Ko sauc par kvadrātsakni. Kā manuāli atrast skaitļa kvadrātsakni

Matemātika radās, kad cilvēks apzinājās sevi un sāka pozicionēt sevi kā autonomu pasaules vienību. Vēlme izmērīt, salīdzināt, aprēķināt to, kas jūs ieskauj, ir viena no mūsdienu fundamentālajām zinātnēm. Sākumā tie bija elementārās matemātikas gabali, kas ļāva saistīt skaitļus ar to fiziskajām izpausmēm, vēlāk secinājumus sāka pasniegt tikai teorētiski (to abstraktuma dēļ), bet pēc kāda laika, kā izteicās viens zinātnieks, " matemātika sasniedza sarežģītības griestus, kad visi skaitļi. Jēdziens "kvadrātsakne" parādījās laikā, kad to varēja viegli pamatot ar empīriskiem datiem, pārsniedzot aprēķinu plānu.

Kā tas viss sākās

Pirmā saknes pieminēšana, kas uz Šis brīdis apzīmēts kā √, tika ierakstīts Babilonijas matemātiķu rakstos, kuri lika pamatus mūsdienu aritmētikai. Protams, tie izskatījās nedaudz līdzīgi pašreizējai formai - to gadu zinātnieki vispirms izmantoja lielgabarīta tabletes. Bet otrajā tūkstošgadē pirms mūsu ēras. e. viņi izdomāja aptuvenu aprēķina formulu, kas parādīja, kā ņemt kvadrātsakni. Zemāk esošajā fotoattēlā ir redzams akmens, uz kura Babilonijas zinātnieki izgrieza izvades procesu √2, un tas izrādījās tik pareizs, ka neatbilstība atbildē tika konstatēta tikai desmitajā zīmē aiz komata.

Turklāt sakne tika izmantota, ja bija nepieciešams atrast trijstūra malu, ja ir zināmas pārējās divas. Nu, risinot kvadrātvienādojumus, nav iespējams izvairīties no saknes iegūšanas.

Paralēli babiloniešu darbiem raksta objekts tika pētīts arī ķīniešu darbā "Matemātika deviņās grāmatās", un senie grieķi nonāca pie secinājuma, ka jebkurš skaitlis, no kura sakne netiek izvilkta bez atlikuma, dod iracionālu rezultātu. .

Šī termina izcelsme ir saistīta ar skaitļa attēlojumu arābu valodā: senie zinātnieki uzskatīja, ka patvaļīga skaitļa kvadrāts izaug no saknes kā augs. Latīņu valodā šis vārds izklausās kā radix (var izsekot modeli - viss, kam ir "saknes" semantiskā slodze, ir līdzskaņi, vai tas būtu redīsi vai išiass).

Nākamo paaudžu zinātnieki izvēlējās šo ideju, apzīmējot to kā Rx. Piemēram, 15. gadsimtā, lai norādītu, ka kvadrātsakne ir ņemta no patvaļīga skaitļa a, viņi rakstīja R 2 a. Pierasts moderns izskats"ķeksītis" √ parādījās tikai 17. gadsimtā, pateicoties Renē Dekartam.

Mūsu dienas

Matemātiski y kvadrātsakne ir skaitlis z, kura kvadrāts ir y. Citiem vārdiem sakot, z 2 =y ir ekvivalents √y=z. Tomēr šī definīcija attiecas tikai uz aritmētisko sakni, jo tā nozīmē izteiksmes nenegatīvu vērtību. Citiem vārdiem sakot, √y=z, kur z ir lielāks vai vienāds ar 0.

Kopumā, kas ir derīga algebriskās saknes noteikšanai, izteiksmes vērtība var būt pozitīva vai negatīva. Tādējādi, pateicoties tam, ka z 2 =y un (-z) 2 =y, mums ir: √y=±z vai √y=|z|.

