Sinusu un kosinusu diagramma. Tangentoīda un kotangentoīda īpašības

Trigonometrija ir matemātikas nozare, kas pēta trigonometriskās funkcijas un to izmantošanu ģeometrijā. Trigonometrijas attīstība sākās senās Grieķijas dienās. Viduslaikos Tuvo Austrumu un Indijas zinātnieki sniedza nozīmīgu ieguldījumu šīs zinātnes attīstībā.

Šis raksts ir veltīts trigonometrijas pamatjēdzieniem un definīcijām. Tajā aplūkotas galvenās definīcijas trigonometriskās funkcijas: sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss. To nozīme ģeometrijas kontekstā ir izskaidrota un ilustrēta.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Sākotnēji trigonometrisko funkciju definīcijas, kuru arguments ir leņķis, tika izteiktas ar taisnleņķa trijstūra malu attiecību.

Trigonometrisko funkciju definīcijas

Leņķa sinuss (sin α) ir šim leņķim pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu.

Leņķa kosinuss (cos α) ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu.

Leņķa tangenss (t g α) ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo.

Leņķa kotangenss (c t g α) ir blakus esošās kājas attiecība pret pretējo.

Šīs definīcijas ir dotas taisnleņķa trijstūra asam leņķim!

Sniegsim ilustrāciju.

Trijstūrī ABC ar taisnleņķi C leņķa A sinuss ir vienāds ar kājas BC attiecību pret hipotenūzu AB.

Sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijas ļauj aprēķināt šo funkciju vērtības no zināmajiem trijstūra malu garumiem.

Svarīgi atcerēties!

Sinusu un kosinusu vērtību diapazons: no -1 līdz 1. Citiem vārdiem sakot, sinusa un kosinusa vērtības ir no -1 līdz 1. Tangensu un kotangensu vērtību diapazons ir visa skaitļa līnija, tas ir, šīs funkcijām var būt jebkura vērtība.

Iepriekš sniegtās definīcijas attiecas uz asajiem leņķiem. Trigonometrijā tiek ieviests griešanās leņķa jēdziens, kura vērtību atšķirībā no akūtā leņķa neierobežo kadri no 0 līdz 90 grādiem Rotācijas leņķi grādos vai radiānos izsaka jebkurš reāls skaitlis no - ∞ līdz + ∞.

Šajā kontekstā var definēt patvaļīga lieluma leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. Iedomājieties vienības apli, kura centrs ir Dekarta koordinātu sistēmas sākumpunkts.

Sākumpunkts A ar koordinātām (1 , 0) griežas ap vienības apļa centru par kādu leņķi α un iet uz punktu A 1 . Definīcija tiek dota, izmantojot punkta A 1 (x, y) koordinātas.

Rotācijas leņķa sinuss (sin).

Rotācijas leņķa α sinuss ir punkta A 1 (x, y) ordināta. sinα = y

Rotācijas leņķa kosinuss (cos).

Rotācijas leņķa α kosinuss ir punkta A 1 (x, y) abscisa. cos α = x

Rotācijas leņķa pieskare (tg).

Rotācijas leņķa pieskare α ir punkta A 1 (x, y) ordinātu attiecība pret tā abscisu. t g α = y x

Rotācijas leņķa kotangente (ctg).

Rotācijas leņķa α kotangenss ir punkta A 1 (x, y) abscisu attiecība pret tā ordinātām. c t g α = x y

Sinuss un kosinuss ir definēti jebkuram griešanās leņķim. Tas ir loģiski, jo punkta abscisu un ordinātu pēc rotācijas var noteikt jebkurā leņķī. Situācija ir atšķirīga ar tangensu un kotangensu. Pieskares nav definēta, ja punkts pēc rotācijas iet uz punktu ar nulles abscisu (0 , 1) un (0 , - 1). Šādos gadījumos pieskares izteiksmei t g α = y x vienkārši nav jēgas, jo tajā ir dalījums ar nulli. Līdzīga situācija ir ar kotangensu. Atšķirība ir tāda, ka kotangenss nav definēts gadījumos, kad punkta ordināta pazūd.

Svarīgi atcerēties!

Sinuss un kosinuss ir definēti jebkuram leņķim α.

Pieskares ir noteiktas visiem leņķiem, izņemot α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Kotangente ir noteikta visiem leņķiem, izņemot α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Pieņemot lēmumu praktiski piemēri nesaki "griešanās leņķa sinuss α". Vārdi "rotācijas leņķis" ir vienkārši izlaisti, kas nozīmē, ka kontekstā jau ir skaidrs, kas ir uz spēles.

Skaitļi

Kā ir ar skaitļa sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa definīciju, nevis griešanās leņķi?

Skaitļa sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss

Skaitļa sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss t tiek izsaukts skaitlis, kas ir attiecīgi vienāds ar sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu in t radiāns.

Piemēram, sinusa 10 π vienāds ar sinusu griešanās leņķis 10 π rad.

Ir vēl viena pieeja skaitļa sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa definīcijai. Apsvērsim to sīkāk.

Jebkurš reālais skaitlis t punktu uz vienības apļa saliek saskaņā ar centru taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmas sākumā. Sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss tiek definēti kā šī punkta koordinātas.

Apļa sākuma punkts ir punkts A ar koordinātām (1 , 0).

pozitīvs skaitlis t

Negatīvs skaitlis t atbilst punktam, uz kuru pārvietosies sākuma punkts, ja tas virzīsies pretēji pulksteņrādītāja virzienam ap apli un šķērsos ceļu t .

Tagad, kad ir izveidota saikne starp skaitli un apļa punktu, mēs pārejam pie sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa definīcijas.

Skaitļa t sinuss (grēks).

Skaitļa sinuss t- skaitlim atbilstošā vienības apļa punkta ordināta t. sin t = y

Kosinuss (cos) no t

Skaitļa kosinuss t- skaitlim atbilstošā vienības apļa punkta abscisa t. cos t = x

Pieskares (tg) no t

Skaitļa tangenss t- skaitlim atbilstošā vienības apļa punkta ordinātu attiecību pret abscisu t. t g t = y x = sin t cos t

Pēdējās definīcijas atbilst šīs sadaļas sākumā sniegtajai definīcijai un nav ar to pretrunā. Punkts uz apļa, kas atbilst skaitlim t, sakrīt ar punktu, uz kuru iet sākuma punkts pēc pagrieziena cauri leņķim t radiāns.

Leņķiskā un skaitliskā argumenta trigonometriskās funkcijas

Katra leņķa α vērtība atbilst noteikta vērtībašī leņķa sinuss un kosinuss. Tāpat kā visi leņķi α, izņemot α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) atbilst noteiktai pieskares vērtībai. Kotangenss, kā minēts iepriekš, ir definēts visiem α, izņemot α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Var teikt, ka sin α , cos α , t g α , c t g α ir leņķa alfa funkcijas jeb leņķa argumenta funkcijas.

Līdzīgi var runāt par sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu kā skaitliskā argumenta funkcijām. Katrs reālais skaitlis t atbilst noteiktai skaitļa sinusa vai kosinusa vērtībai t. Visi skaitļi, izņemot π 2 + π · k , k ∈ Z, atbilst pieskares vērtībai. Kotangenss ir līdzīgi definēts visiem skaitļiem, izņemot π · k , k ∈ Z.

Trigonometrijas pamatfunkcijas

Sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir trigonometriskās pamatfunkcijas.

No konteksta parasti ir skaidrs, ar kuru trigonometriskās funkcijas argumentu (leņķa argumentu vai skaitlisko argumentu) mēs runājam.

Atgriezīsimies pie datiem definīciju pašā sākumā un leņķa alfa, kas atrodas diapazonā no 0 līdz 90 grādiem. Sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa trigonometriskās definīcijas pilnībā saskan ar ģeometriskajām definīcijām, ko dod taisnleņķa trijstūra malu attiecības. Parādīsim to.

Paņemiet vienības apli, kura centrā ir taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēma. Pagriezīsim sākuma punktu A (1, 0) par leņķi līdz 90 grādiem un no iegūtā punkta A 1 (x, y) zīmēsim perpendikulāri x asij. Iegūtajā taisnleņķa trijstūrī leņķis A 1 O H ir vienāds ar griešanās leņķi α, kājas O H garums ir vienāds ar punkta A 1 abscisu (x, y) . Stūrim pretī esošās kājas garums ir vienāds ar punkta A 1 (x, y) ordinātu, un hipotenūzas garums ir vienāds ar vienu, jo tas ir vienības apļa rādiuss.

Saskaņā ar ģeometrijas definīciju leņķa α sinuss ir vienāds ar pretējās kājas attiecību pret hipotenūzu.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Tas nozīmē, ka akūtā leņķa sinusa definīcija taisnleņķa trijstūrī caur malu attiecību ir līdzvērtīga griešanās leņķa α sinusa definīcijai, un alfa atrodas diapazonā no 0 līdz 90 grādiem.

Līdzīgi definīciju atbilstību var parādīt kosinusam, tangensam un kotangensam.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Kur tika izskatīti taisnleņķa trijstūra risināšanas uzdevumi, apsolīju iepazīstināt ar tehniku, kā iegaumēt sinusa un kosinusa definīcijas. Izmantojot to, jūs vienmēr ātri atcerēsities, kura kāja pieder hipotenūzai (blakus vai pretējai). Es nolēmu to neatlikt uz nenoteiktu laiku, nepieciešamo materiālu zemāk, lūdzu, skatiet

Lieta tāda, ka esmu vairākkārt novērojis, kā 10.-11.klases skolēniem ir grūtības atcerēties šīs definīcijas. Viņi ļoti labi atceras, ka kāja attiecas uz hipotenūzu, bet kura- aizmirst un apjucis. Kļūdas cena, kā jūs zināt eksāmenā, ir zaudēts rezultāts.

Informācijai, ko es pasniegšu tieši matemātikai, nav nekāda sakara. Tas ir saistīts ar tēlaino domāšanu un verbāli loģiskās saiknes metodēm. Pareizi, es pats, reiz par visām reizēm atcerējosdefinīcijas dati. Ja jūs joprojām tos aizmirstat, tad ar piedāvāto paņēmienu palīdzību to vienmēr ir viegli atcerēties.

Ļaujiet man atgādināt sinusa un kosinusa definīcijas taisnleņķa trīsstūrī:

Kosinuss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:

Sinuss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu:

Tātad, kādas asociācijas tevī izraisa vārds kosinuss?

Droši vien katram ir savsAtcerieties saiti:

Tādējādi jūsu atmiņā nekavējoties parādīsies izteiksme -

«… PLAŠĀS kājas attiecība pret hipotenūzu».

Problēma ar kosinusa definīciju ir atrisināta.

Ja jums ir jāatceras sinusa definīcija taisnleņķa trijstūrī, tad, atceroties kosinusa definīciju, jūs varat viegli noteikt, ka akūtā leņķa sinuss taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu. Galu galā ir tikai divas kājas, ja blakus esošo kāju “aizņem” kosinuss, tad sinusam paliek tikai pretējā puse.

Kā ar tangensu un kotangensu? Tāda pati apjukums. Skolēni zina, ka tāda ir kāju attiecība, bet problēma ir atcerēties, uz kuru no tiem attiecas - vai pretī blakus esošajam, vai otrādi.

Definīcijas:

Pieskares akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo:

Kotangenss akūts leņķis taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās kājas attiecība pret pretējo:

Kā atcerēties? Ir divi veidi. Viens izmanto arī verbāli loģisku savienojumu, otrs - matemātisko.

MATEMĀTISKĀ METODE

Pastāv šāda definīcija - akūta leņķa pieskare ir leņķa sinusa attiecība pret tā kosinusu:

* Atceroties formulu, jūs vienmēr varat noteikt, ka akūtā leņķa tangenss taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo.

Tāpat.Akūtā leņķa kotangenss ir leņķa kosinusa attiecība pret tā sinusu:

Tātad! Atceroties šīs formulas, jūs vienmēr varat noteikt, ka:

- asa leņķa tangenss taisnleņķa trijstūrī ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo

- asa leņķa kotangenss taisnleņķa trijstūrī ir blakus esošās kājas attiecība pret pretējo.

VERBĀLLOĢISKĀ METODE

Par tangensu. Atcerieties saiti:

Tas ir, ja jums ir jāatceras pieskares definīcija, izmantojot šo loģisko savienojumu, jūs varat viegli atcerēties, kas tas ir

"...pretējās kājas attiecība pret blakus esošo"

Ja runa ir par kotangensu, tad, atceroties pieskares definīciju, jūs varat viegli izteikt kotangensa definīciju -

"... blakus esošās kājas attiecība pret pretējo"

Vietnē ir interesanta pieskares un kotangensa iegaumēšanas tehnika " Matemātiskais tandēms " , Skaties.

METODE UNIVERSĀLĀ

Jūs varat vienkārši sasmalcināt.Bet, kā rāda prakse, pateicoties verbāli-loģiskiem sakariem, cilvēks ilgu laiku atceras informāciju, nevis tikai matemātisko.

Es ceru, ka materiāls jums bija noderīgs.

Ar cieņu Aleksandrs Krutickhs

P.S. Būšu pateicīgs, ja pastāstīsiet par vietni sociālajos tīklos.

Trigonometrija kā zinātne radās Senajos Austrumos. Pirmās trigonometriskās attiecības izstrādāja astronomi, lai izveidotu precīzu kalendāru un orientētos pēc zvaigznēm. Šie aprēķini attiecās uz sfērisko trigonometriju, savukārt skolas kursā tiek pētīta plakana trīsstūra malu un leņķa attiecība.

Trigonometrija ir matemātikas nozare, kas nodarbojas ar trigonometrisko funkciju īpašībām un saistību starp trijstūra malām un leņķiem.

Kultūras un zinātnes uzplaukuma laikā mūsu ēras 1. gadu tūkstotī zināšanas no Senajiem Austrumiem izplatījās uz Grieķiju. Bet galvenie trigonometrijas atklājumi ir vīru nopelni Arābu kalifāts. Jo īpaši Turkmenistānas zinātnieks al-Marazvi ieviesa tādas funkcijas kā tangenss un kotangenss, sastādīja pirmās sinusu, pieskares un kotangenšu vērtību tabulas. Sinusa un kosinusa jēdzienu ieviesa Indijas zinātnieki. Liela uzmanība trigonometrijai veltīta tādu senatnes personību kā Eiklīds, Arhimēds un Eratostens darbos.

Trigonometrijas pamatlielumi

Skaitliskā argumenta trigonometriskās pamatfunkcijas ir sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss. Katram no tiem ir savs grafiks: sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss.

Šo lielumu vērtību aprēķināšanas formulas ir balstītas uz Pitagora teorēmu. Skolēniem tas ir labāk zināms formulējumā: “Pitagora bikses, vienādas visos virzienos”, jo pierādījums ir sniegts vienādsānu taisnstūra trīsstūra piemērā.

Sinuss, kosinuss un citas atkarības nosaka attiecības starp jebkura taisnleņķa trijstūra asajiem leņķiem un malām. Mēs sniedzam formulas šo lielumu aprēķināšanai leņķim A un izsekojam trigonometrisko funkciju attiecības:

Kā redzat, tg un ctg ir apgrieztās funkcijas. Ja kāju a attēlojam kā grēka A un hipotenūzas c reizinājumu, un kāju b kā cos A * c, tad iegūstam šādas pieskares un kotangences formulas:

trigonometriskais aplis

Grafiski minēto daudzumu attiecību var attēlot šādi:

Aplis šajā gadījumā ir viss iespējamās vērtības leņķis α — no 0° līdz 360°. Kā redzams attēlā, katrai funkcijai atkarībā no leņķa ir negatīva vai pozitīva vērtība. Piemēram, grēks α būs ar “+” zīmi, ja α pieder apļa I un II ceturtdaļai, tas ir, tas ir diapazonā no 0 ° līdz 180 °. Ar α no 180° līdz 360° (III un IV ceturtdaļa) sin α var būt tikai negatīva vērtība.

Mēģināsim izveidot trigonometriskās tabulas konkrētiem leņķiem un noskaidrot lielumu nozīmi.

α vērtības, kas vienādas ar 30°, 45°, 60°, 90°, 180° un tā tālāk, sauc par īpašiem gadījumiem. Viņiem tiek aprēķinātas trigonometrisko funkciju vērtības un parādītas īpašu tabulu veidā.

Šie leņķi netika izvēlēti nejauši. Apzīmējums π tabulās attiecas uz radiāniem. Rad ir leņķis, kurā apļveida loka garums atbilst tā rādiusam. Šī vērtība tika ieviesta, lai izveidotu universālu attiecību; aprēķinot radiānos, faktiskajam rādiusa garumam cm nav nozīmes.

Leņķi trigonometrisko funkciju tabulās atbilst radiānu vērtībām:

Tātad, nav grūti uzminēt, ka 2π ir pilns aplis vai 360°.

Trigonometrisko funkciju īpašības: sinuss un kosinuss

Lai aplūkotu un salīdzinātu sinusa un kosinusa, tangensa un kotangenta pamatīpašības, nepieciešams uzzīmēt to funkcijas. To var izdarīt līknes veidā, kas atrodas divdimensiju koordinātu sistēmā.

Apsveriet salīdzināšanas tabula sinusoīda un kosinusa viļņa īpašības:

sinusoidāls	kosinusa vilnis
y = grēks x	y = cos x
ODZ [-1; viens]	ODZ [-1; viens]
sin x = 0, ja x = πk, kur k ϵ Z	cos x = 0, ja x = π/2 + πk, kur k ϵ Z
sin x = 1, ja x = π/2 + 2πk, kur k ϵ Z	cos x = 1, ja x = 2πk, kur k ϵ Z
sin x = - 1, pie x = 3π/2 + 2πk, kur k ϵ Z	cos x = - 1, ja x = π + 2πk, kur k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, t.i., nepāra funkcija	cos (-x) = cos x, t.i., funkcija ir pāra
	funkcija ir periodiska, mazākais periods ir 2π
sin x › 0, ar x pieder I un II ceturtdaļai vai no 0° līdz 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, ar x pieder I un IV ceturtdaļai vai no 270° līdz 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, ar x pieder III un IV ceturtdaļai vai no 180° līdz 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, ar x pieder pie II un III ceturkšņa vai no 90° līdz 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
palielinās intervālā [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	palielinās intervālā [-π + 2πk, 2πk]
samazinās uz intervāliem [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	intervālos samazinās
atvasinājums (sin x)' = cos x	atvasinājums (cos x)’ = - sin x

Noteikt, vai funkcija ir pāra vai nē, ir ļoti vienkārši. Pietiek iedomāties trigonometrisku apli ar trigonometrisko lielumu zīmēm un garīgi “salocīt” grafiku attiecībā pret OX asi. Ja zīmes ir vienādas, funkcija ir pāra, pretējā gadījumā tā ir nepāra.

Radiānu ieviešana un sinusoīda un kosinusa viļņa galveno īpašību uzskaitījums ļauj panākt šādu regularitāti:

Ir ļoti viegli pārbaudīt formulas pareizību. Piemēram, ja x = π/2, sinuss ir vienāds ar 1, tāpat kā kosinuss no x = 0. Pārbaudi var veikt, aplūkojot tabulas vai izsekojot funkciju līknes dotajām vērtībām.

Tangentoīda un kotangentoīda īpašības

Pieskares un kotangentes funkciju grafiki būtiski atšķiras no sinusoīda un kosinusa viļņa. Vērtības tg un ctg ir apgrieztas viena otrai.

Y = tgx.
Pieskarei ir tendence uz y vērtībām pie x = π/2 + πk, bet nekad tās nesasniedz.
Tangentoīda mazākais pozitīvais periods ir π.
Tg (- x) \u003d - tg x, t.i., funkcija ir nepāra.
Tg x = 0, ja x = πk.
Funkcija palielinās.
Tg x › 0, ja x ϵ (πk, π/2 + πk).
Tg x ‹ 0, ja x ϵ (— π/2 + πk, πk).
Atvasinājums (tg x)' = 1/cos 2⁡x .

Apsveriet tālāk tekstā redzamo kotangentoīda grafisko attēlojumu.

Kotangentoīda galvenās īpašības:

Y = ctgx.
Atšķirībā no sinusa un kosinusa funkcijām tangentoīdā Y var iegūt visu reālo skaitļu kopas vērtības.
Kotangentoīds tiecas uz y vērtībām pie x = πk, bet nekad tās nesasniedz.
Kotangentoīda mazākais pozitīvais periods ir π.
Ctg (- x) \u003d - ctg x, t.i., funkcija ir nepāra.
Ctg x = 0, ja x = π/2 + πk.
Funkcija samazinās.
Ctg x › 0, ja x ϵ (πk, π/2 + πk).
Ctg x ‹ 0, ja x ϵ (π/2 + πk, πk).
Atvasinājums (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix

Ir norādītas attiecības starp galvenajām trigonometriskajām funkcijām - sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. trigonometriskās formulas. Un tā kā starp trigonometriskajām funkcijām ir diezgan daudz savienojumu, tas arī izskaidro trigonometrisko formulu pārpilnību. Dažas formulas savieno viena un tā paša leņķa trigonometriskās funkcijas, citas - vairāku leņķu funkcijas, citas - ļauj pazemināt pakāpi, ceturtās - visas funkcijas izteikt caur pusleņķa tangensu utt.

Šajā rakstā mēs secībā uzskaitām visas pamata trigonometriskās formulas, ar kurām pietiek, lai atrisinātu lielāko daļu trigonometrijas problēmu. Lai atvieglotu iegaumēšanu un lietošanu, mēs tos sagrupēsim atbilstoši to mērķim un ievadīsim tabulās.

Lapas navigācija.

Pamata trigonometriskās identitātes

Galvenā trigonometriskās identitātes iestatiet attiecības starp viena leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. Tie izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa definīcijas, kā arī vienības apļa jēdziena. Tie ļauj izteikt vienu trigonometrisko funkciju, izmantojot jebkuru citu.

Detalizētu šo trigonometrijas formulu aprakstu, to atvasināšanu un pielietojuma piemērus skatiet rakstā.

Lietās formulas

Lietās formulas izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašībām, tas ir, tie atspoguļo trigonometrisko funkciju periodiskuma īpašību, simetrijas īpašību, kā arī nobīdes īpašību par noteiktu leņķi. Šīs trigonometriskās formulas ļauj pāriet no darba ar patvaļīgiem leņķiem uz darbu ar leņķiem no nulles līdz 90 grādiem.

Šo formulu pamatojums, mnemoniskais likums to iegaumēšanai un to pielietojuma piemērus var izpētīt rakstā.

Papildināšanas formulas

Trigonometriskās saskaitīšanas formulas parādīt, kā divu leņķu summas vai starpības trigonometriskās funkcijas tiek izteiktas šo leņķu trigonometriskajās funkcijām. Šīs formulas kalpo par pamatu šādu trigonometrisko formulu atvasināšanai.

Formulas dubultā, trīskāršā utt. leņķis

Formulas dubultā, trīskāršā utt. leņķis (tās sauc arī par vairāku leņķu formulām) parāda, kā trigonometriskās funkcijas darbojas dubultā, trīskāršā utt. leņķi () ir izteikti kā viena leņķa trigonometriskās funkcijas. To atvasināšana balstās uz saskaitīšanas formulām.

Detalizētāka informācija ir apkopota rakstu formulās par dubulto, trīskāršo utt. leņķis.

Pusleņķa formulas

Pusleņķa formulas parādīt, kā pusleņķa trigonometriskās funkcijas tiek izteiktas ar vesela skaitļa leņķa kosinusu. Šīs trigonometriskās formulas izriet no dubultā leņķa formulām.

To secinājumi un pielietojuma piemēri ir atrodami rakstā.

Samazināšanas formulas

Trigonometriskās formulas samazinājuma grādiem ir paredzēti, lai atvieglotu pāreju no trigonometrisko funkciju dabiskajiem pakāpēm uz sinusiem un kosinusiem pirmajā pakāpē, bet vairākos leņķos. Citiem vārdiem sakot, tie ļauj samazināt trigonometrisko funkciju pilnvaras uz pirmo.

Formulas trigonometrisko funkciju summai un starpībai

galvenais galamērķis trigonometrisko funkciju summas un starpības formulas sastāv no pārejas uz funkciju reizinājumu, kas ir ļoti noderīgi, vienkāršojot trigonometriskās izteiksmes. Šīs formulas tiek plaši izmantotas arī risināšanā trigonometriskie vienādojumi, jo tie ļauj faktorēt sinusu un kosinusu summu un starpību.

Formulas sinusu, kosinusu un sinusa pēc kosinusa reizinājuma

Pāreju no trigonometrisko funkciju reizinājuma uz summu vai starpību veic, izmantojot formulas sinusu, kosinusu un sinusa reizinājumam ar kosinusu.

Bašmakovs M.I. Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 šūnām. vid. skola - 3. izdevums - M.: Apgaismība, 1993. - 351 lpp.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 šūnām. vispārējā izglītība institūcijas / A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju. P. Dudņicins un citi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Apgaismība, 2004.- 384 lpp.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem): Proc. pabalsts.- M.; Augstāks skola, 1984.-351 lpp., ill.

Autortiesības pieder gudriem studentiem

Visas tiesības aizsargātas.
Aizsargā autortiesību likums. Neviena daļa no www.website, ieskaitot iekšējie materiāli Un ārējais dizains nedrīkst reproducēt vai izmantot bez autortiesību īpašnieka iepriekšējas rakstiskas atļaujas.

1. Trigonometriskās funkcijas ir elementāras funkcijas, kuru arguments ir injekcija. Trigonometriskās funkcijas apraksta attiecības starp malām un asajiem leņķiem taisnleņķa trijstūrī. Trigonometrisko funkciju pielietošanas jomas ir ārkārtīgi dažādas. Tā, piemēram, jebkurus periodiskus procesus var attēlot kā trigonometrisko funkciju summu (Furjē rinda). Šīs funkcijas bieži parādās, risinot diferenciālvienādojumus un funkcionālos vienādojumus.

2. Trigonometriskās funkcijas ietver šādas 6 funkcijas: sinusa, kosinuss, pieskare,kotangenss, sekants Un kosekants. Katrai no šīm funkcijām ir apgriezta trigonometriskā funkcija.

3. Ģeometriskā definīcija trigonometriskās funkcijas ir ērti ieviestas, izmantojot vienības aplis. Zemāk redzamajā attēlā parādīts aplis ar rādiusu r=1. Uz apļa atzīmēts punkts M(x,y). Leņķis starp rādiusa vektoru OM un Ox ass pozitīvo virzienu ir α.

4. sinusa leņķis α ir punkta M(x,y) ordinātu y attiecība pret rādiusu r:
sinα=y/r.
Tā kā r=1, tad sinuss ir vienāds ar punkta M(x,y) ordinātu.

5. kosinuss leņķis α ir punkta M(x,y) abscisu x attiecība pret rādiusu r:
cosα=x/r

6. pieskare leņķis α ir punkta M(x,y) ordinātu y attiecība pret tā abscisu x:
tanα=y/x,x≠0

7. Kotangenss leņķis α ir punkta M(x,y) abscisu x attiecība pret tā ordinātu y:
cotα=x/y,y≠0

8. Sekants leņķis α ir punkta M(x,y) rādiusa r attiecība pret abscisu x:
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Kosekants leņķis α ir rādiusa r attiecība pret punkta M(x,y) ordinātu y:
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. Projekcijas x, y mērvienības riņķī punkti M(x, y) un rādiuss r veido taisnleņķa trīsstūri, kurā x, y ir kājas, bet r ir hipotenūza. Tāpēc iepriekš minētās trigonometrisko funkciju definīcijas tiek piemērotas taisnleņķa trīsstūris ir formulēti šādi:
sinusa leņķis α ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu.
kosinuss leņķis α ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu.
pieskare leņķi α sauc par pretējo kāju blakus esošajai.
Kotangenss leņķi α sauc par blakus esošo kāju pretējai.
Sekants leņķis α ir hipotenūzas attiecība pret blakus esošo kāju.
Kosekants leņķis α ir hipotenūzas attiecība pret pretējo kāju.

11. sinusa funkcijas grafiks
y=sinx, domēns: x∈R, domēns: −1≤sinx≤1

12. Kosinusa funkcijas grafiks
y=cosx, domēns: x∈R, diapazons: −1≤cosx≤1

13. pieskares funkcijas grafiks
y=tanx, domēns: x∈R,x≠(2k+1)π/2, domēns: −∞