Formula leņķa aprēķināšanai starp līnijām. Leņķis starp līnijām plaknē

Ļaujiet līnijas dot telpā l un m. Caur kādu telpas punktu A mēs novelkam taisnas līnijas l 1 || l un m 1 || m(138. att.).

Ņemiet vērā, ka punktu A var izvēlēties patvaļīgi, jo īpaši tas var atrasties vienā no dotajām taisnēm. Ja taisni l un m krustojas, tad A var uzskatīt par šo līniju krustpunktu ( l 1 =l un m 1 = m).

Leņķis starp neparalēlām līnijām l un m ir mazākā no blakus esošajiem leņķiem, ko veido krustojošās taisnes l 1 un m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Tiek pieņemts, ka leņķis starp paralēlām līnijām ir nulle.

Leņķis starp līnijām l un m apzīmē ar \(\widehat((l;m)) \). No definīcijas izriet, ka, ja to mēra grādos, tad 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, un, ja radiānos, tad 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Uzdevums. Ir dots kubs ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (139. att.).

Atrodiet leņķi starp taisnēm AB un DC 1 .

Taisna AB un DC 1 krustojums. Tā kā taisne DC ir paralēla līnijai AB, leņķis starp taisnēm AB un DC 1 saskaņā ar definīciju ir vienāds ar \(\widehat(C_(1)DC)\).

Tādējādi \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Tieša l un m sauca perpendikulāri, ja \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Piemēram, kubā

Leņķa aprēķins starp līnijām.

Leņķa aprēķināšanas problēma starp divām taisnēm telpā tiek atrisināta tāpat kā plaknē. Ar φ apzīmē leņķi starp līnijām l 1 un l 2 , un caur ψ - leņķis starp virziena vektoriem a un b šīs taisnās līnijas.

Tad ja

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (206.6. att.), tad φ = 180° - ψ. Ir skaidrs, ka abos gadījumos vienādība cos φ = |cos ψ| ir patiesa. Saskaņā ar formulu (leņķa kosinuss starp vektori, kas nav nulles a un b ir vienādi punktu produkts no šiem vektoriem, kas dalīti ar to garumu reizinājumu), mums ir

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

tātad,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Ļaujiet līnijas dot ar to kanoniskajiem vienādojumiem

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; un \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Tad, izmantojot formulu, nosaka leņķi φ starp līnijām

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Ja viena no taisnēm (vai abām) ir dota ar nekanoniskiem vienādojumiem, tad, lai aprēķinātu leņķi, ir jāatrod šo līniju virziena vektoru koordinātas un pēc tam jāizmanto formula (1).

1. uzdevums. Aprēķiniet leņķi starp līnijām

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;un\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Taisnu līniju virzienu vektoriem ir koordinātas:

a \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

Pēc formulas (1) mēs atrodam

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Tāpēc leņķis starp šīm līnijām ir 60°.

2. uzdevums. Aprēķiniet leņķi starp līnijām

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) un \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\beigas(gadījumi) $$

Aiz virzošā vektora a pirmo taisni ņemam normālo vektoru vektorreizinājumu n 1 = (3; 0; -12) un n 2 = (1; 1; -3) plaknes, kas nosaka šo taisni. Ar formulu \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) mēs iegūstam

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Līdzīgi mēs atrodam otrās taisnes virziena vektoru:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Bet formula (1) aprēķina vajadzīgā leņķa kosinusu:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Tāpēc leņķis starp šīm līnijām ir 90°.

3. uzdevums. Trīsstūrveida piramīdā MAVS malas MA, MB un MC ir savstarpēji perpendikulāras, (207. att.);

to garumi ir attiecīgi vienādi ar 4, 3, 6. Punkts D ir vidus [MA]. Atrodiet leņķi φ starp līnijām CA un DB.

Lai SA un DB ir taisnes SA un DB virziena vektori.

