Frakcionētu racionālu izteiksmju piemēri ar risinājumiem. racionāla izteiksme

Rakstā ir runāts par transformāciju racionālas izpausmes. Apsveriet racionālo izteiksmju veidus, to transformācijas, grupējumus, kopējo faktoru iekavās. Mācīsimies, kā formā attēlot daļējas racionālas izteiksmes racionālās daļas.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionālu izteiksmju definīcija un piemēri

1. definīcija

Izteiksmes, kas sastāv no skaitļiem, mainīgajiem, iekavām, grādiem ar saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas, dalīšanas operācijām ar daļskaitļu joslas klātbūtni tiek sauktas racionālas izpausmes.

Piemēram, mums ir, ka 5 , 2 3 x - 5 , - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 x y 2 - 1 11 x 3 .

Tas ir, šīs ir izteiksmes, kurām nav dalījuma izteiksmēs ar mainīgajiem. Racionālo izteiksmju izpēte sākas ar 8. pakāpi, kur tās sauc par daļskaitļa racionālām izteiksmēm.Īpaša uzmanība skaitītājā tiek pievērsta daļskaitļiem, kurus pārvērš, izmantojot transformācijas noteikumus.

Tas ļauj mums pāriet uz patvaļīgas formas racionālu daļu transformāciju. Šādu izteiksmi var uzskatīt par izteiksmi ar racionālu daļskaitļu klātbūtni un veselu skaitļu izteiksmēm ar darbības zīmēm.

Galvenie racionālu izteiksmju transformāciju veidi

Racionālas izteiksmes tiek izmantotas, lai veiktu identiskas transformācijas, grupējumus, līdzīgu izliešanu un citas darbības ar skaitļiem. Šādu izteicienu mērķis ir vienkāršot.

1. piemērs

Pārvērtiet racionālo izteiksmi 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

Lēmums

Var redzēt, ka šāda racionāla izteiksme ir starpība 3 · x x · y - 1 un 2 · x x · y - 1 . Ievērojiet, ka tiem ir viens un tas pats saucējs. Tas nozīmē, ka līdzīgu terminu samazināšana izpaužas formā

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

Atbilde: 3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 .

2. piemērs

Veiciet transformāciju 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) .

Lēmums

Sākotnēji mēs veicam darbības iekavās 3 · x − x = 2 · x . Šī izteiksme ir attēlota kā 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x. Mēs nonākam pie izteiksmes, kas satur darbības ar vienu posmu, tas ir, tai ir saskaitīšana un atņemšana.

Atbrīvojieties no iekavām, piemērojot dalījuma rekvizītu. Tad mēs iegūstam, ka 2 x y 4 (- 4) x 2: 2 x = 2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x .

Skaitliskos faktorus sagrupējam ar mainīgo x, pēc tam varam veikt darbības ar pakāpēm. Mēs to sapratām

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

Atbilde: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4 .

3. piemērs

Pārvērtiet izteiksmi formā x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

Lēmums

Vispirms pārveidosim skaitītāju un saucēju. Tad mēs iegūstam formas (x (x + 3) - (3 x + 1)) izteiksmi: 1 2 x 4 + 2, un vispirms tiek veiktas darbības iekavās. Skaitītājā tiek veiktas darbības un grupēti faktori. Tad mēs iegūstam izteiksmi formā x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x 2 + 3 x - 3 x - 1 1 2 4 x + 2 = x 2 - 1 2 x+2.

Mēs pārveidojam formulu kvadrātu atšķirībai skaitītājā, tad mēs to iegūstam

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Atbilde: x (x + 3) - (3 x + 1) 1 2 x 4 + 2 = x - 1 2 .

Atveidojums kā racionāla frakcija

Risinot, algebriskā daļa visbiežāk tiek vienkāršota. Katrs racionālais jēdziens ir reducēts uz to Dažādi ceļi. Viss ir jādara nepieciešamās darbības ar polinomiem, lai racionālā izteiksme galu galā varētu dot racionālu daļu.

4. piemērs

Izteikt kā racionālu daļu a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a .

Lēmums

Šo izteiksmi var attēlot kā 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a . Reizināšana tiek veikta vispirms saskaņā ar noteikumiem.

Mums vajadzētu sākt ar reizināšanu, tad mēs to iegūstam

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a

Mēs veidojam ar oriģinālu iegūtā rezultāta attēlojumu. Mēs to sapratām

a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a

Tagad veiksim atņemšanu:

a + 5 a a - 3 - a - 5 a + 3 a = a + 5 a + 3 a (a - 3) (a + 3) - (a - 5) (a - 3) (a + 3) a ( a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9

Pēc tam ir skaidrs, ka sākotnējā izteiksme būs formā 16 a 2 - 9 .

Atbilde: a + 5 a (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = 16 a 2 - 9 .

5. piemērs

Izteikt x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x kā racionālu daļu.

Lēmums

Doto izteiksmi raksta kā daļskaitli, kuras skaitītājā ir x x + 1 + 1, bet saucējā 2 x - 1 1 + x. Nepieciešams veikt pārveidojumus x x + 1 + 1 . Lai to izdarītu, jums jāpievieno daļskaitlis un skaitlis. Mēs iegūstam, ka x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 (x + 1) 1 (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

No tā izriet, ka x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

Iegūto daļu var uzrakstīt kā 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x .

Pēc sadalīšanas mēs nonākam pie racionālas formas daļas

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1

Jūs varat to atrisināt savādāk.

Tā vietā, lai dalītu ar 2 x - 1 1 + x, mēs reizinām ar apgriezto vērtību 1 + x 2 x - 1 . Piemērojot izplatīšanas īpašību, mēs to iegūstam

x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

Atbilde: x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 2 x - 1 .

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Šajā nodarbībā tiks apskatīta pamatinformācija par racionālām izteiksmēm un to transformācijām, kā arī racionālu izteiksmju transformācijas piemēri. Šajā tēmā ir apkopotas līdz šim pētītās tēmas. Racionālas izteiksmes transformācijas ietver saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu, dalīšanu, eksponenci algebriskās daļas, samazināšana, faktorizēšana utt. Nodarbības ietvaros mēs apskatīsim, kas ir racionāla izteiksme, kā arī analizēsim piemērus to pārveidošanai.

Temats:Algebriskās daļas. Aritmētiskās darbības ar algebriskām daļām

Nodarbība:Pamatinformācija par racionālām izteiksmēm un to transformācijām

Definīcija

racionāla izteiksme ir izteiksme, kas sastāv no skaitļiem, mainīgajiem lielumiem, aritmētiskām darbībām un eksponenci.

Apsveriet racionālas izteiksmes piemēru:

Īpaši racionālu izteicienu gadījumi:

1. pakāpe: ;

2. monomāls: ;

3. daļa: .

Racionālas izteiksmes transformācija ir racionālas izteiksmes vienkāršojums. Darbību secība, pārveidojot racionālas izteiksmes: vispirms ir darbības iekavās, tad reizināšanas (dalīšanas) un pēc tam saskaitīšanas (atņemšanas) darbības.

Apskatīsim dažus racionālu izteiksmju transformācijas piemērus.

1. piemērs

Lēmums:

Soli pa solim atrisināsim šo piemēru. Vispirms tiek veikta darbība iekavās.

Atbilde:

2. piemērs

Lēmums:

Atbilde:

3. piemērs

Lēmums:

Atbilde: .

Piezīme: varbūt, kad redzēsi šis piemērs radās ideja: samazināt daļskaitli, pirms noved pie kopsaucēja. Patiešām, tas ir pilnīgi pareizi: pirmkārt, ir vēlams pēc iespējas vienkāršot izteiksmi un pēc tam to pārveidot. Mēģināsim atrisināt šo pašu piemēru otrā veidā.

Kā redzat, atbilde izrādījās absolūti līdzīga, taču risinājums izrādījās nedaudz vienkāršāks.

Šajā nodarbībā mēs apskatījām racionālas izteiksmes un to transformācijas, kā arī vairākas konkrēti piemēri transformācijas dati.

Bibliogrāfija

1. Bašmakovs M.I. Algebra 8. klase. - M.: Apgaismība, 2004.

2. Dorofejevs G.V., Suvorova S.B., Bunimovičs E.A. et al., Algebra 8. - 5. izd. - M.: Izglītība, 2010.

Šis raksts ir par racionālu izteiksmju transformācija, galvenokārt daļēji racionāls, ir viens no galvenajiem jautājumiem algebras kursā 8. klasei. Pirmkārt, mēs atceramies, kāda veida izteicienus sauc par racionāliem. Tālāk mēs pievērsīsimies standarta transformāciju veikšanai ar racionālām izteiksmēm, piemēram, terminu grupēšanu, kopīgu faktoru izņemšanu no iekavām, līdzīgu terminu samazināšanu utt. Visbeidzot, mēs iemācīsimies attēlot daļskaitļa racionālas izteiksmes kā racionālas daļas.

Lapas navigācija.

Racionālu izteiksmju definīcija un piemēri

Racionālās izteiksmes ir viens no izteiksmju veidiem, ko mācās algebras stundās skolā. Sniegsim definīciju.

Definīcija.

Izteiksmes, kas sastāv no skaitļiem, mainīgajiem, iekavām, grādiem ar veseliem eksponentiem, kas savienoti, izmantojot zīmes aritmētiskās darbības Tiek izsaukti +, − un:, kur dalījumu var norādīt ar daļskaitļa joslu racionālas izpausmes.

Šeit ir daži racionālu izteiksmju piemēri: .

Racionālās izteiksmes sāk mērķtiecīgi apgūt 7. klasē. Turklāt 7. klasē darba pamati ar t.s veselas racionālas izpausmes, tas ir, ar racionālām izteiksmēm, kas nesatur sadalījumu izteiksmēs ar mainīgajiem. Lai to izdarītu, konsekventi tiek pētīti monomi un polinomi, kā arī darbības ar tiem veikšanas principi. Visas šīs zināšanas galu galā ļauj veikt veselu skaitļu izteiksmju transformāciju.

8. klasē viņi pāriet uz racionālu izteiksmju izpēti, kas satur dalījumu ar izteiksmi ar mainīgajiem, ko sauc frakcionētas racionālas izteiksmes. Kurā Īpaša uzmanība dots t.s racionālās daļas(ko sauc arī par algebriskās daļas), tas ir, daļskaitļi, kuru skaitītājs un saucējs satur polinomus. Tas galu galā ļauj veikt racionālo daļu pārveidošanu.

Iegūtās prasmes ļauj pāriet uz patvaļīgas formas racionālu izteiksmju transformāciju. Tas izskaidrojams ar to, ka jebkuru racionālu izteiksmi var uzskatīt par izteiksmi, kas sastāv no racionālām daļām un veseliem skaitļiem, kas savienoti ar aritmētisko darbību zīmēm. Un mēs jau zinām, kā strādāt ar veselu skaitļu izteiksmēm un algebriskām daļām.

Galvenie racionālu izteiksmju transformāciju veidi

Ar racionālām izteiksmēm jūs varat veikt jebkuru no pamata identitātes pārveidojumiem, neatkarīgi no tā, vai tā ir terminu vai faktoru grupēšana, līdzīgu terminu ievešana, darbību veikšana ar skaitļiem utt. Parasti šo pārveidojumu mērķis ir racionāla izteiksmes vienkāršošana.

Piemērs.

.

Lēmums.

Ir skaidrs, ka šī racionālā izteiksme ir divu izteiksmju atšķirība, un turklāt šīs izteiksmes ir līdzīgas, jo tām ir viena un tā pati burtiskā daļa. Tādējādi mēs varam veikt līdzīgu terminu samazināšanu:

Atbilde:

.

Skaidrs, ka veicot transformācijas ar racionāliem izteicieniem, tāpat kā ar jebkuru citu izteicienu, jāpaliek pieņemtās darbību kārtības ietvaros.

Piemērs.

Pārveidot racionālu izteiksmi.

Lēmums.

Mēs zinām, ka iekavās norādītās darbības tiek izpildītas vispirms. Tāpēc, pirmkārt, mēs pārveidojam izteiksmi iekavās: 3 x − x=2 x .

Tagad jūs varat aizstāt rezultātu ar sākotnējo racionālo izteiksmi: . Tātad mēs nonācām pie izteiksmes, kas satur viena posma darbības - saskaitīšanu un reizināšanu.

Atbrīvosimies no iekavām izteiksmes beigās, pielietojot īpašību dalījums pēc produkta: .

Visbeidzot, mēs varam grupēt skaitliskos faktorus un faktorus ar mainīgo x un pēc tam veikt atbilstošās darbības ar skaitļiem un lietot : .

Tas pabeidz racionālās izteiksmes transformāciju, un rezultātā mēs ieguvām monomu.

Atbilde:

Piemērs.

Pārveidot racionālu izteiksmi .

Lēmums.

Vispirms mēs pārvēršam skaitītāju un saucēju. Šī daļskaitļu pārveidošanas secība ir izskaidrojama ar to, ka daļdaļas gājiens būtībā ir cits dalījuma apzīmējums, un sākotnējā racionālā izteiksme būtībā ir noteikta forma. , un darbības iekavās tiek izpildītas vispirms.

Tātad skaitītājā veicam darbības ar polinomiem, vispirms reizināšanu, tad atņemšanu, un saucējā sagrupējam skaitliskos faktorus un aprēķinām to reizinājumu: .

Iedomāsimies arī iegūtās daļas skaitītāju un saucēju kā reizinājumu: pēkšņi ir iespējams samazināt algebrisko daļu. Lai to izdarītu, mūsu izmantotajā skaitītājā kvadrātu atšķirības formula, un saucējā mēs izņemam divnieku no iekavām, mums ir .

Atbilde:

.

Tātad sākotnējo iepazīšanos ar racionālo izteiksmju transformāciju var uzskatīt par pabeigtu. Nododam, tā teikt, saldākajiem.

Atveidojums kā racionāla frakcija

Visizplatītākais izteiksmju pārveidošanas mērķis ir vienkāršot to formu. Šajā gaismā visvairāk vienkāršs skats, uz kuru var pārvērst daļēji racionālu izteiksmi, ir racionāla (algebriskā) daļa un konkrētā gadījumā polinoms, monoms vai skaitlis.

Vai ir iespējams jebkuru racionālu izteiksmi attēlot kā racionālu daļu? Atbilde ir jā. Paskaidrosim, kāpēc tas tā ir.

Kā jau teicām, jebkuru racionālu izteiksmi var uzskatīt par polinomiem un racionālām daļām, kas savienotas ar plusa, mīnusa zīmēm, reizināt un dalīt. Visas attiecīgās darbības ar polinomiem iegūst polinomu vai racionālu daļu. Savukārt jebkuru polinomu var pārvērst algebriskā daļā, ierakstot to ar saucēju 1. Un racionālo daļu saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana rada jaunu racionālu daļu. Tāpēc, veicot visas darbības ar polinomiem un racionālajām daļām racionālā izteiksmē, mēs iegūstam racionālu daļu.

Piemērs.

Izteikt izteiksmi kā racionālu daļu .

Lēmums.

Sākotnējā racionālā izteiksme ir atšķirība starp formas daļu un daļu reizinājumu . Atbilstoši darbību secībai vispirms jāveic reizināšana un tikai tad saskaitīšana.

Mēs sākam, reizinot algebriskās daļas:

Iegūto rezultātu aizstājam ar sākotnējo racionālo izteiksmi: .

Esam nonākuši pie algebrisko daļu atņemšanas ar dažādi saucēji:

Tātad, veicot darbības ar racionālām daļām, kas veido sākotnējo racionālo izteiksmi, mēs to uzrādījām kā racionālu daļu.

Atbilde:

.

Lai konsolidētu materiālu, mēs analizēsim cita piemēra risinājumu.

Piemērs.

Izsakiet racionālu izteiksmi kā racionālu daļu.

Jebkurš daļēja izteiksme(48. punkts) var rakstīt kā , kur P un Q ir racionālas izteiksmes, un Q obligāti ir mainīgie. Šādu daļu sauc par racionālo daļu.

Racionālo daļskaitļu piemēri:

Daļas galveno īpašību izsaka identitāte, kas ir spēkā šeit esošajos apstākļos - vesela racionāla izteiksme. Tas nozīmē, ka racionālās daļas skaitītāju un saucēju var reizināt vai dalīt ar to pašu skaitli, kas nav nulle, monomālu vai polinomu.

Piemēram, daļskaitļa īpašību var izmantot, lai mainītu daļskaitļa dalībnieku zīmes. Ja daļskaitļa skaitītāju un saucēju reizina ar -1, iegūstam Līdz ar to daļas vērtība nemainīsies, ja vienlaikus tiek mainītas skaitītāja un saucēja zīmes. Ja maināt tikai skaitītāja vai tikai saucēja zīmi, tad daļskaitlis mainīs savu zīmi:

Piemēram,

60. Racionālo daļu samazināšana.

Daļas samazināšana nozīmē dalītājas skaitītāju un saucēju ar kopīgu koeficientu. Šāda samazinājuma iespēja ir saistīta ar frakcijas galveno īpašību.

