Pirmais līmenis

ierobežots aplis. vizuālais ceļvedis (2019)

Pirmais jautājums, kas var rasties, ir: aprakstīts – ap ko?

Patiesībā dažreiz tas notiek ap jebko, un mēs runāsim par apli, kas ir apvilkts ap trīsstūri (dažreiz viņi saka “apmēram”). Kas tas ir?

Un tagad, iedomājieties, notiek pārsteidzošs fakts:

Kāpēc šis fakts ir pārsteidzošs?

Bet trijstūri ir dažādi!

Un katram ir savs aplis, kas pāries cauri visām trim virsotnēm, tas ir, ierobežotais aplis.

Pierādījums šim apbrīnojamajam faktam ir atrodams sekojošos teorijas līmeņos, taču šeit mēs tikai atzīmējam, ka, ja ņemam, piemēram, četrstūri, tad nepavisam ne visiem ir aplis, kas iet cauri četrām virsotnēm. Te, teiksim, paralelograms ir izcils četrstūris, bet aplis, kas iet cauri visām tā četrām virsotnēm, nav!

Un tas ir paredzēts tikai taisnstūrim:

Nu un katram trīsstūrim vienmēr ir savs ierobežots aplis! Un pat vienmēr ir diezgan viegli atrast šī apļa centru.

Vai jūs zināt, kas ir vidusperpendikuls?

Tagad redzēsim, kas notiek, ja ņemam vērā trīs perpendikulāras bisektrise trijstūra malām.

Izrādās (un tieši tas ir jāpierāda, lai gan mēs to nepierādīsim). Visi trīs perpendikuli krustojas vienā punktā. Paskatieties uz attēlu - visi trīs vidējie perpendikuli krustojas vienā punktā.

Vai jūs domājat, ka ierobežotā apļa centrs vienmēr atrodas trīsstūra iekšpusē? Iedomājies – ne vienmēr!

Bet ja akūts leņķis, pēc tam - iekšā:

Ko darīt ar taisnleņķa trīsstūri?

Un ar papildu bonusu:

Tā kā mēs runājam par ierobežotā apļa rādiusu: ar ko tas ir vienāds patvaļīgam trīsstūrim? Un uz šo jautājumu ir atbilde: t.s.

Proti:

Un protams,

1. Noteiktā apļa esamība un centrs

Šeit rodas jautājums: vai šāds aplis pastāv jebkuram trīsstūrim? Izrādās, ka jā, visiem. Un turklāt tagad mēs formulēsim teorēmu, kas arī atbild uz jautājumu, kur atrodas ierobežotā apļa centrs.

Skaties šādi:

Apkoposim drosmi un pierādīsim šo teorēmu. Ja jau esat izlasījis tēmu “”, izdomājis, kāpēc trīs bisektrise krustojas vienā punktā, tad tev būs vieglāk, bet, ja neesi izlasījis, neuztraucies: tagad mēs visu izdomāsim ārā.

Mēs veiksim pierādīšanu, izmantojot punktu lokusa (LPT) jēdzienu.

Nu, piemēram, vai bumbiņu komplekts ir apaļu priekšmetu "ģeometriskā vieta"? Nē, protams, jo ir apaļi... arbūzi. Bet vai cilvēku kopums, “ģeometriskā vieta”, spēj runāt? Ne viens, ne otrs, jo ir mazuļi, kuri neprot runāt. Dzīvē parasti ir grūti atrast reālas “punktu ģeometriskās vietas” piemēru. Ģeometrija ir vienkāršāka. Šeit, piemēram, ir tikai tas, kas mums nepieciešams:

Šeit kopa ir vidējais perpendikuls, un īpašība "" ir "būt vienādā attālumā (punktam) no segmenta galiem."

Pārbaudīsim? Tātad, jums ir jāpārliecinās par divām lietām:

1. Jebkurš punkts, kas atrodas vienādā attālumā no segmenta galiem, atrodas tam perpendikulārā bisektrise.

Savienojiet ar un ar. Tad līnija ir mediāna un augstums collas. Tātad, - vienādsānu, - mēs pārliecinājāmies, ka jebkurš punkts, kas atrodas uz perpendikulāras bisektriseles, atrodas vienādā attālumā no punktiem un.

Paņem - vidu un savieno un. Ieguva vidējo. Bet - vienādsānu pēc nosacījuma, ne tikai mediāna, bet arī augstums, tas ir, mediāna perpendikulāra. Tas nozīmē, ka punkts atrodas tieši uz perpendikulārās bisektrise.

Viss! Mēs esam pilnībā pārliecinājušies par to posma perpendikulāra bisektrise ir punktu atrašanās vieta, kas atrodas vienādā attālumā no segmenta galiem.

Tas viss ir labi, bet vai mēs esam aizmirsuši par ierobežoto loku? Nebūt ne, mēs vienkārši sagatavojām sev "tilta galviņu uzbrukumam".

Apsveriet trīsstūri. Uzzīmēsim divus vidējos perpendikulus un, teiksim, uz nogriežņiem un. Tie kādā brīdī krustosies, ko mēs nosauksim.

Un tagad, uzmanību!

Punkts atrodas uz perpendikulāras bisektrise;
punkts atrodas uz perpendikulāras bisektrise.
Un tas nozīmē un.

No tā izriet vairākas lietas:

Pirmkārt, punktam jāatrodas uz trešās perpendikulāras bisektrises segmentam.

Tas nozīmē, ka perpendikulārajai bisektrisei arī jāiet cauri punktam, un visas trīs perpendikulārās bisektrise krustojas vienā punktā.

Otrkārt: ja mēs uzzīmēsim apli ar centru ar punktu un rādiusu, tad arī šis aplis ies caur punktu un caur punktu, tas ir, tas būs ierobežots aplis. Tas nozīmē, ka jau pastāv, ka trīs perpendikulāro bisektriņu krustpunkts ir jebkura trijstūra ierobežotā apļa centrs.

Un pēdējā lieta: par unikalitāti. Ir skaidrs (gandrīz), ka punktu var iegūt unikālā veidā, un tāpēc aplis ir unikāls. Nu, "gandrīz" - mēs to atstāsim jūsu ziņā. Šeit mēs esam pierādījuši teorēmu. Var kliegt "Urā!".

Un, ja problēma ir jautājumā "atrast ierobežotā apļa rādiusu"? Vai otrādi, rādiuss ir norādīts, bet jūs vēlaties atrast kaut ko citu? Vai ir kāda formula, kas attiecas uz ierobežotā apļa rādiusu ar citiem trijstūra elementiem?

Ņemiet vērā, ka sinusa teorēma to saka lai atrastu ierobežotā apļa rādiusu, nepieciešama viena mala (jebkura!) un tai pretējs leņķis. Un tas arī viss!

3. Apļa centrs - iekšpusē vai ārpusē

Un tagad jautājums ir: vai ierobežotā apļa centrs var atrasties ārpus trijstūra.
Atbilde: cik vien iespējams. Turklāt tas vienmēr notiek strupā trīsstūrī.

Un vispārīgi runājot:

APLIS. ĪSUMĀ PAR GALVENO

1. Ap trijstūri norobežots aplis

Šis ir aplis, kas iet cauri visām trim šī trijstūra virsotnēm.

2. Noteiktā apļa esamība un centrs

Nu tēma beigusies. Ja tu lasi šīs rindas, tad tu esi ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un ja esi izlasījis līdz galam, tad esi 5% robežās!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat izdomājis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, tas ir ... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Par ko?

Par veiksmīgu nokārtojot eksāmenu, par uzņemšanu institūtā par budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri saņēma laba izglītība, nopelna daudz vairāk nekā tie, kuri to nesaņēma. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, ka viņi ir LAIMĪGĀK (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai pārliecinātos, ka eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

PIEPILDĪT ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmenā jums netiks jautāta teorija.

Jums būs nepieciešams atrisināt problēmas laikā.

Un, ja neesi tos atrisinājis (DAUDZ!), tad noteikti kaut kur pieļausi stulbu kļūdu vai vienkārši nepieļausi laikus.

Tas ir kā sportā – vajag vairākas reizes atkārtot, lai noteikti uzvarētu.

Atrodiet kolekciju jebkurā vietā obligāti ar risinājumiem detalizēta analīze un izlem, izlem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (nav nepieciešams), un mēs tos noteikti iesakām.

Lai izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt tās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku, kuru pašlaik lasāt.

Kā? Ir divas iespējas:

1. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem šajā rakstā - 299 rubļi.
2. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 apmācības rakstos - 499 rubļi.

Jā, mums mācību grāmatā ir 99 šādi raksti un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta visu vietnes darbības laiku.

Noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties ar teoriju.

“Sapratu” un “Es zinu, kā atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini!

Var redzēt, ka katra puse trīsstūris, perpendikuls, kas novilkts no tā vidus, un segmenti, kas savieno perpendikulu krustpunktu ar virsotnēm, veido divus vienādus taisnstūrus trīsstūris. Segmenti MA, MB, MS ir vienādi.

Jums tiek dots trīsstūris. Atrodi katras malas vidu – ņem lineālu un izmēra tā malas. Sadaliet iegūtos izmērus uz pusēm. Nolieciet malā no galotnēm katrā tā izmēra pusē. Atzīmējiet rezultātus ar punktiem.

No katra punkta uzlieciet perpendikulāri sāniem. Šo perpendikulu krustpunkts būs ierobežotā apļa centrs. Lai atrastu apļa centru, pietiek ar diviem perpendikuliem. Trešais ir paredzēts pašpārbaudei.

Pievērsiet uzmanību - trīsstūrī, kur visi leņķi ir asi, krustojumi iekšā trīsstūris. Taisnstūrī atrodas uz hipotenūzas. B atrodas ārpus tā. Turklāt perpendikuls tai malai, kas ir pretī strupajam leņķim, nav pret centru trīsstūris, bet ārā.

Piezīme

Pastāv sinusa teorēma, kas nosaka attiecības starp trijstūra malām, tā leņķiem un ierobežotā apļa rādiusiem. Šo atkarību izsaka ar formulu: a/sina = b/sinb = с/sinc = 2R, kur a, b, c ir trijstūra malas; sina, sinb, sinc ir šīm malām pretējo leņķu sinusi; R ir apļa rādiuss, ko var norobežot ap trīsstūri.

Avoti:

• kā aprakstīt četrstūra apkārtmēru

Saskaņā ar definīciju, aprakstīts aplis jāiziet cauri visām dotā daudzstūra stūra virsotnēm. Pilnīgi vienalga, kāds tas ir daudzstūris - trijstūris, kvadrāts, taisnstūris, trapece vai kas cits. Nav arī svarīgi, vai tas ir regulārs vai neregulārs daudzstūris. Vienīgi jāņem vērā, ka ap kuriem ir daudzstūri aplis nevar aprakstīt. vienmēr var aprakstīt aplis ap trīsstūri. Kas attiecas uz četrstūriem, aplis var aprakstīt par kvadrātu vai taisnstūri vai vienādsānu trapeci.

Jums būs nepieciešams

• Dotais daudzstūris
• Lineāls
• kvadrāts
• Zīmulis
• Kompass
• Transportieri
• Sinusu un kosinusu tabulas
• Matemātiskie jēdzieni un formulas
• Pitagora teorēma
• Sinus teorēma
• Kosinusa teorēma
• Trīsstūru līdzības pazīmes

Instrukcija

Izveidojiet daudzstūri ar dotajiem parametriem un to, vai ir iespējams ap to apzīmēt aplis. Ja jums ir dots četrstūris, aprēķiniet tā summas pretējos stūros. Katram no tiem jābūt vienādam ar 180 °.

Aprakstīt aplis, jums jāaprēķina tā rādiuss. Atcerieties, kur dažādos daudzstūros atrodas apļa centrs. Trijstūrī tas atrodas visu dotā trijstūra augstumu krustpunktā. Kvadrātā un taisnstūros - diagonāļu krustpunktā, trapecveida - simetrijas ass krustpunktā ar līniju, kas savieno malu viduspunktus, un jebkuram citam izliektam daudzstūrim - simetrijas ass krustpunktā. perpendikulāras bisektrise malām.

Aprēķiniet apļa diametru ap kvadrātu un taisnstūri, izmantojot Pitagora teorēmu. Tas būs vienāds kvadrātsakne no taisnstūra malu kvadrātu summas. Kvadrātam, kura visas malas ir vienādas, diagonāle ir vienāda ar kvadrātsakni no divkāršas malas kvadrāta. Sadaliet diametru ar 2, lai iegūtu rādiusu.

Aprēķiniet trijstūra ierobežotā apļa rādiusu. Tā kā trijstūra parametri ir doti nosacījumos, aprēķiniet rādiusu, izmantojot formulu R = a/(2 sinA), kur a ir viena no trijstūra malām, ? ir pretējs leņķis. Šīs puses vietā varat ņemt sānu un leņķi, kas atrodas tai pretī.

Aprēķiniet ap trapecveida apļa rādiusu. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) 2*(a+d+c) . Aprēķiniet trūkstošās vērtības. Augstumu var aprēķināt, izmantojot sinusa vai kosinusa teorēmu, trapeces malu garumi un leņķi ir norādīti nosacījumos. Zinot augstumu un ņemot vērā trīsstūru līdzības, aprēķiniet diagonāli. Pēc tam atliek aprēķināt rādiusu, izmantojot iepriekš minēto formulu.

Saistītie video

Noderīgs padoms

Lai aprēķinātu ap citu daudzstūri apvilkta apļa rādiusu, veiciet vairākas papildu konstrukcijas. Iegūt vairāk vienkāršas figūras, kuras parametrus jūs zināt.

3. padoms: kā uzzīmēt taisnleņķa trīsstūri no asā leņķa un hipotenūzas

Taisnstūris ir trijstūris, kura leņķis vienā no tā virsotnēm ir 90°. Šim leņķim pretējo malu sauc par hipotenūzu, bet malas, kas atrodas pretī diviem trijstūra asajiem leņķiem, sauc par kājām. Ja ir zināms hipotenūzas garums un viena akūtā leņķa vērtība, tad ar šiem datiem pietiek, lai izveidotu trīsstūri vismaz divos veidos.

Tēma "Ierakstītie un norobežotie apļi trīsstūros" ir viena no grūtākajām ģeometrijas kursā. Viņa ļoti maz laika pavada klasē.

Šīs tēmas ģeometriskās problēmas ir iekļautas otrajā daļā pārbaudes darbs IZMANTOT vienam kursam vidusskola. Lai veiksmīgi izpildītu šos uzdevumus, ir nepieciešamas pamatīgas zināšanas par ģeometriskiem pamatfaktiem un zināma pieredze ģeometrisko problēmu risināšanā.
Katram trīsstūrim ir tikai viens ierobežots aplis. Šis ir aplis, uz kura atrodas visas trīs trijstūra virsotnes ar dotajiem parametriem. Tā rādiusa atrašana var būt nepieciešama ne tikai ģeometrijas stundā. Ar to pastāvīgi jāsaskaras dizaineriem, griezējiem, atslēdzniekiem un daudzu citu profesiju pārstāvjiem. Lai atrastu tā rādiusu, jums jāzina trīsstūra parametri un tā īpašības. Noteiktā apļa centrs atrodas trijstūra perpendikulāro bisektriņu krustpunktā.
Es vēršu jūsu uzmanību uz visām formulām, lai atrastu ierobežotā apļa rādiusu, nevis tikai trīsstūri. Ierakstītā apļa formulas var apskatīties.

a, b. ar - trijstūra malas

α - leņķis pretējā pusēa,
S-trijstūra laukums,

p- pusperimetrs.

Pēc tam, lai atrastu rādiusu ( R) no ierobežotā apļa izmantojiet formulas:

Savukārt trīsstūra laukumu var aprēķināt, izmantojot vienu no šīm formulām:

Un šeit ir vēl dažas formulas.

1. Apkārtējā apļa rādiuss ap regulāru trīsstūri. Ja a trijstūra malu, tad

2. Nozīmētā riņķa rādiuss ap vienādsānu trīsstūri. Ļaujiet būt a, b tad ir trijstūra malas

Teorēmu pierādījumi par ap trijstūri norobežota riņķa īpašībām

Vidēji perpendikulāri segmentam

1. definīcija. Vidēji perpendikulāri segmentam sauc par taisnu līniju, kas ir perpendikulāra šim segmentam un iet caur tā vidu (1. att.).

1. teorēma. Katrs segmentam perpendikulāras bisektrise punkts ir tādā pašā attālumā no galiem šis segments.

Pierādījums . Aplūkosim patvaļīgu punktu D, kas atrodas uz nogriežņa AB perpendikulāras bisektrise (2. att.), un pierāda, ka trijstūri ADC un BDC ir vienādi.

Patiešām, šie trīsstūri ir taisnleņķa trijstūri, kuru kājas AC un BC ir vienādas, bet kājas DC ir kopīgas. No trīsstūru ADC un BDC vienādības izriet segmentu AD un DB vienādība. 1. teorēma ir pierādīta.

2. teorēma (pretēja 1. teorēmai). Ja punkts atrodas vienādā attālumā no segmenta galiem, tad tas atrodas uz perpendikulāras bisektrise šim segmentam.

Pierādījums . Pierādīsim 2. teorēmu ar metodi “ar pretrunu”. Šim nolūkam pieņemsim, ka kāds punkts E atrodas vienādā attālumā no segmenta galiem, bet neatrodas uz perpendikulāras bisektrise šim segmentam. Novedīsim šo pieņēmumu pretrunā. Vispirms aplūkosim gadījumu, kad punkti E un A atrodas perpendikulāras bisektrise pretējās pusēs (3. att.). Šajā gadījumā segments EA kādā punktā krusto perpendikulāro bisektrisi, ko apzīmēsim ar burtu D.

Pierādīsim, ka segments AE ir garāks par segmentu EB . Tiešām,

Tādējādi gadījumā, ja punkti E un A atrodas perpendikulāras bisektrise pretējās pusēs, mēs esam ieguvuši pretrunu.

Tagad apsveriet gadījumu, kad punkti E un A atrodas vienā perpendikulārās bisektrise pusē (4. att.). Pierādīsim, ka segments EB ir garāks par segmentu AE . Tiešām,

Iegūtā pretruna pabeidz 2. teorēmas pierādījumu

Aplis, kas apzīmē trīsstūri

2. definīcija. Aplis, kas aptver trīsstūri, sauc apli, kas iet cauri visām trim trijstūra virsotnēm (5. att.). Šajā gadījumā sauc trīsstūri aplī ierakstīts trīsstūris vai ierakstīts trīsstūris.

Ap trijstūri norobežota apļa īpašības. Sinus teorēma

attēls	Bilde	Īpašums
Vidēji perpendikulāri uz trijstūra malām		krustojas vienā punktā .
Centrs apzīmēts ap akūtu apļa trīsstūri		Centrs aprakstīts par akūts leņķis iekšā trīsstūris.
Centrs aprakstīts par taisnleņķa trīsstūris aprindās		Centrs aprakstīto par taisnstūrveida hipotenūzas viduspunkts .
Centrs aprakstīts par strups trīsstūris aprindās		Centrs aprakstīts par stulbs apļa trīsstūris atrodas ārpusē trīsstūris.
		,
Kvadrāts trīsstūris		S= 2R 2 grēks A grēks B grēks C ,
Ierobežotā apļa rādiuss		Jebkuram trīsstūrim vienādība ir patiesa:

Vidēji perpendikulāri trijstūra malām

Visas perpendikulārās bisektrise zīmēts uz patvaļīga trīsstūra malām, krustojas vienā punktā .

Aplis, kas apzīmē trīsstūri

Jebkuru trīsstūri var norobežot ar apli. . Ap trijstūri norobežotā apļa centrs ir punkts, kur krustojas visas perpendikulārās bisektrise, kas novilkta uz trijstūra malām.

Ap akūtu trīsstūri norobežota riņķa centrs

Centrs aprakstīts par akūts leņķis apļa trīsstūris atrodas iekšā trīsstūris.

Par taisnleņķa trīsstūri norobežota riņķa centrs

Centrs aprakstīto par taisnstūrveida apļa trīsstūris ir hipotenūzas viduspunkts .

Apļa trijstūra apļa centrs

Centrs aprakstīts par stulbs apļa trīsstūris atrodas ārpusē trīsstūris.

Jebkuram trīsstūrim ir spēkā vienādības (sinusa teorēma): , kur a, b, c ir trijstūra malas, A, B, C ir trijstūra leņķi, R ir ierobežotā apļa rādiuss.

Trijstūra laukums

Jebkuram trīsstūrim vienādība ir patiesa: S= 2R 2 grēks A grēks B grēks C , kur A, B, C ir trijstūra leņķi, S ir trijstūra laukums, R ir ierobežotā apļa rādiuss.

Ierobežotā apļa rādiuss

Jebkuram trīsstūrim vienādība ir patiesa: kur a, b, c ir trijstūra malas, S ir trijstūra laukums, R ir ierobežotā apļa rādiuss.

Teorēmu pierādījumi par ap trijstūri norobežota riņķa īpašībām

3. teorēma. Visi vidusperpendikuli, kas novilkti uz patvaļīga trīsstūra malām, krustojas vienā punktā.

Pierādījums . Aplūkosim divas perpendikulāras bisektrise, kas novilktas uz trijstūra ABC malām AC un AB , un apzīmē to krustpunktu ar burtu O (6. att.).

Tā kā punkts O atrodas uz nogriežņa AC perpendikulārās bisektriseles, tad saskaņā ar 1. teorēmu ir spēkā šāda vienādība:

Tā kā punkts O atrodas uz nogriežņa AB perpendikulārās bisektrienes, tad saskaņā ar 1. teorēmu ir spēkā šāda vienādība:

Tāpēc vienlīdzība ir patiesa:

no kā, izmantojot 2. teorēmu, secinām, ka punkts O atrodas uz nogriežņa BC perpendikulārās bisektrises. Tādējādi visas trīs perpendikulārās bisektrise iet caur vienu un to pašu punktu, kas bija jāpierāda.

Sekas. Jebkuru trīsstūri var norobežot ar apli. . Ap trijstūri norobežotā apļa centrs ir punkts, kur krustojas visas perpendikulārās bisektrise, kas novilkta uz trijstūra malām.

Pierādījums . Aplūkosim punktu O, kurā krustojas visas uz trijstūra ABC malām novilktās perpendikulārās bisektrise (6. att.).

Pierādot 3. teorēmu, tika iegūta šāda vienādība:

no kā izriet, ka aplis, kura centrs ir punktā O un rādiusi OA , OB , OC iet cauri visām trim trijstūra ABC virsotnēm, kas bija jāpierāda.

Pirmais līmenis

ierobežots aplis. Vizuālais ceļvedis (2019)

Pirmais jautājums, kas var rasties, ir: aprakstīts – ap ko?

Patiesībā dažreiz tas notiek ap jebko, un mēs runāsim par apli, kas ir apvilkts ap trīsstūri (dažreiz viņi saka “apmēram”). Kas tas ir?

Un tagad, iedomājieties, notiek pārsteidzošs fakts:

Kāpēc šis fakts ir pārsteidzošs?

Bet trijstūri ir dažādi!

Un katram ir savs aplis, kas pāries cauri visām trim virsotnēm, tas ir, ierobežotais aplis.

Pierādījums šim apbrīnojamajam faktam ir atrodams sekojošos teorijas līmeņos, taču šeit mēs tikai atzīmējam, ka, ja ņemam, piemēram, četrstūri, tad nepavisam ne visiem ir aplis, kas iet cauri četrām virsotnēm. Te, teiksim, paralelograms ir izcils četrstūris, bet aplis, kas iet cauri visām tā četrām virsotnēm, nav!

Un tas ir paredzēts tikai taisnstūrim:

Nu un katram trīsstūrim vienmēr ir savs ierobežots aplis! Un pat vienmēr ir diezgan viegli atrast šī apļa centru.

Vai jūs zināt, kas ir vidusperpendikuls?

Tagad redzēsim, kas notiek, ja ņemam vērā trīs perpendikulāras bisektrise trijstūra malām.

Izrādās (un tieši tas ir jāpierāda, lai gan mēs to nepierādīsim). Visi trīs perpendikuli krustojas vienā punktā. Paskatieties uz attēlu - visi trīs vidējie perpendikuli krustojas vienā punktā.

Vai jūs domājat, ka ierobežotā apļa centrs vienmēr atrodas trīsstūra iekšpusē? Iedomājies – ne vienmēr!

Bet ja akūts leņķis, pēc tam - iekšā:

Ko darīt ar taisnleņķa trīsstūri?

Un ar papildu bonusu:

Tā kā mēs runājam par ierobežotā apļa rādiusu: ar ko tas ir vienāds patvaļīgam trīsstūrim? Un uz šo jautājumu ir atbilde: t.s.

Proti:

Un protams,

1. Noteiktā apļa esamība un centrs

Šeit rodas jautājums: vai šāds aplis pastāv jebkuram trīsstūrim? Izrādās, ka jā, visiem. Un turklāt tagad mēs formulēsim teorēmu, kas arī atbild uz jautājumu, kur atrodas ierobežotā apļa centrs.

Skaties šādi:

Apkoposim drosmi un pierādīsim šo teorēmu. Ja jau esat izlasījis tēmu “”, izdomājis, kāpēc trīs bisektrise krustojas vienā punktā, tad tev būs vieglāk, bet, ja neesi izlasījis, neuztraucies: tagad mēs visu izdomāsim ārā.

Mēs veiksim pierādīšanu, izmantojot punktu lokusa (LPT) jēdzienu.

Nu, piemēram, vai bumbiņu komplekts ir apaļu priekšmetu "ģeometriskā vieta"? Nē, protams, jo ir apaļi... arbūzi. Bet vai cilvēku kopums, “ģeometriskā vieta”, spēj runāt? Ne viens, ne otrs, jo ir mazuļi, kuri neprot runāt. Dzīvē parasti ir grūti atrast reālas “punktu ģeometriskās vietas” piemēru. Ģeometrija ir vienkāršāka. Šeit, piemēram, ir tikai tas, kas mums nepieciešams:

Šeit kopa ir vidējais perpendikuls, un īpašība "" ir "būt vienādā attālumā (punktam) no segmenta galiem."

Pārbaudīsim? Tātad, jums ir jāpārliecinās par divām lietām:

1. Jebkurš punkts, kas atrodas vienādā attālumā no segmenta galiem, atrodas tam perpendikulārā bisektrise.

Savienojiet ar un ar. Tad līnija ir mediāna un augstums collas. Tātad, - vienādsānu, - mēs pārliecinājāmies, ka jebkurš punkts, kas atrodas uz perpendikulāras bisektriseles, atrodas vienādā attālumā no punktiem un.

Paņem - vidu un savieno un. Ieguva vidējo. Bet - vienādsānu pēc nosacījuma, ne tikai mediāna, bet arī augstums, tas ir, mediāna perpendikulāra. Tas nozīmē, ka punkts atrodas tieši uz perpendikulārās bisektrise.

Viss! Mēs esam pilnībā pārliecinājušies par to posma perpendikulāra bisektrise ir punktu atrašanās vieta, kas atrodas vienādā attālumā no segmenta galiem.

Tas viss ir labi, bet vai mēs esam aizmirsuši par ierobežoto loku? Nebūt ne, mēs vienkārši sagatavojām sev "tilta galviņu uzbrukumam".

Apsveriet trīsstūri. Uzzīmēsim divus vidējos perpendikulus un, teiksim, uz nogriežņiem un. Tie kādā brīdī krustosies, ko mēs nosauksim.

Un tagad, uzmanību!

Punkts atrodas uz perpendikulāras bisektrise;
punkts atrodas uz perpendikulāras bisektrise.
Un tas nozīmē un.

No tā izriet vairākas lietas:

Pirmkārt, punktam jāatrodas uz trešās perpendikulāras bisektrises segmentam.

Tas nozīmē, ka perpendikulārajai bisektrisei arī jāiet cauri punktam, un visas trīs perpendikulārās bisektrise krustojas vienā punktā.

Otrkārt: ja mēs uzzīmēsim apli ar centru ar punktu un rādiusu, tad arī šis aplis ies caur punktu un caur punktu, tas ir, tas būs ierobežots aplis. Tas nozīmē, ka jau pastāv, ka trīs perpendikulāro bisektriņu krustpunkts ir jebkura trijstūra ierobežotā apļa centrs.

Un pēdējā lieta: par unikalitāti. Ir skaidrs (gandrīz), ka punktu var iegūt unikālā veidā, un tāpēc aplis ir unikāls. Nu, "gandrīz" - mēs to atstāsim jūsu ziņā. Šeit mēs esam pierādījuši teorēmu. Var kliegt "Urā!".

Un, ja problēma ir jautājumā "atrast ierobežotā apļa rādiusu"? Vai otrādi, rādiuss ir norādīts, bet jūs vēlaties atrast kaut ko citu? Vai ir kāda formula, kas attiecas uz ierobežotā apļa rādiusu ar citiem trijstūra elementiem?

Ņemiet vērā, ka sinusa teorēma to saka lai atrastu ierobežotā apļa rādiusu, nepieciešama viena mala (jebkura!) un tai pretējs leņķis. Un tas arī viss!

3. Apļa centrs - iekšpusē vai ārpusē

Un tagad jautājums ir: vai ierobežotā apļa centrs var atrasties ārpus trijstūra.
Atbilde: cik vien iespējams. Turklāt tas vienmēr notiek strupā trīsstūrī.

Un vispārīgi runājot:

APLIS. ĪSUMĀ PAR GALVENO

1. Ap trijstūri norobežots aplis

Šis ir aplis, kas iet cauri visām trim šī trijstūra virsotnēm.

2. Noteiktā apļa esamība un centrs

Nu tēma beigusies. Ja tu lasi šīs rindas, tad tu esi ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un ja esi izlasījis līdz galam, tad esi 5% robežās!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat izdomājis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, tas ir ... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Par ko?

Priekš veiksmīga piegāde Vienotais valsts eksāmens, uzņemšanai institūtā par budžetu un, PATS SVARĪGI, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri ir ieguvuši labu izglītību, nopelna daudz vairāk nekā tie, kas to nav saņēmuši. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, ka viņi ir LAIMĪGĀK (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai pārliecinātos, ka eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

PIEPILDĪT ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmenā jums netiks jautāta teorija.

Jums būs nepieciešams atrisināt problēmas laikā.

Un, ja neesi tos atrisinājis (DAUDZ!), tad noteikti kaut kur pieļausi stulbu kļūdu vai vienkārši nepieļausi laikus.

Tas ir kā sportā – vajag vairākas reizes atkārtot, lai noteikti uzvarētu.

Atrodiet kolekciju jebkurā vietā obligāti ar risinājumiem, detalizētu analīzi un izlem, izlem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (nav nepieciešams), un mēs tos noteikti iesakām.

Lai izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt tās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku, kuru pašlaik lasāt.

Kā? Ir divas iespējas:

1. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem šajā rakstā - 299 rubļi.
2. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 apmācības rakstos - 499 rubļi.

Jā, mums mācību grāmatā ir 99 šādi raksti un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta visu vietnes darbības laiku.

Noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties ar teoriju.

“Sapratu” un “Es zinu, kā atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini!