Kas atrodas uz pareizās prizmas pamata. Prizma

Matemātikas nozare, kas pēta dažādu formu (punktu, līniju, leņķu, divdimensiju un trīsdimensiju objektu) īpašības, to izmērus un relatīvā pozīcija. Mācīšanas ērtībai ģeometrija tiek sadalīta planimetrijā un cietajā ģeometrijā. AT…… Collier enciklopēdija

tādu telpu ģeometrija, kuru izmēri ir lielāki par trim; termins attiecas uz tām telpām, kuru ģeometrija sākotnēji tika izstrādāta trīs dimensiju gadījumam un tikai pēc tam vispārināta līdz dimensiju skaitam n> 3, galvenokārt Eiklīda telpa, ... ... Matemātiskā enciklopēdija

N dimensiju Eiklīda ģeometrija Eiklīda ģeometrijas vispārinājums telpā vairāk mērījumi. Lai gan fiziskā telpa ir trīsdimensiju, un cilvēka maņas ir paredzētas trīs dimensiju uztveršanai, N ir dimensijas ... ... Wikipedia

Šim terminam ir citas nozīmes, skatiet Pyramidatsu (nozīmes). Šīs raksta sadaļas ticamība ir apšaubīta. Ir nepieciešams pārbaudīt šajā sadaļā minēto faktu pareizību. Sarunu lapā var būt paskaidrojumi ... Wikipedia

- Modelēšanā izmantotā (Constructive Solid Geometry, CSG) tehnoloģija cietvielas. Strukturālā bloku ģeometrija bieži, bet ne vienmēr, ir modelēšanas tehnika 3D grafikā un CAD. Tas ļauj jums izveidot sarežģītu ainu vai ... Wikipedia

Konstruktīvā cieto ģeometrija (CSG) ir cietvielu modelēšanas tehnoloģija. Strukturālā bloku ģeometrija bieži, bet ne vienmēr, ir modelēšanas tehnika 3D grafikā un CAD. Viņa ... ... Wikipedia

Šim terminam ir arī citas nozīmes, skatiet sadaļu Darbības joma (nozīmes). Tilpums ir kopas (mēra) aditīva funkcija, kas raksturo telpas apgabala kapacitāti, ko tas aizņem. Sākotnēji tas radās un tika piemērots bez stingras ... ... Wikipedia

Kuba tips Regulārs daudzskaldnis Seja kvadrāts Virsotnes Malas Faces ... Wikipedia

Tilpums ir kopas (mēra) aditīva funkcija, kas raksturo telpas apgabala kapacitāti, ko tas aizņem. Sākotnēji tas radās un tika piemērots bez stingras definīcijas attiecībā uz trīsdimensiju Eiklīda telpas trīsdimensiju ķermeņiem. ... ... Wikipedia

Telpas daļa, ko ierobežo ierobežota skaita plakanu daudzstūru kopums (sk. ĢEOMETRIJU), kas savienoti tā, ka katra daudzstūra mala ir tieši viena cita daudzstūra mala (saukta ... ... Collier enciklopēdija

Grāmatas

Galdu komplekts. Ģeometrija. 10. klase. 14 tabulas + metodika, . Tabulas ir drukātas uz bieza poligrāfiskā kartona ar izmēriem 680 x 980 mm. Brošūra ar vadlīnijas skolotājam. Mācību albums ar 14 lapām...

Lekcija: Prizma, tās pamatnes, sānu malas, augstums, sānu virsma; taisna prizma; labā prizma

Prizma

Ja pie mums esat iemācījušies plakanas figūras no iepriekšējiem jautājumiem, tad esat pilnībā gatavs pētīt trīsdimensiju figūras. Pirmā cietā daļa, ko mēs iemācīsimies, būs prizma.

Prizma ir apjomīgs ķermenis, kam ir liels skaits sejas.

Šim skaitlim ir divi daudzstūri pie pamatiem, kas atrodas paralēlās plaknēs, un visas sānu virsmas ir paralelograma formā.

1. att. 2

Tātad, izdomāsim, no kā sastāv prizma. Lai to izdarītu, pievērsiet uzmanību 1. att

Kā minēts iepriekš, prizmai ir divas pamatnes, kas ir paralēlas viena otrai - tie ir piecstūri ABCEF un GMNJK. Turklāt šie daudzstūri ir vienādi viens ar otru.

Visas pārējās prizmas skaldnes sauc par sānu skaldnēm – tās sastāv no paralelogramiem. Piemēram, BMNC, AGKF, FKJE u.c.

Tiek saukta visu sānu virsmu kopējā virsma sānu virsma.

Katram blakus esošo seju pārim ir kopīga puse. Šādu kopējo pusi sauc par malu. Piemēram, MB, CE, AB utt.

Ja prizmas augšējo un apakšējo pamatni savieno perpendikuls, tad to sauks par prizmas augstumu. Attēlā augstums ir atzīmēts kā taisna līnija OO 1.

Ir divi galvenie prizmu veidi: slīpa un taisna.

Ja prizmas sānu malas nav perpendikulāras pamatiem, tad šādu prizmu sauc slīps.

Ja visas prizmas malas ir perpendikulāras pamatiem, tad šādu prizmu sauc taisni.

Ja prizmas pamati ir regulāri daudzstūri (tie ar vienādām malām), tad šādu prizmu sauc pareizi.

Ja prizmas pamatnes nav paralēlas viena otrai, tad šādu prizmu izsauks saīsināts.

To var redzēt 2. att

Formulas tilpuma, prizmas laukuma atrašanai

Ir trīs pamata formulas apjoma noteikšanai. Tie atšķiras viens no otra savā pielietojumā:

Līdzīgas formulas prizmas virsmas laukuma noteikšanai:

Prizmas pamatnē var atrasties jebkurš daudzstūris - trīsstūris, četrstūris utt. Abas pamatnes ir tieši vienādas, un attiecīgi, ar kurām paralēlo skaldņu leņķi ir savienoti viens ar otru, tie vienmēr ir paralēli. Parastas prizmas pamatnē atrodas regulārs daudzstūris, tas ir, tāds, kura visas malas ir vienādas. Taisnā prizmā malas starp sānu virsmām ir perpendikulāras pamatnei. Šajā gadījumā taisnas prizmas pamatnē var atrasties daudzstūris ar jebkuru leņķu skaitu. Prizmu, kuras pamats ir paralelograms, sauc par paralēlskaldni. Taisnstūris - īpašs gadījums paralelograms. Ja šis skaitlis atrodas pie pamatnes un sānu virsmas atrodas taisnā leņķī pret pamatni, paralēlskaldni sauc par taisnstūrveida. Otrais šī ģeometriskā ķermeņa nosaukums ir taisnstūrveida.

Kā viņa izskatās

Apkārt ir taisnstūra prizmas mūsdienu cilvēks diezgan daudz. Tas, piemēram, ir parastais kartons no apavu apakšām, datora komponentiem utt. Paskaties apkārt. Pat telpā jūs noteikti redzēsit daudzas taisnstūrveida prizmas. Tas ir datora korpuss, un grāmatu skapis, un ledusskapis, un skapis, un daudzi citi priekšmeti. Veidlapa ir ārkārtīgi populāra galvenokārt tāpēc, ka tā ļauj maksimāli efektīvi izmantot telpu neatkarīgi no tā, vai iekārtojat interjeru vai pirms pārvietošanas iepakojat lietas kartonā.

Taisnstūra prizmas īpašības

Taisnstūra prizmai ir skaitlis specifiskas īpašības. Jebkurš seju pāris var kalpot par to, jo visas blakus esošās virsmas atrodas vienādā leņķī viena pret otru, un šis leņķis ir 90 °. Taisnstūra prizmas tilpumu un virsmas laukumu ir vieglāk aprēķināt nekā jebkuras citas. Paņemiet jebkuru objektu, kam ir taisnstūra prizmas forma. Izmēriet tā garumu, platumu un augstumu. Lai atrastu skaļumu, pietiek ar šo mērījumu reizināšanu. Tas ir, formula izskatās šādi: V \u003d a * b * h, kur V ir tilpums, a un b ir pamatnes malas, h ir augstums, kas sakrīt ar šī ģeometriskā ķermeņa sānu malu. Pamatplatību aprēķina pēc formulas S1=a*b. Lai iegūtu sānu virsmu, vispirms jāaprēķina pamatnes perimetrs pēc formulas P=2(a+b) un pēc tam jāreizina ar augstumu. Izrādās formula S2=P*h=2(a+b)*h. Lai aprēķinātu pilna virsma Taisnstūra prizmai pievienojiet divreiz lielāku pamatnes laukumu un sānu virsmas laukumu. Formula ir S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2

AT skolas mācību programma cietās ģeometrijas gaitā trīsdimensiju figūru izpēte parasti sākas ar vienkāršu ģeometrisku ķermeni - prizmas daudzskaldni. Tās pamatu lomu pilda 2 vienādi daudzstūri, kas atrodas paralēlās plaknēs. Īpašs gadījums ir regulāra četrstūra prizma. Tās pamatnes ir 2 identiski regulāri četrstūri, kuriem malas ir perpendikulāras, un tiem ir paralelogramu forma (vai taisnstūri, ja prizma nav slīpa).

Kā izskatās prizma

Parasta četrstūra prizma ir heksaedrs, kura pamatnēs ir 2 kvadrāti, un sānu skaldnes attēlo taisnstūri. Vēl viens nosaukums šim ģeometriskā figūra- taisns paralēlskaldnis.

Attēls, kas attēlo četrstūra prizmu, ir parādīts zemāk.

Bildē arī var redzēt būtiski elementi, kas veido ģeometrisko ķermeni. Tos parasti sauc par:

Dažreiz ģeometrijas problēmās var atrast sadaļas jēdzienu. Definīcija skanēs šādi: sadaļa ir visi tilpuma ķermeņa punkti, kas pieder griešanas plaknei. Sekcija ir perpendikulāra (šķērso figūras malas 90 grādu leņķī). Taisnstūra prizmai tiek ņemta vērā arī diagonāle (maksimālais izbūvējamo sekciju skaits ir 2), kas iet cauri 2 malām un pamatnes diagonālēm.

Ja griezums ir novilkts tā, lai griešanas plakne nebūtu paralēla ne pamatnēm, ne sānu virsmām, rezultāts ir nogriezta prizma.

Reducēto prizmatisko elementu atrašanai izmanto dažādas attiecības un formulas. Daži no tiem ir zināmi no planimetrijas kursa (piemēram, lai atrastu prizmas pamatnes laukumu, pietiek atcerēties kvadrāta laukuma formulu).

Virsmas laukums un tilpums

Lai noteiktu prizmas tilpumu, izmantojot formulu, jums jāzina tās pamatnes laukums un augstums:

V = Sprim h

Tā kā regulāras tetraedriskas prizmas pamatne ir kvadrāts ar malu a, Jūs varat uzrakstīt formulu sīkāk:

V = a² h

Ja mēs runājam par kubu - parastu prizmu ar vienādu garumu, platumu un augstumu, tilpumu aprēķina šādi:

Lai saprastu, kā atrast prizmas sānu virsmas laukumu, jums ir jāiedomājas tās slaucīšana.

No zīmējuma redzams, ka sānu virsmu veido 4 vienādi taisnstūri. Tās laukumu aprēķina kā pamatnes perimetra un figūras augstuma reizinājumu:

Sside = poz. h

Tā kā kvadrāta perimetrs ir P = 4a, formula iegūst šādu formu:

Sside = 4a h

Par kubu:

Sside = 4a²

Lai aprēķinātu prizmas kopējo virsmas laukumu, sānu laukumam pievieno 2 pamatlaukumus:

Pilns = Sside + 2Sbase

Piemērojot četrstūrveida regulārai prizmai, formulai ir šāda forma:

Pilns = 4a h + 2a²

Par kuba virsmas laukumu:

Pilns = 6a²

Zinot tilpumu vai virsmas laukumu, varat aprēķināt atsevišķi elementiģeometrisks ķermenis.

Prizmu elementu atrašana

Bieži vien ir problēmas, kurās ir dots apjoms vai ir zināma sānu virsmas laukuma vērtība, kur nepieciešams noteikt pamatnes malas garumu vai augstumu. Šādos gadījumos var iegūt formulas:

pamatnes malas garums: a = Sside / 4h = √(V / h);
augstums vai sānu ribu garums: h = Sside / 4a = V / a²;
bāzes laukums: Sprim = V / h;
sānu sejas zona: Sānu gr = Sside / 4.

Lai noteiktu, cik liela platība ir diagonālei, jums jāzina diagonāles garums un figūras augstums. Par kvadrātu d = a√2. Tāpēc:

Sdiag = ah√2

Lai aprēķinātu prizmas diagonāli, tiek izmantota formula:

dbalva = √(2a² + h²)

Lai saprastu, kā piemērot iepriekš minētās attiecības, varat praktizēt un atrisināt dažus vienkāršus uzdevumus.

Problēmu piemēri ar risinājumiem

Lūk, daži uzdevumi, kas parādās valsts gala eksāmenos matemātikā.

1. vingrinājums.

Smiltis ielej kastē, kas veidota kā regulāra četrstūra prizma. Tā līmeņa augstums ir 10 cm. Kāds būs smilšu līmenis, ja tās pārvietosiet tādas pašas formas traukā, bet ar 2 reizes garāku pamatnes garumu?

To vajadzētu argumentēt šādi. Pirmajā un otrajā traukā smilšu daudzums nemainījās, t.i., to tilpums tajos ir vienāds. Pamatnes garumu var noteikt kā a. Šajā gadījumā pirmajā lodziņā vielas tilpums būs:

V₁ = ha² = 10a²

Otrajai kastītei pamatnes garums ir 2a, bet smilšu līmeņa augstums nav zināms:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Ciktāl V₁ = V₂, izteiksmes var pielīdzināt:

10a² = 4ha²

Samazinot abas vienādojuma puses par a², mēs iegūstam:

Rezultātā jauns līmenis smiltis būs h = 10/4 = 2,5 cm.

2. uzdevums.

ABCDA₁B₁C₁D₁ ir regulāra prizma. Ir zināms, ka BD = AB₁ = 6√2. Atrodiet ķermeņa kopējo virsmas laukumu.

Lai būtu vieglāk saprast, kuri elementi ir zināmi, varat uzzīmēt figūru.

Tā kā mēs runājam par parasto prizmu, varam secināt, ka bāze ir kvadrāts ar diagonāli 6√2. Sānu virsmas diagonālei ir tāda pati vērtība, tāpēc arī sānu virsmai ir kvadrāta forma, kas vienāda ar pamatni. Izrādās, ka visi trīs izmēri – garums, platums un augstums – ir vienādi. Varam secināt, ka ABCDA₁B₁C₁D₁ ir kubs.

Jebkuras malas garums tiek noteikts caur zināmo diagonāli:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Kopējo virsmas laukumu nosaka pēc formulas kubam:

Pilns = 6a² = 6 6² = 216

3. uzdevums.

Telpa tiek remontēta. Ir zināms, ka tā grīdai ir kvadrāta forma ar platību 9 m². Istabas augstums ir 2,5 m. Kādas ir zemākās izmaksas par telpu tapsēšanu, ja 1 m² maksā 50 rubļus?

Tā kā grīda un griesti ir kvadrāti, tas ir, regulāri četrstūri, un to sienas ir perpendikulāras horizontālām virsmām, varam secināt, ka tā ir regulāra prizma. Ir nepieciešams noteikt tā sānu virsmas laukumu.

Istabas garums ir a = √9 = 3 m.

Laukums tiks noklāts ar tapetēm Side = 4 3 2,5 = 30 m².

Zemākās tapetes izmaksas šai telpai būs 50 30 = 1500 rubļi.

Tātad, lai atrisinātu uzdevumus uz taisnstūra prizmas, pietiek ar iespēju aprēķināt kvadrāta un taisnstūra laukumu un perimetru, kā arī zināt tilpuma un virsmas laukuma atrašanas formulas.

Kā atrast kuba laukumu

Definīcija. Prizma- tas ir daudzskaldnis, kura visas virsotnes atrodas divās paralēlās plaknēs, un tajās pašās divās plaknēs ir divas prizmas skaldnes, kas ir vienādi daudzstūri ar attiecīgi paralēlām malām, un visas malas, kas neatrodas šajās. plaknes ir paralēlas.

Tiek sauktas divas vienādas sejas prizmu pamatnes(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Tiek sauktas visas pārējās prizmas skaldnes sānu sejas(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Veidojas visas sānu sejas sānu virsma prizmas .

Visas prizmas sānu virsmas ir paralelogrami .

Malas, kas neatrodas pie pamatiem, sauc par prizmas sānu malām ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prizmas diagonāle sauc segmentu, kura gali ir divas prizmas virsotnes, kas neatrodas vienā no tās skaldnēm (AD 1).

Tiek saukts segmenta garums, kas savieno prizmas pamatus un ir perpendikulārs abām pamatnēm vienlaikus. prizmas augstums .

Apzīmējums:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Vispirms apvada secībā norāda vienas pamatnes virsotnes, pēc tam tādā pašā secībā otras virsotnes; katras sānu malas galus apzīmē ar vieniem un tiem pašiem burtiem, tikai virsotnes atrodas vienā pamatnē ir apzīmēti ar burtiem bez indeksa, bet otrā - ar indeksu)

Prizmas nosaukums ir saistīts ar leņķu skaitu attēlā, kas atrodas tās pamatnē, piemēram, 1. attēlā pamatne ir piecstūris, tāpēc prizmu sauc piecstūra prizma. Bet kopš tādai prizmai ir 7 sejas, tad tā septiņskaldnis(2 skaldnes ir prizmas pamatnes, 5 skaldnes ir paralelogrami, ir tās sānu skaldnes)

Starp taisnām prizmām izceļas privāts skats: regulāras prizmas.

Tiek saukta taisna prizma pareizi, ja tā pamati ir regulāri daudzstūri.

Parastai prizmai visām sānu malām ir vienādi taisnstūri. Īpašs prizmas gadījums ir paralēlskaldnis.

Paralēles

Paralēles-Šo četrstūra prizma, kura pamatā ir paralelograms (slīps paralēlskaldnis). Labais paralēlskaldnis- paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras pamatnes plaknēm.

kuboīds- taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamats ir taisnstūris.

Īpašības un teorēmas:

Dažas paralēlskaldņa īpašības ir līdzīgas zināmās īpašības paralelograms Taisnstūra paralēlskaldnis ar vienādi mērījumi, tiek saukti kubs .Kubam visām skaldnēm ir vienādi kvadrāti.Diagonāles kvadrāts ir vienāds ar tā trīs dimensiju kvadrātu summu

kur d ir kvadrāta diagonāle;
a - laukuma puse.

Prizmas ideju sniedz:

dažādas arhitektūras struktūras;
Bērnu rotaļlietas;
iepakošanas kastes;
dizaineru priekšmeti utt.

Prismas kopējais un sānu virsmas laukums

Prismas kopējais virsmas laukums ir visu tā virsmu laukumu summa Sānu virsmas laukums sauc par tā sānu virsmu laukumu summu. prizmas pamatnes ir vienādi daudzstūri, tad to laukumi ir vienādi. Tātad

S pilna \u003d S puse + 2S galvenais,

kur S pilns- kopējais virsmas laukums, S pusē- sānu virsmas laukums, S galvenais- bāzes platība

Taisnas prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pamatnes perimetra un prizmas augstuma reizinājumu.

S pusē\u003d P galvenais * h,

kur S pusē ir taisnas prizmas sānu virsmas laukums,

P galvenais - taisnas prizmas pamatnes perimetrs,

h ir taisnās prizmas augstums, vienāds ar sānu malu.