Ko nozīmē identiski vienāds? Identiski vienādi izteicieni: definīcija, piemēri

Pētot algebru, mēs saskārāmies ar jēdzieniem polinoms (piemēram ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ un tā tālāk) un algebriskā daļa (piemēram, $\frac(x+5)(x) )$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ utt.) Šo jēdzienu līdzība ir tāda, ka gan polinomos, gan algebriskajās daļās pastāv ir mainīgie un skaitliskās vērtības, aritmētiskās darbības: saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, kāpināšana. Atšķirība starp šiem jēdzieniem ir tāda, ka dalīšana ar mainīgo netiek veikta polinomos, savukārt dalīšanu ar mainīgo var veikt algebriskajās daļās.

Gan polinomus, gan algebriskās daļas matemātikā sauc par racionālām algebriskām izteiksmēm. Bet polinomi ir veselu skaitļu racionālas izteiksmes, un algebriskās daļas ir frakcionēti racionāli izteiksmes.

Veselu skaitli var iegūt no daļskaitļa-racionālas izteiksmes algebriskā izteiksme izmantojot identisku transformāciju, kas šajā gadījumā būs frakcijas galvenā īpašība – daļskaitļu samazināšana. Pārbaudīsim to praksē:

1. piemērs

Transformācija: $\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Lēmums: Konvertēt Dots daļveida racionālais vienādojums iespējams, izmantojot galveno īpašumu frakcijas - saīsinājumi, t.i. dalot skaitītāju un saucēju ar to pašu skaitli vai izteiksmi, kas nav $0$.

Šo daļu nevar uzreiz samazināt, ir nepieciešams konvertēt skaitītāju.

Mēs pārveidojam izteiksmi daļskaitļa skaitītājā, šim nolūkam izmantojam starpības kvadrāta formulu: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Frakcijai ir forma

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)\]

Tagad mēs redzam, ka skaitītājā un saucējā ir kopīgs faktors - šī ir izteiksme $x-2$, uz kuras mēs samazināsim daļu

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]

Pēc samazināšanas mēs iegūstam oriģinālu daļēja racionāla izteiksme$\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ ir kļuvis par polinomu $x-2$, t.i. viss racionāli.

Tagad pievērsīsim uzmanību tam, ka izteiksmes $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ un $x-2\ $ var uzskatīt par identiskām ne visām mainīgā vērtībām, jo lai pastāvētu daļskaitļa racionāla izteiksme un būtu iespējama samazinājums par polinomu $x-2$, daļdaļas saucējs nedrīkst būt vienāds ar $0$ (kā arī koeficients, ar kuru mēs samazinām. šis piemērs saucējs un reizinātājs ir vienādi, taču tas ne vienmēr notiek).

Mainīgās vērtības, kurām pastāvēs algebriskā daļa, sauc par derīgām mainīgajām vērtībām.

Daļas saucējam mēs izvirzījām nosacījumu: $x-2≠0$, tad $x≠2$.

Tātad izteiksmes $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ un $x-2$ ir identiskas visām mainīgā vērtībām, izņemot $2$.

1. definīcija

identiski vienādi izteiksmes ir tās, kas ir vienādas visām iespējamām mainīgā vērtībām.

Identiska transformācija ir jebkura sākotnējās izteiksmes aizstāšana ar identiski vienādu. Šādas transformācijas ietver šādas darbības: saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, iekavas algebriskās daļas uz kopsaucēju, algebrisko daļu samazināšana, līdzīgu terminu samazināšana utt. Jāņem vērā, ka vairākas transformācijas, piemēram, samazināšana, līdzīgu terminu samazināšana, var mainīt mainīgā pieļaujamās vērtības.

Metodes, ko izmanto, lai pierādītu identitāti

Konvertējiet identitātes kreiso pusi uz labo pusi vai otrādi, izmantojot identitātes transformācijas

Samaziniet abas daļas līdz vienai izteiksmei, izmantojot identiskas transformācijas

Pārsūtiet izteiksmes vienā izteiksmes daļā uz citu un pierādiet, ka iegūtā starpība ir vienāda ar $0 $

Kura no iepriekš minētajām metodēm, kas jāizmanto, lai pierādītu doto identitāti, ir atkarīga no sākotnējās identitātes.

2. piemērs

Pierādiet identitāti $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Lēmums: Lai pierādītu šo identitāti, mēs izmantojam pirmo no iepriekš minētajām metodēm, proti, mēs pārveidosim identitātes kreiso pusi, līdz tā būs vienāda ar labo pusi.

Apsveriet identitātes kreiso pusi: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- tā ir divu polinomu atšķirība. Šajā gadījumā pirmais polinoms ir trīs terminu summas kvadrāts. Lai vairāku terminu summu kvadrātā, mēs izmantojam formulu:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Lai to izdarītu, mums jāreizina skaitlis ar polinomu. Atgādiniet, ka šim nolūkam mums ir jāreizina ārpus iekavām esošais kopējais faktors ar katru polinoma terminu iekavās. Tad mēs iegūstam:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Tagad atgriezieties pie sākotnējā polinoma, tam būs šāda forma:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Ņemiet vērā, ka kronšteina priekšā ir zīme “-”, kas nozīmē, ka, atverot kronšteinus, tiek apgrieztas visas iekavās esošās zīmes.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Ja ienesam līdzīgus terminus, tad iegūstam, ka monomi $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ un $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ viens otru atceļ, t.i. to summa ir vienāda ar $ 0 $.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Tātad, veicot identiskas transformācijas, mēs ieguvām identisku izteiksmi sākotnējās identitātes kreisajā pusē

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Ņemiet vērā, ka iegūtā izteiksme parāda, ka sākotnējā identitāte ir patiesa.

Ņemiet vērā, ka sākotnējā identitātē ir atļautas visas mainīgā vērtības, kas nozīmē, ka esam pierādījuši identitāti, izmantojot identiskas transformācijas, un tas attiecas uz visām atļautajām mainīgā vērtībām.

Skaitļus un izteiksmes, kas veido sākotnējo izteiksmi, var aizstāt ar izteiksmēm, kas tām ir identiski vienādas. Šāda sākotnējās izteiksmes transformācija noved pie izteiksmes, kas tai ir identiski vienāda.

Piemēram, izteiksmē 3+x skaitli 3 var aizstāt ar summu 1+2 , kā rezultātā tiek iegūta izteiksme (1+2)+x , kas ir identiski vienāda ar sākotnējo izteiksmi. Cits piemērs: izteiksmē 1+a 5 a 5 pakāpi var aizstāt ar reizinājumu, kas ir identiski tai vienāds, piemēram, formas a·a 4 . Tādējādi mēs iegūsim izteiksmi 1+a·a 4 .

Šī transformācija neapšaubāmi ir mākslīga un parasti ir sagatavošanās kādai turpmākai transformācijai. Piemēram, summā 4·x 3 +2·x 2, ņemot vērā pakāpes īpašības, terminu 4·x 3 var attēlot kā reizinājumu 2·x 2 ·2·x. Pēc šādas transformācijas sākotnējā izteiksme būs 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Acīmredzot terminiem iegūtajā summā ir kopīgs koeficients 2 x 2, tāpēc varam veikt šādu transformāciju - iekavas. Pēc tā mēs nonāksim pie izteiksmes: 2 x 2 (2 x+1) .

Viena un tā paša skaitļa pievienošana un atņemšana

Vēl viena izteiksmes mākslīga transformācija ir viena un tā paša skaitļa vai izteiksmes saskaitīšana un atņemšana vienlaikus. Šāda transformācija ir identiska, jo faktiski tā ir līdzvērtīga nulles pievienošanai, un nulles pievienošana nemaina vērtību.

Apsveriet piemēru. Ņemsim izteiksmi x 2 +2 x . Ja pievienosit tam vienu un atņemsit vienu, tas ļaus nākotnē veikt vēl vienu identisku transformāciju - atlasiet binoma kvadrātu: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1-1=(x+1) 2 -1.

Bibliogrāfija.

Algebra: mācību grāmata 7 šūnām. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teļakovskis. - 17. izd. - M. : Izglītība, 2008. - 240 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. vispārējā izglītība iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teļakovskis. - 16. izd. - M. : Izglītība, 2008. - 271 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovičs A.G. Algebra. 7. klase. Plkst.14 1.daļa Skolēna mācību grāmata izglītības iestādēm/ A. G. Mordkovičs. - 17. izdevums, pievienot. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 lpp.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.

Skaitļu saskaitīšanas un reizināšanas pamatīpašības.

Saskaitīšanas komutatīva īpašība: pārkārtojot terminus, summas vērtība nemainās. Jebkuriem skaitļiem a un b vienādība ir patiesa

Saskaitīšanas asociatīvā īpašība: lai divu skaitļu summai pievienotu trešo skaitli, pirmajam skaitlim var pievienot otrā un trešā summa. Jebkuriem skaitļiem a, b un c vienādība ir patiesa

Reizināšanas komutatīva īpašība: faktoru permutācija nemaina reizinājuma vērtību. Jebkuriem skaitļiem a, b un c vienādība ir patiesa

Reizināšanas asociatīvā īpašība: lai divu skaitļu reizinājumu reizinātu ar trešo skaitli, pirmo skaitli var reizināt ar otrā un trešā reizinājumu.

Jebkuriem skaitļiem a, b un c vienādība ir patiesa

Sadales īpašība: lai reizinātu skaitli ar summu, varat reizināt šo skaitli ar katru vārdu un pievienot rezultātus. Jebkuriem skaitļiem a, b un c vienādība ir patiesa

No saskaitīšanas komutatīvajām un asociatīvajām īpašībām izriet, ka jebkurā summā jūs varat pārkārtot terminus pēc saviem ieskatiem un patvaļīgā veidā apvienot tos grupās.

1. piemērs Aprēķināsim summu 1,23+13,5+4,27.

Lai to izdarītu, ir ērti apvienot pirmo termiņu ar trešo. Mēs iegūstam:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Tas izriet no reizināšanas komutatīvajām un asociatīvajām īpašībām: jebkurā produktā jūs varat jebkurā veidā pārkārtot faktorus un patvaļīgi apvienot tos grupās.

2. piemērs Noskaidrosim produkta vērtību 1,8 0,25 64 0,5.

Apvienojot pirmo faktoru ar ceturto un otro ar trešo, mēs iegūsim:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) \u003d 0,9 16 \u003d 14,4.

Sadales īpašība ir spēkā arī tad, ja skaitlis tiek reizināts ar trīs vai vairāk terminu summu.

Piemēram, jebkuriem skaitļiem a, b, c un d vienādība ir patiesa

a(b+c+d)=ab+ac+reklāma.

Mēs zinām, ka atņemšanu var aizstāt ar saskaitīšanu, pievienojot mazajai daļai pretēju skaitli:

Tas ļauj izmantot skaitlisku izteiksmi tips a-b uzskatīt skaitļu a un -b summu, skaitlisko izteiksmi formā a + b-c-d uzskatīt par skaitļu a, b, -c, -d uc summu. Aplūkotās darbību īpašības ir spēkā arī šādām summām.

3. piemērs Atradīsim izteiksmes vērtību 3,27-6,5-2,5+1,73.

Šī izteiksme ir skaitļu 3,27, -6,5, -2,5 un 1,73 summa. Pielietojot saskaitīšanas īpašības, iegūstam: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

4. piemērs Aprēķināsim reizinājumu 36·().

Reizinātāju var uzskatīt par skaitļu un - summu. Izmantojot reizināšanas sadales īpašību, mēs iegūstam:

36()=36-36=9-10=-1.

Identitātes

Definīcija. Tiek uzskatīts, ka divas izteiksmes, kuru atbilstošās vērtības ir vienādas jebkurai mainīgo vērtībai, ir identiski vienādas.

Definīcija. Vienādību, kas attiecas uz jebkuru mainīgo vērtību, sauc par identitāti.

Atradīsim izteiksmju 3(x+y) un 3x+3y vērtības, ja x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Mēs saņēmām tādu pašu rezultātu. No sadales īpašības izriet, ka kopumā jebkurai mainīgo vērtībai atbilstošās izteiksmju vērtības 3(x+y) un 3x+3y ir vienādas.

Apsveriet tagad izteiksmes 2x+y un 2xy. Ja x=1, y=2 tām ir vienādas vērtības:

Tomēr jūs varat norādīt x un y vērtības tā, lai šo izteiksmju vērtības nebūtu vienādas. Piemēram, ja x=3, y=4, tad

Izteiksmes 3(x+y) un 3x+3y ir identiski vienādas, bet izteiksmes 2x+y un 2xy nav identiski vienādas.

Vienādība 3(x+y)=x+3y, kas attiecas uz visām x un y vērtībām, ir identitāte.

Patiesas skaitliskās vienādības tiek uzskatītas arī par identitātēm.

Tātad identitātes ir vienādības, kas izsaka galvenās darbības ar skaitļiem īpašības:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Var sniegt citus identitātes piemērus:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Izteiksmju identitātes transformācijas

Tiek saukta vienas izteiksmes aizstāšana ar citu, identiski tai vienādu identitātes transformācija vai vienkārši pārveidojot izteiksmi.

Identiskas izteiksmju transformācijas ar mainīgajiem tiek veiktas, pamatojoties uz skaitļu darbību īpašībām.

Lai atrastu izteiksmes xy-xz vērtību, ņemot vērā vērtības x, y, z, jums jāveic trīs darbības. Piemēram, ar x=2.3, y=0.8, z=0.2 mēs iegūstam:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Šo rezultātu var iegūt tikai divos posmos, izmantojot izteiksmi x(y-z), kas ir identiski vienāda ar izteiksmi xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Mēs esam vienkāršojuši aprēķinus, aizstājot izteiksmi xy-xz ar identisku vienlīdzīga izteiksme x(y-z).

Izteiksmju identitātes transformācijas tiek plaši izmantotas izteiksmju vērtību aprēķināšanā un citu problēmu risināšanā. Dažas identiskas transformācijas jau ir veiktas, piemēram, līdzīgu terminu samazināšana, iekavu atvēršana. Atgādiniet šo pārveidojumu veikšanas noteikumus:

lai iegūtu līdzīgus terminus, jāsaskaita to koeficienti un rezultāts jāreizina ar kopējo burtu daļu;

ja iekavās ir plus zīme, tad iekavas var izlaist, saglabājot katra termina zīmi iekavās;

ja pirms iekavām ir mīnusa zīme, tad iekavas var izlaist, mainot katra iekavās ievietotā termina zīmi.

1. piemērs Saskaitīsim līdzīgus vārdus summā 5x+2x-3x.

Mēs izmantojam noteikumu līdzīgu terminu samazināšanai:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Šīs transformācijas pamatā ir reizināšanas sadales īpašība.

2. piemērs Izvērsīsim iekavas izteiksmē 2a+(b-3c).

Noteikuma piemērošana iekavu atvēršanai, pirms kuras ir plus zīme:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Veiktā transformācija balstās uz pievienošanas asociatīvo īpašību.

3. piemērs Izvērsīsim iekavas izteiksmē a-(4b-c).

Izmantosim iekavu izvēršanas noteikumu, pirms kura ir mīnusa zīme:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Veiktā transformācija balstās uz reizināšanas sadales īpašību un saskaitīšanas asociatīvo īpašību. Parādīsim to. Atveidosim otro terminu -(4b-c) šajā izteiksmē kā reizinājumu (-1) (4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Izmantojot šīs darbību īpašības, mēs iegūstam:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

§ 2. Identitātes izpausmes, identitāte. Izteiksmes identitātes transformācija. Identitātes pierādījumi

Atradīsim izteiksmju 2(x - 1) 2x - 2 vērtības mainīgā x dotajām vērtībām. Rezultātus ierakstām tabulā:

Var secināt, ka izteiksmju vērtības 2(x - 1) 2x - 2 katram dotā vērtība mainīgie x ir vienādi viens ar otru. Atbilstoši reizināšanas sadales īpašībai attiecībā uz atņemšanu 2(x - 1) = 2x - 2. Tāpēc jebkurai citai mainīgā x vērtībai izteiksmes 2(x - 1) 2x - 2 vērtība būs arī vienādi viens ar otru. Šādas izteiksmes sauc par identiski vienādām.

Piemēram, izteiksmes 2x + 3x un 5x ir sinonīmi, jo katrai mainīgā x vērtībai šīs izteiksmes iegūst tās pašas vērtības(tas izriet no reizināšanas sadales īpašības attiecībā uz saskaitīšanu, jo 2x + 3x = 5x).

Apsveriet tagad izteiksmes 3x + 2y un 5xy. Ja x \u003d 1 un b \u003d 1, tad šo izteiksmju atbilstošās vērtības ir vienādas viena ar otru:

3x + 2g \u003d 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 \u003d 5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Tomēr jūs varat norādīt x un y vērtības, kurām šo izteiksmju vērtības nebūs vienādas. Piemēram, ja x = 2; y = 0, tad

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Līdz ar to ir tādas mainīgo vērtības, kurām atbilstošās izteiksmju vērtības 3x + 2y un 5xy nav vienādas viena ar otru. Tāpēc izteiksmes 3x + 2y un 5xy nav identiski vienādas.

Pamatojoties uz iepriekš minēto, identitātes jo īpaši ir vienādības: 2(x - 1) = 2x - 2 un 2x + 3x = 5x.

Identitāte ir katra vienlīdzība, kas ir uzrakstīta zināmās īpašības darbības ar skaitļiem. Piemēram,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Pastāv arī tādas vienlīdzības kā identitātes:

a + 0 = a; a ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; a ∙ 1 = a; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Samazinot līdzīgus vārdus izteiksmē -5x + 2x - 9, mēs iegūstam, ka 5x + 2x - 9 \u003d 7x - 9. Šajā gadījumā viņi saka, ka izteiksme 5x + 2x - 9 tika aizstāta ar izteiksmi 7x - 9, kas ir identisks tam.

Identiskas izteiksmju transformācijas ar mainīgajiem tiek veiktas, piemērojot skaitļu darbību īpašības. Jo īpaši identiskas pārvērtības ar iekavu atvēršanu, līdzīgu terminu konstruēšanu un tamlīdzīgi.

Vienkāršojot izteiksmi, ir jāveic identiskas transformācijas, tas ir, aizstājot kādu izteiksmi ar izteiksmi, kas ir tai identiski vienāda un kurai jābūt īsākai.

1. piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2 (3x - 4) + 3 (-4x + 7);

3) 2 + 5a — (a–2b) + (3b–a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5 min = -1,5 min;

2) 2 (3x4) + 3 (-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a — (a–2b) + (3b –a) = 2 + 5a - a + 2 b + 3 b - a= 3a + 5b + 2.

Lai pierādītu, ka vienlīdzība ir identitāte (citiem vārdiem sakot, lai pierādītu identitāti, tiek izmantotas izteiksmju identitātes transformācijas.

Jūs varat pierādīt identitāti vienā no šiem veidiem:

veikt identiskas tās kreisās puses transformācijas, tādējādi samazinot to līdz labās puses formai;
veikt identiskas tās labās puses transformācijas, tādējādi samazinot to līdz kreisās puses formai;
veikt identiskas abu tā daļu transformācijas, tādējādi paceļot abas daļas vienādās izteiksmēs.

2. piemērs. Pierādiet identitāti:

1) 2x - (x + 5) - 11 \u003d x - 16;

2) 206 - 4a = 5 (2a - 3b) - 7 (2a - 5b);

3) 2 (3x - 8) + 4 (5x - 7) = 13 (2x - 5) + 21.

Attīstība

1) Pārveidosim šīs vienādības kreiso pusi:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Ar identiskiem pārveidojumiem izteiksme vienādības kreisajā pusē tika reducēta līdz labās puses formai un tādējādi pierādīja, ka šī vienlīdzība ir identitāte.

2) Pārveidosim šīs vienlīdzības labo pusi:

5(2a-3b)-7(2a-5b) = 10a - 15 b - 14a + 35 b= 20b - 4a.

Ar identiskiem pārveidojumiem vienādības labā puse tika reducēta līdz kreisās puses formai un tādējādi pierādīja, ka šī vienlīdzība ir identitāte.

3) Šajā gadījumā ir ērti vienkāršot gan kreiso, gan labo vienādības daļu un salīdzināt rezultātus:

2(3x - 8) + 4 (5x - 7) = 6x - 16 + 20x- 28 \u003d 26x - 44;

13 (2x - 5) + 21 \u003d 26x - 65 + 21 \u003d 26x - 44.

Ar identiskiem pārveidojumiem vienādības kreisā un labā daļa tika reducēta līdz tādai pašai formai: 26x - 44. Tāpēc šī vienlīdzība ir identitāte.

Kādus izteicienus sauc par identiskiem? Sniedziet identisku izteicienu piemēru. Kādu vienlīdzību sauc par identitāti? Sniedziet identitātes piemēru. Ko sauc par izteiksmes identitātes transformāciju? Kā pierādīt identitāti?

(Mutiski) Vai arī ir identiski vienādi izteicieni:

1) 2a + a un 3a;

2) 7x + 6 un 6 + 7x;

3) x + x + x un x 3;

4) 2 (x - 2) un 2x - 4;

5) m - n un n - m;

6) 2a ∙ r un 2p ∙ a?

Vai izteiksmes ir identiski vienādas:

1) 7x - 2x un 5x;

2) 5a - 4 un 4 - 5a;

3) 4m + n un n + 4m;

4) a + a un a 2;

5) 3(a - 4) un 3a - 12;

6) 5m ∙ n un 5m + n?

(Verbāli) Vai vienlīdzības identitāte:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7r - 1 = -1 + 7r;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

Atvērt iekavas:

Atvērt iekavas:

Samazināt līdzīgus vārdus:

Nosauciet vairākas izteiksmes, kas ir identiskas izteiksmēm 2a + 3a.
Vienkāršojiet izteiksmi, izmantojot reizināšanas permutējošās un konjunktīvās īpašības:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4p ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

Vienkāršojiet izteicienu:

1) -2p ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3 g);

4) - 1 m ∙ (-3n).

(Verbāls) Vienkāršojiet izteicienu:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

Samazināt līdzīgus vārdus:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8 a + 1,9 b + 2,8 a - 2,9 b;

4) 5–7 s + 1,9 g + 6,9 s - 1,7 g.

1) 4 (5 x – 7) + 3 x + 13;

2) 2 (7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3 (2p - 7) - 2 (g - 3);

4) -(3 m–5) + 2 (3 m–7).

Atveriet iekavas un samaziniet līdzīgus vārdus:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2 (3p - 1);

3) 2 (3x - 8) - 5 (2x + 7);

4) 3 (5 m–7) – (15 m–2).

1) 0,6 x + 0,4 (x — 20), ja x = 2,4;

2) 1,3 (2a - 1) - 16,4, ja a = 10;

3) 1,2 (m - 5) - 1,8 (10 - m), ja m = -3,7;

4) 2x - 3(x + y) + 4y, ja x = -1, y = 1.

Vienkāršojiet izteiksmi un atrodiet tās vērtību:

1) 0,7 x + 0,3 (x - 4), ja x = -0,7;

2) 1,7 (y - 11) - 16,3, ja v \u003d 20;

3) 0,6 (2a - 14) - 0,4 (5a - 1), ja a = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n, ja m = 1,8; n = -0,9.

Pierādiet identitāti:

1) - (2x - y) \u003d y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2 (x - 3) + 3 (x + 2) = 5x;

4) s - 2 \u003d 5 (s + 2) - 4 (s + 3).

Pierādiet identitāti:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3 (a - 4) + 2 (a + 6);

4) 4 (m - 3) + 3 (m + 3) = 7 m - 3.

Trijstūra vienas malas garums ir cm, un katras pārējās divas malas garums ir par 2 cm lielāks par to. Uzrakstiet trijstūra perimetru kā izteiksmi un vienkāršojiet izteiksmi.
Taisnstūra platums ir x cm un garums ir par 3 cm vairāk nekā platums. Uzrakstiet taisnstūra perimetru kā izteiksmi un vienkāršojiet izteiksmi.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (r + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6а - b) - (4a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

Paplašiniet iekavas un vienkāršojiet izteiksmi:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2,1 a–2,8 b) – (1a–1b).

Pierādiet identitāti:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) - (- 3p) - (-(8 - 5p)) \u003d 2 (4 - g);

3) 3(a-b-c) + 5(a-b) + 3c = 8(a-b).

Pierādiet identitāti:

1) 12a - ((8a - 16)) \u003d -4 (4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

Pierādīt, ka izteiksmes vērtība

1,8 (m - 2) + 1,4 (2 - m) + 0,2 (1,7 - 2 m) nav atkarīgs no mainīgā vērtības.

Pierādiet, ka jebkurai mainīgā vērtībai izteiksmes vērtība

a - (a - (5a + 2)) - 5 (a - 8)

ir tas pats numurs.

Pierādīt, ka trīs secīgu pāra skaitļu summa dalās ar 6.
Pierādīt, ja n ir naturāls skaitlis, tad izteiksmes -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) vērtība ir pāra skaitlis.

Vingrinājumi, kas jāatkārto

Sakausējums, kas sver 1,6 kg, satur 15% vara. Cik kg vara satur šis sakausējums?
Cik procenti ir tā skaitlis 20:

1) kvadrāts;

Tūrists 2 stundas gāja kājām un 3 stundas brauca ar velosipēdu. Kopumā tūrists veica 56 km. Atrodiet ātrumu, ar kādu tūrists brauca ar velosipēdu, ja tas ir par 12 km/h lielāks nekā ātrums, ar kādu viņš gāja.

Interesanti uzdevumi slinkiem skolēniem

Pilsētas futbola čempionātā piedalās 11 komandas. Katra komanda izspēlē vienu maču ar pārējām. Pierādiet, ka jebkurā sacensību brīdī ir komanda, kas ir aizvadījusi pāra skaitu maču vai vēl nav aizvadījusi nevienu.