Ko sauc par daļu. Kopējās frakcijas

Daļas skaitītājs un saucējs. Frakciju veidi. Turpināsim ar daļskaitļiem. Pirmkārt, neliels brīdinājums - mēs, ņemot vērā daļskaitļus un ar tiem atbilstošos piemērus, pagaidām strādāsim tikai ar tā skaitlisko attēlojumu. Ir arī frakcionēti burtiski izteicieni(ar un bez cipariem).Taču arī uz tiem attiecas visi "principi" un noteikumi, bet par šādiem izteicieniem turpmāk runāsim atsevišķi. Iesaku apmeklēt un soli pa solim izpētīt (atcerēties) daļskaitļu tēmu.

Pats svarīgākais ir saprast, atcerēties un apzināties, ka DAĻA ir SKAITS!!!

Kopējā frakcija ir formas skaitlis:

Skaitli, kas atrodas "augšā" (šajā gadījumā m), sauc par skaitītāju, zemāk esošo skaitli (skaitlis n) sauc par saucēju. Tie, kas tikko pieskārušies tēmai, bieži vien apjūk - kā sauc.

Šeit ir triks, kā atcerēties mūžīgi – kur ir skaitītājs, kur saucējs. Šis paņēmiens ir saistīts ar verbāli-figurālu asociāciju. Iedomājieties burku ar duļķainu ūdeni. Ir zināms, ka, ūdenim nostājoties, virsū paliek tīrs ūdens un nosēžas duļķainība (netīrumi), atcerieties:

CHISSS kausētais ūdens AUGŠĀ (CHISSS lejējs augšpusē)

dubļi ZZZNNN th water BOTTOM (ZZZNN Amenators zemāk)

Tātad, tiklīdz ir jāatceras, kur ir skaitītājs un kur ir saucējs, viņi nekavējoties vizuāli prezentēja nostādināta ūdens burku, kurā Tīrs ūdens, un zemāk netīrs ūdens. Ir arī citi triki, kas jāatceras, ja tie jums palīdz, tad labi.

Parasto daļskaitļu piemēri:

Ko nozīmē horizontālā līnija starp cipariem? Tas nav nekas vairāk kā dalījuma zīme. Izrādās, ka daļu var uzskatīt par piemēru ar dalīšanas darbību. Šī darbība ir vienkārši ierakstīta šajā formā. Tas ir, augšējais skaitlis (skaitītājs) tiek dalīts ar apakšējo skaitli (saucējs):

Turklāt ir vēl viens ierakstīšanas veids - daļu var uzrakstīt šādi (izmantojot slīpsvītru):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 un tā tālāk...

Iepriekš minētās daļskaitļus varam uzrakstīt šādi:

Sadalīšanas rezultāts, kā jūs zināt, ir skaitlis.

Precizēts - ŠO SKAITĻA DAĻA !!!

Kā jau esat pamanījis, parastajā daļskaitlī skaitītājs var būt mazāks par saucēju, var būt lielāks par saucēju un var būt vienāds ar to. Šeit ir daudz svarīgi punkti, kas ir saprotami intuitīvi, bez teorētiskām rībām. Piemēram:

1. 1. un 3. daļu var uzrakstīt kā 0,5 un 0,01. Skriesim nedaudz uz priekšu – tās ir decimāldaļas, par tām runāsim nedaudz zemāk.

2. 4. un 6. daļdaļa rezultāts ir vesels skaitlis 45:9=5, 11:1 = 11.

3. 5. frakcija rezultātā iegūst vienību 155:155 = 1.

Kādi secinājumi liecina par sevi? Sekojošais:

1. Skaitītājs, dalīts ar saucēju, var dot galīgu skaitli. Tas var nedarboties, daliet ar kolonnu 7 ar 13 vai 17 ar 11 — nekādā gadījumā! Jūs varat dalīt bezgalīgi, bet mēs arī par to runāsim nedaudz zemāk.

2. Daļa var iegūt veselu skaitli. Tāpēc mēs varam attēlot jebkuru veselu skaitli kā daļu vai drīzāk bezgalīgu daļskaitļu sēriju, paskatieties, visas šīs daļas ir vienādas ar 2:

Vairāk! Jebkuru veselu skaitli mēs vienmēr varam uzrakstīt kā daļskaitli - šis skaitlis pats par sevi ir skaitītājā, viens saucējā:

3. Vienību vienmēr varam attēlot kā daļskaitli ar jebkuru saucēju:

*Norādītie punkti ir ārkārtīgi svarīgi, lai aprēķinos un pārrēķinos strādātu ar daļskaitļiem.

Frakciju veidi.

Un tagad par parasto daļskaitļu teorētisko dalījumu. Tie ir sadalīti pareizi un nepareizi.

Daļskaitli, kuras skaitītājs ir mazāks par saucēju, sauc par pareizu daļskaitli. Piemēri:

Daļskaitli, kuras skaitītājs ir lielāks vai vienāds ar saucēju, sauc par nepareizo daļskaitli. Piemēri:

jauktā frakcija(jaukts numurs).

Jaukta daļa ir daļskaitlis, kas rakstīts kā vesels skaitlis un pareiza daļdaļa, un to saprot kā šī skaitļa un tā daļskaitļa summu. Piemēri:

Jauktu daļu vienmēr var attēlot kā nepareizu daļskaitli un otrādi. Ejam tālāk!

Decimāldaļas.

Mēs tos jau esam pieskārušies iepriekš, tie ir piemēri (1) un (3), tagad sīkāk. Šeit ir decimālzīmju piemēri: 0,3 0,89 0,001 5,345.

Daļskaitli, kuras saucējs ir 10, piemēram, 10, 100, 1000 un tā tālāk, sauc par decimāldaļu. Pirmās trīs norādītās daļskaitļus nav grūti uzrakstīt kā parastās frakcijas:

Ceturtais ir jaukta daļa (jaukts skaitlis):

Decimāldaļai ir šāds apzīmējums - arsākās veselā skaitļa daļa, tad veselā skaitļa un daļdaļas atdalītājs bija punkts vai komats un tad daļēja daļa, daļdaļas ciparu skaitu stingri nosaka daļdaļas izmērs: ja tās ir desmitdaļas, daļskaitli raksta kā vienu ciparu; ja tūkstošdaļas - trīs; desmittūkstošdaļas - četras utt.

Šīs daļas ir ierobežotas un bezgalīgas.

Beigu decimālskaitļu piemēri: 0,234; 0,87; 34,00005; 5.765.

Piemēri ir bezgalīgi. Piemēram, skaitlis Pi ir bezgalīga decimāldaļdaļa, tomēr - 0,333333333333…... 0,16666666666…. un citi. Arī rezultāts, iegūstot sakni no skaitļiem 3, 5, 7 utt. būs bezgalīga daļa.

Daļējā daļa var būt cikliska (tajā ir cikls), divi iepriekš minētie piemēri ir tieši tādi paši, vairāk piemēru:

0,123123123123…. 123. cikls

0,781781781718…. cikls 781

0,0250102501… cikls 02501

Tos var uzrakstīt kā 0, (123) 0, (781) 0, (02501).

Skaitlis Pi nav cikliska daļa, kā, piemēram, trīs sakne.

Zemāk esošajos piemēros skanēs tādi vārdi kā “apgriezt” daļskaitli — tas nozīmē, ka skaitītājs un saucējs tiek apmainīti. Faktiski šādai daļai ir nosaukums - apgrieztā daļa. Apgriezto daļskaitļu piemēri:

Neliels kopsavilkums! Frakcijas ir:

Parasta (pareiza un nepareiza).

Decimāldaļas (galīgs un bezgalīgs).

Jaukts (jaukti skaitļi).

Tas ir viss!

Ar cieņu Aleksandrs.

Skaitītājs un tas, ar kuru tas tiek dalīts, ir saucējs.

Lai uzrakstītu daļskaitli, vispirms ierakstiet tās skaitītāju, pēc tam zem šī skaitļa novelciet horizontālu līniju un zem rindas ierakstiet saucēju. Horizontālo līniju, kas atdala skaitītāju un saucēju, sauc par daļskaitļu joslu. Dažreiz tas tiek attēlots kā slīps "/" vai "∕". Šajā gadījumā skaitītājs tiek rakstīts pa kreisi no rindas, bet saucējs - pa labi. Tātad, piemēram, daļa "divas trešdaļas" tiks uzrakstīta kā 2/3. Skaidrības labad skaitītājs parasti tiek rakstīts rindas augšpusē, bet saucējs - apakšā, tas ir, 2/3 vietā var atrast: ⅔.

Lai aprēķinātu daļu reizinājumu, vispirms reiziniet skaitītāju ar vienu frakcijas uz citu skaitītāju. Ierakstiet rezultātu jaunā skaitītājā frakcijas. Pēc tam reiziniet arī saucējus. Norādiet galīgo vērtību jaunajā frakcijas. Piemēram, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Lai dalītu vienu daļu ar citu, vispirms reiziniet pirmās daļas skaitītāju ar otrās saucēju. Dariet to pašu ar otro daļu (dalītāju). Vai arī pirms visu darbību veikšanas vispirms “apgrieziet” dalītāju, ja tas jums ir ērtāk: saucējam ir jābūt skaitītāja vietā. Pēc tam reiziniet dividendes saucēju ar jauno dalītāja saucēju un reiziniet skaitītājus. Piemēram, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

Avoti:

• Pamatuzdevumi frakcijām

Daļskaitļi ļauj izteikties atšķirīga forma precīza vērtība daudzumus. To pašu var izdarīt ar daļskaitļiem. matemātiskās operācijas, tāpat kā ar veseliem skaitļiem: atņemšana, saskaitīšana, reizināšana un dalīšana. Lai iemācītos pieņemt lēmumu frakcijas, ir jāatceras dažas to iezīmes. Tie ir atkarīgi no veida frakcijas, veselas skaitļa daļas klātbūtne, kopsaucējs. Dažas aritmētiskās darbības pēc izpildes tiem ir jāsamazina rezultāta daļēja daļa.

Jums būs nepieciešams

• - kalkulators

Instrukcija

Uzmanīgi apskatiet skaitļus. Ja starp daļskaitļiem ir decimālskaitļi un neregulāri, dažreiz ir ērtāk vispirms veikt darbības ar decimāldaļām un pēc tam pārvērst tās nepareizā formā. Vai vari iztulkot frakcijasšajā formā sākotnēji skaitītājā ierakstot vērtību aiz komata un saucējā ieliekot 10. Ja nepieciešams, samaziniet daļu, dalot skaitļus virs un zemāk ar vienu dalītāju. Daļskaitļi, kuros izceļas visa daļa, noved pie nepareizas formas, reizinot to ar saucēju un rezultātam pievienojot skaitītāju. Dotās vērtības kļūs par jauno skaitītāju frakcijas. Lai izvilktu visu daļu no sākotnēji nepareizās frakcijas, daliet skaitītāju ar saucēju. Uzrakstiet visu rezultātu no frakcijas. Un atlikusī dalījuma daļa kļūst par jauno skaitītāju, saucēju frakcijas kamēr nemainās. Daļdaļām ar veselu skaitļu daļu ir iespējams veikt darbības atsevišķi, vispirms ar veselo skaitli un pēc tam ar daļskaitli. Piemēram, var aprēķināt summu 1 2/3 un 2 ¾:
- Daļskaitļu pārvēršana nepareizā formā:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- terminu veselo skaitļu un daļēju daļu summēšana atsevišķi:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Par ar frakcijām. Dariet to pašu ar saucējiem. Sadalot vienu frakcijas uzrakstiet vienu daļskaitli uz otras un pēc tam reiziniet tās skaitītāju ar otrās saucēju. Tajā pašā laikā pirmā saucējs frakcijas attiecīgi reizināts ar otrās skaitītāju. Tajā pašā laikā sava veida otrā apvērsums frakcijas(dalītājs). Galīgā daļa tiks iegūta no abu daļu skaitītāju un saucēju reizināšanas rezultātiem. Viegli iemācīties frakcijas, rakstīts stāvoklī "četrstāvu" formā frakcijas. Ja tas atdala divus frakcijas, pārrakstiet tos ar atdalītāju ":" un turpiniet ar parasto dalīšanu.

Lai iegūtu gala rezultātu, samaziniet iegūto daļu, dalot skaitītāju un saucēju ar vienu veselu skaitli, kas šajā gadījumā ir lielākais iespējamais. Šajā gadījumā virs un zem līnijas ir jābūt veseliem skaitļiem.

Piezīme

Neveiciet aritmētiku ar daļskaitļiem, kuriem ir dažādi saucēji. Izvēlieties tādu skaitli, lai, reizinot ar to katras daļas skaitītāju un saucēju, abu daļu saucēji būtu vienādi.

Noderīgs padoms

Rakstot daļskaitļus, dividende tiek rakstīta virs līnijas. Šo daudzumu sauc par daļdaļas skaitītāju. Zem rindas tiek uzrakstīts daļdaļas dalītājs vai saucējs. Piemēram, pusotru kilogramu rīsu frakcijas veidā rakstīs šādi: 1,5 kg rīsu. Ja daļskaitļa saucējs ir 10, to sauc par decimālo daļu. Šajā gadījumā skaitītāju (dividende) raksta pa labi no visas daļas, atdalot to ar komatu: 1,5 kg rīsu. Aprēķinu ērtībai šādu daļu vienmēr var uzrakstīt nepareizā formā: 1 2/10 kg kartupeļu. Lai vienkāršotu, varat samazināt skaitītāja un saucēja vērtības, dalot tās ar vienu veselu skaitli. AT šis piemērs iespējams dalīt ar 2. Rezultāts būs 1 1/5 kg kartupeļu. Pārliecinieties, vai skaitļi, ar kuriem plānojat veikt aritmētiku, ir tādā pašā formā.

Vienības akcijas un tiek attēlota kā \frac(a)(b).

Daļskaitļu skaitītājs (a)- skaitlis virs daļskaitļa līnijas un parāda daļu skaitu, kurās vienība tika sadalīta.

Daļas saucējs (b)- skaitlis zem daļskaitļa rindas un parāda, cik daļās vienība tika sadalīta.

Paslēpt šovu

Daļas pamatīpašība

Ja ad=bc , tad divas daļdaļas \frac(a)(b) un \frac(c)(d) tiek uzskatīti par līdzvērtīgiem. Piemēram, daļskaitļi būs vienādi \frac35 un \frac(9)(15), jo 3 \cdot 15 = 15 \ cdot 9 , \frac(12)(7) un \frac(24)(14), jo 12 \cdot 14 = 7 \ cdot 24 .

No daļskaitļu vienādības definīcijas izriet, ka daļas būs vienādas \frac(a)(b) un \frac(am)(bm), jo a(bm)=b(am) ir spilgts piemērs reizināšanas asociatīvo un komutatīvo īpašību izmantošanai naturālie skaitļi Darbībā.

Līdzekļi \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- izskatās šādi daļskaitļa pamatīpašība.

Citiem vārdiem sakot, mēs iegūstam daļu, kas vienāda ar doto, sākotnējās daļas skaitītāju un saucēju reizinot vai dalot ar to pašu naturālo skaitli.

Frakciju samazināšana ir daļskaitļa aizstāšanas process, kurā jaunā daļa ir vienāda ar sākotnējo, bet ar mazāku skaitītāju un saucēju.

Ir ierasts samazināt daļas, pamatojoties uz frakcijas galveno īpašību.

Piemēram, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(skaitītājs un saucējs dalās ar skaitli 3); iegūto daļu atkal var samazināt, dalot ar 5, t.i. \frac(15)(20)=\frac 34.

nesamazināma daļa ir formas daļa \frac 34, kur skaitītājs un saucējs ir relatīvi pirmskaitļi. Frakciju samazināšanas galvenais mērķis ir padarīt frakciju nesamazināmu.

Daļskaitļu apvienošana kopsaucējā

Kā piemēru ņemsim divas frakcijas: \frac(2)(3) un \frac(5)(8) ar dažādiem saucējiem 3 un 8 . Lai šīs daļskaitļus apvienotu ar kopsaucēju un vispirms reizinātu daļskaitļa skaitītāju un saucēju \frac(2)(3) līdz 8. Mēs iegūstam šādu rezultātu: \frac(2 \cdot 8) (3 \cdot 8) = \frac(16) (24). Pēc tam reiziniet daļskaitļa skaitītāju un saucēju \frac(5)(8) ar 3. Rezultātā iegūstam: \frac(5 \cdot 3) (8 \cdot 3) = \frac(15) (24). Tātad sākotnējās daļas tiek samazinātas līdz kopsaucējam 24.

Aritmētiskās darbības ar parastajām daļskaitļiem

Parasto frakciju pievienošana

a) Kad tie paši saucēji Pirmās daļdaļas skaitītājs tiek pievienots otrās daļdaļas skaitītājam, saucēju atstājot to pašu. Kā redzams piemērā:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Kad dažādi saucēji daļskaitļi vispirms tiek samazināti līdz kopsaucējam, un pēc tam skaitītāji tiek pievienoti saskaņā ar noteikumu a):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Parasto daļskaitļu atņemšana

a) Ar vienādiem saucējiem atņemiet otrās daļdaļas skaitītāju no pirmās daļas skaitītāja, atstājot saucēju to pašu:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Ja daļskaitļu saucēji ir atšķirīgi, tad vispirms daļskaitļus samazina līdz kopsaucējam un pēc tam atkārto a) punktā aprakstītās darbības.

Parasto daļskaitļu reizināšana

Daļskaitļu reizināšana atbilst šādam noteikumam:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

tas ir, reiziniet skaitītājus un saucējus atsevišķi.

Piemēram:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Parasto frakciju dalījums

Frakcijas tiek sadalītas šādi:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

tā ir daļa \frac(a)(b) reizināts ar daļskaitli \frac(d)(c).

Piemērs: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Savstarpēji skaitļi

Ja ab=1 , tad skaitlis b ir apgrieztais numurs par numuru a .

Piemērs: skaitlim 9 ir otrādi \frac(1)(9), kā 9 \cdot \frac(1)(9)=1, skaitlim 5 - \frac(1)(5), kā 5 \cdot \frac(1)(5)=1.

Decimāldaļas

Decimālzīme ir pareiza daļa, kuras saucējs ir 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n .

Piemēram: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044.

Tādā pašā veidā tiek rakstīti nepareizi skaitļi ar saucēju 10 ^ n vai jaukti skaitļi.

Piemēram: 5\frac(1)(10)=5,1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7,63.

Decimāldaļskaitļa veidā tiek attēlota jebkura parasta daļa ar saucēju, kas ir skaitļa 10 noteiktas pakāpes dalītājs.

Piemērs: 5 ir 100 dalītājs, tātad daļa \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2.

Aritmētiskās darbības ar decimāldaļskaitļiem

Decimāldaļu pievienošana

Lai pievienotu divas decimāldaļas, tās ir jāsakārto tā, lai viens zem otra parādītos vieni un tie paši cipari un komats zem komata, un pēc tam pievienojiet daļskaitļus kā parastus skaitļus.

Decimāldaļu atņemšana

Tas darbojas tāpat kā pievienošana.

Decimālreizināšana

Reizinot decimālskaitļi vienkārši pavairot dotos skaitļus, nepievēršot uzmanību komatiem (kā naturāliem skaitļiem), un saņemtajā atbildē komats labajā pusē atdala tik daudz ciparu, cik abos faktoros kopā ir aiz komata.

Veicam 2,7 reizināšanu ar 1,3. Mums ir 27 \cdot 13=351 . Divus ciparus no labās puses atdalām ar komatu (pirmajam un otrajam ciparam ir viens cipars aiz komata; 1+1=2). Rezultātā mēs iegūstam 2.7 \cdot 1.3=3.51 .

Ja rezultāts ir mazāks ciparu, nekā nepieciešams, lai atdalītu ar komatu, tad priekšā raksta trūkstošās nulles, piemēram:

Lai reizinātu ar 10, 100, 1000, decimāldaļdaļā komata 1, 2, 3 cipari ir jāpārvieto pa labi (ja nepieciešams, noteiktu skaitu nulles).

Piemēram: 1,47 \cdot 10\,000 = 14 700 .

Decimāldaļa

Decimāldaļas dalīšana ar naturālu skaitli tiek veikta tāpat kā naturāla skaitļa dalīšana ar naturālu skaitli. Komats privātajā tiek likts pēc tam, kad ir pabeigta veselā skaitļa daļas dalīšana.

Ja dividendes veselā skaitļa daļa ir mazāka par dalītāju, tad atbilde ir nulle veseli skaitļi, piemēram:

Apsveriet iespēju decimāldaļu dalīt ar decimāldaļu. Pieņemsim, ka mums ir jādala 2,576 ar 1,12. Pirmkārt, mēs reizinām daļskaitļa dividendi un dalītāju ar 100, tas ir, komatu pārceļam pa labi dividendē un dalām ar tik daudz rakstzīmēm, cik ir dalītājā aiz komata (šajā piemērā , divi). Tad jums ir jāsadala daļa 257,6 ar naturālo skaitli 112, tas ir, problēma tiek samazināta līdz jau izskatītajam gadījumam:

Gadās, ka, dalot vienu skaitli ar citu, ne vienmēr tiek iegūta galīgā decimāldaļdaļa. Rezultāts ir bezgalīga decimāldaļa. Šādos gadījumos dodieties uz parastajām frakcijām.

2.8: 0.09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac( 1) (9).

Šis raksts ir par parastās frakcijas. Šeit mēs iepazīsimies ar veseluma daļas jēdzienu, kas mūs novedīs pie parastās daļas definīcijas. Tālāk mēs pakavēsimies pie pieņemtā apzīmējuma parastajām daļām un sniegsim daļskaitļu piemērus, teiksim par daļskaitļa skaitītāju un saucēju. Pēc tam mēs sniegsim pareizo un nepareizo, pozitīvo un negatīvo daļu definīcijas, kā arī ņemsim vērā daļskaitļu atrašanās vietu koordinātu starā. Noslēgumā mēs uzskaitām galvenās darbības ar daļskaitļiem.

Lapas navigācija.

Kopuma akcijas

Vispirms mēs iepazīstinām akciju koncepcija.

Pieņemsim, ka mums ir kāds objekts, kas sastāv no vairākām absolūti identiskām (tas ir, vienādām) daļām. Skaidrības labad varat iedomāties, piemēram, ābolu, kas sagriezts vairākos vienādās daļās, vai apelsīnu, kas sastāv no vairākām vienādām šķēlītēm. Katra no šīm vienādajām daļām, kas veido visu objektu, tiek saukta daļa no kopuma vai vienkārši akcijas.

Ņemiet vērā, ka akcijas ir atšķirīgas. Paskaidrosim šo. Pieņemsim, ka mums ir divi āboli. Sagriežam pirmo ābolu divās vienādās daļās, bet otro – 6 vienādās daļās. Skaidrs, ka pirmā ābola daļa atšķirsies no otrā ābola daļas.

Atkarībā no akciju skaita, kas veido visu objektu, šīm akcijām ir savi nosaukumi. Analizēsim kopīgu vārdus. Ja objekts sastāv no divām daļām, jebkuru no tām sauc par visa objekta otro daļu; ja objekts sastāv no trim daļām, tad jebkuru no tām sauc par vienu trešo daļu utt.

Vienam sekundes sitienam ir īpašs nosaukums - puse. Viena trešdaļa tiek izsaukta trešais, un viens četrkāršs - ceturksnis.

Īsuma labad tālāk akciju apzīmējumi. Viena otrā akcija ir apzīmēta kā vai 1/2, viena trešdaļa - kā vai 1/3; viena ceturtā daļa - like vai 1/4 utt. Ņemiet vērā, ka apzīmējums ar horizontālu joslu tiek izmantots biežāk. Lai konsolidētu materiālu, dosim vēl vienu piemēru: ieraksts apzīmē simt sešdesmit septīto daļu no visa.

Daļas jēdziens dabiski sniedzas no objektiem līdz lielumiem. Piemēram, viens no garuma mēriem ir metrs. Lai mērītu garumus, kas mazāki par metru, var izmantot metra daļas. Tātad jūs varat izmantot, piemēram, pusmetru vai desmito vai tūkstošdaļu no metra. Līdzīgi tiek piemērotas arī citu daudzumu daļas.

Daļskaitļi, definīcijas un daļskaitļu piemēri

Lai aprakstītu akciju skaitu, tiek izmantots parastās frakcijas. Sniegsim piemēru, kas ļaus tuvoties parasto daļskaitļu definīcijai.

Ļaujiet apelsīnam sastāvēt no 12 daļām. Katra daļa šajā gadījumā ir viena divpadsmitā daļa no vesela apelsīna, tas ir, . Apzīmēsim divus sitienus kā , trīs sitienus kā un tā tālāk, 12 sitienus kā . Katru no šiem ierakstiem sauc par parasto daļskaitli.

Tagad dosim ģenerāli parasto daļskaitļu definīcija.

Parasto daļskaitļu izteiktā definīcija ļauj mums ienest parasto daļskaitļu piemēri: 5/10 , , 21/1 , 9/4 , . Un šeit ir ieraksti neatbilst parasto daļskaitļu izteiktajai definīcijai, tas ir, tās nav parastās frakcijas.

Skaitītājs un saucējs

Ērtības labad mēs izšķiram parastās frakcijas skaitītājs un saucējs.

Definīcija.

Skaitītājs parastā daļa (m / n) ir naturāls skaitlis m.

Definīcija.

Saucējs parastā daļa (m / n) ir naturāls skaitlis n.

Tātad skaitītājs atrodas virs daļskaitļu joslas (pa kreisi no slīpsvītras), un saucējs atrodas zem daļskaitļu joslas (pa labi no slīpsvītras). Piemēram, ņemsim parasto daļskaitli 17/29, šīs daļdaļas skaitītājs ir skaitlis 17, bet saucējs ir skaitlis 29.

Atliek apspriest parastās daļskaitļa skaitītājā un saucējā ietverto nozīmi. Daļas saucējs parāda, no cik daļām sastāv viena vienība, skaitītājs savukārt norāda šādu daļu skaitu. Piemēram, daļskaitļa 12/5 saucējs 5 nozīmē, ka viens vienums sastāv no piecām daļām, bet skaitītājs 12 nozīmē, ka tiek ņemtas 12 šādas daļas.

Dabiskais skaitlis kā daļskaitlis ar saucēju 1

Kopējās daļskaitļa saucējs var būt vienāds ar vienu. Šajā gadījumā mēs varam pieņemt, ka objekts ir nedalāms, citiem vārdiem sakot, tas ir kaut kas vesels. Šādas daļskaitļa skaitītājs norāda, cik veselu priekšmetu ir paņemts. Tādējādi formas m/1 parastajai daļai ir naturāla skaitļa m nozīme. Šādi mēs pamatojām vienādību m/1=m .

Pārrakstīsim pēdējo vienādību šādi: m=m/1 . Šī vienādība ļauj mums attēlot jebkuru naturālu skaitli m kā parastu daļskaitli. Piemēram, skaitlis 4 ir daļskaitlis 4/1, bet skaitlis 103498 ir daļa 103498/1.

Tātad, jebkuru naturālu skaitli m var attēlot kā parastu daļskaitli ar saucēju 1 kā m/1, un jebkuru parasto daļskaitli no formas m/1 var aizstāt ar naturālu skaitli m.

Daļu josla kā dalījuma zīme

Sākotnējā objekta attēlojums n daļu formā nav nekas vairāk kā sadalīšana n vienādās daļās. Pēc tam, kad prece ir sadalīta n daļās, mēs to varam sadalīt vienādi starp n cilvēkiem - katrs saņems vienu daļu.

Ja mums sākotnēji ir m identiski objekti, no kuriem katrs ir sadalīts n daļās, tad mēs varam vienādi sadalīt šos m objektus starp n cilvēkiem, piešķirot katrai personai vienu daļu no katra no m objektiem. Šajā gadījumā katrai personai būs m daļas 1/n, un m daļas 1/n dod parasto daļu m/n. Tādējādi parasto daļskaitli m/n var izmantot, lai attēlotu m vienību sadalījumu starp n cilvēkiem.

Tātad mēs ieguvām skaidru saikni starp parastajām daļām un dalīšanu (skatiet vispārējo ideju par naturālo skaitļu dalīšanu). Šīs attiecības tiek izteiktas šādi: Daļas joslu var saprast kā dalījuma zīmi, tas ir, m/n=m:n.

Ar parastās daļskaitļa palīdzību var uzrakstīt rezultātu, dalot divus naturālus skaitļus, kuriem dalīšana netiek veikta ar veselu skaitli. Piemēram, 5 ābolu dalīšanas ar 8 cilvēkiem rezultātu var uzrakstīt kā 5/8, tas ir, katrs iegūs piecas astotdaļas no ābola: 5:8=5/8.

Vienādas un nevienādas parastās daļas, daļskaitļu salīdzināšana

Diezgan dabiska darbība ir parasto daļskaitļu salīdzināšana, jo skaidrs, ka 1/12 no apelsīna atšķiras no 5/12, un 1/6 no ābola ir tāda pati kā otra 1/6 no šī ābola.

Divu parasto daļskaitļu salīdzināšanas rezultātā iegūst vienu no rezultātiem: daļas ir vai nu vienādas, vai nav vienādas. Pirmajā gadījumā mums ir vienādas kopīgās daļas, un otrajā nevienādas kopīgās daļas. Sniegsim vienādu un nevienādu parasto daļskaitļu definīciju.

Definīcija.

vienāds, ja vienādība a d=b c ir patiesa.

Definīcija.

Divas parastās frakcijas a/b un c/d nav vienāds, ja vienādība a d=b c nav izpildīta.

Šeit ir daži vienādu daļskaitļu piemēri. Piemēram, parastā daļdaļa 1/2 ir vienāda ar daļskaitli 2/4, jo 1 4=2 2 (ja nepieciešams, skatiet naturālo skaitļu reizināšanas noteikumus un piemērus). Skaidrības labad varat iedomāties divus identiskus ābolus, pirmais tiek pārgriezts uz pusēm, bet otrais - 4 daļās. Ir skaidrs, ka divas ceturtdaļas no ābola ir 1/2 daļa. Citi vienādu parasto daļskaitļu piemēri ir daļskaitļi 4/7 un 36/63, kā arī daļskaitļu pāris 81/50 un 1620/1000.

Un parastās daļskaitļi 4/13 un 5/14 nav vienādi, jo 4 14 = 56 un 13 5 = 65, tas ir, 4 14 ≠ 13 5. Vēl viens nevienlīdzīgu kopējo daļskaitļu piemērs ir daļskaitļi 17/7 un 6/4.

Ja, salīdzinot divas parastās daļskaitļus, izrādās, ka tie nav vienādi, tad, iespējams, vajadzēs noskaidrot, kura no šīm parastajām daļskaitļiem mazāks cits, un kurš vairāk. Lai to noskaidrotu, tiek izmantots parasto daļskaitļu salīdzināšanas noteikums, kura būtība ir savest salīdzināmās daļskaitļus līdz kopsaucējam un pēc tam salīdzināt skaitītājus. Sīkāka informācija par šo tēmu ir apkopota rakstā frakciju salīdzinājums: noteikumi, piemēri, risinājumi.

Daļskaitļi

Katra daļa ir rekords daļskaitlis. Tas ir, daļdaļa ir tikai daļskaitļa “apvalks”, tā izskats, un visa semantiskā slodze ir ietverta precīzi daļskaitlī. Tomēr īsuma un ērtības labad daļskaitļa un daļskaitļa jēdziens tiek apvienots un vienkārši saukts par daļskaitli. Šeit der pārfrāzēt labi zināmo teicienu: sakām daļskaitli – domājam daļskaitlis, mēs sakām daļskaitli - mēs domājam daļskaitli.

Daļiņas uz koordinātu stara

Visiem daļskaitļiem, kas atbilst parastajām daļām, ir savs unikāla vieta uz , tas ir, pastāv viena pret vienu atbilstība starp koordinātu stara daļām un punktiem.

Lai nokļūtu punktā, kas atbilst daļai m / n koordinātu starā, ir nepieciešams atlikt m segmentus no sākuma pozitīvā virzienā, kuru garums ir 1 / n no vienības segmenta. Šādus segmentus var iegūt, sadalot vienu segmentu n vienādās daļās, ko vienmēr var izdarīt, izmantojot kompasu un lineālu.

Piemēram, uz koordinātu stara parādīsim punktu M, kas atbilst daļai 14/10. Nozares garums ar galiem punktā O un tam tuvākajā punktā, kas atzīmēts ar nelielu domuzīmi, ir 1/10 no vienības segmenta. Punkts ar koordinātu 14/10 tiek noņemts no sākuma ar 14 šādiem segmentiem.

Vienādas daļas atbilst vienam un tam pašam daļskaitlim, tas ir, vienādas daļas ir viena un tā paša punkta koordinātas uz koordinātu stara. Piemēram, viens punkts atbilst koordinātām 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 uz koordinātu stara, jo visas rakstītās daļas ir vienādas (tas atrodas attālumā no vienas vienības segmenta, kas noteikts no sākuma pozitīvā virzienā).

Horizontālā un pa labi vērstā koordinātu starā punkts, kura koordināte ir liela daļa, atrodas pa labi no punkta, kura koordināte ir mazāka daļa. Tāpat punkts ar mazāko koordinātu atrodas pa kreisi no punkta ar lielāko koordinātu.

Pareizās un nepareizās daļskaitļi, definīcijas, piemēri

Starp parastajām frakcijām ir pareizās un nepareizās frakcijas. Šajā iedalījumā pamatā ir skaitītāja un saucēja salīdzinājums.

Sniegsim pareizu un nepareizo parasto daļskaitļu definīciju.

Definīcija.

Pareiza frakcija ir parasta daļa, kuras skaitītājs ir mazāks par saucēju, tas ir, ja m

Definīcija.

Nepareiza frakcija ir parasta daļdaļa, kurā skaitītājs ir lielāks vai vienāds ar saucēju, tas ir, ja m≥n, tad parastā daļa ir nepareiza.

Šeit ir daži pareizu daļskaitļu piemēri: 1/4 , , 32 765/909 003 . Patiešām, katrā no uzrakstītajām parastajām daļām skaitītājs ir mazāks par saucēju (ja nepieciešams, skatiet rakstu naturālo skaitļu salīdzinājumu), tāpēc tie ir pareizi pēc definīcijas.

Un šeit ir nepareizo daļskaitļu piemēri: 9/9, 23/4,. Patiešām, pirmās rakstītās parastās daļas skaitītājs ir vienāds ar saucēju, un atlikušajās daļās skaitītājs ir lielāks par saucēju.

Ir arī pareizas un nepareizas daļskaitļu definīcijas, kuru pamatā ir daļskaitļu salīdzināšana ar vienu.

Definīcija.

pareizi ja tas ir mazāks par vienu.

Definīcija.

Parasto daļu sauc nepareizi, ja tas ir vienāds ar vienu vai lielāks par 1 .

Tātad parastā daļa 7/11 ir pareiza, jo 11.07<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 un 27/27 = 1 .

Padomāsim, kā parastās daļskaitļi, kuru skaitītājs ir lielāks vai vienāds ar saucēju, ir pelnījuši šādu nosaukumu - "nepareizi".

Kā piemēru ņemsim nepareizo daļskaitli 9/9. Šī daļa nozīmē, ka tiek ņemtas deviņas objekta daļas, kas sastāv no deviņām daļām. Tas ir, no pieejamajām deviņām akcijām mēs varam izveidot veselu tēmu. Tas ir, nepareizā daļa 9/9 būtībā dod veselu objektu, tas ir, 9/9 = 1. Parasti nepareizas daļskaitļi ar skaitītāju, kas vienāds ar saucēju, apzīmē vienu veselu objektu, un šādu daļu var aizstāt ar naturālu skaitli 1.

Tagad apsveriet nepareizās frakcijas 7/3 un 12/4. Ir pilnīgi skaidrs, ka no šīm septiņām trešdaļām mēs varam izveidot divus veselus objektus (viens vesels objekts ir 3 daļas, tad, lai sastādītu divus veselus objektus, mums vajag 3 + 3 = 6 daļas) un viena trešā daļa joprojām būs. Tas ir, nepareizā daļa 7/3 būtībā nozīmē 2 vienības un pat 1/3 no šādas vienības daļas. Un no divpadsmit ceturkšņiem mēs varam izgatavot trīs veselus objektus (trīs objektus ar četrām daļām katrā). Tas ir, daļa 12/4 būtībā nozīmē 3 veselus objektus.

Aplūkotie piemēri liek izdarīt šādu secinājumu: nepareizās daļskaitļus var aizstāt vai nu ar naturāliem skaitļiem, kad skaitītājs pilnībā tiek dalīts ar saucēju (piemēram, 9/9=1 un 12/4=3), vai arī naturāls skaitlis un kārtīga daļdaļa, ja skaitītājs nedalās vienmērīgi ar saucēju (piemēram, 7/3=2+1/3 ). Varbūt tieši tas ir tas, ko nepareizās frakcijas ir pelnījušas šādu nosaukumu - “nepareizi”.

Īpaši interesanti ir nepareizas daļskaitļa attēlojums kā naturāla skaitļa un pareizas daļskaitļa summa (7/3=2+1/3). Šo procesu sauc par veselas skaitļa daļas izņemšanu no nepareizas daļskaitļa, un tas ir pelnījis atsevišķu un rūpīgāku apsvērumu.

Ir arī vērts atzīmēt, ka pastāv ļoti cieša saistība starp nepareizām daļskaitļiem un jauktiem skaitļiem.

Pozitīvās un negatīvās frakcijas

Katra parasta daļa atbilst pozitīvam daļskaitlim (skat. rakstu pozitīvie un negatīvie skaitļi). Tas ir, parastās frakcijas ir pozitīvas frakcijas. Piemēram, parastās daļskaitļi 1/5, 56/18, 35/144 ir pozitīvas daļas. Kad nepieciešams uzsvērt daļskaitļa pozitivitāti, tad tai priekšā liek plusa zīmi, piemēram, +3/4, +72/34.

Ja parastas daļskaitļa priekšā ievietojat mīnusa zīmi, tad šis ieraksts atbildīs negatīvam daļskaitļam. Šajā gadījumā var runāt par negatīvās daļas. Šeit ir daži negatīvo daļskaitļu piemēri: −6/10 , −65/13 , −1/18 .

Pozitīvās un negatīvās daļas m/n un −m/n ir pretēji skaitļi. Piemēram, daļskaitļi 5/7 un -5/7 ir pretējas daļas.

Pozitīvas daļas, tāpat kā pozitīvi skaitļi kopumā, apzīmē pieaugumu, ienākumus, kādas vērtības izmaiņas uz augšu utt. Negatīvās daļas atbilst izdevumiem, parādiem, jebkuras vērtības izmaiņām samazinājuma virzienā. Piemēram, negatīvu daļu -3/4 var interpretēt kā parādu, kura vērtība ir 3/4.

Uz horizontālās un pa labi vērstās negatīvās daļas atrodas pa kreisi no atskaites punkta. Koordinātu taisnes punkti, kuru koordinātes ir pozitīvā daļa m/n un negatīvā daļa −m/n, atrodas vienādā attālumā no sākuma, bet pretējās pusēs punktam O .

Šeit ir vērts pieminēt formas 0/n daļas. Šīs daļas ir vienādas ar skaitli nulle, tas ir, 0/n=0 .

Pozitīvās daļdaļas, negatīvās daļas un 0/n daļas apvienojas, veidojot racionālus skaitļus.

Darbības ar daļskaitļiem

Vienu darbību ar parastajām daļskaitļiem - daļskaitļu salīdzināšanu - mēs jau aplūkojām iepriekš. Ir definētas vēl četras aritmētikas darbības ar daļskaitļiem- daļu saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana. Pakavēsimies pie katra no tiem.

Darbību ar daļskaitļiem vispārējā būtība ir līdzīga atbilstošo darbību ar naturāliem skaitļiem būtībai. Zīmēsim analoģiju.

Daļskaitļu reizināšana var uzskatīt par darbību, kurā no daļskaitļa tiek atrasta daļa. Lai precizētu, ņemsim piemēru. Pieņemsim, ka mums ir 1/6 no ābola, un mums ir jāņem 2/3 no tā. Mums vajadzīgā daļa ir daļskaitļu 1/6 un 2/3 reizināšanas rezultāts. Divu parasto daļskaitļu reizināšanas rezultāts ir parasta daļa (kas konkrētā gadījumā ir vienāda ar naturālu skaitli). Tālāk mēs iesakām izpētīt rakstu daļskaitļu reizināšanas informāciju - noteikumus, piemērus un risinājumus.

Bibliogrāfija.

• Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātika: mācību grāmata 5 šūnām. izglītības iestādēm.
• Viļenkins N.Ya. utt. Matemātika. 6. klase: mācību grāmata izglītības iestādēm.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem).

Vienības daļu vai vairākas tās daļas sauc par vienkāršo vai parasto daļskaitli. Vienādu daļu skaitu, kurās vienība ir sadalīta, sauc par saucēju, un ņemto daļu skaitu sauc par skaitītāju. Daļa tiek uzrakstīta šādi:

Šajā gadījumā a ir skaitītājs, b ir saucējs.

Ja skaitītājs ir mazāks par saucēju, tad daļa ir mazāka par 1 un to sauc par pareizu daļskaitli. Ja skaitītājs ir lielāks par saucēju, tad daļa ir lielāka par 1, tad daļu sauc par nepareizo daļskaitli.

Ja daļskaitļa skaitītājs un saucējs ir vienādi, tad daļa ir vienāda.

1. Ja skaitītāju var dalīt ar saucēju, tad šī daļa ir vienāda ar dalīšanas koeficientu:

Ja dalīšanu veic ar atlikumu, tad šo nepareizo daļu var attēlot ar jauktu skaitli, piemēram:

Tad 9 ir nepilnīgs koeficients (jauktā skaitļa veselā daļa),
1 - atlikums (daļdaļas skaitītājs),
5 ir saucējs.

Lai jauktu skaitli pārvērstu par daļskaitli, jauktā skaitļa veselo skaitļu daļu reiziniet ar saucēju un pievienojiet daļdaļas skaitītāju.

Iegūtais rezultāts būs parastās daļskaitļa skaitītājs, un saucējs paliks nemainīgs.

Darbības ar daļskaitļiem

Frakciju paplašināšana. Daļas vērtība nemainās, ja tās skaitītāju un saucēju reizina ar vienu un to pašu skaitli, kas nav nulle.
piemēram:

Frakciju samazināšana. Daļas vērtība nemainās, ja tās skaitītāju un saucēju dala ar vienu un to pašu skaitli, kas nav nulle.
piemēram:

Frakciju salīdzinājums. No divām daļām ar vienu un to pašu skaitītāju lielākā ir tā, kuras saucējs ir mazāks:

No divām daļām ar vienādiem saucējiem tā, kurai ir lielāks skaitītājs, ir lielāka:

Lai salīdzinātu daļskaitļus, kuriem ir dažādi skaitītāji un saucēji, tie ir jāpaplašina, tas ir, jāsavieno līdz kopsaucējam. Apsveriet, piemēram, šādas frakcijas:

Daļskaitļu saskaitīšana un atņemšana. Ja daļskaitļu saucēji ir vienādi, tad, lai saskaitītu daļskaitļus, ir jāsaskaita to skaitītāji, bet, lai atņemtu daļskaitļus, ir jāatņem to skaitītāji. Rezultātā iegūtā summa vai starpība būs rezultāta skaitītājs, bet saucējs paliks nemainīgs. Ja daļskaitļu saucēji ir atšķirīgi, vispirms jāsamazina daļas līdz kopsaucējam. Saskaitot jauktos skaitļus, to veselās un daļskaitļu daļas tiek pievienotas atsevišķi. Atņemot jauktus skaitļus, tie vispirms jāpārvērš nepareizo daļskaitļu formā, pēc tam jāatņem viens no otra un, ja nepieciešams, rezultāts atkal jāpārveido jaukta skaitļa formā.

Daļskaitļu reizināšana. Lai reizinātu daļskaitļus, to skaitītāji un saucēji jāreizina atsevišķi un pirmais reizinājums jāsadala ar otro.

Frakciju dalīšana. Lai dalītu skaitli ar daļskaitli, šis skaitlis jāreizina ar tā apgriezto skaitli.

Decimālzīme ir rezultāts, dalot vienu ar desmit, simtu, tūkstoti utt. daļas. Vispirms tiek uzrakstīta skaitļa veselā skaitļa daļa, pēc tam labajā pusē tiek likts komata. Pirmais cipars aiz komata nozīmē desmitdaļu skaitu, otrais - simtdaļu skaitu, trešais - tūkstošdaļu skaitu utt. Skaitļus aiz komata sauc par decimālzīmēm.

Piemēram:

Decimāldaļas īpašības

Īpašības:

• Decimāldaļdaļa nemainās, ja labajā pusē pievieno nulles: 4,5 = 4,5000.
• Decimāldaļdaļa nemainās, ja tiek noņemtas nulles, kas atrodas decimāldaļas beigās: 0,0560000 = 0,056.
• Decimāldaļa palielinās pie 10, 100, 1000 utt. reizes, ja pārvietojat decimālzīmi uz vienu, diviem, trīs utt. pozīcijas pa labi: 4,5 45 (daļa ir palielinājusies 10 reizes).
• Decimāldaļa tiek samazināta par 10, 100, 1000 utt. reizes, ja pārvietojat decimālzīmi uz vienu, diviem, trīs utt. pozīcijas pa kreisi: 4,5 0,45 (frakcija samazinājusies 10 reizes).

Periodiskā decimāldaļa satur bezgalīgi atkārtojošu ciparu grupu, ko sauc par punktu: 0,321321321321…=0, (321)

Darbības ar decimāldaļām

Decimālskaitļu pievienošana un atņemšana tiek veikta tāpat kā veselu skaitļu pievienošana un atņemšana, jums tikai jāraksta atbilstošās decimāldaļas viena zem otras.
Piemēram:

Decimāldaļu reizināšana tiek veikta vairākos posmos:

• Mēs reizinām decimāldaļas kā veselus skaitļus, neņemot vērā decimāldaļu.
• Ir spēkā noteikums: decimālzīmju skaits reizinājumā ir vienāds ar visu faktoru decimālzīmju summu.

piemēram:

Koeficientu decimālzīmju skaitļu summa ir: 2+1=3. Tagad jums jāskaita 3 cipari no iegūtā skaitļa beigām un jāievieto komata zīme: 0,675.

Decimāldaļu dalījums. Decimāldaļas dalīšana ar veselu skaitli: ja dividende ir mazāka par dalītāju, tad koeficienta veselā skaitļa daļā jāieraksta nulle un aiz komata jāliek komata. Pēc tam, neņemot vērā dividendes decimālzīmi, tās veselajai daļai pievieno nākamo daļdaļas ciparu un vēlreiz salīdziniet iegūto dividendes veselo daļu ar dalītāju. Ja jaunais skaitlis atkal ir mazāks par dalītāju, darbība jāatkārto. Šo procesu atkārto, līdz iegūtā dividende ir lielāka par dalītāju. Pēc tam dalīšana tiek veikta tāpat kā veseliem skaitļiem. Ja dividende ir lielāka vai vienāda ar dalītāju, vispirms sadalām tās veselo skaitļu daļu, dalīšanas rezultātu ierakstām koeficientā un ieliekam komatu. Pēc tam dalīšana turpinās, tāpat kā veselu skaitļu gadījumā.

Vienas decimāldaļdaļas sadalīšana citā: pirmkārt, decimāldaļas dividendē un dalītājā tiek pārnestas ar decimāldaļu skaitu dalītājā, tas ir, dalītāju veidojam par veselu skaitli, un tiek veiktas iepriekš aprakstītās darbības.

Lai decimāldaļdaļu pārvērstu par parastu, par skaitītāju ir jāņem skaitlis aiz komata, bet par saucēju jāņem k-tā pakāpe no desmit (k ir decimāldaļu skaits). Kopējā daļā tiek saglabāta vesela skaitļa daļa, kas nav nulle; nulles veselā skaitļa daļa ir izlaista.
Piemēram:

Lai parasto daļskaitli pārvērstu decimāldaļā, saskaņā ar dalīšanas noteikumiem skaitītājs jādala ar saucēju.

Procenti ir vienības simtdaļa, piemēram: 5% nozīmē 0,05. Attiecība ir viena skaitļa dalīšanas ar citu koeficients. Proporcija ir divu attiecību vienādība.

Piemēram:

Proporcijas galvenā īpašība: proporcijas galējo locekļu reizinājums ir vienāds ar tā vidējo locekļu reizinājumu, tas ir, 5x30 = 6x25. Divus savstarpēji atkarīgus lielumus sauc par proporcionāliem, ja to lielumu attiecība paliek nemainīga (proporcionalitātes koeficients).

Tādējādi tiek atklātas šādas aritmētiskās darbības.
Piemēram:

Racionālo skaitļu kopa ietver pozitīvus un negatīvus skaitļus (veselus un daļskaitļus) un nulli. Precīzāka racionālo skaitļu definīcija, kas pieņemta matemātikā, ir šāda: skaitli sauc par racionālu, ja to var attēlot kā parastu nereducējamu formas daļu:, kur a un b ir veseli skaitļi.

Negatīvam skaitlim absolūtā vērtība (modulis) ir pozitīvs skaitlis, kas iegūts, mainot tā zīmi no "-" uz "+"; pozitīvam skaitlim un nullei — pats skaitlis. Lai apzīmētu skaitļa moduli, tiek izmantotas divas taisnes, kurās ieraksta šo skaitli, piemēram: |–5|=5.

Absolūtās vērtības īpašības

Ir dots skaitļa modulis , kuriem ir derīgi īpašumi:

Monomāls ir divu vai vairāku faktoru reizinājums, no kuriem katrs ir vai nu cipars, vai burts, vai burta pakāpe: 3 x a x b. Koeficients visbiežāk tiek saukts tikai par skaitlisku faktoru. Monomiālus sauc par līdzīgiem, ja tie ir vienādi vai atšķiras tikai pēc koeficientiem. Monoma pakāpe ir visu tā burtu eksponentu summa. Ja starp monomu summām ir līdzīgi, tad summu var samazināt līdz vienkāršākai formai: 3 x a x b + 6 x a \u003d 3 x a x (b + 2). Šo darbību sauc par līdzīgu terminu vai iekavu piespiešanu.

Polinoms ir monomu algebriskā summa. Polinoma pakāpe ir lielākā no dotajā polinomā iekļauto monomu pakāpēm.

Ir šādas saīsinātas reizināšanas formulas:

Faktoringa metodes:

Algebriskā daļa ir formas izteiksme, kur A un B var būt skaitlis, monoms, polinoms.

Ja divas izteiksmes (ciparu un alfabēta) ir savienotas ar zīmi "=", tad tiek uzskatīts, ka tās veido vienlīdzību. Jebkuru patiesu vienlīdzību, kas attiecas uz visām tajā iekļauto burtu pieļaujamajām skaitliskajām vērtībām, sauc par identitāti.

Vienādojums ir burtisks vienādojums, kas ir spēkā noteiktām tajā iekļauto burtu vērtībām. Šos burtus sauc par nezināmajiem (mainīgajiem), un to vērtības, pie kurām dotais vienādojums kļūst par identitāti, sauc par vienādojuma saknēm.

Atrisināt vienādojumu nozīmē atrast visas tā saknes. Tiek uzskatīts, ka divi vai vairāki vienādojumi ir līdzvērtīgi, ja tiem ir vienādas saknes.

• nulle bija vienādojuma sakne;
• Vienādojumam ir tikai ierobežots sakņu skaits.

Galvenie algebrisko vienādojumu veidi:

Lineārajam vienādojumam ir ax + b = 0:

• ja a x 0, ir viena sakne x = -b/a;
• ja a = 0, b ≠ 0, nav sakņu;
• ja a = 0, b = 0, sakne ir jebkurš reāls skaitlis.

Vienādojums xn = a, n N:

• ja n ir nepāra skaitlis, reālā sakne ir vienāda ar a/n jebkuram a;
• ja n ir pāra skaitlis, tad 0, tad tam ir divas saknes.

Pamata identiskas transformācijas: vienas izteiksmes aizstāšana ar citu, identiski tai vienādu; vienādojuma nosacījumu pārnešana no vienas puses uz otru ar pretējām zīmēm; Abu vienādojuma daļu reizināšana vai dalīšana ar vienu un to pašu izteiksmi (skaitli), kas nav nulle.

Lineārs vienādojums ar vienu nezināmo ir vienādojums šādā formā: ax+b=0, kur a un b ir zināmi skaitļi, un x ir nezināma vērtība.

Divu lineāru vienādojumu sistēmām ar diviem nezināmajiem ir šāda forma:

Kur a, b, c, d, e, f ir doti skaitļi; x, y nav zināmi.

Skaitļi a, b, c, d - nezināmo koeficienti; e, f - bezmaksas dalībnieki. Šīs vienādojumu sistēmas risinājumu var atrast ar divām galvenajām metodēm: aizstāšanas metodi: no viena vienādojuma mēs izsakām vienu no nezināmajiem caur koeficientiem un otru nezināmo, un tad mēs to aizstājam ar otro vienādojumu, atrisinot pēdējo vienādojumu. , vispirms atrodam vienu nezināmo, pēc tam aizvietojam atrasto vērtību pirmajā vienādojumā un atrodam otro nezināmo; metode, kā pievienot vai atņemt vienu vienādojumu no cita.

Darbības ar saknēm:

Nenegatīva skaitļa a n-tās pakāpes aritmētiskā sakne ir nenegatīvs skaitlis, kura n-tā pakāpe ir vienāda ar a. No dotā skaitļa n-tās pakāpes algebriskā sakne ir visu šī skaitļa sakņu kopa.

Iracionālos skaitļus, atšķirībā no racionālajiem skaitļiem, nevar attēlot kā parastu nereducējamu daļu no formas m/n, kur m un n ir veseli skaitļi. Tie ir jauna tipa skaitļi, kurus var aprēķināt ar jebkādu precizitāti, bet nevar aizstāt ar racionālu skaitli. Tie var parādīties ģeometrisku mērījumu rezultātā, piemēram: kvadrāta diagonāles garuma attiecība pret tā malas garumu ir vienāda.

Kvadrātvienādojums ir otrās pakāpes algebriskais vienādojums ax2+bx+c=0, kur a, b, c ir doti skaitliski vai alfabētiski koeficienti, x ir nezināms. Ja visus šī vienādojuma nosacījumus sadalām ar a, rezultātā iegūstam x2+px+q=0 - reducēto vienādojumu p=b/a, q=c/a. Tās saknes atrodamas pēc formulas:

Ja b2-4ac>0, tad ir divas atšķirīgas saknes, b2-4ac=0, tad ir divas vienāda sakne; b2-4ac Vienādojumi, kas satur moduļus

Galvenie vienādojumu veidi, kas satur moduļus:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, kur f(x), g(x), fk(x), gk(x) ir dotas funkcijas.