Gadījuma lieluma izkliede. Kā sastādīt gadījuma lieluma piemēru sadalījuma likumu Atrodi dispersiju atbilstoši sadalījuma likumam

Kā zināms, izlases lielums tiek saukts par mainīgo, kas var iegūt noteiktas vērtības atkarībā no gadījuma. Nejaušie mainīgie tiek apzīmēti ar latīņu alfabēta lielajiem burtiem (X, Y, Z), un to vērtības - ar atbilstošajiem mazajiem burtiem (x, y, z). Nejaušie mainīgie tiek sadalīti nepārtrauktos (diskrētos) un nepārtrauktos.

Diskrēts nejaušības lielums To sauc par nejaušu mainīgo lielumu, kas ņem tikai ierobežotu vai bezgalīgu (skaitāmu) vērtību kopu ar noteiktām varbūtībām, kas nav nulles.

Diskrēta gadījuma lieluma sadalījuma likums ir funkcija, kas savieno nejauša lieluma vērtības ar tām atbilstošajām varbūtībām. Izplatīšanas likumu var precizēt vienā no šiem veidiem.

1 . Sadales likumu var norādīt tabulā:

kur λ>0, k = 0, 1, 2, … .

iekšā) caur sadalījuma funkcija F(x) , kas katrai vērtībai x nosaka varbūtību, ka gadījuma lielums X pieņem vērtību, kas mazāka par x, t.i. F(x) = P(X< x).

Funkcijas F(x) īpašības

3 . Izplatīšanas likumu var iestatīt grafiski – sadalījuma daudzstūris (daudzstūris) (skat. 3. uzdevumu).

Ņemiet vērā, ka, lai atrisinātu dažas problēmas, nav nepieciešams zināt sadales likumu. Dažos gadījumos pietiek zināt vienu vai vairākus skaitļus, kas atspoguļo sadales likuma svarīgākās iezīmes. Tas var būt skaitlis, kam ir nejauša lieluma "vidējās vērtības" nozīme, vai skaitlis, kas parāda nejauša lieluma vidējo novirzes lielumu no tā vidējās vērtības. Šāda veida skaitļus sauc par nejauša lieluma skaitliskiem raksturlielumiem.

Diskrēta gadījuma lieluma skaitliskās pamatraksturības :

• Matemātiskās cerības diskrēta gadījuma lieluma (vidējā vērtība). M(X)=Σ x i p i.
  Binomiālajam sadalījumam M(X)=np, Puasona sadalījumam M(X)=λ
• Izkliede diskrētais gadījuma mainīgais D(X)=M2 vai D(X) = M(X 2) – 2. Atšķirību X–M(X) sauc par nejauša lieluma novirzi no tā matemātiskās cerības.
  Binomiālajam sadalījumam D(X)=npq, Puasona sadalījumam D(X)=λ
• Standarta novirze (standarta novirze) σ(X)=√D(X).

Problēmu risināšanas piemēri par tēmu "Diskrētā gadījuma lieluma sadalījuma likums"

1. uzdevums.

Izdotas 1000 loterijas biļetes: 5 no tām laimē 500 rubļus, 10 - 100 rubļus, 20 - 50 rubļus, 50 - 10 rubļus. Nosakiet nejaušā lieluma X varbūtības sadalījuma likumu - laimests uz vienu biļeti.

Lēmums. Atkarībā no problēmas stāvokļa ir iespējamas šādas nejaušā lieluma X vērtības: 0, 10, 50, 100 un 500.

Biļešu skaits bez laimesta ir 1000 - (5+10+20+50) = 915, tad P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Līdzīgi mēs atrodam visas pārējās varbūtības: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X) =500) = 5/1000=0,005. Mēs piedāvājam iegūto likumu tabulas veidā:

Atrodiet X matemātisko paredzamo vērtību: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

3. uzdevums.

Ierīce sastāv no trim neatkarīgi strādājošiem elementiem. Katra elementa atteices varbūtība vienā eksperimentā ir 0,1. Sastādiet sadalījuma likumu neveiksmīgo elementu skaitam vienā eksperimentā, izveidojiet sadalījuma daudzstūri. Atrodiet sadalījuma funkciju F(x) un uzzīmējiet to. Atrodiet diskrēta gadījuma lieluma matemātisko cerību, dispersiju un standartnovirzi.

Lēmums. 1. Diskrētajam gadījuma mainīgajam X= (neizdevušos elementu skaits vienā eksperimentā) ir šādas iespējamās vērtības: x 1 =0 (neviens no ierīces elementiem neizdevās), x 2 =1 (viens elements neizdevās), x 3 =2 ( divi elementi neizdevās ) un x 4 \u003d 3 (trīs elementi neizdevās).

Elementu atteices ir neatkarīgas viena no otras, katra elementa atteices varbūtības ir vienādas viena ar otru, tāpēc ir piemērojams Bernulli formula . Ņemot vērā, ka pēc nosacījuma n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, mēs nosakām vērtību varbūtības:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 = 0,001;
Pārbaudiet: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Tādējādi vēlamajam binominālā sadalījuma likumam X ir šāda forma:

Uz abscisu ass mēs attēlojam iespējamās vērtības x i, bet uz ordinātu ass - atbilstošās varbūtības р i . Konstruēsim punktus M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Savienojot šos punktus ar līniju segmentiem, mēs iegūstam vēlamo sadalījuma daudzstūri.

3. Atrodiet sadalījuma funkciju F(x) = P(X

Ja x ≤ 0, mums ir F(x) = P(X<0) = 0;
par 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
par 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
par 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
ja x > 3 tas būs F(x) = 1, jo notikums ir skaidrs.

Funkcijas F(x) grafiks

4. Binomiālajam sadalījumam X:
- matemātiskā cerība М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersija D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standartnovirze σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Problēmu risināšanas piemēri par tēmu "Nejaušie mainīgie".

Uzdevums 1 . Izlozē ir izdotas 100 biļetes. Izspēlēta viena 50 USD uzvara. un desmit uzvaras pa 10 USD katram. Atrodiet vērtības X sadalījuma likumu - iespējamā ieguvuma izmaksas.

Lēmums. Iespējamās X vērtības: x 1 = 0; x 2 = 10 un x 3 = 50. Tā kā “tukšas” biļetes ir 89, tad p 1 = 0,89, laimesta iespējamība ir 10 c.u. (10 biļetes) – lpp 2 = 0,10 un par uzvaru 50 c.u. – lpp 3 = 0,01. Tādējādi:

	0,89	0,10	0,01

Viegli vadāms: .

Uzdevums 2. Varbūtība, ka pircējs ir iepriekš iepazinies ar preces sludinājumu, ir 0,6 (p = 0,6). Reklāmas selektīvā kvalitātes kontrole tiek veikta, aptaujājot pircējus pirms pirmā, kurš sludinājumu iepriekš ir izpētījis. Izveidojiet intervēto pircēju skaita sadalījuma sēriju.

Lēmums. Atbilstoši uzdevuma nosacījumam p = 0,6. No: q=1 -p = 0,4. Aizstājot šīs vērtības, mēs iegūstam: un izveidojiet sadales sēriju:

pi		0,24

Uzdevums 3. Dators sastāv no trim neatkarīgi strādājošiem elementiem: sistēmas bloka, monitora un tastatūras. Ar vienu strauju sprieguma pieaugumu katra elementa atteices varbūtība ir 0,1. Pamatojoties uz Bernulli sadalījumu, izveidojiet sadales likumu bojāto elementu skaitam tīkla jaudas pārsprieguma laikā.

Lēmums. Apsveriet Bernulli izplatība(vai binomiāls): varbūtība, ka in n testos, notikums A parādīsies precīzi k vienreiz: , vai:

	q n					lpp n

AT atgriezīsimies pie uzdevuma.

Iespējamās X vērtības (atteices skaits):

x 0 =0 - neviens no elementiem neizdevās;

x 1 =1 - viena elementa atteice;

x 2 =2 - divu elementu atteice;

x 3 =3 - visu elementu atteice.

Tā kā pēc nosacījuma p = 0,1, tad q = 1 – p = 0,9. Izmantojot Bernulli formulu, mēs iegūstam

, ,

, .

Kontrole:.

Tāpēc vēlamais izplatīšanas likums:

	0,729	0,243	0,027	0,001

4. uzdevums. Izgatavoti 5000 patronu. Varbūtība, ka viena kasetne ir bojāta . Kāda ir iespējamība, ka visā partijā būs tieši 3 bojātas kasetnes?

Lēmums. Piemērojams Poisson sadalījums: šo sadalījumu izmanto, lai noteiktu varbūtību, ka, ņemot vērā ļoti lielu

izmēģinājumu skaits (masu izmēģinājumi), kuros katrā notikuma A varbūtība ir ļoti maza, notikums A notiks k reizes: , kur.

Šeit n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Mēs atrodam , tad vēlamo varbūtību: .

5. uzdevums. Šaujot pirms pirmā sitiena ar varbūtību trāpīt p = 0,6 sitienam, jums jāatrod iespējamība, ka trāpījums notiks trešajā šāvienā.

Lēmums. Pielietosim ģeometrisko sadalījumu: veiks neatkarīgus izmēģinājumus, kuros katrā notikumam A ir iestāšanās varbūtība p (un nenotikšanās q = 1 - p). Izmēģinājumi beidzas, tiklīdz notiek notikums A.

Šādos apstākļos varbūtību, ka notikums A notiks k-tajā testā, nosaka pēc formulas: . Šeit p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Tāpēc .

6. uzdevums. Dots gadījuma lieluma X sadalījuma likums:

Atrodiet matemātisko cerību.

Lēmums. .

Ņemiet vērā, ka matemātiskās cerības varbūtiskā nozīme ir nejauša lieluma vidējā vērtība.

7. uzdevums. Atrodiet nejauša lieluma X dispersiju ar šādu sadalījuma likumu:

Lēmums. Šeit .

X kvadrāta sadalījuma likums 2 :

X 2

Nepieciešamā dispersija: .

Izkliede raksturo nejauša lieluma novirzes (izkliedes) pakāpi no tā matemātiskās cerības.

8. uzdevums. Ļaujiet nejaušo lielumu dot sadalījumā:

			10 m

Atrodiet tā skaitliskos raksturlielumus.

Risinājums: m, m 2 ,

M 2 , m.

Par nejaušu lielumu X var teikt vai nu - tā matemātiskā cerība ir 6,4 m ar dispersiju 13,04 m 2 , vai - tā matemātiskā cerība ir 6,4 m ar novirzi m. Otrais formulējums ir acīmredzami skaidrāks.

Uzdevums 9. Izlases vērtība X ko nosaka sadales funkcija:
.

Atrodiet varbūtību, ka testa rezultātā vērtība X iegūs vērtību, kas ietverta intervālā .

Lēmums. Varbūtība, ka X ņems vērtību no dotā intervāla, ir vienāda ar integrālfunkcijas pieaugumu šajā intervālā, t.i. . Mūsu gadījumā un tādēļ

.

Uzdevums 10. Diskrēts nejaušības lielums X ko nosaka izplatīšanas likums:

Atrodiet izplatīšanas funkciju F(x ) un izveidojiet tā grafiku.

Lēmums. Kopš sadales funkcijas

priekš , tad

pie ;

pie ;

pie ;

pie ;

Attiecīgā diagramma:

11. uzdevums. Nepārtraukts gadījuma mainīgais X ko nosaka diferenciālā sadalījuma funkcija: .

Atrodiet sitiena varbūtību X uz intervālu

Lēmums. Ņemiet vērā, ka šis ir īpašs eksponenciālā sadalījuma likuma gadījums.

Izmantosim formulu: .

Uzdevums 12. Atrodiet diskrēta gadījuma lieluma X skaitliskos raksturlielumus, ko nosaka sadalījuma likums:

	–5
	X 2 : x2 . , kur ir Laplasa funkcija. Šīs funkcijas vērtības tiek atrastas, izmantojot tabulu. Mūsu gadījumā:. Saskaņā ar tabulu mēs atrodam:, tāpēc:

Pakalpojuma uzdevums. Tiešsaistes kalkulators tiek izmantots, lai izveidotu tabulu par nejaušā lieluma X sadalījumu - veikto eksperimentu skaitu un aprēķinātu visus sērijas raksturlielumus: matemātisko cerību, dispersiju un standarta novirzi. Ziņojums ar lēmumu tiek sastādīts Word formātā. 1. piemērs. Tiek izmestas trīs monētas. Ģerboņa izkrišanas iespējamība vienā rullī ir 0,5. Izveidojiet sadalījuma likumu nejaušam lielumam X - kritušo ģerboņu skaitam.
Lēmums.
Varbūtība, ka neviens ģerbonis neizkrita: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Varbūtība, ka izkrita trīs ģerboņi: P(3) = 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125

Gadījuma lieluma X sadalījuma likums:

X	0	1	2	3
P	0,125	0,375	0,375	0,125

Pārbaudiet: P = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1

2. piemērs. Varbūtība trāpīt mērķī vienam šāvējam ar vienu šāvienu pirmajam šāvējam ir 0,8, otrajam šāvējam - 0,85. Šāvēji izdarīja vienu šāvienu mērķī. Pieņemot trāpījumu mērķī atsevišķiem šāvējiem kā neatkarīgus notikumus, atrodiet notikuma A varbūtību - tieši viens trāpījums mērķī.
Lēmums.
Apsveriet notikumu A — viens trāpījums mērķī. Iespējamie šī notikuma gadījumi ir šādi:

1. Pirmais šāvēja sitiens, otrais šāvējs netrāpīja: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
2. Pirmais šāvējs netrāpīja, otrais šāvējs trāpīja mērķī: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
3. Pirmais un otrais šāvējs neatkarīgi trāpīja mērķī: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68

Tad notikuma A varbūtība - tieši viens trāpījums mērķī, būs vienāda ar: P(A) = 0,12+0,17+0,68 = 0,97

Definīcija.Izkliede (izkliede) Diskrētu gadījuma lielumu sauc par nejaušā lieluma kvadrātiskās novirzes matemātisko cerību no tā matemātiskās cerības:

Piemērs. Iepriekš minētajā piemērā mēs atrodam

Gadījuma lieluma matemātiskā cerība ir:

Iespējamās novirzes kvadrātā vērtības:

; ;

Izkliede ir:

Tomēr praksē šī dispersijas aprēķināšanas metode ir neērta, jo noved pie apgrūtinošiem aprēķiniem lielam skaitam nejauša lieluma vērtību. Tāpēc tiek izmantota cita metode.

Distances aprēķins

Teorēma. Izkliede ir vienāda ar starpību starp nejaušā lieluma X kvadrāta matemātisko cerību un tā matemātiskās cerības kvadrātu:

Pierādījums.Ņemot vērā to, ka matemātiskā gaida un matemātiskās gaidas kvadrāts ir nemainīgas vērtības, varam rakstīt:

Piemērosim šo formulu iepriekšminētajam piemēram:

X
x2
lpp	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Izkliedes īpašības

1) Konstantas vērtības izkliede ir nulle:

2) Pastāvīgo koeficientu var izņemt no dispersijas zīmes, sadalot to kvadrātā:

.

3) Divu neatkarīgu gadījuma lielumu summas dispersija ir vienāda ar šo mainīgo dispersiju summu:

4) Divu neatkarīgu gadījuma lielumu starpības dispersija ir vienāda ar šo mainīgo dispersiju summu:

Šīs vienlīdzības spēkā esamība izriet no 2. īpašības.

Teorēma. Notikuma A iestāšanās gadījumu skaita dispersija n neatkarīgos izmēģinājumos, kuros katrā notikuma iestāšanās varbūtība ir nemainīga, ir vienāda ar mēģinājumu skaita reizinājumu ar iestāšanās varbūtību un notikuma varbūtību. nenotiek katrā izmēģinājumā:

Piemērs. Rūpnīcā tiek ražoti 96% pirmās šķiras produkcijas un 4% otrās šķiras produkcijas. 1000 preces ir izvēlētas nejauši. Ļaujiet būt X- pirmās šķiras produktu skaits šajā paraugā. Atrodiet nejauša lieluma sadalījuma likumu, matemātisko gaidu un dispersiju.

Tādējādi sadales likumu var uzskatīt par binomiālu.

Piemērs. Atrodiet diskrēta gadījuma lieluma dispersiju X– notikuma reižu skaits BET divos neatkarīgos izmēģinājumos, ja šī notikuma iestāšanās iespējamības katrā izmēģinājumā ir vienādas un ir zināms, ka

Jo nejauša vērtība X sadalīts pēc binoma likuma, tad

Piemērs. Neatkarīgi testi tiek veikti ar tādu pašu notikuma iestāšanās varbūtību BET katrā testā. Atrodiet notikuma iespējamību BET ja notikuma atgadījumu skaita dispersija trīs neatkarīgos izmēģinājumos ir 0,63.

Saskaņā ar binoma likuma dispersijas formulu mēs iegūstam:

;

Piemērs. Tiek testēta ierīce, kas sastāv no četrām neatkarīgi strādājošām ierīcēm. Katras ierīces atteices varbūtība ir attiecīgi vienāda ; ; . Atrodiet bojāto ierīču skaita matemātisko cerību un dispersiju.

Ņemot par nejaušu mainīgo neveiksmīgo ierīču skaitu, mēs redzam, ka šis nejaušais mainīgais var iegūt vērtības 0, 1, 2, 3 vai 4.

Lai sastādītu šī gadījuma lieluma sadalījuma likumu, ir jānosaka atbilstošās varbūtības. Pieņemsim.

1) Neviena ierīce neizdevās:

2) Viena no ierīcēm neizdevās.