Tā kā, attīstoties zinātnei, mīlestība pret matemātiku ir tikai pieaugusi, tad ir dažādas, sausos aprēķinos neizpaužas pieķeršanās izpausmes pret to. Piemēram, līdzās tādiem interesantiem notikumiem kā Pī diena tiek svinēti arī kvadrātsaknes svētki. Tos svin deviņas reizes simts gados, un tos nosaka pēc šāda principa: cipariem, kas secībā apzīmē dienu un mēnesi, jābūt gada kvadrātsaknei. Jā, iekšā nākamreizŠie svētki tiks svinēti 2016. gada 4. aprīlī.

Kvadrātsaknes īpašības uz lauka R

Gandrīz visām matemātiskajām izteiksmēm ir ģeometrisks pamats, šis liktenis nav pagājis un √y, kas tiek definēta kā kvadrāta mala ar laukumu y.

Kā atrast skaitļa sakni?

Ir vairāki aprēķinu algoritmi. Vienkāršākais, bet tajā pašā laikā diezgan apgrūtinošs ir parastais aritmētiskais aprēķins, kas ir šāds:

1) no skaitļa, kura sakne mums ir vajadzīga, pēc kārtas tiek atņemti nepāra skaitļi - līdz izvades atlikums ir mazāks par atņemto vai pāra nulle. Kustību skaits galu galā kļūs par vēlamo skaitli. Piemēram, aprēķins kvadrātsakne no 25:

Nākamais nepāra skaitlis ir 11, atlikušais ir: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Šādos gadījumos ir Taylor sērijas paplašinājums:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , kur n ņem vērtības no 0 līdz

+∞ un |y|≤1.

Funkcijas z=√y grafiskais attēlojums

Aplūkosim elementāru funkciju z=√y reālo skaitļu laukā R, kur y ir lielāks par nulli vai vienāds ar to. Viņas diagramma izskatās šādi:

Līkne aug no sākuma un obligāti šķērso punktu (1; 1).

Funkcijas z=√y īpašības reālo skaitļu laukā R

1. Aplūkojamās funkcijas definīcijas apgabals ir intervāls no nulles līdz plus bezgalībai (nulle ir iekļauta).

2. Aplūkojamās funkcijas vērtību diapazons ir intervāls no nulles līdz plus bezgalībai (nulle atkal ir iekļauta).

3. Funkcija iegūst minimālo vērtību (0) tikai punktā (0; 0). Maksimālās vērtības nav.

4. Funkcija z=√y nav ne pāra, ne nepāra.

5. Funkcija z=√y nav periodiska.

6. Funkcijas z=√y grafikam ir tikai viens krustpunkts ar koordinātu asīm: (0; 0).

7. Funkcijas z=√y grafika krustpunkts ir arī šīs funkcijas nulle.

8. Funkcija z=√y nepārtraukti pieaug.

9. Funkcijai z=√y ir tikai pozitīvas vērtības, tāpēc tās grafiks aizņem pirmo koordinātu leņķi.

Funkcijas z=√y parādīšanas iespējas

Matemātikā, lai atvieglotu sarežģītu izteiksmju aprēķināšanu, dažreiz tiek izmantota kvadrātsaknes rakstīšanas jaudas forma: √y=y 1/2. Šī opcija ir ērta, piemēram, paaugstinot funkciju līdz pakāpei: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Šī metode ir arī labs attēlojums diferencēšanai ar integrāciju, jo, pateicoties tai, kvadrātsakne tiek attēlota ar parastu jaudas funkciju.

Un programmēšanā simbola √ aizstāšana ir burtu kombinācija sqrt.

Ir vērts atzīmēt, ka šajā jomā kvadrātsakne ir ļoti pieprasīta, jo tā ir daļa no vairuma aprēķiniem nepieciešamo ģeometrisko formulu. Pats skaitīšanas algoritms ir diezgan sarežģīts un ir balstīts uz rekursiju (funkciju, kas izsauc sevi).

Kvadrātsakne kompleksajā laukā C

Kopumā šī raksta tēma stimulēja komplekso skaitļu lauka C atklāšanu, jo matemātiķus vajāja jautājums par pāra pakāpes saknes iegūšanu no negatīva skaitļa. Tā radās iedomātā vienība i, kurai raksturīga ļoti interesanta īpašība: tās kvadrāts ir -1. Pateicoties tam, kvadrātvienādojumi un ar negatīvu diskriminantu ieguva risinājumu. C valodā kvadrātsaknei ir svarīgas tās pašas īpašības kā R, vienīgais ir tas, ka saknes izteiksmes ierobežojumi tiek noņemti.

Kvadrātveida zemes gabala platība ir 81 dm². Atrodi viņa pusi. Pieņemsim, ka kvadrāta malas garums ir X decimetri. Tad zemes gabala platība ir X² kvadrātdecimetri. Tā kā pēc stāvokļa šī platība ir 81 dm², tad X² = 81. Kvadrāta malas garums ir pozitīvs skaitlis. Pozitīvs skaitlis, kura kvadrāts ir 81, ir skaitlis 9. Atrisinot uzdevumu, bija jāatrod skaitlis x, kura kvadrāts ir 81, t.i., jāatrisina vienādojums X² = 81. Šim vienādojumam ir divas saknes: x 1 = 9 un x 2 \u003d - 9, jo 9² \u003d 81 un (- 9)² \u003d 81. Gan skaitļus 9, gan - 9 sauc par skaitļa 81 kvadrātsaknēm.

Ņemiet vērā, ka viena no kvadrātsaknēm X= 9 ir pozitīvs skaitlis. To sauc par 81 aritmētisko kvadrātsakni un apzīmē ar √81, tātad √81 = 9.

Skaitļa aritmētiskā kvadrātsakne bet ir nenegatīvs skaitlis, kura kvadrāts ir vienāds ar bet.

Piemēram, skaitļi 6 un - 6 ir kvadrātsaknes no 36. Šajā gadījumā skaitlis 6 ir aritmētiskā kvadrātsakne no 36, jo 6 ir nenegatīvs skaitlis un 6² \u003d 36. Skaitlis - 6 nav aritmētiskā sakne.

Skaitļa aritmētiskā kvadrātsakne bet apzīmē šādi: √ bet.

Zīmi sauc par aritmētisko kvadrātsaknes zīmi; bet sauc par saknes izteiksmi. Izteiksme √ bet lasīt kā šis: skaitļa aritmētiskā kvadrātsakne bet. Piemēram, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Gadījumos, kad ir skaidrs, ka mēs runājam par aritmētisko sakni, viņi īsi saka: "kvadrātsakne no bet«.

Skaitļa kvadrātsaknes atrašanu sauc par kvadrātsaknes ņemšanu. Šī darbība ir pretēja kvadrāta noteikšanai.

Jebkurš skaitlis var būt kvadrātā, bet ne katrs skaitlis var būt kvadrātsaknes. Piemēram, nav iespējams izvilkt kvadrātsakni no skaitļa - 4. Ja tāda pastāvēja, tad, apzīmējot to ar burtu X, mēs iegūtu nepareizu vienādību x² \u003d - 4, jo kreisajā pusē ir nenegatīvs skaitlis, bet labajā pusē - negatīvs skaitlis.

Izteiksme √ bet jēga ir tikai tad, kad a ≥ 0. Kvadrātsaknes definīciju var īsi uzrakstīt šādi: √ a ≥ 0, (√bet)² = bet. Vienlīdzība (√ bet)² = bet derīgs a ≥ 0. Tādējādi, lai pārliecinātos, ka kvadrātsakne no nenegatīva skaitļa bet vienāds b, t.i., ka √ bet =b, jums jāpārbauda, ​​vai ir izpildīti šādi divi nosacījumi: b ≥ 0, b² = bet.

Daļas kvadrātsakne

Aprēķināsim. Ņemiet vērā, ka √25 = 5, √36 = 6, un pārbaudiet, vai vienādība ir spēkā.

Jo un , tad vienlīdzība ir patiesa. Tātad, .

Teorēma: Ja bet≥ 0 un b> 0, tas ir, daļskaitļa sakne vienāds ar sakni no skaitītāja, kas dalīts ar saucēja sakni. Ir jāpierāda, ka: un .

Kopš √ bet≥0 un √ b> 0, tad .

Ar īpašību palielināt daļu līdz pakāpei un noteikt kvadrātsakni teorēma ir pierādīta. Apskatīsim dažus piemērus.

Aprēķiniet , saskaņā ar pārbaudīto teorēmu .

Otrais piemērs: pierādiet to , ja bet ≤ 0, b < 0. .

Vēl viens piemērs: Aprēķināt .

.

Kvadrātsaknes transformācija

Izņemot reizinātāju no zem saknes zīmes. Lai tiek dota izteiksme. Ja bet≥ 0 un b≥ 0, tad, izmantojot teorēmu par produkta sakni, mēs varam rakstīt:

Šāda transformācija tiek saukta par saknes zīmes faktorēšanu. Apsveriet piemēru;

Aprēķināt plkst X= 2. Tiešā aizstāšana X= 2 radikālajā izteiksmē noved pie sarežģītiem aprēķiniem. Šos aprēķinus var vienkāršot, ja vispirms noņemam faktorus zem saknes zīmes: . Tagad aizstājot x = 2, mēs iegūstam:.

Tātad, izņemot faktoru no saknes zīmes, radikāļu izteiksme tiek attēlota kā reizinājums, kurā viens vai vairāki faktori ir nenegatīvu skaitļu kvadrāti. Pēc tam tiek piemērota saknes produkta teorēma un tiek ņemta katra faktora sakne. Apsveriet piemēru: Vienkāršojiet izteiksmi A = √8 + √18 - 4√2, izņemot faktorus no zem saknes zīmes pirmajos divos terminos, mēs iegūstam:. Mēs uzsveram, ka vienlīdzība spēkā tikai tad, kad bet≥ 0 un b≥ 0. ja bet < 0, то .

Paaugstināšana nozīmē, ka dots skaitlis ir jāreizina ar sevi noteiktu skaitu reižu. Piemēram, skaitļa 2 palielināšana līdz piektajai pakāpei izskatītos šādi:

Skaitli, kas jāreizina ar sevi, sauc par pakāpes bāzi, un reizinājumu skaits ir tā eksponents. Paaugstināšana līdz jaudai atbilst divām pretējām darbībām: eksponenta atrašana un bāzes atrašana.

sakņu ekstrakcija

Eksponenta bāzes atrašanu sauc par saknes ekstrakciju. Tas nozīmē, ka jums ir jāatrod skaitlis, kas jāpalielina līdz pakāpei n, lai iegūtu doto.

Piemēram, no skaitļa 16 nepieciešams izvilkt 4. sakni, t.i. lai noteiktu, jums jāreizina ar sevi 4 reizes, lai beigās iegūtu 16. Šis skaitlis ir 2.

Tādas aritmētiskā darbība tiek rakstīts, izmantojot īpašu zīmi - radikāli: √, virs kura kreisajā pusē norādīts eksponents.

aritmētiskā sakne

Ja eksponents ir pāra skaitlis, tad sakne var būt divi skaitļi ar vienādu moduli, bet ar - pozitīvs un negatīvs. Tātad dotajā piemērā tas var būt skaitļi 2 un -2.

Izteiksmei jābūt nepārprotamai, t.i. ir viens rezultāts. Šim nolūkam tika ieviests aritmētiskās saknes jēdziens, kas var būt tikai pozitīvs skaitlis. Aritmētiskā sakne nevar būt mazāka par nulli.

Tādējādi iepriekš aplūkotajā piemērā tikai skaitlis 2 būs aritmētiskā sakne, un otrā atbilde - -2 - pēc definīcijas ir izslēgta.

Kvadrātsakne

Dažiem grādiem, kas tiek izmantoti biežāk nekā citiem, ir īpaši nosaukumi, kas sākotnēji ir saistīti ar ģeometriju. Tas ir par par paaugstināšanu uz otro un trešo spēku.

Otrajā pakāpē kvadrāta malas garums, kad jāaprēķina tā laukums. Ja nepieciešams atrast kuba tilpumu, tā malas garums tiek palielināts līdz trešajai pakāpei. Tāpēc to sauc par skaitļa kvadrātu, bet trešo sauc par kubu.

Attiecīgi otrās pakāpes sakni sauc par kvadrātu, bet trešās pakāpes sakni sauc par kubisko. Kvadrātsakne ir vienīgā no saknēm, kurai nav eksponenta virs radikāļa, kad tiek rakstīts:

Tātad dotā skaitļa aritmētiskā kvadrātsakne ir pozitīvs skaitlis, kas jāpalielina līdz otrajai pakāpei, lai iegūtu doto skaitli.

Ir pienācis laiks izjaukt sakņu ekstrakcijas metodes. Tie ir balstīti uz sakņu īpašībām, jo ​​īpaši uz vienādību, kas attiecas uz jebkuru nenegatīvu skaitli b.

Tālāk mēs savukārt apsvērsim galvenās sakņu ieguves metodes.

Sāksim ar vienkāršāko gadījumu – sakņu izvilkšanu no naturāliem skaitļiem, izmantojot kvadrātu tabulu, kubu tabulu utt.

Ja kvadrātu, kubu u.c. nav pie rokas, ir loģiski izmantot saknes iegūšanas metodi, kas ietver saknes skaitļa sadalīšanu vienkāršos faktoros.

Atsevišķi ir vērts pakavēties pie tā, kas ir iespējams saknēm ar nepāra eksponentiem.

Visbeidzot, apsveriet metodi, kas ļauj secīgi atrast saknes vērtības ciparus.

Sāksim.

Izmantojot kvadrātu tabulu, kubu tabulu utt.

Visvairāk vienkārši gadījumi kvadrātu, kubu uc tabulas ļauj iegūt saknes. Kas ir šīs tabulas?

Veselu skaitļu kvadrātu tabula no 0 līdz 99 (ieskaitot) sastāv no divām zonām. Tabulas pirmā zona atrodas uz pelēka fona, tā izmanto atlasi noteikta virkne un konkrēta kolonna ļauj izveidot skaitli no 0 līdz 99 . Piemēram, atlasīsim rindu ar 8 desmitiem un kolonnu ar 3 vienībām, ar to mēs nofiksējām skaitli 83. Otrā zona aizņem pārējo tabulu. Katra tā šūna atrodas noteiktas rindas un noteiktas kolonnas krustpunktā un satur atbilstošā skaitļa kvadrātu no 0 līdz 99. Mūsu izvēlētās 8 desmitnieku rindas un viena 3. kolonnas krustpunktā atrodas šūna ar skaitli 6889, kas ir skaitļa 83 kvadrāts.

Kubu tabulas, skaitļu ceturto pakāpju tabulas no 0 līdz 99 un tā tālāk ir līdzīgas kvadrātu tabulai, tikai tās otrajā zonā satur kubus, ceturtās pakāpes utt. atbilstošos skaitļus.

Kvadrātu, kubu, ceturtās pakāpes tabulas utt. ļauj iegūt kvadrātsaknes, kubu saknes, ceturtās saknes utt. attiecīgi no skaitļiem šajās tabulās. Izskaidrosim to pielietošanas principu sakņu ieguvē.

Pieņemsim, ka no skaitļa a ir jāizvelk n-tās pakāpes sakne, savukārt skaitlis a ir ietverts n-to pakāpju tabulā. Saskaņā ar šo tabulu mēs atrodam skaitli b tādu, ka a=b n . Tad , tāpēc skaitlis b būs vēlamā n-tās pakāpes sakne.

Kā piemēru parādīsim, kā 19683. gada kuba sakne tiek iegūta, izmantojot kuba tabulu. Kubu tabulā atrodam skaitli 19 683, no tā secinām, ka šis skaitlis ir skaitļa 27 kubs, tāpēc .

Skaidrs, ka n-to grādu tabulas ir ļoti ērtas, iegūstot saknes. Taču tās bieži vien nav pa rokai, un to sastādīšana prasa noteiktu laiku. Turklāt bieži vien ir nepieciešams iegūt saknes no skaitļiem, kas nav ietverti attiecīgajās tabulās. Šādos gadījumos ir jāizmanto citas sakņu iegūšanas metodes.

Saknes skaitļa sadalīšana pirmfaktoros

Pietiekami ērts veids, kas ļauj iegūt sakni no naturāla skaitļa (ja, protams, sakne tiek izdalīta), ir saknes skaitļa sadalīšana pirmfaktoros. Viņa būtība ir šāda: pēc tam ir diezgan viegli attēlot to kā grādu ar vēlamo indikatoru, kas ļauj iegūt saknes vērtību. Paskaidrosim šo punktu.

No naturāla skaitļa a izņem n-tās pakāpes sakni, un tā vērtība ir vienāda ar b. Šajā gadījumā vienādība a=b n ir patiesa. Skaitlis b kā jebkurš dabiskais skaitlis var tikt attēlots kā visu tā pirmkoeficientu p 1 , p 2 , …, pm reizinājums formā p 1 p 2 pm , un radikālais skaitlis a šajā gadījumā tiek attēlots kā (p 1 p 2 pm) n. Tā kā skaitļa sadalīšana pirmfaktoros ir unikāla, tad saknes skaitļa a sadalīšana pirmfaktoros izskatīsies šādi (p 1 ·p 2 ·…·pm) n , kas ļauj aprēķināt saknes vērtību kā .

Ņemiet vērā, ka, ja saknes skaitļa a faktorizāciju nevar attēlot formā (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , tad n-tās pakāpes sakne no šāda skaitļa a netiek pilnībā izvilkta.

Ar to nodarbosimies, risinot piemērus.

Piemērs.

Paņemiet kvadrātsakni no 144 .

Risinājums.

Ja pievēršamies iepriekšējā rindkopā dotajai kvadrātu tabulai, skaidri redzams, ka 144=12 2 , no kuras ir skaidrs, ka 144 kvadrātsakne ir 12 .

Bet, ņemot vērā šo punktu, mēs esam ieinteresēti, kā sakne tiek iegūta, sadalot saknes numuru 144 primārajos faktoros. Apskatīsim šo risinājumu.

Sadalīsimies 144 uz galvenajiem faktoriem:

Tas ir, 144=2 2 2 2 3 3 . Pamatojoties uz iegūto sadalīšanos, var veikt šādas pārvērtības: 144 = 2 2 2 2 3 3 = (2 2) 2 3 2 = (2 2 3) 2 = 12 2. Sekojoši, .

Izmantojot sakņu pakāpes un īpašību īpašības, risinājumu varētu formulēt nedaudz savādāk: .

Atbilde:

Lai konsolidētu materiālu, apsveriet vēl divu piemēru risinājumus.

Piemērs.

Aprēķiniet saknes vērtību.

Risinājums.

Saknes skaitļa 243 pirmfaktorizācija ir 243=3 5 . Pa šo ceļu, .

Atbilde:

Piemērs.

Vai saknes vērtība ir vesels skaitlis?

Risinājums.

Lai atbildētu uz šo jautājumu, sadalīsim saknes skaitli galvenajos faktoros un pārbaudīsim, vai to var attēlot kā vesela skaitļa kubu.

Mums ir 285 768=2 3 3 6 7 2 . Iegūtais sadalījums netiek attēlots kā vesela skaitļa kubs, jo galvenā faktora 7 pakāpe nav trīskārša. Tāpēc kuba sakne 285 768 netiek ņemta pilnībā.

Atbilde:

Nē.

Sakņu iegūšana no daļskaitļiem

Ir pienācis laiks izdomāt, no kā tiek iegūta sakne daļskaitlis. Daļējās saknes skaitli rakstīsim kā p/q . Saskaņā ar koeficienta saknes īpašību šāda vienādība ir patiesa. No šīs vienlīdzības izriet frakcijas saknes noteikums: Daļas sakne ir vienāda ar skaitītāja saknes dalījuma ar saucēja sakni.

Apskatīsim piemēru saknes iegūšanai no frakcijas.

Piemērs.

Kas ir kvadrātsakne no kopējā frakcija 25/169 .

Risinājums.

Saskaņā ar kvadrātu tabulu mēs atklājam, ka sākotnējās daļas skaitītāja kvadrātsakne ir 5, bet saucēja kvadrātsakne ir 13. Tad . Tas pabeidz saknes ekstrakciju no parastās frakcijas 25/169.

Atbilde:

Decimāldaļas vai jaukta skaitļa sakne tiek iegūta pēc saknes skaitļu aizstāšanas ar parastajām daļām.

Piemērs.

Ņemiet decimāldaļas 474.552 kubsakni.

Risinājums.

Sākotnējo decimāldaļu attēlosim kā parasto datni: 474.552=474552/1000 . Tad . Atliek izvilkt kuba saknes, kas atrodas iegūtās frakcijas skaitītājā un saucējā. Jo 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 = 78 3 un 1 000 = 10 3 , tad Un . Atliek tikai pabeigt aprēķinus .

Atbilde:

.

Negatīvā skaitļa saknes izvilkšana

Atsevišķi ir vērts pakavēties pie sakņu iegūšanas no negatīviem skaitļiem. Pētot saknes, mēs teicām, ka, ja saknes eksponents ir nepāra skaitlis, tad zem saknes zīmes var atrasties negatīvs skaitlis. Mēs piešķīrām šādiem apzīmējumiem šādu nozīmi: negatīvam skaitlim −a un nepāra eksponentam saknes 2 n−1, mums ir . Šī vienlīdzība dod noteikums nepāra sakņu iegūšanai no negatīviem skaitļiem: lai izvilktu negatīva skaitļa sakni, jāizvelk pretējā pozitīvā skaitļa sakne un rezultāta priekšā jāievieto mīnusa zīme.

Apskatīsim risinājuma piemēru.

Piemērs.

Atrodiet saknes vērtību.

Risinājums.

Pārveidosim sākotnējo izteiksmi tā, lai zem saknes zīmes parādītos pozitīvs skaitlis: . Tagad jaukto skaitli aizstājam ar parastu daļskaitli: . Mēs piemērojam noteikumu par saknes izņemšanu no parastās frakcijas: . Atliek aprēķināt saknes iegūtās frakcijas skaitītājā un saucējā: .

Šeit ir risinājuma kopsavilkums: .

Atbilde:

.

Bitu pagrieziena saknes vērtības atrašana

Vispārīgā gadījumā zem saknes ir skaitlis, kuru, izmantojot iepriekš aprakstītos paņēmienus, nevar attēlot kā jebkura skaitļa n-to pakāpi. Bet tajā pašā laikā ir jāzina dotās saknes vērtība vismaz līdz noteiktai zīmei. Šajā gadījumā, lai iegūtu sakni, varat izmantot algoritmu, kas ļauj konsekventi iegūt pietiekamu skaitu vajadzīgā skaitļa ciparu vērtību.

Uz pirmā soļa šis algoritms jums ir jānoskaidro, kas ir vissvarīgākais saknes vērtības bits. Lai to izdarītu, skaitļus 0, 10, 100, ... secīgi paaugstina līdz pakāpei n, līdz tiek iegūts skaitlis, kas pārsniedz saknes skaitli. Tad skaitlis, ko iepriekšējā solī paaugstinājām līdz pakāpei n, norādīs atbilstošo augstāko secību.

Piemēram, apsveriet šo algoritma darbību, iegūstot kvadrātsakni no pieci. Mēs ņemam skaitļus 0, 10, 100, ... un saliekam tos kvadrātā, līdz iegūstam skaitli, kas ir lielāks par 5. Mums ir 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 , kas nozīmē, ka nozīmīgākais cipars būs vienību cipars. Šī bita, kā arī zemāko bitu vērtība tiks atrasta nākamajās sakņu ekstrakcijas algoritma darbībās.

Visas sekojošās algoritma darbības ir vērstas uz saknes vērtības secīgu precizēšanu, jo tiek atrastas vēlamās saknes vērtības nākamo ciparu vērtības, sākot no augstākās un pārejot uz zemāko. . Piemēram, saknes vērtība pirmajā solī ir 2 , otrajā - 2,2 , trešajā - 2,23 un tā tālāk 2,236067977 ... . Aprakstīsim, kā tiek atrastas bitu vērtības.

Ciparu atrašana tiek veikta, tos uzskaitot iespējamās vērtības 0, 1, 2, ..., 9. Šajā gadījumā paralēli tiek aprēķinātas atbilstošo skaitļu n-tās pakāpes, un tās tiek salīdzinātas ar saknes skaitli. Ja kādā posmā pakāpes vērtība pārsniedz radikālo skaitli, tad tiek uzskatīts, ka ir atrasta iepriekšējai vērtībai atbilstošā cipara vērtība, un tiek veikta pāreja uz nākamo saknes ekstrakcijas algoritma soli, ja tas nenotiek, tad šī cipara vērtība ir 9 .

Izskaidrosim visus šos punktus, izmantojot to pašu piemēru, kā iegūt kvadrātsakni no pieci.

Vispirms atrodiet vienību cipara vērtību. Mēs atkārtosim vērtības 0, 1, 2, …, 9, attiecīgi aprēķinot 0 2 , 1 2 , …, 9 2, līdz iegūsim vērtību, kas lielāka par radikālo skaitli 5. Visi šie aprēķini ir ērti parādīti tabulas veidā:

Tātad vienību cipara vērtība ir 2 (jo 2 2<5 , а 2 3 >pieci). Pāriesim pie desmitās vietas vērtības atrašanas. Šajā gadījumā skaitļus 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 salīdzināsim kvadrātā, salīdzinot iegūtās vērtības ar saknes skaitli 5:

Kopš 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , tad desmitās vietas vērtība ir 2 . Varat turpināt simtdaļas vērtības atrašanu:

Tātad atrasts nākamā vērtība sakne no pieci, tas ir vienāds ar 2,23. Un tāpēc jūs varat turpināt atrast vērtības tālāk: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Lai konsolidētu materiālu, mēs analizēsim saknes ekstrakciju ar simtdaļu precizitāti, izmantojot aplūkoto algoritmu.

Pirmkārt, mēs definējam vecāko ciparu. Lai to izdarītu, skaitļus 0, 10, 100 utt. līdz iegūstam skaitli, kas ir lielāks par 2151.186 . Mums ir 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , tātad nozīmīgākais cipars ir desmiti cipars.

Definēsim tā vērtību.

Kopš 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186 , tad desmitcipara vērtība ir 1 . Pāriesim pie vienībām.

Tādējādi vienas vietas vērtība ir 2 . Pāriesim pie desmit.

Tā kā pat 12.9 3 ir mazāks par radikālo skaitli 2 151.186 , tad desmitās vietas vērtība ir 9 . Atliek veikt pēdējo algoritma soli, tas mums dos saknes vērtību ar nepieciešamo precizitāti.

Šajā posmā saknes vērtība tiek atrasta līdz simtdaļām: .

Noslēdzot šo rakstu, es vēlos teikt, ka ir daudz citu veidu, kā iegūt saknes. Bet lielākajai daļai uzdevumu pietiek ar tiem, kurus mēs pētījām iepriekš.

Bibliogrāfija.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. izglītības iestādēm.
• Kolmogorovs A.N., Abramovs A.M., Dudņicins Ju.P. uc Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu 10.-11.klasei.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem).