Liešanas formulas ar grādiem pilnu skaidrojumu. Redukcijas formulas: pierādījumi, piemēri, mnemoniskais likums

Nodarbības tēma

• Sinusa, kosinusa un tangensas izmaiņas, palielinoties leņķim.

Nodarbības mērķi

• Iepazīstieties ar jaunām definīcijām un atcerieties dažas jau pētītas.
• Iepazīstieties ar sinusa, kosinusa un tangensa vērtību izmaiņu modeli, palielinoties leņķim.
• Attīstīt - attīstīt audzēkņu uzmanību, neatlaidību, neatlaidību, loģiskā domāšana, matemātiskā runa.
• Izglītojoši – nodarbības laikā izkopt uzmanīgu attieksmi vienam pret otru, ieaudzināt spēju uzklausīt biedrus, savstarpēju palīdzību, neatkarību.

Nodarbības mērķi

• Pārbaudi skolēnu zināšanas.

Nodarbības plāns

1. Iepriekš apgūtā materiāla atkārtošana.
2. Atkārtoti uzdevumi.
3. Sinusa, kosinusa un tangensas izmaiņas, palielinoties leņķim.
4. Praktiska lietošana.

Iepriekš pētītā materiāla atkārtošana

Sāksim no paša sākuma un atcerēsimies, kas noderēs atmiņas atsvaidzināšanai. Kas ir sinuss, kosinuss un tangenss un pie kuras ģeometrijas sadaļas pieder šie jēdzieni.

Trigonometrija- tas ir tik sarežģīti Grieķu vārds: trigonons - trīsstūris, metro - mērs. Tāpēc grieķu valodā tas nozīmē: mērīts ar trijstūriem.

Priekšmeti > Matemātika > Matemātika 8. klase

Trigonometrija.Reducēšanas formulas.

Liešanas formulas nav jāmāca, tās ir jāsaprot. Izprotiet to izvades algoritmu. Tas ir ļoti viegli!

Paņemsim vienības apli un uz tā novietosim visus grādu mērus (0°; 90°; 180°; 270°; 360°).

Analizēsim sin(a) un cos(a) funkcijas katrā ceturksnī.

Atcerieties, ka mēs skatāmies uz sin (a) funkciju pa Y asi un funkciju cos (a) pa X asi.

Pirmajā ceturksnī redzams, ka funkcija grēks(a)>0
Un funkcija cos(a)>0
Pirmo ceturksni var raksturot, izmantojot grādu mēru, kā (90-α) vai (360+α).

Otrajā ceturksnī redzams, ka funkcija grēks(a)>0, jo y ass šajā ceturksnī ir pozitīva.
Funkcija cos(a), jo x ass šajā ceturksnī ir negatīva.
Otro ceturksni var raksturot ar grādu mēru kā (90+α) vai (180-α).

Trešajā ceturksnī redzams, ka funkcijas grēks(a) Trešo ceturksni grādu izteiksmē var raksturot kā (180+α) vai (270-α).

Ceturtajā ceturksnī redzams, ka funkcija sin(a), jo y ass šajā ceturksnī ir negatīva.
Funkcija cos(a)>0, jo x ass šajā ceturksnī ir pozitīva.
Ceturto ceturksni grādu izteiksmē var raksturot kā (270+α) vai (360-α).

Tagad apskatīsim pašas samazināšanas formulas.

Atcerēsimies vienkāršu algoritms:
1. ceturksnis.(Vienmēr skatieties, kurā kvartālā atrodaties).
2. Pierakstīties.(Par ceturtdaļu skatiet pozitīvās vai negatīvās kosinusa vai sinusa funkcijas).
3. Ja jums ir (90° vai π/2) un (270° vai 3π/2) iekavās, tad funkciju izmaiņas.

Un tā mēs sākam izjaukt šo algoritmu ceturkšņos.

Uzziniet, ar ko būs vienāda izteiksme cos(90-α).
Parunāsim par algoritmu:
1. Ceturksnis viens.


gribas cos(90-α) = grēks(α)

Uzziniet, ar ko būs vienāds izteiciens grēks (90-α).
Parunāsim par algoritmu:
1. Ceturksnis viens.


gribas sin(90-α) = cos(α)

Uzziniet, ar ko būs vienāda izteiksme cos(360+α).
Parunāsim par algoritmu:
1. Ceturksnis viens.
2. Pirmajā ceturksnī kosinusa funkcijas zīme ir pozitīva.

gribas cos(360+α) = cos(α)

Uzziniet, ar ko būs vienāda izteiksme sin (360 + α).
Parunāsim par algoritmu:
1. Ceturksnis viens.
2. Pirmajā ceturksnī sinusa funkcijas zīme ir pozitīva.
3. Iekavās nav (90° vai π/2) un (270° vai 3π/2), tad funkcija nemainās.
gribas grēks(360+α) = grēks(α)

Uzziniet, ar ko būs vienāda izteiksme cos(90+α).
Parunāsim par algoritmu:
1. Otrais ceturksnis.

3. Iekavās ir (90 ° vai π / 2), tad funkcija mainās no kosinusa uz sinusu.
gribas cos(90+α) = -sin(α)

Uzziniet, ar ko būs vienāda izteiksme sin (90 + α).
Parunāsim par algoritmu:
1. Otrais ceturksnis.

3. Iekavās ir (90 ° vai π / 2), tad funkcija mainās no sinusa uz kosinusu.
gribas sin(90+α) = cos(α)

Uzziniet, ar ko būs vienāda izteiksme cos(180-α).
Parunāsim par algoritmu:
1. Otrais ceturksnis.
2. Otrajā ceturksnī kosinusa funkcijas zīme ir negatīva.
3. Iekavās nav (90° vai π/2) un (270° vai 3π/2), tad funkcija nemainās.
gribas cos(180-α) = cos(α)

Uzziniet, ar ko būs vienāds izteiciens grēks (180-α).
Parunāsim par algoritmu:
1. Otrais ceturksnis.
2. Otrajā ceturksnī sinusa funkcijas zīme ir pozitīva.
3. Iekavās nav (90° vai π/2) un (270° vai 3π/2), tad funkcija nemainās.
gribas grēks(180-α) = grēks(α)

Es runāju par trešo un ceturto ceturtdaļu līdzīgi, mēs veidosim tabulu:

Abonēt uz kanālu pakalpojumā YOUTUBE un noskaties video, sagatavojies eksāmeniem matemātikā un ģeometrijā kopā ar mums.

Definīcija. Samazināšanas formulas ir formulas, kas ļauj pāriet no trigonometriskās funkcijas laipni pret argumentu funkcijām. Ar to palīdzību patvaļīga leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu var reducēt līdz leņķa no 0 līdz 90 grādiem (no 0 līdz radiāniem) sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. Tādējādi samazināšanas formulas ļauj mums pāriet uz darbu ar leņķiem 90 grādu robežās, kas neapšaubāmi ir ļoti ērti.

Cast formulas:

Lieto formulu lietošanai ir divi noteikumi.

1. Ja leņķi var attēlot kā (π/2 ±a) vai (3*π/2 ±a), tad funkcijas nosaukuma maiņa sin to cos, cos to sin, tg to ctg, ctg to tg. Ja leņķi var attēlot kā (π ±a) vai (2*π ±a), tad funkcijas nosaukums paliek nemainīgs.

Apskatiet attēlu zemāk, tajā shematiski parādīts, kad zīme ir jāmaina un kad nē.

2. Samazināta funkcijas zīme paliek tāds pats. Ja sākotnējai funkcijai bija plus zīme, tad arī samazinātajai funkcijai ir plus zīme. Ja sākotnējai funkcijai bija mīnusa zīme, tad arī samazinātajai funkcijai ir mīnusa zīme.

Zemāk esošajā attēlā redzamas galveno trigonometrisko funkciju zīmes atkarībā no ceturkšņa.

Piemērs:

Aprēķināt

Izmantosim samazināšanas formulas:

Sin(150˚) atrodas otrajā ceturksnī, no attēla redzams, ka grēka zīme šajā ceturksnī ir vienāda ar "+". Tas nozīmē, ka iepriekšminētajai funkcijai būs arī “+” zīme. Mēs esam piemērojuši otro noteikumu.

