Loģiskās varbūtības metodes pielietošanas posmi. Loģiski varbūtības metode sarežģītu sistēmu uzticamības aprēķināšanai

Metodes pamatā ir loģikas algebras matemātiskais aparāts. Kontroles sistēmas uzticamības aprēķins ietver attiecības noteikšanu starp sarežģītu notikumu (sistēmas atteice) un notikumiem, no kuriem tas ir atkarīgs (sistēmas elementu atteices). Līdz ar to ticamības aprēķini ir balstīti uz operāciju veikšanu ar notikumiem un paziņojumiem, kas tiek pieņemti kā paziņojumi par elementa (sistēmas) darbību vai atteici. Katrs sistēmas elements tiek attēlots ar loģisku mainīgo lielumu, kas iegūst vērtību 1 vai 0.

Notikumi un apgalvojumi ar disjunkcijas, konjunkcijas un nolieguma operāciju palīdzību tiek apvienoti loģiskos vienādojumos, kas atbilst sistēmas darbspējas nosacījumam. Tiek apkopota loģiskā veselības funkcija. Aprēķinu, kas balstīts uz tiešu loģisko vienādojumu izmantošanu, sauc par loģiski-varbūtisko, un to veic septiņos posmos:

1. Objekta darbības nosacījumu mutiska formulēšana. Aprakstīta informācijas sistēmas veselības atkarība no tās atsevišķo elementu stāvokļa.

2. Veselības loģiskās funkcijas sastādīšana. Tas ir loģisks vienādojums, kas atbilst vadības sistēmas darbības stāvoklim

kas izteikts disjunktīvā formā, piemēram:

kur x i ir darbības nosacījums i - th elements Fl; X i = 1 ir darbināms stāvoklis, X i = 0 ir nedarbīgs stāvoklis.

3. Veselības F L loģiskās funkcijas pārvietošana uz ortogonālu neatkārtojamu formu F L . Sarežģīta loģiskā darbspējas funkcija ir jāsamazina līdz ortogonālai neatkārtojamai formai.

Formas (2.2) funkciju sauc par ortogonālu, ja visi tās locekļi D i ir pa pāriem ortogonāli (tas ir, to reizinājums ir vienāds ar nulli), un neatkārtojas, ja katrs tās elements D i sastāv no burtiem x i , ar dažādiem burtiem. skaitļi (tas ir, nav atkārtotu argumentu ), piemēram: elementāru savienojumu x 1, x 2, x 4 un x 3, x 2 reizinājums ir nulle, jo viens no tiem satur x2, un otrs x2, tāpēc tie ir ortogonāli; D 1 \u003d x 1 × x 2 × x 2, kur x2 un x 2 ir vienāds skaitlis, tāpēc termins D 1 neatkārtojas.

– ortogonāla neatkārtojama forma;

- ortogonāla, bet ne neatkārtojama forma.

Funkciju F l var pārveidot par ortogonālu neatkārtojamu formu F lo, izmantojot sarežģītu apgalvojumu transformācijas likumus un noteikumus. Aprēķinot, visizplatītākie noteikumi ir:

1) x 1 × x 2 \u003d x 2 × x 1;

4. Aritmetizācija F lo. Aritmētisko funkciju F a (2.3) nosaka no atrastās veselības F LO ortogonālās neatkārtotās loģiskās funkcijas.

kur A i ir funkcijas F lo terminu D i aritmētiskā forma.
Terminu D i aritmetizācija vispārīgā formā, kas satur disjunkcijas, konjunkcijas un noliegšanas darbības, tiek veikta, aizstājot loģiskās darbības ar aritmētiskām saskaņā ar noteikumiem:

5. Sistēmas bezatteices darbības varbūtības noteikšana.
Sistēmas bezatteices darbības varbūtība tiek iestatīta kā veselības loģiskās funkcijas patiesības varbūtība, kas parādīta ortogonālā, neatkārtojamā formā, un tiek aprēķināta kā visu ortogonālo sistēmas locekļu patiesības varbūtību summa. šī loģiskās algebras funkcija. Visi notikumi (paziņojumi) tiek aizstāti ar to varbūtībām (atbilstošo elementu bezatteices darbības varbūtībām).

DROŠĪBAS ANALĪZES LOĢISKĀS VARBŪTĪBAS METODES

Jebkurai uzticamības analīzes metodei ir nepieciešams sistēmas darbības nosacījumu apraksts. Šādus nosacījumus var formulēt, pamatojoties uz:

Sistēmas funkcionēšanas strukturālā diagramma (uzticamības aprēķina shēma);

Sistēmas darbības verbāls apraksts;

Grafiku shēmas;

Loģikas algebras funkcijas.

Loģiski varbūtības ticamības analīzes metode ļauj formalizēt labvēlīgu hipotēžu definīciju un nozīmi. Šīs metodes būtība ir šāda.

Katra elementa stāvokli kodē nulle un viens:

Loģikas algebras funkcijās elementu stāvokļi tiek attēloti šādā formā:

X i- labs elementa stāvoklis, kas atbilst 1. kodam;

Elementa atteices stāvoklis, kas atbilst kodam 0.

Izmantojot loģikas algebras funkcijas, sistēmas darbspējas nosacījums tiek uzrakstīts caur tās elementu darbināmību (stāvokli). Rezultātā iegūtā sistēmas veselības funkcija ir bināro argumentu bināra funkcija.

Iegūtais FAL tiek pārveidots tā, lai tajā būtu termini, kas atbilst labvēlīgām hipotēzēm sistēmas pareizai darbībai.

FAL bināro mainīgo vietā x i un varbūtības attiecīgi tiek aizstātas ar bezatteices darbību p i un neveiksmes varbūtība q i . Konjunkcijas un disjunkcijas zīmes tiek aizstātas ar algebrisko reizināšanu un saskaitīšanu.

Iegūtā izteiksme ir sistēmas bezatteices darbības varbūtība PC(t).

Apsveriet loģiski-varbūtības metodi ar piemēriem.

PIEMĒRS 5.10. Sistēmas blokshēma ir elementu galvenais (seriālais) savienojums (5.14. att.).

Uz blokshēmas x i , i = 1, 2,..., P- Valsts i-th sistēmas elements, kodēts ar 0, ja elements ir atteicies, un 1, ja tas ir apkalpojams. Šajā gadījumā sistēma darbojas, ja darbojas visi tās elementi. Tad FAL ir loģisko mainīgo konjunkcija, t.i. y \u003d x 1, x 2, ... .., x p, kas ir perfekta disjunktīvi normāla sistēmas forma.

Loģisko mainīgo vietā aizstājot elementu labo stāvokļu varbūtības un, aizstājot konjunkciju ar algebrisko reizināšanu, iegūstam:

PIEMĒRS 5.11. Sistēmas blokshēma ir dublēta sistēma ar nelīdzvērtīgām, pastāvīgi ieslēgtām apakšsistēmām (5.15. att.).

Uz att. 5.15 x 1 Un x 2- sistēmas elementu stāvokļi. Izveidosim divu bināro mainīgo patiesības tabulu (5.2. tabula).

Tabulā 0 ir elementa atteices stāvoklis, 1 ir labs elementa stāvoklis. Šajā gadījumā sistēma darbojas, ja darbojas abi elementi (1,1) vai viens no tiem ((0,1) vai (1,0)). Tad sistēmas darbināmo stāvokli apraksta ar šādu loģiskās algebras funkciju:

Šī funkcija ir ideāla disjunktīva normālā forma. Aizstājot disjunkcijas un konjunkcijas operācijas ar reizināšanas un saskaitīšanas algebriskajām operācijām un loģiskos mainīgos ar atbilstošām elementu stāvokļa varbūtībām, iegūstam sistēmas bezatteices darbības varbūtību:

PIEMĒRS 5.12. Sistēmas blokshēmai ir tāda forma, kā parādīts attēlā. 5.16.

Izveidosim patiesības tabulu (53. tabula).

Šajā piemērā sistēma darbojas, ja darbojas visi tās elementi vai arī elements darbojas x i un viens no dublētā pāra elementiem (x 2, x 3). Pamatojoties uz patiesības tabulu, SDNF izskatīsies šādi:

Bināro mainīgo vietā aizstājot atbilstošās varbūtības un konjunkciju un disjunkciju vietā algebrisko reizināšanu un saskaitīšanu, mēs iegūstam sistēmas bezatteices darbības varbūtību:

Loģikas algebras funkciju var attēlot minimālā formā, izmantojot šādas transformācijas:

Absorbcijas un līmēšanas darbības algebrā nav piemērojamas. Šajā sakarā nav iespējams minimizēt iegūto FAL un pēc tam loģisko mainīgo vietā aizstāt ar varbūtību vērtības. Elementu stāvokļu varbūtības ir jāaizvieto ar SDNF un jāvienkāršo saskaņā ar algebras noteikumiem.

Aprakstītās metodes trūkums ir nepieciešamība sastādīt patiesības tabulu, kas prasa visu darbināmo sistēmas stāvokļu uzskaiti.

5.3.2. Īsāko ceļu un minimālo posmu metode

Šī metode tika apspriesta iepriekš. sadaļā 5.2.3. Norādīsim to no loģikas algebras viedokļa.

Darbības funkciju var aprakstīt, izmantojot sistēmas staigāšanas darbības īsākos ceļus un minimālās atteices posmus.

Īsākais ceļš ir apstrādājamo elementu minimālā konjunkcija: elementu stacijas, kas veido funkcionējošu sistēmu.

Minimālā sadaļa ir to elementu nedarbojamo stāvokļu minimālā konjunkcija, kas veido sistēmas nedarbojamo stāvokli.

PIEMĒRS 5.13. Nepieciešams izveidot sistēmas darbības funkciju, kuras blokshēma parādīta att. 5.17. izmantojot īsāko ceļu un minimālo posmu metodi.

Risinājums.Šajā gadījumā īsākie ceļi, kas veido funkcionējošu sistēmu, būs: x 1 x 2, x 3 x 4, x 1 x 5 x 4, x 3 x 5 x 2. Tad veselības funkciju var uzrakstīt kā šādu loģiskās algebras funkciju:

Saskaņā ar šo FAL sistēmas blokshēma attēlā. 5.17. var attēlot ar blokshēmu attēlā. 5.18.

Minimālās sadaļas, kas veido nederīgu sistēmu, būs: x 1 x 3, x 2 x 4, x 1 x 5 x 4, x 3 x 5 x 2. Tad nedarbojamības funkciju var uzrakstīt kā šādu loģiskās algebras funkciju:

Saskaņā ar šo FAL sistēmas blokshēma tiks parādīta attēlā parādītajā formā. 5.19.

Jāpatur prātā, ka blokshēmas attēlā. 5.18. un att. 5.19 nav uzticamības aprēķina shēmas, un funkcionālo un nedarbojamo stāvokļu FAL izteiksmes nav izteiksmes, lai noteiktu bezatteices darbības varbūtību un atteices varbūtību:

Galvenās FAL priekšrocības ir tādas, ka tās ļauj formāli, nesastādot patiesības tabulu, iegūt PDNF un CKNF (perfekta konjunktīva normālā forma), kas ļauj iegūt bezatteices darbības varbūtību (neatteices varbūtību). sistēmu, FAL aizstājot loģisko mainīgo vietā atbilstošās bezatteices darba varbūtības vērtības, aizstājot konjunkcijas un disjunkcijas darbības ar algebriskām reizināšanas un saskaitīšanas operācijām.

Lai iegūtu SDNF, ir jāreizina katrs FAL disjunktīvais termins ar, kur x i- trūkstošais arguments un izvērsiet iekavas. Atbilde ir SDNF. Apskatīsim šo metodi ar piemēru.

PIEMĒRS 5.14. Nepieciešams noteikt sistēmas bezatteices darbības varbūtību, kuras blokshēma parādīta att. 5.17. Elementu bezatteices darbības varbūtības ir vienādas ar 1. lpp, 2. lpp, 3. lpp, 4. lpp, r 5 .

Risinājums. Izmantosim īsākā ceļa metodi. Loģiskās algebras funkcijai, kas iegūta ar īsākā ceļa metodi, ir šāda forma:

Mēs iegūstam sistēmas SDNF. Lai to izdarītu, mēs reizinām disjunktīvos vārdus ar trūkstošajiem:

Paplašinot iekavas un veicot transformācijas saskaņā ar loģikas algebras noteikumiem, iegūstam SDNF:

Aizstāšana SDNF vietā x 1, x 2, x 3 , x 4, x 5 darbspējas laika varbūtības 1. lpp, 2. lpp, 3. lpp, 4. lpp, 5. lpp un izmantojot koeficientus qi = 1–p i, mēs iegūstam šādu sistēmas bezatteices darbības varbūtības izteiksmi.

No iepriekš minētā piemēra var redzēt, ka īsāko ceļu metode mūs atbrīvoja no labvēlīgu hipotēžu definīcijas. To pašu rezultātu var iegūt, izmantojot minimālo sekciju metodi.

5.3.3. Sagriešanas algoritms

Griešanas algoritms ļauj iegūt FAL, kurā loģisko mainīgo vietā aizvietojot elementu bezatteices darbības varbūtību (atteices varbūtību), var atrast sistēmas bezatteices darbības varbūtību. Šim nolūkam nav jāiegūst CDNF.

Sagriešanas algoritms ir balstīts uz šādu loģiskās algebras teorēmu: loģiskās algebras funkcija y(x b x 2,...,x n) var iesniegt šādā formā:

Parādīsim šīs teorēmas pielietojamību trīs piemēros:

Piemērojot otro loģikas algebras sadales likumu, mēs iegūstam:

PIEMĒRS 5.15. Nosakiet sistēmas bezatteices darbības varbūtību, kuras blokshēma parādīta att. 5.16, izmantojot sagriešanas algoritmu.

Risinājums. Izmantojot īsākā ceļa metodi, mēs iegūstam šādu FAL:

Izmantosim griešanas algoritmu:

Loģisko mainīgo vietā tagad aizvietojot varbūtības un aizvietojot konjunkcijas un disjunkcijas darbības ar algebrisko reizināšanu un saskaitīšanu, mēs iegūstam:

PIEMĒRS 5.16. Nosakiet sistēmas bezatteices darbības varbūtību, kuras blokshēma parādīta att. 5.17. Izmantojiet griešanas algoritmu.

Risinājums. Loģiskās algebras funkcijai, kas iegūta ar minimālo sekciju metodi, ir šāda forma:

Mēs īstenojam griešanas algoritmu attiecībā uz X 5:

Mēs vienkāršojam iegūto izteiksmi, izmantojot loģikas algebras noteikumus. Mēs vienkāršojam izteiksmi pirmajās iekavās, izmantojot iekavu kārtulu:

Tad FAL izskatīsies šādi:

Šī izteiksme atbilst blokshēmai attēlā. 5.20.

Iegūtā shēma ir arī uzticamības aprēķina shēma, ja loģiskie mainīgie tiek aizstāti ar bezatteices darbības varbūtībām p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, un mainīgais ir neveiksmes varbūtība q 5 . No att. 5.20 var redzēt, ka sistēmas blokshēma ir reducēta uz virknes paralēlu ķēdi. Bezatteices darbības varbūtību aprēķina pēc šādas formulas:

Formula nav jāpaskaidro, tā ir uzrakstīta tieši pēc blokshēmas.

5.3.4. Ortogonalizācijas algoritms

Ortogonalizācijas algoritms, tāpat kā griešanas algoritms, ļauj formālām procedūrām veidot loģikas algebras funkciju, loģisko mainīgo vietā aizstājot tajā varbūtības, bet disjunkciju un savienojumu vietā - algebrisko saskaitīšanu un reizināšanu, lai iegūtu problēmas iespējamību. sistēmas brīva darbība. Algoritms ir balstīts uz loģiskās algebras funkciju pārveidošanu ortogonālā disjunktīvā normālā formā (ODNF), kas ir daudz īsāka nekā SDNF. Pirms metodoloģijas aprakstīšanas mēs formulējam vairākas definīcijas un sniedzam piemērus.

Divas saikļi sauca ortogonāls, ja viņu produkts ir identisks nulle. Disjunktīva normālā forma sauca ortogonāls, ja visi tā termini ir pa pāriem ortogonāli. SDNF ir ortogonāls, bet visilgākais no visām ortogonālajām funkcijām.

Ortogonālo DNF var iegūt, izmantojot šādas formulas:

Šīs formulas ir viegli pierādīt, izmantojot otro loģikas algebras sadales likumu un De Morgana teorēmu. Ortogonālas disjunktīvas normālformas iegūšanas algoritms ir šāda funkciju pārveidošanas procedūra y(x 1, x 2,..., x n) ODNF:

Funkcija y(x 1, x 2,..., x n) pārveidots par DNF, izmantojot īsāko ceļu vai minimālo posmu metodi;

Ortogonālo disjunktīvo-normālo formu atrod, izmantojot formulas (5.10) un (5.11);

Funkcija tiek samazināta, pielīdzinot nullei ODNF ortogonālos nosacījumus;

Būla mainīgie tiek aizstāti ar sistēmas elementu bezatteices darbības varbūtībām (atteices varbūtībām);

Galīgo risinājumu iegūst pēc iepriekšējā solī iegūtās izteiksmes vienkāršošanas.

Apskatīsim tehniku ​​ar piemēru.

PIEMĒRS 5.17. Nosakiet sistēmas bezatteices darbības varbūtību, kuras blokshēma parādīta att. 5.17. Izmantojiet ortogonalizācijas metodi.

Risinājums.Šajā gadījumā sistēmas darbību apraksta šāda loģiskās algebras funkcija (minimālo sadaļu metode):

Apzīmē K 1= x 1 x 2, K 2= x 3 x 4, K 3= x 1 x 5 x 4, K 4 \u003d x 3 x 5 x 2. Tad ODNF tiks uzrakstīts šādā formā:

Vērtības , i= 1,2,3, pamatojoties uz formulu (5.10), būs šāda forma:

Aizvietojot šīs izteiksmes ar (5.12), mēs iegūstam:

Aizstājot loģiskos mainīgos šajā izteiksmē ar atbilstošām varbūtībām un veicot algebriskās saskaitīšanas un reizināšanas darbības, iegūstam sistēmas bezatteices darbības varbūtību:

Atbilde ir tāda pati kā 5.14. piemērā.

Piemērā redzams, ka ortogonalizācijas algoritms ir produktīvāks nekā iepriekš apspriestās metodes. Sīkāk ir aprakstītas ticamības analīzes loģiski-varbūtības metodes. Loģiski varbūtības metodei, tāpat kā jebkurai citai, ir savas priekšrocības un trūkumi. Tās nopelni ir minēti iepriekš. Norādīsim uz tā trūkumiem.

Sākotnējie dati loģiski-varbūtības metodē ir sistēmas strukturālās diagrammas elementu bezatteices darbības varbūtības. Tomēr daudzos gadījumos šos datus nevar iegūt. Un nevis tāpēc, ka elementu uzticamība nav zināma, bet tāpēc, ka elementa darbības laiks ir nejaušs lielums. Tas notiek atlaišanas gadījumā ar nomaiņu, atteices pēcefekta esamību, elementu darbības nevienlaicīgumu, atjaunošanu ar atšķirīgu pakalpojumu disciplīnu un daudzos citos gadījumos.

Sniegsim piemērus, kas ilustrē šos trūkumus. Sistēmas blokshēmai ir tāda forma, kā parādīts attēlā. 5.21, kur pieņemti šādi apzīmējumi: x i- loģiskie mainīgie ar vērtībām 0 un 1, kas atbilst elementa kļūmei un pareizai darbībai, x i = 1, 2, 3.

Šajā gadījumā loģiskais mainīgais ds 3 ir 0 līdz galvenā elementa atteices laikam τ un 1 laikā. (t-τ), Kur t- laiks, kurā tiek noteikta sistēmas bezatteices darbības varbūtība. Laiks τ ir nejauša vērtība, tātad vērtība р(τ) nezināms. Šajā gadījumā nav iespējams sastādīt FAL un vēl jo vairāk SDNF. Neviena no mūsu aplūkotajām loģiski-varbūtības metodēm neļauj mums atrast sistēmas bezatteices darbības varbūtību.

Šeit ir vēl viens tipisks piemērs. Energosistēma sastāv no sprieguma regulatora R n un divi paralēli ģeneratori G 1 un G 2 . Sistēmas blokshēma ir parādīta attēlā. 5.22.

Ja kāds no ģeneratoriem neizdodas, atlikušais darbināmais ģenerators strādā ar vienu kopējo slodzi. Tā neveiksmju līmenis palielinās. Ja pirms viena ģeneratora atteices momenta τ tā atteices intensitāte bija vienāda ar λ , tad pēc noraidīšanas λ1 > λ2. Kopš tā laika τ tad tas ir nejaušs Р(τ) nezināms. Šeit, tāpat kā atlaišanas ar aizstāšanu gadījumā, loģiski-varbūtības metodes ir bezspēcīgas. Tādējādi šie loģiski-varbūtības metožu trūkumi samazina to praktisko pielietojumu sarežģītu sistēmu uzticamības aprēķināšanā.

5.4. Topoloģiskās ticamības analīzes metodes

Mēs sauksim topoloģiskās metodes, kas ļauj noteikt ticamības rādītājus vai nu pēc stāvokļa grafika, vai pēc sistēmas strukturālās diagrammas, nesastādot un neatrisinot vienādojumus. Topoloģiskajām metodēm veltīti vairāki darbi, kuros aprakstīti dažādi to praktiskās īstenošanas veidi. Šajā sadaļā ir aprakstītas metodes, kā noteikt uzticamības rādītājus no stāvokļa grafika.

Topoloģiskās metodes ļauj aprēķināt šādus ticamības rādītājus:

- P(t)- bezatteices darbības varbūtība laikā, laikā t;

- T1, - vidējais darbības laiks bez atteices;

- K g (t)- gatavības funkcija (varbūtība, ka sistēma darbojas jebkurā patvaļīgā brīdī t);

- Kilograms= - gatavības koeficients;

T- laiks starp atjaunotās sistēmas kļūmēm.

Topoloģiskajām metodēm ir šādas īpašības:

Aprēķinu algoritmu vienkāršība;

Augsta procedūru skaidrība uzticamības kvantitatīvo raksturlielumu noteikšanai;

Aptuvenu aplēšu iespēja;

Nav ierobežojumu attiecībā uz blokshēmas veidu (sistēmas, atgūstamas un neatkopjamas, neliekas un liekas ar jebkāda veida dublēšanu un jebkādu daudzveidību).

Šajā nodaļā tiks aplūkoti topoloģisko metožu ierobežojumi:

Sarežģītas sistēmas elementu atteices un atveseļošanās rādītāji ir nemainīgas vērtības”;

Uzticamības laika indikatori, piemēram, bezatteices darbības varbūtība un pieejamības funkcija, tiek noteikti Laplasa transformācijās;

Grūtības, dažos gadījumos nepārvaramas, sarežģītu sistēmu uzticamības analīzē, kas aprakstītas ar daudzkārt savienotu stāvokļu grafiku.

Topoloģisko metožu ideja ir šāda.

Stāvokļa grafiks ir viens no veidiem, kā aprakstīt sistēmas darbību. Tas nosaka diferenciālvienādojumu veidu un to skaitu. Pāreju intensitātes, kas raksturo elementu ticamību un to atgūstamību, nosaka diferenciālvienādojumu koeficientus. Sākotnējie nosacījumi tiek izvēlēti, kodējot grafa mezglus.

Stāvokļa grafikā ir visa informācija par sistēmas uzticamību. Un tas ir iemesls uzskatīt, ka uzticamības rādītājus var aprēķināt tieši no stāvokļa grafika.

5.4.1. Sistēmas stāvokļu varbūtību noteikšana

Atjaunojamās sistēmas atrašanas varbūtība stāvoklī i noteiktā laika brīdī t Laplasa transformācijā var uzrakstīt šādā formā:

Kur ∆(-i)- Laplasa transformācijās ierakstīto diferenciālvienādojumu sistēmas galvenais noteicējs; Δi(s) ir sistēmas privāts noteicējs.

No izteiksmes (5.13.) var redzēt, ka Pi tiks noteikts, ja grādi tiks atrasti no stāvokļa grafika veids skaitītāja un saucēja polinomi, kā arī koeficienti Bij (j = 0,1,2,..., m) Un A i(i = 0,1, 2,..., n-1).

Vispirms apskatīsim noteikšanas metodi Pi stāvokļu grafiks tikai tādām sistēmām, kuru stāvokļu grafikā nav pāreju pa stāvokļiem. Tajos ietilpst visas ne-redundantās sistēmas, liekas sistēmas ar vispārēju dublēšanu ar veselu skaitļu un daļskaitli, jebkuras struktūras liekas sistēmas ar bojātu ierīču apkopi apgrieztā secībā pēc to saņemšanas remontam. Šajā sistēmu klasē ietilpst arī dažas liekas sistēmas ar vienlīdz uzticamām ierīcēm, kuru uzturēšanai ir dažādas disciplīnas.

Sistēmas darbību raksturo diferenciālvienādojumi, kuru skaits ir vienāds ar grafa mezglu skaitu. Tas nozīmē, ka galvenais sistēmas noteicējs ∆(-i) kopumā būs polinoms n grāds, kur n ir stāvokļa grafika mezglu skaits. Ir viegli parādīt, ka saucēja polinomā nav krustpunkta. Patiešām, kopš tad funkcijas saucējs Pi jāsatur s kā faktors, pretējā gadījumā galīgā varbūtība Pī (∞) būs vienāds ar nulli. Izņēmums ir gadījumi, kad remontdarbu skaits ir ierobežots.

Skaitītāja polinoma pakāpe∆ i atrasts no izteiksmes:

m i \u003d n - 1 - l i,

Kur n- stāvokļa grafa mezglu skaits; l i- pāreju skaits no sistēmas sākotnējā stāvokļa, ko nosaka tās funkcionēšanas sākotnējie nosacījumi, uz stāvokli i pa īsāko ceļu.

Ja sistēmas sākotnējais stāvoklis ir stāvoklis, kad visas ierīces darbojas, tad l i- valsts līmeņa numurs i, t.i. l i ir vienāds ar minimālo neveiksmīgo sistēmas ierīču skaitu stāvoklī i. Tādējādi varbūtības skaitītāja polinoma pakāpe P i (s) sistēmas palikšana iekšā i-stāvoklis ir atkarīgs no valsts numura i un no sākotnējiem nosacījumiem. Kopš pāreju skaita l i varbūt 0,1,2,..., n-1, tad polinoma pakāpeΔi(s) pamatojoties uz (5.14), var arī ņemt vērtības m i = 0,1,2,..., n-1.

Klasiskās metodes sistēmu uzticamības aprēķināšanai

Klasiskās metodes ietver uzticamības modeļus ar elementu seriāliem, paralēliem, paralēli-seriāliem savienojumiem, to dažādajām modifikācijām.

Modelis ar elementu sērijveida savienojumu. Aprēķinot uzticamību, elementu savienojumu sauc par secīgu, kurā vismaz viena no tiem atteice izraisa visa savienojuma atteici kopumā. Seriālais savienojums iepriekš minētajā nozīmē ne vienmēr ir tāds pats kā elementu fiziskais virknes savienojums. Tiek pieņemts, ka elementu atteices ir neatkarīgas, tas ir, jebkuras elementu grupas atteice nekādā veidā neietekmē atlikušo elementu varbūtības raksturlielumus. Elements tiek saprasts kā viena no seriālā savienojuma neatkarīgajām sadaļām.

Elementu seriālais savienojums

Šajā gadījumā sistēmas bezatteices darbības varbūtību var aprēķināt pēc formulas:

kur Рс ir sistēmas bezatteices darbības varbūtība; Р i (t) – bezatteices darbības varbūtība i - sistēmas elements

Modelis ar elementu paralēlu savienojumu(2.2. att.). Aprēķinot uzticamību, paralēlais (liekais) ir tāds elementu savienojums, kurā visa savienojuma atteice notiek, kad visi sistēmas elementi neizdodas (elementi dublē viens otru).

Elementu paralēlais savienojums

Šajā gadījumā sistēmas uzticamība Pc tiek noteikts, izmantojot elementa atteices varbūtības q 1 , q 2 , …, q n, kas ir saistīti ar bezatteices darbības varbūtību ar relācijām formā q i (t) = 1 – P i (t)

Visas sistēmas atteices varbūtība ir vienāda ar:

Tad sistēmas bezatteices darbības varbūtībai ar elementu q 1 , q 2 , …, q n paralēlu savienojumu ir forma

Modelis ar elementu paralēlo seriālo savienojumu. Aprēķinot uzticamību, paralēlsērijas savienojums ir tāds elementu savienojums, kurā ir iespējams sastādīt sekciju blokshēmas gan ar elementu sērijveida, gan paralēlu savienojumu.

Elementu paralēlais seriālais savienojums

Sistēmai vispirms aprēķina 23. sadaļas bezatteices darbības varbūtību:

P 23 \u003d 1 - (1 - P 2 (t)) × (1 - P 3 (t)),

tad - 123. sadaļa: P 123 (t) \u003d P 1 (t) × P 23 (t) \u003d P 1 (t) × (1 - (1 - P 2 (t)) × (1 - P 3 () t) )).

Galīgajai aprēķina formulai ir forma P ar (t) \u003d 1 - (1 - P 123 (t)) × (1 - P 4 (t)).

Modeļi, kas nav reducējami līdz paralēlās sērijas savienojumiem. Šajā klasē ietilpst sistēmas ar tiltu un vēl sarežģītākiem elementu savienojumiem (2.4. att.).

Elementu savienošanas piemērs

Sistēma darbojas, ja darbojas šādi elementi:

Šīs klases sistēmu ticamību lietderīgi novērtēt ar loģiski-varbūtības metodi, izmantojot loģikas algebras aparātu.

Modelis izmantojot Markova procesus. Modelis ir norādīts stāvokļu formā, kuros sistēma var atrasties, un iespējamās pārejas no viena stāvokļa citā (2.5. att.).

Attēlojot IS, izmantojot šo modeli, tiek izmantota Markova procesu teorija, ja sistēmas atrašanās vieta nav atkarīga no stāvokļa, kurā IS atradās pagātnē.

Sistēmas stāvokļu varbūtības grafikam ir šādi stāvokļi:

1. Darbojas abi sistēmas elementi.

2. Viena no elementiem neveiksme.

3. Divu elementu neveiksme.

Sistēmas stāvokļu varbūtības grafiks

Ja ir dotas sistēmas pārejas varbūtības no stāvokļa i uz stāvokli j b ij, tad var noteikt sistēmas atrašanas varbūtības i. - m stāvoklis P i (t), un līdz ar to ticamības rādītāji, sastādot un atrisinot Kolmogorova-Smirnova vienādojumu.

Sistēmas i-tajā stāvoklī esošās varbūtības atvasinājums ir vienāds ar pārejas intensitātes un atbilstošo stāvokļu varbūtību reizinājumu algebrisko summu. Tiem darbiem, kas atbilst bultiņām, kas atstāj šo stāvokli, tiek piešķirta zīme "-", bet ienākošajiem - "+".

Tādējādi šai sistēmas piemērā mums ir:

Atrisinot vienādojumu sistēmu, noteiksim sistēmas atrašanas varbūtības i-tajā stāvoklī P i (t).

Sistēmas bezatteices darbības varbūtības funkcija šajā gadījumā ir vienāda ar varbūtību, ka sistēma būs 1.stāvoklī: P c (t) = P 1 (t).

Metodes pamatā ir loģikas algebras matemātiskais aparāts. Kontroles sistēmas uzticamības aprēķins ietver attiecības noteikšanu starp sarežģītu notikumu (sistēmas atteice) un notikumiem, no kuriem tas ir atkarīgs (sistēmas elementu atteices). Līdz ar to ticamības aprēķini ir balstīti uz operāciju veikšanu ar notikumiem un paziņojumiem, kas tiek pieņemti kā paziņojumi par elementa (sistēmas) darbību vai atteici. Katrs sistēmas elements tiek attēlots ar loģisku mainīgo lielumu, kas iegūst vērtību 1 vai 0.

Notikumi un apgalvojumi ar disjunkcijas, konjunkcijas un nolieguma operāciju palīdzību tiek apvienoti loģiskos vienādojumos, kas atbilst sistēmas darbspējas nosacījumam. Tiek apkopota loģiskā veselības funkcija. Aprēķinu, kas balstīts uz tiešu loģisko vienādojumu izmantošanu, sauc par loģiski-varbūtisko, un to veic septiņos posmos:

1. Objekta darbības nosacījumu mutiska formulēšana. Aprakstīta informācijas sistēmas veselības atkarība no tās atsevišķo elementu stāvokļa.

2. Veselības loģiskās funkcijas sastādīšana. Tas ir loģisks vienādojums, kas atbilst vadības sistēmas darbības stāvoklim

kas izteikts disjunktīvā formā, piemēram:

kur x i ir darbības nosacījums i - th elements Fl; X i = 1 ir darbināms stāvoklis, X i = 0 ir nedarbīgs stāvoklis.

3. Veselības F L loģiskās funkcijas pārvietošana uz ortogonālu neatkārtojamu formu F L . Sarežģīta loģiskā darbspējas funkcija ir jāsamazina līdz ortogonālai neatkārtojamai formai.

Formas (2.2) funkciju sauc par ortogonālu, ja visi tās locekļi D i ir pa pāriem ortogonāli (tas ir, to reizinājums ir vienāds ar nulli), un neatkārtojas, ja katrs tās elements D i sastāv no burtiem x i , ar dažādiem burtiem. skaitļi (tas ir, nav atkārtotu argumentu ), piemēram: elementāru savienojumu x 1, x 2, x 4 un x 3, x 2 reizinājums ir nulle, jo viens no tiem satur x2, un otrs x2, tāpēc tie ir ortogonāli; D 1 \u003d x 1 × x 2 × x 2, kur x2 un x 2 ir vienāds skaitlis, tāpēc termins D 1 neatkārtojas.

– ortogonāla neatkārtojama forma;

- ortogonāla, bet ne neatkārtojama forma.

Funkciju F l var pārveidot par ortogonālu neatkārtojamu formu F lo, izmantojot sarežģītu apgalvojumu transformācijas likumus un noteikumus. Aprēķinot, visizplatītākie noteikumi ir:

4. Aritmetizācija F lo. Aritmētisko funkciju F a (2.3) nosaka no atrastās veselības F LO ortogonālās neatkārtotās loģiskās funkcijas.

kur A i ir funkcijas F lo terminu D i aritmētiskā forma.

Terminu D i aritmetizācija vispārīgā formā, kas satur disjunkcijas, konjunkcijas un noliegšanas darbības, tiek veikta, aizstājot loģiskās darbības ar aritmētiskām saskaņā ar noteikumiem:

5. Sistēmas bezatteices darbības varbūtības noteikšana.

Sistēmas bezatteices darbības varbūtība tiek iestatīta kā veselības loģiskās funkcijas patiesības varbūtība, kas parādīta ortogonālā, neatkārtojamā formā, un tiek aprēķināta kā visu ortogonālo sistēmas locekļu patiesības varbūtību summa. šī loģiskās algebras funkcija. Visi notikumi (paziņojumi) tiek aizstāti ar to varbūtībām (atbilstošo elementu bezatteices darbības varbūtībām).

6. Nepieciešamo vadības sistēmas drošuma rādītāju aprēķins pēc atrastā rādītāja P c (t):

Bezatteices darbības varbūtība P c (t);

Atteices varbūtība Q c (t) = 1 – P c (t);

Neveiksmju rādītājs

MTBF

7. Iegūto drošuma rādītāju atbilstības analīze dotajām sistēmas tehniskajām prasībām.

Ar loģiski varbūtības metodi pieņemtie pieņēmumi: sistēmas elementiem iespējami tikai divi stāvokļi; metode ir piemērojama neatjaunojamām sistēmām; sistēmas elementu kļūmēm jābūt neatkarīgām.

Dažos gadījumos objektu vai sistēmu nevar iedomāties kā tādu, kas sastāv no paralēliem seriāliem savienojumiem. Tas jo īpaši attiecas uz digitālajām elektroniskajām informācijas sistēmām, kurās tiek ieviestas savstarpējas informācijas saites, lai uzlabotu uzticamību. Uz att. 9.17 parāda sistēmas struktūras daļu ar šķērssaitēm (bultiņas parāda iespējamos informācijas kustības virzienus sistēmā). Lai novērtētu šādu struktūru uzticamību, loģiski-varbūtības metode izrādās efektīva.

Rīsi. 9.17. Tilta shēma degvielas padevei;

1-2 - sūkņi, 3,4,5 - vārsti

Rīsi. 9.18. Mērīšanas un skaitļošanas kompleksa tilta ķēde;

1,2 - uzglabāšanas ierīce; 3,4 - procesori; 5 - bloks, kas nodrošina digitālo datu divvirzienu pārraidi.

Metodē struktūras darbināmo stāvokli piedāvāts aprakstīt, izmantojot matemātiskās loģikas aparātu, kam seko formāla pāreja uz izvērtējamās sistēmas vai ierīces bezatteices darbības varbūtību. Šajā gadījumā, izmantojot loģisko mainīgo x j apzīmē notikumu, kas dots i-tais elements darbojas. Formāli visas sistēmas vai objekta veselīgu stāvokli attēlo loģiska funkcija, ko sauc par veselības funkciju. Lai atrastu šo funkciju, no sistēmas struktūras ievades līdz izvadei ir jānosaka visi informācijas kustības ceļi un darba ķermenis, kas atbilst sistēmas darba stāvoklim. Piemēram, attēlā. 9.17. ir četri šādi ceļi: ceļš 1 - , ceļš 2 - , ceļš 3 - , ceļš 4 - .

Zinot visus ceļus, kas atbilst struktūras operējamajam stāvoklim, loģikas algebras simbolos ir iespējams ierakstīt disjunktīvi-konjunktīvā formā darbspējas funkciju (X) / Piemēram, att. 9.17 ir:

Izmantojot zināmās minimizēšanas metodes, veselības loģiskā funkcija tiek vienkāršota un no tās pārnesta uz sistēmas veselības vienādojumu parastās algebras simbolos. Šāda pāreja tiek veikta formāli, izmantojot zināmas attiecības (loģiskais apzīmējums kreisajā pusē, algebriskais apzīmējums labajā pusē):

Objekta darbības bez atteices varbūtību (sk. 9.16., 9.17. att.) parasti nosaka formāli aizstājot veselības funkcijas algebrisko izteiksmi, nevis mainīgos, katra bezatteices darbības varbūtības vērtību. i- sistēmas elements.

Piemērs. Vispārīgi jāatrod objektu bezatteices darbības varbūtība, kuru struktūra parādīta att. 9.16 un 9.17. Neskatoties uz dažādajām elementu bāzēm, šo objektu struktūras elementi no formālās loģikas viedokļa ir identiski. Šī iemesla dēļ skaidrības labad attēlā. 9.17 elementi U1, U2 - divi identiski vienlīdz uzticami sūkņi ar bezatteices darbības varbūtību. Elementi U3, U4 ir divi vienlīdz uzticami procesori ar iespējamību darboties bez traucējumiem. Elements U5 ir pārslēgšanas vārsts, kas nodrošina darba šķidruma (piemēram, degvielas) divvirzienu padevi iekārtas izejā.

Objekta struktūra attēlā. 9.17, kur elementi U1, U2 ir divas identiskas vienlīdz uzticamas atmiņas ierīces (atmiņa), ar iespējamību darboties bez traucējumiem. Elementi U3, U4 ir divi identiski vienlīdz uzticami procesori ar bezatteices darbības varbūtību. Elements U5 ir bloks, kas nodrošina digitālo datu divvirzienu pārraidi. Šīs iekārtas bezatteices darbības varbūtība ir.

Ņemot vērā (9.36), (9.37), (9.38) varam veikt formālu pāreju no apzīmējuma (9.35) uz algebrisko apzīmējumu. Tātad, lai atrastu objekta darbības loģisko funkciju, iespējamiem informācijas (darba korpusa) nodošanas veidiem no ievades uz izvadi ir šāda forma

VISPĀRĒJĀS LOĢISKI VARBŪTĪBAS METODES DETERMINISTISKĀS NODAĻAS

Anotācija. Tiek prezentēti datu sistematizācijas rezultāti par esošajām un jaunām zinātniskām deterministiskās modelēšanas problēmām vispārējā loģiski-varbūtības metodē (OLVM), automatizētās strukturāli loģiskās modelēšanas (ASM) teorijā un tehnoloģijā.

Atslēgvārdi. Vispārējā loģiski-varbūtiskā metode, funkcionālās integritātes shēma, varbūtības modeļi, deterministiskā modelēšana.

Ievads. Vēsturiski visas loģiski-varbūtības metodes ir izstrādātas un izmantotas modelēšanas un aprēķinu vajadzībām. varbūtības sistēmas objektu dažādu īpašību rādītāji (uzticamība, izturība, noturība, stabilitāte, drošība, tehniskais risks, paredzamie bojājumi, efektivitāte). Tomēr pēdējos gados, līdz ar varbūtības analīzes problēmu loka tālāku paplašināšanos, metožu un programmatūras izstrāde kļūst arvien pieprasītāka. deterministisks dažādu veidu, klašu un mērķu strukturāli sarežģītu sistēmu modelēšana. Šajā ziņojumā ir sniegti datu sistematizācijas rezultāti par esošajām un jaunām zinātniskām un tehnoloģiskām deterministiskās modelēšanas problēmām vispārējās loģiski-varbūtības metodes (OLVM), automatizētās strukturāli loģiskās modelēšanas (ASM) teorijas un tehnoloģijas ietvaros.

1. Analītiskās OLVM deterministiskās metodes.

Jāpiebilst, ka visām loģiski-varbūtiskajām sistēmu analīzes metodēm visos galvenajos modelēšanas posmos ir skaidri definēti deterministiski komponenti. Uzdevumu noteikšanas stadijā deterministiskie ietver visu veidu grafiskos rīkus un metodes pētāmo rekvizītu strukturālo modeļu konstruēšanai - defektu kokus, notikumu kokus, blokshēmas, savienojamības grafikus, funkcionālās integritātes shēmas utt. Nākamajos posmos loģiski-varbūtiskā modelēšana, metodes, algoritmi ir deterministiski un programmas pētāmo sistēmas īpašību loģisko un varbūtības (precīzo vai aptuveno) matemātisko modeļu konstruēšanai, pamatojoties uz doto blokshēmu. OLVM beigu posmā sistēmas īpašību varbūtības rādītāju aprēķināšanas metodes un procedūras, pamatojoties uz konstruētām precīzām vai aptuvenām analītiskām varbūtības funkcijām, ir deterministiskas.

Esošo iekšzemes un ārvalstu tipisko monotono loģiski-varbūtisko sistēmu analīzes metožu ietvaros ir izstrādāti un veiksmīgi pielietoti dažādi precīzi un aptuveni rīki (metodes, algoritmi un programmas), kas balstīti uz defektu kokiem, blokshēmām vai deterministisku savienojamības grafikiem. sistēmas veiktspējas loģiskās funkcijas (FRS ) un varbūtības funkciju polinomi (WF).

OLVM šāda veida analītiskie modeļi ir veidoti, pamatojoties uz loģiski universālu funkcionālās integritātes blokshēmu (FIC) grafisko aparātu. Deterministiskie FRS un WF ir definēti OLVM visu veidu monotoniem un nemonotoniem liela izmēra un augstas strukturālās sarežģītības sistēmu pētāmo īpašību modeļiem. Lai konstruētu loģiskos FRS OLVM, tika izstrādāta universāla grafiski analītiskā metode (UGM) un kombinētā metode WF polinomu konstruēšanai. Šīs metodes ir ieviestas programmatūras ieviešanā un tiek izmantotas programmatūras sistēmu industriālajos paraugos sistēmu automatizētai strukturāli loģiskai modelēšanai.

Lai ilustrētu deterministisko analītisko OLVM, tiek apskatīts vienkāršs tipiskas tiltu sistēmas analīzes testa piemērs. 1. attēla kreisajā pusē ir parādīts tilta sistēmas FSC, kas ievadīts ACM 2001 programmatūras pakotnē (PC), un atbilstošā pilnā loģisko vienādojumu sistēma. Piemērā ir atrisinātas trīs deterministiskas problēmas - loģiskā FRS konstruēšana, WF polinoma konstruēšana un tilta sistēmas daļējas atteices (daļējas darbspējas) kritērija ieviešanas varbūtības analītiskā aprēķināšana (izvades elements 3 izpildīts, bet izvadelements 4 izpildīts). nepilda savu funkciju).

1. att. Deterministiskā analītiskā OLVM izmantošanas testa piemērs

1. att. labajā pusē parādīti UGM pielietošanas rezultāti, lai iegūtu loģisku FRS un kombinēto metodi WF polinoma konstruēšanai. Tilta sistēmas daļējas darbspējas varbūtības analītiskais aprēķins tiek veikts gadījumam, kad visu elementāro notikumu varbūtības ir vienādas .

Pašlaik notiek darbs, lai turpinātu uzlabot deterministiskā analītiskā OLVM metodes. Tajā pašā laikā pēdējos gados ir veidojušās un attīstījušās vairākas jaunas īpašas sistēmu deterministiskās OLVM analīzes jomas.

2. Statistiskās OLVM deterministiskās metodes.

Statistiskajā loģiski-varbūtības modelēšanā deterministiskie līdzekļi ir strukturāli sarežģītu sistēmu pētīto īpašību simulācijas modeļu konstruēšanas līdzekļi. Pamatojoties uz ģenerētajiem simulācijas modeļiem, tiek izmantoti statistiskie testi, lai noteiktu sistēmas pētāmo īpašību varbūtības rādītāju kvantitatīvos novērtējumus. Pirmā loģiski-statistiskā metode (LSM), ko izstrādājis I.A.Rjabinins, izmanto pētāmās sistēmas loģisko FRS kā simulācijas modeli. OLVM un PC ASM ir ieviesta vēl viena - iteratīvā loģiski statistiskā metode (ILSM), ko izstrādājis Aleksejevs A.O. ILSM kā deterministisks simulācijas modelis tieši izmanto pētāmās sistēmas FIS, kas tiek attēlots monotonas vai nemonotonas loģisko vienādojumu sistēmas veidā. Tas ļauj statistiskajā OLVM vispār neveikt deterministisko analītisko modeļu konstruēšanu (ne FRS, ne WF).

2. attēlā parādīts PC ASM 2001 automatizētās simulācijas logs ar iepriekš aplūkotās tiltu sistēmas daļējas darbības varbūtības rādītāju aprēķinu rezultātiem ar dažādām metodēm (sk. 1. attēlu).

2. att. Statistikas CGLR deterministiskās metodes pielietošanas rezultāti

No 2. att. izriet, ka ar simulācijas modeļa deterministiskās OLVM automātiskās ģenerēšanas palīdzību un veiktspēju uz tā bāzes statistiskiem aprēķiniem par tilta sistēmas daļējas darbspējas iespējamību, tika iegūts šāds rezultāts.

Šis statistikas OLVM rezultāts labi sakrīt ar iegūto