Kāds ir taisnstūra trīsstūra laukums? Kā atrast trīsstūra laukumu (formulas)

Elementārajā ģeometrijā taisnleņķa trijstūris ir figūra, kas sastāv no trim punktos savienotiem segmentiem, no kuriem divi ir asi un viens taisns (tas ir, vienāds ar 90°). Taisns trīsstūris raksturo vairākas svarīgas īpašības, no kurām daudzas veido trigonometrijas pamatu (piemēram, attiecības starp tās malām un leņķiem). Kopš skolas laikiem mēs visi zinām, kā rēķināt taisnleņķa trīsstūra laukums, un ikdienā ar šo ģeometrisko figūru sastopamies diezgan bieži, dažreiz pat nemanot. Tas atrod diezgan plašu pielietojumu tehnoloģijā, tāpēc inženieriem, dizaineriem un arhitektiem bieži vien ir jārisina šāda problēma.

Arhitektiem šī vērtība ir jānosaka, projektējot ēkas ar frontoniem, kas ir fasāžu pabeigšana un kurām ir trīsstūra forma norobežo karnīze un no sāniem jumta nogāzes. Bieži leņķis starp nogāzēm ir taisns, un šādos gadījumos frontonam ir taisnleņķa trīsstūra forma. Tā platība ir jānosaka tā vienkāršā iemesla dēļ, ka ir precīzi jāzina tā sakārtošanai nepieciešamais būvmateriāla daudzums. Jāatzīmē, ka frontoni ir obligāti elementi mazstāvu ēkās (lauku mājas, kotedžas, vasarnīcas).

Taisnstūra trīsstūra laukuma atrašana

a- kāja

b- kāja

S- taisnleņķa trīsstūra laukums

Veidlapa taisnleņķa trīsstūris ir daudzas detaļas, no kurām tiek izgatavotas modernas mēbeles. Kā zināms, lai maksimāli efektīvi izmantotu telpas telpu, tajā optimāli jāievieto visi iekārtojuma elementi. Varat lietderīgi izmantot tādas zonas kā stūri, izmantojot trīsstūrveida galdus, kuru augšdaļas vairumā gadījumu ir taisnleņķa trīsstūri ar kājām, kas atrodas blakus sienām. Izstrādājot un aprēķinot šos elementus, mēbeļu ražošanas dizaineri izmanto formulu, pēc kuras taisnleņķa trīsstūra laukuma atrašana tiek veikts, pamatojoties uz tā sānu garumu. Turklāt viņiem bieži ir jāizstrādā dizaini galdiem, kas piestiprināti tieši pie sienām, ietverot atbalsta elementus, kas arī attēlo taisnie trīsstūri.

Būvniekiem, kas nodarbojas ar apšuvuma darbu, savā profesionālajā darbībā bieži ir jāizmanto keramikas flīzes taisnleņķa trīsstūra formā ar vienāda vai dažāda garuma kājām. Viņiem arī ir jānosaka šo elementu laukums, lai uzzinātu vajadzīgo skaitu.

Veidlapa taisnleņķa trīsstūris Tam ir arī tik svarīgs un nepieciešams mērinstruments kā kvadrāts. To izmanto taisnu leņķu konstruēšanai un kontrolei, un to izmanto ļoti plaši un daudzi: no parastiem skolēniem ģeometrijas stundās līdz jaunāko tehnoloģiju dizaineriem.

Īstenībā taisnleņķa trīsstūris ir atrodams gandrīz uz katra stūra. Zināšanas par dotās figūras īpašībām, kā arī spēja aprēķināt tās laukumu, neapšaubāmi jums noderēs ne tikai ģeometrijas uzdevumu risināšanā, bet arī dzīves situācijās.

Trijstūra ģeometrija

Elementārajā ģeometrijā taisnleņķa trīsstūris ir figūra, kas sastāv no trim savienotiem segmentiem, kas veido trīs leņķus (divus akūtus un vienu taisnu). Taisnstūris ir oriģināls skaitlis, kam raksturīgas vairākas svarīgas īpašības, kas veido trigonometrijas pamatu. Atšķirībā no parasta trīsstūra taisnstūra figūras malām ir savi nosaukumi:

Hipotenūza ir trijstūra garākā mala, kas atrodas pretī taisnajam leņķim.
Kājas ir segmenti, kas veido taisnu leņķi. Atkarībā no aplūkojamā leņķa kāja var būt tai blakus (veidojot šo leņķi ar hipotenūzu) vai pretī (atrodas pretī leņķim). Trijstūriem, kas nav taisni, nav kāju.

Tā ir kāju un hipotenūzas attiecība, kas veido trigonometrijas pamatu: sinusus, pieskares un sekantus definē kā taisnleņķa trijstūra malu attiecību.

Taisns trīsstūris patiesībā

Šis skaitlis patiesībā ir kļuvis plaši izplatīts. Trīsstūri tiek izmantoti dizainā un tehnoloģijā, tāpēc figūras laukuma aprēķināšana jāveic inženieriem, arhitektiem un dizaineriem. Tetraedru jeb prizmu pamatiem – ikdienā viegli sastopamām trīsdimensiju figūrām – ir trijstūra forma. Turklāt kvadrāts ir vienkāršākais "plakana" taisnleņķa trīsstūra attēlojums patiesībā. Kvadrāts ir metālapstrādes, zīmēšanas, celtniecības un galdniecības instruments, ko izmanto leņķu konstruēšanai gan skolēni, gan inženieri.

Trijstūra laukums

Ģeometriskās figūras laukums ir kvantitatīvs aprēķins tam, cik lielu plaknes daļu ierobežo trīsstūra malas. Parasta trīsstūra laukumu var atrast piecos veidos, izmantojot Herona formulu vai izmantojot tādus mainīgos lielumus kā ierakstītā vai ierobežotā apļa pamatne, mala, leņķis un rādiuss. Vienkāršākā platības formula ir izteikta šādi:

kur a ir trijstūra mala, h ir tā augstums.

Formula taisnleņķa trīsstūra laukuma aprēķināšanai ir vēl vienkāršāka:

kur a un b ir kājas.

Strādājot ar mūsu tiešsaistes kalkulatoru, varat aprēķināt trīsstūra laukumu, izmantojot trīs parametru pārus:

divas kājas;
kāja un blakus esošais leņķis;
kāju un pretējo leņķi.

Problēmās vai ikdienas situācijās jums tiks dotas dažādas mainīgo kombinācijas, tāpēc šī kalkulatora forma ļauj aprēķināt trīsstūra laukumu vairākos veidos. Apskatīsim pāris piemērus.

Reālās dzīves piemēri

Keramikas flīze

Pieņemsim, ka vēlaties noklāt virtuves sienas ar keramikas flīzēm, kurām ir taisnleņķa trīsstūra forma. Lai noteiktu flīžu patēriņu, jānoskaidro viena apšuvuma elementa laukums un apstrādājamās virsmas kopējā platība. Pieņemsim, ka jums ir jāapstrādā 7 kvadrātmetri. Viena elementa kāju garums ir 19 cm, tad flīzes laukums būs vienāds ar:

Tas nozīmē, ka viena elementa laukums ir 24,5 kvadrātcentimetri jeb 0,01805 kvadrātmetri. Zinot šos parametrus, varat aprēķināt, ka 7 kvadrātmetru sienas apdarei būs nepieciešami 7/0,01805 = 387 apdares flīžu elementi.

Skolas uzdevums

Pieņemsim, ka skolas ģeometrijas uzdevumā jums jāatrod taisnleņķa trijstūra laukums, zinot tikai to, ka vienas kājas mala ir 5 cm, bet pretējais leņķis ir 30 grādi. Mūsu tiešsaistes kalkulatoram ir pievienota ilustrācija, kas parāda taisnleņķa trīsstūra malas un leņķus. Ja mala a = 5 cm, tad tās pretējais leņķis ir leņķis alfa, vienāds ar 30 grādiem. Ievadiet šos datus kalkulatora formā un iegūstiet rezultātu:

Tādējādi kalkulators ne tikai aprēķina noteiktā trīsstūra laukumu, bet arī nosaka blakus esošās kājas un hipotenūzas garumu, kā arī otrā leņķa vērtību.

Secinājums

Taisni trīsstūri mūsu dzīvē ir atrodami burtiski uz katra stūra. Šādu figūru laukuma noteikšana jums noderēs ne tikai, risinot skolas uzdevumus ģeometrijā, bet arī ikdienas un profesionālajā darbībā.

