Dots kvadrātvienādojuma sakņu atrašanas algoritms. Sastādām kvadrātvienādojuma risināšanas algoritmu

1. Atrodiet diskriminantu D saskaņā ar formulu D= -4ac.

2. Ja D<0, то квадратное уравнение не имеет корней.

3. Ja D=0, tad vienādojumam ir viena sakne:

4. Ja D>0, tad vienādojumam ir divas saknes:

Tagad sāksim atrisināt mūsu vienādojumu 3 -10x+3=0,

kur = 3, b = -10 un c = 3.

Diskriminanta atrašana:

D= -4*3*3=64

Tā kā D>0, tad šim vienādojumam ir divas saknes. Mēs tos atrodam:

; .

Tādējādi polinoma saknes f(x)=3 -10+3 būs skaitļi 3 un .

Hornera shēma

Hornera shēma(vai Hornera noteikums, Hornera metode) - algoritms polinoma vērtības aprēķināšanai, kas uzrakstīts kā polinomu (monomu) summa, noteiktai mainīgā vērtībai. . Viņa savukārt palīdz mums noskaidrot, vai skaitlis ir dotā polinoma sakne vai nē.

Vispirms apsveriet, kā tiek sadalīts polinoms f(x) binnomā g(x).

To var uzrakstīt šādi: f(x):g(x)=n(x), kur f(x)- dalāmais, g(x)- dalītājs a n(x)- Privāts.

Bet gadījumā, kad f(x) nav dalāms ar g(x) ir vispārīgs izteiksmes apzīmējums

Šeit grāds r(x)< deg s(x), в таком случае можно сказать, что делится на с остатком .

Apsveriet iespēju dalīt polinomu ar binomiālu. Ļaujiet būt

,

Mēs saņemam

Kur r ir skaitlis, jo r pakāpei jābūt mazākai par (x-c) pakāpi.

Reizināsim s(x) uz un saņem

Tādējādi, dalot ar binomiālu, no iegūtajām formulām iespējams noteikt koeficienta koeficientus. Šo koeficientu noteikšanas metodi sauc par Hornera shēmu.

				...
	+			...
c				...	r

Tagad apskatīsim dažus Hornera shēmas pielietojuma piemērus.

Piemērs. Veikt polinoma dalīšanu f(x)= uz x+3.

Lēmums. Sākumā ir jāraksta x+3) kā ( x-(-3)), jo pašā shēmā piedalīsies tieši -3. Augšējā rindā rakstīsim koeficientus, apakšējā rindā - darbību rezultātu.

f(x)=(x-2)(1)+16.

Sakņu atrašana pēc Hornera shēmas. Sakņu veidi

Saskaņā ar Hornera shēmu var atrast polinoma veselas saknes f(x). Apskatīsim to ar piemēru.

Piemērs. Atrodiet visas polinoma veselo skaitļu saknes f(x)= , izmantojot Hornera shēmu.

Lēmums.Šī polinoma koeficienti ir veseli skaitļi. Koeficients pirms augstākās pakāpes (mūsu gadījumā pirms) ir vienāds ar vienu. Tāpēc mēs meklēsim polinoma veselās saknes starp brīvā vārda dalītājiem (mums ir 15), tie ir skaitļi:

Sāksim ar skaitli 1.

1. tabula

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38

No iegūtās tabulas var redzēt, ka =1 polinoma polinoms f(x)= , mēs saņēmām atlikumu r=192, nevis 0, kas nozīmē, ka vienība nav sakne. Tāpēc mēs turpinām pārbaudi pie =-1. Lai to izdarītu, mēs neveidosim jaunu tabulu, bet turpināsim vecajā un izsvītrosim datus, kas vairs nav nepieciešami.

Tabulas numurs 2

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22

Kā redzams no tabulas, pēdējā šūna izrādījās nulle, kas nozīmē, ka r=0. Tātad? skaitlis -1 ir šī polinoma sakne. Mūsu polinoma polinoma dalīšana f(x)= uz ()=x+1 mēs ieguvām polinomu

f(x)=(x+1)(),

koeficientus, kuriem ņēmām no tabulas Nr.2 trešās rindas.

Mēs varam veikt arī līdzvērtīgu apzīmējumu

(x+1)(). Atzīmē viņu (1)

Tagad jāturpina veselo skaitļu sakņu meklēšana, bet tikai tagad jau meklēsim polinoma saknes. Šīs saknes mēs meklēsim starp polinoma brīvo terminu, skaitli 45.

Vēlreiz pārbaudīsim skaitli -1.

3. tabula

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22

Tādējādi skaitlis -1 ir polinoma sakne, to var uzrakstīt kā

Ņemot vērā vienlīdzību (2), vienādību (1) varam rakstīt šādā formā

Tagad mēs meklējam polinoma saknes, atkal starp brīvā termina dalītājiem. Vēlreiz pārbaudīsim skaitli -1.

Tabula Nr.4

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21

Saskaņā ar tabulu mēs redzam, ka skaitlis -1 ir polinoma sakne.

Ņemot vērā (3*), mēs varam pārrakstīt vienādību (2*) šādi:

Tagad mēs meklēsim sakni . Atkal aplūkojam brīvā termiņa dalītājus. Sāksim vēlreiz pārbaudīt ar skaitli -1.

Tabulas numurs 5

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19

Mēs saņēmām atlikumu, kas nav vienāds ar nulli, kas nozīmē, ka skaitlis -1 nav polinoma sakne. Pārbaudīsim nākamo numuru 1.

Tabula Nr.6

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21

Un mēs redzam, ka atkal tas neatbilst, atlikums ir r(x) = 24. Mēs ņemam jaunu skaitli.

Pārbaudīsim skaitli 3.

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15

Tabulas numurs 7

r(x)= 0, tas nozīmē, ka skaitlis 3 ir polinoma sakne, mēs varam uzrakstīt šo polinomu kā:

=(x-3)( )

Ņemot vērā iegūto izteiksmi, mēs varam uzrakstīt vienādību (5) šādi:

(x-3)( ) (6)

Tagad pārbaudīsim polinomu

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15
	+

Tabula Nr.8

Pamatojoties uz tabulu, mēs redzam, ka skaitlis 3 ir polinoma sakne . Tagad rakstīsim sekojošo:

Mēs rakstām vienādību (5*), ņemot vērā iegūto izteiksmi, šādi:

(x-3)()= = .

Atrodiet binoma sakni starp brīvā vārda dalītājiem.

Ņemsim skaitli 5

Tabula Nr.9

			-21	-20
	+			-18	-38
			-18	-38
	+	-1	-1		-2	-69	-45
-1			-22
	+	-1			-24	-45
-1			-22
	+	-1			-45
-1		-1	-21
	+	-1
-1		-2	-19
	+			-21
			-21
	+			-45
			-15
	+
	+	-5
-5

r(x)=0, tātad 5 ir binoma sakne.

Tādējādi mēs varam rakstīt

Lēmums šis piemērs būs tabulas numurs 8.

Kā redzams tabulā, skaitļi -1; 3; 5 ir polinoma saknes.

Tagad pāriesim tieši uz sakņu veidi.

1 ir trešās pakāpes sakne, jo iekava (x + 1) atrodas trešajā pakāpē;

3- otrās pakāpes sakne, iekava (x-3) otrajā pakāpē;

5 ir pirmās pakāpes sakne jeb, citiem vārdiem sakot, vienkārša.

Svarīgas piezīmes!
1. Ja formulu vietā redzat abrakadabra, iztīriet kešatmiņu. Šeit ir rakstīts, kā to izdarīt savā pārlūkprogrammā:
2. Pirms sākat lasīt rakstu, pievērsiet uzmanību mūsu navigatoram noderīgs resurss priekš

Terminā "kvadrātvienādojums" atslēgas vārds ir "kvadrātvienādojums". Tas nozīmē, ka vienādojumā kvadrātā obligāti ir jāietver mainīgais (tas pats X), un tajā pašā laikā trešajā (vai lielākā) pakāpē nedrīkst būt X.

Daudzu vienādojumu risinājums tiek reducēts uz kvadrātvienādojumu atrisinājumu.

Mācīsimies noteikt, ka mums ir kvadrātvienādojums, nevis kāds cits.

1. piemērs

Atbrīvojieties no saucēja un reiziniet katru vienādojuma daļu ar

Pārvietosim visu uz kreiso pusi un sakārtosim terminus dilstošā x pakāpju secībā

Tagad mēs to varam droši apgalvot dots vienādojums ir kvadrātveida!

2. piemērs

Reiziniet kreiso un labo pusi ar:

Šis vienādojums, lai gan sākotnēji tajā bija, nav kvadrāts!

3. piemērs

Sareizināsim visu ar:

Baisi? Ceturtā un otrā pakāpe ... Tomēr, ja mēs veiksim nomaiņu, mēs redzēsim, ka mums ir vienkāršs kvadrātvienādojums:

4. piemērs

Šķiet, ka tā ir, bet paskatīsimies tuvāk. Pārvietosim visu uz kreiso pusi:

Redziet, tas ir sarucis – un tagad tas ir vienkāršs lineārs vienādojums!

Tagad mēģiniet pats noteikt, kuri no šiem vienādojumiem ir kvadrātvienādojumi un kuri nav:

Piemēri:

Atbildes:

1. kvadrāts;
2. kvadrāts;
3. nav kvadrātveida;
4. nav kvadrātveida;
5. nav kvadrātveida;
6. kvadrāts;
7. nav kvadrātveida;
8. kvadrāts.

Matemātiķi nosacīti sadala visus kvadrātvienādojumus šādos veidos:

• Pilnīgi kvadrātvienādojumi- vienādojumi, kuros koeficienti un, kā arī brīvais termins c nav vienādi ar nulli (kā piemērā). Turklāt starp pilnīgajiem kvadrātvienādojumiem ir dots ir vienādojumi, kuros koeficients (vienādojums no pirmā piemēra ir ne tikai pilnīgs, bet arī samazināts!)

• Nepilnīgi kvadrātvienādojumi- vienādojumi, kuros koeficients un/vai brīvais termins c ir vienāds ar nulli:

  Tie ir nepilnīgi, jo tajos trūkst kāda elementa. Bet vienādojumā vienmēr ir jābūt x kvadrātā !!! Pretējā gadījumā tas vairs nebūs kvadrātvienādojums, bet gan kāds cits vienādojums.

Kāpēc viņi izdomāja šādu sadalījumu? Šķiet, ka ir X kvadrātā, un labi. Šāds sadalījums ir saistīts ar risināšanas metodēm. Apskatīsim katru no tiem sīkāk.

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana

Pirmkārt, pievērsīsimies nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanai – tie ir daudz vienkāršāki!

Ir šādi nepilnīgi kvadrātvienādojumi:

1. , šajā vienādojumā koeficients ir vienāds.
2. , šajā vienādojumā brīvais termins ir vienāds ar.
3. , šajā vienādojumā koeficients un brīvais termins ir vienādi.

1. i. Tā kā mēs zinām, kā iegūt Kvadrātsakne, tad izteiksim no šī vienādojuma

Izteiksme var būt gan negatīva, gan pozitīva. Skaitlis kvadrātā nevar būt negatīvs, jo, reizinot divus negatīvus vai divus pozitīvus skaitļus, rezultāts vienmēr būs pozitīvs skaitlis, tātad: ja, tad vienādojumam nav atrisinājumu.

Un ja, tad mēs iegūstam divas saknes. Šīs formulas nav jāiegaumē. Galvenais ir tas, ka vienmēr jāzina un jāatceras, ka mazāk nevar būt.

Mēģināsim atrisināt dažus piemērus.

5. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Tagad atliek izvilkt sakni no kreisās un labās daļas. Galu galā, vai jūs atceraties, kā iegūt saknes?

Atbilde:

Nekad neaizmirstiet par saknēm ar negatīvu zīmi!!!

6. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Atbilde:

7. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Ak! Skaitļa kvadrāts nevar būt negatīvs, kas nozīmē, ka vienādojums

nav sakņu!

Šādiem vienādojumiem, kuros nav sakņu, matemātiķi izdomāja īpašu ikonu - (tukšs komplekts). Un atbildi var uzrakstīt šādi:

Atbilde:

Tādējādi šim kvadrātvienādojumam ir divas saknes. Šeit nav nekādu ierobežojumu, jo mēs neizņēmām sakni.
8. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Izņemsim kopējo faktoru no iekavām:

Tādējādi

Šim vienādojumam ir divas saknes.

Atbilde:

Vienkāršākais nepilnīgo kvadrātvienādojumu veids (lai gan tie visi ir vienkārši, vai ne?). Acīmredzot šim vienādojumam vienmēr ir tikai viena sakne:

Šeit mēs iztiksim bez piemēriem.

Pilnu kvadrātvienādojumu risināšana

Atgādinām, ka pilns kvadrātvienādojums ir formas vienādojuma vienādojums, kur

Pilnu kvadrātvienādojumu atrisināšana ir nedaudz sarežģītāka (tikai nedaudz) nekā norādītie.

Atcerieties, jebkuru kvadrātvienādojumu var atrisināt, izmantojot diskriminantu! Pat nepilnīgi.

Pārējās metodes palīdzēs to izdarīt ātrāk, taču, ja rodas problēmas ar kvadrātvienādojumiem, vispirms apgūstiet risinājumu, izmantojot diskriminantu.

1. Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot diskriminantu.

Kvadrātvienādojumu risināšana šādā veidā ir ļoti vienkārša, galvenais ir atcerēties darbību secību un pāris formulas.

Ja, tad vienādojumam ir sakne Īpaša uzmanība uzzīmē soli. Diskriminants () norāda mums vienādojuma sakņu skaitu.

• Ja, tad solī esošā formula tiks samazināta līdz. Tādējādi vienādojumam būs tikai sakne.
• Ja, tad mēs nevarēsim izdalīt diskriminanta sakni solī. Tas norāda, ka vienādojumam nav sakņu.

Atgriezīsimies pie mūsu vienādojumiem un apskatīsim dažus piemērus.

9. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

1. darbība izlaist.

2. darbība

Diskriminanta atrašana:

Tātad vienādojumam ir divas saknes.

3. darbība

Atbilde:

10. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Vienādojums ir standarta formā, tātad 1. darbība izlaist.

2. darbība

Diskriminanta atrašana:

Tātad vienādojumam ir viena sakne.

Atbilde:

11. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Vienādojums ir standarta formā, tātad 1. darbība izlaist.

2. darbība

Diskriminanta atrašana:

Tas nozīmē, ka mēs nevarēsim izdalīt sakni no diskriminanta. Vienādojumam nav sakņu.

Tagad mēs zinām, kā pareizi pierakstīt šādas atbildes.

Atbilde: nav sakņu

2. Kvadrātvienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu.

Ja atceraties, tad ir tāda veida vienādojumi, kurus sauc par reducētiem (kad koeficients a ir vienāds ar):

Šādus vienādojumus ir ļoti viegli atrisināt, izmantojot Vietas teorēmu:

Sakņu summa dots kvadrātvienādojums ir vienāds, un sakņu reizinājums ir vienāds.

12. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Šis vienādojums ir piemērots atrisināšanai, izmantojot Vietas teorēmu, jo .

Vienādojuma sakņu summa ir, t.i. mēs iegūstam pirmo vienādojumu:

Un produkts ir:

Izveidosim un atrisināsim sistēmu:

• un. Summa ir;
• un. Summa ir;
• un. Summa ir vienāda.

un ir sistēmas risinājums:

Atbilde: ; .

13. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Atbilde:

14. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Vienādojums ir samazināts, kas nozīmē:

Atbilde:

Kvadrātvienādojumi. VIDĒJS LĪMENIS

Kas ir kvadrātvienādojums?

Citiem vārdiem sakot, kvadrātvienādojums ir formas vienādojums, kur - nezināms, - daži skaitļi, turklāt.

Skaitli sauc par lielāko vai pirmais koeficients kvadrātvienādojums, - otrais koeficients, a - bezmaksas dalībnieks.

Kāpēc? Jo, ja, vienādojums uzreiz kļūs lineārs, jo pazudīs.

Šajā gadījumā un var būt vienāds ar nulli. Šajā izkārnījumu vienādojumu sauc par nepilnīgu. Ja visi termini ir vietā, tas ir, vienādojums ir pabeigts.

Dažādu veidu kvadrātvienādojumu risinājumi

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes:

Sākumā mēs analizēsim nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes - tās ir vienkāršākas.

Var atšķirt šādus vienādojumu veidus:

I. , šajā vienādojumā koeficients un brīvais loceklis ir vienādi.

II. , šajā vienādojumā koeficients ir vienāds.

III. , šajā vienādojumā brīvais termins ir vienāds ar.

Tagad apsveriet katra šī apakštipa risinājumu.

Acīmredzot šim vienādojumam vienmēr ir tikai viena sakne:

Skaitlis kvadrātā nevar būt negatīvs, jo, reizinot divus negatīvus vai divus pozitīvus skaitļus, rezultāts vienmēr būs pozitīvs skaitlis. Tātad:

ja, tad vienādojumam nav atrisinājumu;

ja mums ir divas saknes

Šīs formulas nav jāiegaumē. Galvenais, kas jāatceras, ir tas, ka tas nevar būt mazāks.

Piemēri:

Risinājumi:

Atbilde:

Nekad neaizmirstiet par saknēm ar negatīvu zīmi!

Skaitļa kvadrāts nevar būt negatīvs, kas nozīmē, ka vienādojums

nav sakņu.

Lai īsi uzrakstītu, ka problēmai nav risinājumu, mēs izmantojam tukšas kopas ikonu.

Atbilde:

Tātad šim vienādojumam ir divas saknes: un.

Atbilde:

Izņemsim kopējo faktoru no iekavām:

Produkts ir nulle, ja vismaz viens no faktoriem nulle. Tas nozīmē, ka vienādojumam ir risinājums, ja:

Tātad šim kvadrātvienādojumam ir divas saknes: un.

Piemērs:

Atrisiniet vienādojumu.

Lēmums:

Mēs faktorizējam vienādojuma kreiso pusi un atrodam saknes:

Atbilde:

Pilnu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes:

1. Diskriminants

Kvadrātvienādojumu risināšana šādā veidā ir vienkārša, galvenais ir atcerēties darbību secību un pāris formulas. Atcerieties, ka jebkuru kvadrātvienādojumu var atrisināt, izmantojot diskriminantu! Pat nepilnīgi.

Vai saknes formulā pamanījāt diskriminanta sakni? Bet diskriminants var būt negatīvs. Ko darīt? Īpaša uzmanība jāpievērš 2. solim. Diskriminants norāda vienādojuma sakņu skaitu.

• Ja, tad vienādojumam ir sakne:
• Ja, tad vienādojumam ir viena sakne, bet patiesībā viena sakne:

  Šādas saknes sauc par dubultsaknēm.

• Ja, tad diskriminanta sakne netiek izvilkta. Tas norāda, ka vienādojumam nav sakņu.

Kāpēc ir atšķirīgs sakņu skaits? Pievērsīsimies kvadrātvienādojuma ģeometriskajai nozīmei. Funkcijas grafiks ir parabola:

Konkrētā gadījumā, kas ir kvadrātvienādojums, . Un tas nozīmē, ka kvadrātvienādojuma saknes ir krustošanās punkti ar x asi (asi). Parabola var nešķērsot asi vispār vai šķērsot to vienā (ja parabolas augšdaļa atrodas uz ass) vai divos punktos.

Turklāt koeficients ir atbildīgs par parabolas zaru virzienu. Ja, tad parabolas zari ir vērsti uz augšu, un, ja - tad uz leju.

Piemēri:

Risinājumi:

Atbilde:

Atbilde:.

Atbilde:

Tas nozīmē, ka risinājumu nav.

Atbilde:.

2. Vietas teorēma

Vietas teorēmas izmantošana ir ļoti vienkārša: jums vienkārši jāizvēlas skaitļu pāris, kuru reizinājums ir vienāds ar vienādojuma brīvo daļu, un summa ir vienāda ar otro koeficientu, kas ņemts ar pretēju zīmi.

Ir svarīgi atcerēties, ka Vietas teorēmu var attiecināt tikai uz doti kvadrātvienādojumi ().

Apskatīsim dažus piemērus:

1. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu.

Lēmums:

Šis vienādojums ir piemērots atrisināšanai, izmantojot Vietas teorēmu, jo . Citi koeficienti: ; .

Vienādojuma sakņu summa ir:

Un produkts ir:

Atlasīsim tādus skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds, un pārbaudīsim, vai to summa ir vienāda:

• un. Summa ir;
• un. Summa ir;
• un. Summa ir vienāda.

un ir sistēmas risinājums:

Tādējādi un ir mūsu vienādojuma saknes.

Atbilde: ; .

2. piemērs:

Lēmums:

Mēs izvēlamies tādus skaitļu pārus, kas dod reizinājumu, un pēc tam pārbaudām, vai to summa ir vienāda:

un: dot kopā.

un: dot kopā. Lai to iegūtu, jums vienkārši jāmaina iespējamo sakņu pazīmes: un galu galā produkts.

Atbilde:

3. piemērs:

Lēmums:

Vienādojuma brīvais termins ir negatīvs, un līdz ar to sakņu reizinājums ir negatīvs skaitlis. Tas ir iespējams tikai tad, ja viena no saknēm ir negatīva, bet otra ir pozitīva. Tātad sakņu summa ir to moduļu atšķirības.

Mēs izvēlamies tādus skaitļu pārus, kas ir produktā un kuru starpība ir vienāda ar:

un: to atšķirība ir - nav piemērota;

un: - nav piemērots;

un: - nav piemērots;

un: - piemērots. Atliek tikai atcerēties, ka viena no saknēm ir negatīva. Tā kā to summai jābūt vienādai, tad saknei, kas ir mazāka absolūtā vērtībā, jābūt negatīvai: . Mēs pārbaudām:

Atbilde:

4. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu.

Lēmums:

Vienādojums ir samazināts, kas nozīmē:

Brīvais termins ir negatīvs, un līdz ar to sakņu reizinājums ir negatīvs. Un tas ir iespējams tikai tad, ja viena vienādojuma sakne ir negatīva, bet otra ir pozitīva.

Mēs izvēlamies tādus skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds, un pēc tam nosakām, kurām saknēm jābūt ar negatīvu zīmi:

Acīmredzot tikai saknes un ir piemērotas pirmajam nosacījumam:

Atbilde:

5. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu.

Lēmums:

Vienādojums ir samazināts, kas nozīmē:

Sakņu summa ir negatīva, kas nozīmē, ka vismaz viena no saknēm ir negatīva. Bet, tā kā viņu produkts ir pozitīvs, tas nozīmē, ka abas saknes ir mīnus.

Mēs izvēlamies tādus skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds ar:

Acīmredzot saknes ir skaitļi un.

Atbilde:

Piekrītu, tas ir ļoti ērti - izdomāt saknes mutiski, nevis skaitīt šo nejauko diskriminantu. Centieties pēc iespējas biežāk izmantot Vietas teorēmu.

Bet Vieta teorēma ir nepieciešama, lai atvieglotu un paātrinātu sakņu atrašanu. Lai jums būtu izdevīgi to izmantot, jums ir jāvirza darbības uz automatizāciju. Un šim nolūkam atrisiniet vēl piecus piemērus. Bet nekrāpieties: jūs nevarat izmantot diskriminantu! Tikai Vietas teorēma:

Patstāvīga darba uzdevumu risinājumi:

Uzdevums 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Saskaņā ar Vietas teorēmu:

Kā parasti, atlasi sākam ar produktu:

Nav piemērots, jo daudzums;

: summa ir tāda, kāda jums ir nepieciešama.

Atbilde: ; .

2. uzdevums.

Un atkal mūsu iecienītākā Vieta teorēma: summai vajadzētu izdoties, bet reizinājums ir vienāds.

Bet tā kā tam nevajadzētu būt, bet, mēs mainām sakņu zīmes: un (kopā).

Atbilde: ; .

3. uzdevums.

Hmm... Kur tas ir?

Visi termini ir jāsadala vienā daļā:

Sakņu summa ir vienāda ar produktu.

Jā, beidz! Vienādojums nav dots. Bet Vietas teorēma ir piemērojama tikai dotajos vienādojumos. Tātad vispirms jums ir jāienes vienādojums. Ja nevarat to aktualizēt, atmetiet šo ideju un atrisiniet to citā veidā (piemēram, izmantojot diskriminantu). Atgādināšu, ka kvadrātvienādojumu ienesšana nozīmē vadošo koeficientu padarīt vienādu ar:

Labi. Tad sakņu summa ir vienāda, un reizinājums.

Šeit ir vieglāk uzņemt: galu galā - pirmskaitlis (atvainojiet par tautoloģiju).

Atbilde: ; .

4. uzdevums.

Brīvais termiņš ir negatīvs. Kas tur tik īpašs? Un tas, ka saknes būs dažādu zīmju. Un tagad atlases laikā mēs pārbaudām nevis sakņu summu, bet gan to moduļu atšķirību: šī atšķirība ir vienāda, bet produkts.

Tātad, saknes ir vienādas un, bet viena no tām ir ar mīnusu. Vietas teorēma saka, ka sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretēju zīmi, tas ir. Tas nozīmē, ka mazākajai saknei būs mīnuss: un kopš.

Atbilde: ; .

5. uzdevums.

Kas vispirms jādara? Tieši tā, sniedziet vienādojumu:

Atkal: mēs izvēlamies skaitļa faktorus, un to starpībai jābūt vienādai ar:

Saknes ir vienādas un, bet viena no tām ir mīnus. Kuru? To summai jābūt vienādai, kas nozīmē, ka ar mīnusu būs lielāka sakne.

Atbilde: ; .

Ļaujiet man apkopot:

1. Vietas teorēma tiek izmantota tikai dotajos kvadrātvienādojumos.
2. Izmantojot Vieta teorēmu, jūs varat atrast saknes pēc atlases, mutiski.
3. Ja vienādojums nav dots vai nav atrasts piemērots brīvā vārda faktoru pāris, tad nav veselu skaitļu sakņu, un tas ir jāatrisina citā veidā (piemēram, izmantojot diskriminantu).

3. Pilna kvadrāta atlases metode

Ja visi nezināmo saturošie termini ir attēloti kā termini no saīsinātās reizināšanas formulām - summas vai starpības kvadrāts -, tad pēc mainīgo lielumu maiņas vienādojumu var attēlot kā nepilnu veida kvadrātvienādojumu.

Piemēram:

1. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu:.

Lēmums:

Atbilde:

2. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu:.

Lēmums:

Atbilde:

AT vispārējs skats transformācija izskatīsies šādi:

Tas nozīmē:.

Vai tas tev neko neatgādina? Tas ir diskriminants! Tieši tā tika iegūta diskriminanta formula.

Kvadrātvienādojumi. ĪSUMĀ PAR GALVENO

Kvadrātvienādojums ir formas vienādojums, kur ir nezināmais, ir kvadrātvienādojuma koeficienti, ir brīvais termins.

Pilnīgs kvadrātvienādojums- vienādojums, kurā koeficienti nav vienādi ar nulli.

Samazināts kvadrātvienādojums- vienādojums, kurā koeficients, tas ir: .

Nepilns kvadrātvienādojums- vienādojums, kurā koeficients un/vai brīvais termins c ir vienāds ar nulli:

• ja koeficients, vienādojumam ir šāda forma: ,
• ja ir brīvs termins, vienādojumam ir šāda forma: ,
• ja un, vienādojumam ir šāda forma: .

1. Algoritms nepilnu kvadrātvienādojumu risināšanai

1.1. Formas nepilnīgs kvadrātvienādojums, kur:

1) Izsakiet nezināmo: ,

2) Pārbaudiet izteiksmes zīmi:

• ja, tad vienādojumam nav atrisinājumu,
• ja, tad vienādojumam ir divas saknes.

1.2. Formas nepilnīgs kvadrātvienādojums, kur:

1) Izņemsim kopējo koeficientu no iekavām: ,

2) reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Tāpēc vienādojumam ir divas saknes:

1.3. Formas nepilnīgs kvadrātvienādojums, kur:

Šim vienādojumam vienmēr ir tikai viena sakne: .

2. Algoritms pilnu kvadrātvienādojumu atrisināšanai ar formu kur

2.1. Risinājums, izmantojot diskriminantu

1) Mēs pielīdzinām vienādojumu standarta forma: ,

2) Aprēķiniet diskriminantu, izmantojot formulu: , kas norāda vienādojuma sakņu skaitu:

3) Atrodiet vienādojuma saknes:

• ja, tad vienādojumam ir sakne, ko atrod pēc formulas:
• ja, tad vienādojumam ir sakne, ko atrod pēc formulas:
• ja, tad vienādojumam nav sakņu.

2.2. Risinājums, izmantojot Vietas teorēmu

Reducētā kvadrātvienādojuma (formas vienādojums, kur) sakņu summa ir vienāda, un sakņu reizinājums ir vienāds, t.i. , a.

2.3. Pilna kvadrāta risinājums

Ja formas kvadrātvienādojumam ir saknes, tad to var uzrakstīt formā: .

Nu tēma beigusies. Ja tu lasi šīs rindas, tad tu esi ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un ja esi izlasījis līdz galam, tad esi 5% robežās!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat izdomājis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, tas ir ... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Par ko?

Par veiksmīgu nokārtojot eksāmenu, par uzņemšanu institūtā par budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri saņēma laba izglītība, nopelna daudz vairāk nekā tie, kuri to nesaņēma. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, ka viņi ir LAIMĪGĀK (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai pārliecinātos, ka eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

PIEPILDĪT ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmenā jums netiks jautāta teorija.

Jums būs nepieciešams atrisināt problēmas laikā.

Un, ja neesi tos atrisinājis (DAUDZ!), tad noteikti kaut kur pieļausi stulbu kļūdu vai vienkārši nepieļausi laikus.

Tas ir kā sportā – vajag vairākas reizes atkārtot, lai noteikti uzvarētu.

Atrodiet kolekciju jebkurā vietā obligāti ar risinājumiem detalizēta analīze un izlem, izlem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (nav nepieciešams), un mēs tos noteikti iesakām.

Lai izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt tās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku, kuru pašlaik lasāt.

Kā? Ir divas iespējas:

1. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem šajā rakstā -
2. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 apmācības rakstos - Pērciet mācību grāmatu - 499 rubļi

Jā, mums mācību grāmatā ir 99 šādi raksti un uzreiz var atvērt visus uzdevumus un visus tajos slēptos tekstus.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta visu vietnes darbības laiku.

Noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Tikai neapstājieties ar teoriju.

“Sapratu” un “Es zinu, kā atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini!

2. slaids

Kvadrātvienādojumu cikls algebras stundās 8. klasē pēc mācību grāmatas A.G. Mordkovičs

Skolotājs MBOU Grushevskaya vidusskola Kireeva T.A.

3. slaids

Mērķi: iepazīstināt ar kvadrātvienādojuma jēdzieniem, kvadrātvienādojuma sakni; parādīt kvadrātvienādojumu atrisinājumus; veidot spēju atrisināt kvadrātvienādojumus; parādīt veidu, kā atrisināt pilnīgus kvadrātvienādojumus, izmantojot kvadrātvienādojuma sakņu formulu.

4. slaids

5. slaids

Nedaudz vēstures Kvadrātvienādojumi Senajā Babilonā. Nepieciešamību risināt ne tikai pirmās, bet arī otrās pakāpes vienādojumus jau senatnē radīja nepieciešamība risināt problēmas, kas saistītas ar zemes platību atrašanu un ar zemes darbi militāro raksturu, kā arī ar pašas astronomijas un matemātikas attīstību. Babilonieši prata atrisināt kvadrātvienādojumus apmēram 2000 gadus pirms mūsu ticības. Pielietojot mūsdienu algebrisko apzīmējumu, var teikt, ka viņu ķīļrakstu tekstos bez nepilnīgajiem ir arī tādi, piemēram, pilnīgi kvadrātvienādojumi.

6. slaids

Šo vienādojumu risināšanas noteikums, kas izklāstīts babiloniešu tekstos, sakrīt ar mūsdienu, taču nav zināms, kā babilonieši nonāca pie šī noteikuma. Gandrīz visi līdz šim atrastie ķīļrakstu teksti sniedz tikai problēmas ar recepšu veidā norādītiem risinājumiem, bez norādes par to, kā tie atrasti. Par spīti augsts līmenis algebras attīstība Babilonijā, negatīvā skaitļa jēdziens un vispārīgas kvadrātvienādojumu risināšanas metodes ķīļraksta tekstos nav.

7. slaids

Definīcija 1. Kvadrātvienādojums ir vienādojums ar formu, kurā koeficienti a, b, c ir jebkuri reāli skaitļi, un polinomu sauc par kvadrātveida trinomu. a ir pirmais jeb augstākais koeficients c ir otrais koeficients c ir brīvs termins

8. slaids

Definīcija 2. Kvadrātvienādojumu sauc par reducētu, ja tā vadošais koeficients ir vienāds ar 1; kvadrātvienādojumu sauc par nereducētu, ja vadošais koeficients atšķiras no 1. Piemērs. 2 - 5 + 3 = 0 - nereducēts kvadrātvienādojums - reducēts kvadrātvienādojums

9. slaids

3. definīcija. Pilns kvadrātvienādojums ir kvadrātvienādojums, kurā ir iekļauti visi trīs termini. a + in + c \u003d 0 Nepilns kvadrātvienādojums ir vienādojums, kurā nav iekļauti visi trīs termini; ir vienādojums, kuram vismaz viens no koeficientiem c ir vienāds ar nulli.

10. slaids

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes.

11. slaids

Atrisiniet uzdevumus Nr. 24.16 (a, b) Atrisiniet vienādojumu: vai Atbildiet. vai Atbilde.

12. slaids

4. definīcija Kvadrātvienādojuma sakne ir jebkura mainīgā x vērtība, pie kuras izzūd kvadrātvienādojuma trijstūris; šādu mainīgā x vērtību sauc arī par kvadrātvienādojuma sakni.Kvadrātvienādojuma atrisināšana nozīmē atrast visas tā saknes vai konstatēt, ka sakņu nav.

13. slaids

Kvadrātvienādojuma diskriminants D 0 D=0 Vienādojumam nav sakņu Vienādojumam ir divas saknes Vienādojumam ir viena sakne Formulas kvadrātvienādojuma saknēm

14. slaids

D>0 kvadrātvienādojumam ir divas saknes, kuras atrod ar formulām Piemērs. Atrisiniet vienādojumu Risinājums. a \u003d 3, b \u003d 8, c \u003d -11, Atbilde: 1; -3

15. slaids

Kvadrātvienādojuma risināšanas algoritms 1. Aprēķiniet diskriminantu D, izmantojot formulu D = 2. Ja D 0, tad kvadrātvienādojumam ir divas saknes.

Programmēšana iekšā Lācars skolēniem.

Nodarbības numurs 12.

Kvadrātvienādojuma atrisinājums.

Maticins Igors Vladimirovičs

Matemātikas un informātikas skolotājs

MBOU vidusskola ar. meitene

Mērķis: uzrakstīt programmu kvadrātvienādojuma risināšanai, izmantojot jebkuru ievadi.

Meitene 2013.

Kvadrātvienādojums ir viens no visizplatītākajiem skolas kursu vienādojumiem. Lai gan tas ir diezgan viegli atrisināms, dažreiz jums ir jāpārbauda atbildes. Šim nolūkam jūs varat izmantot vienkārša programma. Nepaies ilgs laiks, lai to uzrakstītu.

Jums jāsāk ar pašu kvadrātvienādojumu. No algebras kursa mēs zinām, ka kvadrātvienādojums ir formas vienādojums cirvis 2 + bx + c =0, kur x - mainīgs, a , b un c ir daži skaitļi, un a .

No definīcijas var redzēt, ka vienādojumā mainās tikai koeficienti a , b un c . Šie ir parametri, kurus ievadīsim mūsu programmā, un šim nolūkam mēs izveidosim trīs ievades laukus no komponentiem.

14.1. att. Koeficientu ievades lauki.

No definīcijas arī izriet, ka a . Šajā gadījumā vienādojums nebūs kvadrātisks. Un mēs vispirms pārbaudīsim šo nosacījumu. Izmantojot operatoru, izveidosim pogu "Atrisināt" un tās notikumu izstrādātāju ja pārbaudiet stāvokli a . Un ja a =0 mēs sakām, ka mūsu vienādojums nav kvadrātisks.Šeit ir pogas notikumu apstrādātājs:procedūra TForm1.Button1Click(Sender: TObject); var a,b,c:real; begin a:=strtofloat(rediģēt1.Teksts); b:=strtofloat(rediģēt2.Teksts); c:=strtofloat(rediģēt3.Teksts); ja a=0, tad Label4.Caption:="Vienādojums nav kvadrāts";beigas;

Rīsi. 14.2. Vienādojuma esamības pārbaude.

Tagad ir jāapraksta, kas notiks, ja vienādojums ir kvadrātisks. Tas arī būs tajā pašā paziņojumā ja pēc vārda cits un izmantojot salikto operatoru.

Ja vienādojums ir kvadrātvienādojums, tad to nekavējoties atrisināsim, izmantojot diskriminanta formulu un kvadrātvienādojuma saknes.

Mēs atrodam diskriminantu pēc formulas: D := b * b – 4* a * c ;

Ja diskriminants ir mazāks par nulli, tad vienādojumam nav atrisinājumu. Tas tiks aprakstīts šādi:

Ja d tad etiķete 4. Paraksts :='Vienādojumam nav atrisinājumu' cits …

Un tad cits būs tieša vienādojuma sakņu meklēšana, izmantojot formulas:

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

Šeit ir pilns operatora kods ja :

ja a=0, tad Label4.Caption:="Vienādojums nav kvadrāts" else

sākt

D:=b*b-4*a*c;

ja d

sākt

X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;

X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;

Label4.Caption:="X1="+floattostr(x1)+" X2="+floattostr(x2);

beigas;

beigas;

Rīsi. 14.3. Programmas kvadrātvienādojuma darba logs.

Kvadrātvienādojums ir vienādojums ar formu a*x^2 +b*x+c=0, kur a,b,c ir daži patvaļīgi reāli (reāli) skaitļi, un x ir mainīgais. Un skaitlis a=0.

Skaitļus a,b,c sauc par koeficientiem. Skaitlis a - tiek saukts par vadošo koeficientu, skaitlis b ir koeficients pie x, un skaitlis c tiek saukts par brīvo locekli.

Kvadrātvienādojumu risināšana

Kvadrātvienādojuma atrisināšana nozīmē atrast visas tā saknes vai konstatēt faktu, ka kvadrātvienādojumam nav sakņu. Kvadrātvienādojuma a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 sakne ir jebkura mainīgā x vērtība, kvadrātveida trinomāls a*x^2 +b*x+c pazūd. Dažreiz šādu x vērtību sauc par kvadrātveida trinoma sakni.

Ir vairāki veidi, kā atrisināt kvadrātvienādojumus. Apsveriet vienu no tiem - visdaudzpusīgāko. To var izmantot, lai atrisinātu jebkuru kvadrātvienādojumu.

Formulas kvadrātvienādojumu risināšanai

Kvadrātvienādojuma sakņu formula ir a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), kur D =b^2-4*a*c.

Šo formulu iegūst, atrisinot vienādojumu a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 vispārīgā formā, izceļot binoma kvadrātu.

Kvadrātvienādojuma sakņu formulā izteiksmi D (b^2-4*a*c) sauc par kvadrātvienādojuma a*x^2 +b*x+c=0 diskriminantu. Šis nosaukums cēlies no latīņu valoda, tulkojumā "atšķirības līdzeklis". Atkarībā no diskriminanta vērtības kvadrātvienādojumam būs divas vai viena sakne, vai arī sakņu nebūs vispār.

Ja diskriminants ir lielāks par nulli, tad kvadrātvienādojumam ir divas saknes. (x=(-b±√D)/(2*a))

Ja diskriminants ir nulle, tad kvadrātvienādojumam ir viena sakne. (x=(-b/(2*a))

Ja diskriminants ir negatīvs, tad kvadrātvienādojumam nav sakņu.

Vispārīgs kvadrātvienādojuma risināšanas algoritms

Pamatojoties uz iepriekš minēto, mēs formulējam vispārīgu algoritmu kvadrātvienādojuma a*x^2 +b*x+c=0 atrisināšanai, izmantojot formulu:

1. Atrodiet diskriminanta vērtību, izmantojot formulu D =b^2-4*a*c.

2. Atkarībā no diskriminanta vērtības aprēķiniet saknes, izmantojot formulas:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Šis algoritms ir universāls un piemērots jebkuru kvadrātvienādojumu risināšanai. Pilnīgs un nepilnīgs, citēts un necitēts.