Kas ir daļskaitļa atvasinājums. Kā atrast daļskaitļa atvasinājumu

Matemātikā ir absolūti neiespējami atrisināt fizikālās problēmas vai piemērus bez zināšanām par atvasinājumu un tā aprēķināšanas metodēm. Atvasinājums ir viens no svarīgākajiem jēdzieniem matemātiskā analīze. Mēs nolēmām šodienas rakstu veltīt šai pamata tēmai. Kas ir atvasinājums, kāds ir tā fiziskais un ģeometriskā nozīme kā aprēķināt funkcijas atvasinājumu? Visus šos jautājumus var apvienot vienā: kā saprast atvasinājumu?

Atvasinājuma ģeometriskā un fizikālā nozīme

Lai ir funkcija f(x) , dots kādā intervālā (a, b) . Punkti x un x0 pieder šim intervālam. Kad mainās x, mainās pati funkcija. Argumenta maiņa - tā vērtību atšķirība x-x0 . Šī atšķirība ir uzrakstīta kā delta x un to sauc par argumentu pieaugumu. Funkcijas izmaiņas vai palielinājums ir atšķirība starp funkcijas vērtībām divos punktos. Atvasinātā definīcija:

Funkcijas atvasinājums punktā ir funkcijas pieauguma noteiktā punktā un argumenta pieauguma attiecības robeža, kad pēdējam ir tendence uz nulli.

Citādi to var uzrakstīt šādi:

Kāda jēga atrast šādu robežu? Bet kurš:

funkcijas atvasinājums punktā ir vienāds ar leņķa pieskari starp OX asi un pieskares funkcijas grafikam dotajā punktā.

fiziskā nozīme atvasinājums: ceļa laika atvasinājums ir vienāds ar taisnvirziena kustības ātrumu.

Patiešām, kopš skolas laikiem visi zina, ka ātrums ir privāts ceļš. x=f(t) un laiks t . Vidējais ātrums uz kādu laiku:

Lai uzzinātu kustības ātrumu vienā reizē t0 jums jāaprēķina limits:

Pirmais noteikums: izņemiet konstanti

Konstanti var izņemt no atvasinājuma zīmes. Turklāt tas ir jādara. Risinot piemērus matemātikā, parasti ņemiet - ja varat vienkāršot izteiksmi, noteikti vienkāršojiet .

Piemērs. Aprēķināsim atvasinājumu:

Otrais noteikums: funkciju summas atvasinājums

Divu funkciju summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu summu. Tas pats attiecas uz funkciju atšķirības atvasinājumu.

Mēs nesniegsim šīs teorēmas pierādījumu, bet drīzāk apsvērsim praktisku piemēru.

Atrodiet funkcijas atvasinājumu:

Trešais noteikums: funkciju reizinājuma atvasinājums

Divu diferencējamu funkciju reizinājuma atvasinājumu aprēķina pēc formulas:

Piemērs: atrodiet funkcijas atvasinājumu:

Lēmums:

Šeit ir svarīgi teikt par sarežģītu funkciju atvasinājumu aprēķināšanu. Sarežģītas funkcijas atvasinājums ir vienāds ar šīs funkcijas atvasinājuma reizinājumu attiecībā pret starpposma argumentu ar starpposma argumenta atvasinājumu attiecībā uz neatkarīgo mainīgo.

Iepriekš minētajā piemērā mēs sastopamies ar izteiksmi:

Šajā gadījumā starpposma arguments ir 8x līdz piektajai pakāpei. Lai aprēķinātu šādas izteiksmes atvasinājumu, vispirms jāņem vērā ārējās funkcijas atvasinājums attiecībā pret starpposma argumentu un pēc tam jāreizina ar paša starpposma argumenta atvasinājumu attiecībā pret neatkarīgo mainīgo.

Ceturtais noteikums: divu funkciju koeficienta atvasinājums

Formula divu funkciju koeficienta atvasinājuma noteikšanai:

Mēs mēģinājām runāt par manekenu atvasinājumiem no nulles. Šī tēma nav tik vienkārša, kā šķiet, tāpēc esiet brīdināts: piemēros bieži ir nepilnības, tāpēc esiet piesardzīgs, aprēķinot atvasinājumus.

Ja jums ir kādi jautājumi par šo un citām tēmām, varat sazināties ar studentu dienestu. Īsā laikā mēs palīdzēsim atrisināt vissarežģītāko kontroli un tikt galā ar uzdevumiem, pat ja jūs nekad iepriekš neesat nodarbojies ar atvasinājumu aprēķināšanu.

Definīcija. Lai funkcija \(y = f(x) \) ir definēta kādā intervālā, kurā ir punkts \(x_0 \). Palielināsim \(\Delta x \) līdz argumentam, lai neatstātu šo intervālu. Atrodiet atbilstošo funkcijas \(\Delta y \) pieaugumu (pārejot no punkta \(x_0 \) uz punktu \(x_0 + \Delta x \)) un izveido relāciju \(\frac(\Delta y) )(\Delta x) \). Ja pie \(\Delta x \rightarrow 0 \) ir šīs attiecības ierobežojums, tad norādītā robeža tiek izsaukta atvasinātā funkcija\(y=f(x) \) punktā \(x_0 \) un apzīmē \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simbols y bieži tiek lietots, lai apzīmētu atvasinājumu. Ņemiet vērā, ka y" = f(x) ir jauna funkcija, bet dabiski saistīta ar funkciju y = f(x), kas definēta visos punktos x, kuros pastāv iepriekš minētā robeža. Šo funkciju sauc šādi: funkcijas y \u003d f (x) atvasinājums.

Atvasinājuma ģeometriskā nozīme sastāv no sekojošā. Ja pieskari, kas nav paralēla y asij, var uzzīmēt funkcijas y \u003d f (x) grafikam punktā ar abscisu x \u003d a, tad f (a) izsaka pieskares slīpumu:
\(k = f"(a)\)

Tā kā \(k = tg(a) \), vienādība \(f"(a) = tg(a) \) ir patiesa.

Un tagad mēs interpretējam atvasinājuma definīciju aptuveno vienādību izteiksmē. Lai funkcijai \(y = f(x) \) ir atvasinājums noteiktā punktā \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \līdz 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Tas nozīmē, ka punkta x tuvumā aptuvenā vienādība \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), t.i., \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Iegūtās aptuvenās vienādības jēgpilnā nozīme ir šāda: funkcijas pieaugums ir “gandrīz proporcionāls” argumenta pieaugumam, un proporcionalitātes koeficients ir atvasinājuma vērtība dots punkts X. Piemēram, funkcijai \(y = x^2 \) ir derīga aptuvenā vienādība \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Ja mēs rūpīgi analizēsim atvasinājuma definīciju, mēs atklāsim, ka tajā ir algoritms tā atrašanai.

Formulēsim to.

Kā atrast funkcijas y \u003d f (x) atvasinājumu?

1. Labojiet vērtību \(x \), atrodiet \(f(x) \)
2. Palieliniet \(x \) argumentu \(\Delta x \), pārejiet uz jaunu punktu \(x+ \Delta x \), atrodiet \(f(x+ \Delta x) \)
3. Atrodiet funkcijas pieaugumu: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Sastādiet relāciju \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Aprēķiniet $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Šī robeža ir atvasinājums no funkcijas pie x.

Ja funkcijai y = f(x) ir atvasinājums punktā x, tad to sauc par diferencējamu punktā x. Tiek izsaukta procedūra funkcijas y \u003d f (x) atvasinājuma atrašanai diferenciācija funkcijas y = f(x).

Apspriedīsim šādu jautājumu: kā ir saistīta funkcijas nepārtrauktība un diferenciācija kādā punktā?

Lai funkcija y = f(x) ir diferencējama punktā x. Pēc tam funkcijas grafikam punktā M (x; f (x)) var uzzīmēt tangensu un, atcerieties, pieskares slīpums ir vienāds ar f "(x). Šāds grafiks nevar "salauzties" pie punkts M, t.i., funkcijai jābūt nepārtrauktai pie x.

Tā bija spriešana "uz pirkstiem". Iesniegsim stingrāku argumentu. Ja funkcija y = f(x) ir diferencējama punktā x, tad aptuvenā vienādība \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) ir spēkā. nulle, tad \(\Delta y \) ) arī tiecas uz nulli, un tas ir nosacījums funkcijas nepārtrauktībai punktā.

Tātad, ja funkcija ir diferencējama punktā x, tad tā ir arī nepārtraukta šajā punktā.

Tieši otrādi nav taisnība. Piemēram: funkcija y = |x| ir nepārtraukts visur, it īpaši punktā x = 0, bet funkcijas grafika pieskare “savienotajā punktā” (0; 0) neeksistē. Ja kādā brīdī funkcijas grafikam nav iespējams uzzīmēt tangensu, tad šajā punktā nav atvasinājuma.

Vēl viens piemērs. Funkcija \(y=\sqrt(x) \) ir nepārtraukta visā skaitļu taisnē, ieskaitot punktu x = 0. Un funkcijas grafika pieskare pastāv jebkurā punktā, arī punktā x = 0 . Bet šajā brīdī pieskare sakrīt ar y asi, tas ir, tā ir perpendikulāra abscisu asij, tās vienādojuma forma ir x \u003d 0. Šādai taisnei nav slīpuma, kas nozīmē, ka \ ( f "(0) \) arī nepastāv

Tātad, mēs iepazināmies ar jaunu funkcijas īpašību - diferenciāciju. Kā noteikt, vai funkcija ir atšķirama no funkcijas grafika?

Atbilde faktiski ir sniegta iepriekš. Ja kādā brīdī funkcijas grafikam var uzvilkt tangensu, kas nav perpendikulāra x asij, tad šajā punktā funkcija ir diferencējama. Ja kādā brīdī funkcijas grafikam pieskares nav vai tā ir perpendikulāra x asij, tad šajā punktā funkcija nav diferencējama.

Diferencēšanas noteikumi

Atvasinājuma atrašanas operāciju sauc diferenciācija. Veicot šo operāciju, bieži nākas strādāt ar koeficientiem, summām, funkciju reizinājumiem, kā arī ar "funkciju funkcijām", tas ir, sarežģītām funkcijām. Pamatojoties uz atvasinājuma definīciju, mēs varam iegūt diferenciācijas noteikumus, kas atvieglo šo darbu. Ja C ir konstants skaitlis un f=f(x), g=g(x) ir dažas diferencējamas funkcijas, tad ir taisnība diferenciācijas noteikumi:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Saliktās funkcijas atvasinājums:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Dažu funkciju atvasinājumu tabula

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $ Atvasinātais aprēķins ir viena no svarīgākajām operācijām diferenciālrēķinos. Zemāk ir tabula atvasinājumu atrašanai vienkāršas funkcijas. Sarežģītākus diferenciācijas noteikumus skatiet citās nodarbībās:

• Eksponenciālo un logaritmisko funkciju atvasinājumu tabula

Izmantojiet dotās formulas kā atsauces vērtības. Tie palīdzēs atrisināt diferenciālvienādojumus un problēmas. Attēlā vienkāršu funkciju atvasinājumu tabulā ir "krāpšanās lapa" ar galvenajiem atvasinājuma atrašanas gadījumiem lietošanai saprotamā formā, blakus ir paskaidrojumi katram gadījumam.

Vienkāršu funkciju atvasinājumi

1. Skaitļa atvasinājums nulle
с´ = 0
Piemērs:
5' = 0

Paskaidrojums:
Atvasinājums parāda ātrumu, kādā mainās funkcijas vērtība, mainoties argumentam. Tā kā skaitlis nekādos apstākļos nemainās, tā izmaiņu ātrums vienmēr ir nulle.

2. Mainīgā atvasinājums vienāds ar vienu
x' = 1

Paskaidrojums:
Ar katru argumenta (x) pieaugumu par vienu, funkcijas vērtība (aprēķina rezultāts) palielinās par tādu pašu summu. Tādējādi funkcijas y = x vērtības maiņas ātrums ir tieši vienāds ar argumenta vērtības maiņas ātrumu.

3. Mainīgā un faktora atvasinājums ir vienāds ar šo koeficientu
сx´ = с
Piemērs:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Paskaidrojums:
Šajā gadījumā katru reizi, kad funkcijas arguments ( X) tā vērtība (y) pieaug ar vienreiz. Tādējādi funkcijas vērtības maiņas ātrums attiecībā pret argumenta izmaiņu ātrumu ir tieši vienāds ar vērtību ar.

No kurienes tas izriet
(cx + b)" = c
tas ir, lineārās funkcijas diferenciālis y=kx+b ir vienāds ar leņķiskais koeficients taisnes slīpums (k).

4. Mainīgā lieluma moduļu atvasinājums ir vienāds ar šī mainīgā lieluma un tā moduļa koeficientu
|x|"= x / |x| ar nosacījumu, ka x ≠ 0
Paskaidrojums:
Tā kā mainīgā atvasinājums (skat. 2. formulu) ir vienāds ar vienu, tad moduļa atvasinājums atšķiras tikai ar to, ka, šķērsojot sākuma punktu, funkcijas izmaiņu ātruma vērtība mainās uz pretējo (mēģiniet uzzīmēt grafiku funkcijas y = |x| un pārbaudiet pats. Šī ir tieši vērtība un atgriež izteiksmi x / |x| Kad x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - viens. Tas ir, plkst negatīvas vērtības mainīgais x, ar katru argumenta maiņas pieaugumu, funkcijas vērtība samazinās tieši par tādu pašu vērtību, bet pozitīvajām, gluži pretēji, palielinās, bet tieši par tādu pašu vērtību.

5. Mainīgā lieluma jaudas atvasinājums ir vienāds ar šīs jaudas skaitļa un jaudas mainīgā lieluma reizinājumu, kas samazināts par vienu
(x c)"= cx c-1, ar nosacījumu, ka x c un cx c-1 ir definēti un c ≠ 0
Piemērs:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Lai iegaumētu formulu:
Ņemiet mainīgā "uz leju" eksponentu kā reizinātāju un pēc tam samaziniet pašu eksponentu par vienu. Piemēram, x 2 - divi bija priekšā x, un tad samazinātā jauda (2-1 = 1) mums tikai deva 2x. Tas pats notika ar x 3 - mēs samazinām trīskāršu, samazinām to par vienu, un kuba vietā mums ir kvadrāts, tas ir, 3x 2. Mazliet "nezinātniski", bet ļoti viegli atcerēties.

6.Frakciju atvasinājums 1/x
(1/x)" = - 1/x2
Piemērs:
Tā kā daļu var attēlot kā paaugstināšanu negatīvā pakāpē
(1/x)" = (x -1)" , tad varat lietot formulu no atvasinājumu tabulas 5. noteikuma
(x -1)" = -1x -2 = - 1/x2

7. Frakciju atvasinājums ar patvaļīgas pakāpes mainīgo saucējā
(1/x c)" = - c / x c+1
Piemērs:
(1/x2)" = - 2/x3

8. saknes atvasinājums(mainīgā atvasinājums zem kvadrātsakne)
(√x)" = 1 / (2√x) vai 1/2 x -1/2
Piemērs:
(√x)" = (x 1/2)", lai jūs varētu lietot formulu no 5. noteikuma
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Mainīgā atvasinājums zem patvaļīgas pakāpes saknes
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)