Par koordinātu sākumpunktu pieņemsim punktu M. Pēc uzdevuma nosacījuma mums ir A (4; 0; 0), B (0; 0; 3), C (0; 6; 0), D (2; 0; 0). Tāpēc \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Mēs izmantojam formulu (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Saskaņā ar kosinusu tabulu mēs atklājam, ka leņķis starp taisnēm CA un DB ir aptuveni 72 °.

Instrukcija

Piezīme

Periods trigonometriskā funkcija tangenss ir vienāds ar 180 grādiem, kas nozīmē, ka taisnu līniju slīpuma leņķi modulo nevar pārsniegt šo vērtību.

Noderīgs padoms

Ja slīpuma koeficienti ir vienādi viens ar otru, tad leņķis starp šādām līnijām ir 0, jo šādas līnijas vai nu sakrīt, vai ir paralēlas.

Lai noteiktu leņķi starp krustojošām līnijām, ir jāpārnes abas līnijas (vai viena no tām) uz jaunu pozīciju ar paralēlas pārvietošanas metodi krustojumam. Pēc tam jums vajadzētu atrast leņķi starp iegūtajām krustošanās līnijām.

Jums būs nepieciešams

• Lineāls, taisnleņķa trīsstūris, zīmulis, transportieri.

Instrukcija

Tātad ir dots vektors V = (a, b, c) un plakne A x + B y + C z = 0, kur A, B un C ir normālā N koordinātas. Tad leņķa kosinuss α starp vektoriem V un N ir: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Lai aprēķinātu leņķa vērtību grādos vai radiānos, no iegūtās izteiksmes jāaprēķina kosinusam apgrieztā funkcija, t.i. arkosīns: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Piemērs: atrast injekcija starp vektors(5, -3, 8) un lidmašīna, kas dots ar vispārīgo vienādojumu 2 x - 5 y + 3 z = 0. Risinājums: pierakstiet plaknes N = (2, -5, 3) normālvektora koordinātas. Aizstāt visu zināmās vērtības iepriekš minētajā formulā: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Saistītie video

Taisne, kurai ir viens kopīgs punkts ar apli, ir riņķa pieskares. Vēl viena pieskares iezīme ir tā, ka tā vienmēr ir perpendikulāra rādiusam, kas novilkts līdz saskares punktam, tas ir, pieskare un rādiuss veido taisnu līniju injekcija. Ja no viena punkta A novilktas divas riņķa līnijas AB un AC pieskares, tad tās vienmēr ir vienādas viena ar otru. Leņķa definīcija starp pieskarēm ( injekcija ABC) tiek ražots, izmantojot Pitagora teorēmu.

Instrukcija

Lai noteiktu leņķi, jāzina riņķa rādiuss OB un OS un pieskares sākuma punkta attālums no riņķa centra - O. Tātad, leņķi ABO un ACO ir vienādi, rādiuss OB, piemēram, 10 cm, un attālums līdz apļa AO centram ir 15 cm Pieskares garumu nosaki pēc formulas saskaņā ar Pitagora teorēmu: AB = Kvadrātsakne no AO2 - OB2 vai 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

Šis materiāls ir veltīts tādam jēdzienam kā leņķis starp divām krustojošām taisnēm. Pirmajā rindkopā mēs paskaidrosim, kas tas ir, un parādīsim to ilustrācijās. Pēc tam mēs analizēsim, kā jūs varat atrast šī leņķa sinusu, kosinusu un pašu leņķi (atsevišķi aplūkosim gadījumus ar plakni un trīsdimensiju telpu), sniegsim nepieciešamās formulas un ar piemēriem parādīsim, kā tieši tās tiek pielietotas. praksē.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Lai saprastu, kas ir leņķis, kas veidojas divu līniju krustpunktā, mums jāatceras pati leņķa definīcija, perpendikularitāte un krustošanās punkts.

1. definīcija

Mēs saucam divas līnijas, kas krustojas, ja tām ir viens kopīgs punkts. Šo punktu sauc par abu līniju krustošanās punktu.

Katra līnija pēc krustošanās punkta tiek sadalīta staros. Šajā gadījumā abas līnijas veido 4 leņķus, no kuriem divi ir vertikāli un divi atrodas blakus. Ja zinām vienas no tām mēru, tad varam noteikt pārējos atlikušos.

Pieņemsim, ka mēs zinām, ka viens no leņķiem ir vienāds ar α. Šādā gadījumā leņķis, kas ir vertikāls pret to, arī būs vienāds ar α. Lai atrastu atlikušos leņķus, mums jāaprēķina starpība 180 ° - α . Ja α ir vienāds ar 90 grādiem, tad visi leņķi būs taisni. Taisnes, kas krustojas taisnā leņķī, sauc par perpendikulārām (perpendikulitātes jēdzienam ir veltīts atsevišķs raksts).

Apskatiet attēlu:

Turpināsim pie galvenās definīcijas formulēšanas.

2. definīcija

Leņķis, ko veido divas krustojošas līnijas, ir mazākā no 4 leņķiem, kas veido šīs divas līnijas, mērs.

No definīcijas ir nepieciešams izdarīt svarīgs secinājums: stūra izmērs šajā gadījumā tiks izteikts ar jebkuru reālais skaitlis intervālā (0 , 90 ] . Ja taisnes ir perpendikulāras, tad leņķis starp tām jebkurā gadījumā būs vienāds ar 90 grādiem.

Spēja atrast leņķa mēru starp divām krustojošām līnijām ir noderīga daudzu praktisku problēmu risināšanai. Risinājuma metodi var izvēlēties no vairākām iespējām.

Iesācējiem mēs varam izmantot ģeometriskās metodes. Ja mēs zinām kaut ko par papildu leņķiem, tad varam tos savienot ar mums nepieciešamo leņķi, izmantojot vienādu vai līdzīgu formu īpašības. Piemēram, ja mēs zinām trijstūra malas un mums ir jāaprēķina leņķis starp taisnēm, uz kurām šīs malas atrodas, tad kosinusa teorēma ir piemērota atrisināšanai. Ja nosacījumā mums ir taisnleņķa trijstūris, tad aprēķiniem mums būs jāzina arī leņķa sinuss, kosinuss un tangenss.

Koordinātu metode ir ļoti ērta arī šāda veida problēmu risināšanai. Paskaidrosim, kā to pareizi lietot.

Mums ir taisnstūra (dekarta) koordinātu sistēma O x y ar divām taisnēm. Apzīmēsim tos ar burtiem a un b. Šajā gadījumā taisnas līnijas var aprakstīt, izmantojot jebkurus vienādojumus. Sākotnējām līnijām ir krustošanās punkts M . Kā noteikt vēlamo leņķi (apzīmēsim to ar α) starp šīm līnijām?

Sāksim ar leņķa atrašanas pamatprincipa formulēšanu dotajos apstākļos.

Mēs zinām, ka tādi jēdzieni kā virzīšana un normāls vektors ir cieši saistīti ar taisnes jēdzienu. Ja mums ir kādas taisnes vienādojums, mēs no tā varam ņemt šo vektoru koordinātas. Mēs to varam izdarīt uzreiz divām krustojošām līnijām.

Leņķi, ko veido divas krustojošas līnijas, var atrast, izmantojot:

• leņķis starp virziena vektoriem;
• leņķis starp normāliem vektoriem;
• leņķis starp vienas taisnes normālvektoru un otras taisnes virziena vektoru.

Tagad apskatīsim katru metodi atsevišķi.

1. Pieņemsim, ka mums ir taisne a ar virziena vektoru a → = (a x , a y) un taisne b ar virziena vektoru b → (b x , b y) . Tagad atcelsim divus vektorus a → un b → no krustojuma punkta. Pēc tam redzēsim, ka tie katrs atradīsies savā līnijā. Tad mums viņiem ir četras iespējas relatīvā pozīcija. Skatīt ilustrāciju:

Ja leņķis starp diviem vektoriem nav neass, tad tas būs leņķis, kas mums nepieciešams starp krustojošām taisnēm a un b. Ja tas ir neass, tad vēlamais leņķis būs vienāds ar leņķi, kas atrodas blakus leņķim a → , b → ^ . Tādējādi α = a → , b → ^, ja a → , b → ^ ≤ 90 ° , un α = 180 ° - a → , b → ^ ja a → , b → ^ > 90 ° .

Pamatojoties uz to, ka vienādu leņķu kosinusi ir vienādi, iegūtās vienādības varam pārrakstīt šādi: cos α = cos a → , b → ^ ja a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ ja a → , b → ^ > 90° .

Otrajā gadījumā tika izmantotas reducēšanas formulas. Tādējādi

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Pēdējo formulu rakstīsim vārdos:

3. definīcija

Leņķa kosinuss, ko veido divas krustojošas līnijas, būs vienāds ar leņķa kosinusa moduli starp tā virziena vektoriem.

Formulas vispārīgā forma leņķa kosinusam starp diviem vektoriem a → = (a x, a y) un b → = (b x, b y) izskatās šādi:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

No tā mēs varam iegūt formulu leņķa kosinusam starp divām noteiktām līnijām:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Tad pašu leņķi var atrast, izmantojot šādu formulu:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Šeit a → = (a x , a y) un b → = (b x , b y) ir doto līniju virziena vektori.

Sniegsim piemēru problēmas risināšanai.

1. piemērs

Taisnstūra koordinātu sistēmā plaknē ir dotas divas krustošanās taisnes a un b. Tos var aprakstīt ar parametru vienādojumiem x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R un x 5 = y - 6 - 3 . Aprēķiniet leņķi starp šīm līnijām.

Lēmums

Mums nosacījumā ir parametrisks vienādojums, kas nozīmē, ka šai taisnei mēs varam uzreiz pierakstīt tās virziena vektora koordinātas. Lai to izdarītu, mums ir jāņem koeficientu vērtības pie parametra, t.i. taisnei x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R būs virziena vektors a → = (4 , 1) .

Otrā taisne ir aprakstīta, izmantojot kanonisko vienādojumu x 5 = y - 6 - 3 . Šeit mēs varam ņemt koordinātas no saucējiem. Tādējādi šai taisnei ir virziena vektors b → = (5 , - 3) .

Tālāk mēs turpinām tieši ar leņķa atrašanu. Lai to izdarītu, vienkārši aizvietojiet pieejamās divu vektoru koordinātas iepriekš minētajā formulā α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Mēs iegūstam sekojošo:

α = a rc cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Atbilde: šīs līnijas veido 45 grādu leņķi.

Mēs varam atrisināt līdzīgu problēmu, atrodot leņķi starp normāliem vektoriem. Ja mums ir taisne a ar normālu vektoru n a → = (n a x , n a y) un taisne b ar normālu vektoru n b → = (n b x , n b y) , tad leņķis starp tām būs vienāds ar leņķi starp n a → un n b → vai leņķis, kas būs blakus n a → , n b → ^ . Šī metode ir parādīta attēlā:

Formulas leņķa kosinusa aprēķināšanai starp krustojošām līnijām un pašu šo leņķi, izmantojot normālu vektoru koordinātas, izskatās šādi:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Šeit n a → un n b → apzīmē divu doto taisnes normālos vektorus.

2. piemērs

Taisnstūra koordinātu sistēmā ir dotas divas taisnes, izmantojot vienādojumus 3 x + 5 y - 30 = 0 un x + 4 y - 17 = 0 . Atrodiet starp tiem esošā leņķa sinusu, kosinusu un paša šī leņķa lielumu.

Lēmums

Sākotnējās taisnes ir dotas, izmantojot parastos taisnvienādojumus formā A x + B y + C = 0 . Apzīmē normālvektoru n → = (A , B) . Atradīsim pirmā normālvektora koordinātas vienai taisnei un pierakstīsim: n a → = (3 , 5) . Otrajai rindai x + 4 y - 17 = 0 normālajam vektoram būs koordinātas n b → = (1 , 4) . Tagad pievienojiet iegūtās vērtības formulai un aprēķiniet kopējo:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Ja mēs zinām leņķa kosinusu, tad varam aprēķināt tā sinusu, izmantojot pamata trigonometriskā identitāte. Tā kā taisnu līniju veidotais leņķis α nav strups, tad sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

Šajā gadījumā α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Atbilde: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Analizēsim pēdējo gadījumu – leņķa atrašanu starp taisnēm, ja zinām vienas taisnes virziena vektora un otras normālvektora koordinātas.

Pieņemsim, ka taisnei a ir virziena vektors a → = (a x , a y) , bet taisnei b ir normāls vektors n b → = (n b x , n b y) . Mums ir jāatliek šie vektori no krustošanās punkta un jāapsver visas to relatīvās pozīcijas iespējas. Skatīt attēlu:

Ja leņķis starp dotajiem vektoriem nav lielāks par 90 grādiem, izrādās, ka tas papildinās leņķi starp a un b līdz taisnam leņķim.

a → , n b → ^ = 90 ° - α , ja a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Ja tas ir mazāks par 90 grādiem, mēs iegūstam sekojošo:

a → , n b → ^ > 90 ° , tad a → , n b → ^ = 90 ° + α

Izmantojot vienādu leņķu kosinusu vienādības likumu, mēs rakstām:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α pie a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α pie a → , n b → ^ > 90 ° .

Tādējādi

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Formulēsim secinājumu.

4. definīcija

Lai atrastu leņķa sinusu starp divām līnijām, kas krustojas plaknē, jāaprēķina leņķa kosinusa modulis starp pirmās līnijas virziena vektoru un otrās normālo vektoru.

Pierakstīsim vajadzīgās formulas. Leņķa sinusa atrašana:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Paša stūra atrašana:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Šeit a → ir pirmās rindas virziena vektors, un n b → ir otrās rindas normālais vektors.

3. piemērs

Divas krustojošas taisnes ir dotas ar vienādojumu x - 5 = y - 6 3 un x + 4 y - 17 = 0 . Atrodiet krustojuma leņķi.

Lēmums

No dotajiem vienādojumiem ņemam virzošā un normālā vektora koordinātas. Izrādās, a → = (- 5, 3) un n → b = (1, 4). Mēs ņemam formulu α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 un apsveram:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Ņemiet vērā, ka mēs paņēmām vienādojumus no iepriekšējās problēmas un ieguvām tieši tādu pašu rezultātu, bet citā veidā.

Atbilde:α = a r c sin 7 2 34

Šeit ir vēl viens veids, kā atrast vēlamo leņķi, izmantojot doto līniju slīpuma koeficientus.

Mums ir taisne a , kas ir definēta taisnstūra koordinātu sistēmā, izmantojot vienādojumu y = k 1 · x + b 1 , un taisne b , kas definēta kā y = k 2 · x + b 2 . Tie ir līniju vienādojumi ar slīpumu. Lai atrastu krustojuma leņķi, izmantojiet formulu:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , kur k 1 un k 2 ir slīpuma faktori dotās līnijas. Lai iegūtu šo ierakstu, tika izmantotas formulas leņķa noteikšanai caur normālu vektoru koordinātām.

4. piemērs

Ir divas taisnas līnijas, kas krustojas plaknē, kas doti ar vienādojumiem y = - 3 5 x + 6 un y = - 1 4 x + 17 4 . Aprēķiniet krustojuma leņķi.

Lēmums

Mūsu līniju slīpumi ir vienādi ar k 1 = - 3 5 un k 2 = - 1 4 . Saskaitīsim tos formulai α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 un aprēķināsim:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Atbilde:α = a r c cos 23 2 34

Šīs rindkopas secinājumos jāatzīmē, ka šeit dotās formulas leņķa atrašanai nav jāiemācās no galvas. Lai to izdarītu, pietiek zināt doto līniju vadotņu un/vai normālu vektoru koordinātas un prast tās noteikt no dažādi veidi vienādojumi. Bet leņķa kosinusa aprēķināšanas formulas ir labāk atcerēties vai pierakstīt.

Kā aprēķināt leņķi starp krustojošām līnijām telpā

Šāda leņķa aprēķinu var reducēt līdz virziena vektoru koordinātu aprēķināšanai un šo vektoru veidotā leņķa lieluma noteikšanai. Šādiem piemēriem mēs izmantojam to pašu argumentāciju, ko esam snieguši iepriekš.

Pieņemsim, ka mums ir taisnstūra koordinātu sistēma, kas atrodas 3D telpā. Tajā ir divas taisnes a un b ar krustpunktu M . Lai aprēķinātu virziena vektoru koordinātas, mums jāzina šo līniju vienādojumi. Apzīmē virziena vektorus a → = (a x , a y , a z) un b → = (b x , b y , b z) . Lai aprēķinātu leņķa kosinusu starp tiem, mēs izmantojam formulu:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Lai atrastu pašu leņķi, mums ir nepieciešama šī formula:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

5. piemērs

Mums ir taisna līnija, kas definēta 3D telpā, izmantojot vienādojumu x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Ir zināms, ka tas krustojas ar O z asi. Aprēķiniet krustošanās leņķi un šī leņķa kosinusu.

Lēmums

Aprēķināmo leņķi apzīmēsim ar burtu α. Pierakstīsim virziena vektora koordinātas pirmajai taisnei - a → = (1 , - 3 , - 2) . Aplikācijas asij kā orientieri varam ņemt koordinātu vektoru k → = (0 , 0 , 1). Mēs esam saņēmuši nepieciešamos datus un varam pievienot tos vēlamajai formulai:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Rezultātā mēs saņēmām, ka mums vajadzīgais leņķis būs vienāds ar a r c cos 1 2 = 45 °.

Atbilde: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Ikvienam skolēnam, kurš gatavojas eksāmenam matemātikā, noderēs atkārtot tēmu “Leņķa atrašana starp līnijām”. Kā liecina statistika, nokārtojot sertifikācijas testu, uzdevumi šajā stereometrijas sadaļā rada grūtības liels skaits studenti. Tajā pašā laikā uzdevumi, kuriem nepieciešams atrast leņķi starp taisnēm, ir atrodami USE gan pamata, gan profila līmenī. Tas nozīmē, ka ikvienam ir jāspēj tās atrisināt.

Pamata momenti

Ir 4 veidu līniju savstarpējais izvietojums telpā. Tie var sakrist, krustoties, būt paralēli vai krustoties. Leņķis starp tiem var būt akūts vai taisns.

Lai atrastu leņķi starp līnijām vienotajā valsts eksāmenā vai, piemēram, risinājumā, skolēni Maskavā un citās pilsētās var izmantot vairākas problēmas risināšanas metodes šajā stereometrijas sadaļā. Jūs varat izpildīt uzdevumu ar klasiskām konstrukcijām. Lai to izdarītu, ir vērts apgūt stereometrijas pamataksiomas un teorēmas. Studentam jāprot loģiski veidot argumentāciju un izveidot rasējumus, lai uzdevumu novestu līdz planimetriskai problēmai.

Varat arī izmantot vektora koordinātu metodi, izmantojot vienkāršas formulas, noteikumus un algoritmus. Galvenais šajā gadījumā ir pareizi veikt visus aprēķinus. Tas palīdzēs jums pilnveidot prasmes problēmu risināšanā stereometrijā un citās skolas kursa sadaļās. izglītojošs projekts"Školkova".

a. Dotas divas līnijas, kuras, kā norādīts 1. nodaļā, veido dažādus pozitīvos un negatīvos leņķus, kas šajā gadījumā var būt gan asi, gan neasi. Zinot vienu no šiem leņķiem, mēs varam viegli atrast jebkuru citu.

Starp citu, visiem šiem leņķiem pieskares skaitliskā vērtība ir vienāda, atšķirība var būt tikai zīmē

Līniju vienādojumi. Skaitļi ir pirmās un otrās taisnes virzošo vektoru projekcijas.Leņķis starp šiem vektoriem ir vienāds ar vienu no taisnes veidotajiem leņķiem. Tāpēc problēma tiek samazināta līdz leņķa noteikšanai starp vektoriem, mēs iegūstam

Vienkāršības labad varam vienoties par leņķi starp divām taisnēm, lai saprastu akūtu pozitīvu leņķi (kā, piemēram, 53. att.).

Tad šī leņķa tangensa vienmēr būs pozitīva. Tātad, ja formulas (1) labajā pusē tiek iegūta mīnusa zīme, tad tā ir jāatmet, t.i., jāsaglabā tikai absolūtā vērtība.

Piemērs. Nosakiet leņķi starp līnijām

Pēc formulas (1) mums ir

ar. Ja norādīts, kura no leņķa malām ir tā sākums un kura beigas, tad, vienmēr skaitot leņķa virzienu pretēji pulksteņrādītāja virzienam, no formulām (1) varam izvilkt ko vairāk. Kā tas ir viegli redzams no att. 53 zīme, kas iegūta formulas (1) labajā pusē, norādīs, kurš leņķis - akūts vai strups - veido otro līniju ar pirmo.

(Tiešām, no 53. attēla redzams, ka leņķis starp pirmo un otro virziena vektoru ir vai nu vienāds ar vēlamo leņķi starp līnijām, vai arī atšķiras no tā par ±180°.)

d. Ja taisnes ir paralēlas, tad paralēli ir arī to virziena vektori.Piemērojot divu vektoru paralēlisma nosacījumu, iegūstam!

Tas ir nepieciešams un pietiekams nosacījums, lai divas līnijas būtu paralēlas.

Piemērs. Tieša

ir paralēli, jo

e. Ja taisnes ir perpendikulāras, tad arī to virziena vektori ir perpendikulāri. Piemērojot divu vektoru perpendikulitātes nosacījumu, iegūstam divu taisnes perpendikulitātes nosacījumu, proti

Piemērs. Tieša

perpendikulāri, jo

Saistībā ar paralēlisma un perpendikularitātes nosacījumiem atrisināsim šādas divas problēmas.

f. Caur punktu novelciet līniju, kas ir paralēla noteiktai taisnei

Lēmums tiek pieņemts šādi. Tā kā vēlamā taisne ir paralēla dotajai, tad tās virzošajam vektoram varam ņemt to pašu, ko dotajai taisnei, t.i., vektoru ar projekcijām A un B. Un tad tiks uzrakstīts vajadzīgās taisnes vienādojums formā (1. §)

Piemērs. Taisnes līnijas vienādojums, kas iet caur punktu (1; 3), kas ir paralēls taisnei

būs nākamais!

g. Novelciet līniju caur punktu, kas ir perpendikulārs dotajai līnijai

Šeit vairs neder ņemt vektoru ar projekcijām A un kā virzošo vektoru, bet ir jāuzvar tam perpendikulārs vektors. Tāpēc šī vektora projekcijas ir jāizvēlas saskaņā ar nosacījumu, ka abi vektori ir perpendikulāri, t.i., saskaņā ar nosacījumu

Šo nosacījumu var izpildīt bezgalīgi daudzos veidos, jo šeit ir viens vienādojums ar diviem nezināmajiem.Bet visvieglāk ir ņemt to.Tad vajadzīgās taisnes vienādojums tiks ierakstīts formā

Piemērs. Taisnes vienādojums, kas iet caur punktu (-7; 2) perpendikulārā taisnē

būs sekojošs (pēc otrās formulas)!

h. Gadījumā, ja līnijas ir dotas ar formas vienādojumiem