Lai samazinātu racionālo daļskaitli, skaitītājs un saucējs ir jāfaktorizē. Ja izrādās, ka skaitītājam un saucējam ir kopīgi faktori, tad daļu var samazināt. Ja nav kopīgu faktoru, tad frakcijas pārvēršana ar samazināšanu nav iespējama.

Piemērs. Samazināt frakciju

Lēmums. Mums ir

Frakcijas samazināšana tiek veikta ar nosacījumu .

61. Racionālo daļskaitļu salikšana kopsaucējā.

Vairāku racionālu daļu kopsaucējs ir visa racionālā izteiksme, kas tiek dalīta ar katras daļdaļas saucēju (sk. 54. punktu).

Piemēram, polinoms kalpo kā daļu kopsaucējs, jo tas dalās ar un ar un ar un ar polinomu un polinomu un polinomu utt. Parasti tiek pieņemts tāds kopsaucējs, ka jebkurš cits kopsaucējs dalās ar Echosen. Šo vienkāršāko saucēju dažreiz sauc par mazāko kopsaucēju.

Iepriekš minētajā piemērā kopsaucējs ir Mums ir

Šo daļskaitļu samazināšanu līdz kopsaucējam panāk, pirmās daļdaļas skaitītāju un saucēju reizinot ar 2. Otrās daļas skaitītāju un saucēju ar polinomiem attiecīgi sauc par papildu koeficientiem pirmajai un otrajai daļai. Papildu koeficients noteiktai daļai ir vienāds ar kopsaucēja dalījumu ar dotās daļas saucēju.

Lai samazinātu vairākas racionālas daļas līdz kopsaucējam, jums ir nepieciešams:

1) sadala katras daļas saucēju faktoros;

2) veido kopsaucēju, iekļaujot tajā kā faktorus visus paplašināšanas 1. punktā iegūtos faktorus; ja noteikts faktors eksistē vairākos paplašinājumos, tad to ņem ar eksponentu, kas vienāds ar lielāko no pieejamajiem;

3) papildu faktoru atrašana katrai no daļskaitļiem (tam kopsaucēju dala ar daļskaitļa saucēju);

4) reizinot katras daļskaitļa skaitītāju un saucēju ar papildu koeficientu, savelciet daļu līdz kopsaucējam.

Piemērs. Samazināt līdz daļskaitļa kopsaucējam

Lēmums. Faktorizēsim saucējus:

Kopsaucējā jāiekļauj šādi faktori: un skaitļu 12, 18, 24 mazākais kopīgais reizinājums, t.i. Tātad kopsaucējs ir

Papildu reizinātāji: pirmajai daļai otrajai daļai trešo Tātad, mēs iegūstam:

62. Racionālo daļu saskaitīšana un atņemšana.

Divu (un vispār jebkura galīga skaitļa) racionālu daļskaitļu summa ar tie paši saucēji identiski vienāds ar daļskaitli ar tādu pašu saucēju un ar skaitītāju, kas vienāds ar pievienoto daļu skaitītāju summu:

Situācija ir līdzīga, atņemot daļskaitļus ar vienādiem saucējiem:

1. piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi

Lēmums.

Lai pievienotu vai atņemtu racionālas daļskaitļus ar dažādiem saucējiem, vispirms daļskaitļi ir jāsavieno līdz kopsaucējam un pēc tam jāveic darbības ar iegūtajām daļām ar vienādiem saucējiem.

2. piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi

Lēmums. Mums ir

63. Racionālo daļu reizināšana un dalīšana.

Divu (un vispār jebkura ierobežota skaitļa) racionālu daļskaitļu reizinājums ir identiski vienāds ar daļskaitli, kuras skaitītājs ir vienāds ar skaitītāju reizinājumu, un saucējs ir reizināto daļu saucēju reizinājums:

Divu racionālu daļskaitļu dalīšanas koeficients ir identiski vienāds ar daļskaitli, kuras skaitītājs ir vienāds ar pirmās daļdaļas skaitītāja reizinājumu ar otrās daļdaļas saucēju, un saucējs ir pirmās daļas saucēja reizinājums ar otrās daļdaļas skaitītājs:

Formulētie reizināšanas un dalīšanas noteikumi attiecas arī uz reizināšanas vai dalīšanas ar polinomu gadījumu: pietiek uzrakstīt šo polinomu kā daļskaitli ar saucēju 1.

Ņemot vērā iespēju samazināt racionālo daļu, kas iegūta, reizinot vai dalot racionālās daļas, parasti pirms šo darbību veikšanas tiek mēģināts faktorizēt sākotnējo daļu skaitītājus un saucējus.

Piemērs 1. Reiziniet

Lēmums. Mums ir

Izmantojot daļskaitļu reizināšanas likumu, mēs iegūstam:

2. piemērs: veiciet sadalīšanu

Lēmums. Mums ir

Izmantojot dalīšanas noteikumu, mēs iegūstam:

64. Racionālās daļas paaugstināšana līdz veselam skaitlim.

Lai palielinātu racionālu daļskaitli - līdz dabiskajam pakāpēm, jums atsevišķi jāpaaugstina daļskaitļa skaitītājs un saucējs līdz šai pakāpei; pirmā izteiksme ir skaitītājs, bet otrā izteiksme ir rezultāta saucējs:

1. piemērs. Pārvērtiet daļskaitlī pakāpju 3.

Risinājums Risinājums.

Palielinot daļu līdz negatīvam veselam skaitlim, tiek izmantota identitāte, kas ir derīga visām mainīgo vērtībām, kurām .

2. piemērs. Pārvērst izteiksmi par daļu

65. Racionālu izteiksmju transformācija.

Jebkuras racionālas izteiksmes pārveidošana ir saistīta ar racionālo daļskaitļu saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu un dalīšanu, kā arī daļskaitļa palielināšanu līdz dabiskajam spēkam. Jebkuru racionālu izteiksmi var pārvērst daļskaitlī, kuras skaitītājs un saucējs ir veselas racionālas izteiksmes; tas parasti ir mērķis identiskas pārvērtības racionālas izpausmes.

Piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi

66. Vienkāršākie aritmētisko sakņu (radikāļu) pārveidojumi.

Pārvēršot aritmētiskās korijas, tiek izmantotas to īpašības (sk. 35. punktu).

Apsveriet dažus piemērus par rekvizītu izmantošanu aritmētiskās saknes vienkāršākajām radikāļu pārvērtībām. Šajā gadījumā tiks uzskatīts, ka visiem mainīgajiem ir tikai nenegatīvas vērtības.

Piemērs 1. Izvelciet produkta sakni

Lēmums. Piemērojot īpašību 1°, mēs iegūstam:

2. piemērs. Izņemiet koeficientu zem saknes zīmes

Lēmums.

Šāda transformācija tiek saukta par faktorināciju no zem saknes zīmes. Transformācijas mērķis ir vienkāršot radikālo izteiksmi.

3. piemērs. Vienkāršojiet.

Lēmums. Atbilstoši īpašībai 3°, mēs parasti cenšamies vienkāršot radikālo izteiksmi, kurai viņi izņem reizinātājus aiz korija zīmes. Mums ir

4. piemērs. Vienkāršojiet

Lēmums. Mēs pārveidojam izteiksmi, ieviešot faktoru zem saknes zīmes: Ar īpašību 4° mums ir

5. piemērs. Vienkāršojiet

Lēmums. Pēc īpašības 5° mums ir tiesības sadalīt saknes eksponentu un saknes izteiksmes eksponentu vienā dabiskais skaitlis. Ja aplūkojamajā piemērā norādītos rādītājus sadalām ar 3, tad iegūstam .

6. piemērs. Vienkāršojiet izteiksmes:

Risinājums, a) Ar īpašību 1° iegūstam, ka vienas pakāpes sakņu reizināšanai pietiek ar sakņu izteiksmes reizināšanu un iegūtā rezultāta izņemšanu vienādas pakāpes sakni. nozīmē,

b) Vispirms mums jāsamazina radikāļi līdz vienam indeksam. Saskaņā ar īpašību 5° mēs varam reizināt saknes eksponentu ar to pašu naturālo skaitli. Tāpēc Tālāk, mums tagad ir rezultāts, kas iegūts, dalot saknes rādītājus un radikālas izteiksmes pakāpi ar 3, mēs iegūstam .