Tiek pētītas arī kvadrātvienādojuma problēmas skolas mācību programma un universitātēs. Tos saprot kā vienādojumus formā a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, kur x- mainīgais, a,b,c – konstantes; a<>0 . Problēma ir atrast vienādojuma saknes.

Kvadrātvienādojuma ģeometriskā nozīme

Funkcijas grafiks, kas attēlots ar kvadrātvienādojumu, ir parabola. Kvadrātvienādojuma atrisinājumi (saknes) ir parabolas krustošanās punkti ar x asi. No tā izriet, ka ir trīs iespējamie gadījumi:
1) parabolai nav krustošanās punktu ar x asi. Tas nozīmē, ka tas atrodas augšējā plaknē ar zariem uz augšu vai apakšējā ar zariem uz leju. Šādos gadījumos kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu (tam ir divas sarežģītas saknes).

2) parabolai ir viens krustpunkts ar Ox asi. Šādu punktu sauc par parabolas virsotni, un kvadrātvienādojums tajā iegūst savu minimālo vai maksimālo vērtību. Šajā gadījumā kvadrātvienādojumam ir viena reāla sakne (vai divas identiskas saknes).

3) Pēdējais gadījums praksē ir interesantāks - ir divi parabolas krustošanās punkti ar abscisu asi. Tas nozīmē, ka vienādojumam ir divas reālās saknes.

Balstoties uz koeficientu analīzi pie mainīgo pakāpēm, var izdarīt interesantus secinājumus par parabolas izvietojumu.

1) Ja koeficients a ir lielāks par nulli, tad parabola ir vērsta uz augšu, ja negatīva, tad parabolas zari ir vērsti uz leju.

2) Ja koeficients b ir lielāks par nulli, tad parabolas virsotne atrodas kreisajā pusplaknē, ja tā ieņem negatīvu vērtību, tad labajā.

Kvadrātvienādojuma risināšanas formulas atvasināšana

Pārnesim konstanti no kvadrātvienādojuma

vienādības zīmei mēs iegūstam izteiksmi

Reiziniet abas puses ar 4a

Lai iegūtu pilnu kvadrātu kreisajā pusē, pievienojiet b ^ 2 abās daļās un veiciet transformāciju

No šejienes mēs atrodam

Diskriminanta formula un kvadrātvienādojuma saknes

Diskriminants ir radikālas izteiksmes vērtība. Ja tā ir pozitīva, tad vienādojumam ir divas reālās saknes, kas aprēķinātas pēc formulas Ja diskriminants ir nulle, kvadrātvienādojumam ir viens atrisinājums (divas sakrītošas ​​saknes), ko ir viegli iegūt no iepriekš minētās formulas, ja D = 0. Ja diskriminants ir negatīvs, reālu sakņu nav. Tomēr, lai izpētītu kvadrātvienādojuma risinājumus kompleksajā plaknē, un to vērtību aprēķina pēc formulas

Vietas teorēma

Aplūkosim divas kvadrātvienādojuma saknes un uz to pamata izveidojiet kvadrātvienādojumu.Pati Vieta teorēma viegli izriet no apzīmējuma: ja mums ir formas kvadrātvienādojums tad tā sakņu summa ir vienāda ar koeficientu p, kas ņemts ar pretēju zīmi, un vienādojuma sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu q. Iepriekš minētā formula izskatīsies šādi. Ja konstante a klasiskajā vienādojumā nav nulle, tad viss vienādojums ar to jāsadala un pēc tam jāpiemēro Vieta teorēma.

Kvadrātvienādojuma grafiks uz faktoriem

Ļaujiet izvirzīt uzdevumu: sadalīt kvadrātvienādojumu faktoros. Lai to izpildītu, vispirms atrisinām vienādojumu (atrodam saknes). Tālāk mēs aizvietojam atrastās saknes kvadrātvienādojuma paplašināšanas formulā.Šī problēma tiks atrisināta.

Kvadrātvienādojuma uzdevumi

1. uzdevums. Atrodiet kvadrātvienādojuma saknes

x^2-26x+120=0 .

Risinājums: Pierakstiet koeficientus un aizstājiet diskriminanta formulā

sakne no dotā vērtība vienāds ar 14, to ir viegli atrast ar kalkulatoru vai atcerēties, bieži lietojot, tomēr ērtības labad raksta beigās sniegšu sarakstu ar skaitļu kvadrātiem, kurus bieži var atrast šādos uzdevumos .
Atrastā vērtība tiek aizstāta ar saknes formulu

un saņemam

2. uzdevums. atrisināt vienādojumu

2x2+x-3=0.

Risinājums: mums ir pilnīgs kvadrātvienādojums, izrakstām koeficientus un atrodam diskriminantu


Autors zināmās formulas atrast kvadrātvienādojuma saknes

3. uzdevums. atrisināt vienādojumu

9x2 -12x+4=0.

Risinājums: mums ir pilnīgs kvadrātvienādojums. Nosakiet diskriminantu

Mēs saņēmām gadījumu, kad saknes sakrīt. Mēs atrodam sakņu vērtības pēc formulas

4. uzdevums. atrisināt vienādojumu

x^2+x-6=0 .

Risinājums: Gadījumos, kad x ir mazi koeficienti, vēlams pielietot Vietas teorēmu. Pēc tā nosacījuma mēs iegūstam divus vienādojumus

No otrā nosacījuma mēs iegūstam, ka reizinājumam jābūt vienādam ar -6. Tas nozīmē, ka viena no saknēm ir negatīva. Mums ir šāds iespējamais risinājumu pāris (-3;2), (3;-2) . Ņemot vērā pirmo nosacījumu, mēs noraidām otro risinājumu pāri.
Vienādojuma saknes ir

5. uzdevums. Atrodi taisnstūra malu garumus, ja tā perimetrs ir 18 cm un laukums ir 77 cm 2.

Risinājums: puse no taisnstūra perimetra ir vienāda ar blakus esošo malu summu. Apzīmēsim x - lielā puse, tad 18-x ir tā mazākā puse. Taisnstūra laukums ir vienāds ar šo garumu reizinājumu:
x(18x)=77;
vai
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Atrodiet vienādojuma diskriminantu

Mēs aprēķinām vienādojuma saknes

Ja x=11, tad 18x=7, arī otrādi (ja x=7, tad 21-x=9).

6. uzdevums. Faktorizējiet kvadrātvienādojumu 10x 2 -11x+3=0.

Risinājums: Aprēķiniet vienādojuma saknes, šim nolūkam mēs atrodam diskriminantu

Atrasto vērtību aizstājam sakņu formulā un aprēķinām

Mēs izmantojam formulu kvadrātvienādojuma paplašināšanai sakņu izteiksmē

Paplašinot iekavas, mēs iegūstam identitāti.

Kvadrātvienādojums ar parametru

Piemērs 1. Kurām parametra vērtībām bet, vai vienādojumam (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 ir viena sakne?

Risinājums: Tiešā veidā aizstājot vērtību a=3, mēs redzam, ka tai nav risinājuma. Tālāk mēs izmantosim faktu, ka ar nulles diskriminantu vienādojumam ir viena reizinājuma 2 sakne. Izrakstīsim diskriminantu

vienkāršot to un pielīdzināt nullei

Esam ieguvuši kvadrātvienādojumu attiecībā uz parametru a, kura atrisinājumu ir viegli iegūt, izmantojot Vietas teorēmu. Sakņu summa ir 7, un to reizinājums ir 12. Ar vienkāršu uzskaitījumu mēs nosakām, ka skaitļi 3.4 būs vienādojuma saknes. Tā kā jau aprēķinu sākumā esam noraidījuši risinājumu a=3, tad vienīgais pareizais būs - a=4. Tādējādi, ja a = 4, vienādojumam ir viena sakne.

Piemērs 2. Kurām parametra vērtībām bet, vienādojums a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ir vairāk nekā viena sakne?

Risinājums: Vispirms apsveriet vienskaitļa punktus, tie būs vērtības a=0 un a=-3. Ja a=0, vienādojums tiks vienkāršots līdz formai 6x-9=0; x=3/2 un būs viena sakne. Ja a= -3 iegūstam identitāti 0=0 .
Aprēķiniet diskriminantu

un atrodiet a vērtības, kurām tas ir pozitīvs

No pirmā nosacījuma iegūstam a>3. Otrajā gadījumā mēs atrodam diskriminantu un vienādojuma saknes


Definēsim intervālus, kuros funkcija iegūst pozitīvas vērtības. Aizvietojot punktu a=0, iegūstam 3>0 . Tātad ārpus intervāla (-3; 1/3) funkcija ir negatīva. Neaizmirstiet punktu a=0 kas būtu jāizslēdz, jo sākotnējam vienādojumam tajā ir viena sakne.
Rezultātā mēs iegūstam divus intervālus, kas apmierina problēmas nosacījumu

Praksē būs daudz līdzīgu uzdevumu, mēģiniet pats tikt galā ar uzdevumiem un neaizmirstiet ņemt vērā nosacījumus, kas viens otru izslēdz. Labi izpētiet kvadrātvienādojumu risināšanas formulas, tās diezgan bieži ir vajadzīgas aprēķinos dažādās problēmās un zinātnēs.

IN mūsdienu sabiedrība spēja veikt darbības ar vienādojumiem, kas satur kvadrātveida mainīgo, var būt noderīga daudzās darbības jomās un tiek plaši izmantota praksē zinātnes un tehnisko attīstību. Par to var liecināt jūras un upju kuģu, lidmašīnu un raķešu konstrukcija. Ar šādu aprēķinu palīdzību tiek noteiktas dažādu ķermeņu, arī kosmosa objektu, kustības trajektorijas. Piemēri ar kvadrātvienādojumu atrisināšanu tiek izmantoti ne tikai ekonomikas prognozēšanā, ēku projektēšanā un būvniecībā, bet arī visparastākajos ikdienas apstākļos. Tie var būt nepieciešami pārgājieni, sportā, veikalos iepērkoties un citās ļoti izplatītās situācijās.

Sadalīsim izteiksmi komponentfaktoros

Vienādojuma pakāpi nosaka mainīgā lieluma pakāpes maksimālā vērtība, ko satur dotā izteiksme. Ja tas ir vienāds ar 2, tad šādu vienādojumu sauc par kvadrātvienādojumu.

Ja runājam formulu valodā, tad šos izteicienus, lai arī kā tie izskatītos, vienmēr var novest līdz formai, kad izteiksmes kreisā puse sastāv no trim terminiem. Starp tiem: ax 2 (tas ir, mainīgais kvadrātā ar tā koeficientu), bx (nezināmais bez kvadrāta ar tā koeficientu) un c (brīvā sastāvdaļa, tas ir, parasts skaitlis). Tas viss labajā pusē ir vienāds ar 0. Gadījumā, ja šādam polinomam nav neviena no tā sastāvdaļām, izņemot asis 2, to sauc par nepilnu kvadrātvienādojumu. Vispirms jāapsver piemēri ar tādu uzdevumu risinājumu, kuros nav grūti atrast mainīgo lielumu vērtību.

Ja izteiksmē izskatās, ka tai ir divi vārdi izteiksmes labajā pusē, precīzāk ax 2 un bx, visvieglāk ir atrast x, ievietojot mainīgo iekavās. Tagad mūsu vienādojums izskatīsies šādi: x(ax+b). Turklāt kļūst acīmredzams, ka vai nu x=0, vai arī problēma tiek reducēta uz mainīgā atrašanu no šādas izteiksmes: ax+b=0. To nosaka viena no reizināšanas īpašībām. Noteikums saka, ka divu faktoru reizinājums ir 0 tikai tad, ja viens no tiem nulle.

Piemērs

x=0 vai 8x - 3 = 0

Rezultātā mēs iegūstam divas vienādojuma saknes: 0 un 0,375.

Šāda veida vienādojumi var aprakstīt ķermeņu kustību gravitācijas ietekmē, kas sāka kustēties no noteikta punkta, kas tiek uzskatīts par izcelsmi. Šeit matemātiskais apzīmējums iegūst šādu formu: y = v 0 t + gt 2 /2. Aizvietojot nepieciešamās vērtības, pielīdzinot labo pusi ar 0 un atrodot iespējamos nezināmos, jūs varat uzzināt laiku, kas pagājis no brīža, kad ķermenis paceļas, līdz brīdim, kad tas nokrīt, kā arī daudzus citus lielumus. Bet par to mēs runāsim vēlāk.

Izteiksmes faktorēšana

Iepriekš aprakstītais noteikums ļauj atrisināt šīs problēmas un daudz ko citu sarežģīti gadījumi. Apsveriet piemērus ar šāda veida kvadrātvienādojumu atrisināšanu.

X2 — 33x + 200 = 0

Šis kvadrātveida trinomāls ir pabeigta. Pirmkārt, mēs pārveidojam izteiksmi un sadalām to faktoros. Ir divi no tiem: (x-8) un (x-25) = 0. Rezultātā mums ir divas saknes 8 un 25.

Piemēri ar kvadrātvienādojumu atrisināšanu 9. klasē ļauj šai metodei atrast mainīgo ne tikai otrās, bet pat trešās un ceturtās kārtas izteiksmēs.

Piemēram: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Ieskaitot labo pusi faktoros ar mainīgo, tie ir trīs, tas ir, (x + 1), (x-3) un (x + 3).

Rezultātā kļūst skaidrs, ka dots vienādojums ir trīs saknes: -3; - viens; 3.

Kvadrātsaknes izvilkšana

Vēl viens nepilnīga otrās kārtas vienādojuma gadījums ir izteiksme, kas uzrakstīta burtu valodā tā, ka labā puse ir uzbūvēta no komponentēm ax 2 un c. Šeit, lai iegūtu mainīgā lieluma vērtību, brīvais termiņš tiek pārsūtīts uz labā puse, un pēc tam no abām vienlīdzības daļām, Kvadrātsakne. Jāņem vērā, ka šajā gadījumā parasti ir divas vienādojuma saknes. Vienīgie izņēmumi ir vienādības, kas vispār nesatur terminu c, kur mainīgais ir vienāds ar nulli, kā arī izteiksmju varianti, kad labā puse izrādās negatīva. Pēdējā gadījumā risinājumu vispār nav, jo iepriekš minētās darbības nevar veikt ar saknēm. Jāapsver šāda veida kvadrātvienādojumu risinājumu piemēri.

Šajā gadījumā vienādojuma saknes būs skaitļi -4 un 4.

Zemes platības aprēķins

Nepieciešamība pēc šāda veida aprēķiniem parādījās senos laikos, jo matemātikas attīstība lielā mērā ir tajos tāli laiki bija saistīts ar nepieciešamību ar vislielāko precizitāti noteikt zemes gabalu platības un perimetrus.

Jāapsver arī piemēri ar kvadrātvienādojumu atrisināšanu, kas sastādīti, pamatojoties uz šāda veida problēmām.

Tātad, pieņemsim, ka ir taisnstūra laukums zeme, kuras garums ir par 16 metriem vairāk nekā platums. Ja ir zināms, ka tās platība ir 612 m 2, jums vajadzētu uzzināt vietnes garumu, platumu un perimetru.

Pievēršoties biznesam, vispirms mēs izveidosim nepieciešamo vienādojumu. Apzīmēsim posma platumu kā x, tad tā garums būs (x + 16). No rakstītā izriet, ka laukumu nosaka izteiksme x (x + 16), kas saskaņā ar mūsu uzdevuma nosacījumu ir 612. Tas nozīmē, ka x (x + 16) \u003d 612.

Pilnīgu kvadrātvienādojumu risinājumu, un šī izteiksme ir tieši tāda, nevar izdarīt tādā pašā veidā. Kāpēc? Lai gan tā kreisajā pusē joprojām ir divi faktori, to reizinājums nemaz nav vienāds ar 0, tāpēc šeit tiek izmantotas citas metodes.

Diskriminējošais

Vispirms veicam nepieciešamās pārvērtības, tad izskatsšī izteiksme izskatīsies šādi: x 2 + 16x - 612 = 0. Tas nozīmē, ka esam saņēmuši izteiksmi iepriekš norādītajam standartam atbilstošā formā, kur a=1, b=16, c=-612.

Tas var būt piemērs kvadrātvienādojumu atrisināšanai, izmantojot diskriminantu. Šeit nepieciešamie aprēķini ražots saskaņā ar shēmu: D = b 2 - 4ac. Šī palīgvērtība ne tikai ļauj atrast vajadzīgās vērtības otrās kārtas vienādojumā, bet arī nosaka skaitli iespējas. Gadījumā, ja D>0, tie ir divi; D=0 ir viena sakne. Gadījumā, ja D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Par saknēm un to formulu

Mūsu gadījumā diskriminants ir: 256 - 4(-612) = 2704. Tas norāda, ka mūsu problēmai ir atbilde. Ja zināt, kvadrātvienādojumu risināšana ir jāturpina, izmantojot tālāk norādīto formulu. Tas ļauj aprēķināt saknes.

Tas nozīmē, ka uzrādītajā gadījumā: x 1 =18, x 2 =-34. Otrais variants šajā dilemmā nevar būt risinājums, jo zemes gabala lielums nav mērāms negatīvās vērtībās, kas nozīmē, ka x (tas ir, zemes gabala platums) ir 18 m. No šejienes mēs aprēķinām garumu: 18+16=34, un perimetrs 2(34+18) = 104 (m 2).

Piemēri un uzdevumi

Turpinām kvadrātvienādojumu izpēti. Tālāk tiks sniegti vairāku no tiem piemēri un detalizēts risinājums.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Pārliksim visu uz vienlīdzības kreiso pusi, veiksim transformāciju, tas ir, iegūstam vienādojuma formu, ko parasti sauc par standarta, un pielīdzināsim nullei.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Pievienojot līdzīgus, mēs nosakām diskriminantu: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Tātad mūsu vienādojumam būs divas saknes. Mēs tos aprēķinām pēc iepriekš minētās formulas, kas nozīmē, ka pirmais no tiem būs vienāds ar 4/3, bet otrais - 1.

2) Tagad mēs atklāsim cita veida mīklas.

Noskaidrosim, vai šeit vispār ir saknes x 2 - 4x + 5 = 1? Lai iegūtu izsmeļošu atbildi, mēs ievietojam polinomu atbilstošā pazīstamajā formā un aprēķinām diskriminantu. Šajā piemērā kvadrātvienādojums nav jāatrisina, jo problēmas būtība nepavisam nav tajā. Šajā gadījumā D \u003d 16 - 20 \u003d -4, kas nozīmē, ka tiešām nav sakņu.

Vietas teorēma

Kvadrātvienādojumus ir ērti atrisināt, izmantojot iepriekš minētās formulas un diskriminantu, kad kvadrātsakne tiek iegūta no pēdējās vērtības. Bet tas ne vienmēr notiek. Tomēr šajā gadījumā ir daudz veidu, kā iegūt mainīgo lielumu vērtības. Piemērs: kvadrātvienādojumu atrisināšana, izmantojot Vietas teorēmu. Tas ir nosaukts vīrieša vārdā, kurš dzīvoja 16. gadsimta Francijā un kuram bija spoža karjera, pateicoties viņa matemātiskajam talantam un sakariem galmā. Viņa portretu var redzēt rakstā.

Modelis, ko slavenais francūzis pamanīja, bija šāds. Viņš pierādīja, ka vienādojuma sakņu summa ir vienāda ar -p=b/a, un to reizinājums atbilst q=c/a.

Tagad apskatīsim konkrētus uzdevumus.

3x2 + 21x - 54 = 0

Vienkāršības labad pārveidosim izteiksmi:

x 2 + 7x - 18 = 0

Izmantojot Vieta teorēmu, tas mums iegūs sekojošo: sakņu summa ir -7, un to reizinājums ir -18. No šejienes mēs iegūstam, ka vienādojuma saknes ir skaitļi -9 un 2. Pēc pārbaudes mēs pārliecināsimies, vai šīs mainīgo vērtības patiešām iekļaujas izteiksmē.

Parabolas grafiks un vienādojums

Kvadrātfunkcijas jēdzieni un kvadrātvienādojumi cieši saistīti. Piemēri tam jau ir sniegti iepriekš. Tagad apskatīsim dažas matemātiskās mīklas nedaudz sīkāk. Jebkuru aprakstītā tipa vienādojumu var attēlot vizuāli. Šādu atkarību, kas novilkta grafa formā, sauc par parabolu. Tās dažādie veidi ir parādīti zemāk esošajā attēlā.

Jebkurai parabolai ir virsotne, tas ir, punkts, no kura iziet tās zari. Ja a>0, tie sasniedz augstumu līdz bezgalībai, un, kad a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Funkciju vizuālie attēlojumi palīdz atrisināt jebkurus vienādojumus, tostarp kvadrātiskos. Šo metodi sauc par grafiku. Un mainīgā x vērtība ir abscisu koordinātas punktos, kur grafika līnija krustojas ar 0x. Virsotnes koordinātas var atrast pēc tikko dotās formulas x 0 = -b / 2a. Un, aizvietojot iegūto vērtību sākotnējā funkcijas vienādojumā, jūs varat uzzināt y 0, tas ir, parabolas virsotnes otro koordinātu, kas pieder y asij.

Parabolas zaru krustpunkts ar abscisu asi

Ir daudz piemēru ar kvadrātvienādojumu atrisināšanu, taču ir arī vispārīgi modeļi. Apsvērsim tos. Ir skaidrs, ka grafika krustošanās ar 0x asi pie a>0 ir iespējama tikai tad, ja y 0 ir negatīvas vērtības. Un par a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Citādi D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

No parabolas grafika var noteikt arī saknes. Arī otrādi ir taisnība. Tas ir, ja nav viegli iegūt kvadrātiskās funkcijas vizuālu attēlojumu, izteiksmes labo pusi varat pielīdzināt 0 un atrisināt iegūto vienādojumu. Un, zinot krustošanās punktus ar 0x asi, ir vieglāk uzzīmēt.

No vēstures

Ar vienādojumu palīdzību, kas satur kvadrātveida mainīgo, senos laikos ne tikai veica matemātiskus aprēķinus un noteica ģeometrisko formu laukumu. Tādi aprēķini seniem cilvēkiem bija nepieciešami grandioziem atklājumiem fizikas un astronomijas jomā, kā arī astroloģisko prognožu veidošanai.

Kā norāda mūsdienu zinātnieki, Babilonas iedzīvotāji bija vieni no pirmajiem, kas atrisināja kvadrātvienādojumus. Tas notika četrus gadsimtus pirms mūsu ēras parādīšanās. Protams, viņu aprēķini būtiski atšķīrās no pašlaik pieņemtajiem un izrādījās daudz primitīvāki. Piemēram, Mezopotāmijas matemātiķiem nebija ne jausmas par negatīvu skaitļu esamību. Viņiem nebija pazīstami arī citi to smalkumi, kas zināmi jebkuram mūsu laika studentam.

Iespējams, pat agrāk nekā Babilonas zinātnieki, Indijas gudrais Bodhajama ķērās pie kvadrātvienādojumu atrisināšanas. Tas notika apmēram astoņus gadsimtus pirms Kristus laikmeta parādīšanās. Tiesa, otrās kārtas vienādojumi, viņa sniegtās risināšanas metodes, bija visvienkāršākie. Bez viņa senatnē par līdzīgiem jautājumiem interesēja arī ķīniešu matemātiķi. Eiropā kvadrātvienādojumus sāka risināt tikai 13. gadsimta sākumā, bet vēlāk tos savos darbos izmantoja tādi izcili zinātnieki kā Ņūtons, Dekarts un daudzi citi.

Kvadrātvienādojumi tiek pētīti 8. klasē, tāpēc šeit nav nekā sarežģīta. Būtiska ir spēja tos atrisināt.

Kvadrātvienādojums ir vienādojums ar formu ax 2 + bx + c = 0, kur koeficienti a , b un c ir patvaļīgi skaitļi un a ≠ 0.

Pirms konkrētu risinājumu metožu izpētes mēs atzīmējam, ka visus kvadrātvienādojumus var iedalīt trīs klasēs:

1. nav sakņu;
2. Viņiem ir tieši viena sakne;
3. Viņiem ir divas dažādas saknes.

Šī ir būtiska atšķirība starp kvadrātvienādojumiem un lineārajiem vienādojumiem, kur sakne vienmēr pastāv un ir unikāla. Kā noteikt, cik sakņu ir vienādojumam? Tam ir brīnišķīga lieta - diskriminējoša.

Diskriminējošais

Dots kvadrātvienādojums ax 2 + bx + c = 0. Tad diskriminants ir vienkārši skaitlis D = b 2 − 4ac .

Šī formula ir jāzina no galvas. Tagad nav svarīgi, no kurienes tas nāk. Vēl viena lieta ir svarīga: pēc diskriminanta zīmes jūs varat noteikt, cik sakņu ir kvadrātvienādojumam. Proti:

1. Ja D< 0, корней нет;
2. Ja D = 0, ir tieši viena sakne;
3. Ja D > 0, būs divas saknes.

Lūdzu, ņemiet vērā: diskriminants norāda sakņu skaitu, nevis to pazīmes, kā nez kāpēc daudzi domā. Apskatiet piemērus un paši visu sapratīsiet:

Uzdevums. Cik sakņu ir kvadrātvienādojumiem:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Mēs rakstām pirmā vienādojuma koeficientus un atrodam diskriminantu:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Tātad diskriminants ir pozitīvs, tāpēc vienādojumam ir divas dažādas saknes. Mēs analizējam otro vienādojumu tādā pašā veidā:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminants ir negatīvs, nav sakņu. Pēdējais vienādojums paliek:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminants ir vienāds ar nulli - sakne būs viens.

Ņemiet vērā, ka katram vienādojumam ir izrakstīti koeficienti. Jā, tas ir garš, jā, tas ir nogurdinoši, taču jūs nesajauksit izredzes un nepieļausiet stulbas kļūdas. Izvēlieties pats: ātrums vai kvalitāte.

Starp citu, ja “piepildīsi roku”, pēc kāda laika vairs nebūs jāizraksta visi koeficienti. Tādas operācijas veiksi galvā. Lielākā daļa cilvēku to sāk darīt kaut kur pēc 50-70 atrisinātiem vienādojumiem - kopumā ne tik daudz.

Kvadrātvienādojuma saknes

Tagad pāriesim pie risinājuma. Ja diskriminants D > 0, saknes var atrast, izmantojot formulas:

Kvadrātvienādojuma sakņu pamatformula

Ja D = 0, varat izmantot jebkuru no šīm formulām - jūs saņemat to pašu skaitli, kas būs atbilde. Visbeidzot, ja D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Pirmais vienādojums:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ vienādojumam ir divas saknes. Atradīsim tos:

Otrais vienādojums:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ vienādojumam atkal ir divas saknes. Atradīsim viņus

\[\begin(līdzināt) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(līdzināt)\]

Visbeidzot, trešais vienādojums:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ vienādojumam ir viena sakne. Var izmantot jebkuru formulu. Piemēram, pirmais:

Kā redzat no piemēriem, viss ir ļoti vienkārši. Ja zināsi formulas un pratīsi skaitīt, tad problēmu nebūs. Visbiežāk kļūdas rodas, kad formulā tiek aizstāti negatīvi koeficienti. Šeit atkal palīdzēs iepriekš aprakstītā tehnika: skatiet formulu burtiski, krāsojiet katru soli - un ļoti drīz atbrīvojieties no kļūdām.

Nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Gadās, ka kvadrātvienādojums nedaudz atšķiras no definīcijā norādītā. Piemēram:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2–16 = 0.

Ir viegli redzēt, ka šajos vienādojumos trūkst viena no terminiem. Šādus kvadrātvienādojumus ir pat vieglāk atrisināt nekā standarta vienādojumus: tiem pat nav jāaprēķina diskriminants. Tātad, ieviesīsim jaunu koncepciju:

Vienādojumu ax 2 + bx + c = 0 sauc par nepilnīgu kvadrātvienādojumu, ja b = 0 vai c = 0, t.i. mainīgā x jeb brīvā elementa koeficients ir vienāds ar nulli.

Protams, ir iespējams ļoti sarežģīts gadījums, kad abi šie koeficienti ir vienādi ar nulli: b \u003d c \u003d 0. Šajā gadījumā vienādojuma forma ir ax 2 \u003d 0. Acīmredzot šādam vienādojumam ir viens sakne: x \u003d 0.

Apskatīsim citus gadījumus. Ļaujiet b \u003d 0, tad mēs iegūstam nepilnīgu kvadrātvienādojumu formā ax 2 + c \u003d 0. Nedaudz pārveidosim to:

Tā kā aritmētiskā kvadrātsakne pastāv tikai no nenegatīva skaitļa, pēdējai vienādībai ir jēga tikai tad, ja (-c / a ) ≥ 0. Secinājums:

1. Ja nepilnīgs kvadrātvienādojums formā ax 2 + c = 0 apmierina nevienādību (−c / a ) ≥ 0, būs divas saknes. Formula ir dota iepriekš;
2. Ja (-c / a )< 0, корней нет.

Kā redzat, diskriminants nebija vajadzīgs - nepilnīgos kvadrātvienādojumos sarežģītu aprēķinu vispār nav. Patiesībā pat nav jāatceras nevienādība (−c / a ) ≥ 0. Pietiek izteikt x 2 vērtību un redzēt, kas atrodas vienādības zīmes otrā pusē. Ja ir pozitīvs skaitlis, būs divas saknes. Ja negatīvs, tad vispār nebūs sakņu.

Tagad aplūkosim vienādojumus formā ax 2 + bx = 0, kuros brīvais elements ir vienāds ar nulli. Šeit viss ir vienkārši: vienmēr būs divas saknes. Pietiek ar polinomu faktorizēt:

Kopējā faktora izņemšana no kronšteina

Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Lūk, no kurienes nāk saknes. Noslēgumā mēs analizēsim vairākus no šiem vienādojumiem:

Uzdevums. Atrisiniet kvadrātvienādojumus:

1. x2 – 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nav sakņu, jo kvadrāts nevar būt vienāds ar negatīvu skaitli.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Kvadrātvienādojumi. Diskriminējošais. Risinājums, piemēri.

Uzmanību!
Ir papildu
materiāls īpašajā 555. sadaļā.
Tiem, kas izteikti "ne ļoti..."
Un tiem, kas "ļoti...")

Kvadrātvienādojumu veidi

Kas ir kvadrātvienādojums? Kā tas izskatās? Termiņā kvadrātvienādojums atslēgvārds ir "kvadrāts". Tas nozīmē, ka vienādojumā obligāti ir jābūt x kvadrātā. Papildus tam vienādojumā var būt (vai var nebūt!) Tikai x (līdz pirmajai pakāpei) un tikai skaitlis (bezmaksas dalībnieks). Un x nedrīkst būt grādos, kas ir lielāki par diviem.

Matemātiskā izteiksmē kvadrātvienādojums ir formas vienādojums:

Šeit a, b un c- daži skaitļi. b un c- pilnīgi jebkura, bet bet- jebkas, izņemot nulli. Piemēram:

Šeit bet =1; b = 3; c = -4

Šeit bet =2; b = -0,5; c = 2,2

Šeit bet =-3; b = 6; c = -18

Nu tu saprati domu...

Šajos kvadrātvienādojumos kreisajā pusē ir pilns komplekts biedri. x kvadrātā ar koeficientu bet, x uz pirmo pakāpi ar koeficientu b Un brīvais dalībnieks

Tādus kvadrātvienādojumus sauc pabeigts.

Un ja b= 0, ko mēs iegūsim? Mums ir X pazudīs pirmajā pakāpē. Tas notiek, reizinot ar nulli.) Izrādās, piemēram:

5x2 -25 = 0,

2x2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

utt. Un ja abi koeficienti b Un c ir vienādi ar nulli, tad tas ir vēl vienkāršāk:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x2 = 0

Tādus vienādojumus, kur kaut kā trūkst, sauc nepilnīgi kvadrātvienādojumi. Tas ir diezgan loģiski.) Lūdzu, ņemiet vērā, ka x kvadrātā ir visos vienādojumos.

Starp citu, kāpēc bet nevar būt nulle? Un tā vietā jūs aizstājat bet nulle.) X kvadrātā pazudīs! Vienādojums kļūs lineārs. Un tas tiek darīts savādāk...

Tie ir visi galvenie kvadrātvienādojumu veidi. Pilnīga un nepilnīga.

Kvadrātvienādojumu atrisināšana.

Pilnu kvadrātvienādojumu atrisinājums.

Kvadrātvienādojumus ir viegli atrisināt. Pēc formulām un skaidrs vienkārši noteikumi. Pirmajā posmā jums ir nepieciešams dots vienādojums noved pie standarta forma, t.i. uz skatu:

Ja vienādojums jums jau ir dots šajā formā, jums nav jādara pirmais posms.) Galvenais ir pareizi noteikt visus koeficientus, bet, b Un c.

Formula kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai izskatās šādi:

Izteicienu zem saknes zīmes sauc diskriminējoša. Bet vairāk par viņu zemāk. Kā redzat, lai atrastu x, mēs izmantojam tikai a, b un c. Tie. koeficienti no kvadrātvienādojuma. Vienkārši uzmanīgi nomainiet vērtības a, b un cšajā formulā un saskaitiet. Aizstājējs ar savām zīmēm! Piemēram, vienādojumā:

bet =1; b = 3; c= -4. Šeit mēs rakstām:

Piemērs gandrīz atrisināts:

Šī ir atbilde.

Viss ir ļoti vienkārši. Un kā jūs domājat, jūs nevarat kļūdīties? Nu jā, kā...

Biežākās kļūdas ir apjukums ar vērtību pazīmēm a, b un c. Pareizāk sakot, nevis ar to zīmēm (kur tur apjukt?), Bet ar aizstāšanu negatīvas vērtības sakņu aprēķināšanas formulā. Šeit tiek saglabāts detalizēts formulas ieraksts ar konkrētiem skaitļiem. Ja rodas problēmas ar aprēķiniem, tad dari to!

Pieņemsim, ka mums ir jāatrisina šāds piemērs:

Šeit a = -6; b = -5; c = -1

Pieņemsim, ka zināt, ka reti saņemat atbildes pirmajā reizē.

Nu neesi slinks. Papildu rindas uzrakstīšana prasīs 30 sekundes.Un kļūdu skaits strauji samazināsies. Tāpēc mēs rakstām detalizēti, ar visām iekavām un zīmēm:

Šķiet neticami grūti tik rūpīgi krāsot. Bet tā tikai šķiet. Pamēģini. Nu vai izvēlēties. Kas ir labāks, ātrs vai pareizi? Turklāt es jūs iepriecināšu. Pēc kāda laika vairs nevajadzēs visu tik rūpīgi krāsot. Tas vienkārši izrādīsies pareizi. It īpaši, ja izmantojat praktiskus paņēmienus, kas aprakstīti tālāk. Šis ļaunais piemērs ar mīnusiem tiks atrisināts viegli un bez kļūdām!

Bet bieži vien kvadrātvienādojumi izskatās nedaudz atšķirīgi. Piemēram, šādi:

Vai zinājāt?) Jā! Šis nepilnīgi kvadrātvienādojumi.

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu atrisinājums.

Tos var atrisināt arī pēc vispārējās formulas. Jums vienkārši ir pareizi jāizdomā, kas šeit ir vienāds a, b un c.

Saprata? Pirmajā piemērā a = 1; b = -4; bet c? Tā vispār neeksistē! Nu jā, tieši tā. Matemātikā tas nozīmē c = 0 ! Tas ir viss. Tā vietā formulā aizstājiet nulli c, un mums viss izdosies. Līdzīgi ar otro piemēru. Tikai nulle mums šeit nav no, bet b !

Bet nepilnīgus kvadrātvienādojumus var atrisināt daudz vienkāršāk. Bez jebkādām formulām. Apsveriet pirmo nepilnīgs vienādojums. Ko var izdarīt kreisajā pusē? Jūs varat izņemt X no iekavām! Ņemsim ārā.

Un kas no tā? Un tas, ka reizinājums ir vienāds ar nulli tad un tikai tad, ja kāds no faktoriem ir vienāds ar nulli! Netici? Nu tad izdomā divus skaitļus, kas nav nulle, kurus reizinot, sanāks nulle!
Nestrādā? Kaut kas...
Tāpēc mēs varam droši rakstīt: x 1 = 0, x 2 = 4.

Viss. Tās būs mūsu vienādojuma saknes. Abi der. Aizvietojot jebkuru no tiem sākotnējā vienādojumā, mēs iegūstam pareizo identitāti 0 = 0. Kā redzat, risinājums ir daudz vienkāršāks nekā vispārējā formula. Starp citu, es atzīmēju, kurš X būs pirmais un kurš otrais - tas ir absolūti vienaldzīgi. Viegli rakstīt secībā x 1- kurš ir mazāks x 2- kas ir vairāk.

Arī otro vienādojumu var viegli atrisināt. Mēs virzāmies 9 uz labo pusi. Mēs iegūstam:

Atliek izvilkt sakni no 9, un viss. Gūt:

arī divas saknes . x 1 = -3, x 2 = 3.

Šādi tiek atrisināti visi nepilnīgie kvadrātvienādojumi. Vai nu izvelkot x no iekavām, vai vienkārša pārsūtīšana skaitļi pa labi, kam seko saknes ekstrakcija.
Šīs metodes ir ārkārtīgi grūti sajaukt. Vienkārši tāpēc, ka pirmajā gadījumā jums būs jāizņem sakne no X, kas ir kaut kā nesaprotami, un otrajā gadījumā nav ko izņemt no iekavām ...

Diskriminējošais. Diskriminējošā formula.

Burvju vārds diskriminējoša ! Reta vidusskolniece šo vārdu nav dzirdējusi! Frāze “izlemj, izmantojot diskriminantu” ir pārliecinoša un pārliecinoša. Jo nav jāgaida triki no diskriminētāja! Tas ir vienkārši un bez problēmām.) Es jums atgādinu visvairāk vispārējā formula risinājumiem jebkura kvadrātvienādojumi:

Izteicienu zem saknes zīmes sauc par diskriminantu. Diskriminantu parasti apzīmē ar burtu D. Diskriminējošā formula:

D = b 2 - 4ac

Un kas šajā izteiksmē ir tik īpašs? Kāpēc tas ir pelnījis īpašu nosaukumu? Kas diskriminanta nozīme? Galu galā -b, vai 2ašajā formulā viņi īpaši nenosauc ... Burtus un burtus.

Lieta ir tāda. Atrisinot kvadrātvienādojumu, izmantojot šo formulu, tas ir iespējams tikai trīs gadījumi.

1. Diskriminants ir pozitīvs. Tas nozīmē, ka no tā var iegūt sakni. Tas, vai sakne ir iegūta labi vai slikti, ir cits jautājums. Svarīgi, ko principā izvelk. Tad jūsu kvadrātvienādojumam ir divas saknes. Divi dažādi risinājumi.

2. Diskriminants ir nulle. Tad jums ir viens risinājums. Tā kā nulles pievienošana vai atņemšana skaitītājā neko nemaina. Stingri sakot, tā nav viena sakne, bet gan divi identiski. Bet vienkāršotā versijā ir ierasts runāt par viens risinājums.

3. Diskriminants ir negatīvs. Negatīvs skaitlis neņem kvadrātsakni. Nu labi. Tas nozīmē, ka risinājumu nav.

Godīgi sakot, plkst vienkāršs risinājums kvadrātvienādojumi, diskriminanta jēdziens nav īpaši pieprasīts. Mēs aizstājam koeficientu vērtības formulā un ņemam vērā. Tur viss izrādās pats no sevis, un divas saknes, un viena, un ne viena. Tomēr, risinot vairāk grūti uzdevumi, bez zināšanām nozīme un diskriminanta formula nepietiekami. Īpaši - vienādojumos ar parametriem. Šādi vienādojumi ir aerobātika GIA un vienotajam valsts eksāmenam!)

Tātad, kā atrisināt kvadrātvienādojumus caur diskriminantu, kuru atcerējāties. Vai arī iemācījušies, kas arī nav slikti.) Jūs zināt, kā pareizi identificēt a, b un c. Vai jūs zināt, kā uzmanīgi aizstājiet tos saknes formulā un uzmanīgi skaitīt rezultātu. Vai jūs sapratāt, ka atslēgas vārds šeit ir - uzmanīgi?

Tagad ņemiet vērā praktiskos paņēmienus, kas ievērojami samazina kļūdu skaitu. Tie paši, kas ir neuzmanības dēļ... Par ko tad ir sāpīgi un aizvainojoši...

Pirmā uzņemšana . Neesiet slinks pirms kvadrātvienādojuma atrisināšanas, lai tas būtu standarta formā. Ko tas nozīmē?
Pieņemsim, ka pēc jebkādām transformācijām jūs saņemat šādu vienādojumu:

Nesteidzieties rakstīt sakņu formulu! Jūs gandrīz noteikti sajaucat izredzes a, b un c. Pareizi izveidojiet piemēru. Vispirms x kvadrātā, tad bez kvadrāta, tad brīvais dalībnieks. Kā šis:

Un atkal nesteidzieties! Mīnuss pirms x kvadrātā var jūs ļoti apbēdināt. To aizmirst ir viegli... Atbrīvojies no mīnusa. Kā? Jā, kā mācīja iepriekšējā tēmā! Mums jāreizina viss vienādojums ar -1. Mēs iegūstam:

Un tagad jūs varat droši pierakstīt formulu saknēm, aprēķināt diskriminantu un pabeigt piemēru. Izlemiet paši. Jums vajadzētu beigties ar saknēm 2 un -1.

Otrā pieņemšana. Pārbaudi savas saknes! Saskaņā ar Vietas teorēmu. Neuztraucieties, es visu izskaidrošu! Pārbauda pēdējā lieta vienādojums. Tie. tas, ar kuru mēs pierakstījām sakņu formulu. Ja (kā šajā piemērā) koeficients a = 1, viegli pārbaudiet saknes. Pietiek tos pavairot. Jums vajadzētu saņemt brīvu termiņu, t.i. mūsu gadījumā -2. Pievērsiet uzmanību, nevis 2, bet -2! bezmaksas dalībnieks ar savu zīmi . Ja tas neizdevās, tas nozīmē, ka viņi kaut kur jau ir sajukuši. Meklējiet kļūdu.

Ja tas izdevās, jums ir jāsaloka saknes. Pēdējā un pēdējā pārbaude. Jābūt attiecībai b no pretī zīme. Mūsu gadījumā -1+2 = +1. Koeficients b, kas ir pirms x, ir vienāds ar -1. Tātad, viss ir pareizi!
Žēl, ka tik vienkārši ir tikai piemēriem, kur x kvadrātā ir tīrs, ar koeficientu a = 1. Bet vismaz pārbaudiet šādus vienādojumus! Viss mazāk kļūdu gribu.

Uzņemšana trešā . Ja jūsu vienādojumā ir daļskaitļu koeficienti, atbrīvojieties no daļām! Reiziniet vienādojumu ar kopsaucēju, kā aprakstīts nodarbībā "Kā atrisināt vienādojumus? Identitātes transformācijas". Strādājot ar daļskaitļiem, kļūdām kaut kādu iemeslu dēļ uzkāpj ...

Starp citu, es apsolīju ļaunu piemēru ar kaudzi mīnusiem vienkāršošanai. Lūdzu! Šeit viņš ir.

Lai neapjuktu mīnusos, vienādojumu reizinām ar -1. Mēs iegūstam:

Tas ir viss! Izlemt ir jautri!

Tātad atkārtosim tēmu.

Praktiski padomi:

1. Pirms risināšanas kvadrātvienādojumu ievietojam standarta formā, izveidojam to taisnība.

2. Ja kvadrātā pirms x ir negatīvs koeficients, mēs to izslēdzam, reizinot visu vienādojumu ar -1.

3. Ja koeficienti ir daļskaitļi, mēs izņemam daļas, reizinot visu vienādojumu ar atbilstošo koeficientu.

4. Ja x kvadrātā ir tīrs, koeficients pie tā vienāds ar vienu, risinājumu var viegli pārbaudīt ar Vietas teorēmu. Izdari to!

Tagad jūs varat izlemt.)

Atrisiniet vienādojumus:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Atbildes (nekārtīgi):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - jebkurš skaitlis

x 1 = -3
x 2 = 3

nekādu risinājumu

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Vai viss der? labi! Kvadrātvienādojumi nav jūsu galvassāpes. Pirmie trīs izrādījās, bet pārējie nē? Tad problēma nav kvadrātvienādojumos. Problēma ir identiskos vienādojumu transformācijās. Apskatiet saiti, tas noder.

Vai ne gluži strādā? Vai arī tas vispār nedarbojas? Tad jums palīdzēs sadaļa 555. Tur visi šie piemēri ir sakārtoti pēc kauliem. Rāda galvenais kļūdas risinājumā. Protams, tas runā arī par lietošanu identiskas pārvērtības dažādu vienādojumu risināšanā. Ļoti palīdz!

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

”, tas ir, pirmās pakāpes vienādojumi. Šajā nodarbībā mēs izpētīsim kas ir kvadrātvienādojums un kā to atrisināt.

Kas ir kvadrātvienādojums

Svarīgs!

Vienādojuma pakāpi nosaka nezināmā augstākā pakāpe.

Ja maksimālā pakāpe, līdz kurai nezināmais ir, ir “2”, tad jums ir kvadrātvienādojums.

Kvadrātvienādojumu piemēri

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2–8 = 0

Svarīgs! Kvadrātvienādojuma vispārējā forma izskatās šādi:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" un "c" - dotie skaitļi.

• "a" - pirmais jeb vecākais koeficients;
• "b" - otrais koeficients;
• "c" ir bezmaksas dalībnieks.

Lai atrastu "a", "b" un "c", jūsu vienādojums ir jāsalīdzina ar kvadrātvienādojuma vispārējo formu "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Praktizēsim koeficientu "a", "b" un "c" noteikšanu kvadrātvienādojumos.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Vienādojums	Likmes
a=5 b = –14 c = 17
a = –7 b = –13 c = 8

1

3

= 0

• a = –1
• b = 1
• c =

  1

  3

x2 + 0,25x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2–8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = –8

Kā atrisināt kvadrātvienādojumus

Atšķirībā no lineārie vienādojumi kvadrātvienādojumu risināšanai, īpaša formula sakņu atrašanai.

Atcerieties!

Lai atrisinātu kvadrātvienādojumu, jums ir nepieciešams:

• nogādājiet kvadrātvienādojumu līdz vispārējs skats"ax 2 + bx + c = 0". Tas ir, tikai "0" jāpaliek labajā pusē;
• saknēm izmantojiet formulu:

Izmantosim piemēru, lai noskaidrotu, kā pielietot formulu kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai. Atrisināsim kvadrātvienādojumu.

X 2 - 3x - 4 = 0

Vienādojums "x 2 - 3x - 4 = 0" jau ir reducēts uz vispārīgo formu "ax 2 + bx + c = 0", un tam nav nepieciešami papildu vienkāršojumi. Lai to atrisinātu, mums tikai jāpiesakās formula kvadrātvienādojuma sakņu atrašanai.

Definēsim koeficientus "a", "b" un "c" šim vienādojumam.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Ar tās palīdzību tiek atrisināts jebkurš kvadrātvienādojums.

Formulā "x 1; 2 \u003d" saknes izteiksme bieži tiek aizstāta
"b 2 - 4ac" uz burtu "D" un tiek saukts par diskriminējošu. Diskriminanta jēdziens sīkāk aplūkots nodarbībā "Kas ir diskriminants".

Apsveriet citu kvadrātvienādojuma piemēru.

x 2 + 9 + x = 7x

Šajā formā ir diezgan grūti noteikt koeficientus "a", "b" un "c". Vispirms izveidosim vienādojumu vispārējā formā "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Tagad jūs varat izmantot formulu saknēm.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

6

2

x=3
Atbilde: x = 3

Ir reizes, kad kvadrātvienādojumos nav sakņu. Šī situācija rodas, ja formulā zem saknes parādās negatīvs skaitlis.