Atkarībā no trīsstūra veida ir vairākas iespējas, kā atrast tā laukumu. Piemēram, lai aprēķinātu taisnleņķa trīsstūra laukumu, izmantojiet formulu S= a * b / 2, kur a un b ir tā kājas. Ja vēlaties uzzināt vienādsānu trīsstūra laukumu, tā pamatnes un augstuma reizinājums ir jāsadala ar divi. Tas ir, S= b*h / 2, kur b ir trijstūra pamatne un h ir tā augstums.

Pēc tam, iespējams, būs jāaprēķina vienādsānu taisnstūra trīsstūra laukums. Šeit palīgā nāk šāda formula: S = a* a / 2, kur kājiņām “a” un “a” obligāti jābūt vienādām vērtībām.

Arī mums bieži ir jāaprēķina vienādmalu trīsstūra laukums. To nosaka pēc formulas: S= a * h/ 2, kur a ir trijstūra mala, bet h ir tā augstums. Vai saskaņā ar šo formulu: S= √3/ 4 *a^2, kur a ir mala.

Kā atrast taisnleņķa trīsstūra laukumu

Vai jums ir jāatrod taisnleņķa trijstūra laukums, bet problēmas paziņojumā nav norādīti uzreiz divu tā kāju izmēri? Tad mēs nevaram tieši izmantot šo formulu (S= a * b / 2).

Apsvērsim vairākus iespējamos risinājumus:

Ja nezini vienas kājas garumu, bet ir doti hipotenūzas un otrās kājas izmēri, tad vēršamies pie dižā Pitagora un, izmantojot viņa teorēmu (a^2+b^2=c^2) mēs aprēķinām nezināmās kājas garumu, pēc tam izmantojam to, lai aprēķinātu trīsstūra laukumu.
Ja ir dots vienas kājas garums un tam pretēja leņķa grādu slīpums: otrās kājas garumu atrodam pēc formulas - a=b*ctg(C).
Dots: vienas kājas garums un tai piegulošā leņķa grādu slīpums: lai atrastu otrās kājas garumu, izmantojam formulu - a=b*tg(C).
Un visbeidzot, ņemot vērā: hipotenūzas leņķi un garumu: mēs aprēķinām abu tās kāju garumu, izmantojot šādas formulas - b=c*sin(C) un a=c*cos(C).

Kā atrast vienādsānu trīsstūra laukumu

Vienādsānu trīsstūra laukumu var ļoti viegli un ātri atrast, izmantojot formulu S= b*h / 2, bet, ja trūkst kāda no rādītājiem, uzdevums kļūst daudz sarežģītāks. Galu galā ir nepieciešams veikt papildu darbības.

Iespējamie uzdevuma varianti:

Dots: vienas malas garums un pamatnes garums. Izmantojot Pitagora teorēmu, mēs atrodam augstumu, tas ir, otrās kājas garumu. Ar nosacījumu, ka pamatnes garums dalīts ar divi ir kāja, un sākotnēji zināmā puse ir hipotenūza.
Dots: pamatne un leņķis starp sānu un pamatni. Mēs aprēķinām augstumu, izmantojot formulu h=c*ctg(B)/2 (neaizmirstiet “c” malu dalīt ar diviem).
Dots: augstums un leņķis, ko veidoja pamatne un mala: mēs izmantojam formulu c=h*tg(B)*2, lai atrastu augstumu, un rezultātu reizinim ar divi. Tālāk mēs aprēķinām platību.
Zināms: sānu garums un leņķis, kas veidojas starp to un augstumu. Risinājums: izmantojam formulas - c=a*sin(C)*2 un h=a*cos(C), lai atrastu pamatni un augstumu, pēc kā aprēķinām laukumu.

Kā atrast vienādsānu taisnstūra trīsstūra laukumu

Ja ir zināmi visi dati, tad, izmantojot standarta formulu S= a* a / 2, mēs aprēķinām vienādsānu taisnstūra laukumu, bet, ja uzdevumā daži rādītāji nav norādīti, tad tiek veiktas papildu darbības.

Piemēram: mēs nezinām abu malu garumus (atceramies, ka vienādsānu taisnstūrī tie ir vienādi), bet ir dots hipotenūzas garums. Pielietosim Pitagora teorēmu, lai atrastu vienas un tās pašas malas "a" un "a". Pitagora formula: a^2+b^2=c^2. Ja ir vienādsānu taisnstūris, tas pārveidojas par šādu: 2a^2 = c^2. Izrādās, ka, lai atrastu kāju “a”, hipotenūzas garums jādala ar 2 sakni. Atrisinājuma rezultāts būs vienādsānu taisnstūra trīsstūra abu kāju garums. Tālāk atrodam apgabalu.

Kā atrast vienādmalu trīsstūra laukumu

Izmantojot formulu S= √3/ 4*a^2, var viegli aprēķināt vienādmalu trīsstūra laukumu. Ja ir zināms trijstūra ierobežotā riņķa rādiuss, tad laukumu var atrast pēc formulas: S= 3√3/ 4*R^2, kur R ir apļa rādiuss.

Kā jūs, iespējams, atceraties no savas skolas ģeometrijas mācību programmas, trīsstūris ir figūra, kas veidota no trim segmentiem, kas savienoti ar trim punktiem, kas neatrodas vienā taisnē. Trīsstūris veido trīs leņķus, tāpēc arī figūras nosaukums. Definīcija var būt atšķirīga. Trijstūri var saukt arī par daudzstūri ar trim leņķiem, arī atbilde būs pareiza. Trijstūri tiek sadalīti pēc vienādu malu skaita un leņķu lieluma skaitļos. Tādējādi trīsstūrus izšķir attiecīgi kā vienādsānu, vienādmalu un skalu, kā arī taisnstūrveida, akūtus un neasus.

Trijstūra laukuma aprēķināšanai ir daudz formulu. Izvēlieties, kā atrast trīsstūra laukumu, t.i. Kuru formulu izmantot, ir atkarīgs no jums. Bet ir vērts atzīmēt tikai dažus apzīmējumus, kas tiek izmantoti daudzās formulās trijstūra laukuma aprēķināšanai. Tātad, atcerieties:

S ir trīsstūra laukums,

a, b, c ir trijstūra malas,

h ir trijstūra augstums,

R ir ierobežotā apļa rādiuss,

p ir pusperimetrs.

Šeit ir norādīti pamata apzīmējumi, kas var būt noderīgi, ja esat pilnībā aizmirsis ģeometrijas kursu. Zemāk ir saprotamākās un nesarežģītākās iespējas, kā aprēķināt nezināmo un noslēpumaino trīsstūra laukumu. Tas nav grūti un noderēs gan jūsu sadzīves vajadzībām, gan palīdzot bērniem. Atcerēsimies, kā pēc iespējas vienkāršāk aprēķināt trīsstūra laukumu:

Mūsu gadījumā trīsstūra laukums ir: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 kv.cm. Atcerieties, ka laukumu mēra kvadrātcentimetros (kvadrātcentimetros).

Taisns trīsstūris un tā laukums.

Taisnstūris ir trīsstūris, kurā viens leņķis ir vienāds ar 90 grādiem (tātad to sauc par labo). Taisnu leņķi veido divas perpendikulāras līnijas (trijstūra gadījumā divi perpendikulāri segmenti). Taisnā trijstūrī var būt tikai viens taisns leņķis, jo... jebkura trijstūra visu leņķu summa ir vienāda ar 180 grādiem. Izrādās, ka atlikušos 90 grādus vajadzētu sadalīt 2 citiem leņķiem, piemēram, 70 un 20, 45 un 45 utt. Tātad, jūs atceraties galveno, atliek tikai noskaidrot, kā atrast taisnleņķa trīsstūra laukumu. Iedomāsimies, ka mums priekšā ir šāds taisnleņķa trīsstūris, un mums jāatrod tā laukums S.

1. Vienkāršākais veids, kā noteikt taisnleņķa trijstūra laukumu, tiek aprēķināts, izmantojot šādu formulu:

Mūsu gadījumā taisnleņķa trīsstūra laukums ir: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 kv.cm.

Principā vairs nav nepieciešams pārbaudīt trīsstūra laukumu citos veidos, jo Tikai šis noderēs un palīdzēs ikdienā. Bet ir arī iespējas izmērīt trīsstūra laukumu caur akūtiem leņķiem.

2. Citām aprēķina metodēm jums ir jābūt kosinusu, sinusu un tangenšu tabulai. Spriediet paši, šeit ir dažas iespējas, kā aprēķināt taisnleņķa trīsstūra laukumu, ko joprojām var izmantot:

Mēs nolēmām izmantot pirmo formulu un ar dažiem nelieliem traipiem (uzzīmējām to piezīmju grāmatiņā un izmantojām vecu lineālu un transportieri), bet saņēmām pareizo aprēķinu:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Saņēmām šādus rezultātus: 3,6=3,7, bet ņemot vērā šūnu nobīdi, šo niansi varam piedot.

Vienādsānu trīsstūris un tā laukums.

Ja jūs saskaraties ar uzdevumu aprēķināt vienādsānu trijstūra formulu, tad vienkāršākais veids ir izmantot galveno un to, ko uzskata par klasisko formulu trijstūra laukumam.

Bet vispirms, pirms atrodam vienādsānu trīsstūra laukumu, noskaidrosim, kāda veida figūra tas ir. Vienādsānu trīsstūris ir trijstūris, kura abām malām ir vienāds garums. Šīs divas puses sauc par sānu, trešo pusi sauc par pamatni. Nejaukt vienādsānu trīsstūri ar vienādmalu trīsstūri, t.i. regulārs trīsstūris, kura visas trīs malas ir vienādas. Šādā trīsstūrī nav īpašu tendenču uz leņķiem vai drīzāk to lielumu. Tomēr leņķi pie pamatnes vienādsānu trīsstūrī ir vienādi, bet atšķiras no leņķa starp vienādām malām. Tātad, jūs jau zināt pirmo un galveno formulu; atliek noskaidrot, kādas citas formulas vienādsānu trīsstūra laukuma noteikšanai ir zināmas.

Taisnstūris ir trīsstūris, kura viens no leņķiem ir 90°. Tās laukumu var atrast, ja ir zināmas divas puses. Jūs, protams, varat izvēlēties garāko ceļu – atrast hipotenūzu un aprēķināt platību, izmantojot , taču vairumā gadījumu tas prasīs tikai papildu laiku. Tāpēc taisnleņķa trīsstūra laukuma formula izskatās šādi:

Taisnstūra trīsstūra laukums ir vienāds ar pusi no kāju reizinājuma.

Taisnstūra trīsstūra laukuma aprēķināšanas piemērs.
Dots taisnleņķa trīsstūris ar kājām a= 8 cm, b= 6 cm.
Mēs aprēķinām platību:
Platība: 24 cm2

Pitagora teorēma attiecas arī uz taisnleņķa trīsstūri. – abu kāju kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzas kvadrātu.
Formulu vienādsānu taisnstūra trīsstūra laukumam aprēķina tāpat kā parastam taisnstūra trīsstūrim.

Piemērs vienādsānu taisnstūra trīsstūra laukuma aprēķināšanai:
Dots trīsstūris ar kājām a= 4 cm, b= 4 cm. Aprēķiniet laukumu:
Aprēķiniet laukumu: = 8 cm 2

Formulu taisnleņķa trijstūra laukumam pie hipotenūzas var izmantot, ja nosacījumam tiek dota viena kāja. No Pitagora teorēmas atrodam nezināmās kājas garumu. Piemēram, ņemot vērā hipotenūzu c un kāju a, kāja b būs vienāds ar:
Pēc tam aprēķiniet laukumu, izmantojot parasto formulu. Taisnstūra trīsstūra laukuma formulas aprēķināšanas piemērs, pamatojoties uz hipotenūzu, ir identisks iepriekš aprakstītajam.

Apskatīsim interesantu problēmu, kas palīdzēs nostiprināt zināšanas par trijstūra risināšanas formulām.
Uzdevums: taisnleņķa trīsstūra laukums ir 180 kvadrātmetri. skatiet, atrodiet trijstūra mazāko kāju, ja tā ir par 31 cm mazāka par otro.
Risinājums: norādīsim kājas a Un b. Tagad aizstāsim datus ar laukuma formulu: mēs arī zinām, ka viena kāja ir mazāka par otru a – b= 31 cm
No pirmā nosacījuma mēs to iegūstam
Mēs aizstājam šo nosacījumu ar otro vienādojumu: