Ciparu secības un to iestatīšanas veidi. Praktiskā darba uzdevums "Ciparu secību precizēšana dažādos veidos, secības dalībnieku aprēķināšana

Šajā nodarbībā mēs sāksim progresēšanas izpēti. Šeit mēs iepazīsimies ar ciparu secību un to, kā to iestatīt.

Pirmkārt, mēs atceramies skaitlisko argumentu funkciju definīciju un īpašības un aplūkosim īpašu funkcijas gadījumu, kad x pieder kopai naturālie skaitļi. Mēs sniedzam skaitliskās secības definīciju un sniedzam dažus piemērus. Mēs parādīsim analītisko veidu, kā norādīt secību, izmantojot tās n-tā dalībnieka formulu, un apsvērsim vairākus piemērus secības precizēšanai un noteikšanai. Pēc tam apsveriet virknes verbālo un atkārtoto piešķiršanu.

Tēma: Progresēšana

Nodarbība: Ciparu secība un kā to iestatīt

1. Atkārtošana

Ciparu secība, kā mēs redzēsim, šis ir īpašs funkcijas gadījums, tāpēc atcerēsimies funkcijas definīciju.

Funkcija ir likums, saskaņā ar kuru katrai derīgajai argumenta vērtībai tiek piešķirta unikāla funkcijas vērtība.

Šeit ir zināmu funkciju piemēri.

Rīsi. 1. Funkcijas grafiks

Ir atļautas visas vērtības, izņemot 0. Šīs funkcijas grafiks ir hiperbola (skat. 1. att.).

2.. Visas vērtības ir atļautas, .

Rīsi. 2. Funkciju grafiks

Grafiks kvadrātiskā funkcija- parabola, iezīmēti arī raksturīgie punkti (skat. 2. att.).

3..

Rīsi. 3. Funkcijas grafiks

Visas x vērtības ir atļautas. Lineāras funkcijas grafiks ir taisne (sk. 3. att.).

2. Skaitliskās secības definīcija

Ja x ņem tikai dabiskās vērtības (), tad mums ir īpašs gadījums, proti, skaitliskā secība.

Atcerieties, ka naturālie skaitļi ir 1, 2, 3, …, n, …

Funkciju , kur sauc par naturāla argumenta funkciju vai skaitlisku secību, un to apzīmē šādi: vai , vai .

Paskaidrosim, ko, piemēram, nozīmē apzīmējums.

Šī ir funkcijas vērtība, kad n=1, t.i., .

Šī ir funkcijas vērtība, kad n=2, t.i. utt...

Šī ir funkcijas vērtība, ja arguments ir n, t.i., .

3. Paraugu secības

1. ir vispārīgā termina formula. Mēs iestatām dažādas n vērtības, mēs iegūstam dažādas y vērtības - secības locekļi.

Kad n=1; , kad n=2 utt., .

Skaitļi ir noteiktas secības locekļi un punkti gulēt uz hiperbolas - funkcijas grafika (sk. 4. att.).

Rīsi. 4. Funkciju grafiks

Ja n=1, tad ; ja n=2, tad ; ja n=3, tad utt.

Skaitļi ir noteiktas secības locekļi, un punkti atrodas uz parabolas - funkcijas grafika (sk. 5. att.).

Rīsi. 5. Funkciju grafiks

Rīsi. 6. Funkciju grafiks

Ja n=1, tad ; ja n=2, tad ; ja n=3, tad utt.

Skaitļi ir dotas secības dalībnieki, un punkti atrodas uz taisnas līnijas - funkcijas grafika (sk. 6. att.).

4. Analītiskā metode secības noteikšanai

Ir trīs veidi, kā norādīt secības: analītiska, verbāla un atkārtota. Apsvērsim katru no tiem sīkāk.

Secība tiek dota analītiski, ja ir dota tās n-tā termina formula.

Apskatīsim dažus piemērus.

1. Atrodiet vairākus virknes locekļus, kas tiek doti ar n-tā dalībnieka formulu: (analītisks secības precizēšanas veids).

Lēmums. Ja n=1, tad ; ja n=2, tad ; ja n=3, tad utt.

Noteiktai secībai mēs atrodam un .

.

.

2. Aplūkosim secību, kas dota ar n-tā locekļa formulu: (analītisks secības precizēšanas veids).

Atradīsim vairākus šīs secības dalībniekus.

Ja n=1, tad ; ja n=2, tad ; ja n=3, tad utt.

Kopumā nav grūti saprast, ka šīs secības dalībnieki ir tie skaitļi, kurus dalot ar 4, paliek atlikums 1.

a. Dotajai secībai atrodiet .

Lēmums: . Atbilde:.

b. Doti divi skaitļi: 821, 1282. Vai šie skaitļi ir dotās secības dalībnieki?

Lai skaitlis 821 būtu secības dalībnieks, ir nepieciešams, lai vienādība: vai . Pēdējā vienādība ir n vienādojums. Ja lēmums dots vienādojums ir naturāls skaitlis, tad atbilde ir jā.

Šajā gadījumā tā ir. .

Atbilde: jā, 821 ir dotās secības dalībnieks, .

Pārejam pie otrā numura. Līdzīga argumentācija noved mūs pie vienādojuma atrisinājuma: .

Atbilde: tā kā n nav naturāls skaitlis, skaitlis 1282 nav dotās secības dalībnieks.

Formulas, kas analītiski definē secību, var būt ļoti dažādas: vienkāršas, sarežģītas utt. Prasības tām ir vienādas: katrai n vērtībai jāatbilst vienam skaitlim.

3. Dota: secība tiek dota pēc šādas formulas.

Atrodiet pirmos trīs secības dalībniekus.

, , .

Atbilde: , , .

4. Vai skaitļi ir secības dalībnieki?

a. , t.i. Atrisinot šo vienādojumu, mēs iegūstam to. Tas ir dabisks skaitlis.

Atbilde: pirmais dotais skaitlis ir šīs secības dalībnieks, proti, tās piektais loceklis.

b. , t.i. Atrisinot šo vienādojumu, mēs iegūstam to. Tas ir dabisks skaitlis.

Atbilde: arī otrais dotais skaitlis ir šīs secības dalībnieks, proti, tās deviņdesmit devītais loceklis.

5. Verbāls secības noteikšanas veids

Mēs esam apsvēruši analītisko veidu, kā norādīt skaitlisko secību. Tas ir ērti, izplatīts, bet ne vienīgais.

Nākamais veids ir secības verbāla piešķiršana.

Secību, katru tās locekli, katra tā locekļa aprēķināšanas iespēju var norādīt vārdos, ne vienmēr formulās.

1. piemērs Pirmskaitļu secība.

Atcerieties, ka pirmskaitlis ir naturāls skaitlis, kuram ir tieši divi atšķirīgi dalītāji: 1 un pats skaitlis. Pirmskaitļi ir 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 utt.

Viņu ir neskaitāmi daudz. Eiklīds arī pierādīja, ka šo skaitļu secība ir bezgalīga, tas ir, nav lielākā pirmskaitļa. Secība ir dota, katru terminu var aprēķināt, garlaicīgs, bet var aprēķināt. Šī secība tiek dota mutiski. Diemžēl formulas nav pieejamas.

2. piemērs Apsveriet skaitli = 1,41421…

Tas ir neracionāls skaitlis, tā decimālais apzīmējums nodrošina bezgalīgu ciparu skaitu. Apskatīsim skaitļa decimālo tuvinājumu secību pēc deficīta: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; utt.

Šai secībai ir bezgalīgs skaits dalībnieku, katru no tiem var aprēķināt. Šo secību nav iespējams iestatīt ar formulu, tāpēc mēs to aprakstām mutiski.

6. Rekursīvs veids, kā norādīt secību

Mēs esam apsvēruši divus veidus, kā norādīt skaitlisko secību:

1. Analītiskā metode, kad dota n-tā locekļa formula.

2. Secības verbālā piešķiršana.

Un, visbeidzot, ir atkārtota secība, kad ir doti noteikumi n-tā termiņa aprēķināšanai no iepriekšējiem terminiem.

Apsveriet

1. piemērs Fibonači secība (13. gs.).

Vēstures atsauce:

Leonardo no Pizas (apmēram 1170, Piza - apmēram 1250) - pirmais lielākais matemātiķis viduslaiku Eiropa. Viņu vislabāk pazīst ar segvārdu Fibonači.

Lielu daļu no tā, ko viņš uzzināja, viņš izklāstīja savā izcilajā Abaka grāmatā (Liber abaci, 1202; līdz mūsdienām ir saglabājies tikai papildinātais 1228. gada manuskripts). Šajā grāmatā ir iekļauta gandrīz visa tā laika aritmētiskā un algebriskā informācija, kas sniegta ar izcilu pilnīgumu un dziļumu. "Abaku grāmata" krasi paceļas pāri Eiropas 12.-14.gadsimta aritmētikas un algebras literatūrai. metožu daudzveidība un stiprums, uzdevumu bagātība, prezentācijas pierādījumi. Turpmākie matemātiķi no tā plaši izmantoja gan problēmas, gan to risināšanas metodes. Saskaņā ar pirmo grāmatu daudzas Eiropas matemātiķu paaudzes pētīja Indijas pozicionālo skaitļu sistēmu.

Pirmie divi termini ir doti, un katrs nākamais termins ir iepriekšējo divu summa

viens; viens; 2; 3; 5; astoņi; trīspadsmit; 21; 34; 55; ... ir daži pirmie Fibonači secības dalībnieki.

Šī secība tiek dota rekursīvi, n-tais biedrs atkarīgs no iepriekšējiem diviem.

2. piemērs

Šajā secībā katrs nākamais termins ir par 2 lielāks par iepriekšējo. Šādu secību sauc par aritmētisko progresiju.

Skaitļi 1, 3, 5, 7... ir daži pirmie šīs secības dalībnieki.

Sniegsim vēl vienu atkārtotas secības piešķiršanas piemēru.

3. piemērs

Secība ir norādīta šādi:

Katrs nākamais šīs secības termins tiek iegūts, reizinot iepriekšējo terminu ar to pašu skaitli q. Šādai secībai ir īpašs nosaukums - ģeometriskā progresija. Aritmētiskā un ģeometriskā progresija būs mūsu pētījuma objekti nākamajās nodarbībās.

Atradīsim dažus noteiktās secības locekļus pie b=2 un q=3.

Cipari 2; 6; astoņpadsmit; 54; 162 ... ir daži pirmie šīs secības dalībnieki.

Interesanti, ka šo secību var norādīt arī analītiski, t.i., jūs varat izvēlēties formulu. Šajā gadījumā formula būs šāda.

Patiešām: ja n=1, tad ; ja n=2, tad ; ja n=3, tad utt.

Tādējādi mēs apgalvojam, ka vienu un to pašu secību var norādīt gan analītiski, gan atkārtoti.

7. Nodarbības kopsavilkums

Tātad, mēs esam apsvēruši, kas ir skaitliskā secība un kā to iestatīt.

Nākamajā nodarbībā iepazīsimies ar skaitlisko secību īpašībām.

1. Makarychev Yu. N. et al.Algebra 9.klase (mācību grāmata vidusskolai).-M.: Izglītība, 1992.g.

2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov, K. I. Algebra 9. klasei ar padziļināšanu. pētījums matemātika.-M.: Mnemozina, 2003.g.

3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G. Papildu nodaļas skolas mācību grāmatai algebras klasei 9.-M .: Izglītība, 2002.

4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Algebras uzdevumu kolekcija 8-9 klasēm ( pamācība skolu un klašu skolēniem ar padziļināšanu. pētījums matemātika).-M.: Izglītība, 1996.g.

5. Mordkovičs A. G. Algebra 9. klase, mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm. - M.: Mnemosyne, 2002.

6. Mordkovičs A. G., Mišutina T. N., Tulčinskaja E. E. Algebra 9. klase, problēmu grāmata izglītības iestādēm. - M.: Mnemosyne, 2002.

7. Glezers G. I. Matemātikas vēsture skolā. 7.-8.klase (ceļvedis skolotājiem).-M.: Apgaismība, 1983.g.

1. Koledžas sekcija. ru matemātikā.

2. Dabaszinātņu portāls.

3. Eksponents. ru Izglītības matemātikas vietne.

1. Nr. 331, 335, 338 (Makarychev Yu. N. et al. Algebra 9. klase).

2. Nr. 12.4 (Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Uzdevumu kolekcija algebrā 8.-9. klasei).

Algebra. 9. klase
Nodarbība #32
Datums:_____________
Skolotājs: Gorbenko Alena Sergeevna
Tēma: Ciparu secība, tās iestatīšanas veidi un īpašības
Nodarbības veids: kombinēta
Nodarbības mērķis: sniegt skaitliskās secības jēdzienu un definīciju, apsvērt veidus
ciparu secību piešķiršana
Uzdevumi:
Izglītojoši: iepazīstināt studentus ar skaitļu secības un elementa jēdzienu
skaitliskā secība; iepazīties ar analītisko, verbālo, atkārtoto un
grafiskie veidi, kā iestatīt skaitlisko secību; Apsveriet skaitļu veidus
sekvences; sagatavošanās EAEA;
Attīstīt: matemātiskās lasītprasmes, domāšanas, aprēķinu tehnikas, prasmju attīstība
salīdzinājumi, izvēloties formulu; ieaudzināt interesi par matemātiku;
Izglītība: patstāvīgas darbības prasmju izglītošana; skaidrība un
organizācija darbā; dot iespēju ikvienam studentam gūt panākumus;
Aprīkojums: Skolas piederumi, tāfele, krīts, mācību grāmata, izdales materiāli.
Nodarbību laikā
es Laika organizēšana
 Savstarpēja sasveicināšanās;
 Prombūtņu labošana;
 Nodarbības tēmas izziņošana;
 Stundas mērķu un uzdevumu izvirzīšana no skolēnu puses.
Secība ir viens no pamata jēdzieniem matemātikā. Secība var
sastāv no skaitļiem, punktiem, funkcijām, vektoriem utt.
Šodien nodarbībā iepazīsimies ar jēdzienu "ciparu secība", uzzināsim, ko
var būt sekvences, iepazīsimies ar slavenajām sekvencēm.

II. Pamatzināšanu atjaunināšana.
Vai jūs zināt funkcijas, kas definētas visā skaitļu rindā vai tās nepārtrauktajā rindā
III.
intervāli:
lineāra funkcija y \u003d kx + v,
kvadrātiskā funkcija y \u003d ax2 + inx + c,


 funkcija y =



 funkcija y = |x|.
Sagatavošanās jaunu zināšanu uztverei
tiešā proporcionalitāte y \u003d kx,
apgrieztā proporcionalitāte y \u003d k / x,
kubiskā funkcija y = x3,
,
Bet citās kopās ir definētas funkcijas.
Piemērs. Daudzām ģimenēm ir paraža, sava veida rituāls: bērna dzimšanas dienā
vecāki viņu atved durvju rāmis un svinīgi nosviniet uz tā dzimšanas dienas vīrieša izaugsmi.
Bērns aug, un ar gadiem uz aplodas parādās veselas kāpnes ar zīmēm. Trīs, pieci, divi: tas ir
izaugsmes secība no gada uz gadu. Bet ir vēl viena secība, proti
tās dalībnieki ir rūpīgi izrakstīti blakus serifiem. Šī ir augšanas vērtību secība.
Abas secības ir saistītas viena ar otru.
Otro iegūst no pirmā, pievienojot.
Izaugsme ir visu iepriekšējo gadu ieguvumu summa.
Apsveriet vēl dažus jautājumus.
Uzdevums 1. Noliktavā ir 500 tonnas ogļu, katru dienu tiek piegādātas 30 tonnas.Cik būs ogļu
noliktavā 1 dienas laikā? 2 diena? 3 diena? 4. diena? 5. diena?
(Skolēnu atbildes rakstītas uz tāfeles: 500, 530, 560, 590, 620).
Uzdevums 2. Intensīvas augšanas periodā cilvēks pieaug vidēji par 5 cm gadā. Tagad izaugsme
students S. ir 180 cm garš.Cik garš viņš būs 2026. gadā? (2m 30 cm). Bet tā tam nav jābūt
var būt. Kāpēc?
3. uzdevums. Katru dienu katrs cilvēks ar gripu var inficēt 4 citus.
Pēc cik dienām saslims visi mūsu skolas skolēni (300 cilvēki)? (Pēc 4 dienām).
Šie ir funkciju piemēri, kas definēti uz naturālu skaitļu kopas — skaitliskās
sekvences.
Nodarbības mērķis ir: atrast veidus, kā atrast jebkuru secības dalībnieku.
Nodarbības mērķi: uzziniet, kas un kā ir ciparu secība
sekvences.
IV. Jauna materiāla apgūšana
Definīcija. Skaitliskā secība ir funkcija, kas definēta kopā
naturālie skaitļi (secības veido tādus dabas elementus, kas
var numurēt).
Skaitliskās secības jēdziens radās un attīstījās ilgi pirms doktrīnas radīšanas
funkcijas. Šeit ir piemēri bezgalīgām skaitļu sekvencēm, kas zināmas jau sen
senlietas:
1, 2, 3, 4, 5, : naturālu skaitļu secība;
2, 4, 6, 8, 10, : pāra skaitļu secība;
1, 3, 5, 7, 9, : nepāra skaitļu secība;
1, 4, 9, 16, 25, : naturālu skaitļu kvadrātu secība;
2, 3, 5, 7, 11, : pirmskaitļu secība;
,
1,
Katras šīs sērijas dalībnieku skaits ir bezgalīgs; pirmās piecas secības
, : naturālu skaitļu reciproku secība.
,
monotoni pieaug, pēdējais monotoni samazinās.

Apzīmējums: y1, y2, y3, y4, y5,:
1, 2, 3, 4, 5, :p,: secības dalībnieka kārtas numurs.
(yn) secība, secības ynth dalībnieks.
(an) secība, n-tais secības dalībnieks.
an1 ir secības iepriekšējais dalībnieks,
+1 nākamais secības dalībnieks.
Secības ir ierobežotas un bezgalīgas, pieaug un samazinās.
Uzdevumi skolēniem: pierakstiet pirmos 5 secības dalībniekus:
No pirmā dabiskā skaitļa palielinās par 3.
No 10 palielināt 2 reizes un samazināt par 1.
No skaitļa 6 pārmaiņus palieliniet par 2 un palieliniet 2 reizes.
Šīs skaitļu sērijas sauc arī par skaitļu virknēm.
Secības noteikšanas metodes:
verbāls veids.
Secības noteikumi ir aprakstīti vārdos, bez formulām vai
kad starp secības elementiem nav likumsakarību.
1. piemērs. Pirmskaitļu secība: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .
2. piemērs. Patvaļīga skaitļu kopa: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .
3. piemērs. Pāra skaitļu 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
analītiskā veidā.
Jebkuru secības n-to elementu var noteikt, izmantojot formulu.
Piemērs 1. Pāra skaitļu secība: y = 2n.
2. piemērs. Naturālo skaitļu kvadrāta secība: y = n2;
1, 4, 9, 16, 25, ..., n2, ... .
3. piemērs. Stacionāra secība: y = C; C, C, C, ..., C, ...
īpašs gadījums: y=5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .
4. piemērs. Secība y = 2n;
2, 22, 23, 24, ..., 2n, ... .
rekursīvs veids.
Tiek norādīts noteikums, kas ļauj aprēķināt secības n-to elementu if
tā iepriekšējie elementi ir zināmi.
1. piemērs. Aritmētiskā progresija: a1=a, an+1=an+d, kur a un d ir dotos skaitļus, d
aritmētiskās progresijas atšķirība. Pieņemsim, ka a1=5, d=0,7, tad aritmētiskā progresija
izskatīsies šādi: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ... .
2. piemērs. Ģeometriskā progresija: b1= b, bn+1= bnq, kur b un q ir doti skaitļi, b
0,
0; q ir saucējs ģeometriskā progresija. Pieņemsim, ka b1=23, q=½, tad ģeometriskā
q
progresija izskatīsies šādi: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .
4) Grafiskais veids. Ciparu secība
dots ar grafiku, kas ir
izolēti punkti. Šo punktu abscises ir dabiskas
skaitļi: n=1; 2; 3; 4; ... . Ordinātas – biedru vērtības
secības: a1; a2; a3; a4;…
Piemērs: pierakstiet visus piecus skaitļu virknes dalībniekus,
dots grafiskā veidā.
Lēmums.
Katram punktam šajā koordinātu plaknē ir
koordinātas (n; an). Pierakstiet atzīmēto punktu koordinātas
augošā abscisa n.
Mēs iegūstam: (1; 3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).
Tāpēc a1= 3; a2=1; a3=4; a4=6; a5=7.

Atbilde: 3; viens; 4; 6; 7.
V. Pētītā materiāla primārā konsolidācija
Piemērs 1. Uzrakstiet iespējamo formulu secības n-tajam elementam (yn):
a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;
b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;
Lēmums.
a) Šī ir secība nepāra skaitļi. Analītiski šī secība var būt
noteikts ar formulu y = 2n+1.
b) Šī ir skaitliska secība, kurā nākamais elements ir lielāks par iepriekšējo
ar 4. Analītiski šo secību var dot ar formulu y = 4n.
Piemērs 2. Uzrakstiet pirmos desmit secības elementus, kas tiek doti atkārtoti: y1=1,
y2=2, yn = yn2+yn1, ja n = 3, 4, 5, 6, ... .
Lēmums.
Katrs nākamais šīs secības elements ir vienāds ar iepriekšējo divu summu
elementi.
y1=1;
y2=2;
y3=1+2=3;
y4=2+3=5;
y5=3+5=8;
y6=5+8=13;
y7=8+13=21;
y8=13+21=34;
y9=21+34=55;
y10=34+55=89.
VI. Apkopojot stundu. Atspulgs
1. Kas jums izdevās, izpildot uzdevumu?
2. Vai darbs tika saskaņots?
3. Kas, jūsuprāt, neizdevās?

Skaitliskā secība ir īpašs skaitliskas funkcijas gadījums, tāpēc secībām tiek ņemtas vērā arī vairākas funkciju īpašības.

1. Definīcija . Secība ( g n} tiek saukts par pieaugošu, ja katrs tā termins (izņemot pirmo) ir lielāks par iepriekšējo:

y 1 < y 2 < y 3 < … < g n < g n+1 < ….

2. Definīcija.Secība ( g n} tiek saukts par samazinošu, ja katrs tā termins (izņemot pirmo) ir mazāks par iepriekšējo:

y 1 > y 2 > y 3 > … > g n> g n+1 > … .

3. Pieaugošās un dilstošās sekvences vieno kopīgs termins - monotoniskās sekvences.

Piemēram: y 1 = 1; g n= n 2… ir augoša secība. y 1 = 1; ir dilstoša secība. y 1 = 1; – šī secība nav neaugoša, ne samazināšanās.

4. Definīcija. Secību sauc par periodisku, ja eksistē naturāls skaitlis T, kurā, sākot no kāda n, pastāv vienādība yn = yn+T. Skaitli T sauc par perioda garumu.

5. Secību sauc par ierobežotu no apakšas, ja visi tās locekļi ir vismaz kāds skaitlis.

6. Par secību tiek uzskatīts, ka tā ir ierobežota no augšas, ja visi tās locekļi ir ne vairāk kā kāds skaitlis.

7. Secību sauc par ierobežotu, ja tā ir ierobežota gan augšā, gan apakšā, t.i. ir tāds pozitīvs skaitlis, ka visi dotās secības vārdi absolūtā vērtībā nepārsniedz šo skaitli. (Bet tas, ka abās pusēs ir ierobežots, nenozīmē, ka tas ir ierobežots.)

8. Secībai var būt tikai viens ierobežojums.

9. Jebkurai iepriekš ierobežotai nesamazināmai secībai ir robeža (lim).

10. Jebkurai nepalielinošai secībai, kas ir ierobežota zemāk, ir ierobežojums.

Secības robeža ir punkts (skaitlis), kura tuvumā atrodas lielākā daļa secības dalībnieku, tie cieši tuvojas šai robežai, bet nesasniedz to.

Ģeometriskā un aritmētiskā progresija ir īpaši secības gadījumi.

Secības noteikšanas metodes:

Secības var iestatīt Dažādi ceļi, no kuriem īpaši svarīgi ir trīs: analītisks, aprakstošs un atkārtots.

1. Secība tiek dota analītiski, ja ir dota tās n-tā locekļa formula:

Piemērs. yn \u003d 2n - 1 - nepāra skaitļu secība: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Aprakstošs veids, kā iestatīt skaitlisko secību, ir izskaidrot, no kādiem elementiem secība ir veidota.

1. piemērs. "Visi secības dalībnieki ir vienādi ar 1." Tas nozīmē, mēs runājam par stacionāro secību 1, 1, 1, …, 1, ….

2. piemērs. "Secība sastāv no visiem pirmskaitļiem augošā secībā." Tādējādi tiek dota secība 2, 3, 5, 7, 11, …. Izmantojot šo secības noteikšanas metodi šis piemērs grūti atbildēt, ar ko ir vienāds, teiksim, secības 1000. elements.

3. Atkārtots secības precizēšanas veids ir tāds, ka tiek norādīts noteikums, kas ļauj aprēķināt secības n-to locekli, ja ir zināmi tās iepriekšējie locekļi. Rekursīvās metodes nosaukums cēlies no Latīņu vārds recurrere - atgriezties. Visbiežāk šādos gadījumos tiek norādīta formula, kas ļauj izteikt n-to secības locekli iepriekšējo izteiksmē, un tiek norādīti 1–2 secības sākuma locekļi.

1. piemērs. y1 = 3; yn = yn–1 + 4, ja n = 2, 3, 4,….

Šeit y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….

Var redzēt, ka šajā piemērā iegūto secību var norādīt arī analītiski: yn = 4n – 1.

2. piemērs y 1 = 1; y 2 = 1; g n = g n–2 + g n-1 ja n = 3, 4,….

Šeit: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Šajā piemērā sastādītā secība ir īpaši pētīta matemātikā, jo tai ir sērija interesantas īpašības un lietojumprogrammas. To sauc par Fibonači secību - pēc itāļu matemātiķa 13. gs. Fibonači secības definēšana rekursīvi ir ļoti vienkārša, bet analītiski ļoti sarežģīta. n Fibonači skaitlis tiek izteikts kā kārtas skaitlis, izmantojot šādu formulu.

No pirmā acu uzmetiena formula, lai n Fibonači skaitlis šķiet neticams, jo formula, kas nosaka naturālo skaitļu secību vien satur kvadrātsaknes, bet jūs varat "manuāli" pārbaudīt šīs formulas derīgumu pirmajām dažām n.

Fibonači vēsture:

Fibonači (Leonardo no Pizas), c. 1175.–1250

Itāļu matemātiķis. Dzimis Pizā, kļuva par pirmo izcilo matemātiķi Eiropā vēlajos viduslaikos. Pie matemātikas viņu noveda praktiskā nepieciešamība izveidot biznesa kontakti. Viņš publicēja savas grāmatas par aritmētiku, algebru un citām matemātikas disciplīnām. No musulmaņu matemātiķiem viņš uzzināja par Indijā izgudroto un arābu pasaulē jau pieņemto skaitļu sistēmu un bija pārliecināts par tās pārākumu (šie skaitļi bija mūsdienu arābu ciparu priekšteči).

Leonardo no Pizas, pazīstams kā Fibonači, bija pirmais no lielākajiem vēlo viduslaiku Eiropas matemātiķiem. Dzimis Pizā turīgā tirgotāja ģimenē, viņš ienāca matemātikā ar tīri praktisku vajadzību nodibināt biznesa kontaktus. Jaunībā Leonardo daudz ceļoja, pavadot tēvu komandējumos. Piemēram, mēs zinām par viņa ilgo uzturēšanos Bizantijā un Sicīlijā. Šādos braucienos viņš daudz sazinājās ar vietējiem zinātniekiem.

Ciparu sērija, kas šodien nes viņa vārdu, ir radusies no problēmas ar trušiem, ko Fibonači izklāstīja savā grāmatā Liber abacci, kas sarakstīta 1202. gadā:

Kāds vīrietis ielika aizgaldā trušu pāri, ko no visām pusēm ieskauj siena. Cik trušu pāru šis pāris var dzemdēt gada laikā, ja zināms, ka katru mēnesi, sākot no otrā, katrs trušu pāris ražo vienu pāri?

Varat pārliecināties, ka pāru skaits katrā no nākamajiem divpadsmit mēnešu mēnešiem būs attiecīgi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Citiem vārdiem sakot, trušu pāru skaits veido sēriju, kurā katrs termins ir iepriekšējo divu summa. To sauc par Fibonači sēriju, un paši skaitļi ir Fibonači skaitļi. Izrādās, ka šai secībai ir daudz matemātiski interesantu īpašību. Šeit ir piemērs: līniju var sadalīt divos segmentos, lai lielākā un mazākā segmenta attiecība būtu proporcionāla attiecībai starp visu līniju un lielāko segmentu. Šis proporcionalitātes koeficients, kas aptuveni vienāds ar 1,618, ir zināms kā zelta griezums. Renesansē tika uzskatīts, ka šī proporcija, kas novērota arhitektūras būvēs, ir visvairāk patīkama acīm. Ja ņemat secīgus pārus no Fibonači sērijas un sadalāt vairāk no katra pāra uz mazāku, jūsu rezultāts pakāpeniski tuvosies zelta griezumam.

Kopš Fibonači atklāja savu secību, ir atrastas pat dabas parādības, kurās šai secībai, šķiet, ir svarīga loma. Viens no tiem ir filotaksis (lapu izkārtojums) - noteikums, saskaņā ar kuru, piemēram, sēklas atrodas saulespuķu ziedkopā. Saulespuķu sēklas ir izkārtotas divās spirālēs. Cipari, kas norāda sēklu skaitu katrā no spirālēm, ir pārsteidzošas matemātiskas secības dalībnieki. Sēklas ir sakārtotas divās spirāļu rindās, no kurām viena iet pulksteņrādītāja virzienā, otra pret. Un kāds ir sēklu skaits katrā gadījumā? 34 un 55.

1. uzdevums:

Uzrakstiet secības pirmos piecus vārdus.

1. a n \u003d 2 n + 1/2 n

un n \u003d 2 n + 1/2 n

2. uzdevums:

Uzrakstiet formulu naturālu skaitļu virknes kopējam terminam, kas ir 3 reizes.

Atbilde: 0,3,6,9,12,15,.... 3n un n = 3n

3. uzdevums:

Uzrakstiet formulu naturālu skaitļu virknes kopējam terminam, kuru, dalot ar 4, atlikums ir 1.

Atbilde: 5,9,13,17,21....... 4 n +1 un n = 4n+1

Nr.19. Funkcija.

Funkcija (displejs, operators, transformācija) ir matemātisks jēdziens, kas atspoguļo kopu elementu attiecības. Mēs varam teikt, ka funkcija ir "likums", saskaņā ar kuru katram vienas kopas elementam (ko sauc par definīcijas domēnu) tiek piešķirts kāds citas kopas elements (ko sauc par vērtību domēnu).

Funkcija ir viena atkarība mainīgs no cita. Citiem vārdiem sakot, attiecības starp daudzumiem.

Funkcijas matemātiskā koncepcija pauž intuitīvu priekšstatu par to, kā viens lielums pilnībā nosaka cita lieluma vērtību. Tātad mainīgā x vērtība unikāli nosaka izteiksmes vērtību, un mēneša vērtība unikāli nosaka tai sekojošā mēneša vērtību, un jebkuru cilvēku var salīdzināt ar citu personu - viņa tēvu. Līdzīgi daži iepriekš izstrādāti algoritmi, ņemot vērā dažādus ievades datus, rada noteiktus izejas datus.

Bieži vien termins "funkcija" attiecas uz skaitlisku funkciju; tas ir, funkcija, kas dažus skaitļus sasaista ar citiem. Šīs funkcijas ir ērti attēlotas attēlos grafiku veidā.

Var sniegt citu definīciju. Funkcija ir specifiska darbība pār mainīgo.

Tas nozīmē, ka mēs ņemam vērtību, veicam ar to kādas darbības (piemēram, izliekam to kvadrātā vai aprēķinām logaritmu) - un mēs iegūstam vērtību.

Dosim vēl vienu funkcijas definīciju – to, kas visbiežāk sastopama mācību grāmatās.

Funkcija ir atbilstība starp divām kopām, kur katrs pirmās kopas elements atbilst vienam un tikai vienam otrās kopas elementam.

Piemēram, katrai funkcijai reālais skaitlis atbilst skaitlim, kas ir divreiz lielāks par .

Dažu F. elementu kopu, kas aizstāta ar x, sauc par tās definīcijas apgabalu, un dažu F. elementu kopu y sauc par tās vērtību diapazonu.

Terminu vēsture:

Terminu "funkcija" (nedaudz šaurākā nozīmē) pirmo reizi izmantoja Leibnics (1692). Savukārt Johans Bernulli vēstulē tam pašam Leibnicam šo terminu lietojis mūsdienīgam tuvākā nozīmē. Sākotnēji funkcijas jēdziens nebija atšķirams no analītiskā attēlojuma jēdziena. Pēc tam parādījās Eilera (1751) dotā funkcijas definīcija, pēc tam - Lakruā (1806) - gandrīz g. moderna forma. Visbeidzot, funkcijas vispārīgā definīcija (in moderna forma, bet skaitliskām funkcijām) deva Lobačevskis (1834) un Dirihlē (1837). Uz XIX beigas gadsimtā funkcijas jēdziens ir izaudzis no skaitlisko sistēmu rāmjiem. Vektora funkcijas bija pirmās, kas to izdarīja, Frege drīz ieviesa loģiskās funkcijas (1879), un pēc kopu teorijas parādīšanās Dedekind (1887) un Peano (1911) formulēja mūsdienu universālo definīciju.

Nr.20. Funkcijas iestatīšanas veidi.

Ir 4 veidi, kā definēt funkciju:

1. tabula Diezgan bieži, ir noteikt tabulu atsevišķi

argumentu vērtības un tām atbilstošās funkciju vērtības. Šo funkcijas definēšanas metodi izmanto, ja funkcijas domēns ir diskrēta ierobežota kopa.

Tas ir ērti, ja f ir ierobežota kopa, bet, ja f ir bezgalīga, tiek norādīti tikai atlasītie pāri (x, y).

Izmantojot funkcijas norādīšanas tabulas metodi, ir iespējams aptuveni aprēķināt tās funkcijas vērtības, kas nav ietvertas tabulā, kas atbilst argumenta starpvērtībām. Lai to izdarītu, izmantojiet interpolācijas metodi.

Priekšrocības: precizitāte, ātrums, viegli atrodams vērtību tabulā vēlamo vērtību funkcijas. Funkcijas norādīšanas tabulas veida priekšrocības ir tādas, ka tas ļauj noteikt noteiktas konkrētas vērtības uzreiz, bez papildu mērījumiem vai aprēķiniem.

trūkumi: nepabeigtība, skaidrības trūkums. Dažos gadījumos tabula nedefinē funkciju pilnībā, bet tikai dažām argumenta vērtībām un nesniedz vizuālu attēlojumu par funkcijas izmaiņu raksturu atkarībā no argumenta izmaiņām.

2. analītisks(formulas). Visbiežāk likums, kas nosaka saikni starp

argumentu un funkciju nosaka ar formulu palīdzību. Šo funkcijas definēšanas veidu sauc par analītisko. Tas ir vissvarīgākais MA (matemātiskā analīze), jo MA metodes (diferenciālrēķins, integrālrēķins) liecina par šādu iestatīšanas veidu. To pašu funkciju var norādīt ar dažādām formulām: y=∣sin( x)∣y=√1−cos2( x) Dažreiz iekšā dažādas daļas no tās domēniem definēto funkciju var dot ar dažādām formulām f(x)={f 1(x),x∈D 1 fn(x),x∈Dn ∪nk=1Dk=D(f) . Bieži vien ar šo funkcijas definēšanas metodi definīcijas apjoms netiek norādīts, tad definīcijas joma tiek saprasta kā dabas zona definīcijas, t.i. visu x vērtību kopa, kurām funkcijai ir reāla vērtība.

Šī metode ļauj katrai argumenta x skaitliskajai vērtībai precīzi vai ar zināmu precizitāti atrast atbilstošo funkcijas y skaitlisko vērtību.

Īpašs funkcijas analītiskā veida definēšanas gadījums ir funkcijas definēšana ar vienādojumu formā F(x,y)=0 (1) Ja šim vienādojumam ir īpašība, ka ∀ x∈D atbilst tikai y, tāds, ka F(x,y)=0, tad mēs sakām, ka vienādojums (1) uz D netieši definē funkciju. Vēl viens īpašs funkcijas definēšanas gadījums ir parametrisks, ar katru pāris ( x,y)∈f iestatīt, izmantojot funkciju pāri x=ϕ( t),y=ψ( t) kur t∈M.

Ir dota skaitliskās secības definīcija. Tiek aplūkoti bezgalīgi pieaugošu, konverģentu un atšķirīgu secību piemēri. Tiek aplūkota secība, kurā ir visi racionālie skaitļi.

Definīcija .
Skaitliskā secība (x n) sauc par likumu (noteikumu), saskaņā ar kuru katram naturālam skaitlim n = 1, 2, 3, . . . tiek piešķirts kāds skaitlis x n.
Elementu x n sauc n-tais biedrs vai secības elements.

Secība ir apzīmēta kā n-tais loceklis, kas ietverts cirtainajās iekavās: . Arī iespējams šādu apzīmējumu: . Tie skaidri norāda, ka indekss n pieder naturālo skaitļu kopai un ka pašai secībai ir bezgalīgs skaits locekļu. Šeit ir daži secību piemēri:
, , .

Citiem vārdiem sakot, skaitliskā secība ir funkcija, kuras domēns ir naturālo skaitļu kopa. Elementu skaits secībā ir bezgalīgs. Starp elementiem var būt arī dalībnieki, kuriem ir vienādas vērtības. Arī secību var uzskatīt par numurētu skaitļu kopu, kas sastāv no bezgalīga skaita dalībnieku.

Mūs galvenokārt interesēs jautājums - kā uzvedas secības, kad n tiecas uz bezgalību: . Šis materiāls ir parādīts sadaļā Secību ierobežojums - pamata teorēmas un īpašības. Un šeit mēs apskatīsim dažus secību piemērus.

Secību piemēri

Bezgalīgi pieaugošu secību piemēri

Apskatīsim secību. Šīs secības vispārīgais termins ir . Uzrakstīsim dažus pirmos terminus:
.
Var redzēt, ka, pieaugot skaitlim n, elementi bezgalīgi palielinās uz pozitīvām vērtībām. Mēs varam teikt, ka šai secībai ir tendence: plkst.

Tagad apsveriet secību ar kopīgu terminu . Šeit ir daži no tā pirmajiem dalībniekiem:
.
Pieaugot skaitlim n, šīs secības elementi absolūtajā vērtībā palielinās bezgalīgi, bet tiem nav nemainīgas zīmes. Tas ir, šai secībai ir tendence: pie .

Sekvenču piemēri, kas saplūst ar ierobežotu skaitu

Apskatīsim secību. Tās kopīgais biedrs Pirmie noteikumi ir šādi:
.
Var redzēt, ka, pieaugot skaitlim n, šīs secības elementi tuvojas savai robežvērtībai a = 0 : plkst. Tātad katrs nākamais termins ir tuvāks nullei nekā iepriekšējais. Savā ziņā mēs varam pieņemt, ka skaitlim a ir aptuvena vērtība = 0 ar kļūdu. Ir skaidrs, ka, pieaugot n, šai kļūdai ir tendence uz nulli, tas ir, izvēloties n, kļūdu var padarīt patvaļīgi mazu. Turklāt jebkurai noteiktai kļūdai ε > 0 ir iespējams norādīt tādu skaitli N , ka visiem elementiem ar skaitļiem, kas lielāki par N :, skaitļa novirze no robežvērtības a nepārsniegs kļūdu ε : .

Tālāk apsveriet secību. Tās kopīgais biedrs Šeit ir daži no tā pirmajiem dalībniekiem:
.
Šajā secībā pāra numuri ir nulle. Dalībnieki ar nepāra n ir . Tāpēc, pieaugot n, to vērtības tuvojas robežvērtībai a = 0 . Tas izriet arī no tā, ka
.
Tāpat kā iepriekšējā piemērā, mēs varam norādīt patvaļīgi mazu kļūdu ε > 0 , kuram iespējams atrast tādu skaitli N, ka elementi, kuru skaitļi ir lielāki par N, novirzīsies no robežvērtības a = 0 ar vērtību, kas nepārsniedz norādīto kļūdu. Tāpēc šī secība saplūst ar vērtību a = 0 : plkst.

Atšķirīgu secību piemēri

Apsveriet secību ar šādu kopīgu terminu:

Šeit ir tā pirmie dalībnieki:


.
Var redzēt, ka termini ar pāra skaitļiem:
,
saplūst ar vērtību a 1 = 0 . Dalībnieki ar nepāra skaitļiem:
,
saplūst ar vērtību a 2 = 2 . Pati secība, n augot, nekonverģē nevienai vērtībai.

Secība ar terminiem, kas sadalīti intervālā (0;1)

Tagad apsveriet interesantāku secību. Paņemiet segmentu uz skaitļu līnijas. Sadalīsim to uz pusēm. Mēs iegūstam divus segmentus. Ļaujiet būt
.
Katrs no segmentiem atkal tiek sadalīts uz pusēm. Mēs iegūstam četrus segmentus. Ļaujiet būt
.
Atkal sadaliet katru segmentu uz pusēm. Ņemsim


.
utt.

Rezultātā mēs iegūstam secību, kuras elementi ir sadalīti atvērtā intervālā (0; 1) . Neatkarīgi no tā, kādu punktu mēs ņemam no slēgtā intervāla , mēs vienmēr varam atrast secības dalībniekus, kas ir patvaļīgi tuvu šim punktam vai sakrīt ar to.

Tad no sākotnējās secības var izdalīt apakšsecību, kas saplūdīs uz patvaļīgu punktu no intervāla . Tas ir, pieaugot skaitlim n, apakšsecības dalībnieki tuvosies iepriekš izvēlētajam punktam.

Piemēram, punktam a = 0 varat izvēlēties šādu apakšsekvenci:
.
= 0 .

Attiecībā uz punktu a = 1 izvēlieties šādu apakšsecību:
.
Šīs apakšsecības dalībnieki saplūst ar vērtību a = 1 .

Tā kā ir apakšsekvences, kas saplūst ar dažādas nozīmes, tad pati sākotnējā secība nekonverģē ne uz vienu skaitli.

Secība, kas satur visus racionālos skaitļus

Tagad izveidosim secību, kas satur visus racionālos skaitļus. Turklāt katrs racionālais skaitlis tiks iekļauts šādā secībā bezgalīgi daudz reižu.

Racionālo skaitli r var attēlot šādi:
,
kur ir vesels skaitlis; -dabisks.
Katram dabiskajam skaitlim n ir jāpiešķir skaitļu p un q pāris, lai mūsu secībā tiktu iekļauts jebkurš p un q pāris.

Lai to izdarītu, plaknē uzzīmējiet asis p un q. Mēs zīmējam režģa līnijas caur veselām vērtībām p un q . Tad katrs šī režģa mezgls ar atbilst racionāls skaitlis. Visa racionālo skaitļu kopa tiks attēlota ar mezglu kopu. Mums jāatrod veids, kā numurēt visus mezglus, lai nepalaistu garām nevienu mezglu. To ir viegli izdarīt, ja numurējam mezglus atbilstoši kvadrātiem, kuru centri atrodas punktā (0; 0) (skat. attēlu). Šajā gadījumā kvadrātu apakšējās daļas ar q < 1 mums nevajag. Tāpēc tie nav parādīti attēlā.

Tātad pirmā kvadrāta augšējai pusei mums ir:
.
Tālāk mēs numurējam augšējā daļa nākamais laukums:

.
Mēs numurējam nākamā kvadrāta augšējo daļu:

.
utt.

Tādā veidā mēs iegūstam secību, kurā ir visi racionālie skaitļi. Var redzēt, ka jebkurš racionālais skaitlis šajā secībā parādās bezgalīgi daudz reižu. Patiešām, kopā ar mezglu šajā secībā tiks iekļauti arī mezgli , kur ir naturāls skaitlis. Bet visi šie mezgli atbilst vienam un tam pašam racionālam skaitlim.

Pēc tam no mūsu izveidotās secības mēs varam atlasīt apakšsecību (ar bezgalīgu elementu skaitu), kuras visi elementi ir vienādi ar iepriekš noteiktu racionālu skaitli. Tā kā mūsu izveidotajai secībai ir apakšsekvences, kas saplūst dažādi skaitļi, tad secība nekonverģē ne uz vienu skaitli.

Secinājums

Šeit mēs esam devuši precīzu skaitliskās secības definīciju. Mēs pieskārāmies arī jautājumam par tās konverģenci, pamatojoties uz intuitīvām idejām. Precīza konverģences definīcija ir apskatīta lapā Secības robežas noteikšana. Saistītās īpašības un teorēmas ir izklāstītas lapā

Nodarbība #32 Datums ____________

Algebra

Klase: 9 "B"

Tēma: "Ciparu secība un tās iestatīšanas veidi."

Nodarbības mērķis: skolēniem jāzina, kas ir skaitļu secība; veidi, kā iestatīt ciparu secību; prast atšķirt dažādus veidus, kā norādīt skaitliskās secības.

Didaktiskie materiāli: izdales materiāli, atsauces piezīmes.

Tehniskie līdzekļi mācīšanās: prezentācija par tēmu "Ciparu secības".

Nodarbību laikā.

1. Organizatoriskais moments.

2. Nodarbības mērķu izvirzīšana.

Šodien nodarbībā jūs, puiši, uzzināsiet:

Kas ir secība?

Kāda veida secības pastāv?

Kā tiek noteikta skaitļu secība?

Uzziniet, kā uzrakstīt secību, izmantojot formulu un tās daudzos elementus.

Uzziniet, kā atrast secības dalībniekus.

3. Darbs pie pētāmā materiāla.

3.1. Sagatavošanas posms.

Puiši, pārbaudīsim jūsu loģikas prasmes. Es nosaucu dažus vārdus, un jums vajadzētu turpināt:

-Pirmdiena Otrdiena,…..

- janvāris februāris marts…;

- Gļebova L, Ganovičevs E, Drjahlovs V, Ibrajeva G, ... .. (klašu saraksts);

–10,11,12,…99;

No puišu atbildēm secināms, ka iepriekš minētie uzdevumi ir secības, tas ir, kaut kādas sakārtotas skaitļu vai jēdzienu sērijas, kad katrs cipars vai jēdziens atrodas stingri savā vietā un, ja dalībnieki tiek apmainīti, secība. tiks pārkāptas (otrdiena, ceturtdiena, pirmdiena ir tikai nedēļas dienu saraksts). Tātad, nodarbības tēma ir skaitliskā secība.

3.1. Jaunā materiāla skaidrojums. (Demo materiāls)

Analizējot skolēnu atbildes, definējiet skaitļu secību un parādiet, kā iestatīt skaitļu virknes.

(Darbs ar mācību grāmatu 66. - 67. lpp.)

1. definīcija. Funkciju y = f(x), xN sauc par naturāla argumenta vai skaitliskās secības funkciju un apzīmē ar: y = f(n) vai y 1 , y 2 , y 3 , ..., y n , ... vai (y n).

Šajā gadījumā neatkarīgais mainīgais ir naturāls skaitlis.

Visbiežāk secības tiks apzīmētas šādi: ( a n), (b n), (ar n) utt.

2. definīcija. Secības locekļi.

Elementus, kas veido secību, sauc par secības dalībniekiem.

Jauni jēdzieni: iepriekšējais un nākamais secības dalībnieks,

a 1 …a P. (secības pirmais un n-tais dalībnieks)

Skaitliskās secības iestatīšanas metodes.

analītiskā veidā.

Jebkurš n-tais elements secības var noteikt, izmantojot formulu. (demonstrācija)

Parsējiet piemērus

1. piemērs Pāra skaitļu secība: y = 2n.

2. piemērs Naturālo skaitļu kvadrāta secība: y = n 2 ;

1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , ... .

3. piemērs Stacionāra secība: y = C;

C, C, C, ..., C, ... .

Īpašs gadījums: y = 5; 5, 5, 5, ..., 5, ... .

4. piemērs. Secība y = 2 n ;

2, 2 2, 2 3, 2 4, ..., 2 n, ....

verbāls veids.

Secības iestatīšanas noteikumi ir aprakstīti vārdos, nenorādot formulas vai ja starp secības elementiem nav paraugu.

Piemērs 1. Skaitļu aproksimācijasπ.

2. piemērs Pirmskaitļu secība: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, .... .

3. piemērs Ciparu virkne, kas dalās ar 5.

2. piemērs Nejaušs skaitļu kopums: 1, 4, 12, 25, 26, 33, 39, ... .

3. piemērs Pāra skaitļu 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ... secība.

rekursīvs veids.

Atkārtota metode ietver kārtulas norādīšanu, kas ļauj aprēķināt secības n-to locekli, ja ir norādīti tās pirmie locekļi (vismaz viens pirmais loceklis), un formulu, kas ļauj aprēķināt tās nākamo dalībnieku no iepriekšējiem dalībniekiem. Jēdziens atkārtojas atvasināts no latīņu vārda atkārtojas , kas nozīmē Atgriezies . Aprēķinot secības dalībniekus saskaņā ar šo noteikumu, mēs visu laiku atgriežamies atpakaļ, aprēķinot nākamo dalībnieku, pamatojoties uz iepriekšējo. Šīs metodes iezīme ir tāda, ka, lai noteiktu, piemēram, secības 100. dalībnieku, vispirms ir jānosaka visi iepriekšējie 99 dalībnieki.

Piemērs 1 . a 1 \u003d a, a n + 1 \u003d a n +0,7. Ļaujiet a 1 =5, tad secība izskatīsies šādi: 5; 5,7; 6,4; 7,1; 7,8; 8,5; ... .

2. piemērs b 1 \u003d b, b n +1 \u003d ½ b n. Ļaujiet b 1 =23, tad secība izskatīsies šādi: 23; 11,5; 5,75; 2,875; ... .

3. piemērs Fibonači secība. Šo secību ir viegli definēt rekursīvi: y 1 =1, y 2 =1,y n -2 +y n -1, ja n = 3, 4, 5, 6, ... . Tas izskatīsies šādi:

1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... . (Pšīs secības termins ir vienāds ar divu iepriekšējo terminu summu)

Ir grūti definēt Fibonači secību analītiski, bet tas ir iespējams. Formula, pēc kuras tiek noteikts jebkurš šīs secības elements, izskatās šādi:

Papildus informācija:

Itāļu tirgotājs Leonardo no Pizas (1180-1240), labāk pazīstams ar segvārdu Fibonači, bija nozīmīgs viduslaiku matemātiķis. Ar šīs secības palīdzību Fibonači noteica skaitli φ (phi); φ=1,618033989.

Grafiskais veids

Secības dalībniekus var attēlot kā punktus koordinātu plaknē. Lai to izdarītu, skaitlis tiek attēlots pa horizontālo asi, un atbilstošā secības dalībnieka vērtība tiek attēlota gar vertikālo asi.

Lai konsolidētu piešķiršanas metodes, es lūdzu sniegt vairākus piemērus secībām, kas ir norādītas vai nu verbāli, vai analītiski, vai atkārtoti.

Skaitļu secību veidi

(Tālāk uzskaitītajās secībās tiek izstrādāti secību veidi).

Darbs ar mācību grāmatu 69.-70.lpp

1) Palielinošs - ja katrs termins ir mazāks par nākamo, t.i. a n a n +1.

2) Samazinošs - ja katrs termins ir lielāks par nākamo, t.i. a n a n +1 .

3) Bezgalīgs.

4) Galīgais.

5) Pārmaiņus.

6) Pastāvīga (stacionāra).

Palielinošu vai samazinošu secību sauc par monotonu.

3; 6; 9; 12; 15; 18;…

1. –1; 2; –3; 4; –5; …

   1, 4, 9, 16 ,…

   –1; 2; –3; 4; –5; 6; …

   3; 3; 3; 3; …; 3; … .

Darbs ar mācību grāmatu: dari mutiski Nr.150, 159 71., 72.lpp.

3.2. Jauna materiāla konsolidācija. Problēmu risināšana.

Zināšanu nostiprināšanai piemēri tiek atlasīti atkarībā no skolēnu sagatavotības līmeņa.

1. piemērs Uzrakstiet iespējamo formulu secības n-tajam elementam (y n):

a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...;

b) 4, 8, 12, 16, 20, ...;

Lēmums.

a) Tā ir nepāra skaitļu virkne. Analītiski šo secību var iegūt pēc formulas y = 2n+1.

b) Šī ir skaitliska secība, kurā nākamais elements ir par 4 lielāks par iepriekšējo. Analītiski šo secību var norādīt ar formulu y = 4n.

2. piemērs. Izrakstiet pirmos desmit atkārtoti norādītās secības elementus: y 1 =1, y 2 =2, y n = y n -2 +y n -1, ja n = 3, 4, 5, 6, ... .

Lēmums.

Katrs nākamais šīs secības elements ir vienāds ar divu iepriekšējo elementu summu.

3. piemērs Secība (y n) tiek dota atkārtoti: y 1 =1, y 2 =2,y n =5y n -1 - 6y n -2 . Norādiet šo secību analītiski.

Lēmums.

Atrodiet dažus pirmos secības elementus.

y 3 = 5y 2 -6y 1 = 10-6 = 4;

y 4 \u003d 5y 3 -6y 2 \u003d 20-12 \u003d 8;

y 5 \u003d 5y 4 - 6y 3 \u003d 40-24 \u003d 16;

y 6 \u003d 5y 5 -6y 4 = 80-48 \u003d 32;

g 7 \u003d 5g 6 -6 g 5 = 160-96 \u003d 64.

Mēs iegūstam secību: 1; 2; 4; astoņi; sešpadsmit; 32; 64; ... ko var attēlot kā

2 0 ; 2 1 ; 2 2 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 6 ... .

n = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7... .

Analizējot secību, iegūstam šādu likumsakarību: y = 2 n -1 .

4. piemērs Dota secība y n =24n+36-5n 2 .

a) Cik pozitīvu vienumu tajā ir?

b) Atrodi lielāko virknes elementu.

c) Vai šajā secībā ir mazākais elements?

Šī skaitliskā secība ir funkcija no formas y = -5x 2 +24x+36, kur x

a) Atrodiet funkcijas vērtības, kurām -5x 2 +24x+360. Atrisināsim vienādojumu -5x 2 +24x+36=0.

D \u003d b 2 -4ac \u003d 1296, X 1 \u003d 6, X 2 = -1,2.

Parabolas y \u003d -5x 2 +24x + 36 simetrijas ass vienādojumu var atrast pēc formulas x \u003d, mēs iegūstam: x \u003d 2.4.

Nevienādība -5x 2 +24x+360 attiecas uz -1.2 Šis intervāls satur piecus naturālus skaitļus (1, 2, 3, 4, 5). Tātad dotajā secībā pieci pozitīvie elementi sekvences.

b) Secības lielāko elementu nosaka ar atlases metodi un tas ir vienāds ar y 2 =64.

c) Nav mazākā elementa.

3.4.Pastāvīgā darba uzdevumi