uzkrita uz nogriežņa (1. att.).

Atbilde:

2. piemērs. Kvadrāta KLMN diagonāles KM un LN krusto kvadrātā ierakstīto apli punktos E un F, punkts O ir apļa centrs (2. att.).

KLMN kvadrātā nejauši tiek iemests punkts. Atrodiet varbūtību, ka punkts iekritīs EOF sektorā, kas 2. attēlā atzīmēts ar rozā krāsu.

Atbilde:

3. piemērs. Punkts nejauši tiek iemests konusā ar virsotni S un bāzes centru O. Atrodiet varbūtību, ka punkts iekritīs nošķeltajā konusā, kas iegūts, nogriežot konusu ar plakni, kas iet caur konusa augstuma viduspunktu O " un paralēli konusa pamatnei (3. att.).

Lēmums. Nejauša punkta izmešanas eksperimenta elementāro rezultātu kopa Ω ir visu konusa punktu kopa ar virsotni S un bāzes centru O .

Punkta trāpījums nogrieztā konusā ir viens no nejaušajiem notikumiem, ko apzīmēsim ar burtu A.

Plkst ģeometriskā definīcija notikuma varbūtība A aprēķina pēc formulas

Lai R ir konusa pamatnes rādiuss ar virsotni S un bāzes centru O, un H ir šī konusa augstums. Tad pamatnes rādiuss un konusa augstums ar virsotni S un pamatnes centru O" būs vienāds ar

attiecīgi.

Konusa ar virsotni S un bāzes centru O tilpums ir

Klasiskajai varbūtības definīcijai ir ierobežojumi tās pielietošanā. Tiek pieņemts, ka elementāro notikumu kopa Ω ir ierobežota vai saskaitāma, t.i., Ω = ( ω 1 , ω 2 , … , ω n , …), un viss ω i – tikpat iespējami elementāri notikumi. Tomēr praksē ir testi, kuriem elementāro rezultātu kopa ir bezgalīga. Piemēram, ražojot noteiktu daļu uz mašīnas, ir nepieciešams saglabāt noteiktu izmēru. Šeit detaļas izgatavošanas precizitāte ir atkarīga no strādnieka prasmes, griezējinstrumenta kvalitātes, mašīnas pilnības utt. Ja ar testu saprot detaļas izgatavošanu, tad šādas pārbaudes rezultātā iespējams bezgalīgi daudz iznākumu, šajā gadījumā iegūstot vajadzīgā izmēra detaļas.

Lai pārvarētu klasiskās varbūtības definīcijas trūkumu, dažreiz tiek izmantoti daži ģeometrijas jēdzieni (ja, protams, pārbaudes apstākļi to atļauj). Visos šādos gadījumos tiek pieņemta iespēja veikt (vismaz teorētiski) neierobežotu skaitu testu, un koncepcija vienādas iespējas arī spēlē lielu lomu.

Apskatīsim testu ar notikumu telpu, kuras elementārie rezultāti tiek attēloti kā punkti, kas aizpilda kādu laukumu Ω (trīsdimensiju telpā R 3). Ļaujiet notikumam BET ietver trāpījumu nejauši izmestam punktam apakšdomēnā D domēns Ω. notikumu BET dod priekšroku elementāriem notikumiem, kuros punkts ietilpst kādā apakšdomēnā D. Tad zem varbūtības notikumiem BET mēs sapratīsim apakšdomēna apjoma attiecību D(izceltais laukums 1.11. attēlā) uz laukuma Ω tilpumu, R(BET) = V(D) / V(Ω).

Rīsi.1. 11

Šeit, pēc analoģijas ar labvēlīga iznākuma jēdzienu, apgabals D tiks nosaukts par labvēlīgu pasākuma izskatam BET. Notikuma varbūtība tiek definēta līdzīgi BET, kad kopa Ω ir noteikts laukums plaknē vai nogrieznis uz taisnes. Šajos gadījumos apgabalu apjomi tiek aizstāti ar attiecīgi figūru laukumiem vai segmentu garumiem.

Tādējādi mēs nonākam pie jaunas definīcijas - ģeometriskā varbūtība testiem ar bezgalīgu nesaskaitāmu elementāru notikumu kopu, kas formulēta šādi.

Notikuma A ģeometriskā varbūtība ir tā apakšdomēna mēra attiecība, kas veicina šī notikuma rašanos, pret visa apgabala mēru, t.i.

p(A) =mesD / mesΩ,

kur mes– platību mērs D un Ω , D Ì Ω.

Notikuma ģeometriskajai varbūtībai ir visas īpašības, kas raksturīgas klasiskajai varbūtības definīcijai. Piemēram, ceturtais rekvizīts būtu: R(BET+ AT) = R(BET) + R(AT).

Klasiskā varbūtības definīcija

Varbūtības teorijas pamatjēdziens ir nejauša notikuma jēdziens. Nejaušs notikums parasti tiek saukts par notikumu, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ, noteiktos apstākļos tas var notikt vai nenotikt. Piemēram, trāpīšana kādam objektam vai tā pazušana, šaujot uz šo objektu ar doto ieroci, ir nejaušs notikums.

Notikumu parasti sauc par uzticamu, ja testa rezultātā tas noteikti notiek. Ir pieņemts notikumu saukt par neiespējamu, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ nevar notikt pārbaudes rezultātā.

Tiek uzskatīts, ka nejauši notikumi konkrētajā izmēģinājumā ir nekonsekventi, ja divi no tiem nevar parādīties kopā.

Nejauši notikumi veido pilnīgu grupu, ja kāds no tiem var parādīties katrā izmēģinājumā un nevar parādīties neviens cits ar tiem neatbilstošs notikums.

Apsveriet visu vienlīdz iespējamo nesaderīgo nejaušo notikumu grupu. Šādi notikumi tiks saukti par rezultātiem. Tiek uzskatīts, ka iznākums ir labvēlīgs notikuma A norisei, ja šī notikuma iestāšanās ietver notikuma A iestāšanos.

Varbūtības ģeometriskā definīcija

Uzskata, ka izlases veida pārbaude ir nejauša punkta iemetīšana kādā ģeometriskā apgabalā G (uz taisnes, plaknes vai telpas). Elementārie rezultāti ir ϶ᴛᴏ atsevišķi G punkti, jebkurš notikums ir šī apgabala ϶ᴛᴏ apakškopa, elementāro rezultātu G telpa. Var pieņemt, ka visi G punkti ir ʼʼvienādiʼʼ, un tad varbūtība, ka punkts iekritīs kādā no ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ apakškopa ir proporcionāla tās izmēram (garumam, laukumam, tilpumam) un nav atkarīga no tās atrašanās vietas un formas.

ģeometriskā varbūtība notikumu A nosaka sakarība: , kur m(G), m(A) ir visas elementāro rezultātu un notikuma A telpas ģeometriskie mēri (garumi, laukumi vai tilpumi).

Piemērs. Aplis ar rādiusu r () tiek nejauši izmests uz plaknes, ko norobežo paralēlas svītras ar platumu 2d, attālums starp aksiālajām līnijām ir 2D. Atrodiet varbūtību, ka aplis krustos kādu joslu.

Lēmums. Kā šī testa elementāru iznākumu mēs apsvērsim attālumu x no apļa centra līdz aplim vistuvāk esošās sloksnes centra līnijai. Tad visa elementāro rezultātu telpa - ϶ᴛᴏ segments. Apļa krustojums ar joslu notiks, ja tā centrs iekritīs joslā, ᴛ.ᴇ. , vai arī atradīsies no joslas malas attālumā, kas ir mazāks par rādiusu, ᴛ.ᴇ. .

Vēlamajai varbūtībai iegūstam: .

5. Notikuma relatīvais biežums ir to izmēģinājumu skaita attiecība, kuros notikums noticis, pret kopējo praktiski veikto izmēģinājumu skaitu. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, relatīvo frekvenci A nosaka:

(2)kur m ir notikuma gadījumu skaits, n ir kopējais izmēģinājumu skaits. Salīdzinot varbūtības definīciju un relatīvo biežumu, secinām: varbūtības definīcija neprasa, lai testi tiktu veikti realitātē; relatīvā biežuma definīcijā tiek pieņemts, ka testi faktiski ir veikti. Citiem vārdiem sakot, varbūtību aprēķina pirms pieredzes, un relatīvo biežumu aprēķina pēc pieredzes.

2. piemērs. No 80 nejauši izvēlētiem darbiniekiem 3 cilvēkiem ir nopietni sirdsdarbības traucējumi. Relatīvais cilvēku ar sirds slimībām biežums

Relatīvais biežums vai tai tuvu skaitlis tiek uzskatīts par statisku varbūtību.

DEFINĪCIJA (statistiskā varbūtības definīcija). Skaitli, uz kuru tiecas stabils relatīvais biežums, parasti sauc par šī notikuma statistisko varbūtību.

6. summa A+B divi notikumi A un B nosauc notikumu, kas sastāv no notikuma A vai notikuma B, vai abu šo notikumu. Piemēram, ja no ieroča tika raidīti divi šāvieni un A - trāpīja ar pirmo šāvienu, B - trāpīja otrajā šāvienā, tad A + B - trāpīja pirmajā šāvienā vai otrajā, vai abos šāvienos.

Jo īpaši, ja divi notikumi A un B ir nesaderīgi, tad A + B ir notikums, kas sastāv no viena no šiem notikumiem neatkarīgi no tā, kurš no tiem parādās. Vairāku notikumu summa ko sauc par notikumu, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ sastāv no vismaz viena no šiem notikumiem. Piemēram, notikums A + B + C sastāv no viena no šādiem notikumiem: A, B, C, A un B, A un C, B un C, A un B un C. Ļaujiet notikumiem A un C. B ir nesaderīgi, un šo notikumu iespējamība ir zināma. Kā noteikt varbūtību, ka notiks notikums A vai notikums B? Atbildi uz šo jautājumu sniedz saskaitīšanas teorēma. Teorēma. Viena no diviem nesaderīgiem notikumiem iestāšanās iespējamība, neatkarīgi no tā, kurš notikums ir vienāds ar šo notikumu varbūtību summu:

P (A + B) = P (A) + P (B). Pierādījums

Secinājums. Viena no vairāku pāru nesaderīgu notikumu iestāšanās iespējamība neatkarīgi no tā, kurš no tiem, ir vienāda ar šo notikumu varbūtību summu:

P (A 1 + A 2 + ... + A n) \u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n).

Varbūtības ģeometriskā definīcija - jēdziens un veidi. Kategorijas "Varbūtības ģeometriskā definīcija" klasifikācija un pazīmes 2017, 2018.

  • -

    Praksē ļoti bieži sastopami šādi izmēģinājumi, kuru iespējamo iznākumu skaits ir bezgalīgs. Dažkārt šādos gadījumos var izmantot varbūtības aprēķina metodi, kurā joprojām galveno lomu spēlē noteiktu notikumu līdzsvarotības jēdziens.... .


  • - Varbūtības ģeometriskā definīcija.

    Noteiktā kvadrātā nejauši tiek izvēlēts punkts, kāda ir varbūtība, ka šis punkts atradīsies apgabala D iekšpusē, kur SD ir apgabala D laukums, S ir visa apgabala laukums. kvadrāts. Saskaņā ar klasiku noteiktai nulles varbūtībai bija ... .


  • - Varbūtības ģeometriskā definīcija.

    Lai pārvarētu klasiskās varbūtības definīcijas trūkumu, proti, ka tā nav piemērojama izmēģinājumiem ar bezgalīgu iznākumu skaitu, tiek ieviestas ģeometriskās varbūtības - varbūtības, ka punkts iekrīt apgabalā. Lai plakana figūra g (segments vai ķermenis)... .


  • - LEKCIJA 2. VARBŪTĪBU SADALĪŠANAS UN REIKINĀŠANAS TEORMAS. VARBŪTĪBAS STATISTISKĀ, ĢEOMETRISKĀ NOTEIKŠANA

    Klasiskā varbūtības definīcija LEKCIJA 1. VARBŪTĪBU TEORIJAS. IZCELSMES VĒSTURE. VARBŪTĪBAS KLASISKĀ DEFINĪCIJA A.A. Khalafyan BIBLIOGRĀFISKĀS ATSAUCES 1. Kolemaev V.A., Staroverov O.V., Turundaevsky V.B. Teorija ... .[lasīt vairāk] .


  • - Varbūtības ģeometriskā definīcija

    Šo definīciju izmanto, ja pieredzei ir neskaitāms vienādi iespējamo rezultātu kopums. Šajā gadījumā elementāro notikumu telpu var attēlot kā noteiktu reģionu G. Katrs šī apgabala punkts atbilst elementāram notikumam. Sist... .


  • - Klasiskā un ģeometriskā varbūtības definīcija.

    Varbūtības ģeometriskā definīcija ir klasiskās varbūtības jēdziena paplašinājums neskaitāmas elementāru notikumu kopas gadījumā. Gadījumā, ja ir nesaskaitāma kopa, varbūtību nosaka nevis elementārnotikumiem, bet gan to kopām.... .


  • - Varbūtības ģeometriskā definīcija

    Klasiskā varbūtības definīcija NEJAUŠA NOTIKUMA IESPĒJAMĪBA. Kopas teorētiskā operāciju interpretācija ar notikumiem Ļaujiet veikt kādu eksperimentu ar nejaušu iznākumu. ķekars &... .


    • Formula P(A)=m/n zaudē nozīmi, ja visu vienādi iespējamo nesaderīgo gadījumu skaits ir neierobežots (veido bezgalīgu kopu). Tomēr dažkārt ir iespējams piešķirt kvantitatīvu raksturlielumu S dažos garuma, laukuma, tilpuma, laika un tā tālāk mēros visai bezgalīgu vienādi iespējamo nesavienojamo gadījumu kopai un dot daļu no šīs kopas, kas dod priekšroku apskatāmā notikuma A sākums, lai tajos pašos mēros iegūtu raksturlielumu S b. Tad notikuma A iestāšanās varbūtību nosaka sakarība:

    1. piemērs. No intervāla nejauši tiek izvēlēti divi skaitļi x un y. Atrodiet varbūtību, ka šie skaitļi apmierina nevienādības x 2 ≤ 4y ≤ 4x.
    Lēmums. Pārbaude sastāv no skaitļu x un y pāra nejaušas atlases no intervāla. Mēs to interpretēsim kā nejaušu punkta M(x;y) izvēli no visu kvadrāta punktu kopas, kura mala ir vienāda ar divi. Apskatīsim figūru Ф, kas ir visu kvadrāta punktu kopa, kuru koordinātes apmierina nevienādību sistēmu x 2 ≤ 4y ≤ 4x. Interesējošais notikums notiek tad un tikai tad, ja izvēlētais punkts M(x;y) pieder pie figūras Ф.

    Saskaņā ar formulu (8) vēlamā varbūtība ir vienāda ar skaitļa Ф laukuma attiecību pret kvadrāta laukumu:

    2. piemērs. Abi vienojās satikties noteiktā vietā. Katrs no viņiem ierodas norādītajā vietā neatkarīgi viens no otra nejaušā laika brīdī no un gaida ne vairāk kā laiku. Kāda ir iespēja satikties šādos apstākļos?

    Lēmums. Ar x apzīmēsim pirmās personas ierašanās laiku norunātajā vietā, bet ar y – otrās personas ierašanās laiku. No nosacījuma izriet, ka x un y neatkarīgi šķērso laika intervālu . Pārbaude sastāv no norādīto personu ierašanās laika fiksēšanas tikšanās vietā. Tad šī izmēģinājuma elementāro rezultātu telpa tiek interpretēta kā kvadrāta Ω=((x;y) : 0 ≤ x ≤ T, 0 ≤ y ≤ T visu punktu kopa M(x;y)). Mūs interesējošais notikums A - “satikšanās notika” notiek tad un tikai tad, ja izvēlētais punkts M(x; y) atrodas figūras Ф iekšpusē, kas ir visu kvadrāta punktu kopa, kuru koordinātes apmierina nevienādību |x – y| ≤ t. Saskaņā ar formulu (8) vēlamā varbūtība
    ir skaitļa laukuma Ф attiecība pret kvadrāta laukumu Ω:


    Analizējot šajā uzdevumā iegūto rezultātu, redzam, ka tikšanās varbūtība palielinās, palielinoties. Pieņemsim, piemēram, T = 1 stunda, t = 20 minūtes, tad , tas ir, biežāk nekā pusē gadījumu sanāksmes notiks, ja tiks atkārtoti apspriesti iepriekš minētie nosacījumi.

    3. piemērs. Nozarē l nejauši izvēlēti divi punkti.
    P(0 - ? , varbūtība, ka attālums starp tiem ir mazāks par k-l

    4. piemērs. Punkts tiek nejauši iemests aplī ar rādiusu r tādā veidā, ka jebkura atrašanās vieta aplī ir vienlīdz iespējama. Atrodiet varbūtību, ka tas atradīsies kvadrātā ar malu a atrodas aplī.
    Lēmums. Varbūtība, ka punkts atradīsies kvadrātā, kas atrodas aplī ar malu a vienāds ar kvadrāta laukuma attiecību pret apļa laukumu.
    Kvadrātveida laukums: Skv \u003d a 2.
    Apļa laukums: S = πr 2
    Tad varbūtība būs: p \u003d Skv / S \u003d a 2 / πr 2

    Piemērs numurs 5. No intervāla nejauši tiek izvēlēti divi reāli skaitļi. Atrodiet varbūtību, ka to summa ir lielāka par 4 un to reizinājums ir mazāks par 4.
    Lēmums.
    Kopā ir 5 skaitļi: 0,1,2,3,4. To rašanās varbūtība p=1/5 = 0,2
    a) varbūtība, ka to summa būs lielāka par 4
    Kopējais šādu rezultātu skaits ir 8:
    1+4, 2+3, 2+4, 3+4 un 4+1, 3+2, 4+2, 4+3
    P = 0,2*0,2*8 = 0,32
    b) produkts ir mazāks par 4.
    Kopējais šādu rezultātu skaits ir 13:
    0*1, 0*2, 0*3, 0*4, 1*1, 1*2,1*3 un 1*0, 2*0, 3*0, 4*0, 2*1, 3* viens
    P = 0,2*0,2*13 = 0,52

    Uzdevumi patstāvīgam risinājumam
    4.3. Pēc negaisa telefona līnijas posmā starp 40. un 70.kilometru noticis vadu pārrāvums. Kāda ir varbūtība, ka pārrāvums noticis starp līnijas 45. un 50. kilometru? (Pieņem, ka vadu pārrāvuma varbūtība jebkurā vietā ir vienāda).
    Atbilde: 1/6.

    4.4. Punkts nejauši tiek iemests aplī ar rādiusu r. Atrodiet varbūtību, ka šis punkts atrodas regulārā trīsstūrī, kas ierakstīts dotajā aplī.
    Atbilde:

    4.5. Atrodi varbūtību, ka divu nejauši izvēlētu skaitļu summa no intervāla [-1; 1] ir lielāks par nulli, un to reizinājums ir negatīvs.
    Atbilde: 0;25.

    4.6. Kaujas apmācības laikā n-tā bumbvedēju eskadra saņēma uzdevumu uzbrukt “ienaidnieka” naftas bāzei. Naftas bāzes teritorijā, kurai ir taisnstūra forma ar 30 un 50 m malām, atrodas četras apaļas naftas tvertnes ar diametru 10 m katra. Atrodiet iespējamību, ka bumba, kas trāpīs naftas bāzes teritorijai, tieši trāpīs naftas tvertnēm, ja bumba ar vienādu varbūtību trāpīs jebkuram šīs bāzes punktam.
    Atbilde: π/15.

    4.7. Divus reālus skaitļus x un y izvēlas pēc nejaušības principa, lai to kvadrātu summa būtu mazāka par 100. Kāda ir varbūtība, ka šo skaitļu kvadrātu summa ir lielāka par 64?
    Atbilde: 0;36.

    4.8. Abi draugi vienojās satikties laikā no 13:00 līdz 14:00. Pirmā persona, kas ierodas, gaida otro personu 20 minūtes un pēc tam dodas prom. Nosakiet draugu satikšanās iespējamību, ja viņu ierašanās brīži norādītajā laika intervālā ir vienlīdz iespējami.
    Atbilde: 5/9.

    4.9. Divām tvaikoņiem ir jāpienāk vienā piestātnē. Abu kuģu pienākšanas laiks ir vienādi iespējams konkrētajā dienā. Nosakiet varbūtību, ka vienam no tvaikoņiem būs jāgaida piestātnes atbrīvošana, ja pirmais tvaikonis paliks vienu stundu, bet otrais divas stundas.
    Atbilde: ≈ 0;121.

    4.10. Pēc nejaušības principa tiek ņemti divi pozitīvi skaitļi x un y, no kuriem katrs nepārsniedz divus. Atrodiet varbūtību, ka reizinājums x y ir ne vairāk kā viens un koeficients y/x ir ne vairāk kā divi.
    Atbilde: ≈ 0;38.

    4.11. Apgabalā G, ko ierobežo elipsoīds , punkts tiek fiksēts nejauši. Kāda ir varbūtība, ka šī punkta koordinātas (x; y; z) izpildīs nevienādību x 2 + y 2 + z 2 ≤4?
    Atbilde: 1/3.

    4.12. Punkts tiek iemests taisnstūrī ar virsotnēm R(-2;0), L(-2;9), M (4;9), N (4;0). Atrodi varbūtību, ka tā koordinātas apmierinās nevienādības 0 ≤ y ≤ 2x – x 2 +8.
    Atbilde: 2/3.

    4.13. Apgabalu G ierobežo aplis x 2 + y 2 = 25, un apgabalu g ierobežo šis aplis un parabola 16x - 3y 2 > 0. Atrodiet varbūtību iekrist apgabalā g.
    Atbilde: ≈ 0;346.

    4.14. Pēc nejaušības principa tiek ņemti divi pozitīvi skaitļi x un y, no kuriem katrs nepārsniedz vienu. Atrodiet varbūtību, ka summa x + y nepārsniedz 1 un reizinājums x · y nav mazāks par 0,09.
    Atbilde: ≈ 0;198.

    Mēs arī iesakām

    Notiek ielāde...Notiek ielāde...