Ko parāda eksponenciālā funkcija. Nodarbība "Eksponenciālā funkcija, tās īpašības un grafiks

Zināšanu hipermārkets >>Matemātika >>Matemātika 10. klase >>

Eksponenciālā funkcija, tā īpašības un grafiks

Apsveriet izteiksmi 2x un atrodiet tās vērtības dažādām mainīgā x racionālām vērtībām, piemēram, ja x=2;

Kopumā neatkarīgi no tā, kādu racionālu vērtību mēs piešķiram mainīgajam x, mēs vienmēr varam aprēķināt atbilstošo izteiksmes skaitlisko vērtību 2x. Tādējādi var runāt par eksponenciālu funkcijas y=2 x definēts kopā Q racionālie skaitļi:

Apskatīsim dažas šīs funkcijas īpašības.

1. īpašums. ir pieaugoša funkcija. Mēs veicam pierādīšanu divos posmos.
Pirmais posms. Pierādīsim, ja r ir pozitīvs racionāls skaitlis, tad 2 r >1.
Ir iespējami divi gadījumi: 1) r - dabiskais skaitlis, r = n; 2) parastais neredukējamais frakcija,

Pēdējās nevienlīdzības kreisajā pusē ir , bet labajā pusē 1. Tādējādi pēdējo nevienādību var pārrakstīt kā

Tādējādi jebkurā gadījumā pastāv nevienādība 2 r > 1, kā nepieciešams.

Otrā fāze. Lai x 1 un x 2 ir skaitļi, un x 1 un x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:

(atšķirību x 2 -x 1 apzīmējām ar burtu r).

Tā kā r ir pozitīvs racionāls skaitlis, tad ar to, kas tika pierādīts pirmajā posmā, 2 r > 1, t.i., 2 r -1 >0. Arī skaitlis 2x" ir pozitīvs, kas nozīmē, ka reizinājums 2x-1 (2 Г -1) arī ir pozitīvs. Tādējādi esam pierādījuši, ka nevienlīdzība 2 Xr -2x "\u003e 0.

Tātad no nevienlīdzības x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.

2. īpašums. ierobežots no apakšas un nav ierobežots no augšas.
Funkcijas robeža no apakšas izriet no nevienādības 2 x > 0, kas ir spēkā jebkurai x vērtībai no funkcijas domēna. Tajā pašā laikā, lai kādu pozitīvo skaitli M ņemtu, vienmēr var izvēlēties tādu rādītāju x, lai izpildītos nevienādība 2 x > M - kas raksturo funkcijas neierobežotību no augšas. Sniegsim dažus piemērus.

3. īpašums. nav ne minimālās, ne maksimālās vērtības.

Kas šai funkcijai nav vislielākā vērtība, acīmredzot, jo, kā mēs tikko redzējām, tas nav ierobežots no augšas. Bet no apakšas tas ir ierobežots, kāpēc gan tam nav mazākā vērtība?

Pieņemsim, ka 2r ir funkcijas mazākā vērtība (r ir kāds racionāls eksponents). Paņemiet racionālu skaitli q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.

Tas viss ir labi, jūs sakāt, bet kāpēc mēs funkciju y-2 x aplūkojam tikai racionālo skaitļu kopā, kāpēc mēs to, tāpat kā citas zināmās funkcijas, neuzskatām uz visu skaitļu līniju vai uz kādu nepārtrauktu skaitļu līnija? Kas mūs attur? Padomāsim par situāciju.

Skaitļu līnija satur ne tikai racionālos, bet arī iracionālos skaitļus. Iepriekš pētītajām funkcijām tas mūs netraucēja. Piemēram, funkcijas y \u003d x 2 vērtības vienlīdz viegli atradām gan racionālām, gan neracionālām x vērtībām: pietika ar dotās x vērtības kvadrātu.

Bet ar funkciju y \u003d 2 x situācija ir sarežģītāka. Ja argumentam x ir dota racionāla vērtība, tad principā x var aprēķināt (atgriezties uz rindkopas sākumu, kur mēs to darījām). Un ja argumentam x tiek dota iracionāla vērtība? Kā, piemēram, aprēķināt? Mēs to vēl nezinām.
Matemātiķi ir atraduši izeju; tā viņi runāja.

Ir zināms, ka Apsveriet racionālu skaitļu secību - skaitļa decimālo tuvinājumu pēc deficīta:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .

Ir skaidrs, ka 1,732 = 1,7320 un 1,732050 = 1,73205. Lai izvairītos no šādiem atkārtojumiem, mēs atmetam tos secības dalībniekus, kas beidzas ar skaitli 0.

Tad mēs iegūstam pieaugošu secību:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

Attiecīgi palielinās arī secība.

Visi šīs secības dalībnieki ir pozitīvi skaitļi, kas mazāki par 22, t.i. šī secība ir ierobežota. Saskaņā ar Veierštrāsa teorēmu (skat. § 30), ja secība ir pieaugoša un ierobežota, tad tā saplūst. Turklāt no 30.§ mēs zinām, ka, ja secība saplūst, tad tikai līdz vienai robežai. Šo vienoto ierobežojumu tika uzskatīts par skaitliskās izteiksmes vērtību. Un tas nekas, ka ir ļoti grūti atrast pat aptuvenu skaitliskās izteiksmes 2 vērtību; ir svarīgi, lai tas būtu konkrēts skaitlis (galu galā mēs nebaidījāmies teikt, ka, piemēram, tas ir racionāla vienādojuma sakne, trigonometriskā vienādojuma sakne, īsti nedomājot par to, kas īsti ir šie skaitļi:
Tātad, mēs noskaidrojām, kādu nozīmi matemātiķi piešķir simbolam 2 ^. Līdzīgi var noteikt, kas ir un vispār kas ir a a, kur a ir iracionāls skaitlis un a > 1.
Bet kā tad, kad 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Tagad mēs varam runāt ne tikai par pakāpēm ar patvaļīgiem racionālajiem eksponentiem, bet arī par pakāpēm ar patvaļīgiem reālajiem eksponentiem. Ir pierādīts, ka grādiem ar jebkuriem reāliem eksponentiem ir visas ierastās grādu īpašības: reizinot grādus ar vienādām bāzēm, eksponentus saskaita, dalot atņem, pakāpi paaugstinot līdz pakāpei, reizina utt. . Bet vissvarīgākais ir tas, ka tagad mēs varam runāt par funkciju y-ax, kas definēta visu reālo skaitļu kopā.
Atgriezīsimies pie funkcijas y \u003d 2 x, izveidosim tās grafiku. Lai to izdarītu, mēs sastādīsim funkciju vērtību tabulu \u200b\u200d 2 x:

Atzīmēsim punktus koordinātu plaknē (194. att.), tie iezīmē noteiktu līniju, novelkam to (195. att.).

Funkcijas īpašības y - 2 x:
1)
2) nav ne pāra, ne nepāra; 248
3) palielinās;

5) nav ne lielākās, ne mazākās vērtības;
6) nepārtraukts;
7)
8) izliekta uz leju.

Kursā doti funkcijas y-2 x uzskaitīto īpašību stingri pierādījumi augstākā matemātika. Dažas no šīm īpašībām, kuras mēs vienā vai otrā pakāpē apspriedām iepriekš, dažas no tām skaidri parāda konstruētais grafiks (sk. 195. att.). Piemēram, funkcijas paritātes vai nepāra neesamība ir ģeometriski saistīta ar grafa simetrijas trūkumu attiecīgi ap y asi vai izcelsmi.

Jebkurai funkcijai formā y=a x, kur a >1, ir līdzīgas īpašības. Uz att. 196 vienā koordinātu sistēmā ir konstruēti funkciju grafiki y=2 x, y=3 x, y=5 x.

Tagad apskatīsim funkciju, izveidosim tai vērtību tabulu:

Atzīmēsim punktus koordinātu plaknē (197. att.), tie iezīmē noteiktu līniju, novelkam to (198. att.).

Funkciju īpašības

1)
2) nav ne pāra, ne nepāra;
3) samazinās;
4) neierobežots no augšas, ierobežots no apakšas;
5) nav ne lielākās, ne mazākās vērtības;
6) nepārtraukts;
7)
8) izliekta uz leju.
Jebkura funkcija formā y \u003d a x, kur O<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций
Lūdzu, ņemiet vērā: funkciju diagrammas tie. y \u003d 2 x, simetriski pret y asi (201. att.). Tās ir vispārīgā apgalvojuma sekas (sk. 13. §): funkciju y = f(x) un y = f(-x) grafiki ir simetriski pret y asi. Līdzīgi, funkciju grafiki y \u003d 3 x un

Apkopojot teikto, mēs sniegsim eksponenciālās funkcijas definīciju un izcelsim tās svarīgākās īpašības.

Definīcija. Skata funkciju sauc par eksponenciālo funkciju.
Eksponenciālās funkcijas y \u003d a x galvenās īpašības

Funkcijas y \u003d a x grafiks a> 1 ir parādīts attēlā. 201 un par 0<а < 1 - на рис. 202.

attēlā parādītā līkne. 201 vai 202 sauc par eksponentu. Faktiski matemātiķi pašu eksponenciālo funkciju parasti sauc par y = a x. Tātad termins "eksponents" tiek lietots divās nozīmēs: gan eksponenciālās funkcijas nosaukumam, gan eksponenciālās funkcijas grafika nosaukumam. Parasti pēc nozīmes ir skaidrs, vai mēs runājam par eksponenciālu funkciju vai tās grafiku.

Pievērsiet uzmanību eksponenciālās funkcijas y \u003d ax grafika ģeometriskajai iezīmei: x ass ir diagrammas horizontālā asimptote. Tiesa, šis apgalvojums parasti tiek precizēts šādi.
X ass ir funkcijas grafika horizontālā asimptote

Citiem vārdiem sakot

Pirmā svarīgā piezīme. Skolēni bieži jauc terminus: jaudas funkcija, eksponenciālā funkcija. Salīdzināt:

Šie ir jaudas funkciju piemēri;

ir eksponenciālu funkciju piemēri.

Kopumā y \u003d x r, kur r ir konkrēts skaitlis, ir jaudas funkcija (arguments x ir ietverts pakāpes bāzē);
y \u003d a", kur a ir konkrēts skaitlis (pozitīvs un atšķiras no 1), ir eksponenciāla funkcija (arguments x ir ietverts eksponentā).

Uzbrūkoša "eksotiska" funkcija, piemēram, y = x, netiek uzskatīta ne par eksponenciālu, ne par spēka likumu (to dažreiz sauc par eksponenciālā jaudas funkciju).

Otra svarīga piezīme. Parasti netiek uzskatīta eksponenciāla funkcija ar bāzi a = 1 vai ar bāzi a, kas apmierina nevienlīdzību a<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0un a Fakts ir tāds, ka, ja a \u003d 1, tad jebkurai vērtībai x vienādība Ix \u003d 1 ir patiesa. Tādējādi eksponenciālā funkcija y \u003d a "par a \u003d 1" deģenerējas "konstantā funkcijā y \". u003d 1 - tas nav interesanti. Ja a \u003d 0, tad 0x \u003d 0 jebkurai pozitīvai x vērtībai, t.i., mēs iegūstam funkciju y \u003d 0, kas definēta x\u003e 0 - tas arī nav interesanti.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.

Pirms pāriet pie piemēru risināšanas, mēs atzīmējam, ka eksponenciālā funkcija ievērojami atšķiras no visām līdz šim pētītajām funkcijām. Lai rūpīgi izpētītu jaunu objektu, tas ir jāapsver no dažādiem leņķiem, dažādās situācijās, tāpēc piemēru būs daudz.
1. piemērs

Lēmums, a) Atzīmējot funkciju y \u003d 2 x un y \u003d 1 grafikus vienā koordinātu sistēmā, mēs novērojam (203. att.), ka tām ir viens kopīgs punkts (0; 1). Tātad vienādojumam 2x = 1 ir viena sakne x = 0.

Tātad no vienādojuma 2x = 2° mēs saņēmām x = 0.

b) Konstruējot funkciju y \u003d 2 x un y \u003d 4 grafikus vienā koordinātu sistēmā, mēs novērojam (203. att.), ka tām ir viens kopīgs punkts (2; 4). Tātad vienādojumam 2x = 4 ir viena sakne x = 2.

Tātad no vienādojuma 2 x \u003d 2 2 mēs saņēmām x \u003d 2.

c) un d) Pamatojoties uz tiem pašiem apsvērumiem, mēs secinām, ka vienādojumam 2 x \u003d 8 ir viena sakne, un, lai to atrastu, attiecīgo funkciju grafikus nevar izveidot;

skaidrs, ka x=3, jo 2 3 =8. Līdzīgi mēs atrodam vienīgo vienādojuma sakni

Tātad no vienādojuma 2x = 2 3 mēs saņēmām x = 3, un no vienādojuma 2 x = 2 x mēs saņēmām x = -4.
e) Funkcijas y \u003d 2 x grafiks atrodas virs funkcijas y \u003d 1 grafika x\u003e 0 - tas ir labi nolasīts attēlā. 203. Tādējādi nevienādības 2x > 1 risinājums ir intervāls
f) Funkcijas y \u003d 2 x grafiks atrodas zem funkcijas y \u003d 4 grafika pie x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Jūs droši vien pamanījāt, ka visu secinājumu pamatā, kas izdarīti, risinot 1. piemēru, bija funkcijas y \u003d 2 x monotoniskuma (palielinājuma) īpašība. Līdzīga argumentācija ļauj mums pārbaudīt divu nākamo teorēmu derīgumu.

Lēmums. Varat rīkoties šādi: izveidojiet funkcijas y-3 x grafiku, pēc tam izstiepiet to no x ass ar koeficientu 3 un pēc tam paceliet iegūto grafiku uz augšu par 2 mēroga vienībām. Bet ērtāk ir izmantot faktu, ka 3-3* \u003d 3 * + 1, un tāpēc attēlojiet funkciju y \u003d 3 x * 1 + 2.

Pārejam, kā jau vairākkārt šādos gadījumos darījām, uz palīgkoordinātu sistēmu ar sākumpunktu punktā (-1; 2) - punktētās līnijas x = - 1 un 1x = 2 attēlā. 207. "Pievienosim" funkciju y=3* pie jauna sistēma koordinātas. Lai to izdarītu, mēs atlasām funkcijas kontroles punktus , taču tās veidosim nevis vecajā, bet gan jaunajā koordinātu sistēmā (šie punkti atzīmēti 207. att.). Tad konstruēsim eksponentu pa punktiem – tas būs vajadzīgais grafs (skat. 207. att.).
Lai segmentā [-2, 2] atrastu dotās funkcijas lielākās un mazākās vērtības, mēs izmantojam faktu, ka dotā funkcija palielinās, un tāpēc tā ņem tās mazākās un lielākās vērtības attiecīgi pa kreisi un segmenta labie gali.
Tātad:

4. piemērs Atrisiniet vienādojumu un nevienādības:

Lēmums, a) Konstruēsim vienā koordinātu sistēmā funkciju y=5* un y=6-x grafikus (208. att.). Tie krustojas vienā punktā; spriežot pēc zīmējuma, tas ir punkts (1; 5). Pārbaude parāda, ka faktiski punkts (1; 5) apmierina gan vienādojumu y = 5*, gan vienādojumu y=6x. Šī punkta abscisa kalpo kā vienīgā sakne dots vienādojums.

Tātad vienādojumam 5 x = 6-x ir viena sakne x = 1.

b) un c) Eksponents y-5x atrodas virs taisnes y=6-x, ja x>1, - tas skaidri redzams att. 208. Līdz ar to nevienādības 5*>6-x atrisinājumu var uzrakstīt šādi: x>1. Un nevienādības atrisinājums 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
Atbilde: a) x = 1; b)x>1; c) x<1.

5. piemērs Dota funkcija Pierādiet to
Lēmums. Pēc nosacījuma Mums ir.

Lielāko daļu matemātisko problēmu risinājums ir kaut kādā veidā saistīts ar skaitlisko, algebrisko vai funkcionālo izteiksmju pārveidošanu. Tas jo īpaši attiecas uz risinājumu. USE variantos matemātikā šāda veida uzdevumi jo īpaši ietver uzdevumu C3. C3 uzdevumu risināšanas apguve ir svarīga ne tikai eksāmena sekmīgai nokārtošanai, bet arī tāpēc, ka šī prasme noderēs, apgūstot matemātikas kursu augstākajā izglītībā.

Veicot uzdevumus C3, ir jāatrisina dažāda veida vienādojumi un nevienādības. Starp tiem ir racionālie, iracionālie, eksponenciālie, logaritmiskie, trigonometriskie, kas satur moduļus (absolūtās vērtības), kā arī kombinētie. Šajā rakstā apskatīti galvenie eksponenciālo vienādojumu un nevienādību veidi, kā arī dažādas to risināšanas metodes. Lasiet par cita veida vienādojumu un nevienādību risināšanu virsrakstā "" rakstos, kas veltīti C3 problēmu risināšanas metodēm no USE variantiem matemātikā.

Pirms turpināt konkrētu analīzi eksponenciālie vienādojumi un nevienādības, kā matemātikas pasniedzējam, es iesaku jums papildināt dažus teorētiskos materiālus, kas mums būs nepieciešami.

Eksponenciālā funkcija

Kas ir eksponenciāla funkcija?

Skatīšanas funkcija y = a x, kur a> 0 un a≠ 1, zvanīts eksponenciālā funkcija.

Galvenā eksponenciālās funkcijas īpašības y = a x:

Eksponenciālās funkcijas grafiks

Eksponenciālās funkcijas grafiks ir izstādes dalībnieks:

Eksponenciālo funkciju grafiki (eksponenti)

Eksponenciālo vienādojumu risinājums

indikatīvs sauc par vienādojumiem, kuros nezināmais mainīgais ir atrodams tikai jebkuru pakāpju eksponentos.

Risinājumiem eksponenciālie vienādojumi jums jāzina un jāprot izmantot šādu vienkāršo teorēmu:

1. teorēma. eksponenciālais vienādojums a f(x) = a g(x) (kur a > 0, a≠ 1) ir līdzvērtīgs vienādojumam f(x) = g(x).

Turklāt ir lietderīgi atcerēties pamatformulas un darbības ar grādiem:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

1. piemērs Atrisiniet vienādojumu:

Lēmums: izmantojiet iepriekš minētās formulas un aizstāšanu:

Tad vienādojums kļūst:

Saņemts diskriminants kvadrātvienādojums pozitīvi:

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Tas nozīmē, ka šim vienādojumam ir divas saknes. Mēs tos atrodam:

Atgriežoties pie aizstāšanas, mēs iegūstam:

Otrajam vienādojumam nav sakņu, jo eksponenciālā funkcija ir stingri pozitīva visā definīcijas jomā. Atrisināsim otro:

Ņemot vērā 1. teorēmā teikto, mēs pārejam pie ekvivalentā vienādojuma: x= 3. Tā būs uzdevuma atbilde.

Atbilde: x = 3.

2. piemērs Atrisiniet vienādojumu:

Lēmums: vienādojumam nav ierobežojumu attiecībā uz pieļaujamo vērtību apgabalu, jo radikāla izteiksme ir jēga jebkurai vērtībai x(eksponenciālā funkcija y = 9 4 -x pozitīva un nav vienāda ar nulli).

Atrisinām vienādojumu ar līdzvērtīgām transformācijām, izmantojot spēku reizināšanas un dalīšanas noteikumus:

Pēdējā pāreja tika veikta saskaņā ar 1. teorēmu.

Atbilde:x= 6.

3. piemērs Atrisiniet vienādojumu:

Lēmums: abas sākotnējā vienādojuma puses var dalīt ar 0,2 x. Šī pāreja būs līdzvērtīga, jo šī izteiksme jebkurai vērtībai ir lielāka par nulli x(eksponenciālā funkcija ir stingri pozitīva savā jomā). Tad vienādojums iegūst šādu formu:

Atbilde: x = 0.

4. piemērs Atrisiniet vienādojumu:

Lēmums: mēs vienkāršojam vienādojumu līdz elementāram ar līdzvērtīgām pārveidojumiem, izmantojot raksta sākumā dotos jaudu dalīšanas un reizināšanas noteikumus:

Abas vienādojuma puses dalot ar 4 x, tāpat kā iepriekšējā piemērā, ir līdzvērtīga transformācija, jo šī izteiksme nevienai vērtībai nav vienāda ar nulli x.

Atbilde: x = 0.

5. piemērs Atrisiniet vienādojumu:

Lēmums: funkcija y = 3x, kas atrodas vienādojuma kreisajā pusē, palielinās. Funkcija y = —x-2/3, kas atrodas vienādojuma labajā pusē, samazinās. Tas nozīmē, ka, ja šo funkciju grafiki krustojas, tad ne vairāk kā vienā punktā. Šajā gadījumā ir viegli uzminēt, ka grafiki krustojas punktā x= -1. Citu sakņu nebūs.

Atbilde: x = -1.

6. piemērs Atrisiniet vienādojumu:

Lēmums: mēs vienkāršojam vienādojumu ar līdzvērtīgām transformācijām, visur paturot prātā, ka eksponenciālā funkcija jebkurai vērtībai ir stingri lielāka par nulli x un izmantojot produkta un daļējo jaudu aprēķināšanas noteikumus, kas norādīti raksta sākumā:

Atbilde: x = 2.

Eksponenciālo nevienādību risināšana

indikatīvs sauc par nevienādībām, kurās nezināmais mainīgais ir ietverts tikai dažu pakāpju eksponentos.

Risinājumiem eksponenciālās nevienlīdzības nepieciešamas šādas teorēmas zināšanas:

2. teorēma. Ja a> 1, tad nevienlīdzība a f(x) > a g(x) ir līdzvērtīgs tādas pašas nozīmes nevienādībai: f(x) > g(x). Ja 0< a < 1, то eksponenciālā nevienlīdzība a f(x) > a g(x) ir ekvivalents nevienādībai ar pretēju nozīmi: f(x) < g(x).

7. piemērs Atrisiniet nevienlīdzību:

Lēmums: attēlo sākotnējo nevienlīdzību formā:

Sadaliet abas šīs nevienādības daļas ar 3 2 x, un (funkcijas pozitīvās īpašības dēļ y= 3 2x) nevienlīdzības zīme nemainīsies:

Izmantosim aizstāšanu:

Tad nevienlīdzība iegūst šādu formu:

Tātad nevienlīdzības risinājums ir intervāls:

pārejot uz apgriezto aizstāšanu, mēs iegūstam:

Kreisā nevienādība, pateicoties eksponenciālās funkcijas pozitivitātei, tiek izpildīta automātiski. Izmantojot izdevību zināms īpašums logaritmu, mēs pārejam uz ekvivalento nevienādību:

Tā kā pakāpes bāze ir skaitlis, kas ir lielāks par vienu, ekvivalents (pēc 2. teorēmas) būs pāreja uz šādu nevienādību:

Tātad mēs beidzot saņemam atbilde:

8. piemērs Atrisiniet nevienlīdzību:

Lēmums: izmantojot spēku reizināšanas un dalīšanas īpašības, nevienādību pārrakstām formā:

Ieviesīsim jaunu mainīgo:

Ar šo aizstāšanu nevienlīdzība izpaužas šādā formā:

Daļas skaitītāju un saucēju reiziniet ar 7, iegūstam šādu ekvivalentu nevienādību:

Tātad nevienlīdzība ir apmierināta šādas vērtības mainīgs t:

Tad, atgriežoties pie aizstāšanas, mēs iegūstam:

Tā kā pakāpes bāze šeit ir lielāka par vienu, ir ekvivalents (pēc teorēmas 2) pāriet uz nevienādību:

Beidzot saņemam atbilde:

9. piemērs Atrisiniet nevienlīdzību:

Lēmums:

Mēs sadalām abas nevienlīdzības puses ar izteiksmi:

Tas vienmēr ir lielāks par nulli (jo eksponenciālā funkcija ir pozitīva), tāpēc nevienlīdzības zīme nav jāmaina. Mēs iegūstam:

t , kas atrodas intervālā:

Pārejot uz apgriezto aizstāšanu, mēs atklājam, ka sākotnējā nevienlīdzība sadalās divos gadījumos:

Pirmajai nevienādībai nav atrisinājumu eksponenciālās funkcijas pozitivitātes dēļ. Atrisināsim otro:

10. piemērs Atrisiniet nevienlīdzību:

Lēmums:

Parabolas zari y = 2x+2-x 2 ir vērsti uz leju, tāpēc no augšas to ierobežo vērtība, ko tā sasniedz savā virsotnē:

Parabolas zari y = x 2 -2x+2, kas atrodas rādītājā, ir vērsti uz augšu, kas nozīmē, ka no apakšas to ierobežo vērtība, ko tas sasniedz augšpusē:

Tajā pašā laikā funkcija izrādās ierobežota no apakšas y = 3 x 2 -2x+2 vienādojuma labajā pusē. Tā sasniedz mazāko vērtību tajā pašā punktā kā parabola eksponentā, un šī vērtība ir 3 1 = 3. Tātad sākotnējā nevienādība var būt patiesa tikai tad, ja funkcijai kreisajā pusē un funkcijai labajā pusē ir vērtība , vienāds ar 3 (šo funkciju diapazonu krustpunkts ir tikai šis skaitlis). Šis nosacījums ir izpildīts vienā punktā x = 1.

Atbilde: x= 1.

Lai uzzinātu, kā atrisināt eksponenciālie vienādojumi un nevienādības, jums ir pastāvīgi jāapmāca viņu risinājums. Šajā sarežģītajā jautājumā dažādi mācību līdzekļi, pamatmatemātikas uzdevumu grāmatas, konkursa uzdevumu krājumi, matemātikas stundas skolā, kā arī individuālas sesijas ar profesionālu pasniedzēju. Es patiesi novēlu jums veiksmi sagatavošanās darbos un izcili rezultāti uz eksāmenu.

Sergejs Valerijevičs

P.S. Cienījamie viesi! Lūgums komentāros nerakstīt pieprasījumus savu vienādojumu risināšanai. Diemžēl man tam vispār nav laika. Šādi ziņojumi tiks dzēsti. Lūdzu, izlasiet rakstu. Iespējams, tajā atradīsi atbildes uz jautājumiem, kas neļāva pašam atrisināt savu uzdevumu.

Eksponenciālā funkcija

Formas y = a funkcija x , kur a ir lielāka par nulli un a nav vienāda ar vienu, sauc par eksponenciālu funkciju. Eksponenciālās funkcijas galvenās īpašības:

1. Eksponenciālās funkcijas domēns būs reālo skaitļu kopa.

2. Eksponenciālās funkcijas diapazons būs visu pozitīvo reālo skaitļu kopa. Dažreiz šī kopa īsuma labad tiek apzīmēta kā R+.

3. Ja eksponenciālā funkcijā bāze a ir lielāka par vienu, tad funkcija pieaugs visā definīcijas jomā. Ja eksponenciālā funkcija bāzei a apmierina šādu nosacījumu 0

4. Būs spēkā visas grādu pamatīpašības. Galvenās grādu īpašības attēlo šādas vienādības:

a x *a y = a (x+y) ;

(a x )/(a y ) = a (x-y) ;

(a*b) x = (a x )*(a y );

(a/b) x = a x /b x ;

(a x ) y = a (x*y) .

Šīs vienādības būs derīgas visām x un y reālajām vērtībām.

5. Eksponenciālās funkcijas grafiks vienmēr iet caur punktu ar koordinātām (0;1)

6. Atkarībā no tā, vai eksponenciālā funkcija palielinās vai samazinās, tās grafikam būs viens no diviem veidiem.

Nākamajā attēlā parādīts pieaugošas eksponenciālās funkcijas grafiks: a>0.

Sekojošais attēls ir dilstošās eksponenciālās funkcijas grafiks: 0

Gan pieaugošās eksponenciālās funkcijas grafiks, gan dilstošās eksponenciālās funkcijas grafiks atbilstoši piektajā rindkopā aprakstītajai īpašībai iet caur punktu (0; 1).

7. Eksponenciālai funkcijai nav ekstrēmu punktu, tas ir, citiem vārdiem sakot, tai nav funkcijas minimālā un maksimālā punkta. Ja ņemam vērā funkciju jebkurā konkrētā segmentā, šī intervāla beigās funkcijai būs minimālās un maksimālās vērtības.

8. Funkcija nav pāra vai nepāra. Eksponenciāla funkcija ir funkcija vispārējs skats. To var redzēt arī no grafikiem, neviens no tiem nav simetrisks ne pret Oy asi, ne pret izcelsmi.

Logaritms

Logaritmi vienmēr ir uzskatīti par sarežģītu tēmu skolas matemātikas kursā. Ir daudz dažādu logaritma definīciju, taču nez kāpēc lielākā daļa mācību grāmatu izmanto vissarežģītākās un neveiksmīgākās no tām.

Mēs definēsim logaritmu vienkārši un skaidri. Šim nolūkam izveidosim tabulu:

Tātad, mums ir divas pilnvaras. Ja ņemat skaitli no apakšējās rindas, tad varat viegli atrast jaudu, līdz kurai jums ir jāpalielina divi, lai iegūtu šo skaitli. Piemēram, lai iegūtu 16, jums jāpaaugstina divi līdz ceturtajai pakāpei. Un, lai iegūtu 64, jums jāpaaugstina divi līdz sestajai pakāpei. To var redzēt no tabulas.

Un tagad - faktiski logaritma definīcija:

Definīcija

Logaritms bāze a no argumenta x ir jauda, ​​līdz kurai skaitlis jāpalielina a lai iegūtu numuru x.

Apzīmējums

log a x = b
kur a ir bāze, x ir arguments, b Kas īsti ir logaritms.

Piemēram, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (2. bāzes logaritms no 8 ir trīs, jo 2 3 = 8). Varētu arī reģistrēt 2 64 = 6, jo 2 6 = 64.

Tiek izsaukta darbība, lai atrastu skaitļa logaritmu noteiktai bāzeilogaritms . Tāpēc pievienosim mūsu tabulai jaunu rindu:

Diemžēl ne visi logaritmi tiek izskatīti tik vienkārši. Piemēram, mēģiniet atrast log 2 5. Skaitlis 5 nav tabulā, bet loģika nosaka, ka logaritms atradīsies kaut kur intervālā. Jo 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Šādus skaitļus sauc par iracionāliem: skaitļus aiz komata var rakstīt bezgalīgi, un tie nekad neatkārtojas. Ja logaritms izrādās neracionāls, labāk to atstāt šādi: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Ir svarīgi saprast, ka logaritms ir izteiksme ar diviem mainīgajiem (bāze un arguments). Sākumā daudzi cilvēki sajauc, kur ir pamats un kur ir arguments. Izvairīties neveiksmīgi pārpratumi vienkārši paskaties uz attēlu:

Mūsu priekšā ir nekas vairāk kā logaritma definīcija. Atcerieties: logaritms ir spēks , uz kuru jums ir jāpaaugstina bāze, lai iegūtu argumentu. Tā ir bāze, kas tiek pacelta līdz jaudai - attēlā tā ir izcelta sarkanā krāsā. Izrādās, ka pamatne vienmēr ir apakšā! Šo brīnišķīgo likumu saviem skolēniem izstāstu jau pirmajā stundā – un nav apjukuma.

Mēs izdomājām definīciju - atliek iemācīties skaitīt logaritmus, t.i. atbrīvoties no "baļķa" zīmes. Sākumā mēs to atzīmējam No definīcijas izriet divas lietas. svarīgi fakti:

Argumentam un bāzei vienmēr jābūt lielākam par nulli. Tas izriet no grāda definīcijas racionāls rādītājs, līdz kuram tiek reducēta logaritma definīcija.

Bāzei ir jāatšķiras no vienotības, jo jebkuras jaudas vienība joprojām ir vienība.Šī iemesla dēļ jautājums “uz kādu spēku jāpaceļ viens, lai iegūtu divus” ir bezjēdzīgs. Nav tādas pakāpes!

Tādi ierobežojumi sauca derīgs diapazons(ODZ). Izrādās, ka logaritma ODZ izskatās šādi: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Ievērojiet to skaitam nav ierobežojumu b (logaritma vērtība) nepārklājas. Piemēram, logaritms var būt negatīvs: log 2 0,5 = −1, jo 0,5 = 2–1.

Taču tagad mēs skatāmies tikai uz skaitliskām izteiksmēm, kur nav nepieciešams zināt logaritma ODZ. Visus ierobežojumus problēmu sastādītāji jau ņēmuši vērā. Bet, kad stājas spēkā logaritmiski vienādojumi un nevienādības, IDD prasības kļūs obligātas. Patiešām, pamatā un argumentācijā var būt ļoti spēcīgas konstrukcijas, kas ne vienmēr atbilst iepriekš minētajiem ierobežojumiem.

Tagad apsveriet ģenerāli logaritmu aprēķināšanas shēma. Tas sastāv no trim soļiem:

Iesniegt fondu a un arguments x kā jauda ar mazāko iespējamo bāzi, kas ir lielāka par vienu. Pa ceļam labāk ir atbrīvoties no decimāldaļskaitļiem;

Izlemiet par mainīgo b vienādojums: x = a b ;

Saņemts numurs b būs atbilde.

Tas ir viss! Ja logaritms izrādīsies neracionāls, tas būs redzams jau pirmajā solī. Prasība, ka bāzei jābūt lielākai par vienu, ir ļoti svarīga: tas samazina kļūdu iespējamību un ievērojami vienkāršo aprēķinus. Līdzīgi ir ar decimāldaļskaitļiem: ja tos uzreiz pārveidosit par parastajiem, kļūdu būs daudzkārt mazāk.

Apskatīsim, kā šī shēma darbojas konkrēti piemēri:

Aprēķiniet logaritmu: log 5 25

Attēlosim bāzi un argumentu kā piecu pakāpju: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Izveidosim un atrisināsim vienādojumu:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Saņemta atbilde: 2.

Aprēķiniet logaritmu:

Attēlosim bāzi un argumentu kā trīs pakāpju: 3 = 3 1 ; 1/81 \u003d 81 -1 \u003d (3 4) -1 \u003d 3 -4;

Izveidosim un atrisināsim vienādojumu:

Saņēmu atbildi: -4.

−4

Aprēķiniet logaritmu: log 4 64

Attēlosim bāzi un argumentu kā divu pakāpju: 4 = 2 2 ; 64 = 26;

Izveidosim un atrisināsim vienādojumu:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

Saņemta atbilde: 3.

Aprēķiniet logaritmu: log 16 1

Attēlosim bāzi un argumentu kā divu pakāpju: 16 = 2 4 ; 1 = 20;

Izveidosim un atrisināsim vienādojumu:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

Saņemta atbilde: 0.

Aprēķiniet logaritmu: log 7 14

Attēlosim bāzi un argumentu kā septiņu pakāpju: 7 = 7 1 ; 14 nav attēlots kā septiņi, jo 7 1< 14 < 7 2 ;

No iepriekšējās rindkopas izriet, ka logaritms netiek ņemts vērā;

Atbilde ir bez izmaiņām: žurnāls 7 14.

žurnāls 7 14

Neliela piezīme par pēdējo piemēru. Kā pārliecināties, ka skaitlis nav precīzs cita skaitļa pakāpe? Ļoti vienkārši - vienkārši sadaliet to galvenajos faktoros. Ja paplašināšanā ir vismaz divi atšķirīgi faktori, skaitlis nav precīza jauda.

Uzziniet, vai skaitļa precīzās pilnvaras ir: 8; 48; 81; 35; četrpadsmit.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - precīzs grāds, jo ir tikai viens reizinātājs;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nav precīza jauda, ​​jo ir divi faktori: 3 un 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - precīzs grāds;
35 = 7 5 - atkal nav precīzs grāds;
14 \u003d 7 2 - atkal nav precīzs grāds;

8, 81 - precīzs grāds; 48, 35, 14 - Nr.

Ņemiet vērā arī to, ka paši pirmskaitļi vienmēr ir paši precīzas pilnvaras.

Decimālais logaritms

Daži logaritmi ir tik izplatīti, ka tiem ir īpašs nosaukums un apzīmējums.

Definīcija

Decimālais logaritms no argumenta x ir logaritms līdz 10. bāzei, t.i. jauda, ​​līdz kurai jums jāpalielina skaitlis 10, lai iegūtu skaitli x.

Apzīmējums

lg x

Piemēram, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - utt.

Turpmāk, kad mācību grāmatā parādās tāda frāze kā “Atrast lg 0.01”, ziniet, ka tā nav drukas kļūda. Šis ir decimālais logaritms. Tomēr, ja neesat pieradis pie šāda apzīmējuma, vienmēr varat to pārrakstīt:
log x = log 10 x

Viss, kas attiecas uz parastajiem logaritmiem, attiecas arī uz decimāldaļām.

naturālais logaritms

Ir vēl viens logaritms, kuram ir savs apzīmējums. Savā ziņā tas ir pat svarīgāks par decimāldaļu. Tas ir par par naturālo logaritmu.

Definīcija

naturālais logaritms no argumenta x ir bāzes logaritms e , t.i. jauda, ​​līdz kurai cipars jāpalielina e lai iegūtu numuru x.

Apzīmējums

ln x

Daudzi jautās: kāds ir cipars e? Tas ir neracionāls skaitlis precīza vērtība nav iespējams atrast un ierakstīt. Šeit ir tikai pirmie skaitļi:
e = 2,718281828459...

Mēs neiedziļināsimies, kas ir šis numurs un kāpēc tas ir vajadzīgs. Vienkārši atcerieties, ka e - bāze naturālais logaritms:
ln x = log e x

Tādējādi ln e = 1; log e 2 = 2; 16. gadā = 16 - utt. No otras puses, ln 2 ir iracionāls skaitlis. Kopumā jebkura racionāla skaitļa naturālais logaritms ir iracionāls. Protams, izņemot vienotību: ln 1 = 0.

Dabiskajiem logaritmiem ir spēkā visi noteikumi, kas ir spēkā parastajiem logaritmiem.

Logaritmu pamatīpašības

Logaritmus, tāpat kā jebkuru skaitli, var saskaitīt, atņemt un pārveidot visos iespējamos veidos. Bet, tā kā logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir noteikumi, kurus sauc par pamata īpašībām.

Šie noteikumi ir jāzina – bez tiem nevar atrisināt nevienu nopietnu logaritmisku uzdevumu. Turklāt tādu ir ļoti maz – visu var apgūt vienā dienā. Tātad sāksim.

Logaritmu saskaitīšana un atņemšana

Apsveriet divus logaritmus ar vienu un to pašu bāzi: log a x un log a y . Pēc tam tos var pievienot un atņemt, un:

žurnāls a x +baļķis a y = baļķis a ( x · y );

žurnāls a x −log a y = baļķis a ( x : y ).

Tātad, logaritmu summa ir vienāda ar reizinājuma logaritmu, un starpība ir koeficienta logaritms. Piezīme: galvenais brīdisšeit ir tās pašas bāzes. Ja bāzes atšķiras, šie noteikumi nedarbojas!

Šīs formulas palīdzēs aprēķināt logaritmisko izteiksmi pat tad, ja tās atsevišķās daļas netiek ņemtas vērā (skatiet nodarbību " "). Apskatiet piemērus un skatiet:

Atrodiet izteiksmes vērtību: log 6 4 + log 6 9.

Tā kā logaritmu bāzes ir vienādas, mēs izmantojam summas formulu:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Atrodiet izteiksmes vērtību: log 2 48 − log 2 3.

Bāzes ir vienādas, mēs izmantojam atšķirības formulu:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Atrodiet izteiksmes vērtību: log 3 135 − log 3 5.

Atkal, bāzes ir vienādas, tāpēc mums ir:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kā redzat, sākotnējās izteiksmes sastāv no "sliktiem" logaritmiem, kas netiek apskatīti atsevišķi. Bet pēc pārvērtībām izrādās diezgan normāli skaitļi. Pamatojoties uz šo faktu, daudzi pārbaudes darbi. Jā, tā kontrole - līdzīgi izteicieni visā nopietnībā (dažkārt - praktiski bez izmaiņām) tiek piedāvāti eksāmenā.

Eksponenta noņemšana no logaritma

Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu. Ko darīt, ja logaritma bāzē vai argumentā ir pakāpe? Tad šīs pakāpes eksponentu var izņemt no logaritma zīmes in šādus noteikumus:

To ir viegli redzēt pēdējais noteikums seko pirmajiem diviem. Bet tomēr labāk to atcerēties – dažos gadījumos tas ievērojami samazinās aprēķinu apjomu.

Protams visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots ODZ logaritms: a > 0, a ≠ 1, x > 0 jūs varat ievadīt skaitļus pirms logaritma zīmes pašā logaritmā. Tas ir tas, kas visbiežāk tiek prasīts.

Atrodiet izteiksmes vērtību: log 7 49 6 .

Atbrīvosimies no argumenta pakāpes pēc pirmās formulas:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Atrodiet izteiksmes vērtību:

Ņemiet vērā, ka saucējs ir logaritms, kura bāze un arguments ir precīzas pakāpes: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Mums ir:

Es domāju, ka pēdējais piemērs ir jāprecizē. Kur ir pazuduši logaritmi? Visu ceļu pēdējais brīdis mēs strādājam tikai ar saucēju. Viņi uzrādīja tur esošā logaritma bāzi un argumentu grādu veidā un izņēma rādītājus - viņi ieguva “trīsstāvu” daļu.

Tagad apskatīsim galveno frakciju. Skaitītājam un saucējam ir vienāds skaitlis: log 2 7. Tā kā log 2 7 ≠ 0, mēs varam samazināt daļu - 2/4 paliks saucējā. Saskaņā ar aritmētikas likumiem četriniekus var pārnest uz skaitītāju, kas arī tika izdarīts. Rezultāts ir atbilde: 2.

Pāreja uz jaunu pamatu

Runājot par logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem, īpaši uzsvēru, ka tie darbojas tikai ar vienādām bāzēm. Ko darīt, ja bāzes atšķiras? Ko darīt, ja tās nav precīzas viena un tā paša skaitļa pilnvaras?

Palīgā nāk formulas pārejai uz jaunu bāzi. Mēs tos formulējam teorēmas veidā:

Teorēma

Ļaujiet logaritmam reģistrēties a x . Tad jebkuram skaitlim c tā, lai c > 0 un c ≠ 1, vienādība ir patiesa:

Jo īpaši, ja mēs ieliekam c = x, mēs iegūstam:

No otrās formulas izriet, ka ir iespējams apmainīt logaritma bāzi un argumentu, taču šajā gadījumā tiek “apgriezta” visa izteiksme, t.i. logaritms ir saucējā.

Šīs formulas reti sastopamas parastajās skaitliskās izteiksmēs. To, cik tie ir ērti, var novērtēt tikai risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības.

Tomēr ir uzdevumi, kurus nemaz nevar atrisināt, izņemot pāreju uz jaunu pamatu. Apskatīsim pāris no šiem:

Atrodiet izteiksmes vērtību: log 5 16 log 2 25.

Ņemiet vērā, ka abu logaritmu argumenti ir precīzi eksponenti. Izņemsim rādītājus: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Tagad apgriezīsim otro logaritmu:

Tā kā reizinājums nemainās no faktoru permutācijas, mēs mierīgi sareizinājām četri un divi un pēc tam izdomājām logaritmus.

Atrodiet izteiksmes vērtību: log 9 100 lg 3.

Pirmā logaritma bāze un arguments ir precīzas pilnvaras. Pierakstīsim to un atbrīvosimies no rādītājiem:

Tagad atbrīvosimies no decimālā logaritma, pārejot uz jaunu bāzi:

Pamatlogaritmiskā identitāte

Bieži vien risināšanas procesā ir nepieciešams attēlot skaitli kā logaritmu noteiktai bāzei. Šajā gadījumā formulas mums palīdzēs:

Pirmajā gadījumā numurs n kļūst par argumenta eksponentu. Numurs n var būt pilnīgi jebkas, jo tā ir tikai logaritma vērtība.

Otrā formula patiesībā ir pārfrāzēta definīcija. To sauc šādi:logaritmiskā identitāte.

Patiešām, kas notiks, ja skaitlis b paaugstinās tādā pakāpē, ka skaitlis b šajā pakāpē dod skaitli a? Tieši tā: tas ir tas pats cipars a. Vēlreiz uzmanīgi izlasiet šo rindkopu - daudzi cilvēki tajā "karājas".

Tāpat kā jaunās bāzes konvertēšanas formulas, arī pamata logaritmiskā identitāte dažkārt ir vienīgais iespējamais risinājums.

Uzdevums

Atrodiet izteiksmes vērtību:

Lēmums

Ņemiet vērā, ka log 25 64 = log 5 8 - tikko izņēma kvadrātu no bāzes un logaritma argumentu. Ņemot vērā noteikumus pilnvaru reizināšanai ar tā pati bāze, mēs iegūstam:

200

Ja kāds nezina, šis bija īsts eksāmena uzdevums :)

Logaritmiskā vienība un logaritmiskā nulle

Noslēgumā es sniegšu divas identitātes, kuras ir grūti nosaukt par īpašībām - drīzāk tās ir sekas no logaritma definīcijas. Viņi pastāvīgi tiek atrasti problēmās un pārsteidzošā kārtā rada problēmas pat "progresīviem" studentiem.

log a a = 1 ir logaritmiskā vienība. Vienreiz par visām reizēm atcerieties: logaritms uz jebkuru bāzi a no šī paša pamata vienāds ar vienu.

log a 1 = 0 ir logaritmiskā nulle. Pamatne a var būt jebkas, bet ja arguments ir viens - logaritms ir nulle! jo a 0 = 1 ir tiešas definīcijas sekas.

Tās ir visas īpašības. Noteikti praktizējiet to pielietošanu praksē!

Atrodiet izteiksmes vērtību dažādām mainīgā x=2 racionālām vērtībām; 0; -3; -

Ņemiet vērā, ka neatkarīgi no tā, kādu skaitli mēs aizstājam mainīgā x vietā, jūs vienmēr varat atrast šīs izteiksmes vērtību. Tātad, mēs apsveram eksponenciālu funkciju (y ir vienāds ar trīs ar x pakāpi), kas definēta racionālo skaitļu kopā: .

Izveidosim šīs funkcijas grafiku, izveidojot tās vērtību tabulu.

Novelkam gludu līniju, kas iet caur šiem punktiem (1. att.)

Izmantojot šīs funkcijas grafiku, apsveriet tās īpašības:

3. Palielinās visā definīcijas apgabalā.

1. diapazonā no nulles līdz plus bezgalībai.

8. Funkcija ir izliekta uz leju.

Ja vienā koordinātu sistēmā veidot funkciju grafikus; y=(y ir vienāds ar divi ar x pakāpju, y ir vienāds ar pieci ar x pakāpju, y ir vienāds ar septiņiem ar x pakāpju), jūs varat redzēt, ka tiem ir tādas pašas īpašības kā y=(y vienāds ar trīs ar x pakāpi) ( .2. att.), tas ir, visas funkcijas formā y = (y ir vienāds ar a ar x pakāpju, ar lielāku par vienu) būs šādas īpašības

Uzzīmēsim funkciju:

1. Tā vērtību tabulas sastādīšana.

Iegūtos punktus atzīmējam koordinātu plaknē.

Novelkam gludu līniju, kas iet caur šiem punktiem (3. att.).

Izmantojot šīs funkcijas grafiku, mēs norādām tās īpašības:

1. Definīcijas apgabals ir visu reālo skaitļu kopa.

2. Nav ne pāra, ne nepāra.

3. Samazinās visā definīcijas jomā.

4. Nav ne lielāko, ne mazāko vērtību.

5. Ierobežots no apakšas, bet ne ierobežots no augšas.

6. Nepārtraukta visā definīcijas jomā.

7. vērtību diapazons no nulles līdz plus bezgalībai.

8. Funkcija ir izliekta uz leju.

Līdzīgi, ja vienā koordinātu sistēmā veidot funkciju grafikus; y=(y ir vienāds ar vienu sekundi ar x pakāpju, y ir vienāds ar vienu piektdaļu ar x pakāpi, y ir vienāds ar vienu septīto daļu ar x pakāpju), jūs varat redzēt, ka tiem ir tādas pašas īpašības kā y= (y vienāds ar vienu trešdaļu no x) (4. att.), tas ir, visas funkcijas, kuru forma ir y \u003d (y ir vienāds ar vienu, dalīts ar a ar x pakāpju, ar lielāku par nulli, bet mazāku par vienu) piemīt šādas īpašības

Konstruēsim funkciju grafikus vienā koordinātu sistēmā

tas nozīmē, ka funkciju y \u003d y \u003d grafiki (y ir vienāds ar a ar x pakāpju un y ir vienāds ar vienu, kas dalīts ar a un x pakāpe) arī būs simetriski tai pašai a vērtībai. .

Mēs apkopojam teikto, sniedzot eksponenciālās funkcijas definīciju un norādot tās galvenās īpašības:

Definīcija: Funkciju formā y \u003d, kur (y ir vienāds ar a ar x pakāpju, kur a ir pozitīva un atšķiras no viena), sauc par eksponenciālu funkciju.

Jāatceras atšķirības starp eksponenciālo funkciju y= un jaudas funkciju y=, a=2,3,4,…. gan fonētiski, gan vizuāli. Eksponenciālā funkcija X ir grāds, un jaudas funkcija X ir pamats.

1. piemērs: atrisiniet vienādojumu (trīs līdz x pakāpei ir vienāds ar deviņiem)

(y vienāds ar trīs ar x pakāpju un y ir vienāds ar deviņiem) 7. att

Ņemiet vērā, ka tiem ir viens kopīgs punkts M (2; 9) (em ar koordinātām divas; deviņas), kas nozīmē, ka punkta abscisa būs šī vienādojuma sakne. Tas nozīmē, ka vienādojumam ir viena sakne x = 2.

2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Vienā koordinātu sistēmā konstruēsim divus funkcijas y \u003d grafikus (y ir vienāds ar pieci ar x pakāpju un y ir vienāds ar vienu divdesmit piekto) 8. att. Grafiki krustojas vienā punktā T (-2; (te ar koordinātām mīnus divi; viena divdesmit piektā). Līdz ar to vienādojuma sakne ir x \u003d -2 (skaitlis mīnus divi).

3. piemērs. Atrisiniet nevienlīdzību

Vienā koordinātu sistēmā mēs izveidojam divus funkcijas y \u003d grafikus

(y ir vienāds ar trīs ar x pakāpju un y ir vienāds ar divdesmit septiņiem).

9. att. Funkcijas grafiks atrodas virs funkcijas y=kad grafika

x Tāpēc nevienlīdzības risinājums ir intervāls (no mīnus bezgalības līdz trīs)

4. piemērs. Atrisiniet nevienlīdzību

Vienā koordinātu sistēmā mēs izveidosim divus funkcijas y \u003d grafikus (y ir vienāds ar vienu ceturtdaļu no x pakāpes un y ir vienāds ar sešpadsmit). (10. att.). Grafiki krustojas vienā punktā K (-2;16). Tas nozīmē, ka nevienādības atrisinājums ir intervāls (-2; (no mīnus divi līdz plus bezgalība), jo funkcijas y \u003d grafiks atrodas zem funkcijas grafika pie x

Mūsu argumentācija ļauj mums pārbaudīt šādu teorēmu derīgumu:

1. punkts: Ja ir patiess tad un tikai tad, ja m=n.

2. teorēma: Ja ir patiesa tad un tikai tad, tad nevienlīdzība ir patiesa tad un tikai tad (*. att.)

4. teorēma: Ja ir patiesa tad un tikai tad, ja (** att.), nevienādība ir patiesa tad un tikai tad, ja 3. teorēma: Ja ir patiesa tad un tikai tad, ja m=n.

5. piemērs. Uzzīmējiet funkciju y=

Mēs modificējam funkciju, piemērojot pakāpes īpašību y=

Celsim papildu sistēma koordinātas un jaunajā koordinātu sistēmā konstruēsim funkcijas y \u003d grafiku (y ir vienāds ar divi ar x pakāpju) 11. att.

6. piemērs. Atrisiniet vienādojumu

Vienā koordinātu sistēmā mēs izveidojam divus funkcijas y \u003d grafikus

(Y ir vienāds ar septiņiem x pakāpē un Y ir vienāds ar astoņiem mīnus x) 12. att.

Grafiki krustojas vienā punktā E (1; (e ar koordinātām viena; septiņas). Līdz ar to vienādojuma sakne ir x = 1 (x vienāds ar vienu).

7. piemērs. Atrisiniet nevienlīdzību

Vienā koordinātu sistēmā mēs izveidojam divus funkcijas y \u003d grafikus

(Y ir vienāds ar vienu ceturtdaļu no x pakāpes un Y ir vienāds ar x plus pieci). Funkcijas y \u003d grafiks atrodas zem funkcijas y \u003d x + 5 at grafika, nevienlīdzības risinājums ir intervāls x (no mīnus viens līdz plus bezgalībai).