Tagad 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ ir π/2. Tas ir, mums ir darīšana ar gadījumu π / 2 + 60, tāpēc saskaņā ar pirmo noteikumu mēs mainām funkciju no sin uz cos. Rezultātā mēs iegūstam Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Reducēšanas formulu pielietošana uzdevumu risināšanā"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus. Visus materiālus pārbauda pretvīrusu programma.

Mācību līdzekļi un simulatori interneta veikalā "Integral" 10. klasei
1C: skola. Interaktīvie būvniecības uzdevumi 7.-10.klasei
1C: skola. Mēs risinām uzdevumus ģeometrijā. Interaktīvi uzdevumi būvēšanai telpā 10.-11.klasei

Ko mēs pētīsim:
1. Nedaudz atkārtosim.
2. Samazināšanas formulu noteikumi.
3. Reducēšanas formulu transformāciju tabula.
4. Piemēri.

Trigonometrisko funkciju atkārtošana

Puiši, jūs jau esat saskārušies ar spoku formulām, bet tās vēl nav tā nosauktas. Kur tu domā?

Apskatiet mūsu zīmējumus. Pareizi, kad viņi ieviesa trigonometrisko funkciju definīcijas.

Samazināšanas formulu noteikums

Ieviesīsim pamatnoteikumu: Ja trigonometriskās funkcijas zīme satur skaitli formā π×n/2 + t, kur n ir jebkurš vesels skaitlis, tad mūsu trigonometrisko funkciju var reducēt uz vairāk skaidrs skats, kurā būs tikai t arguments. Šādas formulas sauc par spoku formulām.

Atcerēsimies dažas formulas:

• sin(t + 2π*k) = grēks(t)
• cos(t + 2π*k) = cos(t)
• sin(t + π) = -sin(t)
• cos(t + π) = -cos(t)
• sin(t + π/2) = cos(t)
• cos(t + π/2) = -sin(t)
• tg(t + π*k) = tg(x)
• ctg(t + π*k) = ctg(x)

ir daudz spoku formulu, izveidosim noteikumu, pēc kura mēs noteiksim savas trigonometriskās funkcijas, izmantojot spoku formulas:

• Ja trigonometriskās funkcijas zīme satur skaitļus formā: π + t, π - t, 2π + t un 2π - t, tad funkcija nemainīsies, tas ir, piemēram, sinuss paliks sinuss, kotangenss paliks kotangenss.
• Ja trigonometriskās funkcijas zīme satur skaitļus šādā formā: π/2 + t, π/2 - t,
  3π/2 + t un 3π/2 - t, tad funkcija mainīsies uz saistītu, t.i., sinuss kļūs par kosinusu, kotangenss – par tangensu.
• Pirms iegūtās funkcijas jāievieto zīme, kas konvertētajai funkcijai būtu, ja 0

Šie noteikumi ir spēkā arī tad, ja funkcijas arguments ir grādos!

Mēs varam arī izveidot trigonometrisko funkciju pārveidošanas tabulu:

Redukcijas formulu izmantošanas piemēri

1. Pārveidosim cos(π + t). Funkcijas nosaukums paliek, t.i. mēs iegūstam cos(t). Tālāk pieņemsim, ka π/2

2. Pārveidot sin(π/2 + t). Tiek mainīts funkcijas nosaukums, t.i. mēs iegūstam cos(t). Turklāt pieņemsim, ka 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Pārveidosim tg(π + t). Funkcijas nosaukums paliek, t.i. mēs iegūstam tg(t). Turklāt pieņemsim, ka 0

4. Pārveidosim ctg(270 0 + t). Funkcijas nosaukums mainās, tas ir, mēs iegūstam tg(t). Turklāt pieņemsim, ka 0

Problēmas ar samazināšanas formulām neatkarīgam risinājumam

Puiši, pārvērtiet sevi, izmantojot mūsu noteikumus:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) ctg(π — t),
4) tg(π/2 — t),
5) ctg(3π + t),
6) grēks(2π + t),
7) grēks(π/2 + 5t),
8) grēks(π/2 — t),
9) grēks(2π - t),
10) cos(2π — t),
11) cos (3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).

Tie pieder matemātikas sadaļai "trigonometrija". To būtība ir panākt leņķu trigonometrisko funkciju “vienkāršāku” formu. Par viņu zināšanu nozīmi var rakstīt daudz. Ir 32 šādas formulas!

Neuztraucieties, jums tās nav jāapgūst, tāpat kā daudzas citas formulas matemātikas kursā. Jums nav jāpilda galva ar nevajadzīgu informāciju, jums ir jāiegaumē "atslēgas" vai likumi, un atcerēties vai atvasināt vēlamo formulu nebūs problēmu. Starp citu, kad es rakstu rakstos "... jums ir jāmācās !!!" - tas nozīmē, ka tas patiešām ir jāapgūst.

Ja neesat pazīstams ar samazināšanas formulām, to atvasināšanas vienkāršība jūs patīkami pārsteigs - ir “likums”, ar kuru to ir viegli izdarīt. Un jūs uzrakstīsit jebkuru no 32 formulām 5 sekundēs.

Uzskaitīšu tikai dažus uzdevumus, kas būs eksāmenā matemātikā, kur, nezinot šīs formulas, ir liela varbūtība izgāzties risinājumā. Piemēram:

- uzdevumi taisnleņķa trijstūra risināšanai, kur mēs runājam par ārējo leņķi, un uzdevumi iekšējie stūri dažas no šīm formulām arī ir vajadzīgas.

- uzdevumi trigonometrisko izteiksmju vērtību aprēķināšanai; skaitlisko trigonometrisko izteiksmju transformācijas; burtisku trigonometrisko izteiksmju transformācijas.

– uzdevumi pieskarei un ģeometriskā sajūta pieskare, nepieciešama pieskares samazināšanas formula, kā arī citi uzdevumi.

- stereometriskas problēmas, risināšanas gaitā bieži ir nepieciešams noteikt leņķa sinusu vai kosinusu, kas atrodas diapazonā no 90 līdz 180 grādiem.

Un tie ir tikai tie punkti, kas attiecas uz eksāmenu. Un pašas algebras gaitā rodas daudzas problēmas, kuru risināšanā bez reducēšanas formulu zināšanām to vienkārši nav iespējams izdarīt.

Tātad, pie kā tas noved un kā noteiktās formulas mums vienkāršo problēmu risināšanu?

Piemēram, jums ir jānosaka sinusa, kosinuss, tangenss vai kotangenss jebkuram leņķim no 0 līdz 450 grādiem:

alfa leņķis svārstās no 0 līdz 90 grādiem

* * *

Tātad, ir jāsaprot "likums", kas šeit darbojas:

1. Nosakiet funkcijas zīmi attiecīgajā ceturksnī.

Ļaujiet man viņiem atgādināt:

2. Atcerieties:

funkcija mainās uz kopfunkciju

funkcija nemainās uz kopfunkciju

Ko nozīmē jēdziens - funkcija mainās uz kopfunkciju?

Atbilde: sinusa izmaiņas kosinusā vai otrādi, tangenss kotangensam vai otrādi.

Tas ir viss!

Tagad saskaņā ar iesniegto likumu mēs neatkarīgi rakstām vairākas samazināšanas formulas:

Šis leņķis atrodas trešajā ceturksnī, kosinuss trešajā ceturksnī ir negatīvs. Mēs nemainām kofunkcijas funkciju, jo mums ir 180 grādi, kas nozīmē:

Leņķis atrodas pirmajā ceturksnī, sinuss pirmajā ceturksnī ir pozitīvs. Mēs nemainām funkciju uz kofunkciju, jo mums ir 360 grādi, kas nozīmē:

Šeit ir vēl viens papildu apstiprinājums tam, ka blakus esošo leņķu sinusi ir vienādi:

Leņķis atrodas otrajā ceturtdaļā, sinuss otrajā ceturtdaļā ir pozitīvs. Mēs nemainām funkciju uz kofunkciju, jo mums ir 180 grādi, kas nozīmē:

Izstrādājiet katru formulu garīgi vai rakstiski, un jūs redzēsiet, ka nav nekā sarežģīta.

***

Rakstā par risinājumu tika atzīmēts šāds fakts - viena akūta leņķa sinuss iekšā taisnleņķa trīsstūris ir vienāds ar cita akūta leņķa kosinusu tajā.