Definīcija. Prizma- tas ir daudzskaldnis, kura visas virsotnes atrodas divās paralēlās plaknēs, un tajās pašās divās plaknēs ir divas prizmas skaldnes, kas ir vienādi daudzstūri ar attiecīgi paralēlām malām, un visas malas, kas neatrodas šajās. plaknes ir paralēlas.

Tiek sauktas divas vienādas sejas prizmu pamatnes(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Tiek sauktas visas pārējās prizmas skaldnes sānu sejas(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Veidojas visas sānu sejas prizmas sānu virsma .

Visas prizmas sānu virsmas ir paralelogrami .

Malas, kas neatrodas pie pamatiem, sauc par prizmas sānu malām ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prizmas diagonāle sauc segmentu, kura gali ir divas prizmas virsotnes, kas neatrodas vienā no tās skaldnēm (AD 1).

Tiek saukts segmenta garums, kas savieno prizmas pamatus un ir perpendikulārs abām pamatnēm vienlaikus. prizmas augstums .

Apzīmējums:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Vispirms apvedceļa secībā ir norādītas vienas pamatnes virsotnes un pēc tam tādā pašā secībā otras virsotnes; katras sānu malas galus apzīmē ar vienādiem burtiem, tikai virsotnes atrodas viena bāze ir apzīmēta ar burtiem bez indeksa, bet otrā - ar indeksu)

Prizmas nosaukums ir saistīts ar leņķu skaitu attēlā, kas atrodas tās pamatnē, piemēram, 1. attēlā pamatne ir piecstūris, tāpēc prizmu sauc piecstūra prizma. Bet kopš tādai prizmai ir 7 sejas, tad tā septiņskaldnis(2 skaldnes ir prizmas pamatnes, 5 skaldnes ir paralelogrami, ir tās sānu skaldnes)

Starp taisnām prizmām izceļas privāts skats: regulāras prizmas.

Tiek saukta taisna prizma pareizi, ja tā pamati ir regulāri daudzstūri.

Paralēles

kuboīds- taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamats ir taisnstūris.

Īpašības un teorēmas:

,

kur d ir kvadrāta diagonāle;
a - laukuma puse.

Prizmas ideju sniedz:

• dažādas arhitektūras struktūras;
• Bērnu rotaļlietas;
• iepakošanas kastes;
• dizaineru priekšmeti utt.

Prismas kopējais un sānu virsmas laukums

S pilna \u003d S puse + 2S galvenais,

kur S pilns- kopējais virsmas laukums, S pusē- sānu virsmas laukums, S galvenais- bāzes platība

Taisnas prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pamatnes perimetra un prizmas augstuma reizinājumu.

S pusē\u003d P galvenais * h,

kur S pusē ir taisnas prizmas sānu virsmas laukums,

P galvenais - taisnas prizmas pamatnes perimetrs,

h ir taisnās prizmas augstums, vienāds ar sānu malu.

Prizmas tilpums

Prizmas tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu.

Definīcija.

Šis ir sešstūris, kura pamatnes ir divi vienādi kvadrāti, bet sānu malas ir vienādi taisnstūri.

Sānu riba ir divu blakus esošo sānu virsmu kopējā puse

Prismas augstums ir taisnes nogrieznis, kas ir perpendikulārs prizmas pamatiem

Prizmas diagonāle- segments, kas savieno divas pamatu virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai

Diagonālā plakne- plakne, kas iet caur prizmas diagonāli un tās sānu malām

Diagonālā sadaļa- prizmas un diagonālās plaknes krustpunkta robežas. Diagonālā daļa pareizo četrstūra prizma ir taisnstūris

Perpendikulārs griezums (ortogonāls griezums)- tas ir prizmas un plaknes krustpunkts, kas novilkts perpendikulāri tās sānu malām

Regulāras četrstūra prizmas elementi

Attēlā parādītas divas regulāras četrstūra prizmas, kuras ir apzīmētas ar atbilstošajiem burtiem:

• Bāzes ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 ir vienādas un paralēlas viena otrai
• Sānu malas AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C un CC 1 D 1 D, no kurām katra ir taisnstūris
• Sānu virsma - visu prizmas sānu virsmu laukumu summa
• Kopējā virsma - visu pamatņu un sānu virsmu laukumu summa (sānu virsmas un pamatņu laukumu summa)
• Sānu ribas AA 1 , BB 1 , CC 1 un DD 1 .
• Diagonāle B 1 D
• Pamatnes diagonāle BD
• Diagonālais griezums BB 1 D 1 D
• Perpendikulārais griezums A 2 B 2 C 2 D 2 .

Regulāras četrstūra prizmas īpašības

• Pamati ir divi vienādi kvadrāti
• Pamatnes ir paralēlas viena otrai
• Malas ir taisnstūri.
• Sānu sejas ir vienādas viena ar otru
• Sānu virsmas ir perpendikulāras pamatnēm
• Sānu ribas ir paralēlas viena otrai un vienādas
• Perpendikulārs griezums perpendikulārs visām sānu ribām un paralēls pamatnēm
• Perpendikulāri šķērsgriezuma leņķi - pa labi
• Parastas četrstūra prizmas diagonālā daļa ir taisnstūris
• Perpendikulārs (ortogonāls griezums) paralēli pamatiem

Formulas regulārai četrstūra prizmai

Instrukcijas problēmu risināšanai

Pareiza prizma- prizma, kuras pamatnē atrodas regulārs daudzstūris, un sānu malas ir perpendikulāras pamatnes plaknēm. Tas ir, regulāra četrstūra prizma atrodas savā pamatnē kvadrāts. (skatīt iepriekš regulāras četrstūra prizmas īpašības) Piezīme. Šī ir daļa no nodarbības ar uzdevumiem ģeometrijā (sekcija cietā ģeometrija - prizma). Lūk, uzdevumi, kuru risināšanā rodas grūtības. Ja jums ir jāatrisina problēma ģeometrijā, kuras šeit nav - rakstiet par to forumā. Lai norādītu ekstrakcijas darbību kvadrātsakne simbols tiek izmantots problēmu risināšanā√ .

Uzdevums.

Regulāras prizmas diagonāle veidojas ar pamatnes diagonāli un prizmas augstumu taisnleņķa trīsstūris. Attiecīgi, saskaņā ar Pitagora teorēmu, noteiktas regulāras četrstūra prizmas diagonāle būs vienāda ar:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Atbilde: 22 cm

Uzdevums

Lēmums.
Tā kā regulāras četrstūra prizmas pamatne ir kvadrāts, tad pamatnes malu (apzīmē kā a) atrod Pitagora teorēma:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Tad sānu virsmas augstums (apzīmēts ar h) būs vienāds ar:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3,5
h = √3,5

Kopējais virsmas laukums būs vienāds ar sānu virsmas laukuma summu un divkāršu pamatplatību

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Atbilde: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Matemātikas nozare, kas pēta dažādu formu (punktu, līniju, leņķu, divdimensiju un trīsdimensiju objektu) īpašības, to izmērus un relatīvā pozīcija. Mācīšanas ērtībai ģeometrija tiek sadalīta planimetrijā un cietajā ģeometrijā. IN…… Collier enciklopēdija

tādu telpu ģeometrija, kuru izmēri ir lielāki par trim; termins attiecas uz tām telpām, kuru ģeometrija sākotnēji tika izstrādāta trīs dimensiju gadījumam un tikai pēc tam vispārināta līdz dimensiju skaitam n> 3, galvenokārt Eiklīda telpa, ... ... Matemātiskā enciklopēdija

N dimensiju Eiklīda ģeometrija Eiklīda ģeometrijas vispārinājums telpā vairāk mērījumi. Lai gan fiziskā telpa ir trīsdimensiju un cilvēka maņas ir paredzētas trīs dimensiju uztveršanai, N ir dimensijas ... ... Wikipedia

Šim terminam ir citas nozīmes, skatiet Pyramidatsu (nozīmes). Šīs raksta sadaļas ticamība ir apšaubīta. Ir nepieciešams pārbaudīt šajā sadaļā minēto faktu pareizību. Sarunu lapā var būt paskaidrojumi ... Wikipedia

- Modelēšanā izmantotā (Constructive Solid Geometry, CSG) tehnoloģija cietvielas. Strukturālā bloku ģeometrija bieži, bet ne vienmēr, ir modelēšanas tehnika 3D grafikā un CAD. Tas ļauj jums izveidot sarežģītu ainu vai ... Wikipedia

Konstruktīvā cieto ģeometrija (CSG) ir cietvielu modelēšanas tehnoloģija. Strukturālā bloku ģeometrija bieži, bet ne vienmēr, ir modelēšanas tehnika 3D grafikā un CAD. Viņa ... ... Wikipedia

Šim terminam ir arī citas nozīmes, skatiet sadaļu Darbības joma (nozīmes). Tilpums ir kopas (mēra) aditīva funkcija, kas raksturo telpas apgabala kapacitāti, ko tas aizņem. Sākotnēji tas radās un tika piemērots bez stingras ... ... Wikipedia

Kuba tips Regulārs daudzskaldnis Seja kvadrāts Virsotnes Malas Faces ... Wikipedia

Tilpums ir kopas (mēra) aditīva funkcija, kas raksturo telpas apgabala kapacitāti, ko tas aizņem. Sākotnēji tas radās un tika piemērots bez stingras definīcijas attiecībā uz trīsdimensiju Eiklīda telpas trīsdimensiju ķermeņiem. ... ... Wikipedia

Telpas daļa, ko ierobežo ierobežota skaita plakanu daudzstūru kopums (sk. ĢEOMETRIJU), kas savienoti tā, ka katra daudzstūra mala ir tieši viena cita daudzstūra mala (saukta ... ... Collier enciklopēdija

Grāmatas

• Galdu komplekts. Ģeometrija. 10. klase. 14 tabulas + metodika, . Tabulas ir drukātas uz bieza poligrāfiskā kartona ar izmēriem 680 x 980 mm. Brošūra ar vadlīnijas skolotājam. Mācību albums ar 14 lapām...

Prizma. Paralēles

prizma sauc par daudzskaldni, kura divas skaldnes ir vienādi n-stūri (pamatojums) , kas atrodas paralēlās plaknēs, un atlikušās n skaldnes ir paralelogrami (sānu sejas) . Sānu riba prizma ir sānu virsmas puse, kas nepieder pie pamatnes.

Tiek saukta prizma, kuras sānu malas ir perpendikulāras pamatu plaknēm taisni prizma (1. att.). Ja sānu malas nav perpendikulāras pamatu plaknēm, tad sauc prizmu slīps . Pareizi Prizma ir taisna prizma, kuras pamatnes ir regulāri daudzstūri.

Augstums prizmu sauc par attālumu starp pamatu plaknēm. Diagonāli Prizma ir segments, kas savieno divas virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai virsotnei. diagonālā daļa Tiek saukts prizmas griezums plaknē, kas iet caur divām sānu malām, kas nepieder vienai un tai pašai skaldnei. Perpendikulārs griezums sauc par prizmas griezumu ar plakni, kas ir perpendikulāra prizmas sānu malai.

Sānu virsmas laukums prizma ir visu sānu virsmu laukumu summa. Pilna virsmas laukums tiek saukta visu prizmas skalu laukumu summa (t.i., sānu skaldņu un pamatņu laukumu summa).

Patvaļīgai prizmai formulas ir patiesas:

kur l ir sānu ribas garums;

H- augstums;

P

J

S pusē

S pilns

S galvenais ir pamatu laukums;

V ir prizmas tilpums.

Taisnai prizmai ir patiesas šādas formulas:

kur lpp- pamatnes perimetrs;

l ir sānu ribas garums;

H- augstums.

Paralēles Tiek saukta prizma, kuras pamats ir paralelograms. Tiek saukts paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras pamatiem tiešā veidā (2. att.). Ja sānu malas nav perpendikulāras pamatnēm, tad sauc paralelsādi slīps . Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamats ir taisnstūris taisnstūrveida. Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura visas malas ir vienādas kubs.

Tiek sauktas paralēlskaldņa sejas, kurām nav kopīgu virsotņu pretī . Tiek saukti malu garumi, kas izplūst no vienas virsotnes mērījumi paralēlskaldnis. Tā kā kaste ir prizma, tās galvenie elementi tiek definēti tāpat kā prizmām.

Teorēmas.

1. Paralēles diagonāles krustojas vienā punktā un sadala to uz pusēm.

2. Taisnstūra paralēlskaldnis diagonāles garuma kvadrāts ir vienāds ar tā trīs izmēru kvadrātu summu:

3. Visas četras taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles ir vienādas viena ar otru.

Patvaļīgam paralēlskaldnim ir patiesas šādas formulas:

kur l ir sānu ribas garums;

H- augstums;

P ir perpendikulārā griezuma perimetrs;

J– perpendikulārā griezuma laukums;

S pusē ir sānu virsmas laukums;

S pilns ir kopējā virsmas laukums;

S galvenais ir pamatu laukums;

V ir prizmas tilpums.

Labajam paralēlskaldnim ir patiesas šādas formulas:

kur lpp- pamatnes perimetrs;

l ir sānu ribas garums;

H ir labā paralēlskaldņa augstums.

Taisnstūra paralēlskaldnim ir patiesas šādas formulas:

(3)

kur lpp- pamatnes perimetrs;

H- augstums;

d- pa diagonāli;

a,b,c– paralēlskaldņa mērījumi.

Pareizās formulas kubam ir:

kur a ir ribas garums;

d ir kuba diagonāle.

1. piemērs Taisnstūra kubīda diagonāle ir 33 dm, un tās mērījumi ir saistīti kā 2:6:9. Atrodiet kubīda izmērus.

Lēmums. Lai atrastu paralēlskaldņa izmērus, izmantojam formulu (3), t.i. fakts, ka kuboīda hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar tā izmēru kvadrātu summu. Apzīmē ar k proporcionalitātes koeficients. Tad paralēlskaldņa izmēri būs vienādi ar 2 k, 6k un 9 k. Mēs rakstām formulu (3) problēmas datiem:

Atrisinot šo vienādojumu par k, mēs iegūstam:

Tādējādi paralēlskaldņa izmēri ir 6 dm, 18 dm un 27 dm.

Atbilde: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

2. piemērs Atrodiet tilpumu slīpai trīsstūrveida prizmai, kuras pamatne ir vienādmalu trijstūris ar 8 cm malu, ja sānu mala ir vienāda ar pamatnes malu un ir 60º leņķī pret pamatni.

Lēmums . Veidosim zīmējumu (3. att.).

Lai atrastu slīpās prizmas tilpumu, jums jāzina tās pamatnes laukums un augstums. Šīs prizmas pamatnes laukums ir vienādmalu trīsstūra laukums ar malu 8 cm. Aprēķināsim:

Prizmas augstums ir attālums starp tās pamatnēm. No augšas BET 1 no augšējās pamatnes mēs nolaižam perpendikulāri apakšējās pamatnes plaknei BET 1 D. Tās garums būs prizmas augstums. Apsveriet D BET 1 AD: jo tas ir sānu ribas slīpuma leņķis BET 1 BET uz bāzes plakni BET 1 BET= 8 cm No šī trijstūra mēs atrodam BET 1 D:

Tagad mēs aprēķinām tilpumu, izmantojot formulu (1):

Atbilde: 192 cm3.

3. piemērs Parastas sešstūra prizmas sānu mala ir 14 cm. Lielākā diagonālās sekcijas laukums ir 168 cm 2. Atrodiet prizmas kopējo virsmas laukumu.

Lēmums. Veidosim zīmējumu (4. att.)

Lielākā diagonālā daļa ir taisnstūris AA 1 DD 1 , kopš diagonāles AD regulārs sešstūris ABCDEF ir lielākais. Lai aprēķinātu prizmas sānu virsmas laukumu, ir jāzina pamatnes mala un sānu ribas garums.

Zinot diagonālās sekcijas laukumu (taisnstūris), mēs atrodam pamatnes diagonāli.

Kopš tā laika

Kopš tā laika AB= 6 cm.

Tad pamatnes perimetrs ir:

Atrodiet prizmas sānu virsmas laukumu:

Parasta sešstūra laukums ar 6 cm malu ir:

Atrodiet prizmas kopējo virsmas laukumu:

Atbilde:

4. piemērs Labā paralēlskaldņa pamatne ir rombs. Diagonālo sekciju laukumi ir 300 cm 2 un 875 cm 2. Atrodiet paralēlskaldņa sānu virsmas laukumu.

Lēmums. Veidosim zīmējumu (5. att.).

Romba malu apzīmē ar a, romba diagonāles d 1 un d 2, kastes augstums h. Lai atrastu taisna paralēlskaldņa sānu virsmas laukumu, pamatnes perimetrs jāreizina ar augstumu: (formula (2)). Bāzes perimetrs p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, kā ABCD- rombs. H = AA 1 = h. Tas. Vajag atrast a un h.

Apsveriet diagonālās sadaļas. AA 1 SS 1 - taisnstūris, kura viena mala ir romba diagonāle AU = d 1 , otrā sānu mala AA 1 = h, tad

Līdzīgi arī sadaļai BB 1 DD 1 mēs iegūstam:

Izmantojot paralelograma īpašību tādu, ka diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar visu tā malu kvadrātu summu, iegūstam vienādību. Iegūstam sekojošo.

Daudzskaldnis

Galvenais stereometrijas izpētes objekts ir trīsdimensiju ķermeņi. Ķermenis ir telpas daļa, ko ierobežo kāda virsma.

daudzskaldnis Tiek saukts ķermenis, kura virsma sastāv no ierobežota skaita plakanu daudzstūru. Daudzskaldni sauc par izliektu, ja tas atrodas katra plakanā daudzstūra plaknes vienā pusē. Šādas plaknes un daudzskaldņa virsmas kopējo daļu sauc mala. Izliekta daudzskaldņa skaldnes ir plakani izliekti daudzstūri. Seju malas sauc daudzskaldņa malas, un virsotnes daudzskaldņa virsotnes.

Piemēram, kubs sastāv no sešiem kvadrātiem, kas ir tā skaldnes. Tajā ir 12 malas (kvadrātu malas) un 8 virsotnes (kvadrātu virsotnes).

Vienkāršākie daudzskaldņi ir prizmas un piramīdas, kuras mēs pētīsim tālāk.

Prizma

Prizmas definīcija un īpašības

prizma sauc par daudzskaldni, kas sastāv no diviem plakaniem daudzstūriem, kas atrodas paralēlās plaknēs, kas apvienoti ar paralēlu translāciju, un visiem segmentiem, kas savieno šo daudzstūru atbilstošos punktus. Daudzstūri tiek saukti prizmu pamatnes, un segmenti, kas savieno atbilstošās daudzstūru virsotnes, ir prizmas sānu malas.

Prizmas augstums sauc par attālumu starp tā pamatu plaknēm (). Tiek saukts segments, kas savieno divas prizmas virsotnes, kas nepieder vienai skaldnei prizmas diagonāle(). Prizmu sauc n-ogles ja tā bāze ir n-stūra.

Jebkurai prizmai ir šādas īpašības, kas izriet no tā, ka prizmas pamatnes tiek apvienotas ar paralēlo tulkošanu:

1. Prizmas pamatnes ir vienādas.

2. Prizmas sānu malas ir paralēlas un vienādas.

Prizmas virsmu veido pamatnes un sānu virsma. Prizmas sānu virsmu veido paralelogrami (tas izriet no prizmas īpašībām). Prizmas sānu virsmas laukums ir sānu virsmu laukumu summa.

taisna prizma

Prizmu sauc taisni ja tā sānu malas ir perpendikulāras pamatnēm. Pretējā gadījumā prizmu sauc slīps.

Taisnas prizmas skaldnes ir taisnstūri. Taisnas prizmas augstums ir vienāds ar tās sānu malām.

pilna virsma prizmas ir sānu virsmas laukuma un pamatu laukumu summa.

Pareiza prizma sauc par taisno prizmu ar regulāru daudzstūri pie pamatnes.

Teorēma 13.1. Taisnas prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar prizmas perimetra un augstuma reizinājumu (vai, līdzvērtīgi, ar sānu malu).

Pierādījums. Taisnas prizmas sānu malas ir taisnstūri, kuru pamatnes ir prizmas pamatos esošo daudzstūru malas, bet augstumi ir prizmas sānu malas. Tad pēc definīcijas sānu virsmas laukums ir:

,

kur ir taisnas prizmas pamatnes perimetrs.

Paralēles

Ja paralelogrami atrodas prizmas pamatos, tad to sauc paralēlskaldnis. Visas paralēlskaldņa skaldnes ir paralelogrami. Šajā gadījumā paralēlskaldņa pretējās virsmas ir paralēlas un vienādas.

Teorēma 13.2. Paralēles diagonāles krustojas vienā punktā, un krustošanās punkts tiek dalīts uz pusēm.

Pierādījums. Apsveriet, piemēram, divas patvaļīgas diagonāles un . Jo paralēlskaldņa sejas ir paralelogrami, tad un , kas nozīmē, ka saskaņā ar T apmēram divas taisnes, kas ir paralēlas trešajai . Turklāt tas nozīmē, ka līnijas un atrodas vienā plaknē (plaknē). Šī plakne krustojas ar paralēlām plaknēm un pa paralēlām līnijām un . Tādējādi četrstūris ir paralelograms, un pēc paralelograma īpašības tā diagonāles un krustojas, un krustošanās punkts tiek dalīts uz pusēm, kas bija jāpierāda.

Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamats ir taisnstūris kuboīds. Visas kuboīda skaldnes ir taisnstūri. Kuboīda neparalēlo malu garumus sauc par tā lineārie izmēri(mērījumi). Ir trīs izmēri (platums, augstums, garums).

Teorēma 13.3. Kvadrātveida formā jebkuras diagonāles kvadrāts ir vienāds ar tā trīs dimensiju kvadrātu summu (pierādīts, divreiz pielietojot Pitagora T).

Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura visas malas ir vienādas kubs.

Uzdevumi

13.1. Cik diagonāles ir n- oglekļa prizma

13.2. Slīpā trīsstūrveida prizmā attālumi starp sānu malām ir 37, 13 un 40. Atrodiet attālumu starp lielāko sānu virsmu un pretējo sānu malu.

13.3. Caur regulāras trīsstūrveida prizmas apakšējās pamatnes malu tiek novilkta plakne, kas krusto sānu virsmas pa segmentiem, leņķis starp kuriem ir . Atrodiet šīs plaknes slīpuma leņķi pret prizmas pamatni.