Trigonometrijas formulas veido sinusa un kosinusa summu. Pērciet augstākās izglītības diplomu lēti

Visbiežāk uzdotie jautājumi

Vai ir iespējams uztaisīt zīmogu uz dokumenta pēc sniegtā parauga? Atbilde Jā, tas ir iespējams. Nosūtiet skenētu kopiju vai fotoattēlu uz mūsu e-pasta adresi laba kvalitāte un mēs izveidosim nepieciešamo dublikātu.

Kādus maksājumu veidus jūs pieņemat? Atbilde Samaksāt par dokumentu var brīdī, kad to saņem kurjers, pēc aizpildīšanas pareizības un diploma kvalitātes pārbaudes. To var izdarīt arī pasta uzņēmumu birojā, kas piedāvā skaidras naudas piegādes pakalpojumus.
Visi dokumentu piegādes un apmaksas noteikumi ir aprakstīti sadaļā "Maksājums un piegāde". Esam gatavi uzklausīt arī jūsu ieteikumus par dokumenta piegādes un apmaksas nosacījumiem.

Vai varu būt drošs, ka pēc pasūtījuma veikšanas nepazudīsi ar manu naudu? Atbilde Mums ir diezgan ilga pieredze diplomu izgatavošanas jomā. Mums ir vairākas vietnes, kuras tiek pastāvīgi atjauninātas. Mūsu speciālisti strādā dažādās valsts daļās, dienā noformējot vairāk nekā 10 dokumentus. Gadu gaitā mūsu dokumenti ir palīdzējuši daudziem cilvēkiem atrisināt nodarbinātības problēmas vai pārcelties uz vairāk augsti apmaksāts darbs. Mēs esam izpelnījušies klientu uzticību un atzinību, tāpēc mums nav nekāda iemesla to darīt. Turklāt to vienkārši nav iespējams izdarīt fiziski: jūs maksājat par savu pasūtījumu brīdī, kad to saņemat savās rokās, priekšapmaksas nav.

Vai es varu pasūtīt diplomu jebkurā augstskolā? Atbilde Kopumā jā. Mēs šajā jomā strādājam gandrīz 12 gadus. Šajā laikā ir izveidojusies gandrīz pilnīga gandrīz visu valsts un ārvalstu augstskolu izsniegto dokumentu datubāze. dažādi gadi izdošanu. Viss, kas Jums nepieciešams, ir izvēlēties augstskolu, specialitāti, dokumentu un aizpildīt pasūtījuma veidlapu.

Kā rīkoties, ja dokumentā atrodu drukas un kļūdas? Atbilde Saņemot dokumentu no mūsu kurjera vai pasta uzņēmuma, iesakām rūpīgi pārbaudīt visas detaļas. Ja tiek konstatēta drukas kļūda, kļūda vai neprecizitāte, jums ir tiesības neizņemt diplomu, un jums par konstatētajiem trūkumiem ir personīgi jāpaziņo kurjeram vai rakstīšana nosūtot vēstuli uz e-pasts.
Tiklīdz iespējams, labosim dokumentu un nosūtīsim atkārtoti uz norādīto adresi. Protams, piegādi apmaksās mūsu uzņēmums.
Lai izvairītos no šādiem pārpratumiem, pirms sākotnējās veidlapas aizpildīšanas mēs klientam pa pastu nosūtām pārbaudei un apstiprināšanai topošā dokumenta maketu. pēdējā versija. Pirms dokumenta nosūtīšanas ar kurjeru vai pastu arī mēs to darām papildu foto un video (tostarp ultravioletajā gaismā), lai jums būtu vizuāls priekšstats par to, ko jūs galu galā iegūstat.

Kas jādara, lai pasūtītu diplomu savā uzņēmumā? Atbilde Lai pasūtītu dokumentu (sertifikātu, diplomu, akadēmisko apliecību u.c.), ir jāaizpilda tiešsaistes pasūtījuma veidlapa mūsu mājaslapā vai jānorāda savs e-pasts, lai mēs jums nosūtītu anketas veidlapu, kas jāaizpilda un jānosūta. atpakaļ pie mums.
Ja nezināt, ko norādīt kādā pasūtījuma veidlapas/anketas laukā, atstājiet tos tukšus. Tāpēc visu trūkstošo informāciju noskaidrosim pa tālruni.

Jaunākās atsauksmes

Aleksejs:

Man vajadzēja iegūt diplomu, lai iegūtu darbu par vadītāju. Un pats galvenais, man ir gan pieredze, gan prasmes, bet bez dokumenta es nevaru, es dabūšu darbu jebkur. Atrodoties jūsu vietnē, es joprojām nolēmu iegādāties diplomu. Diploms tika noformēts 2 dienās! Tagad man ir darbs, par kuru iepriekš nebiju sapņojis!! Paldies!

Formulas sinusu un kosinusu summai un starpībai diviem leņķiem α un β ļauj no norādīto leņķu summas pāriet uz leņķu α + β 2 un α - β 2 reizinājumu. Mēs uzreiz atzīmējam, ka jums nevajadzētu jaukt sinusu un kosinusu summas un starpības formulas ar summas un starpības sinusu un kosinusu formulām. Zemāk mēs uzskaitām šīs formulas, sniedzam to atvasinājumus un parādām pielietojuma piemērus konkrētām problēmām.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Formulas sinusu un kosinusu summai un starpībai

Pierakstīsim, kā izskatās sinusu un kosinusu summas un starpības formulas

Sinusu summas un starpības formulas

sin α + grēks β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2

Kosinusu summas un starpības formulas

cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β = 2 sin α + β - 2 α 2

Šīs formulas ir derīgas visiem leņķiem α un β. Leņķus α + β 2 un α - β 2 sauc attiecīgi par leņķu alfa un beta pussummu un pusstarpību. Katrai formulai mēs sniedzam formulējumu.

Sinusu un kosinusu summas un starpības formulu definīcijas

Divu leņķu sinusu summa ir vienāds ar šo leņķu pussummas sinusa un pusatšķirības kosinusa reizinājumu.

Divu leņķu sinusu atšķirība ir vienāds ar šo leņķu pusstarpības sinusa un pussummas kosinusa reizinājumu.

Divu leņķu kosinusu summa ir vienāds ar šo leņķu pussummas kosinusa un pussummas kosinusa reizinājumu.

Divu leņķu kosinusu atšķirība ir vienāds ar šo leņķu pussummas sinusa un kosinusa reizinājumu, ko ņem ar negatīvu zīmi.

Sinusu un kosinusu summas un starpības formulu atvasināšana

Lai iegūtu formulas divu leņķu sinusa un kosinusa summai un starpībai, tiek izmantotas saskaitīšanas formulas. Mēs tos piedāvājam zemāk

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β cos ( α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Mēs arī attēlojam pašus leņķus kā pussummu un pusstarpību summu.

α = α + β 2 + α - β 2 \u003d α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d α + β 2 - α - β 2 \u003d

Mēs turpinām tieši pie sin un cos summas un starpības formulu atvasināšanas.

Sinusu summas formulas atvasināšana

Summā sin α + sin β mēs aizstājam α un β ar šo leņķu izteiksmēm, kas norādītas iepriekš. gūt

grēks α + grēks β = grēks α + β 2 + α - β 2 + grēks α + β 2 - α - β 2

Tagad pirmajai izteiksmei piemērojam saskaitīšanas formulu, bet otrajai – leņķu atšķirību sinusa formulu (skatiet iepriekš minētās formulas)

sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2

sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + 2 cos α - β 2

Darbības pārējo formulu atvasināšanai ir līdzīgas.

Sinusu starpības formulas atvasināšana

grēks α - grēks β = grēks α + β 2 + α - β 2 - grēks α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - grēks α + β 2 - α - β 2 = grēks α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin β 2 cos α + β 2

Kosinusu summas formulas atvasināšana

cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos β 2 cos α - β 2

Kosinusa starpības formulas atvasināšana

cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2

Praktisku problēmu risināšanas piemēri

Sākumā mēs pārbaudīsim vienu no formulām, aizstājot tajā noteiktas leņķa vērtības. Pieņemsim, ka α = π 2 , β = π 6 . Aprēķināsim šo leņķu sinusu summas vērtību. Pirmkārt, izmantosim pamatvērtību tabulu trigonometriskās funkcijas, un pēc tam pielietojiet sinusu summas formulu.

Piemērs 1. Formulas pārbaude divu leņķu sinusu summai

α \u003d π 2, β \u003d π 6 sin π 2 + sin π 6 \u003d 1 + 1 2 \u003d 3 2 sin π 2 + sin π 6 \u003d 2 sin π π 2 - 2 6 2 \u003d 2 sin π 3 cos π 6 \u003d 2 3 2 3 2 \u003d 3 2

Tagad aplūkosim gadījumu, kad leņķu vērtības atšķiras no tabulā norādītajām pamatvērtībām. Pieņemsim, ka α = 165°, β = 75°. Aprēķināsim šo leņķu sinusu starpības vērtību.

Piemērs 2. Sinusa starpības formulas pielietošana

α = 165 ° , β = 75 ° grēks α - grēks β = grēks 165 ° - grēks 75 ° grēks 165 - grēks 75 = 2 grēks 165 ° - grēks 75 ° 2 cos 165 ° + grēks 75 ° 2 = = 2 grēks 45 ° cos 120 ° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2

Izmantojot sinusu un kosinusu summas un starpības formulas, varat pāriet no summas vai starpības uz trigonometrisko funkciju reizinājumu. Bieži vien šīs formulas sauc par formulām pārejai no summas uz reizinājumu. Risināšanā plaši tiek izmantotas sinusu un kosinusu summas un starpības formulas trigonometriskie vienādojumi un pārveidojot trigonometriskās izteiksmes.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Divu leņķu summas un starpības kosinuss

Šajā sadaļā tiks pierādītas šādas divas formulas:

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)

Divu leņķu summas (starpības) kosinuss ir vienāds ar šo leņķu kosinusu reizinājumu mīnus (plus) šo leņķu sinusu reizinājumu.

Mums būs ērtāk sākt ar formulas (2) pierādījumu. Vienkāršības labad vispirms pieņemsim, ka leņķi α un β atbilst šādiem nosacījumiem:

1) katrs no šiem leņķiem nav negatīvs un mazāks par 2π:

0 < α <2π, 0< β < 2π;

2) α > β .

Lai 0x ass pozitīvā daļa ir leņķu kopējā sākotnējā puse α un β .

Apzīmēsim šo leņķu gala malas attiecīgi kā 0A un 0B. Acīmredzot leņķis α - β var uzskatīt par leņķi, par kādu nepieciešams pagriezt staru 0B ap punktu 0 pretēji pulksteņrādītāja virzienam, lai tā virziens sakristu ar stara virzienu 0A.

Uz stariem 0A un 0B atzīmējam punktus M un N, kas atrodas 1 attālumā no sākuma 0, lai 0M = 0N = 1.

x0y koordinātu sistēmā punktam M ir koordinātes ( cosα, sinα), un punkts N — koordinātas ( cos β , sin β). Tātad attāluma kvadrāts starp tiem ir:

d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +

+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .

Aprēķinos mēs izmantojām identitāti

sin 2 φ + cos 2 φ = 1.

Tagad apsveriet citu koordinātu sistēmu B0C, ko iegūst, pagriežot asis 0x un 0y ap punktu 0 pretēji pulksteņrādītāja virzienam par leņķi. β .

Šajā koordinātu sistēmā punktam M ir koordinātes (cos ( α - β ), grēks ( α - β )), un punkts ir N-koordinātas (1,0). Tātad attāluma kvadrāts starp tiem ir:

d 2 2 \u003d 2 + 2 \u003d cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +

+ grēks 2 (α - β) \u003d 2.

Bet attālums starp punktiem M un N nav atkarīgs no tā, kuru koordinātu sistēmu mēs aplūkojam šos punktus. Tātad

d 1 2 = d 2 2

2 (1 — cos α cos β — sin α sin β) = 2 .

Šeit seko formula (2).

Tagad mums vajadzētu atgādināt šos divus ierobežojumus, ko esam noteikuši, lai atvieglotu prezentāciju stūros α un β .

Prasība, lai katrs no stūriem α un β nebija negatīvs, nav īsti nozīmīgs. Galu galā leņķi, kas ir reizināts ar 2n, var pievienot jebkuram no šiem leņķiem, kas nekādā veidā neietekmēs formulas (2) derīgumu. Tāpat no katra norādītā leņķa var atņemt leņķi, kas ir reizināts 2π. Tāpēc var uzskatīt, ka 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.

Nosacījums α > β . Patiešām, ja α < β , tad β >α ; tādēļ, ņemot vērā funkcijas vienmērīgumu cos X , mēs iegūstam:

cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,

kas būtībā sakrīt ar formulu (2). Tādējādi formula

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

attiecas uz visiem leņķiem α un β . Jo īpaši, nomainot β uz - β un ņemot vērā šo funkciju cosX ir pat, un funkcija grēksX dīvaini, mēs iegūstam:

cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =

\u003d cos α cos β - sin α sin β,

kas pierāda formulu (1).

Tādējādi tiek pierādītas formulas (1) un (2).

Piemēri.

1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =