Formulas paralelograma laukuma abcd atrašanai. Paralelogrammas laukums

4. uzdevums.

Viena no 4√6 garuma paralelograma diagonālēm veido 60° leņķi ar pamatni, bet otrā diagonāle ar to pašu pamatni veido 45° leņķi. Atrodiet otro diagonāli.

Risinājums.

1. AO = 2√6.

2. Pielietot sinusa teorēmu trijstūrim AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Atbilde: 12.

5. uzdevums.

Paralelogramam ar malām 5√2 un 7√2 mazākais leņķis starp diagonālēm ir vienāds ar paralelograma mazāko leņķi. Atrodiet diagonāļu garumu summu.

Risinājums.

Pieņemsim, ka paralelograma diagonāles ir d 1, d 2, un leņķis starp diagonālēm un paralelograma mazāko leņķi ir φ.

1. Saskaitīsim divus dažādus
veidus.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Iegūstam vienādību 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f vai

2 5√2 7√2 = d 1 d 2;

2. Izmantojot attiecību starp paralelograma malām un diagonālēm, rakstām vienādību

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Izveidosim sistēmu:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Reiziniet sistēmas otro vienādojumu ar 2 un pievienojiet pirmajam.

Mēs iegūstam (d 1 + d 2) 2 = 576. Tādējādi Id 1 + d 2 I = 24.

Tā kā d 1, d 2 ir paralelograma diagonāļu garumi, tad d 1 + d 2 = 24.

Atbilde: 24.

6. uzdevums.

Paralelograma malas ir 4 un 6. Akūtais leņķis starp diagonālēm ir 45 o. Atrodiet paralelograma laukumu.

Risinājums.

1. No trijstūra AOB, izmantojot kosinusa teorēmu, rakstām sakarību starp paralelograma malu un diagonālēm.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 - 2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Līdzīgi rakstām relāciju trijstūrim AOD.

Mēs to ņemam vērā<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Iegūstam vienādojumu d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Mums ir sistēma
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Atņemot pirmo no otrā vienādojuma, iegūstam 2d 1 d 2 √2 = 80 vai

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Piezīme:Šajā un iepriekšējā uzdevumā sistēma nav jāatrisina pilnībā, paredzot, ka šajā uzdevumā ir nepieciešams diagonāļu reizinājums, lai aprēķinātu laukumu.

Atbilde: 10.

7. uzdevums.

Paralelograma laukums ir 96, un tā malas ir 8 un 15. Atrodiet mazākās diagonāles kvadrātu.

Risinājums.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Veiksim aizstāšanu formulā.

Mēs iegūstam 96 = 8 15 sin VAD. Līdz ar to grēks VAD = 4/5.

2. Atrast cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25.

Atbilstoši uzdevuma stāvoklim mēs atrodam mazākās diagonāles garumu. Diagonāle BD būs mazāka, ja leņķis BAD ir akūts. Tad cos BAD = 3/5.

3. No trijstūra ABD, izmantojot kosinusa teorēmu, atrodam diagonāles BD kvadrātu.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3/5 \u003d 145.

Atbilde: 145.

Vai jums ir kādi jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt ģeometrijas problēmu?
Lai saņemtu pasniedzēja palīdzību - reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!

vietnē, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.

Tāpat kā Eiklīda ģeometrijā punkts un taisne ir galvenie plakņu teorijas elementi, tātad paralelograms ir viena no galvenajām izliektu četrstūru figūrām. No tā, tāpat kā pavedieni no lodītes, izplūst jēdzieni "taisnstūris", "kvadrāts", "rombs" un citi ģeometriski lielumi.

Saskarsmē ar

Paralelograma definīcija

izliekts četrstūris, kas sastāv no segmentiem, kuru katrs pāris ir paralēls, ģeometrijā ir pazīstams kā paralelograms.

Kā izskatās klasiskais paralelograms, ir četrstūris ABCD. Malas sauc par pamatiem (AB, BC, CD un AD), perpendikulu, kas novilkts no jebkuras virsotnes uz šīs virsotnes pretējo pusi, sauc par augstumu (BE un BF), taisnes AC un BD ir diagonāles.

Uzmanību! Kvadrāts, rombs un taisnstūris ir īpaši paralelograma gadījumi.

Malas un leņķi: attiecību īpašības

Galvenās īpašības kopumā ko iepriekš nosaka pats apzīmējums, tos pierāda ar teorēmu. Šīs īpašības ir šādas:

1. Puses, kas atrodas pretējās, ir identiskas pa pāriem.
2. Leņķi, kas ir pretēji viens otram, ir vienādi pa pāriem.

Pierādījums: aplūkosim ∆ABC un ∆ADC, kas iegūti, dalot četrstūri ABCD ar taisni AC. ∠BCA=∠CAD un ∠BAC=∠ACD, jo AC tiem ir kopīgs (vertikālie leņķi attiecīgi BC||AD un AB||CD). No tā izriet: ∆ABC = ∆ADC (otrais trīsstūru vienādības kritērijs).

Segmenti AB un BC ∆ABC atbilst pa pāriem līnijām CD un AD ∆ADC, kas nozīmē, ka tie ir identiski: AB = CD, BC = AD. Tādējādi ∠B atbilst ∠D un tie ir vienādi. Tā kā ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, kas arī ir identiski pa pāriem, tad ∠A = ∠C. Īpašums ir pierādīts.

Figūras diagonāļu raksturojums

Galvenā iezīmešīs paralelogramu taisnes: krustošanās punkts sadala tās uz pusēm.

Pierādījums: lai m E ir figūras ABCD diagonāļu AC un BD krustpunkts. Tie veido divus samērīgus trīsstūrus - ∆ABE un ∆CDE.

AB = CD, jo tie ir pretēji. Saskaņā ar līnijām un sekantiem ∠ABE = ∠CDE un ∠BAE = ∠DCE.

Saskaņā ar otro vienlīdzības zīmi ∆ABE = ∆CDE. Tas nozīmē, ka elementi ∆ABE un ∆CDE ir: AE = CE, BE = DE un turklāt tie ir samērīgas AC un BD daļas. Īpašums ir pierādīts.

Blakus esošo stūru iezīmes

Blakus esošajās malās leņķu summa ir 180°, jo tie atrodas tajā pašā pusē paralēlajām līnijām un sekantam. Četrstūrim ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Bisektoru īpašības:

1. , nomesti uz vienu pusi, ir perpendikulāri;
2. pretējām virsotnēm ir paralēlas bisektrise;
3. trijstūris, kas iegūts, zīmējot bisektrisi, būs vienādsānu.

Paralelograma raksturīgo pazīmju noteikšana pēc teorēmas

Šī attēla iezīmes izriet no tā galvenās teorēmas, kas skan šādi: četrstūris tiek uzskatīts par paralelogramu gadījumā, ja tā diagonāles krustojas, un šis punkts sadala tās vienādos segmentos.

Pierādījums: Ļaujiet četrstūra ABCD taisnēm AC un BD krustoties t. E. Tā kā ∠AED = ∠BEC un AE+CE=AC BE+DE=BD, tad ∆AED = ∆BEC (ar pirmo trīsstūru vienādības zīmi). Tas ir, ∠EAD = ∠ECB. Tie ir arī iekšējie šķērsgriezuma AC šķērsošanas leņķi līnijām AD un BC. Tādējādi pēc paralēlisma definīcijas - AD || BC. Līdzīga īpašība ir arī līniju BC un CD. Teorēma ir pierādīta.

Figūras laukuma aprēķināšana

Šīs figūras laukums atrodami vairākos veidos viens no vienkāršākajiem: reizināt augstumu un pamatni, uz kuru tas ir novilkts.

Pierādījums: No virsotnēm B un C uzzīmējiet perpendikulus BE un CF. ∆ABE un ∆DCF ir vienādi, jo AB = CD un BE = CF. ABCD ir vienāds ar taisnstūri EBCF, jo tie sastāv arī no proporcionāliem skaitļiem: S ABE un S EBCD, kā arī S DCF un S EBCD. No tā izriet, ka šīs ģeometriskās figūras laukums ir tāds pats kā taisnstūra laukums:

S ABCD = S EBCF = BE × BC = BE × AD.

Lai noteiktu paralelograma laukuma vispārējo formulu, mēs apzīmējam augstumu kā hb, un sānu b. Attiecīgi:

Citi veidi, kā atrast apgabalu

Platības aprēķini caur paralelograma malām un leņķi, ko tie veido, ir otrā zināmā metode.

,

Spr-ma - platība;

a un b ir tās malas

α - leņķis starp segmentiem a un b.

Šī metode praktiski balstās uz pirmo, bet gadījumā, ja tā nav zināma. vienmēr nogriež taisnleņķa trīsstūri, kura parametrus nosaka trigonometriskās identitātes, t.i. Pārveidojot attiecību, mēs iegūstam . Pirmās metodes vienādojumā mēs aizvietojam augstumu ar šo produktu un iegūstam šīs formulas derīguma pierādījumu.

Caur paralelograma diagonālēm un leņķi, ko tie rada, kad tie krustojas, varat arī atrast apgabalu.

Pierādījums: AC un BD, kas krustojas, veido četrus trīsstūrus: ABE, BEC, CDE un AED. To summa ir vienāda ar šī četrstūra laukumu.

Katra no šīm ∆ laukumu var atrast izteiksmē , kur a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Tā kā , tad aprēķinos tiek izmantota viena sinusa vērtība. Tas ir . Tā kā AE+CE=AC= d 1 un BE+DE=BD= d 2 , laukuma formula samazinās līdz:

.

Pielietojums vektoru algebrā

Šī četrstūra veidojošo daļu iezīmes ir atradušas pielietojumu vektoru algebrā, proti: divu vektoru pievienošana. Paralelograma noteikums nosaka, ka ja doti vektoriunnēir kolineāri, tad to summa būs vienāda ar šī skaitļa diagonāli, kuras bāzes atbilst šiem vektoriem.

Pierādījums: no patvaļīgi izvēlēta sākuma - tas ir. - mēs veidojam vektorus un . Tālāk mēs veidojam paralelogramu OASV, kur segmenti OA un OB ir malas. Tādējādi OS atrodas uz vektora vai summas.

Formulas paralelograma parametru aprēķināšanai

Identitātes tiek norādītas ar šādiem nosacījumiem:

1. a un b, α - malas un leņķis starp tām;
2. d 1 un d 2 , γ - diagonāles un to krustpunktā;
3. h a un h b - augstumi nolaisti uz a un b malām;

Parametrs	Formula
Pušu atrašana
pa diagonālēm un starp tām esošā leņķa kosinusu
pa diagonāli un uz sāniem
caur augstumu un pretējo virsotni
Diagonāļu garuma atrašana
sānos un augšdaļas izmēru starp tām

Ģeometriskais laukums- ģeometriskas figūras skaitlisks raksturlielums, kas parāda šīs figūras izmēru (virsmas daļa, ko ierobežo šīs figūras slēgta kontūra). Laukuma lielumu izsaka ar tajā esošo kvadrātvienību skaitu.

Trijstūra laukuma formulas

1. Trijstūra laukuma formula malai un augstumam
   Trijstūra laukums vienāds ar pusi reizinājuma no trijstūra malas garuma un augstuma garuma, kas novilkts uz šo malu
   
2. Formula trīsstūra laukumam, kas dotas trīs malas un ierobežotā apļa rādiusu
   
3. Formula trijstūra laukumam, kurā norādītas trīs malas un ierakstīta apļa rādiuss
   Trijstūra laukums ir vienāds ar trijstūra pusperimetra un ierakstītā riņķa rādiusa reizinājumu.
   
kur S ir trīsstūra laukums,
- trijstūra malu garumi,
- trijstūra augstums,
- leņķis starp sāniem un
- ierakstītā apļa rādiuss,
R - ierobežotā apļa rādiuss,

Kvadrātveida laukuma formulas

1. Kvadrāta laukuma formula, ņemot vērā malas garumu
   kvadrātveida platība ir vienāds ar tā malas garuma kvadrātu.
2. Kvadrāta laukuma formula, ņemot vērā diagonāles garumu
   kvadrātveida platība vienāds ar pusi no tās diagonāles garuma kvadrāta.
   

   S=	1	2
   	2

kur S ir kvadrāta laukums,
ir kvadrāta malas garums,
ir kvadrāta diagonāles garums.

Taisnstūra laukuma formula

Taisnstūra laukums ir vienāds ar tā divu blakus esošo malu garumu reizinājumu

kur S ir taisnstūra laukums,
ir taisnstūra malu garumi.

Paralelograma laukuma formulas

1. Paralēlogrammas laukuma formula sānu garumam un augstumam
   Paralelogrammas laukums
2. Formula paralelograma laukumam, ņemot vērā divas malas un leņķi starp tām
   Paralelogrammas laukums ir vienāds ar tā malu garuma reizinājumu, kas reizināts ar leņķa starp tām sinusu.
   

   a b sinα

kur S ir paralelograma laukums,
ir paralelograma malu garumi,
ir paralelograma augstums,
ir leņķis starp paralelograma malām.

Romba laukuma formulas

1. Romba laukuma formula, kas norādīta sānu garumā un augstumā
   Rombu apvidus ir vienāds ar tās sānu garuma un uz šo pusi nolaistā augstuma reizinājumu.
2. Romba laukuma formula, ņemot vērā malas garumu un leņķi
   Rombu apvidus ir vienāds ar tā malas garuma kvadrāta un leņķa starp romba malām sinusa reizinājumu.
3. Romba laukuma formula no tā diagonāļu garumiem
   Rombu apvidus ir vienāds ar pusi no tā diagonāļu garumu reizinājuma.
kur S ir romba laukums,
- romba malas garums,
- romba augstuma garums,
- leņķis starp romba malām,
1, 2 - diagonāļu garumi.

Trapeces laukuma formulas

1. Gārņa formula trapecveida formai

   kur S ir trapeces laukums,
   - trapeces pamatu garums,
   - trapeces malu garums,
   

Paralelograms ir četrstūra figūra, kuras pretējās malas ir pa pāriem paralēlas un pa pāriem vienādas. Arī tā pretējie leņķi ir vienādi, un paralelograma diagonāļu krustpunkts sadala tās uz pusēm, vienlaikus esot figūras simetrijas centrs. Īpaši paralelograma gadījumi ir tādas ģeometriskas formas kā kvadrāts, taisnstūris un rombs. Paralelograma laukumu var atrast dažādos veidos atkarībā no tā, kādi sākotnējie dati ir pievienoti problēmas formulējumam.

1. Vienkāršākajā gadījumā paralelograma laukums tiek definēts kā tā pamatnes un augstuma reizinājums.
   

   S = DC ∙ h

   
   

   kur S ir paralelograma laukums;
   a - bāze;
   h ir augstums, kas novilkts uz doto pamatni.

   Šo formulu ir ļoti viegli saprast un atcerēties, ja paskatās uz nākamo attēlu.

   

   Kā redzams no šī attēla, ja pa kreisi no paralelograma nogriežam iedomātu trīsstūri un piestiprinām to pa labi, tad rezultātā iegūstam taisnstūri. Un, kā jūs zināt, taisnstūra laukumu nosaka, reizinot tā garumu ar augstumu. Tikai paralelograma gadījumā garums būs pamats, un taisnstūra augstums būs paralelograma augstums, kas nolaists uz šo pusi.

2. Paralelograma laukumu var atrast arī, reizinot divu blakus esošo pamatu garumus un leņķa sinusu starp tām:
   

   S = AD∙AB∙sinα

   
   

   kur AD, AB ir blakus esošās bāzes, kas veido krustošanās punktu un leņķi a savā starpā;
   α ir leņķis starp bāzēm AD un AB.

   

3. Arī paralelograma laukumu var atrast, dalot uz pusi paralelograma diagonāļu garumu reizinājumu ar leņķa sinusu starp tām.
   

   S = ½∙AC∙BD∙sinβ

   
   

   kur AC, BD ir paralelograma diagonāles;
   β ir leņķis starp diagonālēm.

   

4. Ir arī formula paralelograma laukuma atrašanai, ņemot vērā tajā ierakstītā apļa rādiusu. Tas ir rakstīts šādi:

Videokursā "Saņem A" iekļautas visas tēmas, kas nepieciešamas matemātikas eksāmena sekmīgai nokārtošanai par 60-65 punktiem. Pilnīgi visi profila uzdevumi 1-13 USE matemātikā. Piemērots arī matemātikas pamata USE nokārtošanai. Ja gribi nokārtot eksāmenu ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!

Sagatavošanas kurss eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss nepieciešamais, lai atrisinātu eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmās 12 problēmas) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne simt ballu students, ne humānists.

Visa nepieciešamā teorija. Eksāmena ātrie risinājumi, lamatas un noslēpumi. Analizēti visi būtiskie FIPI bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst USE-2018 prasībām.

Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.

Simtiem eksāmenu uzdevumu. Teksta problēmas un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami problēmu risināšanas algoritmi. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu USE uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi triki risināšanai, noderīgas blēžu lapas, telpiskās iztēles attīstīšana. Trigonometrija no nulles - līdz 13. uzdevumam. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu vizuāls skaidrojums. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Eksāmena 2.daļas sarežģītu uzdevumu risināšanas bāze.