Formula kosinusa atrašanai starp vektoriem. Vektoru punktu reizinājums

Instrukcija

Lai plaknē ir doti divi nulles vektori, kas attēloti no viena punkta: vektors A ar koordinātām (x1, y1) B ar koordinātām (x2, y2). Injekcija starp tiem ir apzīmēts kā θ. Lai atrastu leņķa θ pakāpes mēru, jums jāizmanto skalārā reizinājuma definīcija.

Divu nulles vektoru skalārā reizinājums ir skaitlis, kas vienāds ar šo vektoru garumu reizinājumu un starp tiem esošā leņķa kosinusu, tas ir, (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Tagad jums ir jāizsaka leņķa kosinuss no šī: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Skalāro reizinājumu var atrast arī, izmantojot formulu (A,B)=x1*x2+y1*y2, jo divu reizinājums vektori, kas nav nulles ir vienāds ar atbilstošo vektoru reizinājumu summu. Ja nulle neskaitāmu vektoru skalārā reizinājums ir vienāds ar nulli, tad vektori ir perpendikulāri (leņķis starp tiem ir 90 grādi) un turpmākos aprēķinus var izlaist. Ja divu vektoru skalārais reizinājums ir pozitīvs, tad leņķis starp tiem vektori akūts, un, ja negatīvs, tad leņķis ir neass.

Tagad aprēķiniet vektoru A un B garumus, izmantojot šādas formulas: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Vektora garumu aprēķina kā Kvadrātsakne no tā koordinātu kvadrātu summas.

Atrastās skalārās reizinājuma vērtības un vektoru garumus aizstājiet 2. solī iegūtā leņķa formulā, tas ir, cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²)). Tagad, zinot vērtību , lai atrastu pakāpes mēru leņķim starp vektori jums ir jāizmanto Bradis tabula vai jāņem no šīs: θ=arccos(cos(θ)).

Ja vektori A un B ir doti trīsdimensiju telpā un tiem ir attiecīgi koordinātes (x1, y1, z1) un (x2, y2, z2), tad, atrodot leņķa kosinusu, tiek pievienota vēl viena koordināte. Šajā gadījumā kosinuss: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Noderīgs padoms

Ja divi vektori nav uzzīmēti no viena punkta, tad, lai atrastu leņķi starp tiem ar paralēlo tulkošanu, ir jāapvieno šo vektoru sākumi.
Leņķis starp diviem vektoriem nedrīkst būt lielāks par 180 grādiem.

Avoti:

Kā aprēķināt leņķi starp vektoriem
Leņķis starp līniju un plakni

Lai atrisinātu daudzas gan lietišķās, gan teorētiskās problēmas fizikā un lineārajā algebrā, ir jāaprēķina leņķis starp vektoriem. Šis šķietami vienkāršais uzdevums var sagādāt daudz grūtību, ja skaidri neizprotat skalārā reizinājuma būtību un kāda vērtība parādās šī produkta rezultātā.

Instrukcija

Leņķis starp vektoriem lineārā vektoru telpā ir minimālais leņķis pie , pie kura tiek sasniegts vektoru kopvirziens. Viens no vektoriem tiek nēsāts ap tā sākuma punktu. No definīcijas kļūst skaidrs, ka leņķa vērtība nedrīkst pārsniegt 180 grādus (skatiet soli).

Šajā gadījumā pilnīgi pamatoti tiek pieņemts, ka lineārā telpā, vektorus pārnesot paralēli, leņķis starp tiem nemainās. Tāpēc leņķa analītiskajam aprēķinam vektoru telpiskajai orientācijai nav nozīmes.

Punktu reizinājuma rezultāts ir skaitlis, pretējā gadījumā skalārs. Atcerieties (tas ir svarīgi zināt), lai turpmākajos aprēķinos nepieļautu kļūdas. Skalārā reizinājuma formulai, kas atrodas plaknē vai vektoru telpā, ir forma (skat. soļa attēlu).

Ja vektori atrodas telpā, tad aprēķinu veic līdzīgi. Vienīgais būs termina parādīšanās dividendē - tāds ir pieteikuma termiņš, t.i. vektora trešā sastāvdaļa. Attiecīgi, aprēķinot vektoru moduli, jāņem vērā arī z komponente, tad vektoriem, kas atrodas telpā, pēdējo izteiksmi pārveido šādi (skat. 6. attēlu līdz solim).

Vektors ir līnijas segments ar noteiktu virzienu. Leņķim starp vektoriem ir fiziskā nozīme, piemēram, atrodot vektora projekcijas garumu uz asi.

Instrukcija

Leņķis starp diviem vektoriem, kas nav nulles, izmantojot punktu reizinājuma aprēķinu. Pēc definīcijas reizinājums ir vienāds ar garumu un leņķa starp tiem reizinājumu. Savukārt diviem vektoriem a ar koordinātām (x1; y1) un b ar koordinātām (x2; y2) aprēķina iekšējo reizinājumu: ab = x1x2 + y1y2. No šiem diviem veidiem punktu reizinājumu ir viegli pagriezt starp vektoriem.

Atrodiet vektoru garumus vai moduļus. Mūsu vektoriem a un b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Atrodiet vektoru iekšējo reizinājumu, reizinot to koordinātas pa pāriem: ab = x1x2 + y1y2. No punktreizes definīcijas ab = |a|*|b|*cos α, kur α ir leņķis starp vektoriem. Tad mēs iegūstam, ka x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Tad cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Atrodiet leņķi α, izmantojot Bredisa tabulas.

Saistītie video

Piezīme

Skalārais reizinājums ir vektoru garuma un leņķa starp tiem skalārais raksturlielums.

Plakne ir viens no ģeometrijas pamatjēdzieniem. Plakne ir virsma, par kuru apgalvojums ir patiess - jebkura taisne, kas savieno divus tās punktus, pilnībā pieder šai virsmai. Lidmašīnas ir norādītas grieķu burtiα, β, γ utt. Divas plaknes vienmēr krustojas taisnā līnijā, kas pieder abām plaknēm.

Instrukcija

Apsveriet pusplaknes α un β, kas izveidotas krustpunktā . Leņķis, ko veido taisne a un divas pusplaknes α un β ar divskaldņu leņķi. Šajā gadījumā pusplaknes, kas veido diedrālu leņķi ar skaldnēm, līniju a, pa kuru plaknes krustojas, sauc par malu divšķautņu leņķis.

Divšķautņu leņķis, tāpat kā plakans leņķis, grādos. Lai izveidotu divskaldņu leņķi, ir jāizvēlas patvaļīgs punkts O uz tā skaldnes. Abos caur punktu O tiek izvilkti divi stari a. Iegūto leņķi AOB sauc par divskaldņa leņķa a lineāro leņķi.

Tātad ir dots vektors V = (a, b, c) un plakne A x + B y + C z = 0, kur A, B un C ir normālā N koordinātas. Tad leņķa kosinuss α starp vektoriem V un N ir: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Lai aprēķinātu leņķa vērtību grādos vai radiānos, no iegūtās izteiksmes jāaprēķina kosinusam apgrieztā funkcija, t.i. arkosīns: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Piemērs: atrast injekcija starp vektors(5, -3, 8) un lidmašīna, kas dots ar vispārīgo vienādojumu 2 x - 5 y + 3 z = 0. Risinājums: pierakstiet plaknes N = (2, -5, 3) normālvektora koordinātas. Aizstāt visu zināmās vērtības iepriekš minētajā formulā: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Saistītie video

Uzrakstiet vienādojumu un izolējiet no tā kosinusu. Saskaņā ar vienu formulu vektoru skalārais reizinājums ir vienāds ar to garumiem, kas reizināti viens ar otru un ar kosinusu leņķis, un, no otras puses, - koordinātu reizinājumu summa pa katru no asīm. Pielīdzinot abas formulas, varam secināt, ka kosinuss leņķis jābūt vienādam ar koordinātu reizinājumu summas attiecību pret vektoru garumu reizinājumu.

Pierakstiet iegūto vienādojumu. Lai to izdarītu, mums ir jānorāda abi vektori. Pieņemsim, ka tie ir doti 3D Dekarta sistēmā un to sākuma punkti ir režģī. Pirmā vektora virzienu un lielumu norādīs punkts (X₁,Y₁,Z₁), otrā - (X2,Y2,Z2), un leņķi apzīmē ar burtu γ. Tad katra vektora garumi var būt, piemēram, saskaņā ar Pitagora teorēmu, ko veido to projekcijas uz katras koordinātu ass: √(X₁² + Y₁² + Z1²) un √(X₂² + Y₂² + Z²). Aizstājiet šīs izteiksmes iepriekšējā solī formulētajā formulā un iegūsit vienādību: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X1² + Y₁² + Z₁²) * √ +(X₂) Y₂² + Z₂² )).

Izmantojiet to, ka summa kvadrātā sinusa un co sinusa no leņķis viena vērtība vienmēr dod vienu. Tādējādi, paaugstinot to, kas tika iegūts iepriekšējā solī par co sinusa kvadrātā un atņemts no vienotības, un pēc tam

Studējot ģeometriju, rodas daudzi jautājumi par vektoru tēmu. Īpašas grūtības studentam rodas, ja nepieciešams atrast leņķus starp vektoriem.

Pamatnosacījumi

Pirms leņķu aplūkošanas starp vektoriem ir jāiepazīstas ar vektora definīciju un leņķa starp vektoriem jēdzienu.

Vektors ir segments, kuram ir virziens, tas ir, segments, kuram ir noteikts tā sākums un beigas.

Leņķis starp diviem vektoriem plaknē, kuriem ir kopīgs sākums, ir mazākais no leņķiem, par kuriem ir nepieciešams pārvietot vienu no vektoriem ap kopīgu punktu tādā stāvoklī, kurā to virzieni sakrīt.

Risinājuma formula

Kad esat sapratis, kas ir vektors un kā tiek noteikts tā leņķis, varat aprēķināt leņķi starp vektoriem. Risinājuma formula tam ir diezgan vienkārša, un tās piemērošanas rezultāts būs leņķa kosinusa vērtība. Pēc definīcijas tas ir vienāds ar vektoru skalārās reizinājuma un to garumu reizinājuma koeficientu.

Vektoru skalāro reizinājumu uzskata par reizinātāju vektoru atbilstošo koordinātu summu, kas reizināta ar otru. Vektora garumu vai tā moduli aprēķina kā kvadrātsakni no tā koordinātu kvadrātu summas.

Saņemot leņķa kosinusa vērtību, jūs varat aprēķināt paša leņķa vērtību, izmantojot kalkulatoru vai izmantojot trigonometriskā tabula.

Piemērs

Kad esat izdomājis, kā aprēķināt leņķi starp vektoriem, atbilstošās problēmas risinājums kļūst vienkāršs un saprotams. Kā piemēru apsveriet vienkāršo problēmu, kā atrast leņķa lielumu.

Pirmkārt, ērtāk būs aprēķināt vektoru garumu vērtības un to skalāro reizinājumu, kas nepieciešams risināšanai. Izmantojot iepriekš minēto aprakstu, mēs iegūstam:

Aizvietojot iegūtās vērtības formulā, mēs aprēķinām vajadzīgā leņķa kosinusa vērtību:

Šis skaitlis nav viena no piecām izplatītākajām kosinusa vērtībām, tāpēc, lai iegūtu leņķa vērtību, jums būs jāizmanto kalkulators vai Bradis trigonometriskā tabula. Bet pirms leņķa iegūšanas starp vektoriem formulu var vienkāršot, lai atbrīvotos no papildu negatīvās zīmes:

Galīgo atbildi var atstāt šajā formā, lai saglabātu precizitāti, vai arī varat aprēķināt leņķa vērtību grādos. Saskaņā ar Bradis tabulu tā vērtība būs aptuveni 116 grādi un 70 minūtes, un kalkulators rādīs vērtību 116,57 grādi.

Leņķa aprēķins n-dimensiju telpā

Apsverot divus vektorus trīsdimensiju telpā, ir daudz grūtāk saprast, par kuru leņķi mēs runājam, ja tie neatrodas vienā plaknē. Lai vienkāršotu uztveri, varat uzzīmēt divus krustojošus segmentus, kas veido mazāko leņķi starp tiem, un tas būs vēlamais. Neskatoties uz trešās koordinātas klātbūtni vektorā, leņķu starp vektoriem aprēķināšanas process nemainīsies. Aprēķiniet vektoru skalāro reizinājumu un moduļus, to koeficienta arkosīnu, un tas būs atbilde uz šo problēmu.

Ģeometrijā problēmas bieži rodas ar telpām, kurām ir vairāk nekā trīs dimensijas. Bet viņiem atbildes atrašanas algoritms izskatās līdzīgs.

Atšķirība no 0 līdz 180 grādiem

Viena no izplatītākajām kļūdām, rakstot atbildi uz uzdevumu, kas paredzēts, lai aprēķinātu leņķi starp vektoriem, ir lēmums rakstīt, ka vektori ir paralēli, tas ir, vēlamais leņķis izrādījās 0 vai 180 grādi. Šī atbilde ir nepareiza.

Saņemot leņķa vērtību 0 grādu risinājuma rezultātā, pareizā atbilde būtu apzīmēt vektorus kā līdzvirzienus, tas ir, vektoriem būs vienāds virziens. 180 grādu iegūšanas gadījumā vektori būs pretējo virzienu dabā.

Specifiski vektori

Atrodot leņķus starp vektoriem, papildus iepriekš aprakstītajiem līdzvirziena un pretēji virzītajiem var atrast vienu no īpašajiem veidiem.

Vairākus vektorus, kas ir paralēli vienai plaknei, sauc par koplanāriem.
Vektorus, kuru garums un virziens ir vienāds, sauc par vienādiem.
Vektorus, kas atrodas uz vienas taisnas līnijas neatkarīgi no virziena, sauc par kolineāriem.
Ja vektora garums ir nulle, tas ir, tā sākums un beigas sakrīt, tad to sauc par nulli, un, ja tas ir viens, tad to sauc par vienu.

Leņķis starp diviem vektoriem:

Ja leņķis starp diviem vektoriem ir akūts, tad to punktu reizinājums ir pozitīvs; ja leņķis starp vektoriem ir neass, tad šo vektoru skalārā reizinājums ir negatīvs. Divu vektoru, kas nav nulles, skalārā reizinājums ir nulle tad un tikai tad, ja šie vektori ir ortogonāli.

Exercise. Atrodiet leņķi starp vektoriem un

Lēmums. Vēlamā leņķa kosinuss

16. Leņķa aprēķināšana starp taisnēm, taisni un plakni

Leņķis starp līniju un plakni krusto šo taisni un nav tai perpendikulāra, ir leņķis starp taisni un tās projekciju uz šo plakni.

Leņķa noteikšana starp taisni un plakni ļauj secināt, ka leņķis starp taisni un plakni ir leņķis starp divām krustojošām taisnēm: pašu līniju un tās projekciju uz plakni. Tāpēc leņķis starp līniju un plakni ir akūts leņķis.

Leņķis starp perpendikulāru līniju un plakni tiek uzskatīts par vienādu, un leņķis starp paralēlu līniju un plakni vai nu vispār nav noteikts, vai arī tiek uzskatīts par vienādu ar .

69.§ Leņķa aprēķins starp taisnēm.

Leņķa aprēķināšanas problēma starp divām taisnēm telpā tiek atrisināta tāpat kā plaknē (§ 32). Ar φ apzīmē leņķi starp līnijām l 1 un l 2 , un caur ψ - leņķis starp virziena vektoriem a un b šīs taisnās līnijas.

Tad ja

ψ 90° (206.6. att.), tad φ = 180° - ψ. Ir skaidrs, ka abos gadījumos vienādība cos φ = |cos ψ| ir patiesa. Pēc formulas (1) 20. § mums ir

tātad,

Ļaujiet līnijas dot ar to kanoniskajiem vienādojumiem

Tad, izmantojot formulu, nosaka leņķi φ starp līnijām

Ja viena no taisnēm (vai abām) ir dota ar nekanoniskiem vienādojumiem, tad, lai aprēķinātu leņķi, ir jāatrod šo līniju virziena vektoru koordinātas un pēc tam jāizmanto formula (1).

17. Paralēlas taisnes, Teorēmas par paralēlām taisnēm

Definīcija. Tiek izsauktas divas plaknes līnijas paralēli ja tiem nav kopīgu punktu.

Tiek izsauktas divas līnijas trīs dimensijās paralēli ja tie atrodas vienā plaknē un tiem nav kopīgu punktu.

Leņķis starp diviem vektoriem.

No punktveida produkta definīcijas:

Divu vektoru ortogonalitātes nosacījums:

Kolinearitātes nosacījums diviem vektoriem:

Izriet no 5. definīcijas - . Patiešām, no vektora reizinājuma definīcijas ar skaitli izriet. Tāpēc, pamatojoties uz vektoru vienlīdzības noteikumu, mēs rakstām , , , kas nozīmē . Bet vektors, kas iegūts, vektoru reizinot ar skaitli, ir kolineārs pret vektoru.

Projekcija no vektora uz vektoru:

4. piemērs. Dotie punkti , , , .

Atrodiet skalāro reizinājumu.

Lēmums. mēs atrodam pēc vektoru skalārās reizinājuma formulas, kas noteikta ar to koordinātām. Ciktāl

, ,

5. piemērs Dotie punkti , , , .

Atrodiet projekciju.

Lēmums. Ciktāl

, ,

Pamatojoties uz projekcijas formulu, mums ir

6. piemērs Dotie punkti , , , .

Atrodiet leņķi starp vektoriem un .

Lēmums. Ņemiet vērā, ka vektori

, ,

nav kolineāras, jo to koordinātas nav proporcionālas:

Šie vektori arī nav perpendikulāri, jo to punktu reizinājums ir .

Atradīsim,

Injekcija atrodi no formulas:

7. piemērs Nosakiet, kuriem vektoriem un kolineārs.

Lēmums. Kolinearitātes gadījumā atbilstošās vektoru koordinātas un tam jābūt proporcionālam, tas ir:

No šejienes un .

8. piemērs. Nosakiet, kādā vektora vērtībā un ir perpendikulāri.

Lēmums. Vektors un ir perpendikulāri, ja to punktu reizinājums ir nulle. No šī nosacījuma mēs iegūstam: . Tas ir, .

9. piemērs. Atrast , ja , , .

Lēmums. Skalārā produkta īpašību dēļ mums ir:

10. piemērs. Atrodiet leņķi starp vektoriem un , kur un - vienības vektorus un leņķi starp vektoriem un ir vienāds ar 120o.

Lēmums. Mums ir: , ,

Beidzot mums ir: .

5 B. vektora produkts.

21. definīcija.vektormāksla vektoru pret vektoru sauc par vektoru vai , ko definē šādi trīs nosacījumi:

1) Vektora modulis ir , kur ir leņķis starp vektoriem un , t.i. .

No tā izriet, ka vektora reizinājuma modulis ir skaitliski vienāds ar laukumu paralelograms būvēts uz vektoriem un kā uz malām.

2) Vektors ir perpendikulārs katram no vektoriem un ( ; ), t.i. perpendikulāri paralelograma plaknei, kas uzbūvēta uz vektoriem un .

3) Vektors ir vērsts tā, ka, skatoties no tā gala, tad īsākais pagrieziens no vektora uz vektoru būtu pretēji pulksteņrādītāja virzienam (vektori , , veido labo trīskāršu).

Kā aprēķināt leņķus starp vektoriem?

Studējot ģeometriju, rodas daudzi jautājumi par vektoru tēmu. Īpašas grūtības studentam rodas, ja nepieciešams atrast leņķus starp vektoriem.

Pamatnosacījumi

Pirms leņķu aplūkošanas starp vektoriem ir jāiepazīstas ar vektora definīciju un leņķa starp vektoriem jēdzienu.

Vektors ir segments, kuram ir virziens, tas ir, segments, kuram ir noteikts tā sākums un beigas.

Risinājuma formula

Saņemot leņķa kosinusa vērtību, jūs varat aprēķināt paša leņķa vērtību, izmantojot kalkulatoru vai trigonometrisko tabulu.

Piemērs

Pirmkārt, ērtāk būs aprēķināt vektoru garumu vērtības un to skalāro reizinājumu, kas nepieciešams risināšanai. Izmantojot iepriekš minēto aprakstu, mēs iegūstam:

Aizvietojot iegūtās vērtības formulā, mēs aprēķinām vajadzīgā leņķa kosinusa vērtību:

Leņķa aprēķins n-dimensiju telpā

Ģeometrijā problēmas bieži rodas ar telpām, kurām ir vairāk nekā trīs dimensijas. Bet viņiem atbildes atrašanas algoritms izskatās līdzīgs.

Atšķirība no 0 līdz 180 grādiem

Specifiski vektori

Atrodot leņķus starp vektoriem, papildus iepriekš aprakstītajiem līdzvirziena un pretēji virzītajiem var atrast vienu no īpašajiem veidiem.

Vairākus vektorus, kas ir paralēli vienai plaknei, sauc par koplanāriem.
Vektorus, kuru garums un virziens ir vienāds, sauc par vienādiem.
Vektorus, kas atrodas uz vienas taisnas līnijas neatkarīgi no virziena, sauc par kolineāriem.
Ja vektora garums ir nulle, tas ir, tā sākums un beigas sakrīt, tad to sauc par nulli, un, ja tas ir viens, tad to sauc par vienu.

Kā atrast leņķi starp vektoriem?

Lūdzu palīdzi man! Es zinu formulu, bet nevaru to izdomāt
vektors a (8; 10; 4) vektors b (5; -20; -10)

Aleksandrs Titovs

Leņķis starp vektoriem, ko nosaka to koordinātas, tiek atrasts pēc standarta algoritma. Vispirms jāatrod vektoru a un b skalārais reizinājums: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Šeit mēs aizstājam šo vektoru koordinātas un ņemam vērā:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Tālāk mēs nosakām katra vektora garumus. Vektora garums vai modulis ir kvadrātsakne no tā koordinātu kvadrātu summas:
|a| = sakne no (x1^2 + y1^2 + z1^2) = sakne no (8^2 + 10^2 + 4^2) = sakne no (64 + 100 + 16) = sakne no 180 = 6 saknes no 5
|b| = kvadrātsakne no (x2^2 + y2^2 + z2^2) = kvadrātsakne no (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = kvadrātsakne no (25 + 400 + 100) ) = kvadrātsakne no 525 = 5 saknes no 21.
Mēs reizinām šos garumus. Mēs iegūstam 30 saknes no 105.
Un visbeidzot mēs dalām vektoru skalāro reizinājumu ar šo vektoru garumu reizinājumu. Mēs iegūstam -200 / (30 saknes no 105) vai
- (4 saknes no 105) / 63. Tas ir leņķa kosinuss starp vektoriem. Un pats leņķis ir vienāds ar šī skaitļa loka kosinusu
f \u003d arccos (-4 saknes no 105) / 63.
Ja pareizi skaitīju.

Kā aprēķināt leņķa sinusu starp vektoriem no vektoru koordinātām

Mihails Tkačovs

Mēs reizinām šos vektorus. To punktu reizinājums ir vienāds ar šo vektoru garuma reizinājumu un starp tiem esošā leņķa kosinusu.
Leņķis mums nav zināms, bet koordinātas ir zināmas.
Rakstīsim to matemātiski šādi.
Doti vektori a(x1;y1) un b(x2;y2)
Tad

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Mēs strīdamies.
vektoru a*b-skalārais reizinājums ir vienāds ar šo vektoru koordinātu atbilstošo koordinātu reizinājumu summu, t.i., vienāds ar x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-vektora garumu reizinājums ir vienāds ar √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Tātad leņķa kosinuss starp vektoriem ir:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Zinot leņķa kosinusu, mēs varam aprēķināt tā sinusu. Apspriedīsim, kā to izdarīt:

Ja leņķa kosinuss ir pozitīvs, tad šis leņķis atrodas 1 vai 4 ceturtdaļās, tātad tā sinuss ir pozitīvs vai negatīvs. Bet, tā kā leņķis starp vektoriem ir mazāks vai vienāds ar 180 grādiem, tad tā sinuss ir pozitīvs. Mēs strīdamies līdzīgi, ja kosinuss ir negatīvs.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Tas arī viss)))) lai veicas to izdomāt)))

Dmitrijs Leviščovs

Tas, ka nav iespējams tieši sinusēt, nav taisnība.
Papildus formulai:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Ir arī šis:
||=|a|*|b|*sin A
Tas ir, skalārā reizinājuma vietā varat ņemt vektora reizinājuma moduli.

"Vektoru skalārais reizinājums" — vektoru skalārais reizinājums. Vienādmalu trijstūrī ABC ar malu 1 ir novilkts augstums BD. Pēc definīcijas raksturot leņķi? starp vektoriem un ja: a) b) c) d). Pie kādas t vērtības vektors ir perpendikulārs vektoram, ja (2, -1), (4, 3). Vektoru un skalārais reizinājums ir apzīmēts.

"Ģeometrijas 9 klase "Vektori"" - Attālums starp diviem punktiem. Vienkāršākās problēmas koordinātēs. Pārbaudi pats! Vektoru koordinātas. 1903. gadā O. Henriči ierosināja skalāro reizinājumu apzīmēt ar simbolu (a, c). Vektors ir virzīts segments. Vektora dekompozīcija koordinātu vektoros. Vektora jēdziens. Vektora dekompozīcija plaknē divos nekolineāros vektoros.

"Problēmu risināšanas vektors" — izteikt vektorus AM, DA, CA, MB, CD vektora a un vektora b izteiksmē. № 2 Izteikt vektorus DP, DM, AC caur vektoriem a un b. SR: PD=2:3; AK: KD = 1: 2. Izsakiet vektorus CK, RK caur vektoriem a un b. BE:EC = 3:1. K ir līdzstrāvas vidusdaļa. VK: KС = 3: 4. Izsakiet vektorus AK, DK caur vektoriem a un b. Vektoru pielietojums problēmu risināšanā (1. daļa).

"Problēmas uz vektoriem" - teorēma. Atrodiet koordinātas. Tiek doti trīs punkti. Trijstūra virsotnes. Atrodiet vektoru koordinātas. Atrodiet punkta koordinātas. Atrodiet vektora koordinātas un garumu. Izsakiet vektora garumu. Vektoru koordinātas. Vektoru koordinātas. Atrodiet vektora koordinātas. Ir doti vektori. Nosauc vektoru koordinātas. Vektoram ir koordinātas.

"Koordinātu metode plaknē" - tiek uzzīmēts aplis. Perpendikulāri. Koordinātu ass. Sinusa vērtība. Taisnstūra koordinātu sistēma plaknē. Atrodiet virsotņu koordinātas. Apsveriet piemēru. Šīs problēmas risinājums. Punkti tiek doti lidmašīnā. Paralelograma virsotnes. Paplašiniet vektorus. Aprēķināt. Daudz punktu. Grafiski atrisiniet vienādojumu sistēmu.

"Vektoru saskaitīšana un atņemšana" - 1. Nodarbības mērķi. 2. Galvenā daļa. Jūsu ļoti, lielākā daļa labākais draugs Sleepwalker! Uzziniet, kā atņemt vektorus. 2. Norādiet vektoru a un b summas vektoru. Mans draugs!! Paskatīsimies, kas mums šeit ir. Mūsu mērķi: Secinājums. 3. Pārskats par galvu. 4. Literatūras saraksts. Ceļošana ar Lunaticu. No punkta A mēs atliekam abus vektorus.

Kopumā tēmā ir 29 prezentācijas