”, tas ir, pirmās pakāpes vienādojumi. Šajā nodarbībā mēs izpētīsim kas ir kvadrātvienādojums un kā to atrisināt.

Kas ir kvadrātvienādojums

Svarīgs!

Vienādojuma pakāpi nosaka nezināmā augstākā pakāpe.

Ja maksimālā pakāpe, līdz kurai nezināmais ir, ir “2”, tad jums ir kvadrātvienādojums.

Kvadrātvienādojumu piemēri

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Svarīgs! Kvadrātvienādojuma vispārējā forma izskatās šādi:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" un "c" - dotie skaitļi.

• "a" - pirmais jeb vecākais koeficients;
• "b" - otrais koeficients;
• "c" ir bezmaksas dalībnieks.

Lai atrastu "a", "b" un "c", jūsu vienādojums ir jāsalīdzina ar kvadrātvienādojuma vispārējo formu "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Praktizēsim koeficientu "a", "b" un "c" noteikšanu kvadrātvienādojumos.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Vienādojums	Likmes
a=5 b = –14 c = 17
a = –7 b = –13 c = 8

1

3

= 0

• a = –1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2–8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = –8

Kā atrisināt kvadrātvienādojumus

Atšķirībā no lineārajiem vienādojumiem risināšanai kvadrātvienādojumiīpašs formula sakņu atrašanai.

Atcerieties!

Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu, jums ir nepieciešams:

• novietojiet kvadrātvienādojumu vispārējā formā "ax 2 + bx + c \u003d 0". Tas ir, tikai "0" jāpaliek labajā pusē;
• saknēm izmantojiet formulu:

Izmantosim piemēru, lai noskaidrotu, kā pielietot formulu kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai. Atrisināsim kvadrātvienādojumu.

X 2 - 3x - 4 = 0

Vienādojums "x 2 - 3x - 4 = 0" jau ir reducēts uz vispārīgo formu "ax 2 + bx + c = 0", un tam nav nepieciešami papildu vienkāršojumi. Lai to atrisinātu, mums tikai jāpiesakās formula kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai.

Definēsim koeficientus "a", "b" un "c" šim vienādojumam.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Ar tās palīdzību tiek atrisināts jebkurš kvadrātvienādojums.

Formulā "x 1; 2 \u003d" saknes izteiksme bieži tiek aizstāta
"b 2 - 4ac" uz burtu "D" un tiek saukts par diskriminējošu. Diskriminanta jēdziens sīkāk aplūkots nodarbībā "Kas ir diskriminants".

Apsveriet citu kvadrātvienādojuma piemēru.

x 2 + 9 + x = 7x

Šajā formā ir diezgan grūti noteikt koeficientus "a", "b" un "c". Vispirms izveidosim vienādojumu vispārējā formā "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Tagad jūs varat izmantot formulu saknēm.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Atbilde: x = 3

Ir reizes, kad kvadrātvienādojumos nav sakņu. Šī situācija rodas, ja formulā zem saknes parādās negatīvs skaitlis.

Mēs turpinām pētīt tēmu vienādojumu risinājums". Mēs jau esam iepazinušies ar lineārajiem vienādojumiem un tagad iepazīsimies ar tiem kvadrātvienādojumi.

Pirmkārt, mēs analizēsim, kas ir kvadrātvienādojums, kā tas ir ierakstīts vispārējs skats un sniedziet saistītās definīcijas. Pēc tam, izmantojot piemērus, mēs detalizēti analizēsim, kā tiek atrisināti nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Tālāk pāriesim pie pilnu vienādojumu risināšanas, iegūsim sakņu formulu, iepazīsimies ar kvadrātvienādojuma diskriminantu un izskatīsim tipisku piemēru risinājumus. Visbeidzot, mēs izsekojam savienojumus starp saknēm un koeficientiem.

Lapas navigācija.

Kas ir kvadrātvienādojums? Viņu veidi

Vispirms jums ir skaidri jāsaprot, kas ir kvadrātvienādojums. Tāpēc ir loģiski sākt runāt par kvadrātvienādojumiem ar kvadrātvienādojuma definīciju, kā arī ar to saistītām definīcijām. Pēc tam jūs varat apsvērt galvenos kvadrātvienādojumu veidus: reducētos un nereducētos, kā arī pilnīgus un nepilnīgos vienādojumus.

Kvadrātvienādojumu definīcijas un piemēri

Definīcija.

Kvadrātvienādojums ir formas vienādojums a x 2 +b x+c=0, kur x ir mainīgais, a , b un c ir daži skaitļi, un a atšķiras no nulles.

Teiksim uzreiz, ka kvadrātvienādojumus bieži sauc par otrās pakāpes vienādojumiem. Tas ir tāpēc, ka kvadrātvienādojums ir algebriskais vienādojums otrā pakāpe.

Skanīgā definīcija ļauj sniegt kvadrātvienādojumu piemērus. Tātad 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 utt. ir kvadrātvienādojumi.

Definīcija.

Skaitļi tiek saukti a, b un c kvadrātvienādojuma koeficienti a x 2 +b x + c=0, un koeficientu a sauc par pirmo jeb vecāko, vai koeficientu pie x 2, b ir otrais koeficients vai koeficients pie x, un c ir brīvais loceklis.

Piemēram, ņemsim kvadrātvienādojumu formā 5 x 2 −2 x−3=0 , šeit vadošais koeficients ir 5 , otrais koeficients ir −2 , bet brīvais elements ir −3 . Ņemiet vērā, ka, ja koeficienti b un/vai c ir negatīvi, kā tikko dotajā piemērā, tad īsā forma uzrakstot kvadrātvienādojumu formā 5 x 2 −2 x−3=0 , nevis 5 x 2 +(−2) x+(−3)=0 .

Ir vērts atzīmēt, ka tad, ja koeficienti a un/vai b ir vienādi ar 1 vai -1, tie parasti nav skaidri norādīti kvadrātvienādojuma pierakstā, kas ir saistīts ar šāda apzīmējuma īpatnībām. Piemēram, kvadrātvienādojumā y 2 −y+3=0 vadošais koeficients ir viens, un koeficients pie y ir −1.

Reducēti un nereducēti kvadrātvienādojumi

Atkarībā no vadošā koeficienta vērtības izšķir reducētus un nereducētus kvadrātvienādojumus. Sniegsim atbilstošās definīcijas.

Definīcija.

Tiek izsaukts kvadrātvienādojums, kurā vadošais koeficients ir 1 reducēts kvadrātvienādojums. Pretējā gadījumā kvadrātvienādojums ir nesamazināts.

Saskaņā ar šo definīciju kvadrātvienādojumi x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 utt. - samazināts, katrā no tiem pirmais koeficients vienāds ar vienu. Un 5 x 2 −x−1=0 utt. - nereducēti kvadrātvienādojumi, kuru vadošie koeficienti atšķiras no 1 .

No jebkura nereducēta kvadrātvienādojuma, dalot abas tā daļas ar vadošo koeficientu, var pāriet uz reducēto. Šī darbība ir līdzvērtīga transformācija, tas ir, šādā veidā iegūtajam reducētajam kvadrātvienādojumam ir tādas pašas saknes kā sākotnējam nereducētajam kvadrātvienādojumam vai, tāpat kā tam, nav sakņu.

Ņemsim piemēru, kā tiek veikta pāreja no nereducēta kvadrātvienādojuma uz reducētu.

Piemērs.

No vienādojuma 3 x 2 +12 x−7=0 pārejiet uz atbilstošo reducēto kvadrātvienādojumu.

Lēmums.

Mums pietiek veikt abu sākotnējā vienādojuma daļu dalīšanu ar vadošo koeficientu 3, tas nav nulle, lai mēs varētu veikt šo darbību. Mums ir (3 x 2 +12 x-7):3=0:3, kas ir tāds pats kā (3 x 2):3+(12 x):3-7:3=0 un tā tālāk (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , no kurienes . Tātad mēs saņēmām samazināto kvadrātvienādojumu, kas ir līdzvērtīgs sākotnējam.

Atbilde:

Pilnīgi un nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Kvadrātvienādojuma definīcijā ir nosacījums a≠0. Šis nosacījums ir nepieciešams, lai vienādojums a x 2 +b x+c=0 būtu tieši kvadrāts, jo ar a=0 tas faktiski kļūst par lineāru vienādojumu formā b x+c=0 .

Kas attiecas uz koeficientiem b un c, tie var būt vienādi ar nulli gan atsevišķi, gan kopā. Šajos gadījumos kvadrātvienādojumu sauc par nepilnīgu.

Definīcija.

Tiek izsaukts kvadrātvienādojums a x 2 +b x+c=0 nepilnīgs, ja vismaz viens no koeficientiem b , c ir vienāds ar nulli.

Savukārt

Definīcija.

Pilnīgs kvadrātvienādojums ir vienādojums, kurā visi koeficienti atšķiras no nulles.

Šie vārdi nav doti nejauši. Tas kļūs skaidrs no turpmākās diskusijas.

Ja koeficients b ir vienāds ar nulli, tad kvadrātvienādojums ir a x 2 +0 x+c=0, un tas ir ekvivalents vienādojumam a x 2 +c=0 . Ja c=0, tas ir, kvadrātvienādojuma forma ir a x 2 +b x+0=0, tad to var pārrakstīt kā x 2 +b x=0. Un ar b=0 un c=0 iegūstam kvadrātvienādojumu a·x 2 =0. Iegūtie vienādojumi atšķiras no pilnā kvadrātvienādojuma ar to, ka to kreisajā pusē nav ne vārda ar mainīgo x, ne brīvo vārdu, vai abus. Līdz ar to arī viņu nosaukums – nepilnīgi kvadrātvienādojumi.

Tātad vienādojumi x 2 +x+1=0 un −2 x 2 −5 x+0,2=0 ir pilnīgu kvadrātvienādojumu piemēri, un x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 ir nepilnīgi kvadrātvienādojumi.

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana

No iepriekšējās rindkopas informācijas izriet, ka ir trīs veidu nepilnīgi kvadrātvienādojumi:

• a x 2 =0 , tam atbilst koeficienti b=0 un c=0;
• a x 2 +c=0, kad b=0;
• un a x 2 +b x=0, kad c=0 .

Analizēsim secībā, kā tiek atrisināti katra no šiem tipiem nepilnīgie kvadrātvienādojumi.

a x 2 \u003d 0

Sāksim ar nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanu, kuros koeficienti b un c ir vienādi ar nulli, tas ir, ar vienādojumiem formā a x 2 =0. Vienādojums a·x 2 =0 ir vienāds ar vienādojumu x 2 =0, ko iegūst no oriģināla, dalot abas tā daļas ar skaitli, kas nav nulle a. Acīmredzot vienādojuma x 2 \u003d 0 sakne ir nulle, jo 0 2 \u003d 0. Šim vienādojumam nav citu sakņu, kas ir izskaidrots, patiesi, jebkuram skaitlim p, kas nav nulle, notiek nevienādība p 2 >0, kas nozīmē, ka p≠0 vienādība p 2 =0 nekad netiek sasniegta.

Tātad nepilnīgajam kvadrātvienādojumam a x 2 \u003d 0 ir viena sakne x \u003d 0.

Kā piemēru dodam nepilna kvadrātvienādojuma atrisinājumu −4·x 2 =0. Tas ir līdzvērtīgs vienādojumam x 2 \u003d 0, tā vienīgā sakne ir x \u003d 0, tāpēc sākotnējam vienādojumam ir viena saknes nulle.

Īsu risinājumu šajā gadījumā var izdot šādi:
−4 x 2 = 0,
x 2 \u003d 0,
x=0.

a x 2 +c=0

Tagad apsveriet, kā tiek atrisināti nepilnīgi kvadrātvienādojumi, kuros koeficients b ir vienāds ar nulli, un c≠0, tas ir, vienādojumi formā a x 2 +c=0. Mēs zinām, ka vārda pārnešana no vienādojuma vienas puses uz otru ar pretēju zīmi, kā arī vienādojuma abu pušu dalīšana ar skaitli, kas nav nulle, dod līdzvērtīgu vienādojumu. Tāpēc nepilnīgajam kvadrātvienādojumam a x 2 +c=0 var veikt šādas ekvivalentas transformācijas:

• pārvietojiet c uz labo pusi, kas dod vienādojumu a x 2 =-c,
• un sadalot abas tā daļas ar a , iegūstam .

Iegūtais vienādojums ļauj izdarīt secinājumus par tā saknēm. Atkarībā no a un c vērtībām izteiksmes vērtība var būt negatīva (piemēram, ja a=1 un c=2 , tad ) vai pozitīva (piemēram, ja a=−2 un c=6 , tad ), tas nav vienāds ar nulli , jo pēc nosacījuma c≠0 . Mēs atsevišķi analizēsim gadījumus un .

Ja , tad vienādojumam nav sakņu. Šis apgalvojums izriet no fakta, ka jebkura skaitļa kvadrāts ir nenegatīvs skaitlis. No tā izriet, ka kad , tad jebkuram skaitlim p vienādība nevar būt patiesa.

Ja , tad situācija ar vienādojuma saknēm ir atšķirīga. Šajā gadījumā, ja atceramies par, tad vienādojuma sakne uzreiz kļūst acīmredzama, tas ir skaitlis, kopš. Ir viegli uzminēt, ka skaitlis ir arī vienādojuma sakne, patiešām, . Šim vienādojumam nav citu sakņu, ko var parādīt, piemēram, ar pretrunu. Darīsim to.

Tikko izrunātās vienādojuma saknes apzīmēsim kā x 1 un −x 1 . Pieņemsim, ka vienādojumam ir cita sakne x 2, kas atšķiras no norādītajām saknēm x 1 un −x 1 . Ir zināms, ka aizstāšana vienādojumā tā sakņu x vietā pārvērš vienādojumu patiesā skaitliskā vienādībā. Attiecībā uz x 1 un −x 1 mums ir , un attiecībā uz x 2 mums ir . Skaitlisko vienādību īpašības ļauj veikt patieso skaitlisko vienādību atņemšanu pa termiņam, tāpēc, atņemot atbilstošās vienādību daļas, iegūst x 1 2 − x 2 2 =0. Darbību ar skaitļiem īpašības ļauj iegūto vienādību pārrakstīt kā (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Mēs zinām, ka divu skaitļu reizinājums ir vienāds ar nulli tad un tikai tad, ja vismaz viens no tiem ir vienāds ar nulli. Tāpēc no iegūtās vienādības izriet, ka x 1 −x 2 =0 un/vai x 1 +x 2 =0 , kas ir vienāda, x 2 =x 1 un/vai x 2 = −x 1 . Tātad esam nonākuši pie pretrunas, jo sākumā teicām, ka vienādojuma x 2 sakne atšķiras no x 1 un −x 1 . Tas pierāda, ka vienādojumam nav citu sakņu kā un .

Apkoposim informāciju šajā punktā. Nepabeigtais kvadrātvienādojums a x 2 +c=0 ir līdzvērtīgs vienādojumam , kas

• nav sakņu, ja
• ir divas saknes un ja .

Apsveriet piemērus nepilnu kvadrātvienādojumu risināšanai formā a·x 2 +c=0 .

Sāksim ar kvadrātvienādojumu 9 x 2 +7=0 . Pēc brīvā termina pārvietošanas uz vienādojuma labo pusi tas iegūs formu 9·x 2 =−7. Sadalot abas iegūtā vienādojuma puses ar 9 , mēs nonākam pie . Tā kā labajā pusē tiek iegūts negatīvs skaitlis, šim vienādojumam nav sakņu, tāpēc sākotnējam nepilnīgajam kvadrātvienādojumam 9 x 2 +7=0 nav sakņu.

Atrisināsim vēl vienu nepilnīgu kvadrātvienādojumu −x 2 +9=0. Mēs pārnesam deviņus uz labo pusi: -x 2 \u003d -9. Tagad abas daļas sadalām ar −1, iegūstam x 2 =9. Labajā pusē ir pozitīvs skaitlis, no kura mēs secinām, ka vai . Pēc galīgās atbildes pierakstīšanas: nepilnīgajam kvadrātvienādojumam −x 2 +9=0 ir divas saknes x=3 vai x=−3.

a x 2 +b x=0

Atliek risināt pēdējā tipa nepilnīgo kvadrātvienādojumu atrisinājumu c=0 . Nepilnīgi kvadrātvienādojumi formā a x 2 +b x=0 ļauj atrisināt faktorizācijas metode. Acīmredzot mēs varam, kas atrodas vienādojuma kreisajā pusē, kam pietiek ar kopējo koeficientu x izņemt no iekavām. Tas ļauj pāriet no sākotnējā nepilnīgā kvadrātvienādojuma uz līdzvērtīgu vienādojumu formā x·(a·x+b)=0 . Un šis vienādojums ir līdzvērtīgs divu vienādojumu kopai x=0 un a x+b=0 , no kuriem pēdējais ir lineārs un kura sakne ir x=-b/a .

Tātad nepilnīgajam kvadrātvienādojumam a x 2 +b x=0 ir divas saknes x=0 un x=−b/a.

Lai konsolidētu materiālu, mēs analizēsim konkrēta piemēra risinājumu.

Piemērs.

Atrisiniet vienādojumu.

Lēmums.

Mēs izņemam x no iekavām, tas dod vienādojumu. Tas ir līdzvērtīgs diviem vienādojumiem x=0 un . Mēs atrisinām iegūto lineāro vienādojumu: , un jaukto skaitli dalot ar kopējā frakcija, mēs atradām . Tāpēc sākotnējā vienādojuma saknes ir x=0 un .

Pēc nepieciešamās prakses iegūšanas šādu vienādojumu risinājumus var īsi uzrakstīt:

Atbilde:

x=0 , .

Diskriminants, kvadrātvienādojuma sakņu formula

Lai atrisinātu kvadrātvienādojumus, ir saknes formula. Pierakstīsim kvadrātvienādojuma sakņu formula: , kur D=b 2 −4 a c- ts kvadrātvienādojuma diskriminants. Apzīmējums būtībā nozīmē, ka .

Ir noderīgi zināt, kā iegūta saknes formula un kā tā tiek izmantota kvadrātvienādojumu sakņu atrašanā. Tiksim ar šo galā.

Kvadrātvienādojuma sakņu formulas atvasināšana

Atrisināsim kvadrātvienādojumu a·x 2 +b·x+c=0 . Veiksim dažas līdzvērtīgas transformācijas:

• Abas šī vienādojuma daļas varam dalīt ar skaitli a, kas nav nulle, kā rezultātā iegūstam reducēto kvadrātvienādojumu.
• Tagad atlasiet pilnu kvadrātu tās kreisajā pusē: . Pēc tam vienādojums iegūst formu .
• Šajā posmā ir iespējams veikt pēdējo divu terminu pārnešanu uz labo pusi ar pretējo zīmi, mums ir .
• Un pārveidosim arī izteiksmi labajā pusē: .

Rezultātā mēs nonākam pie vienādojuma , kas ir ekvivalents sākotnējam kvadrātvienādojumam a·x 2 +b·x+c=0 .

Mēs jau esam atrisinājuši vienādojumus, kas pēc formas ir līdzīgi iepriekšējās rindkopās, kad analizējām . Tas ļauj izdarīt šādus secinājumus par vienādojuma saknēm:

• ja , tad vienādojumam nav reālu atrisinājumu;
• ja , tad vienādojumam ir forma , tāpēc, , no kura redzama tā vienīgā sakne;
• ja , Tad vai , kas ir tāds pats kā vai , Tas ir, vienādojumam ir divas saknes.

Tādējādi vienādojuma sakņu un līdz ar to sākotnējā kvadrātvienādojuma esamība vai neesamība ir atkarīga no izteiksmes zīmes labajā pusē. Savukārt šīs izteiksmes zīmi nosaka skaitītāja zīme, jo saucējs 4 a 2 vienmēr ir pozitīvs, tas ir, izteiksmes b 2 −4 a c zīme. Šo izteiksmi b 2 −4 a c sauc kvadrātvienādojuma diskriminants un atzīmēts ar burtu D. No šejienes ir skaidra diskriminanta būtība - pēc tā vērtības un zīmes tiek secināts, vai kvadrātvienādojumam ir reālas saknes, un, ja ir, tad kāds ir to skaits - viens vai divi.

Mēs atgriežamies pie vienādojuma , pārrakstām to, izmantojot diskriminanta apzīmējumu: . Un mēs secinām:

• ja D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ja D=0, tad šim vienādojumam ir viena sakne;
• visbeidzot, ja D>0, tad vienādojumam ir divas saknes jeb , ko var pārrakstīt formā vai , un pēc daļskaitļu paplašināšanas un samazināšanas līdz kopsaucējam, iegūstam .

Tātad mēs atvasinājām kvadrātvienādojuma sakņu formulas, tās izskatās kā , kur diskriminantu D aprēķina pēc formulas D=b 2 −4 a c .

Ar to palīdzību ar pozitīvo diskriminantu jūs varat aprēķināt abas kvadrātvienādojuma reālās saknes. Ja diskriminants ir vienāds ar nulli, abas formulas dod vienu un to pašu saknes vērtību, kas atbilst vienīgajam kvadrātvienādojuma risinājumam. Un ar negatīvu diskriminantu, mēģinot izmantot kvadrātvienādojuma sakņu formulu, mēs saskaramies ar kvadrātsaknes izņemšanu no negatīva skaitļa, kas mūs izved ārpus skolas mācību programmas darbības jomas. Ar negatīvu diskriminantu kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu, bet tam ir pāris komplekss konjugāts saknes, kuras var atrast, izmantojot tās pašas sakņu formulas, kuras mēs ieguvām.

Algoritms kvadrātvienādojumu risināšanai, izmantojot saknes formulas

Praksē, risinot kvadrātvienādojumu, uzreiz var izmantot saknes formulu, ar kuras palīdzību aprēķināt to vērtības. Bet tas vairāk attiecas uz sarežģītu sakņu atrašanu.

Tomēr skolas algebras kursā tas parasti ir mēs runājam nevis par sarežģītiem, bet par kvadrātvienādojuma reālām saknēm. Šajā gadījumā pirms kvadrātvienādojuma sakņu formulu izmantošanas ieteicams vispirms atrast diskriminantu, pārliecināties, ka tas nav negatīvs (pretējā gadījumā varam secināt, ka vienādojumam nav reālu sakņu), un pēc tam aprēķina sakņu vērtības.

Iepriekš minētais pamatojums ļauj mums rakstīt Kvadrātvienādojuma risināšanas algoritms. Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu a x 2 + b x + c \u003d 0, jums ir nepieciešams:

• izmantojot diskriminanta formulu D=b 2 −4 a c aprēķina tā vērtību;
• secināt, ka kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu, ja diskriminants ir negatīvs;
• aprēķina vienādojuma vienīgo sakni, izmantojot formulu, ja D=0 ;
• Atrodiet divas kvadrātvienādojuma reālās saknes, izmantojot saknes formulu, ja diskriminants ir pozitīvs.

Šeit mēs tikai atzīmējam, ka, ja diskriminants ir vienāds ar nulli, var izmantot arī formulu, tā dos tādu pašu vērtību kā .

Varat pāriet uz kvadrātvienādojumu risināšanas algoritma pielietošanas piemēriem.

Kvadrātvienādojumu risināšanas piemēri

Apsveriet trīs kvadrātvienādojumu risinājumus ar pozitīvu, negatīvu un nulle diskriminējoša. Izskatot to risinājumu, pēc analoģijas būs iespējams atrisināt jebkuru citu kvadrātvienādojumu. Sāksim.

Piemērs.

Atrodiet vienādojuma saknes x 2 +2 x−6=0 .

Lēmums.

Šajā gadījumā mums ir šādi kvadrātvienādojuma koeficienti: a=1 , b=2 un c=−6 . Saskaņā ar algoritmu vispirms ir jāaprēķina diskriminants, šim nolūkam mēs aizstājam norādītos a, b un c diskriminanta formulā, mums ir D=b 2 -4 a c = 2 2 -4 1 (-6) = 4+24 = 28. Tā kā 28>0, tas ir, diskriminants ir lielāks par nulli, kvadrātvienādojumam ir divas reālas saknes. Atradīsim tos pēc formulas saknes , mēs iegūstam , šeit mēs varam vienkāršot izteiksmes, kas iegūtas, veicot ņem vērā saknes zīmi kam seko frakciju samazināšana:

Atbilde:

Pāriesim pie nākamā tipiskā piemēra.

Piemērs.

Atrisiniet kvadrātvienādojumu −4 x 2 +28 x−49=0 .

Lēmums.

Mēs sākam, meklējot diskriminantu: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Tāpēc šim kvadrātvienādojumam ir viena sakne, ko mēs atrodam kā , tas ir,

Atbilde:

x=3,5 .

Atliek apsvērt kvadrātvienādojumu risinājumu ar negatīvu diskriminantu.

Piemērs.

Atrisiniet vienādojumu 5 y 2 +6 y+2=0 .

Lēmums.

Šeit ir kvadrātvienādojuma koeficienti: a=5 , b=6 un c=2 . Aizstājot šīs vērtības diskriminējošā formulā, mums ir D=b 2-4 a c=6 2-4 5 2=36-40=-4. Diskriminants ir negatīvs, tāpēc šim kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu.

Ja jums ir jānorāda sarežģītas saknes, mēs izmantojam labi zināmo kvadrātvienādojuma sakņu formulu un veicam operācijas ar kompleksajiem skaitļiem:

Atbilde:

īstu sakņu nav, sarežģītās saknes ir: .

Vēlreiz atzīmējam, ka, ja kvadrātvienādojuma diskriminants ir negatīvs, tad skola parasti uzreiz pieraksta atbildi, kurā norāda, ka īstu sakņu nav un sarežģītas saknes neatrod.

Saknes formula pat otrajam koeficientam

Kvadrātvienādojuma sakņu formula, kur D=b 2 −4 a c ļauj iegūt kompaktāku formulu, kas ļauj atrisināt kvadrātvienādojumus ar vienmērīgu koeficientu pie x (vai vienkārši ar koeficientu, kas izskatās kā 2 n , piemēram, vai 14 ln5=2 7 ln5). Izvedīsim viņu ārā.

Pieņemsim, ka jāatrisina kvadrātvienādojums formā a x 2 +2 n x + c=0 . Atradīsim tās saknes, izmantojot mums zināmo formulu. Lai to izdarītu, mēs aprēķinām diskriminantu D = (2 n) 2 -4 a c = 4 n 2 -4 a c = 4 (n 2 -a c), un tad mēs izmantojam saknes formulu:

Apzīmējiet izteiksmi n 2 −a c kā D 1 (dažreiz to apzīmē ar D "). Tad aplūkotā kvadrātvienādojuma sakņu formula ar otro koeficientu 2 n iegūst formu , kur D 1 =n 2 −a c .

Ir viegli redzēt, ka D=4·D 1 vai D 1 =D/4 . Citiem vārdiem sakot, D 1 ir diskriminanta ceturtā daļa. Ir skaidrs, ka D 1 zīme ir tāda pati kā D zīme. Tas ir, zīme D 1 ir arī kvadrātvienādojuma sakņu esamības vai neesamības rādītājs.

Tātad, lai atrisinātu kvadrātvienādojumu ar otro koeficientu 2 n, jums ir nepieciešams

• Aprēķināt D 1 =n 2 −a·c ;
• Ja D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ja D 1 =0, tad aprēķina vienīgo vienādojuma sakni, izmantojot formulu;
• Ja D 1 >0, tad, izmantojot formulu, atrodiet divas reālas saknes.

Apsveriet piemēra risinājumu, izmantojot šajā punktā iegūto saknes formulu.

Piemērs.

Atrisiniet kvadrātvienādojumu 5 x 2 −6 x−32=0 .

Lēmums.

Šī vienādojuma otro koeficientu var attēlot kā 2·(−3) . Tas ir, jūs varat pārrakstīt sākotnējo kvadrātvienādojumu formā 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, šeit a=5 , n=−3 un c=−32, un aprēķināt ceturto daļu diskriminējošais: D 1 = n 2 −a c = (−3) 2 −5 (−32) = 9+160 = 169. Tā kā tā vērtība ir pozitīva, vienādojumam ir divas reālas saknes. Mēs tos atrodam, izmantojot atbilstošo saknes formulu:

Ņemiet vērā, ka kvadrātvienādojuma saknēm bija iespējams izmantot parasto formulu, taču šajā gadījumā būtu jāveic vairāk skaitļošanas darba.

Atbilde:

Kvadrātvienādojumu formas vienkāršošana

Dažreiz, pirms ķerties pie kvadrātvienādojuma sakņu aprēķināšanas, izmantojot formulas, nenāk par ļaunu uzdot jautājumu: “Vai ir iespējams vienkāršot šī vienādojuma formu”? Piekrītiet, ka aprēķinu ziņā kvadrātvienādojumu 11 x 2 −4 x −6=0 būs vieglāk atrisināt nekā 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Parasti kvadrātvienādojuma formas vienkāršošanu panāk, reizinot vai dalot abas tā puses ar kādu skaitli. Piemēram, iepriekšējā rindkopā mums izdevās panākt vienādojuma 1100 x 2 −400 x −600=0 vienkāršošanu, abas puses dalot ar 100.

Līdzīga transformācija tiek veikta ar kvadrātvienādojumiem, kuru koeficienti nav . Šajā gadījumā abas vienādojuma daļas parasti dala ar tā koeficientu absolūtajām vērtībām. Piemēram, ņemsim kvadrātvienādojumu 12 x 2 −42 x+48=0. tā koeficientu absolūtās vērtības: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Sadalot abas sākotnējā kvadrātvienādojuma daļas ar 6 , iegūstam ekvivalento kvadrātvienādojumu 2 x 2 −7 x+8=0 .

Un kvadrātvienādojuma abu daļu reizināšana parasti tiek veikta, lai atbrīvotos no daļskaitļa koeficientiem. Šajā gadījumā reizināšanu veic ar tā koeficientu saucējiem. Piemēram, ja abas kvadrātvienādojuma daļas tiek reizinātas ar LCM(6, 3, 1)=6 , tad tam būs vienkāršāka forma x 2 +4 x−18=0 .

Noslēdzot šo punktu, mēs atzīmējam, ka gandrīz vienmēr atbrīvojieties no mīnusa pie augstākā kvadrātvienādojuma koeficienta, mainot visu terminu zīmes, kas atbilst abu daļu reizināšanai (vai dalīšanai) ar −1. Piemēram, parasti no kvadrātvienādojuma −2·x 2 −3·x+7=0 pāriet uz risinājumu 2·x 2 +3·x−7=0 .

Kvadrātvienādojuma sakņu un koeficientu saistība

Kvadrātvienādojuma sakņu formula izsaka vienādojuma saknes tā koeficientu izteiksmē. Pamatojoties uz sakņu formulu, jūs varat iegūt citas attiecības starp saknēm un koeficientiem.

Vispazīstamākās un pielietojamākās formulas no Vietas teorēmas formas un . Konkrēti, dotajam kvadrātvienādojumam sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretēju zīmi, un sakņu reizinājums ir brīvais termins. Piemēram, pēc kvadrātvienādojuma formas 3 x 2 −7 x+22=0 uzreiz var teikt, ka tā sakņu summa ir 7/3, bet sakņu reizinājums ir 22/3.

Izmantojot jau uzrakstītās formulas, jūs varat iegūt vairākas citas attiecības starp kvadrātvienādojuma saknēm un koeficientiem. Piemēram, kvadrātvienādojuma sakņu kvadrātu summu var izteikt ar tā koeficientiem: .

Bibliogrāfija.

• Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M. : Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičs A.G. Algebra. 8. klase. Plkst.14 1.daļa Skolēna mācību grāmata izglītības iestādēm/ A. G. Mordkovičs. - 11. izd., dzēsts. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Tiek pētītas arī kvadrātvienādojuma problēmas skolas mācību programma un universitātēs. Tos saprot kā vienādojumus formā a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, kur x- mainīgais, a,b,c – konstantes; a<>0 . Problēma ir atrast vienādojuma saknes.

Kvadrātvienādojuma ģeometriskā nozīme

Funkcijas grafiks, kas attēlots ar kvadrātvienādojumu, ir parabola. Kvadrātvienādojuma atrisinājumi (saknes) ir parabolas krustošanās punkti ar x asi. No tā izriet, ka ir trīs iespējamie gadījumi:
1) parabolai nav krustošanās punktu ar x asi. Tas nozīmē, ka tas atrodas augšējā plaknē ar zariem uz augšu vai apakšējā ar zariem uz leju. Šādos gadījumos kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu (tam ir divas sarežģītas saknes).

2) parabolai ir viens krustpunkts ar Ox asi. Šādu punktu sauc par parabolas virsotni, un kvadrātvienādojums tajā iegūst savu minimālo vai maksimālo vērtību. Šajā gadījumā kvadrātvienādojumam ir viena reāla sakne (vai divas identiskas saknes).

3) Pēdējais gadījums praksē ir interesantāks - ir divi parabolas krustošanās punkti ar abscisu asi. Tas nozīmē, ka vienādojumam ir divas reālās saknes.

Balstoties uz koeficientu analīzi pie mainīgo pakāpēm, var izdarīt interesantus secinājumus par parabolas izvietojumu.

1) Ja koeficients a ir lielāks par nulli, tad parabola ir vērsta uz augšu, ja negatīva, tad parabolas zari ir vērsti uz leju.

2) Ja koeficients b ir lielāks par nulli, tad parabolas virsotne atrodas kreisajā pusplaknē, ja tā ieņem negatīvu vērtību, tad labajā.

Kvadrātvienādojuma risināšanas formulas atvasināšana

Pārnesim konstanti no kvadrātvienādojuma

vienādības zīmei mēs iegūstam izteiksmi

Reiziniet abas puses ar 4a

Lai iegūtu pilnu kvadrātu kreisajā pusē, pievienojiet b ^ 2 abās daļās un veiciet transformāciju

No šejienes mēs atrodam

Diskriminanta formula un kvadrātvienādojuma saknes

Diskriminants ir radikālas izteiksmes vērtība. Ja tā ir pozitīva, tad vienādojumam ir divas reālās saknes, kas aprēķinātas pēc formulas Ja diskriminants ir nulle, kvadrātvienādojumam ir viens atrisinājums (divas sakrītošas ​​saknes), ko ir viegli iegūt no iepriekš minētās formulas, ja D = 0. Ja diskriminants ir negatīvs, reālu sakņu nav. Tomēr, lai izpētītu kvadrātvienādojuma risinājumus kompleksajā plaknē, un to vērtību aprēķina pēc formulas

Vietas teorēma

Aplūkosim divas kvadrātvienādojuma saknes un uz to pamata izveidojiet kvadrātvienādojumu No apzīmējuma viegli izriet pati Vieta teorēma: ja mums ir formas kvadrātvienādojums. tad tā sakņu summa ir vienāda ar koeficientu p, kas ņemts ar pretēju zīmi, un vienādojuma sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu q. Iepriekš minētā formula izskatīsies šādi. Ja konstante a klasiskajā vienādojumā nav nulle, tad viss vienādojums ar to jāsadala un pēc tam jāpiemēro Vieta teorēma.

Kvadrātvienādojuma grafiks uz faktoriem

Ļaujiet izvirzīt uzdevumu: sadalīt kvadrātvienādojumu faktoros. Lai to izpildītu, vispirms atrisinām vienādojumu (atrodam saknes). Tālāk mēs aizvietojam atrastās saknes kvadrātvienādojuma paplašināšanas formulā.Šī problēma tiks atrisināta.

Kvadrātvienādojuma uzdevumi

1. uzdevums. Atrodiet kvadrātvienādojuma saknes

x^2-26x+120=0 .

Risinājums: Pierakstiet koeficientus un aizstājiet diskriminanta formulā

sakne no dotā vērtība vienāds ar 14, to ir viegli atrast ar kalkulatoru vai atcerēties, bieži lietojot, tomēr ērtības labad raksta beigās sniegšu sarakstu ar skaitļu kvadrātiem, kurus bieži var atrast šādos uzdevumos .
Atrastā vērtība tiek aizstāta ar saknes formulu

un saņemam

2. uzdevums. atrisināt vienādojumu

2x2+x-3=0.

Risinājums: mums ir pilnīgs kvadrātvienādojums, izrakstām koeficientus un atrodam diskriminantu


Autors zināmās formulas atrast kvadrātvienādojuma saknes

3. uzdevums. atrisināt vienādojumu

9x2 -12x+4=0.

Risinājums: mums ir pilnīgs kvadrātvienādojums. Nosakiet diskriminantu

Mēs saņēmām gadījumu, kad saknes sakrīt. Mēs atrodam sakņu vērtības pēc formulas

4. uzdevums. atrisināt vienādojumu

x^2+x-6=0 .

Risinājums: Gadījumos, kad x ir mazi koeficienti, vēlams pielietot Vietas teorēmu. Pēc tā nosacījuma mēs iegūstam divus vienādojumus

No otrā nosacījuma mēs iegūstam, ka reizinājumam jābūt vienādam ar -6. Tas nozīmē, ka viena no saknēm ir negatīva. Mums ir šāds iespējamais risinājumu pāris (-3;2), (3;-2) . Ņemot vērā pirmo nosacījumu, mēs noraidām otro risinājumu pāri.
Vienādojuma saknes ir

5. uzdevums. Atrodi taisnstūra malu garumus, ja tā perimetrs ir 18 cm un laukums ir 77 cm 2.

Risinājums: puse no taisnstūra perimetra ir vienāda ar blakus esošo malu summu. Apzīmēsim x - lielā puse, tad 18-x ir tā mazākā puse. Taisnstūra laukums ir vienāds ar šo garumu reizinājumu:
x(18x)=77;
vai
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Atrodiet vienādojuma diskriminantu

Mēs aprēķinām vienādojuma saknes

Ja x=11, tad 18x=7, arī otrādi (ja x=7, tad 21-x=9).

6. uzdevums. Faktorizējiet kvadrātvienādojumu 10x 2 -11x+3=0.

Risinājums: Aprēķiniet vienādojuma saknes, šim nolūkam mēs atrodam diskriminantu

Atrasto vērtību aizstājam sakņu formulā un aprēķinām

Mēs izmantojam formulu kvadrātvienādojuma paplašināšanai sakņu izteiksmē

Paplašinot iekavas, mēs iegūstam identitāti.

Kvadrātvienādojums ar parametru

Piemērs 1. Kurām parametra vērtībām a , vai vienādojumam (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 ir viena sakne?

Risinājums: Tiešā veidā aizstājot vērtību a=3, mēs redzam, ka tai nav risinājuma. Tālāk mēs izmantosim faktu, ka ar nulles diskriminantu vienādojumam ir viena reizinājuma 2 sakne. Izrakstīsim diskriminantu

vienkāršot to un pielīdzināt nullei

Esam ieguvuši kvadrātvienādojumu attiecībā uz parametru a, kura atrisinājumu ir viegli iegūt, izmantojot Vietas teorēmu. Sakņu summa ir 7, un to reizinājums ir 12. Ar vienkāršu uzskaitījumu mēs nosakām, ka skaitļi 3.4 būs vienādojuma saknes. Tā kā jau aprēķinu sākumā esam noraidījuši risinājumu a=3, tad vienīgais pareizais būs - a=4. Tādējādi, ja a = 4, vienādojumam ir viena sakne.

Piemērs 2. Kurām parametra vērtībām a , vienādojums a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ir vairāk nekā viena sakne?

Risinājums: Vispirms apsveriet vienskaitļa punktus, tie būs vērtības a=0 un a=-3. Ja a=0, vienādojums tiks vienkāršots līdz formai 6x-9=0; x=3/2 un būs viena sakne. Ja a= -3 iegūstam identitāti 0=0 .
Aprēķiniet diskriminantu

un atrodiet a vērtības, kurām tas ir pozitīvs

No pirmā nosacījuma iegūstam a>3. Otrajā gadījumā mēs atrodam diskriminantu un vienādojuma saknes


Definēsim intervālus, kuros funkcija iegūst pozitīvas vērtības. Aizvietojot punktu a=0, iegūstam 3>0 . Tātad ārpus intervāla (-3; 1/3) funkcija ir negatīva. Neaizmirstiet punktu a=0 kas būtu jāizslēdz, jo sākotnējam vienādojumam tajā ir viena sakne.
Rezultātā mēs iegūstam divus intervālus, kas apmierina problēmas nosacījumu

Praksē būs daudz līdzīgu uzdevumu, mēģiniet pats tikt galā ar uzdevumiem un neaizmirstiet ņemt vērā nosacījumus, kas viens otru izslēdz. Labi izpētiet kvadrātvienādojumu risināšanas formulas, tās diezgan bieži ir vajadzīgas aprēķinos dažādās problēmās un zinātnēs.

Šī tēma sākumā var šķist sarežģīta daudzo ne pārāk vienkāršo formulu dēļ. Pašos kvadrātvienādojumos ir ne tikai gari ieraksti, bet arī saknes tiek atrastas, izmantojot diskriminantu. Pavisam ir trīs jaunas formulas. Nav ļoti viegli atcerēties. Tas ir iespējams tikai pēc biežas šādu vienādojumu atrisināšanas. Tad visas formulas pašas atcerēsies.

Kvadrātvienādojuma vispārīgs skats

Šeit tiek piedāvāts to precīzs apzīmējums, kad vispirms tiek uzrakstīts lielākais grāds un pēc tam dilstošā secībā. Bieži vien ir situācijas, kad termini atšķiras. Tad labāk ir pārrakstīt vienādojumu mainīgā lieluma pakāpes dilstošā secībā.

Ieviesīsim notāciju. Tie ir parādīti zemāk esošajā tabulā.

Ja mēs pieņemam šos apzīmējumus, visi kvadrātvienādojumi tiek reducēti uz šādu apzīmējumu.

Turklāt koeficients a ≠ 0. Apzīmēsim šo formulu ar skaitli viens.

Kad vienādojums ir dots, nav skaidrs, cik sakņu būs atbildē. Jo vienmēr ir iespējama viena no trim iespējām:

• šķīdumam būs divas saknes;
• atbilde būs viens skaitlis;
• Vienādojumam vispār nav sakņu.

Un, lai gan lēmums netiek pieņemts līdz galam, ir grūti saprast, kura no iespējām konkrētajā gadījumā izkritīs.

Kvadrātvienādojumu ierakstu veidi

Uzdevumiem var būt dažādi ieraksti. Tie ne vienmēr izskatīsies pēc kvadrātvienādojuma vispārējās formulas. Dažreiz tai pietrūks daži termini. Tas, kas tika rakstīts iepriekš, ir pilnīgs vienādojums. Ja noņemat tajā otro vai trešo terminu, jūs iegūstat kaut ko citu. Šos ierakstus sauc arī par kvadrātvienādojumiem, tikai nepilnīgiem.

Turklāt var pazust tikai tie termini, kuriem koeficienti "b" un "c". Skaitlis "a" nekādā gadījumā nevar būt vienāds ar nulli. Jo šajā gadījumā formula pārvēršas par lineāru vienādojumu. Formulas vienādojumu nepilnīgajai formai būs šādas:

Tātad ir tikai divi veidi, papildus pilnīgajiem, ir arī nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Lai pirmā formula ir numurs divi, bet otrais skaitlis - trīs.

Diskriminants un sakņu skaita atkarība no tā vērtības

Šim skaitlim ir jābūt zināmam, lai aprēķinātu vienādojuma saknes. To vienmēr var aprēķināt neatkarīgi no kvadrātvienādojuma formulas. Lai aprēķinātu diskriminantu, jāizmanto zemāk uzrakstītā vienādība, kurai būs cipars četri.

Pēc koeficientu vērtību aizstāšanas šajā formulā jūs varat iegūt skaitļus ar dažādas zīmes. Ja atbilde ir jā, tad vienādojuma atbilde būs divas dažādas saknes. Ja skaitlis ir negatīvs, kvadrātvienādojuma saknes nebūs. Ja tas ir vienāds ar nulli, atbilde būs viens.

Kā tiek atrisināts pilns kvadrātvienādojums?

Faktiski šī jautājuma izskatīšana jau ir sākusies. Jo vispirms ir jāatrod diskriminants. Pēc tam, kad ir noskaidrots, ka kvadrātvienādojumam ir saknes un to skaits ir zināms, jums ir jāizmanto mainīgo lielumu formulas. Ja ir divas saknes, tad jums ir jāpiemēro šāda formula.

Tā kā tajā ir zīme “±”, būs divas vērtības. Izteiciens zem kvadrātsaknes zīmes ir diskriminants. Tāpēc formulu var pārrakstīt citā veidā.

Piektā formula. No tā paša ieraksta var redzēt, ka, ja diskriminants ir nulle, tad abām saknēm būs vienādas vērtības.

Ja kvadrātvienādojumu risinājums vēl nav izstrādāts, tad pirms diskriminējošās un mainīgās formulas piemērošanas labāk pierakstīt visu koeficientu vērtības. Vēlāk šis brīdis nesagādās grūtības. Taču pašā sākumā ir apjukums.

Kā tiek atrisināts nepilnīgs kvadrātvienādojums?

Šeit viss ir daudz vienkāršāk. Pat papildu formulas nav vajadzīgas. Un nevajadzēs tos, kas jau ir rakstīti diskriminējošajam un nezināmajam.

Vispirms apsveriet nepilnīgs vienādojums otrajā numurā. Šajā vienādībā ir paredzēts izņemt nezināmo vērtību no iekavas un atrisināt lineāro vienādojumu, kas paliks iekavās. Atbildei būs divas saknes. Pirmais noteikti ir vienāds ar nulli, jo ir faktors, kas sastāv no paša mainīgā lieluma. Otro iegūst, atrisinot lineāru vienādojumu.

Nepilnīgais vienādojums ar numuru trīs tiek atrisināts, pārnesot skaitli no vienādojuma kreisās puses uz labo. Tad jums ir jādala ar koeficientu nezināmā priekšā. Atliek tikai izvilkt kvadrātsakni un neaizmirstiet to divreiz pierakstīt ar pretējām zīmēm.

Tālāk ir norādītas dažas darbības, kas palīdz jums uzzināt, kā atrisināt visu veidu vienādības, kas pārvēršas kvadrātvienādojumos. Tie palīdzēs skolēnam izvairīties no kļūdām neuzmanības dēļ. Šīs nepilnības ir iemesls sliktām atzīmēm, pētot plašo tēmu "Kvadrātvienādojumi (8. klase)". Pēc tam šīs darbības nebūs pastāvīgi jāveic. Jo būs stabils ieradums.

• Vispirms jums ir jāuzraksta vienādojums standarta formā. Tas ir, vispirms termins ar lielāko mainīgā pakāpi, un pēc tam - bez pakāpes un pēdējais - tikai skaitlis.

• Ja pirms koeficienta "a" parādās mīnuss, iesācējam tas var sarežģīt kvadrātvienādojumu pētīšanas darbu. Labāk no tā atbrīvoties. Šim nolūkam visa vienlīdzība jāreizina ar "-1". Tas nozīmē, ka visi termini mainīs zīmi uz pretējo.

• Tādā pašā veidā ieteicams atbrīvoties no frakcijām. Vienkārši reiziniet vienādojumu ar atbilstošo koeficientu, lai saucēji tiktu izslēgti.

Piemēri

Ir nepieciešams atrisināt šādus kvadrātvienādojumus:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Pirmais vienādojums: x 2 - 7x \u003d 0. Tas ir nepilnīgs, tāpēc tas ir atrisināts, kā aprakstīts formulai numur divi.

Pēc iekavēšanas izrādās: x (x - 7) \u003d 0.

Pirmā sakne iegūst vērtību: x 1 \u003d 0. Otrais tiks atrasts no lineārā vienādojuma: x - 7 \u003d 0. Ir viegli redzēt, ka x 2 \u003d 7.

Otrais vienādojums: 5x2 + 30 = 0. Atkal nepilnīgs. Tikai tas tiek atrisināts, kā aprakstīts trešajā formulā.

Pēc 30 pārsūtīšanas uz vienādojuma labo pusi: 5x 2 = 30. Tagad jādala ar 5. Izrādās: x 2 = 6. Atbildes būs skaitļi: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Trešais vienādojums: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Šeit un zemāk kvadrātvienādojumu atrisināšana sāksies, pārrakstot tos standarta formā: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Tagad ir pienācis laiks izmantot otro noderīgs padoms un reiziniet visu ar mīnus viens. Izrādās x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Saskaņā ar ceturto formulu jums jāaprēķina diskriminants: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Tas ir pozitīvs skaitlis. No iepriekš teiktā izrādās, ka vienādojumam ir divas saknes. Tie jāaprēķina pēc piektās formulas. Saskaņā ar to izrādās, ka x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Tad x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Ceturtais vienādojums x 2 + 8 + 3x \u003d 0 tiek pārveidots par šādu: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Tā diskriminants ir vienāds ar šo vērtību: -23. Tā kā šis skaitlis ir negatīvs, atbilde uz šo uzdevumu būs šāds ieraksts: "Nav sakņu."

Piektais vienādojums 12x + x 2 + 36 = 0 jāpārraksta šādi: x 2 + 12x + 36 = 0. Pēc diskriminanta formulas piemērošanas iegūst skaitli nulle. Tas nozīmē, ka tam būs viena sakne, proti: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Sestais vienādojums (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) prasa transformācijas, kas sastāv no tā, ka pirms iekavu atvēršanas ir jāienes līdzīgi termini. Pirmā vietā būs šāda izteiksme: x 2 + 2x + 1. Pēc vienādības parādīsies šāds ieraksts: x 2 + 3x + 2. Pēc līdzīgu vārdu saskaitīšanas vienādojums būs šādā formā: x 2 - x \u003d 0. Tas ir kļuvis nepilnīgs . Līdzīgs tam jau ir uzskatīts par nedaudz augstāku. Tā saknes būs skaitļi 0 un 1.

Kvadrātvienādojumi. Diskriminējošais. Risinājums, piemēri.

Uzmanību!
Ir papildu
materiāls īpašajā 555. sadaļā.
Tiem, kas izteikti "ne ļoti..."
Un tiem, kas "ļoti...")

Kvadrātvienādojumu veidi

Kas ir kvadrātvienādojums? Kā tas izskatās? Termiņā kvadrātvienādojums atslēgvārds ir "kvadrāts". Tas nozīmē, ka vienādojumā obligāti ir jābūt x kvadrātā. Papildus tam vienādojumā var būt (vai var nebūt!) Tikai x (līdz pirmajai pakāpei) un tikai skaitlis (bezmaksas dalībnieks). Un x nedrīkst būt grādos, kas ir lielāki par diviem.

Matemātiskā izteiksmē kvadrātvienādojums ir formas vienādojums:

Šeit a, b un c- daži skaitļi. b un c- pilnīgi jebkura, bet a- jebkas, izņemot nulli. Piemēram:

Šeit a =1; b = 3; c = -4

Šeit a =2; b = -0,5; c = 2,2

Šeit a =-3; b = 6; c = -18

Nu tu saprati domu...

Šajos kvadrātvienādojumos kreisajā pusē ir pilns komplekts locekļi. x kvadrātā ar koeficientu a, x uz pirmo pakāpi ar koeficientu b un brīvais dalībnieks

Tādus kvadrātvienādojumus sauc pabeigts.

Un ja b= 0, ko mēs iegūsim? Mums ir X pazudīs pirmajā pakāpē. Tas notiek, reizinot ar nulli.) Izrādās, piemēram:

5x2 -25 = 0,

2x2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

utt. Un ja abi koeficienti b un c ir vienādi ar nulli, tad tas ir vēl vienkāršāk:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x2 = 0

Tādus vienādojumus, kur kaut kā trūkst, sauc nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Tas ir diezgan loģiski.) Lūdzu, ņemiet vērā, ka x kvadrātā ir visos vienādojumos.

Starp citu, kāpēc a nevar būt nulle? Un tā vietā jūs aizstājat a nulle.) X kvadrātā pazudīs! Vienādojums kļūs lineārs. Un tas tiek darīts savādāk...

Tie ir visi galvenie kvadrātvienādojumu veidi. Pilnīga un nepilnīga.

Kvadrātvienādojumu atrisināšana.

Pilnu kvadrātvienādojumu atrisinājums.

Kvadrātvienādojumus ir viegli atrisināt. Pēc formulām un skaidri vienkārši noteikumi. Pirmajā posmā jums ir nepieciešams dots vienādojums noved pie standarta forma, t.i. uz skatu:

Ja vienādojums jums jau ir dots šajā formā, jums nav jādara pirmais posms.) Galvenais ir pareizi noteikt visus koeficientus, a, b un c.

Formula kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai izskatās šādi:

Izteicienu zem saknes zīmes sauc diskriminējošs. Bet vairāk par viņu zemāk. Kā redzat, lai atrastu x, mēs izmantojam tikai a, b un c. Tie. koeficienti no kvadrātvienādojuma. Vienkārši uzmanīgi nomainiet vērtības a, b un cšajā formulā un saskaitiet. Aizstājējs ar savām zīmēm! Piemēram, vienādojumā:

a =1; b = 3; c= -4. Šeit mēs rakstām:

Piemērs gandrīz atrisināts:

Šī ir atbilde.

Viss ir ļoti vienkārši. Un kā jūs domājat, jūs nevarat kļūdīties? Nu jā, kā...

Biežākās kļūdas ir apjukums ar vērtību pazīmēm a, b un c. Pareizāk sakot, nevis ar to zīmēm (kur tur apjukt?), Bet ar aizstāšanu negatīvas vērtības sakņu aprēķināšanas formulā. Šeit tiek saglabāts detalizēts formulas ieraksts ar konkrētiem skaitļiem. Ja rodas problēmas ar aprēķiniem, tad dari to!

Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina šāds piemērs:

Šeit a = -6; b = -5; c = -1

Pieņemsim, ka zināt, ka reti saņemat atbildes pirmajā reizē.

Nu neesi slinks. Papildu rindas uzrakstīšana prasīs 30 sekundes.Un kļūdu skaits strauji samazināsies. Tāpēc mēs rakstām detalizēti, ar visām iekavām un zīmēm:

Šķiet neticami grūti tik rūpīgi krāsot. Bet tā tikai šķiet. Pamēģini. Nu vai izvēlēties. Kas ir labāks, ātrs vai pareizi? Turklāt es jūs iepriecināšu. Pēc kāda laika vairs nevajadzēs visu tik rūpīgi krāsot. Tas izdosies pareizi. It īpaši, ja izmantojat praktiskus paņēmienus, kas aprakstīti tālāk. Šis ļaunais piemērs ar mīnusiem tiks atrisināts viegli un bez kļūdām!

Bet bieži vien kvadrātvienādojumi izskatās nedaudz atšķirīgi. Piemēram, šādi:

Vai zinājāt?) Jā! Tas ir nepilnīgi kvadrātvienādojumi.

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisinājums.

Tos var atrisināt arī pēc vispārējās formulas. Jums vienkārši ir pareizi jāizdomā, kas šeit ir vienāds a, b un c.

Saprata? Pirmajā piemērā a = 1; b = -4; a c? Tā vispār neeksistē! Nu jā, tieši tā. Matemātikā tas nozīmē c = 0 ! Tas ir viss. Tā vietā formulā aizstājiet nulli c, un mums viss izdosies. Līdzīgi ar otro piemēru. Tikai nulle mums šeit nav ar, a b !

Bet nepilnīgus kvadrātvienādojumus var atrisināt daudz vienkāršāk. Bez jebkādām formulām. Apsveriet pirmo nepilnīgo vienādojumu. Ko var izdarīt kreisajā pusē? Jūs varat izņemt X no iekavām! Ņemsim ārā.

Un kas no šī? Un tas, ka reizinājums ir vienāds ar nulli tad un tikai tad, ja kāds no faktoriem ir vienāds ar nulli! Netici? Nu tad izdomā divus skaitļus, kas nav nulle, kurus reizinot, sanāks nulle!
Nestrādā? Kaut kas...
Tāpēc mēs varam droši rakstīt: x 1 = 0, x 2 = 4.

Viss. Tās būs mūsu vienādojuma saknes. Abi der. Aizvietojot jebkuru no tiem sākotnējā vienādojumā, mēs iegūstam pareizo identitāti 0 = 0. Kā redzat, risinājums ir daudz vienkāršāks nekā vispārējā formula. Starp citu, es atzīmēju, kurš X būs pirmais un kurš otrais - tas ir absolūti vienaldzīgi. Viegli rakstīt secībā x 1- kurš ir mazāks x 2- kas ir vairāk.

Arī otro vienādojumu var viegli atrisināt. Mēs virzāmies 9 uz labo pusi. Mēs iegūstam:

Atliek izvilkt sakni no 9, un viss. Gūt:

arī divas saknes . x 1 = -3, x 2 = 3.

Šādi tiek atrisināti visi nepilnīgie kvadrātvienādojumi. Vai nu izvelkot x no iekavām, vai vienkārša pārsūtīšana skaitļi pa labi, kam seko saknes ekstrakcija.
Šīs metodes ir ārkārtīgi grūti sajaukt. Vienkārši tāpēc, ka pirmajā gadījumā jums būs jāizņem sakne no X, kas ir kaut kā nesaprotami, un otrajā gadījumā nav ko izņemt no iekavām ...

Diskriminējošais. Diskriminējošā formula.

Burvju vārds diskriminējošs ! Reta vidusskolniece šo vārdu nav dzirdējusi! Frāze “izlemj, izmantojot diskriminantu” ir pārliecinoša un pārliecinoša. Jo nav jāgaida triki no diskriminētāja! Tas ir vienkārši un bez problēmām.) Es jums atgādinu visvairāk vispārējā formula risinājumiem jebkura kvadrātvienādojumi:

Izteicienu zem saknes zīmes sauc par diskriminantu. Diskriminantu parasti apzīmē ar burtu D. Diskriminējošā formula:

D = b 2 - 4ac

Un kas šajā izteiksmē ir tik īpašs? Kāpēc tas ir pelnījis īpašu nosaukumu? Kas diskriminanta nozīme? Galu galā -b, vai 2ašajā formulā viņi īpaši nenosauc ... Burtus un burtus.

Lieta ir tāda. Atrisinot kvadrātvienādojumu, izmantojot šo formulu, tas ir iespējams tikai trīs gadījumi.

1. Diskriminants ir pozitīvs. Tas nozīmē, ka no tā var iegūt sakni. Tas, vai sakne ir iegūta labi vai slikti, ir cits jautājums. Svarīgi, ko principā izvelk. Tad jūsu kvadrātvienādojumam ir divas saknes. Divi dažādi risinājumi.

2. Diskriminants ir nulle. Tad jums ir viens risinājums. Tā kā nulles pievienošana vai atņemšana skaitītājā neko nemaina. Stingri sakot, tā nav viena sakne, bet gan divi identiski. Bet vienkāršotā versijā ir ierasts runāt par viens risinājums.

3. Diskriminants ir negatīvs. Negatīvs skaitlis neņem kvadrātsakni. Nu labi. Tas nozīmē, ka risinājumu nav.

Godīgi sakot, plkst vienkāršs risinājums kvadrātvienādojumi, diskriminanta jēdziens nav īpaši pieprasīts. Mēs aizstājam koeficientu vērtības formulā un ņemam vērā. Tur viss izrādās pats no sevis, un divas saknes, un viena, un ne viena. Tomēr, risinot vairāk grūti uzdevumi, nezinot nozīme un diskriminanta formula nepietiekami. Īpaši - vienādojumos ar parametriem. Šādi vienādojumi ir aerobātika GIA un vienotajam valsts eksāmenam!)

Tātad, kā atrisināt kvadrātvienādojumus caur diskriminantu, kuru atcerējāties. Vai arī iemācījušies, kas arī nav slikti.) Jūs zināt, kā pareizi identificēt a, b un c. Vai jūs zināt, kā uzmanīgi aizstājiet tos saknes formulā un uzmanīgi skaitīt rezultātu. Vai jūs sapratāt, ka atslēgas vārds šeit ir - uzmanīgi?

Tagad ņemiet vērā praktiskos paņēmienus, kas ievērojami samazina kļūdu skaitu. Tie paši, kas ir neuzmanības dēļ... Par ko tad ir sāpīgi un aizvainojoši...

Pirmā uzņemšana . Neesiet slinks pirms kvadrātvienādojuma atrisināšanas, lai tas būtu standarta formā. Ko tas nozīmē?
Pieņemsim, ka pēc jebkādām transformācijām jūs saņemat šādu vienādojumu:

Nesteidzieties rakstīt sakņu formulu! Jūs gandrīz noteikti sajaucat izredzes a, b un c. Pareizi izveidojiet piemēru. Vispirms x kvadrātā, tad bez kvadrāta, tad brīvais dalībnieks. Kā šis:

Un atkal nesteidzieties! Mīnuss pirms x kvadrātā var jūs ļoti apbēdināt. To aizmirst ir viegli... Atbrīvojies no mīnusa. Kā? Jā, kā mācīja iepriekšējā tēmā! Mums jāreizina viss vienādojums ar -1. Mēs iegūstam:

Un tagad jūs varat droši pierakstīt formulu saknēm, aprēķināt diskriminantu un pabeigt piemēru. Izlemiet paši. Jums vajadzētu beigties ar saknēm 2 un -1.

Otrā pieņemšana. Pārbaudi savas saknes! Saskaņā ar Vietas teorēmu. Neuztraucieties, es visu izskaidrošu! Pārbauda pēdējā lieta vienādojums. Tie. tas, ar kuru mēs pierakstījām sakņu formulu. Ja (kā šajā piemērā) koeficients a = 1, viegli pārbaudiet saknes. Pietiek tos pavairot. Jums vajadzētu saņemt brīvu termiņu, t.i. mūsu gadījumā -2. Pievērsiet uzmanību, nevis 2, bet -2! bezmaksas dalībnieks ar savu zīmi . Ja tas neizdevās, tas nozīmē, ka viņi kaut kur jau ir sajukuši. Meklējiet kļūdu.

Ja tas izdevās, jums ir jāsaloka saknes. Pēdējā un pēdējā pārbaude. Jābūt attiecībai b ar pretī zīme. Mūsu gadījumā -1+2 = +1. Koeficients b, kas ir pirms x, ir vienāds ar -1. Tātad, viss ir pareizi!
Žēl, ka tik vienkārši ir tikai piemēriem, kur x kvadrātā ir tīrs, ar koeficientu a = 1. Bet vismaz pārbaudiet šādus vienādojumus! Viss mazāk kļūdu gribu.

Uzņemšana trešā . Ja jūsu vienādojumā ir daļskaitļu koeficienti, atbrīvojieties no daļām! Reiziniet vienādojumu ar kopsaucēju, kā aprakstīts nodarbībā "Kā atrisināt vienādojumus? Identitātes transformācijas". Strādājot ar daļskaitļiem, kļūdām kaut kādu iemeslu dēļ uzkāpj ...

Starp citu, es apsolīju ļaunu piemēru ar kaudzi mīnusiem vienkāršošanai. Esiet laipni gaidīti! Tur viņš ir.

Lai neapjuktu mīnusos, vienādojumu reizinām ar -1. Mēs iegūstam:

Tas ir viss! Izlemt ir jautri!

Tātad atkārtosim tēmu.

Praktiski padomi:

1. Pirms risināšanas kvadrātvienādojumu ievietojam standarta formā, izveidojam to pa labi.

2. Ja kvadrātā pirms x ir negatīvs koeficients, mēs to izslēdzam, reizinot visu vienādojumu ar -1.

3. Ja koeficienti ir daļskaitļi, mēs izņemam daļas, reizinot visu vienādojumu ar atbilstošo koeficientu.

4. Ja x kvadrātā ir tīrs, koeficients tam ir vienāds ar vienu, atrisinājumu var viegli pārbaudīt, izmantojot Vietas teorēmu. Izdari to!

Tagad jūs varat izlemt.)

Atrisiniet vienādojumus:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Atbildes (nekārtīgi):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - jebkurš skaitlis

x 1 = -3
x 2 = 3

nekādu risinājumu

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Vai viss der? labi! Kvadrātvienādojumi nav jūsu galvassāpes. Pirmie trīs izrādījās, bet pārējie nē? Tad problēma nav kvadrātvienādojumos. Problēma ir identiskos vienādojumu transformācijās. Apskatiet saiti, tas noder.

Vai ne gluži strādā? Vai arī tas vispār nedarbojas? Tad jums palīdzēs sadaļa 555. Tur visi šie piemēri ir sakārtoti pēc kauliem. Rāda galvenais kļūdas risinājumā. Protams, tas runā arī par lietošanu identiskas pārvērtības dažādu vienādojumu risināšanā. Ļoti palīdz!

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.