Formas funkcija , kur tiek izsaukta kvadrātiskā funkcija.

Kvadrātfunkcijas grafiks − parabola.

Apsveriet šādus gadījumus:

I GADĪJUMS, KLASISKĀ PARABOLA

T.i., ,

Lai izveidotu, aizpildiet tabulu, aizstājot x vērtības formulā:

Atzīmēt punktus (0;0); (1;1); (-1;1) utt. koordinātu plaknē (jo mazāku soli mēs uzņemam x vērtības (šajā gadījumā 1. solis), un jo vairāk x vērtību mēs uzņemam, jo ​​vienmērīgāka ir līkne), mēs iegūstam parabolu:

Ir viegli redzēt, ka, pieņemot gadījumu , , , tas ir, tad iegūstam parabolu, kas ir simetriska ap asi (vēršis). To ir viegli pārbaudīt, aizpildot līdzīgu tabulu:

II GADĪJUMS, "A" ATŠĶIRĪGI NO VIENA

Kas notiks, ja ņemsim , , ? Kā mainīsies parabolas uzvedība? With title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Pirmajā attēlā (skatīt iepriekš) skaidri redzams, ka punkti no tabulas parabolai (1;1), (-1;1) tika pārveidoti par punktiem (1;4), (1;-4), tas ir, ar vienādām vērtībām katra punkta ordinātu reizina ar 4. Tas notiks ar visiem sākotnējās tabulas galvenajiem punktiem. Līdzīgi strīdamies arī 2. un 3. attēla gadījumos.

Un, kad parabola "kļūst platāka", parabola:

Atgādināsim:

1)Koeficienta zīme ir atbildīga par zaru virzienu. With title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absolūtā vērtība koeficients (modulis) ir atbildīgs par parabolas “izplešanos”, “saspiešanu”. Jo lielāka , jo šaurāka parabola, jo mazāka |a|, jo platāka parabola.

III GADĪJUMS, PARĀDĀS "C".

Tagad liksim spēlē (tas ir, mēs izskatīsim gadījumu, kad ), mēs izskatīsim formas parabolas. Ir viegli uzminēt (jūs vienmēr varat atsaukties uz tabulu), ka parabola pārvietosies uz augšu vai uz leju pa asi atkarībā no zīmes:

IV LIETAS, PARĀDĀS "b".

Kad parabola “atrausies” no ass un beidzot “staigās” pa visu koordinātu plakni? Kad tas pārstāj būt vienāds.

Šeit, lai izveidotu parabolu, mums ir nepieciešams formula virsotnes aprēķināšanai: , .

Tātad šajā punktā (kā punktā (0; 0) jauna sistēma koordinātes) uzbūvēsim parabolu, kas jau ir mūsu spēkos. Ja mēs nodarbojamies ar gadījumu , tad no augšas mēs noliekam vienu vienības segmentu pa labi, vienu uz augšu, - iegūtais punkts ir mūsu (līdzīgi solis pa kreisi, solis uz augšu ir mūsu punkts); ja mums ir darīšana, piemēram, tad no augšas noliekam vienu atsevišķu segmentu pa labi, divus - uz augšu utt.

Piemēram, parabolas virsotne:

Tagad galvenais ir saprast, ka šajā virsotnē mēs veidosim parabolu pēc parabolas veidnes, jo mūsu gadījumā.

Konstruējot parabolu pēc virsotnes koordinātu atrašanas ir ļotiIr ērti ņemt vērā šādus punktus:

1) parabola jāiziet cauri punktam . Patiešām, formulā aizstājot x=0, mēs iegūstam, ka . Tas ir, parabolas un asi (oy) krustošanās punkta ordināta, tā ir. Mūsu piemērā (iepriekš), parabola krustojas ar y asi pie , jo .

2) simetrijas ass parabolas ir taisna līnija, tāpēc visi parabolas punkti būs tai simetriski. Mūsu piemērā mēs uzreiz ņemam punktu (0; -2) un izveidojam parabolu simetriski ap simetrijas asi, iegūstam punktu (4; -2), caur kuru parabola izies.

3) Pielīdzinot , mēs uzzinām parabolas krustošanās punktus ar asi (vērsis). Lai to izdarītu, mēs atrisinām vienādojumu. Atkarībā no diskriminanta mēs iegūsim vienu (, ), divus ( title="(!LANG:Rended by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Iepriekšējā piemērā mums ir diskriminanta sakne - nevis vesels skaitlis, veidojot, mums nav īsti jēgas atrast saknes, taču mēs skaidri redzam, ka mums būs divi krustošanās punkti ar ( oh) ass (kopš virsraksta = "(!LANG: atveidoja QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Tātad, strādāsim

Algoritms parabolas konstruēšanai, ja tas ir norādīts formā

1) noteikt zaru virzienu (a>0 - uz augšu, a<0 – вниз)

2) atrast parabolas virsotnes koordinātas pēc formulas , .

3) parabolas krustošanās punktu ar asi (oy) atrodam pēc brīvā termiņa, izveidojam punktu, kas ir simetrisks dotajam attiecībā pret parabolas simetrijas asi (jāpiebilst, ka tas ir nav izdevīgi atzīmēt šo punktu, piemēram, jo ​​vērtība ir liela ... mēs izlaižam šo punktu ...)

4) Atrastajā punktā - parabolas virsotnē (kā jaunās koordinātu sistēmas punktā (0; 0)) uzbūvējam parabolu. If title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Mēs atrodam parabolas krustošanās punktus ar asi (oy) (ja tie paši vēl nav “izgājuši uz virsmas”), atrisinot vienādojumu

1. piemērs

2. piemērs

1. piezīme. Ja parabola mums sākotnēji ir dota formā , kur ir daži skaitļi (piemēram, ), tad to izveidot būs vēl vienkāršāk, jo mums jau ir dotas virsotnes koordinātas. Kāpēc?

Ņemsim kvadrātveida trinomu un atlasiet tajā pilnu kvadrātu: Skatiet, mēs saņēmām, ka , . Mēs iepriekš saucām parabolas virsotni, tas ir, tagad.

Piemēram, . Plaknē atzīmējam parabolas virsotni, saprotam, ka zari ir vērsti uz leju, parabola ir paplašināta (nosacīti). Tas ir, mēs veicam 1. darbību; 3; 4; 5 no parabolas konstruēšanas algoritma (skatīt iepriekš).

2. piezīme. Ja parabola ir dota līdzīgā formā (tas ir, attēlota kā divu lineāru faktoru reizinājums), tad mēs uzreiz redzam parabolas krustošanās punktus ar (x) asi. Šajā gadījumā - (0;0) un (4;0). Pārējā daļā mēs rīkojamies saskaņā ar algoritmu, atverot iekavas.

Ikviens zina, kas ir parabola. Bet kā to pareizi izmantot, kompetenti risinot dažādas praktiskas problēmas, mēs sapratīsim tālāk.

Pirmkārt, apzīmēsim pamatjēdzienus, ko algebra un ģeometrija piešķir šim terminam. Apsveriet visu iespējamie veidišī diagramma.

Mēs apgūstam visas šīs funkcijas galvenās īpašības. Izpratīsim līknes (ģeometrijas) konstruēšanas pamatus. Uzzināsim, kā atrast augšējo, citas šāda veida diagrammas pamatvērtības.

Noskaidrosim: kā atbilstoši vienādojumam pareizi sastādīta vajadzīgā līkne, kam jāpievērš uzmanība. Apskatīsim galveno praktiska izmantošanašī unikālā vērtība cilvēka dzīvē.

Kas ir parabola un kā tā izskatās

Algebra: šis termins attiecas uz kvadrātiskās funkcijas grafiku.

Ģeometrija: šī ir otrās kārtas līkne, kurai ir vairākas īpašas iezīmes:

Kanoniskais parabolas vienādojums

Attēlā parādīta taisnstūra koordinātu sistēma (XOY), ekstrēma, funkcijas virziens, kas zīmē zarus pa abscisu asi.

Kanoniskais vienādojums ir:

y 2 \u003d 2 * p * x,

kur koeficients p ir parabolas (AF) fokusa parametrs.

Algebrā tas tiek rakstīts savādāk:

y = a x 2 + b x + c (atpazīstams modelis: y = x 2).

Kvadrātfunkcijas īpašības un grafiks

Funkcijai ir simetrijas ass un centrs (ekstrēmums). Definīcijas domēns ir visas x ass vērtības.

Funkcijas vērtību diapazons - (-∞, M) vai (M, +∞) ir atkarīgs no līknes zaru virziena. Parametrs M šeit nozīmē funkcijas vērtību rindas augšpusē.

Kā noteikt, kur ir vērsti parabolas zari

Lai pēc izteiksmes atrastu šāda veida līknes virzienu, pirmā parametra priekšā jānorāda zīme algebriskā izteiksme. Ja a ˃ 0, tad tie ir vērsti uz augšu. Pretējā gadījumā uz leju.

Kā atrast parabolas virsotni, izmantojot formulu

Ekstrēma atrašana ir galvenais solis daudzu praktisku problēmu risināšanā. Protams, jūs varat atvērt īpašu tiešsaistes kalkulatori bet labāk to izdarīt pašam.

Kā to definēt? Ir īpaša formula. Ja b nav vienāds ar 0, mums ir jāmeklē šī punkta koordinātas.

Formulas topu atrašanai:

• x 0 \u003d -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Piemērs.

Ir funkcija y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. Atradīsim šīs funkcijas virsotnes.

Šādai līnijai:

• x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Mēs iegūstam virsotnes koordinātas (-2, -41).

Parabolas nobīde

Klasiskais gadījums ir, kad kvadrātfunkcijā y = a x 2 + b x + c otrais un trešais parametrs ir 0, un = 1 - virsotne atrodas punktā (0; 0).

Kustība pa abscisu vai ordinātu asīm ir saistīta ar attiecīgi parametru b un c izmaiņām. Līnijas nobīde plaknē tiks veikta tieši ar vienību skaitu, kas ir vienāds ar parametra vērtību.

Piemērs.

Mums ir: b = 2, c = 3.

Tas nozīmē, ka klasiskais līknes skats pa abscisu asi nobīdīsies par 2 vienībām un pa ordinātu asi par 3.

Kā izveidot parabolu, izmantojot kvadrātvienādojumu

Skolēniem ir svarīgi iemācīties pareizi uzzīmēt parabolu atbilstoši dotajiem parametriem.

Analizējot izteiksmes un vienādojumus, varat redzēt:

1. Vēlamās taisnes krustpunktam ar ordinātu vektoru būs vērtība, kas vienāda ar c.
2. Visi grafika punkti (gar x asi) būs simetriski attiecībā pret funkcijas galveno galējību.

Turklāt krustojumus ar OX var atrast, zinot šādas funkcijas diskriminantu (D):

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

Lai to izdarītu, izteiksme ir jāpielīdzina nullei.

Parabolas sakņu klātbūtne ir atkarīga no rezultāta:

• D ˃ 0, tad x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D \u003d 0, tad x 1, 2 = -b / (2 * a);
• D ˂ 0, tad nav krustošanās punktu ar vektoru OX.

Mēs iegūstam parabolas konstruēšanas algoritmu:

• noteikt zaru virzienu;
• atrast virsotnes koordinātas;
• atrast krustpunktu ar y asi;
• atrodiet krustojumu ar x asi.

1. piemērs

Dota funkcija y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Ir nepieciešams izveidot parabolu. Mēs rīkojamies pēc algoritma:

1. a \u003d 1, tāpēc zari ir vērsti uz augšu;
2. galējās koordinātas: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. krustojas ar y asi pie vērtības y = 4;
4. atrodi diskriminantu: D = 25 - 16 = 9;
5. meklē saknes

• X 1 \u003d (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
• X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (desmit).

2. piemērs

Funkcijai y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1 jums ir jāveido parabola. Mēs rīkojamies saskaņā ar iepriekš minēto algoritmu:

1. a \u003d 3, tāpēc zari ir vērsti uz augšu;
2. galējās koordinātas: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. ar y asi krustosies ar vērtību y \u003d -1;
4. atrodiet diskriminantu: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Tātad saknes:

• X 1 \u003d (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
• X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

No iegūtajiem punktiem var uzbūvēt parabolu.

Virziens, ekscentriskums, parabolas fokuss

Pamatojoties uz kanonisko vienādojumu, fokusam F ir koordinātas (p/2, 0).

Taisnā līnija AB ir virziens (noteikta garuma parabolas akords). Viņas vienādojums ir x = -p/2.

Ekscentriskums (konstante) = 1.

Secinājums

Mēs izskatījām tēmu, kurā studenti mācās vidusskola. Tagad, aplūkojot parabolas kvadrātfunkciju, jūs zināt, kā atrast tās virsotni, kurā virzienā tiks virzīti zari, vai ir nobīde gar asīm, un, izmantojot konstruēšanas algoritmu, varat uzzīmēt tās grafiku.

The metodiskais materiāls ir uzziņas nolūkiem un aptver plašu tēmu loku. Rakstā ir sniegts pārskats par galveno elementāro funkciju grafikiem un apskatīts vissvarīgākais jautājums - kā pareizi un ĀTRI izveidot grafiku. Pētījuma laikā augstākā matemātika nezinot pamatelementārfunkciju grafikus, būs grūti, tāpēc ļoti svarīgi atcerēties, kā izskatās parabolas, hiperbolas, sinusa, kosinusa u.c. grafiki, atcerēties dažas funkciju vērtības. Mēs arī runāsim par dažām galveno funkciju īpašībām.

Es nepretendēju uz materiālu pilnīgumu un zinātnisku pamatīgumu, uzsvars tiks likts, pirmkārt, uz praksi - tām lietām, ar kurām ir jāsaskaras burtiski ik uz soļa, jebkurā augstākās matemātikas tēmā. Manekenu diagrammas? Tā var teikt.

Pēc populāra lasītāju pieprasījuma noklikšķināms satura rādītājs:

Turklāt par šo tēmu ir īpaši īss kopsavilkums
– apgūsti 16 veidu diagrammas, izpētot SEŠAS lappuses!

Ja nopietni, seši, pat es pats biju pārsteigts. Šis kopsavilkums satur uzlabotu grafiku un ir pieejams par nominālu samaksu, var apskatīt demo versiju. Failu ir ērti izdrukāt, lai grafiki vienmēr būtu pa rokai. Paldies par atbalstu projektam!

Un mēs sākam uzreiz:

Kā pareizi izveidot koordinātu asis?

Praksē kontroldarbus skolēni gandrīz vienmēr sastāda atsevišķās burtnīcās, kas izklātas būrī. Kāpēc jums ir nepieciešami rūtaini marķējumi? Galu galā darbu principā var veikt uz A4 formāta loksnēm. Un būris ir nepieciešams tieši kvalitatīvam un precīzam zīmējumu noformējumam.

Jebkurš funkcijas grafika rasējums sākas ar koordinātu asīm.

Zīmējumi ir divdimensiju un trīsdimensiju.

Vispirms apskatīsim divdimensiju gadījumu Dekarta koordinātu sistēma:

1) Zīmējam koordinātu asis. Asi sauc x-ass , un ass y ass . Mēs vienmēr cenšamies tos uzzīmēt glīts un nav greizs. Bultām nevajadzētu līdzināties arī papa Karlo bārdai.

2) Mēs parakstām asis lielie burti"x" un "y". Neaizmirstiet parakstīt asis.

3) Iestatiet mērogu gar asīm: uzzīmē nulli un divus vieniniekus. Veidojot zīmējumu, ērtākais un izplatītākais mērogs ir: 1 vienība = 2 šūnas (zīmējums pa kreisi) - pēc iespējas pieturieties pie tā. Tomēr ik pa laikam gadās, ka zīmējums neiederas piezīmjdatora lapā - tad samazinām mērogu: 1 vienība = 1 šūna (zīmējums pa labi). Reti, bet gadās, ka zīmējuma mērogs ir jāsamazina (vai jāpalielina) vēl vairāk

NEDRĪKST skricelēt no ložmetēja ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Jo koordinātu plakne nav piemineklis Dekartam, un students nav balodis. Mēs liekam nulle un divas vienības gar asīm. Dažkārt tā vietā mērvienības, ir ērti “noteikt” citas vērtības, piemēram, “divi” uz abscisu ass un “trīs” uz ordinātu ass - un šī sistēma (0, 2 un 3) arī unikāli iestatīs koordinātu režģi.

Labāk ir novērtēt aptuvenos rasējuma izmērus PIRMS rasējuma zīmēšanas.. Tātad, piemēram, ja uzdevums prasa uzzīmēt trīsstūri ar virsotnēm , , , tad ir pilnīgi skaidrs, ka populārā mēroga 1 vienība = 2 šūnas nedarbosies. Kāpēc? Paskatīsimies pēc būtības – te jāmēra piecpadsmit centimetri uz leju, un, acīmredzot, zīmējums neiederēsies (vai tik tikko ietilps) piezīmjdatora lapā. Tāpēc mēs nekavējoties izvēlamies mazāku mērogu 1 vienība = 1 šūna.

Starp citu, apmēram centimetri un piezīmju grāmatiņas šūnas. Vai tā ir taisnība, ka 30 piezīmju grāmatiņas šūnās ir 15 centimetri? Izmēriet piezīmju grāmatiņā procentiem 15 centimetrus ar lineālu. PSRS, iespējams, tā bija taisnība... Interesanti atzīmēt, ka, mērot šos pašus centimetrus horizontāli un vertikāli, tad rezultāti (šūnās) būs atšķirīgi! Stingri sakot, mūsdienu piezīmju grāmatiņas nav rūtainas, bet taisnstūrveida. Var šķist, ka tas ir muļķības, taču zīmēt, piemēram, apli ar kompasu šādās situācijās ir ļoti neērti. Godīgi sakot, šādos brīžos sāc domāt par biedra Staļina pareizību, kurš tika nosūtīts uz nometnēm uzlaušanas darbiem ražošanā, nemaz nerunājot par pašmāju automobiļu rūpniecību, krītošām lidmašīnām vai sprāgstošām spēkstacijām.

Par kvalitāti runājot, vai īss ieteikums pēc kancelejas precēm. Līdz šim lielākā daļa pārdošanā esošo piezīmju grāmatiņu, nerunājot sliktus vārdus, ir pilnīgs goblins. Tā iemesla dēļ, ka tie kļūst slapji, un ne tikai no gēla pildspalvām, bet arī no lodīšu pildspalvām! Ietaupiet uz papīra. Par attīrīšanu kontroles darbi Es iesaku izmantot Arhangeļskas celulozes un papīra rūpnīcas piezīmju grāmatiņas (18 loksnes, būris) vai Pyaterochka, lai gan tas ir dārgāks. Vēlams izvēlēties gēla pildspalvu, pat lētākais ķīniešu gēla uzpildījums ir daudz labāks par lodīšu pildspalvu, kas vai nu smērē, vai plēš papīru. Vienīgā "konkurētspējīgā" lodīšu pildspalva manā atmiņā ir Ērihs Krauze. Viņa raksta skaidri, skaisti un stabili - vai nu ar pilnu kātu, vai ar gandrīz tukšu.

Turklāt: taisnstūra koordinātu sistēmas redzējums caur analītiskās ģeometrijas acīm ir apskatīts rakstā Vektoru lineārā (ne)atkarība. Vektoru pamats, Detalizēta informācija par koordinātu ceturkšņiem var atrast nodarbības otrajā rindkopā Lineārās nevienādības.

3D korpuss

Šeit ir gandrīz tas pats.

1) Zīmējam koordinātu asis. Standarta: aplikācijas ass – vērsta uz augšu, ass – vērsta pa labi, ass – uz leju pa kreisi stingri 45 grādu leņķī.

2) Mēs parakstām asis.

3) Iestatiet mērogu gar asīm. Mērogs pa asi - divas reizes mazāks nekā skala pa pārējām asīm. Ņemiet vērā arī to, ka labajā zīmējumā es izmantoju nestandarta "serifu" gar asi (šī iespēja jau tika minēts iepriekš). No mana viedokļa tas ir precīzāks, ātrāks un estētiskāks - nav nepieciešams mikroskopā meklēt šūnas vidu un “noformēt” vienību līdz pat sākumam.

Veicot 3D zīmējumu vēlreiz - dodiet priekšroku mērogam
1 vienība = 2 šūnas (zīmējums kreisajā pusē).

Kam domāti visi šie noteikumi? Noteikumi ir tāpēc, lai tos pārkāptu. Ko es tagad darīšu. Fakts ir tāds, ka raksta turpmākos rasējumus es veidošu programmā Excel, un koordinātu asis no viedokļa izskatīsies nepareizas pareizs dizains. Es varētu zīmēt visus grafikus ar roku, bet ir patiešām bail tos zīmēt, jo Excel nelabprāt tos zīmē daudz precīzāk.

Grafiki un elementāru funkciju pamatīpašības

Lineāro funkciju nosaka vienādojums . Lineārās funkcijas grafiks ir tiešā veidā. Lai izveidotu taisni, pietiek zināt divus punktus.

1. piemērs

Uzzīmējiet funkciju. Atradīsim divus punktus. Kā vienu no punktiem ir izdevīgi izvēlēties nulli.

Ja tad

Mēs ņemam kādu citu punktu, piemēram, 1.

Ja tad

Sagatavojot uzdevumus, punktu koordinātas parasti tiek apkopotas tabulā:

Un pašas vērtības tiek aprēķinātas mutiski vai uz melnraksta, kalkulatora.

Ir atrasti divi punkti, izlozēsim:

Sastādot zīmējumu, mēs vienmēr parakstām grafiku.

Nebūs lieki atgādināt īpašus lineāras funkcijas gadījumus:

Ievērojiet, kā es ievietoju parakstus, Studējot zīmējumu, paraksti nedrīkst būt nepārprotami. Šajā gadījumā bija ļoti nevēlami likt parakstu blakus līniju krustošanās punktam vai apakšā pa labi starp grafikiem.

1) Formas () lineāro funkciju sauc par tiešo proporcionalitāti. Piemēram, . Tiešās proporcionalitātes grafiks vienmēr iet caur izcelsmi. Tādējādi tiek vienkāršota taisnas līnijas konstrukcija - pietiek atrast tikai vienu punktu.

2) Formas vienādojums definē taisni, kas ir paralēla asij, jo īpaši pati asi ir dota ar vienādojumu. Funkcijas grafiks tiek veidots uzreiz, neatrodot nevienu punktu. Tas ir, ieraksts jāsaprot šādi: "y vienmēr ir vienāds ar -4, jebkurai x vērtībai."

3) Formas vienādojums nosaka taisnu līniju, kas ir paralēla asij, jo īpaši pati asi ir norādīta ar vienādojumu. Tūlīt tiek izveidots arī funkcijas grafiks. Ieraksts ir jāsaprot šādi: "x vienmēr jebkurai y vērtībai ir vienāds ar 1."

Daži jautās, nu, kāpēc atcerēties 6. klasi?! Tā tas ir, varbūt tā, tikai prakses gadu laikā satiku labu duci studentu, kuri bija neizpratnē par tādu grafiku kā vai .

Taisnas līnijas vilkšana ir visizplatītākā darbība, veidojot zīmējumus.

Taisne tiek detalizēti apspriesta analītiskās ģeometrijas gaitā, un tie, kas vēlas, var atsaukties uz rakstu Taisnes vienādojums plaknē.

Kvadrātfunkciju grafiks, kubisko funkciju grafiks, polinoma grafiks

Parabola. Kvadrātfunkcijas grafiks () ir parabola. Apsveriet slaveno gadījumu:

Atcerēsimies dažas funkcijas īpašības.

Tātad, mūsu vienādojuma risinājums: - tieši šajā punktā atrodas parabolas virsotne. Kāpēc tas tā ir, var uzzināt no teorētiskā raksta par atvasinājumu un mācības par funkcijas galējībām. Pa to laiku mēs aprēķinām atbilstošo "y" vērtību:

Tātad virsotne atrodas punktā

Tagad mēs atrodam citus punktus, vienlaikus nekaunīgi izmantojot parabolas simetriju. Jāatzīmē, ka funkcija – nav pat, bet, neskatoties uz to, neviens neatcēla parabolas simetriju.

Kādā secībā atrast atlikušos punktus, domāju, ka noskaidrosies no fināla tabulas:

Šis algoritms būvniecību tēlaini var saukt par "shuttle" jeb "turp un atpakaļ" principu ar Anfisu Čehovu.

Izveidosim zīmējumu:

No aplūkotajiem grafikiem prātā nāk vēl viena noderīga funkcija:

Kvadrātiskajai funkcijai () patiesība ir šāda:

Ja , tad parabolas zari ir vērsti uz augšu.

Ja , tad parabolas zari ir vērsti uz leju.

Padziļinātas zināšanas par līkni var iegūt nodarbībā Hiperbola un parabola.

Kubiskā parabola tiek dota ar funkciju . Šeit ir zīmējums, kas pazīstams no skolas:

Mēs uzskaitām galvenās funkcijas īpašības

Funkciju grafiks

Tas attēlo vienu no parabolas atzariem. Izveidosim zīmējumu:

Funkcijas galvenās īpašības:

Šajā gadījumā ass ir vertikālā asimptote hiperbolas grafikam pie .

Tā būs LIELA kļūda, ja, sastādot zīmējumu, aiz neuzmanības pieļausit grafikam krustoties ar asimptotu.

Arī vienpusējās robežas, sakiet, ka hiperbola nav ierobežots no augšas un nav ierobežots no apakšas.

Izpētīsim funkciju bezgalībā: , tas ir, ja mēs sākam virzīties pa asi pa kreisi (vai pa labi) līdz bezgalībai, tad “spēles” būs slaids solis bezgala tuvu tuvojas nullei un attiecīgi hiperbolas zari bezgala tuvu tuvinies asij.

Tātad ass ir horizontālā asimptote funkcijas grafikam, ja "x" ir tendence uz plus vai mīnus bezgalību.

Funkcija ir nepāra, kas nozīmē, ka hiperbola ir simetriska attiecībā pret izcelsmi. Šis fakts ir skaidrs no zīmējuma, turklāt to var viegli pārbaudīt analītiski: .

Formas () funkcijas grafiks attēlo divus hiperbolas atzarus.

Ja , tad hiperbola atrodas pirmajā un trešajā koordinātu kvadrantā(skatiet attēlu augstāk).

Ja , tad hiperbola atrodas otrajā un ceturtajā koordinātu kvadrantā.

Nav grūti analizēt noteikto hiperbolas dzīvesvietas likumsakarību no grafiku ģeometrisko transformāciju viedokļa.

3. piemērs

Izveidojiet hiperbolas labo atzaru

Mēs izmantojam punktveida uzbūves metodi, savukārt vērtības ir izdevīgi izvēlēties tā, lai tās pilnībā sadalītos:

Izveidosim zīmējumu:

Nebūs grūti izveidot hiperbolas kreiso zaru, šeit tikai palīdzēs funkcijas dīvainība. Aptuveni runājot, punktveida konstruēšanas tabulā katram skaitlim garīgi pievienojiet mīnusu, ielieciet atbilstošos punktus un uzzīmējiet otro zaru.

Detalizēta ģeometriskā informācija par aplūkoto līniju atrodama rakstā Hiperbola un parabola.

Eksponenciālās funkcijas grafiks

Šajā rindkopā es nekavējoties aplūkošu eksponenciālo funkciju, jo augstākās matemātikas uzdevumos 95% gadījumu notiek eksponents.

Es jums atgādinu, ka tas ir neracionāls skaitlis: , tas būs vajadzīgs, veidojot grafu, kuru, patiesībā, es veidošu bez ceremonijām. Droši vien pietiek ar trim punktiem:

Pagaidām atstāsim funkcijas grafiku, par to vēlāk.

Funkcijas galvenās īpašības:

Principā funkciju grafiki izskatās vienādi utt.

Jāsaka, ka otrs gadījums praksē ir retāk sastopams, taču gadās, tāpēc uzskatīju par nepieciešamu to iekļaut šajā rakstā.

Logaritmiskās funkcijas grafiks

Apsveriet funkciju ar naturālais logaritms.
Zīmēsim līniju:

Ja esat aizmirsis, kas ir logaritms, lūdzu, skatiet skolas mācību grāmatas.

Funkcijas galvenās īpašības:

Domēns:

Vērtību diapazons: .

Funkcija nav ierobežota no augšas: , lai arī lēni, bet logaritma atzars iet uz augšu līdz bezgalībai.
Apskatīsim funkcijas darbību, kas ir tuvu nullei labajā pusē: . Tātad ass ir vertikālā asimptote funkcijas grafikam ar "x" tiecas uz nulli labajā pusē.

Noteikti zināt un atcerieties logaritma tipisko vērtību: .

Būtībā logaritma grafiks pie bāzes izskatās vienādi: , , (decimāllogaritms līdz 10. bāzei) utt. Tajā pašā laikā, jo lielāka ir bāze, jo plakanāka būs diagramma.

Mēs šo gadījumu neapskatīsim, un es neatceros, kad pēdējo reizi veidoju grafiku uz šāda pamata. Jā, un logaritms, šķiet, ir ļoti rets viesis augstākās matemātikas uzdevumos.

Punkta noslēgumā es pateikšu vēl vienu faktu: Eksponenciālā funkcija un logaritmiskā funkcijair divi savstarpēji apgrieztās funkcijas . Ja paskatās uz logaritma grafiku, jūs varat redzēt, ka tas ir viens un tas pats eksponents, tikai tas atrodas nedaudz savādāk.

Trigonometrisko funkciju grafiki

Kā skolā sākas trigonometriskās mokas? Pareizi. No sinusa

Uzzīmēsim funkciju

Šo līniju sauc sinusoidāls.

Atgādinu, ka “pi” ir iracionāls skaitlis:, un trigonometrijā tas žilbina acīs.

Funkcijas galvenās īpašības:

Šī funkcija ir periodiskais izdevums ar periodu. Ko tas nozīmē? Apskatīsim griezumu. Pa kreisi un pa labi no tā bezgalīgi atkārtojas tieši viens un tas pats diagrammas fragments.

Domēns: , tas ir, jebkurai "x" vērtībai ir sinusa vērtība.

Vērtību diapazons: . Funkcija ir ierobežots: , tas ir, visas “spēles” stingri atrodas segmentā .
Tas nenotiek: vai, precīzāk, tas notiek, bet šiem vienādojumiem nav atrisinājuma.

Svarīgas piezīmes!
1. Ja formulu vietā redzat abrakadabra, iztīriet kešatmiņu. Šeit ir rakstīts, kā to izdarīt savā pārlūkprogrammā:
2. Pirms sākat lasīt rakstu, pievērsiet uzmanību mūsu navigatoram noderīgs resurss priekš

Lai saprastu, kas šeit tiks rakstīts, jums labi jāzina, kas ir kvadrātfunkcija un ar ko tā tiek ēsta. Ja uzskatāt sevi par profesionāli kvadrātfunkcijās, laipni lūdzam. Bet, ja nē, jums vajadzētu izlasīt pavedienu.

Sāksim ar mazu pārbaudes:

1. Kā kvadrātiskā funkcija izskatās vispārīgā formā (formulā)?
2. Kā sauc kvadrātfunkcijas grafiku?
3. Kā vadošais koeficients ietekmē kvadrātfunkcijas grafiku?

Ja varat uzreiz atbildēt uz šiem jautājumiem, turpiniet lasīt. Ja vismaz viens jautājums radīja grūtības, dodieties uz.

Tātad, jūs jau zināt, kā rīkoties ar kvadrātfunkciju, analizēt tās grafiku un izveidot grafiku pēc punktiem.

Nu lūk: .

Īsi apskatīsim, ko viņi dara. izredzes.

1. Vecākais koeficients ir atbildīgs par parabolas “stāvumu” jeb, citiem vārdiem sakot, par tās platumu: jo lielāka, jo šaurāka (stāvāka) parabola, un jo mazāka, jo platāka (plakanāka) parabola.
2. Brīvais termins ir parabolas krustpunkta koordināte ar y asi.
3. Un koeficients kaut kādā veidā ir atbildīgs par parabolas nobīdi no koordinātu centra. Šeit ir vairāk par to tagad.

Kāpēc mēs vienmēr sākam būvēt parabolu? Kāds ir viņas atšķirības punkts?

Tas ir virsotne. Un kā atrast virsotnes koordinātas, atceries?

Abscisa tiek meklēta pēc šādas formulas:

Piemēram: ko vairāk, tēmas pa kreisi parabolas augšdaļa kustās.

Virsotnes ordinātu var atrast, aizvietojot ar funkciju:

Aizstāj sevi un skaita. Kas notika?

Ja darāt visu pareizi un pēc iespējas vienkāršojat iegūto izteiksmi, jūs iegūsit:

Izrādās, ka jo vairāk modulo, tēmas augstāks gribu virsotne parabolas.

Visbeidzot, pāriesim pie plānošanas.
Vienkāršākais veids ir izveidot parabolu, sākot no augšas.

Piemērs:

Uzzīmējiet funkciju.

Lēmums:

Vispirms definēsim koeficientus: .

Tagad aprēķināsim virsotņu koordinātas:

Un tagad atcerieties: visas parabolas ar vienādu vadošo koeficientu izskatās vienādi. Tātad, ja mēs izveidojam parabolu un pārvietojam tās virsotni uz punktu, mēs iegūstam vajadzīgo grafiku:

Vienkārši, vai ne?

Atliek tikai viens jautājums: kā ātri uzzīmēt parabolu? Pat ja mēs uzzīmējam parabolu ar virsotni sākumā, mums tā joprojām ir jāveido punkts punktā, kas ir garš un neērti. Bet visas parabolas izskatās vienādi, varbūt ir kāds veids, kā paātrināt to zīmēšanu?

Kad es mācījos skolā, mana matemātikas skolotāja lika visiem izgriezt no kartona parabolas formas trafaretu, lai viņi varētu to ātri uzzīmēt. Bet jūs nevarēsit visur staigāt ar trafaretu, un viņi to nedrīkstēs ņemt līdzi uz eksāmenu. Tātad mēs neizmantosim svešķermeņus, bet meklēsim modeli.

Apsveriet vienkāršāko parabolu. Veidosim to pēc punktiem:

Noteikums šeit ir šāds. Ja mēs virzāmies no augšas uz labo (pa asi) uz un uz augšu (pa asi) uz, tad mēs nonāksim parabolas punktā. Tālāk: ja no šī punkta virzīsimies pa labi un uz augšu, mēs atkal nonāksim parabolas punktā. Nākamais: tieši uz un uz augšu. Ko tālāk? Tieši uz un uz augšu. Un tā tālāk: pārejiet pa labi un uz nākamo nepāra skaitlis uz augšu. Tad mēs darām to pašu ar kreiso zaru (galu galā parabola ir simetriska, tas ir, tās zari izskatās vienādi):

Lieliski, tas palīdzēs izveidot jebkuru parabolu no virsotnes ar augstāko koeficientu, kas vienāds ar. Piemēram, mēs esam iemācījušies, ka parabolas virsotne atrodas punktā. Konstruējiet (patstāvīgi, uz papīra) šo parabolu.

Uzcelta?

Tam vajadzētu izrādīties šādi:

Tagad mēs savienojam iegūtos punktus:

Tas ir viss.

Labi, tagad būvē tikai parabolas ar?

Protams, nē. Tagad izdomāsim, ko ar tiem darīt, ja.

Apskatīsim dažus tipiskus gadījumus.

Lieliski, mēs iemācījāmies uzzīmēt parabolu, tagad praktizēsimies ar reālām funkcijām.

Tātad, uzzīmējiet šādu funkciju grafikus:

Atbildes:

3. Augšpusē: .

Vai atceries, kā rīkoties, ja seniora koeficients ir mazāks?

Mēs skatāmies uz daļskaitļa saucēju: tas ir vienāds. Tātad mēs virzīsimies šādi:

• pa labi - uz augšu
• pa labi - uz augšu
• pa labi - uz augšu

un arī pa kreisi:

4. Augšpusē: .

Ak, ko ar to darīt? Kā izmērīt šūnas, ja virsotne atrodas kaut kur starp līnijām?

Un mēs krāpjamies. Vispirms uzzīmēsim parabolu un tikai tad pārvietosim tās virsotni uz punktu. Pat ne, darīsim to vēl sarežģītāk: uzzīmēsim parabolu un tad pārvietot asis:- uz uz leju, a - ieslēgts pa labi:

Šis paņēmiens ir ļoti ērts jebkuras parabolas gadījumā, atcerieties to.

Atgādināšu, ka funkciju varam attēlot šādā formā:

Piemēram: .

Ko tas mums dod?

Fakts ir tāds, ka skaitlis, kas tiek atņemts no iekavās (), ir parabolas virsotnes abscisa, un termins ārpus iekavām () ir virsotnes ordināta.

Tas nozīmē, ka, uzbūvējot parabolu, jums vienkārši ir nepieciešams pārvietojiet asi pa kreisi un asi uz leju.

Piemērs: uzzīmēsim funkcijas grafiku.

Atlasīsim pilnu kvadrātu:

Kāds numurs atņemts no iekavās? Tas (un nevis tas, kā jūs varat izlemt nedomājot).

Tātad, mēs veidojam parabolu:

Tagad mēs pārvietojam asi uz leju, tas ir, uz augšu:

Un tagad - pa kreisi, tas ir, pa labi:

Tas ir viss. Tas ir tas pats, kas pārvietot parabolu ar tās virsotni no sākuma uz punktu, tikai taisno asi ir daudz vieglāk pārvietot nekā greizu parabolu.

Tagad, kā parasti, es:

Un neaizmirstiet izdzēst vecās asis ar dzēšgumiju!

Es esmu kā atbildes pārbaudei es jums uzrakstīšu šo parabolu virsotņu ordinātas:

Vai viss derēja?

Ja jā, tad tu esi lielisks! Zināt, kā rīkoties ar parabolu, ir ļoti svarīgi un noderīgi, un šeit mēs esam atklājuši, ka tas nemaz nav grūti.

KVADRĀTISKĀS FUNKCIJAS GRAFĒŠANA. ĪSUMĀ PAR GALVENO

kvadrātiskā funkcija ir formas funkcija, kur un ir jebkuri skaitļi (koeficienti), ir brīvloceklis.

Kvadrātfunkcijas grafiks ir parabola.

Parabolas augšdaļa:
, t.i. jo lielāks \displaystyle b , jo pa kreisi kustas parabolas augšdaļa.
Aizstājiet funkciju un iegūstiet:
, t.i. jo lielāks \displaystyle b modulo , jo augstāka būs parabolas augšdaļa

Brīvais termins ir parabolas krustpunkta koordināte ar y asi.

Nu tēma beigusies. Ja tu lasi šīs rindas, tad tu esi ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un ja esi izlasījis līdz galam, tad esi 5% robežās!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat izdomājis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, tas ir ... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Par ko?

Par veiksmīgu nokārtojot eksāmenu, par uzņemšanu institūtā par budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri saņēma laba izglītība, nopelna daudz vairāk nekā tie, kuri to nesaņēma. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, ka viņi ir LAIMĪGĀK (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai pārliecinātos, ka eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

PIEPILDĪT ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmenā jums netiks jautāta teorija.

Jums būs nepieciešams atrisināt problēmas laikā.

Un, ja neesi tos atrisinājis (DAUDZ!), tad noteikti kaut kur pieļausi stulbu kļūdu vai vienkārši nepieļausi laikus.

Tas ir kā sportā – vajag vairākas reizes atkārtot, lai noteikti uzvarētu.

Atrodiet kolekciju jebkurā vietā obligāti ar risinājumiem detalizēta analīze un izlem, lem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (nav nepieciešams), un mēs tos noteikti iesakām.

Lai izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt tās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku, kuru pašlaik lasāt.

Kā? Ir divas iespējas:

1. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem šajā rakstā -
2. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 apmācības rakstos - Pērciet mācību grāmatu - 499 rubļi

Jā, mums mācību grāmatā ir 99 šādi raksti un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta visu vietnes darbības laiku.

Noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties ar teoriju.

“Sapratu” un “Es zinu, kā atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini!